ESTUDO NUMÉRICO DO EFEITO DE UMA MANOBRA ASSISTIDA POR GRAVIDADE CONSIDERANDO O SISTEMA TERRA-LUA.

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1 ESTUDO NUMÉRICO DO EFEITO DE UMA MANOBRA ASSISTIDA POR GRAVIDADE CONSIDERANDO O SISTEMA TERRA-LUA. Gabriela Martins Cruz 1, Jorge Kennety Silva Formiga² Faculdade de Tecnologia de São José dos Campos, Av. Cesare Mansueto Giulio Lattes, S/Nº - São José dos Campos SP Instituto Nacional de Pesquisas Espaciais/DMC, Av. Astronautas, São José dos Campos - SP ¹gabrielamartinscruz@hotmail.com, 2 jkennety@yahoo.com.br Resumo- Esse trabalho analisa as características orbitais de um veículo espacial, levando em consideração as manobras de swing-by de uma partícula no sistema Terra- Lua. Em manobras assistidas por gravidade, um veículo espacial faz uma passagem próxima de um corpo celeste para ganhar ou perder energia, velocidade e momento angular, diminuindo assim gastos de combustíveis em missões interplanetárias. Estas manobras assistidas por gravidade são denominadas manobras de swing-by. O objetivo deste trabalho é encontrar a variação da energia através dos valores do semi-eixo maior (a) e da excentricidade (e) antes e depois de cada manobra realizada. Na realização de múltiplas manobras de swing-by, será possível analisar também o número de manobras suficientes para o veículo escapar ou colidir com o planeta secundário do sistema definido. Palavras-chave: Manobras assistidas; Manobras de Swing-by; Excentricidade; Energia; Momento angular. Área do Conhecimento: Mecânica Celeste Introdução Segundo Prado e Broucke (1995), um veículo espacial é controlado por diversas forças físicas tais como: força gravitacional exercida pelos planetas e/ou pelo Sol, força atmosférica, força eletromagnética, pressão de radiação solar, além de seus próprios propulsores. As forças físicas tais como a distância e a duração da manobra podem ser decisivas para determinar a trajetória destes veículos espaciais em suas missões interplanetárias. A determinação das trajetórias nos veículos do sistema solar é de extrema importância para a análise das missões e deve levar em consideração o efeito gravitacional de diversos corpos que pode ser resolvido através de métodos já existentes, como visto na literatura de Prado (2001). Neste estudo, enfatizamos as trajetórias assistidas por gravidade, onde o método utilizado é conhecido por patched conic. Esse método tem como ideia básica um problema que pode assumir um sistema formado por três corpos, sendo eles: um primário de maior massa (M 1 ), um secundário de massa finita (M 2 ) e uma órbita com o corpo primário de uma partícula de massa infinitesimal (M 3 ). A partícula permanece orbitando o corpo primário e faz uma passagem próxima do secundário. De acordo com Formiga (2011), a descrição matemática das manobras espaciais em estudo consiste na mudança de trajetória que um veículo espacial de massa infinitesimal (M 3 ) executa quando passa próximo a um corpo de massa M 2 (M 2 >>M 3 ), com órbita em torno de um corpo de maior massa (M 1 >M 2 ). Devido à manobra de swing-by no plano, a aproximação do corpo M 3 com o corpo M 2 pode gerar uma perda ou um ganho de energia. Quando passa próximo do corpo secundário, a partícula pode ter sua energia, velocidade e elementos orbitais alterados, em relação ao corpo primário. A Figura 1 apresenta o principio de uma manobra de swing-by no plano onde os pontos A e B são os pontos onde podem ocorrer os encontros. Figura 1- Swing-by no Plano. (Adaptado de Prado, 2001). 1

2 Metodologia O modelo numérico será demonstrado para a determinação de parâmetros de uma nova trajetória após a manobra realizada por um corpo celeste, avaliando assim a variação de energia, momento angular e velocidade. O modelo matemático pode ser encontrado na literatura de Prado (2001) e Broucke (1988). A Figura 2 determina a posição de cada variável que serão encontradas com as equações abaixo, as quais determinam os elementos orbitais antes do encontro com o planeta. a ra rp 2 e 1 rp a E µ 2a C µ. a 1 e Onde: a= semieixo maior e= excentricidade C= momento angular E= energia ra= distância do apogeu rp= distância do perigeu (1) (2) (3) (4) (γ) e com isso, determinar a magnitude da velocidade do veículo espacial em relação ao planeta no momento do encontro (. γ tan e sin θ 1 e cos θ (7) V v ² v ² 2v v cosγ (8) Na Figura 2, pode-se observar a configuração da magnitude das velocidades, e a determinação do ângulo de aproximação ψ. Quando a rotação do vetor velocidade está no sentido horário, temse ψ 1, caso a rotação do vetor esteja no sentido anti-horário, teremos ψ 2. ψ 180º β δ (9) ψ 360º β δ Figura 2- Possibilidades de direção de deflexão do vetor velocidade. (Adaptado de Prado, 2001). Na Figura 3, é possível observar a configuração da magnitude das velocidades, e a determinação do ângulo de aproximação ψ. Onde β e são: β cos v v v 2. v. v (10) Figura 2- Swing-by no Plano. (Adaptado de Prado, 2001). A magnitude da velocidade do veículo espacial em relação ao Sol no momento que cruza a orbita do planeta (v i ) e os dois valores possíveis para relacionados respectivamente com os pontos A e B (Figura 1), são obtidas através das seguintes equações. v µ 2 r 1 a (5) δ sin 1 1 r v µ (11) θ cos 1 e a. 1 e 1 r (6) A seguir, pode-se encontrar o ângulo entre a velocidade inercial e o vetor velocidade do planeta Figura 3 Soma vetorial envolvida no swing-by. (Adaptado de Prado, 2001). µ p é a constante gravitacional do planeta em 2

3 que é realizada a manobra. Os respectivos valores de ψ, nos leva as seguintes conclusões sobre a energia após a manobra (PRADO, 2001): Se a manobra de swing-by passa pela frente de M 2, (0 < ψ <180 ), a energia de M 3 decresce e ocorre uma perda máxima quando ψ=90. Se a manobra de swing-by passa por trás de M 2, (180 < ψ < 360 ), a energia de M 3 aumenta e isso gera um ganho máximo quando ψ=270. Chegamos assim, a última parte do modelo matemático, que consiste na determinação da variação de energia ( E) variação de velocidade ( V) e momento angular ( C) após a manobra. fluxograma do programa desenvolvido para as manobras de swing-by. v 2 v sin δ (12) E 2 v. v sin δ sin ψ (13) C E (14) ω Em que é a velocidade angular entre os corpos primários, δ é o ângulo de deflexão e é a energia antes do encontro. Por fim, pode-se encontrar o valor de semi-eixo maior (a) e da excentricidade (e) depois da manobra utilizando o valor da variação da energia e do momento angular. a µ (15) 2E e 1 C ² µ. a (16) Segundo Felipe (2000) pode-se conferir os resultados das órbitas e classifica-las tendo como referência os valores da energia e momento angular, como pode ser observado na Tabela 1. Tipo de órbita Tabela 1- Tipos de órbitas Energia Momento angular Elíptica direta Negativa Positivo Elíptica retrógrada Negativa Negativo Figura 4 1- Fluxograma do programa. Resultado Sabe-se que ψ 1 realiza suas manobras por trás da Lua (M 2 ) e ψ 2 realiza as manobras por frente da Lua (M 2 ). A Figura 5 apresenta a obtenção do ângulo ψ 1 e ψ 2. Hiperbólica direta Positivo Positivo Hiperbólica Positivo Negativo retrógrada A partir do modelo matemático apresentado, foi desenvolvido um programa no software Fortran. Esse programa realiza os cálculos para a maior quantidade de manobras realizadas, apresentando a variação da energia com o número de manobras realizadas, excentricidade, semi-eixo maior e momento angular. A Figura 4 apresenta um Figura 5- Obtenção do ângulo ψ, (Adaptado de Prado, 2001). Ao verificar as simulações, pode-se analisar as 3

4 variações orbitais do veículo espacial na realização de múltiplas manobras. A tabela 2 apresenta os valores utilizados para a realização das manobras desse sistema. Tabela 2- Elemento Físico do sistema Terra- Lua, (Formiga, 2011). Diâmetro equatorial (km) Distância media para a Terra (10 3 km) Velocidad e orbital (km/s) µ lua = Gm (10 3 km 3 /s 2 ) 3474,8 384,4 1,022 4,91 Utilizando o programa Fortran, obtivemos os valores de ψ 1 e ψ 2. Esses valores apresentados na Tabela 3 mostram a variação de alguns elementos escolhidos para verificar o ganho de energia na realização de múltiplos swing-bys. Tabela 3- Número de manobras e Energia para o sistema Terra-Lua. Distância de aproximação (r ap ) (km) Ângulo de aproximação Número de manobras realizadas 1,1R L ψ 1 29 R L = raio da Lua ψ 2 48 Para gerar os gráficos com os valores de ψ 1 e ψ 2 utiliza-se valores fixos para a distância do apogeu (r a =768,81x10 3 km), distância do perigeu (r p =19,22x10 3 km) e velocidade (V 2 =1,022 km/s). A distância de aproximação do planeta é de r ap =1,1R L. 0,0-0,1-0,2-0,3-0, N u m e r o d e m a n o b ra s Figura 7- Energia x Excentricidade para ψ 1. Observa-se na Figura 7, que a energia fica positiva e antes que a excentricidade chegue a 1,0, a órbita passa a ser aberta e com isso, o veículo escapa. Figura 8- Energia x semi-eixo maior para ψ 1. Na Figura 8, observa-se um rápido aumento na energia, porém em um determinado ponto a energia permanece constante durante um intervalo. Isto significa que a manobra está estabilizada e o swing-by torna-se irrelevante. Após um intervalo de tempo, nota-se que a energia volta a aumentar tornando-se positiva, passando, assim, para uma órbita aberta (hiperbólica). 0,0-0,1-0,2-0,3-0,4 0,0-0,1-0,2-0,3-0,4-0,5 0, 0-0, 1-0, 2-0, 3-0, 4 0,9 2 0,9 3 0,9 4 0,9 5 0,9 6 0,9 7 0,9 8 0,9 9 1,0 0 E x c e n tr ic id a d e S e m i- e ix o m a io r x ( K m ) Figura 6- Energia x Número de manobras realizadas para ψ , 5 1, 5 2, 0 2,5 3, 0 M o m e n to a n g u la r x ( k m 2 /s ) Nota-se na Figura 6, que a energia aumenta para cada manobra realizada. Após realizar 30 manobras, a energia passa a ser positiva e o veículo escapa da órbita. Figura 9- Energia x momento angular para ψ 1. É possível observar na Figura 9, a uma órbita elíptica direta, onde a energia é negativa e o 4

5 momento angular positivo (ver Tabela 1). Quando a energia fica positiva sua órbita se torna hiperbólica, o que faz com que o corpo escape da órbita. Pode-se notar na Figura 12, que o semi eixo maior sofre uma pequena variação no aumento da energia. - 0,5-0,6-0,6-0,7-0,8-0,9-0,7-0,8-0,9-1,0-1, Figura 10- Energia x Número de manobras realizadas para ψ 2. As manobras realizadas na Figura 10 perdem a energia com o decorrer das 50 manobras, com isso o veículo espacial tende a colidir com o corpo M 2. -0,6-0,7-0,8-0,9-1,0 N ú m e ro d e m a n o b ra s 0,9 5 0,9 6 0,9 7 0,9 8 0,9 9 1,0 0 E xcentricid ade Figura 11- Energia x Excentricidade para ψ 2. Nota-se que na Figura 11, que a excentricidade chega a 1,0 e a aeronave quase escapa para uma órbita parabólica (órbita aberta), porém a energia diminui fazendo com que a excentricidade diminua e o veículo permaneça na mesma órbita. - 0,5-0,6-0,7-0,8-0,9-1,0 2,0 2,5 3,0 3,5 4,0 S e m i-e ix o m a io r x (K m ) Figura 12- Energia x semi-eixo maior para ψ 2. Figura 13- Energia x momento angular para ψ 2. De acordo com a Tabela 1, a Figura 13 inicia em uma órbita elíptica retrógrada, pois sua energia e momento angular são negativos. Quando o momento angular passa a ser positivo, a órbita é classificada uma órbita elíptica direta. Discussão - 0,5 0,0 0, 5 1,0 M o m e n to a n g u la r x ( k m 2 /s ) O objetivo do swing-by é efetuar uma manobra com mínimo consumo de combustível para transferir uma aeronave espacial de um corpo de massa M 1 para um corpo de massa M 2. Um método para calcular as variações do semi-eixo maior, velocidade, energia e momento angular para o swing-by foi desenvolvido com base na manobra de patched conic. Ao usar um conjunto de equações analíticas para descrever o swing-by em duas dimensões, pode-se avaliar a variação dos elementos orbitais da órbita da aeronave espacial que está passando o planeta. Logo, torna-se possível comparar duas soluções para fazer uma manobra orbital considerando os dois ângulos de aproximação ψ 1 e ψ 2. O programa desenvolvido mostrou-se eficaz quando comparado com os resultados já apresentados na literatura como também da precisão do método utilizado quando há interesse em realizar um estudo das primeiras aproximações, isto é, desconsiderando outras perturbações. Com o avanço tecnológico na área de mecânica celeste, pode-se fazer uma análise preliminar dos estudos futuros de manobra de swing-by. São previstos estudos para: Modelar um sistema com órbitas baixas; Montar um sistema no plano tridimensional, com o sistema Terra- Lua; Realizar manobras de swingby em um sistema com três corpos como, por exemplo, o sistema Sol-Terra-Lua. 5

6 Conclusão Através de várias simulações numéricas realizadas para os sistemas em estudo, foi possível observar que, quando as manobras foram realizadas considerando ψ 1 o veículo espacial adquiriu mais energia fazendo com que o veículo escapasse da órbita para a maioria dos casos analisados. Já considerando o ângulo de aproximação ψ 2, principalmente com baixa altitude, foi possível detectar algumas órbitas de colisão com o planeta secundário (M 2 ) que ocorre quando se tem uma perda de altitude devido a variação de energia. Referências BROUCKE, R. A., 1988, "The Celestial Mechanics of Gravity Assist". A1AA paper (In: AIANAAS Astrodynamics Conference, Minneapolis, MN, Aug FELIPE, G., 2000 Manobras orbitais aplicadas aos problemas de dois e três corpos São José dos Campos: INPE, p. (INPE-7530-TDI/736). FORMIGA, J. K. S.; PRADO, A. F. B. A., A study of the effects of a close approach between a planet and a particle. In: 22. ND INTERNATIONAL SIMPOSIUM ON SPACE FLIGHT DYNAMICS, 2011, São José dos Campos. Proceedings p PRADO, A. F. B. A., 2001, "Trajetórias Espaciais e Manobras Assistidas por Gravidade". São José dos Campos, INPE, pp PRADO, A. F. B. A. and KUGA, H. K. 2001, Fundamentos de Tecnologia Espacial. São José dos Campos, INPE. PRADO, A. F. B. A. and BROUCKE, R. A., 1995a, "A Classification of Swing-By Trajectories using the Moon". Applied Mechanics Reviews, Vol. 48, No. 11, Part 2, pp