Implementação de um simulador para o controle de atitude em nanossatélites

Transcrição

1 UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE DO NORTE UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE DO NORTE CENTRO DE TECNOLOGIA PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA MECATRÔNICA UFRN CT PEM Implementação de um simulador para o controle de atitude em nanossatélites Eduardo Lacerda Campos Orientador: Prof. Dr. Kurios Iuri Pinheiro de Melo Queiroz Coorientador: Prof. Dr. Samaherni Morais Dias Dissertação de Mestrado apresentada ao Programa de Pós-Graduação em Engenharia Mecatrônica da UFRN (área de concentração: Sistemas Dinâmicos e Controle de Processos) como parte dos requisitos para obtenção do título de Mestre em Ciências. Natal/RN, setembro de 2018

2 Universidade Federal do Rio Grande do Norte - UFRN Sistema de Bibliotecas - SISBI Catalogação de Publicação na Fonte. UFRN - Biblioteca Central Zila Mamede Campos, Eduardo Lacerda. Implementação de um simulador para o controle de atitude em nanossatélites / Eduardo Lacerda Campos. - Natal, f.: il. Dissertação (mestrado) - Universidade Federal do Rio Grande do Norte, Centro de Tecnologia, Programa de Pós-Graduação em Engenharia Mecatrônica. Natal, RN, Orientador: Prof. Dr. Kurios Iuri Pinheiro de Melo Queiroz. Coorientador: Prof. Dr. Samaherni Morais Dias. 1. Engenharia mecatrônica - Dissertação. 2. Nanossatélite - Dissertação. 3. Controle de atitude - Dissertação. 4. Filtro de Kalman Estendido - Dissertação. 5. Simulador - Dissertação. I. Queiroz, Kurios Iuri Pinheiro de Melo. II. Dias, Samaherni Morais. III. Título. RN/UF/BCZM CDU (043.3)

3 Implementação de um simulador para o controle de atitude em nanossatélites Eduardo Lacerda Campos Dissertação de Mestrado aprovada em 13 de setembro de 2018 pela banca examinadora composta pelos seguintes membros: Prof. Dr. Kurios Iuri Pinheiro de Melo Queiroz (orientador) DEE/UFRN Prof. Dr. Samaherni Morais Dias (co-orientador) DEE/UFRN Prof. Dr. Joilson Batista de Almeida Rego ECT/UFRN Dr. José Marcelo Lima Duarte CRN/INPE

4 À minha esposa, Samara Maia, pelo apoio durante a realização deste trabalho.

5 Agradecimentos Aos meus pais, Yêdo Campos e Marisleny Campos, quem me fizeram chegar até aqui com todo seu amor, muitas vezes abdicando deles mesmos para dar o melhor. À minha avó Eny Duarte, por suas constantes orações. À minha esposa Samara Maia, pelo incentivo, compreensão e parceria em todos os momentos desta jornada. Ao meu irmão Marcelo Campos, que apesar da distância, sei que torce pelo meu sucesso. Aos meus sogros Luiz Batista e Nanci Maia, que me acolheram em sua família. Ao meu orientador e ao meu co-orientador, professores Kurios Queiroz e Samaherni Dias, sou grato pela orientação e pela oportunidade de trabalhar nesta área do conhecimento. À Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior (CAPES), pelo apoio financeiro. Ao Joilson Rego e José Duarte, pelas sugestões de melhorias neste trabalho. A todos os demais amigos, colegas e familiares, que direta ou indiretamente me apoiaram para que eu chegasse até aqui.

6 Resumo Este trabalho apresenta um simulador de controle de atitude para nanossatélites composto por um sistema de navegação (estimador de atitude) e um controlador Proporcional Derivativo (PD). Os sensores considerados para estimar a atitude foram um magnetômetro e um sensor solar, simulados por meio de um modelo ideal com a adição de um ruído branco. Para representar a cinemática, o nanossatélite foi considerado como um corpo rígido e a representação da sua atitude em quatérnio. No sistema de navegação, o Filtro de Kalman Estendido com restrição de norma demonstrou-se adequado para os sensores embarcados no nanossatélite, permitindo estimar a velocidade angular e a sua atitude. Diferentes testes foram realizados para validar o simulador, o sistema de navegação e o controlador PD. Os resultados demonstram que o conjunto é capaz de estabilizar e corrigir a atitude do nanossatélite, mesmo na presença de diferentes perturbações, grandes ângulos e altas velocidades angulares. Assim, o simulador produzido apresentou resultados adequados, permitindo que seja utilizado em estudos futuros de nanossatélites. Palavras-chave: Controle de atitude, Simulação, Nanossatélite, Filtro de Kalman Estendido.

7 Abstract This work presents an attitude control simulator for nanosatellites which comprises a navigation system (attitude estimator) and a Proportional Derivative (PD) controller. The sensors used to estimate the attitude were composed of a magnetometer and a solar sensor, simulated by an ideal model with the addition of white noise. For the dynamic equations the nanosatellite is considered to have a rigid body and to describe the kinematic equations, quaternion was chosen. Within the navigation system, the norm-constrained Extended Kalman Filter has been proved to be adequate to estimate the angular velocity and its attitude using the sensors embedded into the nanosatellite. Different tests have been performed to validate the simulator, the navigation system and the PD controller. The results demonstrate that the set up is capable of stabilizing and correcting the attitude of the nanosatellite even in the presence of different perturbations, large angles and high angular velocities. Thus, the developed simulator presented adequate results, allowing it to be used in future nanosatellite studies. Keywords: Attitude Control, Simulation, Nanosatellite, Extended Kalman Filter.

8 Sumário Sumário Lista de Figuras Lista de Tabelas Lista de Símbolos i iii v vi 1 Introdução Objetivo da Dissertação Organização do Documento Fundamentação Teórica Representações da Atitude Matriz de Rotação Ângulos de Euler Ângulo-Eixo de Euler Quatérnio Tempo de Referência Modelo do Sol Modelo Geomagnético Propagação da Órbita Modelo do Nanossatélite Sistema de Navegação Filtro de Kalman Estendido Discretização e Linearização da Atitude Discretização e Linearização da Medição dos Sensores Predição Correção Simulação dos Sensores Controle de Atitude Lei de Controle Função de Transferência da Atitude Função de Transferência em Malha Fechada i

9 5 Resultados das Simulações Convergência do Filtro de Kalman Simulações com Controlador Caso Caso Caso Caso Considerações Finais e Perspectivas 54 Referências Bibliográficas 56 A Duas Linhas de Elementos 58 B Sistemas de Referência 60 B.1 Inercial Centrado na Terra B.2 Fixo Centrado na Terra B.3 Referenciais Fixos no Nanossatélite B.4 Referencial NED

10 Lista de Figuras 1.1 Quantidade de publicações que possuem a palavra cubesat. As informações deste gráfico foram geradas por meio da contagem de publicações presentes nas bases de dados Scopus, Web of Science e Institute of Electrical and Electronics Engineers (IEEE) Representação sistema de coordenadas fixo no nanossatélite F s relativo ao sistema de coordenadas fixo na Terra F G. Fonte: Adaptado de Turner (2003) Sequência de rotações ou z-y-x por meio dos Ângulos de Euler Vetor r é representado em dois sistemas de coordenadas distintos F G e F s, onde o ângulo α e o eixo a paralelo ao eixo z G e z s, representam a rotação de F G para F s Diagrama de blocos das etapas para o cálculo da direção do campo magnético terrestre Descrição da órbita por elementos orbitais. Adaptado: Ruiter et al. (2013) Sistema de Navegação (Estimação da Atitude) Diagrama de blocos das etapas de previsão e correção do Filtro de Kalman no instante k Estrutura típica de uma malha de controle de nanossatélite Diagrama de blocos com um controlador proporcional e a planta aumentada. Adaptado de: (Ruiter et al. 2013) Diagrama de blocos da malha fechada modificada Sequência de execução da simulação do sistema de navegação Estimativa ˆɛ k (círculos vermelhos) e o valor real ɛ k (linha azul) Estimativa ˆω k (círculos vermelhos) e o valor real ω k (linha azul) Sequência de execução da simulação do sistema de navegação em malha fechada Caso 1 - Parâmetros do vetor ɛ = [ɛ 1 ɛ 2 ɛ 3 ] que compõem o quatérnio Caso 1 - Velocidade angular ω sg = [ω 1 ω 2 ω 3 ] Caso 1 - Torques aplicados pelo controlador Caso 1 - Evolução dos erros nas estimativas de leitura dos sensores Caso 2 - Parâmetros do vetor ɛ = [ɛ 1 ɛ 2 ɛ 3 ] que compõem o quatérnio Caso 2 - Velocidade angular ω sg = [ω 1 ω 2 ω 3 ] Caso 2 - Torques aplicados pelo controlador iii

11 5.12 Caso 2 - Evolução dos erros nas estimativas de leitura dos sensores Caso 3 - Parâmetros do vetor ɛ = [ɛ 1 ɛ 2 ɛ 3 ] que compõem o quatérnio Caso 3 - Velocidade angular ω sg = [ω 1 ω 2 ω 3 ] Caso 3 - Torques aplicados pelo controlador Caso 3 - Evolução dos erros nas estimativas de leitura dos sensores Caso 4 - Parâmetros do vetor ɛ = [ɛ 1 ɛ 2 ɛ 3 ] que compõem o quatérnio Caso 4 - Velocidade angular ω sg = [ω 1 ω 2 ω 3 ] Caso 4 - Torques aplicados pelo controlador Caso 4 - Evolução dos erros nas estimativas de leitura dos sensores

12 Lista de Tabelas 3.1 Cálculo das estimativas a posteriori por meio do Filtro de Kalman Estendido com restrição de norma Resumo para execução do Filtro de Kalman Estendido com restrição de norma Características da simulação do nanossatélite Configurações iniciais do Filtro do Kalman Estendido com restrição de norma Parâmetros da órbita do nanossatélite TLE usado para a simulação da órbita do nanossatélite pelo algoritmo SGP Características da simulação do nanossatélite para todos os casos Configurações iniciais do Filtro do Kalman Estendido com restrição de norma Parâmetros dos controladores do nanossatélite Caso 1 - Características da simulação Caso 2 - Características da simulação Caso 3 - Características da simulação Caso 4 - Características da simulação Avaliações dos gráficos 5.17 e A.1 Primeira linha da TLE A.2 Segunda linha da TLE v

13 Lista de Símbolos F G e n s ˆ ˆ Ω Φ Φ eclíptica Φ cl ϒ ϒ ϒ Sol v Sol v eclíptica E Base de um sistema de coordenadas Ponto de operação utilizado para efetuar a linearização Variável representada no sistema de referência Inercial Centrado na Terra, conhecido como ECI Variável representada no sistema de coordenadas ECEF Variável representada no sistema de coordenadas NED Variável representada no sistema de coordenadas fixo no corpo do nanossatélite Derivada segunda de uma variável Derivada primeira de uma variável Variável estimada a posteriori Variável estimada a priori Matriz antissimétrica Ascensão direta do nó ascendente Latitude geocêntrica Latitude eclíptica do Sol Colatitude geocêntrica Anomalia verdadeira, que informa o ângulo entre o periastro e o vetor que localiza o corpo celeste Anomalia média Anomalia média do Sol Longitude média do Sol Longitude eclíptica do Sol Inclinação da Terra em relação ao plano de sua órbita vi

14 h n ξ a r v w v i J I R b a α a ɛ η Momento angular da órbita Nó ascendente da órbita Excentricidade da órbita Semieixo maior da elipse Posição do nanossatélite Vetor unitário Argumento ou Ângulo do perigeu Longitude geocêntrica Inclinação da órbita Tensor de Inércia Matriz identidade Matriz de rotação que transporta as coordenadas de um vetor representado no sistema de coordenadas de F a para F b Angulo de rotação, conforme o padrão Ângulo-Eixo de Euler Eixo de rotação, conforme o padrão Ângulo-Eixo de Euler Componente vetorial do quatérnio Componente escalar do quatérnio ω ba φ ψ θ q Velocidade angular de F b relativo ao F b Rotação em relação ao eixo x, denominado de rolagem Rotação em relação ao eixo z, denominado de guinada Rotação em relação ao eixo y, denominado de arfagem Representação para o quatérnio q = [ɛ η] E[ ] Valor esperado de uma variável aleatória F H K L Matriz de transição do estado de um sistema Matriz de medição do estado de um sistema Matriz de ganhos Matriz de ganhos dos ruídos do processo

15 M P k P k Q R β γ N (µ,σ) Matriz de ganhos dos ruídos dos sensores Matriz de covariâncias do estado a posteriori Matriz de covariâncias do estado a priori Matriz de covariâncias dos ruídos do processo Matriz de covariâncias dos ruídos dos sensores Ruído do processo. Trata-se de torques aplicados no corpo do nanossatélite devido à perturbações Ruído dos sensores Variável aleatória com distribuição normal com média µ e desvio padrão ϕ µ Valor médio de uma variável aleatória σ u x y G c G p λ τ s τ s,c τ s,p k d k p p p B JD Desvio padrão de uma variável aleatória Vetor de entrada de um sistema Vetor de estado de um sistema Vetor de saída de um sistema Função de transferência do controlador Função de transferência da planta Autovalor de uma matriz Torque aplicado no corpo do nanossatélite Torque gerado pelo controlador no corpo do nanossatélite Torque gerado por perturbações no corpo do nanossatélite Ganho derivativo Ganho proporcional Polo da equação característica Raiz da equação característica Vetor do campo magnético terrestre Dias Julianos contados a partir do dia 1 o de janeiro de 4713 a.c. ao meio-dia da longitude 0 o

16 JD0 JD2000 T T t t m ECEF Dias Julianos contados a partir do dia 1 o de janeiro do ano zero d.c. à zero hora na longitude 0 o Dias Julianos contados a partir do dia 1 o de janeiro de 2000 d.c. ao meio-dia da longitude 0 o Tempo medido relativo a um referencial, contado em anos Tempo medido relativo a um referencial, contado em séculos Intervalo de tempo entre dois eventos, medido em segundos Intervalo de tempo entre dois eventos, medido em minutos Earth-Centred, Earth-Fixed. Sistema de coordenadas fixo no centro da Terra que gira junto com a mesma ECI Earth-Centred Inertial. Sistema de coordenadas fixo no centro da Terra, contudo não gira com a mesma EKF Extended Kalman Filter - Filtro de Kalman Estendido IGRF12 International Geomagnetic Reference Field versão 12 - Referência internacional para o campo magnético terrestre INPE NED SGP4 TLE Instituto Nacional de Pesquisas Espaciais North East Down. Sistema de coordenadas localizado sobre a superfície da Terra que aponta nas direções Norte, Leste e para o centro da Terra Simplified General Perturbations 4 - Algoritmo para efetuar a propagação de órbita do nanossatélite Two Line Elements - Padrão utilizado para descrever a órbita de nanossatélites, empregado pelo SGP4

17 Capítulo 1 Introdução Durante muito tempo, a exploração espacial foi uma atividade exclusiva de nações ou grupos com volumosos recursos financeiros, como a National Aeronautics and Space Administration (NASA) e a European Space Agency (ESA), pois os projetos envolviam grande complexidade de engenharia e altos riscos monetários devido às dificuldades tecnológicas para lançar e manter um satélite em órbita. Desde o início dos programas espaciais até o presente momento, o desenvolvimento tecnológico permitiu uma evolução na capacidade de lançamento, partindo de uma carga inicial de 83,6 kg com a Sputnik 1 em 1957, e atingindo a marca de 5,7 toneladas com a sonda espacial Cassini (NASA Jet Propulsion Laboratory 2017) em 1997, e 8,2 toneladas com a Envisat (ESA Earth Online 2017) em Com os avanços tecnológicos da miniaturização de componentes, novas oportunidades para o desenvolvimento de satélites entraram em cena. O aumento significativo da capacidade computacional, aliada a redução de custos, começou a chamar a atenção para uma nova abordagem nos projetos, pois ao invés de se projetar satélites grandes e caros, a microeletrônica permite a construção de satélites menores, mais baratos e, em contrapartida, as missões apresentam duração e objetivos reduzidos. Este novo paradigma possui a vantagem de reduzir o risco financeiro, pois uma eventual perda do nanossatélite acarretará em prejuízo menor, além do menor tempo de concepção, devido a simplificações dos projetos, propiciando um rápido retorno dos resultados esperados. Contudo, as restrições de tamanho impõem limites quanto ao tamanho das placas solares, bateria, computador de bordo e outros. Em 1999, a Universidade de Stanford em conjunto com a Califórnia Polytechnic State University (Heidt et al. 2000) lançaram a proposta da plataforma CubeSat como forma de impulsionar as pesquisas científicas. Tratava-se de uma ideia que padronizava certos aspectos do projeto, como as dimensões, estrutura e massa máxima. Esta nova abordagem criou uma demanda por soluções em comunicação, atuadores, sensores e algoritmos de controle projetados especificamente para este segmento. Motivada pela busca de soluções, a comunidade científica publica um número crescente de pesquisas. Uma consulta nas bases de publicações da Scopus, Web of Science e Institute of Electrical and Electronics Engineers (IEEE), no período de 2000 a 2016, permite identificar esta tendência do aumento de estudo com nanossatélites, conforme apresentado na Figura 1.1.

18 CAPÍTULO 1. INTRODUÇÃO 2 Quantidade de Publicações Web of Science Scopus IEEE Ano Figura 1.1: Quantidade de publicações que possuem a palavra cubesat. As informações deste gráfico foram geradas por meio da contagem de publicações presentes nas bases de dados Scopus, Web of Science e Institute of Electrical and Electronics Engineers (IEEE)

19 CAPÍTULO 1. INTRODUÇÃO 3 Seguindo essa tendência mundial de utilização de Cubesats, o Instituto Nacional de Pesquisas Espaciais (INPE) possui o interesse de utilizar nanossatélites para suas missões futuras. Como exemplo, há o projeto denominado de CONASAT - Constelação de Nanossatélites para Coleta de Dados Ambientais. Trata-se de uma iniciativa para renovar e ampliar a infraestrutura de satélites existente do Sistema Brasileiro de Coleta de Dados (SBCD), atualmente constituído por dois satélites denominados de 1 o Satélite de Coleta de Dados (SCD1) e 2 o Satélite de Coleta de Dados (SCD2). Lançados em 1993 e 1997, respectivamente, estes apresentam idade avançada e um plano de substituição é fundamental para garantir a continuidade do sistema. Um ponto fundamental para viabilizar o aprimoramento tecnológico dos nanossatélites é o desenvolvimento de um simulador/software para a determinação e o controle de atitude. De forma geral, a atitude de um nanossatélite corresponde a sua orientação em relação a um referencial fixo no centro Terra. Inferir a atitude do nanossatélite, necessária para o controle, não é uma atividade trivial, exigindo um conjunto de sensores e algoritmos específicos para cada tipo de missão. Neste sentido, ao avaliar as pesquisas mais recentes sobre o sistema de navegação para nanossatélites, encontra-se o Filtro de Kalman como principal ferramenta para estimar as informações de orientação (Ruiter et al. 2013), (Carrara et al. 2014), (Campesato 2017). 1.1 Objetivo da Dissertação Diante do contexto apresentado, a finalidade principal deste trabalho é apresentar um simulador que dê suporte para a implementação de um controle de atitude em futuros nanossatélites do INPE. Para atingir esse objetivo, foi implementado um sistema de navegação que permita estimar a atitude e a velocidade de rotação do nanossatélite. O nanossatélite considerado para este estudo possui apenas dois sensores, um magnetômetro para medir a direção do campo magnético da Terra e um solar para medir a direção do Sol. Portanto, ao considerar essas características, as seguintes etapas foram desenvolvidas para obter o sistema de navegação: Implementação das equações que informam a direção do Sol. Estudo do algoritmo IGRF (International Geomagnetic Reference Field) versão 12, capaz de fornecer a direção do campo magnético terrestre. Estudo do algoritmo SGP4 (Simplified General Perturbations 4) para efetuar a propagação da órbita do nanossatélite. Estimação da atitude e velocidade angular do nanossatélite por meio da implementação do Filtro de Kalman Estendido com restrição de norma. Modelagem da dinâmica do satélite. Após obter um sistema de navegação funcional, foi utilizado o controlador Proporcional Derivativo (PD) que emprega o quatérnio e a velocidade angular para gerar

20 CAPÍTULO 1. INTRODUÇÃO 4 o sinal de controle. Visando avaliar o funcionamento do conjunto, algumas simulações foram realizadas, onde o nanossatélite é testado em diferentes condições. Todos os códigos foram elaborados em linguagem Matlab, possibilitando a fácil reutilização futura dos algoritmos em outros estudos. 1.2 Organização do Documento Visando atender à proposta de trabalho, o texto foi organizado de modo a introduzir gradualmente o leitor no contexto de determinação e controle de nanossatélites. Seguindo esse princípio, o texto foi organizado em: Capítulo 2: Define os conceitos principais utilizados na dissertação, tais como as equações dinâmicas e cinemáticas, diferentes padrões para representar a atitude e informações sobre os modelos matemáticos necessárias para calcular as informações sobre a direção do campo magnético terrestre e do Sol. Capítulo 3: É apresentado o Filtro de Kalman Estendido com restrição de norma, bem como os conceitos para implementar o seu algoritmo. Capítulo 4: É apresentado o controlador de atitude, onde suas principais características são descritas. Capítulo 5: São apresentados e discutidos os resultados das simulações do sistema de navegação e controlador. Capítulo 6: São apresentadas as conclusões e considerações finais sobre os resultados obtidos com as simulações. Ainda neste capítulo são apresentadas as sugestões para trabalhos futuros.

21 Capítulo 2 Fundamentação Teórica Ao trabalhar com corpos livres no espaço, um dos aspectos mais importantes para a caracterização da dinâmica e, consequentemente, do controle do nanossatélite é a representação matemática da sua orientação ou atitude. Trata-se da informação da rotação existente entre um sistema de coordenadas fixo no nanossatélite e um sistema de referência fixo na Terra. (Ruiter et al. 2013). Para auxiliar na compreensão, na Figura 2.1, é apresentado o sistema de coordenadas denominado de F G, que possui seus eixos fixos no centro da Terra, e um sistema de coordenadas fixo no nanossatélite denominado de F s. Assim, considerada a rotação entre estes dois sistemas de coordenadas, o controlador é responsável por obter ou corrigir a mesma. Algumas informações adicionais sobre a elaboração destes sistemas de referências são discutidas no Apêndice B. Figura 2.1: Representação sistema de coordenadas fixo no nanossatélite F s relativo ao sistema de coordenadas fixo na Terra F G. Fonte: Adaptado de Turner (2003) Os principais padrões utilizados para descrever a atitude ou orientação de nanossatélites são: a Matriz de Rotação, os Ângulos de Euler, Ângulo-Eixo de Euler e Quatérnio (Carrara 2012). Cada método possui vantagens e desvantagens, sendo

22 CAPÍTULO 2. FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA 6 importante conhecê-los para fazer o seu uso adequado (Diebel 2006). A Matriz de Rotação é capaz de representar a atitude do nanossatélite sem incorrer com o problema das singularidades, mas sua representação depende de nove parâmetros, dos quais seis termos são redundantes e apenas três termos são realmente independentes. Assim, essa representação não é a forma mais adequada para retratar a atitude, pois apresenta alta redundância interna (Carrara 2012). O procedimento mais utilizado para representar a atitude de um corpo rígido é por meio dos Ângulos de Euler. Devido à sua facilidade de interpretação, estes são amplamente utilizados em muitos trabalhos, contudo, sua representação possui singularidades, impedindo que a atitude seja determinada de forma única (Diebel 2006). A representação por Ângulo-Eixo apresenta uma forma mais compacta, sendo necessários apenas quatro parâmetros para caracterizar a atitude. Apesar do formato compacto, as equações dependem de operações trigonométricas, o que dificulta a computação numérica da atitude (Carrara 2012). Por fim, o quatérnio possui a vantagem de ser puramente algébrico (livre de relações trigonométricas), não possui pontos de singularidade e são necessários apenas quatro termos para descrever a atitude. Isto torna o quatérnio uma ferramenta muito útil e eficiente para fins computacionais (Ruiter et al. 2013). Por esta razão, o quatérnio foi selecionado como o padrão para representar a atitude do nanossatélite e efetuar o seu controle. As características e equações de cada metodologia são apresentadas na Seção 2.1. Definido que o quatérnio é o formato mais adequado para caracterizar a atitude, do ponto de vista operacional do nanossatélite, uma grande dificuldade está relacionada com a determinação da atitude. Devido ao fato de que não é possível medir diretamente a atitude, deve-se utilizar uma abordagem indireta, onde o seguinte procedimento é adotado: Utilização de sensores que coletam as informações de direções dos vetores no sistema de referência F s, fixo no corpo do nanossatélite. Cálculo por meio de modelos matemáticos da direção dos vetores no referencial F G, fixo no centro da Terra. Neste estudo, foi considerado que o nanossatélite está equipado com dois sensores, sendo um sensor utilizado para obter a direção do Sol e outro, a direção do campo magnético terrestre, ambos no referencial F s. Assim, ao considerar estes sensores, é necessário determinar os modelos matemáticos necessários para calcular a direção do Sol e do campo magnético no referencial F G. A direção do Sol no referencial F G, denominada de v G,Sol, é obtida por meio de um conjunto de equações que descrevem o movimento aparente do Sol em torno da Terra, sendo necessária apenas a data de referência. Os detalhes deste modelo são apresentados na Seção 2.3. Em relação a direção do campo magnético terrestre, denominada de v G,mag, foi utilizado o modelo IGRF12 (International Geomagnetic Reference Field versão 12). Conforme o modelo apresentado por Thébault et al. (2015), a informação de direção do campo magnético é dependente da data, altura, longitude e latitude do nanossatélite em um determinado instante. Os detalhes do modelo são apresentados na Seção 2.4.

23 CAPÍTULO 2. FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA 7 Para fornecer todos os parâmetros necessários para a execução do IGRF12, é fundamental incluir um algoritmo que permita calcular a posição do nanossatélite em torno da Terra e assim encontrar os parâmetros de altura, longitude e latitude. Neste trabalho foi utilizado o algoritmo conhecido como SGP4 (Simplified General Perturbations 4), apresentado na Seção 2.5. Partindo do princípio de que as informações dos vetores em ambos os sistemas de referência estão disponíveis, é necessário utilizar alguma ferramenta matemática que permita obter a atitude do nanossatélite. Os procedimentos mais difundidos para realizar esta operação são os algoritmos TRIAD, Q-Method, QUEST e Filtro de Kalman Estendido. Resumidamente, TRIAD é o algoritmo mais simples e utiliza apenas dois vetores, enquanto que os algoritmos Q-Method e QUEST são baseados na minimização de uma função de custo. Referente ao Filtro de Kalman Estendido, este permite que as informações sobre a dinâmica, cinemática, torques aplicados, estados passados e sensores sejam utilizadas na estimação da atitude, permitindo obter melhores estimativas da atitude quando comparado com os métodos anteriormente citados (Habib 2013). Assim, devido à capacidade de estimar a velocidade angular, necessária para o controle da atitude, este estudo optou pela utilização do Filtro de Kalman Estendido, conforme proposto por Ruiter et al. (2013). 2.1 Representações da Atitude Esta seção apresenta uma visão geral das representações de atitude mais comuns na literatura Matriz de Rotação A matriz de rotação, também chamada de Matriz de Cossenos Diretores, permite estabelecer a orientação de um dado sistema de coordenadas F s em relação à base F G (Carrara 2012). A relação existente pode ser expressa da seguinte forma: r s = R s G r G (2.1) onde r G é um vetor representado em F G, r s é um vetor representado em F s e R s G é a matriz de rotação que possui dimensões 3 3 e são ortogonais próprias 1 (Carrara 2012). Uma característica importante sobre os elementos que compõem a matriz de rotação é o fato de que, dos nove elementos da matriz, apenas três são realmente independentes. Portanto, esta representação apresenta redundâncias, uma vez que seis dos seus nove elementos são dependentes, e consequentemente, sua utilização para descrever a atitude não é recomendada (Carrara 2012). 1 Matrizes ortogonais com determinante +1 são referidas como próprias, ao passo que aquelas com determinante -1 são referidas como impróprias.

24 CAPÍTULO 2. FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA Ângulos de Euler Devido à sua facilidade de interpretação com o mundo físico, os Ângulos de Euler são amplamente utilizados na orientação de juntas robóticas, navegação e em dispositivos apontadores. Para usar os Ângulos de Euler para descrever a rotação de corpos rígidos, uma sequência muito utilizada é conhecida como ou z y x, onde: 1. A rotação φ em relação ao eixo x é denominada de rolagem (roll). 2. A rotação θ em relação ao eixo y é denominada de arfagem (pitch). 3. A rotação ψ em relação ao eixo z é denominada de guinada (yaw). Na sequência de rotação 3-2-1, a determinação da atitude consiste em um giro em ψ em torno do eixo z G, uma segunda rotação θ em torno do eixo y i e finalmente uma rotação φ em relação ao eixo x t de acordo com a Figura 2.2. z i z G z i z t θ z s z t φ y s x G ψ x i y G ψ y i x θ i y i y t x t x t x s φ y t Figura 2.2: Sequência de rotações ou z-y-x por meio dos Ângulos de Euler Contudo, para efetuar a operação de rotação de um vetor, deve ser utilizada a Matriz de Cossenos Diretores, que fornece uma matriz de rotação com base nos Ângulos de Euler, conforme as seguintes equações (Ruiter et al. 2013): R x (φ) = 0 cos(φ) sen(φ) (2.2) 0 sen(φ) cos(φ) cos(θ) 0 sen(θ) R y (θ) = (2.3) sen(θ) 0 cos(θ) cos(ψ) sen(ψ) 0 R z (ψ) = sen(ψ) cos(ψ) 0 (2.4) Esta formulação matricial por meio de funções trigonométricas possui singularidades, impedindo uma relação única entre uma determinada orientação no espaço e os Ângulos de Euler, situação que é conhecida na literatura como gimbal lock (Ruiter et al. 2013).

25 CAPÍTULO 2. FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA 9 Finalmente, como a sequência de duas ou mais rotações é uma operação acumulativa, é possível obter a atitude do nanossatélite ao reescrever a sequência de rotação da seguinte maneira: R s G = R x (φ)r y (θ)r z (ψ) R G s = R s G (2.5) É importante destacar que, apesar de as rotações serem acumulativas, elas não são comutativas, ou seja, a sequência R x (φ)r y (θ)r z (ψ) produz um resultado diferente de R z (ψ)r y (θ)r x (φ). Assim, devido à existência dessa singularidade, os Ângulos de Euler não são a melhor opção para representar a atitude em modelos numéricos, pois a singularidade pode causar erros numéricos significativos quando ocorrem em simulações (Carrara 2012) Ângulo-Eixo de Euler Como formulado por Euler, duas ou mais rotações em torno de diferentes eixos passando por um ponto em comum são equivalentes a uma única rotação α em torno de um eixo a passando pelo mesmo ponto. Assim, ao considerar o padrão de ângulo e o eixo para representar a atitude do nanossatélite, estes podem ser interpretados graficamente por meio da Figura 2.3. y s y G r a α x G x s Figura 2.3: Vetor r é representado em dois sistemas de coordenadas distintos F G e F s, onde o ângulo α e o eixo a paralelo ao eixo z G e z s, representam a rotação de F G para F s Ao representar o vetor r em cada um dos sistemas de coordenadas, tem-se: r = F G r G = F s r s (2.6) Na literatura, F s ou F G também são denominados de vetrizes por serem matrizes que armazenam os vetores relativos à base em análise, onde r s e r G contêm as informações das coordenadas representadas no formato de uma matriz coluna. Conforme Carrara (2012), não existe conflito ao usar F s ou F G para designar um sistema de coordenadas ou uma vetriz. Para maiores detalhes sobre vetrizes, consultar Ruiter et al. (2013).

26 CAPÍTULO 2. FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA 10 Portanto, por meio da Equação (2.6), a conversão das coordenadas de r entre os diferentes sistemas de referência pode ser obtida por: F G r G = F s r s r G = F G F s r s (2.7) r G = R s Gr s onde R s G é a matriz de rotação que representa a atitude do nanossatélite. Assim, ao considerar o padrão adotado onde α e a informam a rotação de F s com relação a F G, a expressão para a atitude do nanossatélite é descrita pela seguinte expressão (Ruiter et al. 2013): onde a rotação no sentido oposto é obtida por: R s G = Icosα + (1 cosα)a a a senα (2.8) R s G = Icosα + (1 cosα)a a + a senα (2.9) Ao considerar a = [a x a y a z ], o termo a representa uma matriz antissimétrica, fornecida pela expressão: 0 a z a y a = a z 0 a x (2.10) a y a x 0 O Ângulo-Eixo de Euler fornece uma forma simplificada de descrever a atitude do nanossatélite e tem a vantagem de não possuir singularidades. Contudo, possui equações trigonométricas de custo computacional considerável que precisam ser consideradas quando se lida com sistemas digitais e recursos limitados Quatérnio O quatérnio, também conhecido como Parâmetros de Euler, possui a vantagem de não possuir singularidades na sua representação e, quando avaliada em conjunto com a sua representação linear, esta parametrização é preferível na elaboração das estratégias de controle e simulação numérica da atitude. Uma forma de obter o quatérnio que representa a atitude do nanossatélite é por meio da utilização do Ângulo-Eixo de Euler apresentado na seção anterior, por meio da seguinte expressão: η = cos α 2 ɛ = a sen α 2 (2.11) onde η é um escalar e ɛ é um vetor. Para que o quatérnio represente a atitude de um nanossatélite, é necessário que ele sempre possua uma magnitude unitária (Ruiter et al.

27 CAPÍTULO 2. FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA ), ou seja: ɛ ɛ + η 2 = 1 (2.12) Ao considerar o sistema de coordenadas fixo no nanossatélite F s, a atitude do nanossatélite em relação ao sistema de coordenadas F G, representada por meio da matriz de rotação, pode ser obtida por meio da seguinte equação (Ruiter et al. 2013): onde a rotação no sentido contrário é obtida por: 2.2 Tempo de Referência R s G = I 2ηɛ + 2ɛ ɛ (2.13) R s G = I + 2ηɛ + 2ɛ ɛ (2.14) Para simular a dinâmica dos corpos celestes é necessário definir uma data de referência, para que se possa determinar a posição relativa dos astros. Para lidar com esta questão, diversos padrões foram criados, o que pode gerar dúvidas no momento de sua utilização. Inicialmente é necessário descrever duas medições de tempo utilizadas para caracterizar o movimento de nanossatélites. A primeira é o intervalo de tempo entre dois eventos, utilizado para determinar as informações como período da órbita ou o tempo em que um sensor deve ficar observando um determinado astro. A segunda é a medição absoluta ou associada a um calendário ou marco, usada para especificar o momento em que um evento ocorre, tal como a posição de um astro relativo à Terra ou ao nanossatélite (Wertz 1978). A utilização das informações de ano, mês, dia, hora, minuto e segundo para determinar o instante no qual um evento astronômico ocorre é de fácil interpretação por humanos. Contudo, para a execução de algoritmos computacionais, não é o formato mais adequado. Para superar esta dificuldade, diversos padrões de contadores incrementais foram propostos, que medem o tempo decorrido a partir de um momento específico. O padrão utilizado para efetuar a contagem do tempo, muito comum na astronomia, é conhecido como Dia Juliano (JD), onde o tempo começou a ser contado em dias a partir do dia 1 o de janeiro de 4713 a.c. ao meio-dia da longitude 0 o (Wertz 1978). Outro padrão muito adotado é definido como JD2000, que utiliza o dia 1 o de janeiro de 2000 d.c. ao meio-dia da longitude 0 o como referência inicial, e isto significa que há uma diferença de dias em relação ao sistema Juliano original. (McClain & Vallado 1997). Ambos os padrões são baseados no tempo que a Terra leva para completar uma rotação completa em relação ao Sol. Porém, o movimento de rotação da Terra apresenta irregularidades e, para lidar com esse problema, criou-se o conceito de tempo universal, UT. Fundamentado no movimento fictício médio do Sol, o tempo universal é uma função matemática do tempo sideral 2, que apresenta grande regularidade ao longo do ano (Wertz 1978). 2 O tempo sideral é definido como o tempo de trânsito de uma estrela sobre um determinado meridiano. Como as estrelas estão muito mais distantes do que o Sol, suas localizações relativas, vistas da Terra, não

28 CAPÍTULO 2. FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA 12 Atualmente, o tempo universal possui três variações, em que cada versão é usada para uma finalidade. Para este estudo foi adotado o padrão UT 1 como referência, pois o modelo matemático do Sol e as equações para determinar a mudança de coordenada de ECI para ECEF (Earth-Centred, Earth-Fixed) dependem deste padrão. Finalmente, visando auxiliar na compreensão das referências empregadas nas equações que fazem uso de variáveis dependentes do tempo de referência, as variáveis sempre apresentam subscrita a informação de qual sistema de referência a mesma pertence, como exemplo, JD UT1 (Dias Julianos medidos conforme o padrão UT1). Este trabalho não visa fornecer uma explicação detalhada de cada sistema de medição de tempo, mas apenas um informativo sobre o padrão utilizado. Assim, caso sejam necessárias mais informações, estas podem ser obtidas ao consultar McClain & Vallado (1997). 2.3 Modelo do Sol Para gerar as coordenadas que indicam a direção do Sol no referencial centrado na Terra, v G,sol, foi utilizado o modelo proposto por McClain & Vallado (1997). A solução analítica conhecida na astronomia como eclíptica, a posição do Sol é determinada por meio da avaliação de um conjunto de equações que descrevem a translação aparente do Sol em torno da Terra. O primeiro passo para definir a posição do Sol é calcular a quantidade de séculos por meio Equação (2.15) (McClain & Vallado 1997). T UT1 = JD UT , (2.15) onde T UT1 é o número de séculos julianos desde a época JD2000, de tal forma que T UT1 será negativo para todos os tempos ocorridos antes do ano 2000 (McClain & Vallado 1997). Obtida a informação do tempo calculado em séculos T UT1, é possível obter a longitude média do Sol ( v Sol ) em graus, conforme a seguinte equação (McClain & Vallado 1997): v Sol = 280, o , o T UT1 (2.16) Para os próximos passos, as equações utilizam o tempo medido em séculos conforme o padrão conhecido como Tempo Dinâmico Baricêntrico 3 (T TDB ). Contudo, visando simplificar as equações, foi considerado que o tempo T TDB = T UT1, conforme sugerido por McClain & Vallado (1997). Portanto, por meio dessa simplificação, a anomalia média do Sol ( ϒ Sol ) em graus é fornecida pela seguinte expressão (McClain & Vallado 1997): ϒ Sol = 357, o ,05034 o T UT1 (2.17) mudam muito durante o ano. 3 O Tempo Dinâmico Baricêntrico é uma escala de tempo relativística, destinada ao uso astronômico para levar em conta a dilatação do tempo.

29 CAPÍTULO 2. FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA 13 A órbita da Terra é aproximadamente circular, permitindo que a longitude (v eclíptica ) e a latitude (Φ eclíptica ) eclíptica do Sol possam ser aproximadas respectivamente pelas expressões (McClain & Vallado 1997): v eclíptica = v Sol + 1, o sen( ϒ Sol ) + 0, o sen(2 ϒ Sol ) Φ eclíptica = 0 o (2.18) Para obter o vetor de direção do Sol, também é necessário considerar o efeito da inclinação da Terra. Conforme McClain & Vallado (1997), uma expressão simplificada para determinar a inclinação da eclíptica é fornecida por: E = 23, o 0, o T UT1 (2.19) onde E é a inclinação da eclíptica, calculada em graus. Finalmente, o vetor unitário que informa a direção do Sol, representado no sistema de referência Inercial Centrado na Terra (ECI), é obtido ao utilizar os resultados das Equações (2.19) e (2.18) conforme a seguinte expressão: cos(v eclíptica ) v G,sol = cos(e )sen(v eclíptica ) (2.20) sen(e )sen(v eclíptica ) 2.4 Modelo Geomagnético Visando estimar a atitude do nanossatélite em relação à Terra, uma das informações necessárias neste trabalho é a direção do campo magnético. Para obter este vetor foi utilizado o IGRF versão 12, onde o campo magnético B é obtido em termos de um potencial escalar magnético V dado por B = V, sendo V modelada por uma série de harmônicos esféricos, dada por (Thébault et al. 2015): ( ) N n+1 b n [ ( V (r,v,φ cl,t ) = b n=1 r g m n (T )cos(mv) + h m n (T )sen(mv)pn m cos(φcl ) )] m=0 (2.21) onde r é a distância ao centro da Terra, b = 6371, 2 km é o raio esférico médio geomagnético da Terra, v é a longitude geocêntrica, Φ cl é a colatitude geocêntrica, T é o tempo contado em anos a partir do ano zero d.c. e Pn m (cos(φ cl )) é denominado de Schmidt quase normalizado associado a funções de Legendre de grau n e ordem m. Os coeficientes g m n (T ) e h m n (T ) são denominados de coeficientes de Gauss, que são constantes e obtidos empiricamente (Thébault et al. 2015). Visando utilizar IGRF nesta dissertação, optou-se pela utilização do algoritmo disponível em linguagem Matlab, que implementa as equações do IGRF versão 12, e disponibilizado na Internet por Compston (2016). Para utilizar este algoritmo, as seguintes informações devem ser fornecidas: Latitude geocêntrica Φ da posição do nanossatélite

30 CAPÍTULO 2. FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA 14 Longitude geocêntrica v da posição do nanossatélite Distância do nanossatélite ao centro da Terra Tempo de referência. O valor deste tempo é medido em dias contados a partir de 1 o de janeiro do ano zero d.c. à zero hora na longitude 0 o, denominado de JD0 UT 1. Para utilizar o IGRF é necessário empregar outro modelo que permita efetuar a simulação do nanossatélite em órbita e, deste modo, extrair as informações necessárias. Por esta razão, optou-se por utilizar o algoritmo conhecido como SGP4 (Simplified General Perturbations 4), apresentado na Seção 2.5, para calcular a posição do nanossatélite em sua órbita. Portanto, uma vez determinada a posição do nanossatélite em torno da Terra por meio do SGP4, em conjunto com o tempo de referência medido em JD UT 1, as etapas necessárias para obter o vetor v G,mag são apresentadas no diagrama de blocos da Figura 2.4. r G ECI ECEF v r e B n B e v G,mag ECEF Geoc Φ IGRF 12 NED ECEF ECEF ECI r e JD UT 1 JD UT 1 JD0 UT 1 Figura 2.4: Diagrama de blocos das etapas para o cálculo da direção do campo magnético terrestre onde, nessa figura, a definição das variáveis e as operações realizadas nos blocos são: JD UT 1 JD0 UT 1 : A conversão é realizada ao subtrair o valor de ,5 da variável JD UT 1. ECI ECEF: Trata-se da conversão das coordenadas do nanossatélite r G, representado em ECI, para o sistema de coordenadas ECEF, por meio da utilização da matriz de rotação, onde a operação realizada foi r e = R ECEF ECI r G. Para calcular os parâmetros dessa matriz, foi utilizado o algoritmo disponibilizado na Internet por Vallado (2017). ECEF Geoc: Após obter as coordenadas de posição do nanossatélite no referencial ECEF, r e, é necessário auferir a posição do nanossatélite em termos da latitude (v), longitude (Φ) e altitude geocêntrica ( r e ). O algoritmo para efetuar a conversão é fornecido por Compston (2016). IGRF12: Este bloco fornece as coordenadas da direção do campo magnético, representado pela variável B n, no sistema de coordenadas NED (North East Down) conforme informado no Apêndice B. NED ECEF: Ao utilizar o IGRF para calcular o vetor do campo magnético terrestre, este fornece B n conforme o sistema de coordenadas NED (Thébault

31 CAPÍTULO 2. FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA 15 et al. 2015) (Compston 2016). Assim, para obter as coordenadas conforme o sistema de coordenadas ECEF, deve-se utilizar a matriz de rotação R ECEF NED. A formulação desta matriz é apresentada por Cai et al. (2011), cuja expressão para a sua construção é apresentada na Equação (2.22), onde v e Φ são respectivamente a longitude e latitude geocêntricas da posição do nanossatélite. sen(φ) cos(v) sen(φ)sen(v) cos(φ) R ECEF NED = sen(v) cos(v) 0 (2.22) cos(φ) cos(θ) cos(φ)sen(v) sen(φ) ECEF ECI: Esta última operação visa determinar o vetor magnético no referencial ECI. A matriz de rotação, R ECEF ECI, necessária para realizar esta conversão, pode ser obtida por meio do reaproveitamento da matriz R ECEF ECI, uma vez que a rotação no sentido oposto é obtida por R ECI ECEF = R ECEF ECI. Dessa forma, ao aplicar todas as operações apresentadas por cada bloco na Figura 2.4, o resultado é a direção do campo magnético terrestre B G no sistema de coordenadas F G. Finalmente, para obter o vetor unitário da direção representado em F G, deve-se realizar a operação: v G,mag = B G (2.23) B G 2.5 Propagação da Órbita Conforme visto na seção anterior, uma das etapas necessárias para determinar a direção do campo magnético da Terra, e deste modo estimar a atitude, passa pela determinação da posição do nanossatélite em torno da Terra. Uma técnica utilizada para descrever a trajetória de dois corpos que interagem entre si, de acordo com a lei da gravitação de Isaac Newton, consiste na solução do "Problema dos dois corpos"proposta por Kepler. Essa abordagem é útil na determinação do formato, posição, velocidade e orientação das órbitas de planetas, nanossatélites naturais e cometas. Contudo, ela apresenta uma baixa acurácia, devido ao negligenciamento das seguintes perturbações para nanossatélites em órbita baixa 4 : O arrasto atmosférico. Perturbações gravitacionais da Lua e Sol. Formato irregular da Terra, que gera variações na força gravitacional. Pressão exercida pela radiação solar. Efeitos da relatividade geral. 4 Nanossatélites de baixa órbita possuem uma altitude máxima de 2000 km acima da superfície da Terra e um período orbital entre 84 e 127 minutos.

32 CAPÍTULO 2. FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA 16 Visando incluir os efeitos de algumas destas perturbações na predição da órbita, alguns algoritmos foram elaborados. Para o caso de nanossatélites de baixa órbita, um algoritmo muito adotado para efetuar a propagação de órbita é conhecido como SGP4 (Simplified General Perturbations 4). Originalmente proposto em 1970 por Hoots & Roehrich (1980) e posteriormente revisado por Vallado et al. (2006), este algoritmo fornece a base para o desenvolvimento da simulação do movimento de translação de nanossatélites em baixa órbita, em torno da Terra. O melhor desempenho do SGP4 é alcançado por meio da utilização de informações do arrasto atmosférico, radiação solar, irregularidades da Terra e os efeitos gravitacionais do Sol e da Lua (Aydın et al. 2015). Nesta dissertação, optou-se pela inclusão do SGP4 elaborado para Matlab, disponibilizada na Internet por Vallado (2017). Para usar o algoritmo, primeiro é necessário inicializar suas variáveis internas, cujo procedimento é realizado por meio da utilização do padrão TLE (Two Line Elements) que informa diversos parâmetros da órbita. Uma descrição mais detalhada do padrão TLE é apresentada no Apêndice A. Um conjunto de parâmetros, que podem ser empregados para definir a órbita por meio da TLE, é conhecido como Elementos Clássicos da Órbita, descrito pelas seguintes variáveis: a - Semieixo maior. Define a maior distância de um ponto ao centro da elipse. ξ - Excentricidade. Define o formato da elipse. ϒ - Anomalia Verdadeira. O ângulo formado a partir do perigeu e o vetor que define a posição do nanossatélite. Ω - Ascensão direta do nó ascendente. Ângulo de rotação no eixo z. i - Inclinação da órbita. Ângulo de rotação no eixo x. w - Argumento ou Ângulo do Periastro. Ângulo de rotação no eixo z. Para auxiliar na compreensão de como os Elementos Clássicos da Órbita são utilizados para determinar a trajetória do nanossatélite, a Figura 2.5 apresenta um exemplo, no qual a Terra está localizada no foco da órbita. Nesta figura, h é o vetor do momento angular da órbita, n é o vetor do nó ascendente e r é o vetor posição do nanossatélite que pode ser representado no referencial ECI por meio da expressão r = F G r G.

33 CAPÍTULO 2. FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA 17 Figura 2.5: Descrição da órbita por elementos orbitais. Adaptado: Ruiter et al. (2013) Outras informações importantes no processo de descrição da órbita na TLE são: Data de referência: Uma vez definida a órbita por meio dos Elementos Clássicos, é necessário informar a data de referência, ou seja, o momento em que o nanossatélite se encontra em uma determinada posição. Conforme o padrão da TLE a data de referência é composta pelo ano (Sétimo campo da segunda linha da TLE) e dias (Oitavo campo da segunda linha da TLE). Movimento médio: Fornece a informação de revoluções por dia. Além da TLE, o SGP4 requisita que seja informado o modelo da elipsoide de referência para Terra, com o objetivo de calcular as variações gravitacionais. Neste estudo foi utilizado o modelo matemático WGS84 (World Geodetic System 1984), cujo modelo aproxima a Terra por uma elipsoide. Após inicializar adequadamente o SGP4, para se obter a posição do nanossatélite no referencial ECI, basta informar o tempo transcorrido em minutos t m, a partir da data de referência informada na TLE. Para exemplificar, considere a data utilizada na TLE como 28/06/2018 à zero hora, zero minuto e zero segundo, caso seja necessário saber a posição do nanossatélite no dia 29/06/2018 ao meio-dia, basta encontrar os minutos existentes entre estas duas datas e utilizar a informação no SGP4 previamente inicializado. 2.6 Modelo do Nanossatélite Para descrever completamente o movimento de rotação apresentado por um corpo rígido é preciso utilizar as equações da dinâmica e da cinemática, necessárias para simular a atitude do nanossatélite. A dinâmica expressa a interação das forças e como estas afetam o nanossatélite no decorrer do tempo. A cinemática trata do estudo do movimento, independentemente das forças que o provocam.

34 CAPÍTULO 2. FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA 18 Conforme apresentado por Ruiter et al. (2013), as equações que descrevem a cinemática da atitude por meio do quatérnio é fornecida pela seguinte expressão: ɛ = 1 2 (ηi + ɛ )ω sg η = 1 2 ɛ ω sg (2.24) onde as variáveis ɛ e η compõem o quatérnio que representa a atitude do nanossatélite e ω sg é a velocidade angular do nanossatélite em relação ao sistema de coordenadas ECI. Para descrever a dinâmica de rotação do nanossatélite, utiliza-se a expressão conhecida como Equação do Movimento de Euler. Essa equação descreve a relação entre o torque aplicado no corpo do nanossatélite e a alteração da velocidade angular, fornecida pela seguinte expressão (Ruiter et al. 2013): J ω sg + ω sg Jω sg = τ s (2.25) onde τ s é o torque aplicado no corpo do nanossatélite e J é a matriz Tensor de Inércia. As equações (2.24) e (2.25) descrevem completamente a atitude do nanossatélite. Visando obter representações mais compactas, elas foram organizadas no formato de espaço de estados. Uma vez que a velocidade angular e o quatérnio são capazes de descrever o comportamento da atitude do nanossatélite, a seguinte variável de estado pode ser definida (Ruiter et al. 2013): x = ω sg ɛ η (2.26) onde x é um vetor que contém o estado do sistema. Ao avaliar as expressões das Equações Equações (2.24) e (2.25), a entrada do sistema é descrita pelo torque aplicado no nanossatélite e, desta forma, é possível definir u = τ s. Finalmente, ao considerar que a parte vetorial do quatérnio corresponde a saída do sistema, é possível definir z = ɛ. Como resultado, as seguintes funções podem ser definidas (Ruiter et al. 2013): f (x,u) = J 1 ( ω sg Jω sg + u) 1 2 (ηi + ɛ )ω sg 1 2 ɛ ω sg (2.27) g(x) = ɛ (2.28) Finalmente, as Equações (2.27) e (2.28) podem ser expressadas por: ẋ = f (x,u) (2.29) z = g(x) (2.30)

35 CAPÍTULO 2. FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA 19 onde z é um vetor que possui a saída do sistema, u é um vetor contendo a entrada do sistema. Estas equações serão importantes nos Capítulos 3 e 5, quando será examinado o procedimento para se estimar os estados do sistema, e também o procedimento para realizar a simulação numérica das equações da dinâmica e cinemática do nanossatélite.

36 Capítulo 3 Sistema de Navegação A maior dificuldade envolvida na determinação da atitude relaciona-se com a impossibilidade de medi-la diretamente. Por essa razão, o processo para estimar a atitude envolve a utilização de sensores que coletam a direção de alguns vetores, tais como a direção do Sol, da Lua ou do campo magnético, visando estimar indiretamente a orientação do nanossatélite (Ruiter et al. 2013). Assim, para calcular da atitude, faz-se necessária a utilização de ferramentas matemáticas que permitam inferir seu valor de forma indireta. Para isso, diferentes algoritmos podem ser utilizados os quais possuem, entre si, diferentes características sobre precisão e custo computacional (Habib 2013). Dentre os principais algoritmos, destacam-se: 1. TRIAD: Uma solução computacionalmente simples que calcula a atitude por meio de apenas dois vetores não paralelos. Este algoritmo é de fácil implementação e necessita de baixo processamento para ser executado (Ruiter et al. 2013). 2. Q-Method e QUEST: O Q-Method propõe a minimização de uma função de custo como forma de encontrar o quatérnio que indica a atitude, e o processo de minimização envolve encontrar os autovalores de uma matriz (Habib 2013). Realizar esses cálculos no computador de bordo do nanossatélite não é trivial devido às limitações computacionais. Assim, para contornar o problema, foi desenvolvido o algoritmo QUEST (QUaternion ESTimator), que evita calcular os autovalores explicitamente. 3. Filtro de Kalman: É um método estatístico capaz de combinar as informações de diversos sensores, realizar previsões por meio do modelo dinâmico e cinemático e utilizar a atitude passada para encontrar uma estimativa para a atitude atual. Os métodos TRIAD, Q-Method e QUEST, apesar da simplicidade na sua implementação, são algoritmos que não possuem a capacidade de fornecer informações sobre a velocidade angular. Assim, devido à necessidade de algumas estratégias de controle em conhecer a velocidade angular, tais métodos não são adequados para o nanossatélite equipado apenas com sensor solar e magnético. Todavia, o Filtro de Kalman, por ser um estimador de estados, permite inferir informações sobre a velocidade angular. Ademais, conforme Habib (2013) o Filtro

37 CAPÍTULO 3. SISTEMA DE NAVEGAÇÃO 21 apresenta um melhor resultado na estimação da atitude, apesar de o seu custo computacional elevado. Assim, o Filtro de Kalman torna-se a opção adequada para o nanossatélite neste estudo. Para auxiliar na compreensão de todos os subsistemas existentes no sistema de navegação, que utiliza apenas o sensor solar e magnético para determinar as informações do nanossatélite, foi elaborado o diagrama de blocos na Figura 3.1. TLE Sistema de Navegação Data/Hora Conversor de t m Predição da r G Tempo Órbita JD UT1 Modelo do Campo Magnético v G,mag Modelo da Posição do Sol v G,sol Filtro de Kalman ˆω sg ˆɛ ruído τ s,c q = [ɛ η] Sensores v s,mag v s,sol v G,Sol v G,mag Figura 3.1: Sistema de Navegação (Estimação da Atitude) Em síntese, a função de cada bloco na Figura 3.1 é: Sensores: Esse bloco representa os sensores utilizados para medir a direção do Sol e do campo magnético no referencial F s. Conversor de Tempo: O bloco efetua a conversão do tempo para os padrões requisitados pelos demais blocos. Essa conversão é necessária devido à formulação dos modelos matemáticos. Modelo da Posição do Sol: O bloco fornece o vetor unitário que informa a direção Sol, conforme o sistema de referência F G. Modelo do Campo Magnético: O bloco fornece o vetor unitário que informa a direção do campo magnético terrestre, conforme o sistema de referência F G. Predição da Órbita: É responsável pela determinação da posição do nanossatélite em sua órbita em torno da Terra. Para recriar o movimento de translação do nanossatélite, foi utilizado o algoritmo SGP4, desenvolvido especificamente para nanossatélites de baixa órbita. Filtro de Kalman: Estimador de estados utilizado para encontrar a atitude e velocidade angular do nanossatélite. Para o funcionamento deste bloco é

38 CAPÍTULO 3. SISTEMA DE NAVEGAÇÃO 22 necessário informar a direção dos vetores nos referenciais F s e F G, bem como o torque aplicado pela ação de controle. Como resultado, são obtidas as estimativas de ˆω sg, ˆη e ˆɛ. Uma característica importante do Filtro de Kalman é que ele foi originalmente desenvolvido para estimar os estados de sistemas lineares. Entretanto, as equações da dinâmica e cinemática do nanossatélite são não lineares e, por essa razão, é necessária a utilização da versão conhecida como Filtro de Kalman Estendido (EKF - Extended Kalman Filter) que permite estimar os estados de sistemas não lineares. O princípio básico para utilizar o EKF é a linearização e discretização das equações do nanossatélite, próximo ao ponto de operação. A alternativa utilizada nesta dissertação é a versão apresentada por Ruiter et al. (2013). 3.1 Filtro de Kalman Estendido O Filtro de Kalman Estendido foi concebido para lidar com sistemas dinâmicos não lineares, sendo amplamente utilizado no processamento de estimativas de sinais. O procedimento geral para projetar esse Filtro é encontrar um modelo linear (por meio da linearização) e discreto que represente o comportamento da atitude do nanossatélite, pela seguinte expressão: x k = F k 1 x k 1 + G k 1 u k 1 + L k 1 β k 1 y k = H k x k + M k γ k (3.1) onde x k é o estado atual do sistema; u k 1, o torque gerado pelo controlador no instante anterior; F k 1 é a matriz de transição de estados, responsável por determinar a dinâmica do sistema; β k 1, o ruído branco existente no processo 1 ; H k é a matriz de saída que fornece uma relação entre os estados atuais e as medidas esperadas dos sensores; γ k, o ruído relacionado com os sensores; e M k, G k 1 e L k 1 são matrizes de ganhos. Para o funcionamento adequado do Filtro, é necessário considerar que os ruídos existentes possuam o comportamento de ruído branco. Assim, os ruídos presentes nos sensores devem apresentar uma distribuição de probabilidade gaussiana com média igual a zero e covariância R, N (0, R). Os ruídos do processo devem apresentar uma distribuição de probabilidade gaussiana com média igual a zero e covariância Q, N (0, Q). Também é importante destacar que não deve existir correlação entre os sinais de ruído, ou seja, E[γ k β k ] = 0 para todo k (Ruiter et al. 2013). O algoritmo do Filtro é organizado em uma estrutura conhecida como preditor-corretor, que funciona de forma sequencial com o objetivo de encontrar a estimativa de variância mínima para o estado x k da Equação (3.1). De forma resumida, essa estrutura funciona do seguinte modo: Preditor: Nesta etapa, o Filtro buscará obter a melhor estimativa para o estado atual, por meio da utilização da estimativa anterior e do torque aplicado pela ação de 1 Trata-se de torques aleatórios aplicados no corpo do nanossatélite devido às perturbações externas ou internas existentes.

39 CAPÍTULO 3. SISTEMA DE NAVEGAÇÃO 23 controle no nanossatélite, sendo essas informações utilizadas no modelo cinemático e dinâmico implementado no Filtro. O resultado é denominado de estimativa do estado previsto ou a priori. Nas equações do Filtro, a variável ˆx k é empregada para representar esse estado. Correção: Visa efetuar a correção da estimativa a priori por meio da utilização das medidas realizadas pelos sensores. O resultado é denominado de estado corrigido ou de estimativa do estado a posteriori. A variável ˆx k é utilizada para representar a estimativa após a correção. As relações existentes entre as etapas previsão e correção podem ser mais facilmente compreendidas por meio da Figura 3.2, onde o diagrama de blocos demonstra as entradas necessárias para cada etapa, bem como o fluxo das informações e os resultados obtidos. τ s,c,k 1 v G,mag,k v s,mag,k v G,Sol,k v s,sol,k ˆx k 1 Previsão ˆx k Correção ˆx k Figura 3.2: Diagrama de blocos das etapas de previsão e correção do Filtro de Kalman no instante k No diagrama de blocos da Figura 3.2, v s,sol,k e v s,mag,k são as coordenadas obtidas pelos sensores no referencial fixo no nanossatélite F s no instante k, v G,Sol,k e v G,mag,k são as coordenadas obtidas com uso dos modelos matemáticos no referencial inercial F G no instante k, e τ s,c,k 1 é o torque aplicado pelo controlador no instante k 1. Com o Filtro de Kalman é possível calcular diretamente as covariâncias associadas às estimativas dos estados, fornecendo uma medida da incerteza (ou confiança) das estimativas dos estados do sistema (Ruiter et al. 2013). As incertezas relacionadas com os estados são obtidas pelo procedimento a seguir. Considere o erro entre o estado verdadeiro e a estimativa do estado corrigido como e k = x k ˆx k e o erro entre o estado verdadeiro e a estimativa do estado previsto como e k = x k ˆx k. As relações das matrizes de covariâncias a priori P k, e a posteriori P k, com as informações dos erros são: P k = E[e k (e k ) ] = E[(x k ˆx k )(x k ˆx k ) ] P k = E[e k e k ] = E[(x k ˆx k )(x k ˆx k ) ] (3.2) Assim, caso os valores de P k sejam pequenos, é possível dizer que ˆx k é uma boa aproximação do estado verdadeiro de x k. Contudo, caso os valores de P k sejam "grandes", não é possível confiar nos estados estimados por ˆx k (Ruiter et al. 2013).

40 CAPÍTULO 3. SISTEMA DE NAVEGAÇÃO 24 Outra característica que precisa ser considerada durante o procedimento de estimação é que o quatérnio deve sempre manter a sua dimensão unitária, conforme apresentada pela Equação (2.12). Originalmente, o Filtro de Kalman Estendido não possui um mecanismo que garanta a dimensão unitária do quatérnio e, por esta razão, Ruiter et al. (2013) apresenta uma alteração no algoritmo original do Filtro, introduzindo uma restrição na norma do quatérnio. Portanto, visando utilizar o Filtro de Kalman Estendido com restrição de norma como o estimador de estados do nanossatélite, nas seções a seguir são apresentados os modelos lineares e discretos para a atitude e para a medição dos estados. Em sequência, são apresentadas as equações para implementar a estrutura preditor-corretor, conforme Ruiter et al. (2013) Discretização e Linearização da Atitude Conforme visto na Seção 2.6, o sistema não linear é descrito pela Equação (2.29). Essa equação foi abaixo transcrita, onde o ruído β foi incluído (Ruiter et al. 2013). J 1 ( ω sg ω sg Jω sg + u + β) ɛ 1 = 2 (ηi + ɛ )ω sg η }{{} 1 (3.3) 2 ɛ ω sg ẋ }{{} f (x,u,β) O procedimento adotado para discretizar a Equação (3.3) é conhecido como backward difference. Esse procedimento consiste em aproximar a derivada contínua pela seguinte expressão (Seborg et al. 1989): ẋ = x k x k 1 (3.4) t onde t = t k t k 1 representa o intervalo de tempo entre x k e x k 1, sendo equivalente ao período da amostragem do Filtro. Ao aplicar esse procedimento na Equação (3.3), onde ẋ = f (x,u,β), o seguinte resultado é obtido: x k = x k 1 + t f (x k 1,u k 1,β k 1 ) (3.5) onde x k = [ω sg,k ɛ k η k ] é o estado atual do sistema e u k 1 é a ação de controle que é constante no intervalo de t k 1 e t k. Para obter o sistema discreto e linear, Ruiter et al. (2013) utiliza-se a expansão da série de Taylor para as variáveis x k e β k, com a aplicação de pequenas perturbações δx k e δβ k próximo ao ponto de operação x k. Conforme apresentado por Ruiter et al. (2013), o resultado desta linearização é: x k = F k 1 x k 1 + u k 1 + L k 1 β k 1 (3.6)

41 CAPÍTULO 3. SISTEMA DE NAVEGAÇÃO 25 onde as matrizes F k 1 e L k 1 são: J 1 [ ω sg,k 1 J + (J ω sg,k 1) ] 0 0 F k 1 = I + t 1 ( η 2 k 1I + ɛ k 1 ) 1 2 ω 1 sg,k ɛ k ω sg,k 1 0 L k 1 = t J ω sg,k 1 (3.7) (3.8) onde F k 1 é a matriz de transição discreta e linear do sistema, L k 1 é uma matriz de ganhos dos ruídos do processo e I é uma matriz identidade. As variáveis ω sg,k 1, ɛ k 1 e η k 1 são respectivamente a velocidade angular e os componentes do quatérnio que representam a atitude, utilizados como ponto de operação durante o procedimento de linearização. Para encontrar os valores dos termos que compõem a matriz F k 1, deve-se empregar a melhor estimativa para o ponto de operação x k 1, ou seja, é utilizada a estimativa a posteriori, ˆx k 1, para calcular a respectiva matriz a cada intervalo de operação (Ruiter et al. 2013). Quanto a matriz L k 1, ao considerar que o intervalo de tempo t não sofre variação e que o Tensor de Inércia J é constante, essa matriz apresenta um valor contante durante toda a simulação Discretização e Linearização da Medição dos Sensores O objetivo desta seção é encontrar uma função linear e discreta para a modelagem da leitura dos sensores y k, conforme a seguinte expressão: y k = H k x k + M k γ k (3.9) onde x k é o estado atual do sistema, H k é a matriz de medição que correlaciona x k com os valores medidos pelos sensores y k, γ k é o ruído relacionado com os sensores e M k é uma matriz de ganhos. Para encontrar a matriz H k, faz-se necessário primeiro determinar a equação de medição em tempo contínuo. Ruiter et al. (2013) apresenta uma abordagem através de quatérnio que permite realizar a rotação de v G e obter sua representação no corpo do nanossatélite. Como ponto de partida, deve-se considerar as coordenadas v G de um vetor qualquer obtido no referencial F G, e sua correspondente coordenadas v s medidas no corpo do nanossatélite F s ; a relação de rotação é obtida por: v s = R s G v G = Y (v G, q s G )q s G = [ ηi ɛ ɛ ][ ] [ ] v G v G ɛ (3.10) v G 0 }{{} Y (v G, q s G ) η }{{} q s G Este estudo considera que o nanossatélite está equipado com dois sensores, um para medir a direção do Sol, v G,sol, e outro para medir a direção do campo magnético,v G,mag.

42 CAPÍTULO 3. SISTEMA DE NAVEGAÇÃO 26 Assim, a expressão que retorna o valor de y com base no estado interno do sistema é (Ruiter et al. 2013): [ ] 0 Y (vg,sol, q y = s G ) x + γ (3.11) 0 Y (v G,mag, q s G ) onde a variável de estado x = [ω sg ɛ η] possui a informação da atitude do nanossatélite, conforme apresentado na Equação (3.3) e γ é o ruído dos sensores. Por meio da Equação (3.11) é possível determinar a sua versão em tempo discreto. Conforme apresentado por Ruiter et al. (2013), o modelo em tempo discreto é obtido por: [ ] 0 Y (vg,sol,k, q y k = s G,k ) x 0 Y (v G,mag,k, q s G,k ) k + γ k (3.12) = h k (x k,γ k ) onde q s G,k = [ɛ k η k ] corresponde à atitude, q s G no instante k, e v G,sol,k e v G,mag,k são as respectivas coordenadas de v G,sol e v G,mag calculadas no instante k. Para linearizar a Equação (3.12), Ruiter et al. (2013) utiliza a expansão em série de Taylor para as variáveis x k e γ k, com a presença de pequenas perturbações δx k e δγ k em torno de um ponto de operação x k. Conforme apresentado por Ruiter et al. (2013), o resultado desta linearização é: y k = H k x k + M k γ k (3.13) onde H k é a matriz de medição e M k, a matriz de ganhos dos ruídos dos sensores, expressas por: [ ] 0 Ȳ (vg,sol, q H k = k ) M 0 Ȳ (v G,mag, q k ) k = I (3.14) onde q k = [ ɛ k η k ] é a atitude empregada como ponto de operação para a linearização, no instante k. Para encontrar os valores dos termos que compõem a matriz H k, foi empregada a melhor estimativa para o ponto de operação q k, ou seja, foi empregada a estimativa a priori da atitude ˆq k = [(ˆɛ k ) ˆη k ] (Ruiter et al. 2013). A matriz H k depende da linearização da expressão Y (v G, q s G ). Portanto, conforme apresentado por (Ruiter et al. 2013), a linearização dessa expressão é: [( (v Ȳ (v G, q k ) = Y (v G, q k ) + G ɛ ) ) k + v G η k + v (v G ɛ ki G ɛ ) ] k + v G η k (3.15) 3.2 Predição Nesta etapa, o algoritmo fornecerá uma estimativa a priori do estado atual do sistema, ou seja, uma estimativa de ˆx k. Existem duas opções para efetuar o cálculo, conforme proposto por Ruiter et al. (2013), sendo a primeira por meio da utilização do modelo discreto linearizado da atitude, de acordo com a seguinte equação: ˆx k = F k 1 ˆx k 1 + u k 1 (3.16) Entretanto, a Equação (3.16) é uma aproximação e apresenta certa imprecisão assim,

43 CAPÍTULO 3. SISTEMA DE NAVEGAÇÃO 27 conforme sugerido por Ruiter et al. (2013), uma opção mais precisa é calcular ˆx k por meio da integração numérica da equação diferencial da atitude, ou seja, pela seguinte expressão: ˆx k = ˆx tk k 1 + f ( ˆx k 1,u k 1,0)dt (3.17) t k 1 onde a função f () é fornecida pela Equação (3.3), considerando que o valor de β é igual a zero. O método utilizado para resolver a equação diferencial (3.3) com β = 0 foi o método de Runge-Kutta de quarta ordem. Finalmente, o próximo passo nesta etapa é calcular a nova matriz de covariância a priori, P k, fornecida pela seguinte expressão (Ruiter et al. 2013): P k = F k 1P k 1 F k 1 + L k 1Q k 1 L k 1 (3.18) onde Q k 1 = E[β k 1 β k 1 ] corresponde ao valor esperado dos ruídos do processo, causados pelos torques de perturbação (Ruiter et al. 2013). Cabe observar que para calcular P k é necessário calcular a matriz F k 1 com base na última melhor estimativa, ou seja, os valores apresentados por ˆx k 1 (Ruiter et al. 2013). 3.3 Correção Com base na estimativa a priori, ˆx k, obtida na etapa anterior, o algoritmo buscará aprimorar essa estimativa ao incorporar as informações obtidas dos sensores y k. Portanto, para realizar a correção, o Filtro de Kalman utiliza a seguinte expressão: ˆx k = ˆx k + K ke k ˆx k = ˆx k + K k(y k ŷ k ) (3.19) Para calcular as estimativas da leituras dos sensores, ŷ k, deve-se utilizar o modelo discreto não linear da Equação (3.12), avaliada na estimativa a priori, ˆx k, e com ruído γ k nulo, de acordo com a expressão (Ruiter et al. 2013): ŷ k = h k( ˆx k,0) (3.20) Neste ponto, uma alteração é realizada devido à necessidade de incluir a restrição da norma do quatérnio no Filtro de Kalman, que visa manter a dimensão unitária de ˆq k. Assim, o primeiro passo é decompor a variável de estado ˆx k em suas componentes de velocidade angular e quatérnio, ou seja, ˆx k = [ ˆω sg,k ˆq k ]. Ao aplicar essa decomposição na Equação (3.19), obtém-se: [ ˆωsG,k ˆq k ] = [ ] ˆω sg,k ˆq + k [ Kω,k K q,k ] (y k ŷ k ) (3.21) onde, ao utilizar a Equação (3.20), é possível reescrever as seguintes expressões: ) ˆω sg,k = ˆω sg,k + K ω,k (y k h k ( ˆx k,0) (3.22)

44 CAPÍTULO 3. SISTEMA DE NAVEGAÇÃO 28 ˆq k = ˆq k + K q,k (y k h k ( ˆx k,0) ) (3.23) A velocidade angular não possui restrições, permitindo que a Equação (3.22) seja utilizada para calcular a estimativa a posteriori. Contudo, o quatérnio ˆq k possui a restrição de que sua dimensão deve ser sempre unitária, impedindo o uso direto da Equação (3.23). Para contornar o problema, Ruiter et al. (2013) utiliza um procedimento de normalização durante a etapa de correção da estimativa ˆq k. Assim, visando apresentar as equações para ˆω sg,k e ˆq k, a Tabela 3.1 expõe as expressões para o cálculo das estimativas a posteriori, onde: P k = [ ] P 1,k P 2,k (3.24) W k = H k P k HT k + M k R k M k (3.25) Tabela 3.1: Cálculo das estimativas a posteriori por meio do Filtro de Kalman Estendido com restrição de norma Cálculo de ˆω sg,k Cálculo de ˆq k K ω,k = P 1,k H k W 1 k ) ˆω sg,k = ˆω sg,k + K ω,k (y k h k ( ˆx k,0) K q,k = P 2,k H k W 1 k b k = y k h k ( ˆx k,0) b k = b k W 1 k b k q k = ˆq k + K q,k b k K q,k = K q,k + 1 b ( ) 1 k q k 1 q k b k W 1 k ˆq k = ˆq k + K q,kb k Finalmente, para efetuar a atualização da matriz de covariância a posteriori P k, esta foi calculada de acordo com a fórmula de Joseph (Ruiter et al. 2013), conforme a expressão: onde a matriz K k é obtida por: P k = (I K k H k )P k (I K kh k ) + K k M k R k M k K k (3.26) K k = [ Kω,k K q,k ] (3.27) Com o objetivo de apresentar de forma resumida o algoritmo para a implementação deste Filtro de Kalman, todos as equações necessárias foram agrupadas na Tabela 3.2.

45 CAPÍTULO 3. SISTEMA DE NAVEGAÇÃO 29 Tabela 3.2: Resumo para execução do Filtro de Kalman Estendido com restrição de norma Variáveis x k = f k 1 (x k 1,u k 1,β k 1 ) y k = h k (x k,γ k ) x k = [ω sg,k q k ] q k q k = 1 Q = I ˆσ 2 Q (Torques aleatórios) R = diag{ ˆσ 2 s ˆσ 2 s ˆσ 2 s ˆσ 2 m ˆσ2 m ˆσ2 m} (Ruídos dos sensores) γ k N (0,R) β k N (0,Q) E[γ k β k ] = 0 Inicialização ˆx 0 = E[x 0 ] P 0 = E[(x 0 ˆx 0 )(x 0 ˆx 0 ) ] Previsão ˆx k = ˆx k 1 + tk f ( ˆx k 1,u k 1,0)dt t k 1 P k = F k 1 P k 1 F k 1 + L k 1Q k 1 L k 1 = [ ] P 1,k P 2,k Correção W k = H k P k HT k + M k R k M k K ω,k = P 1,k H k W 1 k ) ˆω sg,k = ˆω sg,k + K ω,k (y k h k ( ˆx k,0) K q,k = P 2,k H k W 1 k b k = y k h k ( ˆx k,0) b k = b k W 1 k b k q k = ˆq k + K q,k b k K q,k = K q,k + 1 b ( ) 1 k q k 1 q k b k W 1 k ˆq k = ˆq k + K q,kb k ( [ ] Kω,k P k = I K H k )P q,k k ( [ ] ) [ [ ] Kω,k Kω,k I K H k + q,k K ]M k R k M Kω,k q,k k K q,k

46 CAPÍTULO 3. SISTEMA DE NAVEGAÇÃO Simulação dos Sensores Para simular as informações geradas pelos sensores no corpo do nanossatélite, foram utilizados os vetores de direção do campo magnético e do Sol calculados no referencial fixo na Terra F G, onde, ao realizar uma rotação desses vetores, foram obtidas as respectivas coordenadas de direção no referencial fixo no nanossatélite F s. Para realizar essa rotação, foi utilizada a seguinte equação: v s = R s G v G + γ (3.28) onde γ é o ruído com distribuição de probabilidade normal, média zero e variância σ, v G representa as coordenadas no referencial F G, R s G é a atitude real do nanossatélite obtida por meio da simulação numérica e v s representa as coordenadas no referencial F s.

47 Capítulo 4 Controle de Atitude O controle de atitude está relacionado à utilização de técnicas que visam manter a orientação do nanossatélite dentro de uma faixa de valores aceitáveis para uma missão. No espaço, o nanossatélite deve apontar um instrumento ou uma antena para uma determinada localização. Contudo, esses estão vulneráveis a diversas perturbações que causam a perda de sua orientação. Assim, para garantir que o objetivo da missão seja atingido, é necessário que exista algum sistema que permita manter a atitude estável (Ruiter et al. 2013). Desse modo, é necessário que um sistema de controle ativo seja embarcado no nanossatélite. Resumidamente, o controlador, em conjunto com o atuador, aplicará torques no corpo do nanossatélite visando garantir a atitude desejada. Com o objetivo de auxiliar na compreensão do sistema em malha fechada, o diagrama de blocos da Figura 4.1 descreve as interações existentes entre o controlador, sistema de navegação e sensores. Perturbação Zero + Controlador + + Nanossatélite q = [ɛ η] Data/Hora τ s,c Ruído ˆɛ, ˆω sg Navegação v s,sol v s,mag Sensores q TLE v G,mag v G,Sol Figura 4.1: Estrutura típica de uma malha de controle de nanossatélite Ao considerar a estrutura apresentada na Figura 4.1, a função e a sequência de operação dos blocos são realizadas na seguinte ordem: 1. Sensores: Para este estudo, foi considerado que o nanossatélite está equipado apenas com sensores capazes de medir a direção do Sol e do campo magnético.

48 CAPÍTULO 4. CONTROLE DE ATITUDE 32 Assim, este bloco é responsável por simular o comportamento desses instrumentos. O procedimento utilizado para simular é abordado na Seção Navegação: Conforme apresentado no Capítulo 3, o sistema de navegação é responsável por estimar a atitude e a velocidade angular. Para realizar este processo, é necessário conhecer a posição (informada no início da simulação por meio da TLE), o tempo de referência, os torques aplicados e as leituras dos sensores. 3. Controle: Uma vez que a atitude é estimada, o controlador é responsável por conduzir a velocidade angular e a atitude para a origem do sistema, ou seja, serão gerados torques com o objetivo de obter ω sg = [0 0 0] e ɛ = [0 0 0], permitindo o controle em três eixos. Essa ação de controle é equivalente a conduzir os Ângulos de Euler e a velocidade angular para zero. 4. Nanossatélite: Este bloco representa a atitude real do nanossatélite. Para simular o comportamento real, o bloco utiliza o método de Runge-Kutta de quarta ordem para efetuar a solução da Equação (2.27). 4.1 Lei de Controle A lei de controle adotada nesta dissertação é dada pela seguinte expressão (Ruiter et al. 2013): τ s,c = K p ɛ K d ω sg (4.1) onde K p = K p > 0 é uma matriz 3x3 com os ganhos proporcionais, K d = K d > 0 é uma matriz 3x3 com os ganhos derivativos, τ s,c é a ação de controle, ω sg é a velocidade angular e ɛ é a parte vetorial do quatérnio que representa a atitude. A análise de estabilidade por meio de Lyapunov demonstra que esse controlador possui a capacidade de conduzir a atitude e a velocidade angular a zero, independentemente das condições iniciais. Essa é uma propriedade muito útil quando são necessárias manobras de grande ângulo (Ruiter et al. 2013). Outra característica importante é que a sua estabilidade não depende do Tensor de Inércia. Deste modo, erros na estimativa do Tensor de Inércia, utilizado para definir os ganhos do controlador, não desestabilizarão o sistema em malha fechada (Ruiter et al. 2013). Uma vez que o controlador da Equação (4.1) garante a estabilidade do sistema em malha fechada para quaisquer ganhos positivos K p > 0 e K d > 0, uma questão importante é como selecionar os ganhos apropriados, conforme os requisitos de desempenho desejados. Para encontra os ganhos, o procedimento adotado consiste na determinação das funções de transferência para o sistema em malha fechada ao considerar pequenos ângulos e pequenas taxas de variação. Assim, as Seções e (4.1.2) visam obter a função de transferência para o nanossatélite e para o controlador de forma que possam ser empregadas técnicas tradicionais de definição dos ganhos.

49 CAPÍTULO 4. CONTROLE DE ATITUDE Função de Transferência da Atitude Para obter a função de transferência do nanossatélite, o procedimento empregado é considerar pequenas variações da atitude próximas à origem, ou seja, pequenos ângulos próximos de zero. De acordo com a Equação (2.11), os valores dos parâmetros que compõem o quatérnio podem ser aproximados por: η 1 ɛ 1 2 [φ θ ψ] [0 0 0] (4.2) Ao aplicar o resultado da Equação (4.2) na Equação (2.24), a seguinte aproximação para a cinemática é obtida (Ruiter et al. 2013): ɛ 1 2 ω sg η 0 (4.3) Com relação à equação dinâmica, Equação (2.25), abaixo transcrita, J ω sg + ω sg Jω sg = τ s para linearizar essa equação é necessário utilizar a expressão 2 ɛ ω sg, obtida da Equação (4.3). Ao derivar a expressão de ɛ, obtém-se 2 ɛ ω sg. Assim, ao efetuar as substituições de ω sg e ω sg, a seguinte expressão é obtida: 2J ɛ + 4 ɛ J ɛ = τ s (4.4) Ao considerar que as velocidades angulares são pequenas, o resultado da operação ɛ J ɛ tende a zero, possibilitando que esse termo seja removido da equação acima, resultando em: 2 ɛ = J 1 τ s (4.5) Outra consideração importante é utilizar J no sistema de referência que representa os Eixos Principais de Inércia, onde a diagonal representará os autovalores do Tensor de Inércia (Ruiter et al. 2013). Assim sendo, a Equação (4.5) pode ser reescrita como: ɛ = 1 2 λ λ λ 3 1 τ s (4.6) A Equação (4.6) apresenta três equações diferenciais, permitindo que cada controlador seja projetado de forma independente. Ao aplicar a transformada de Laplace na Equação

50 CAPÍTULO 4. CONTROLE DE ATITUDE 34 (4.6), tem-se: λ 1 s 2 1 ɛ(s) = 0 0 τ 2λ 2 s 2 s (s) (4.7) λ 3 s 2 onde essa expressão representa as funções de transferência da atitude. Ao analisar as expressões, a única diferença é o autovalor associado. Assim, para simplificar a representação da atitude, pode-se considerar a seguinte função de transferência em malha aberta: G ma (s) = 1 (4.8) 2λs 2 onde λ corresponde aos autovalores λ 1, λ 2 ou λ Função de Transferência em Malha Fechada Ao considerar que os ângulos são pequenos e próximos à origem, e que as velocidades angulares possuem valores pequenos, pode-se utilizar a aproximação obtida na Equação (4.3) na lei de controle da Equação (4.1), resultando em: τ s,c = K p ɛ 2K d ɛ (4.9) Considerando a função de transferência da Equação (4.8), conforme discutido por Ruiter et al. (2013), a aplicação dessa lei de controle para a correção da atitude é equivalente a um controlador proporcional em conjunto com uma planta aumentada. Assim, a Figura 4.2 representa o diagrama de blocos em malha fechada, considerando a planta aumentada, onde ɛ d é o sinal de referência. + + ɛ 1 ɛ d k p 2λs 2 τ s,c 2k d s Figura 4.2: Diagrama de blocos com um controlador proporcional e a planta aumentada. Adaptado de: (Ruiter et al. 2013) Ao considerar que K p e K d da Equação (4.9) são matrizes diagonais, a relação desses com os ganhos k p e k d dos controladores é obtida por: k p1 0 0 k d1 0 0 K p = 0 k p2 0 K d = (4.10) 0 0 k p3 0 k d k d3

51 CAPÍTULO 4. CONTROLE DE ATITUDE 35 Ao simplificar a representação do diagramas de blocos da Figura 4.2, é possível obter uma representação para a planta aumentada em conjunto com o controlador efetivo, conforme a Figura 4.3. τ s,c + 1 ɛ ɛ d k p 2(λs 2 + k d s) Figura 4.3: Diagrama de blocos da malha fechada modificada O diagrama de blocos da Figura 4.3 permite determinar a função de transferência de controle efetiva G c e a função de transferência para a planta aumentada G p, expressas por: G p (s) = 1 2(λs 2 + k d s) (4.11) G c (s) = k p (4.12) Por fim, a função de transferência do sistema em malha fechada é dada por: ɛ(s) ɛ d (s) = G p(s)g c (s) k p 1 + G p (s)g c (s) = ( ) 2λ ( ) (4.13) s 2 + kd λ s + kp 2λ

52 Capítulo 5 Resultados das Simulações Neste capítulo serão apresentados e discutidos os resultados de simulação obtidos pelos testes realizados com o Filtro de Kalman Estendido (sistema de navegação) e com o controlador PD. Para efetuar a simulação da atitude e das velocidade angular, foi utilizada a solução numérica da equação diferencial apresentada na Equação (5.1), onde, u representa o torque gerado pelo controlador (τ s,c ), e β é o torque causado pelas perturbações (τ s,p ). ω sg ɛ η = J 1 ( ω sg Jω sg + u + β) 1 2 (ηi + ɛ )ω sg 1 2 ɛ ω sg 5.1 Convergência do Filtro de Kalman (5.1) Nesta seção, foi realizada uma simulação com o objetivo de validar a implementação do Filtro de Kalman. Essa validação busca reproduzir a simulação elaborada por Ruiter et al. (2013), onde o nanossatélite ficará girando livremente, sem ação de controle. As etapas dessa da simulação são descritas pela Figura 5.1. Condições iniciais para o SGP4 e Filtro de Kalman Sensores Sistema de Navegação Simulação da Atitude Figura 5.1: Sequência de execução da simulação do sistema de navegação Os parâmetros utilizados para definir as condições iniciais são apresentadas nas Tabela 5.1.

53 CAPÍTULO 5. RESULTADOS DAS SIMULAÇÕES 37 Tabela 5.1: Características da simulação do nanossatélite Descrição da Variável Valor Perturbação constante τ s,p = [0 0 0] Velocidade angular inicial ω sg = [0,05 0,05 0,05] rad/s Atitude inicial ɛ = sen(0,5) 3 [1 1 1] ; η = cos(0,5) Ruído no nanossatélite σ Q = 0,001 Ruído do sensor magnético σ m = 0,01 Ruído do sensor solar σ s = 0,005 Tensor de Inércia J = diag{ } kg m 2 Período de amostragem do sistema 0,05 segundo Período de atualização das previsões 0,5 segundo Período de amostragem do Filtro 10 segundos Duração da Simulação 300 segundos Os parâmetros na Tabela 5.1 são empregados para definir as condições iniciais do nanossatélite, bem como as características da simulação. A descrição de alguns dos termos nessa tabela são: Perturbação constante: É um torque de valor constante aplicado no corpo do nanossatélite. Ruído no nanossatélite: São torques aleatórios aplicados no corpo do nanossatélite. Período de amostragem do sistema: É o tamanho dos passos utilizados na integração numérica. Os valores fornecidos pelo processo de integração numérica foram considerados como a atitude e velocidade angular real do nanossatélite. Período de amostragem do Filtro: É o período entre as leituras dos sensores e, consequentemente, é o mesmo período da execução da etapa de correção do Filtro de Kalman. Período de atualização das previsões: Refere-se ao período de execução da etapa de previsão do Filtro de Kalman. Devido às diferenças entre os tempos das etapas de previsão e correção do Filtro, significa que, neste caso específico, serão realizadas 20 etapas de previsão para uma de correção. Para simular o comportamento discreto do Filtro de Kalman, esse parâmetro define a duração da integração numérica, permitindo que o ciclo apresentado no Figura 5.1 seja executado. Para inicializar o Filtro de Kalman, foram empregados os critérios descritos na Tabela 5.2.

54 CAPÍTULO 5. RESULTADOS DAS SIMULAÇÕES 38 Tabela 5.2: Configurações iniciais do Filtro do Kalman Estendido com restrição de norma Descrição da Variável Valor Atitude inicial ˆq = [ ] Velocidade angular inicial ˆω sg = [0 0 0] Estimativa do ruído no nanossatélite ˆσ Q = 0,001 Estimativa do ruído do sensor solar ˆσ s = 0,01 Estimativa do ruído do sensor magnético ˆσ m = 0,005 Covariâncias dos ruídos no nanossatélite Q = I 3x3 ˆσ 2 Q Covariâncias dos ruídos nos sensores R = diag{ ˆσ 2 s ˆσ 2 s Covariâncias dos estados P 0 = I 7x7 0,1 ˆσ 2 s ˆσ 2 m ˆσ2 m ˆσ2 m} Para definir a posição inicial do nanossatélite em torno da Terra, a mesma foi descrita por meio dos Elementos Clássicos da órbita, conforme apresentados na Tabela 5.3. Tabela 5.3: Parâmetros da órbita do nanossatélite Descrição da Variável Valor ξ - Excentricidade da Órbita 0 i - Inclinação 87 o ϒ - Anomalia Verdadeira 0 o Ω - Ascensão direta do nó ascendente 0 o w - Argumento do Perigeu 0 o Perigeu 450 km acima da superfície Revoluções por dia 15,37599 Data do voo (Tempo de Referência) à 00h:00m:00s Uma vez definidas as características iniciais da órbita do nanossatélite, pode-se determinar o TLE empregado para inicializar o SGP4, de acordo com a Tabela 5.4. Tabela 5.4: TLE usado para a simulação da órbita do nanossatélite pelo algoritmo SGP4 Linha_1 = U ; Linha_2 = ; Após definir todos os parâmetros para a simulação, conforme os parâmetros nas Tabelas 5.1, 5.2 e 5.4, os seguintes resultados foram obtidos e apresentados nas Figuras 5.2 e 5.3:

55 CAPÍTULO 5. RESULTADOS DAS SIMULAÇÕES 39 Figura 5.2: Estimativa ˆɛ k (círculos vermelhos) e o valor real ɛ k (linha azul) Figura 5.3: Estimativa ˆω k (círculos vermelhos) e o valor real ω k (linha azul) As Figuras 5.2 e 5.3 apresentam um resultado similar aos alcançados por Ruiter et al.

56 CAPÍTULO 5. RESULTADOS DAS SIMULAÇÕES 40 (2013), onde o Filtro de Kalman convergiu após sete leituras dos sensores, equivalente a aproximadamente um minuto após o início da simulação. 5.2 Simulações com Controlador Nesta seção são apresentados os resultados de quatro casos distintos cujo objetivo é avaliar o funcionamento do Filtro de Kalman Estendido com restrição de norma, em conjunto com o sistema de controle do nanossatélite. De forma simplificada, as etapas das simulações podem ser descritas pela Figura 5.4. Condições iniciais para o SGP4 e Filtro de Kalman Sensores Sistema de Navegação Controlador Simulação da Atitude Figura 5.4: Sequência de execução da simulação do sistema de navegação em malha fechada Os parâmetros de simulação, comuns em todos os casos propostos, são apresentados nas Tabelas 5.5 e 5.6. Tabela 5.5: Características da simulação do nanossatélite para todos os casos Descrição da Variável Valor Tensor de Inércia J=diag{0,0547 0,0519 0,0574} kg m 2 Período de amostragem do sistema 0,05 segundo Período de amostragem do Filtro 1 segundo Período de amostragem do controlador 1 segundo Duração da simulação 180 segundos Na Tabela 5.5 o período de amostragem do controlador é referente ao período de atualização do sinal de controle. A cada período de amostragem do controlador, um novo sinal de controle é calculado e enviado para o sistema (nanossatélite).

57 CAPÍTULO 5. RESULTADOS DAS SIMULAÇÕES 41 Tabela 5.6: Configurações iniciais do Filtro do Kalman Estendido com restrição de norma Descrição da Variável Valor Condição inicial ˆq = [ ] Velocidade angular inicial ˆω sg = [0 0 0] rad/s Estimativa do ruído no nanossatélite ˆσ Q = 0,001 Estimativa do ruído do sensor solar ˆσ s = 0,1 Estimativa do ruído do sensor magnético ˆσ m = 0,05 Covariâncias dos ruídos no nanossatélite Q = I 3x3 ˆσ 2 Q Covariâncias dos sensores Covariâncias dos estados R = diag{ ˆσ 2 s ˆσ 2 s P 0 = I 7x ˆσ 2 s ˆσ 2 m ˆσ2 m ˆσ2 m} No sentido de avaliar o comportamento do controlador, operando com os valores de velocidade angular e atitude estimados pelo sistema de navegação, foi implementada a estratégia da Equação (4.1). Conforme apresentado no Capítulo 4, a determinação dos parâmetros K p e K d pode ser realizada ao utilizar a função de transferência da Equação (4.13). Para determinar os parâmetros do controlador, foi considerado que o comportamento em malha fechada do nanossatélite não deve apresentar sobressinal e deve possuir um tempo de assentamento de t s = 120 segundos com erro de 2%. Neste contexto, os polos do sistema devem ser todos reais, ou seja, sem parte imaginária, com o intuito de não produzir sobressinal. No caso do tempo de assentamento, esse pode ser obtido ao definir o primeiro polo como p 1 = 4/t s. Finalmente, com o propósito de alocar o segundo polo e garantir que a dinâmica do sistema, em malha fechada, seja governada pelo primeiro polo, o segundo foi posicionado em p 2 = 10p 1. A determinação dos ganhos para cada controlador é realizada ao comparar o denominador da Equação (4.13) com a expressão (s p 1 )(s p 2 ). Os valores de k p e k d para os controladores são apresentados na Tabela 5.7. Tabela 5.7: Parâmetros dos controladores do nanossatélite ID Descrição k p k d 1 Controlador 1 0, , Controlador 2 0, , Controlador 3 0, , Nos testes realizados a seguir, o controlador entra em operação no início da simulação e, deste modo, as ações de controle são calculadas com base em estimativas que possuem baixa confiança, ou seja, valores elevados na matriz de covariância, P k. Essa abordagem possui o propósito de avaliar a estabilidade do conjunto perante as condições consideradas desfavoráveis. No sentido de avaliar o funcionamento do Filtro de Kalman em conjunto com o controlador, foram simulados quatro casos distintos. As condições iniciais específicas de

58 CAPÍTULO 5. RESULTADOS DAS SIMULAÇÕES 42 cada caso são discutidas nas subseções correspondentes. Referente ao TLE necessário para inicializar o SGP4, foram utilizados os valores apresentados na Tabela Caso 1 O propósito desta avaliação é verificar o comportamento do nanossatélite na ausência de perturbações e/ou ruídos, quando o desvio inicial da atitude é pequeno e a velocidade angular inicial também é baixa. A Tabela 5.8 informa as condições iniciais do nanossatélite. Tabela 5.8: Caso 1 - Características da simulação Descrição da Variável Valor Atitude inicial ɛ = sen(0,1) 3 [1 1 1] ; η = cos(0,1) Velocidade angular inicial ω sg = [0,05 0,05 0,05] rad/s Perturbação constante τ s,p = [0 0 0] Ruído no nanossatélite σ Q = 0 Ruído do sensor magnético σ m = 0 Ruído do sensor solar σ s = 0 A seguir são apresentados os gráficos da parte vetorial do quatérnio, da velocidade angular e dos torques resultantes da simulação. Figura 5.5: Caso 1 - Parâmetros do vetor ɛ = [ɛ 1 ɛ 2 ɛ 3 ] que compõem o quatérnio

59 CAPÍTULO 5. RESULTADOS DAS SIMULAÇÕES 43 Figura 5.6: Caso 1 - Velocidade angular ω sg = [ω 1 ω 2 ω 3 ] Figura 5.7: Caso 1 - Torques aplicados pelo controlador

60 CAPÍTULO 5. RESULTADOS DAS SIMULAÇÕES 44 Nesta simulação, é possível observar por meio das Figuras 5.5 e 5.6 que o Filtro de Kalman convergiu com um tempo inferior a 0,25 minuto e o controlador foi capaz de corrigir a atitude dentro do especificado. Outra forma de avaliar a convergência do Filtro de Kalman é por meio da análise da Figura 5.8, que apresenta os erros entre os valores medidos pelos sensores e pelas estimativas das leituras dos respectivos sensores, dado pela relação e k = y k ŷ k presente na Equação (3.19). Figura 5.8: Caso 1 - Evolução dos erros nas estimativas de leitura dos sensores Os resultados da simulação demonstram que o sistema de navegação com e o controlador PD possuem um comportamento estável. Apesar dos erros existentes entre as variáveis estimadas (círculo vermelho) e as reais (linha azul), nas Figuras 5.5 e 5.6, o Filtro de Kalman convergiu rapidamente, permitindo que as ações de controle conduzissem o nanossatélite para a velocidade e atitude desejadas Caso 2 O intuito é verificar o comportamento do nanossatélite na presença de perturbações e ruídos, quando o desvio inicial da atitude é pequeno e a velocidade angular inicial é baixa. A Tabela 5.9 apresenta as condições iniciais do nanossatélite e as perturbações aplicadas. Tabela 5.9: Caso 2 - Características da simulação Descrição da Variável Valor Atitude inicial ɛ = sen(0,1) 3 [1 1 1] ; η = cos(0,1) Velocidade angular inicial ω sg = [0,05 0,05 0,05] rad/s Perturbação constante τ s,p = [ ] Ruído no nanossatélite σ Q = 0,001 Ruído do sensor magnético σ m = 0,1 Ruído do sensor solar σ s = 0,05

61 CAPÍTULO 5. RESULTADOS DAS SIMULAÇÕES 45 A seguir são apresentados os gráficos da parte vetorial do quatérnio, da velocidade angular e dos torques resultantes da simulação. Figura 5.9: Caso 2 - Parâmetros do vetor ɛ = [ɛ 1 ɛ 2 ɛ 3 ] que compõem o quatérnio

62 CAPÍTULO 5. RESULTADOS DAS SIMULAÇÕES 46 Figura 5.10: Caso 2 - Velocidade angular ω sg = [ω 1 ω 2 ω 3 ] Figura 5.11: Caso 2 - Torques aplicados pelo controlador

63 CAPÍTULO 5. RESULTADOS DAS SIMULAÇÕES 47 Neste caso, as perturbações aplicadas no nanossatélite e nos sensores causaram uma flutuação nos estados estimados (círculo vermelho) e nos valores reais da atitude e velocidade angular (linha azul), nas Figuras 5.9 e Porém, mesmo neste cenário, o Filtro de Kalman apresentou uma adequada convergência, permitindo que o controlador corrija a atitude e elimine as rotações do nanossatélite. Para avaliar o tempo de convergência do Filtro de Kalman, foi elaborada a Figura 5.12 que apresenta os erros entre os valores medidos pelos sensores e pelas estimativas das leituras dos respectivos. Devido à amplitude do ruído com relação aos estados estimados na Figura 5.12, não é possível efetuar uma avaliação precisa do tempo de convergência do Filtro. Por esta razão, pela avaliação dos gráficos nas Figuras 5.9 e 5.10, pode-se concluir que esta foi inferior a 0,25 minuto. Figura 5.12: Caso 2 - Evolução dos erros nas estimativas de leitura dos sensores Ao comparar os torques da Figura 5.7, com os torques da Figura 5.11, verifica-se que a amplitude das ações de controle foi superior no segundo caso. Devido à presença dos ruídos no processo e aos ruídos nos sensores, a estimação da atitude e velocidade angular apresenta uma perturbação que introduz erros. Neste cenário, o controlador apresenta uma atuação perene para manter a atitude, e consequentemente, essas ações causam um consumo de energia pequeno, porém constante. Os resultados da simulação demonstram que o sistema de navegação com o controlador PD possui um comportamento estável, mesmo quando submetidos a ruídos nos sensores e perturbações externas Caso 3 O objetivo desta avaliação é verificar o comportamento do nanossatélite na ausência perturbações e/ou ruídos, quando o desvio inicial da atitude é grande e a velocidade angular inicial é alta. A Tabela 5.10 informa as características iniciais da simulação do nanossatélite.

64 CAPÍTULO 5. RESULTADOS DAS SIMULAÇÕES 48 Tabela 5.10: Caso 3 - Características da simulação Descrição da Variável Valor Atitude inicial ɛ = sen(1) 3 [1 1 1] ; η = cos(1) Velocidade angular inicial ω sg = [0,5 0,5 0,5] rad/s Perturbação constante τ s,p = [0 0 0] Ruído no nanossatélite σ Q = 0 Ruído do sensor magnético σ m = 0 Ruído do sensor solar σ s = 0 Figura 5.13: Caso 3 - Parâmetros do vetor ɛ = [ɛ 1 ɛ 2 ɛ 3 ] que compõem o quatérnio A seguir são apresentados os gráficos da parte vetorial do quatérnio, da velocidade angular e dos torques resultantes da simulação.

65 CAPÍTULO 5. RESULTADOS DAS SIMULAÇÕES 49 Figura 5.14: Caso 3 - Velocidade angular ω sg = [ω 1 ω 2 ω 3 ] Figura 5.15: Caso 3 - Torques aplicados pelo controlador Ao comparar as Figuras 5.13 e 5.14 com as Figuras 5.5 e 5.6 é possível observar que o Filtro necessitou de um tempo mais longo para convergir, levando aproximadamente 0,3 minuto. Ao avaliar o tempo de convergência do Filtro de Kalman por meio dos erros entre os valores medidos pelos sensores e pelas estimativas das leituras dos respectivos, conforme apresentado na Figura 5.16 é possível verificar esse tempo mais longo para convergir.

66 CAPÍTULO 5. RESULTADOS DAS SIMULAÇÕES 50 Figura 5.16: Caso 3 - Evolução dos erros nas estimativas de leitura dos sensores Esse tempo mais longo é devido ao desvio existente entre a estimativa inicial do Filtro e os valores reais da atitude e da velocidade angular. Por meio dessa simulação, é possível observar a viabilidade de estimar a atitude e a velocidade angular do nanossatélite, usando apenas os dados medidos do magnetômetro e do sensor solar. O teste também demonstra que o controlador foi capaz de estabilizar o nanossatélite, eliminando a rotação inicial, conduzindo a sua atitude para a origem, ou seja, ɛ = 0. Embora as condições iniciais estejam longe do ponto de operação, consideradas durante a etapa de linearização e utilizadas para determinar os ganhos K p e K d, a resposta temporal em malha fechada apresentou um comportamento muito próximo dos requisitos definidos. No caso apresentado, ao aplicar um grande desvio inicial da atitude e uma alta velocidade angular, o Filtro de Kalman apresentou um bom desempenho, convergindo em um tempo inferior a 0,5 minuto. Quanto ao Filtro de Kalman Estendido, a matriz de transição de estados F k 1 é calculada em cada etapa de previsão, o que permite obter um modelo linear e discreto próximo ao ponto de operação a cada intervalo. Portanto, perante diferentes pontos de operação, o Filtro de Kalman Estendido estimou de forma adequada os estados do nanossatélite Caso 4 O propósito desta simulação é avaliar o comportamento do nanossatélite na presença de perturbações e/ou ruídos, quando o desvio inicial da atitude é grande e a velocidade angular inicial é alta. Desta forma, é possível avaliar o comportamento do nanossatélite em condições próximas às esperadas no espaço. A Tabela 5.11 informa as condições iniciais do nanossatélite e as perturbações aplicadas.

67 CAPÍTULO 5. RESULTADOS DAS SIMULAÇÕES 51 Tabela 5.11: Caso 4 - Características da simulação Descrição da Variável Valor Atitude inicial ɛ = sen(1) 3 [1 1 1] ; η = cos(1) Velocidade angular inicial ω sg = [0,5 0,5 0,5] rad/s Perturbação constante τ s,p = [ ] Ruído no nanossatélite σ Q = 0,001 Ruído do sensor magnético σ m = 0,1 Ruído do sensor solar σ s = 0,05 Abaixo são apresentados os gráficos da parte vetorial do quatérnio, da velocidade angular e dos torques resultantes da simulação. Figura 5.17: Caso 4 - Parâmetros do vetor ɛ = [ɛ 1 ɛ 2 ɛ 3 ] que compõem o quatérnio

68 CAPÍTULO 5. RESULTADOS DAS SIMULAÇÕES 52 Figura 5.18: Caso 4 - Velocidade angular ω sg = [ω 1 ω 2 ω 3 ] Figura 5.19: Caso 4 - Torques aplicados pelo controlador Pela avaliação dos gráficos das Figuras 5.17 e 5.18, apresar do ruído existente, é possível inferir que o tempo de convergência do Filtro foi de aproximadamente 0,3 minuto. Ao avaliar o tempo de convergência do Filtro de Kalman por meio dos erros, conforme apresentado na Figura 5.20 é possível verificar esse tempo para convergir.

69 CAPÍTULO 5. RESULTADOS DAS SIMULAÇÕES 53 Figura 5.20: Caso 4 - Evolução dos erros nas estimativas de leitura dos sensores Portanto, mesmo após a introdução dos ruídos, o tempo de convergência se manteve estável, quando comparado com o caso anterior. Ao avaliar o tempo de estabilização do nanossatélite, também é possível observar que o sistema de controle corrigiu a atitude e velocidade angular dentro das especificações desejadas. Esse comportamento demonstra a boa estabilidade e robustez dos algoritmos avaliados neste estudo, permitindo que o nanossatélite apresente um comportamento adequado, conforme demostrado nas Figura 5.17 e Visando avaliar o valor médio e variância dos valores estimados pelo Filtro de Kalman, foram utilizados os dados gerados no intervalo de 2,5 à 3 minutos da simulação, cujo resultados são apresentados na Tabela Os resultados apresentados nessa tabela demonstram que as variâncias apresentam valores inferiores, quando comparadas com os ruídos existentes, confirmando a robustez do Filtro (Habib 2013). Tabela 5.12: Avaliações dos gráficos 5.17 e 5.18 Descrição da Variável Variância de ˆɛ Variância de ˆω sg Valor [0,0006 0,0014 0,0007] [0,1188 0,0839 0,0948] 10 3 rad/s Portanto, mesmo perante valores elevados para a velocidade angular e grandes ângulos iniciais, por meio desta simulação é possível observar que o sistema de navegação em conjunto com o controlador PD apresentou uma resposta estável e convergente, mesmo na presença de perturbações externas e ruídos nos sensores.