1.Introdução GEOPLANO

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1 GEOPLANO PROF. Ms. JOSÉ CARLOS PINTO LEIVAS 1 FUNDAÇÃO UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE FURG 1.Introdução Um dos primeiros trabalhos sobre o geoplano foi do Dr. Caleb Gattegno em É um recurso didático para o ensino de geometria plana elementar, para o ensino de frações, dentre outros. Não se trata neste trabalho de ensinar ao professor algo que já não saiba e sim mostrar-lhe alguns caminhos, procedimentos e formas de trabalho que venham a contribuir para um melhor aproveitamento dos estudantes de geometria, basicamente desenvolvendo mais o pensamento geométrico do que o próprio conhecimento de geometria. No geoplano utiliza-se borrachas ou atilhos dos tipo para amarrar dinheiro de preferência de cores variadas que tornam o material mais alegre e divertido. O geoplano é um meio, uma ajuda didática, que oferece um apoio à representação mental e uma etapa para o caminho da abstração, proporcionando uma experiência geométrica aos estudantes, não devendo ser esquecido que um recurso didático por si só não representa todo o ensino, devendo o professor no decorrer dos trabalhos ir questionando, complementando, assessorando o processo de redescoberta. Os geoplanos são tabuleiros quadrados, retangulares ou circulares que levam pregos em determinada distribuição para que se possam prender os atilhos, podendo ser confeccionadas em madeira natural ou pintados. A palavra geoplano vem do inglês geoboards ou do francês geoplans onde geo vem de geometria e plano, tábua ou tabuleiro ou superfície plana dando a origem da palavra. 1.1.Geoplano retilíneo ou quadriculado. É uma rede de quadriculados traçada por meio de marcas no tabuleiro, e no centro dos quadrados que o formam são colocados os pregos. O modelo pode ser fabricado em diversos tamanhos conforme o nível desejado de trabalho. Temos de 9 pregos ou 3 x 3; 16 pregos ou 4 x 4, 25 pregos ou 5 x 5 e assim por diante Geoplano circular ou de polígonos regulares. Apresentam uma única marca que é a da circunferência com um prego no centro da mesma e outros dispostos em pontos exteriores ou pertencentes a 1 Este trabalho foi desenvolvido no Curso de Aperfeiçoamento em Matemática na FURG. leivasjc@conesul.com.br tel. (0532)363524

2 mesma, os quais correspondem aos vértices de polígonos regulares. Podem ser fabricados de diversos tamanhos e tipos: octógono; decágono, dodecágono, octododecágono. OBS.: Existem outros modelos. Os mais usuais são os retilíneos com 25 pregos e os circulares com 26 cm de diâmetro, ambos em tabuleiros de 30 cm de lado. 1.3.O QUE REPRESENTA O GEOPLANO O geoplano representa um espaço geométrico no qual se marcam pontos por meio de pregos e algumas retas por meio de marcas no tabuleiro. Entre os pregos se podem esticar elásticos do tipo atilhos que permitem a representação de situações concretas. O geoplano é um modelo matemático que permite traduzir ou sugerir idéias matemáticas, constituindo-se em um suporte concreto para a representação mental, um recurso que leva à realidade idéias abstratas. O geoplano pode ser utilizado pelo professor em lugar do quadro na frente dos estudantes ou individualmente pelos mesmos. O trabalho individual proporciona que os estudantes elaborem as idéias segundo o seu próprio ritmo. Pode ser usado sistematicamente para esgotar o conteúdo de uma situação proposta. O papel do professor deve ser de condutor ou guia. Deve orientar o trabalho dos estudantes no geoplano e guiar as observações para que eles encontrem todas as possibilidades do caso, nos deslocamentos dos atilhos, chegando a descoberta de relações através de ações, percepções e abstrações. Sua mente deve estar sempre aberta para introduzir as possíveis variações que derivem do diálogo em classe com os estudantes. Esta flexibilidade do professor proporcionará novas descobertas e tornará o estudo mais atraente. As perguntas devem ser dinâmicas, mais do que formais. O diálogo com a classe deve ser ágil, sem impedir que cada estudante elabore o seu pensamento. Deve dar tempo para que o estudante observe, pense e expresse seu pensamento. A linguagem do professor deve ser concisa e cuidadosa, suficientemente rica para utilizar expressões equivalentes que tornem claras as idéias e facilitem a compreensão dos significados. Deve motivar o aluno que expresse suas idéias com clareza a fim de que seja interpretado corretamente. Após o estudante ter encontrado as relações esperadas deve utilizar seu caderno para fazer os registros a fim de ir adquirindo a simbologia adequada. 1.4.CONSTRUÇÃO DE UM GEOPLANO QUADRADO. PROBLEMA 1. a) Dado um quadrado de 30 cm de lado e 25 pontos, dividi-lo de modo a que possam ser colocados cinco pontos em cada linha e em cada coluna, dispostos de forma que as distâncias entre eles tanto na horizontal quanto na vertical seja a mesma.

3 Descreva a estratégia para resolver este problema, desenhe no seu caderno a distribuição dos pontos e arme um geoplano b) Atribuir à distância de 6 cm entre um prego e outro como 1 u.c. ( 1 unidade de comprimento) Atribuir ao quadrado de lado 6 cm a área de 1 u. a. ( 1 unidade de área). c) Utilizar atilhos de borracha coloridos para realizar as tarefas. d) Utilizar uma folha ou caderno quadriculado para registrar as atividades. PROBLEMA 2 Na confecção do circular octododecágono dispõem-se os da seguinte forma: os pregos A e B são colocados nas extremidades de um arco de 90º; o C é colocado no ponto médio do arco AB e os pontos E e D correspondem aos terços médios do arco AB. Assim arco AC=arcoCB=45º arco AD=arcoDE=arcoEB=30º e arcodc=arcoce=15º Os pregos F,G,H e I são exteriores a circunferência e correspondem aos vértices de um quadrado circunscrito a mesma e permitem construir tangentes cujos pontos de tangência são A, A,B e B. Os pontos A, B,C,D,E,F estão no primeiro quadrante. O prego L é o simétrico do ponto D em relação ao eixo AO. O prego M é o simétrico de D em relação ao eixo OB. Os pregos J e K também são exteriores a circunferência e estão situados de tal maneira que permitem a construção de uma secante que não passe pelo centro O. O ponto J dista 8 cm do prego G e 2,5 cm de L. O ponto K dista 4,5 cm de I e 4,5 cm de M. Elabore a figura correspondente ao problema. Descreva a estratégia para resolver este problema, desenhe no seu caderno a distribuição dos pontos e arme um geoplano

4 2. Atividades envolvendo comprimentos e perímetros Construir no geoplano, com os atilhos coloridos as representações abaixo e calcular seus comprimentos(faça os seus registros numa folha de papel quadriculado). 2.2.Construir no geoplano, com os atilhos coloridos as representações abaixo e calcular seus comprimentos, explorando o perímetro das figuras (faça os seus registros) Construir um retângulo cujo perímetro seja 6 unidades e cujo lado seja o dobro um do outro Construir um quadrado cujo perímetro seja 16 unidades 2.5. Se um lado de um quadrado aumenta o dobro, de quanto aumenta o seu perímetro? 2.6. Se um lado de um retângulo diminui a metade em quanto diminui seu perímetro? 2.7. Dadas as duas figuras, pergunta-se:

5 a) o comprimento da linha vermelha é maior ou menor do que o da rosa? b) O perímetro da figura azul é maior ou menor do que o da verde? c) Os perímetros das figuras 2 e 3 aumentam ou diminuem em relação ao perímetro da figura 1? fig.1 fig.2 fig.3 d) Utilizando estas figuras compare os números Construir no geoplano 5 x 5 o polígono que tem o menor perímetro inteiro. Representá-lo e calcular seu perímetro Construir (se existir) polígonos com perímetros 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15 u.c Construir um polígono que tenha o maior perímetro inteiro. Representálo e determinar seu perímetro Com quais números naturais é possível construir um polígono de perímetro n no geoplano 5 x 5?

6 3. Atividades envolvendo áreas. Vamos realizar tarefas que conduzem ao cálculo de áreas sem utilização de fórmulas. Para isto vamos utilizar o nosso geoplano 5 x Construir no geoplano os polígonos calculando suas áreas, considere um quadradinho unindo os quatro pontos mais próximos como unidade de área (não usar fórmulas).

7 3.2. Construir no geoplano os polígonos abaixo e calcular suas áreas.

8 3.3. Construir no geoplano um outro polígono que tenha a mesma área do apresentado abaixo, porém diferente. Este exercício conduz a compreensão de que figuras de formatos diferentes podem ter a mesma área.

9 3.4. Construir no geoplano retângulos e quadrados com diversas medidas, tendo um lado horizontal e um vertical e completar a tabela. Figura Medida do lado horizontal Medida do lado vertical Área do quadrilátero 3.5. Construir no geoplano retângulos que tenham as medidas que estão especificadas na tabela e calcular suas áreas. Figura Medida do lado horizontal Medida do lado vertical Área do quadrilátero 3.6. Qual é a relação entre as medidas dos lados do retângulo e sua área? E do quadrado? 3.7. construir no geoplano os quadriláteros representados abaixo e calcular suas áreas.

10 3.8. Construir no geoplano os triângulos abaixo representados. Calcule a área de cada um, identificando sua base e sua altura. Figura Base Altura Área 3.9. Construir no geoplano os triângulos abaixo representados. Calcule a área de cada um. Figura Base Altura Área(fórmula)

11 4. Atividades envolvendo áreas e perímetros Construir no geoplano polígonos de perímetro 12 e área menor do que 8. Representá-los. É possível construir um retângulo de perímetro 12 e área menor do que 8? 4.2. Construir no geoplano polígonos que tenham a mesma área dos abaixo, porem de formato diferente. Calcular o perímetro de cada um deles. Figura Base Altura Área Perímetro 1 Perímetro 2

12 5.Atividades Gerais 5.1. PONTOS : Os pregos do tabuleiro representam pontos RETAS : As marcas no tabuleiro representam partes de retas. Una dois pregos com um elástico e imagine os dois se deslocando indefinidamente. A imagem é uma reta SEGMENTO DE RETAS : fixados dois pregos, tem-se a parte da reta limitada pelos mesmos sendo um segmento de reta. Fixado um como origem e não fixado o segundo, tem-se semi-reta EXERCÍCIO. Representar retas no geoplano retilíneo com os elásticos. Representar as retas no caderno ou numa folha. Representar no geoplano todas as retas que passam por um ponto dado, com elásticos de cores diferentes. Representar no caderno as retas anteriores. Indicar no geoplano segmentos de retas e representar no papel. Reconhecer semi-retas no geoplano e representar no papel. Uma tira no geoplano feita com elástico preso entre dois pontos pode representar:...,...,... conforme convenha POSIÇÕES RELATIVAS DE DUAS RETAS NO PLANO : Tome duas tiras de elástico de cores diferentes e represente no geoplano duas retas coincidentes, paralelas, não paralelas (concorrentes e perpendiculares). Faça a representação do item anterior no papel. Duas retas paralelas se interseccionam? E não paralelas? DISTÂNCIAS : Represente no geoplano uma reta e tome um ponto fora desta reta. Una este ponto aos diversos pontos da reta com elásticos de cores diferentes. Questione: qual a distância do ponto à reta? Represente no papel e faça novamente o mesmo questionamento. Formule a definição de ponto à reta ÂNGULOS. Considere duas retas no geoplano superpostas (use elásticos de cores diferentes). Movimentando uma delas obter duas semi-retas com um ponto comum. Representar no papel as duas situações feitas acima. Representar no papel o espaço percorrido pelo elástico que se movimenta. Formular o conceito de ângulo plano. Movimentar o elástico até filas acima ( ou abaixo) da anterior e representar no papel. Movimentar o elástico na primeira situação aumentando o segmento de reta e representar no papel. Comparar as regiões representadas nos itens e São iguais? Quem é maior?

13 Comparar as regiões representadas nos itens e São iguais? Quem é maior? Quais são os elementos de um ângulo plano? O comprimento dos lados influi no tamanho do ângulo? O que é ângulo plano? Reformule sua definição usando linguagem mais aprimorada Represente no geoplano e no papel semi-retas perpendiculares. Quantos ângulos ficam determinados? Qual a relação entre eles? Represente no geoplano e no papel semi-retas opostas. Quantos ângulos ficam determinados? Qual a relação entre eles? Represente no geoplano e no papel ângulos com três semi-retas. Quais ângulos são obtidos? Use elásticos coloridos Formule suas definições destes elementos. 5.8.TRIÂNGULOS Peça para representar no geoplano triângulos. Cada um registra no papel o seu Reuna no quadro os diversos triângulos representados Classifique quanto a lados Classifique quanto a ângulos Obtenha com elásticos coloridos a semi-reta que une um vértice ao lado oposto de seu triângulo e represente no papel. Reuna no quadro as diversas representações obtidas na sala. Questione: como se chama este segmento no triângulo? Formule o conceito de altura de um triângulo. Quais são os outros elementos de um triângulo? É possível obter um triângulo equilátero no geoplano retilíneo? Use o seu geoplano 5 x 5 e represente triângulos isósceles em que o lado diferente mede 3 unidades e a altura mede, 4u, 3u, 2u, 1u. Isto é possível? Justifique RELAÇÕES ENTRE OS LADOS DE TRIÂNGULOS Represente um triângulo qualquer utilizando três elásticos de cores diferentes. Com um fio de cordão, tome o comprimento de dois lados consecutivos para obter sua soma e comparar com o terceiro lado do triângulo Como é esse lado em relação à soma dos outros dois? Dobre o cordão para obter a diferença entre os dois lados e compare a diferença com o terceiro lado Como é esse lado em relação à diferença dos outros dois? Verifique as propriedades comparando outro par de lados Represente um triângulo cuja base seja a metade de sua altura Represente um triângulo cuja altura seja um terço da base Represente um triângulo retângulo cuja hipotenusa seja o dobro da altura Calcule o perímetro de um triângulo medindo os lados com uma régua Considere a figura abaixo. Reconheça todos os triângulos estudadas, classifique-as e meça seus ângulos.

14 5.10.QUADRILÁTEROS Utilizando quatro pregos não colineares no geoplano, fazer o reconhecimento de quadriláteros, denominações, elementos, perímetros, áreas,... Partindo do quadrado, do retângulo e do triângulo, fazer deformações de modo a obter outros quadriláteros Represente no geoplano e no papel cada figura e as deformações feitas, como por exemplo, as seguintes deformações.

15 Usando as seqüências feitas no item anterior, complete o quadro abaixo. O quadrado foi transformado em... O triângulo foi transformado em... O quadrado foi transformado em... O quadrado foi transformado em... O retângulo foi transformado em... O quadrado foi transformado em..... O retângulo foi transformado em... O retângulo foi transformado em O triângulo foi transformado em Com atilhos coloridos represente as diagonais das figuras do exercício anterior. Faça as representações no papel. Compare lados e ângulos interiores das figuras. As diagonais do quadrado são... As diagonais do retângulo são... As diagonais do trapézio são... As diagonais do losango são..... As diagonais do paralelogramo são Questione seus alunos. O retângulo é um quadrado? O retângulo é um paralelogramo? O retângulo é um losango? O retângulo é um trapézio? O quadrado é um retângulo? O quadrado é um paralelogramo? O quadrado é um trapézio? O trapézio é um quadrado? O trapézio é um paralelogramo? O losango é um quadrado? O quadrado é um losango? O que são quadriláteros? O que são paralelogramos? O que são losangos? O que são quadrados? O que são trapézios? FAÇA UM DIAGRAMA DE LINHA ENVOLVENDO ESTA CLASSIFICAÇÃO E UM OUTRO DE VENN-EULER.

16 Reconhecer os triângulos determinados pelas diagonais e pelos lados dos quadriláteros. (faça os registros) Reconhecer as frações correspondentes a um dos triângulos em relação a figura total Que parte do retângulo o losango representa? (fig. 1) Partindo de um retângulo, movimente seus vértices e obtenha paralelogramos? (fig. 2) Fig. 1 fig Obtenha todos os triângulos equivalentes a um paralelogramo (mesma área) Obtenha um triângulo equivalente a um quadrado paralelogramo (mesma área) Obtenha todos os quadriláteros equivalentes a outro dado paralelogramo (mesma área).

17 6.Bibliografia KNIJINIK, G., BASSO, M.V. E KLÜSENERM R.. Aprendendoo e esninando matemática com o geoplano. UNIJUI Ed., SABBATIELLO, E.E.. El Geoplano- Um recurso didáctico para la enseñança dinámica de la geometria plana elemental- Su aplicación e utilizacioón en la escuela primária. Edicciones G.ªD.Y.P., Buenos Aires, 1967.