UMA INTRODUÇÃO À TRANSFORMADA Z

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1 UMA INTRODUÇÃO À TRANSFORMADA Z Roy Wilhelm Probst rwprobst@gmail.com Andrés David Báe Sánche adavidbae@gmail.com Simone Venturi si venturi@yahoo.com Departamento Acadêmico de Matemática Universidade Tecnológica Federal do Paraná

2 Conteúdo Prefácio iv 1 Transformada Z Definição Região de Convergência Série Geométrica Propriedades Linearidade Diferenciação Similaridade Translação Convolução Valor Inicial Valor Final Exercícios Resolvidos Exercícios Propostos Respostas Transformada Z Inversa 34.1 Método de Série de Potências Método de Frações Parciais Método dos Resíduos Pólos e Resíduos Série de Laurent e Teorema dos Resíduos Exercícios Propostos Respostas Equações de Diferenças Definição Resolução de Equações de Diferenças Problemas envolvendo Equações de Diferenças Exercícios Propostos Respostas ii

3 iii A Propriedades da Transformada Z 10 B Lista de Transformadas Z 103

4 Prefácio Uma introdução informal ao conceito de transformada de Z poderia ser feita, comparando a transformada Z à uma versão discreta da transforma de Laplace. Poderia ser dito também, que a transformada Z é equivalente, para equações de diferenças, à transformada de Laplace para equações diferenciais. De um ponto de vista estritamente matemático, a transformada Z pode ser definida como uma aplicação que leva sequências numéricas em funções de variável complexa através de uma série de Laurent. No entanto, é pouco provável que essa definição seja adequada para descrever a transformada Z na área de análise de sinais, onde a transformada Z pode ser definida como uma aplicação que converte um sinal digital discreto em uma representação complexa do sinal no domínio da frequência. Essa aparente dicotomia entre a definição do objeto matemático e sua aplicação não é um fenômeno exclusivo da transformada Z. Conceitos relacionados, como a transformada de Laplace ou a transformada de Fourier, são com frequência estudados em cursos de engenharia sem considerar a fundamentação matemática em profundidade, ou são abordados em cursos de matemática com um olhar estritamente teórico sem preocupar-se com as aplicações. Uma abordagem intermediária, apresentando diversos aspectos da teoria e da prática pode ser considerada mais enriquecedora, mas em qualquer caso, atingir a proporção desejada entre teoria e aplicação na apresentação de um conceito, certamente será facilitado pela escolha de referências bibliograficas adequadas. No caso da transformada Z, comprovamos a partir de nossa experiência em cursos de matemática para engenharias e ciências exatas, a quase inexistência de material em Língua Portuguesa que abordasse adequadamente os aspectos matemáticos da transformada Z e que incluisse aplicações, sem precisar conhecimentos específicos sobre análise de sinais. Estas notas são consequência dessa comprovação. O objetivo dessas notas é apresentar o conceito e propriedades da transformada Z, considerando adequadamente seus aspectos matemáticos e incluindo aplicações da transformada Z na resolução de problemas de equações de diferenças presentes em diversas áreas. Além do seu valor como referência biiv

5 v bliográfica em Língua Portuguesa para cursos superiores de matemática para engenharia, esse material também pode ser usado em disciplinas de matemática que considerem a formulação e resolução de problemas em termos de fórmulas de recursão ou equações de diferenças. Pela simplicidade nos conceitos necessários para tal tipo de formulação, parte destas notas podem servir de complemento para um curso de introdução à modelagem matemática. No primeiro capítulo são estabelecidas as definições necessárias e as propriedades fundamentais da transformada Z. A seguir, no segundo capítulo, é introduida a noção de transformada Z inversa e são considerados três métodos para seu cálculo. No terceiro capítulo, são consideradas as aplicações da transformada Z para a resolução de equações de diferenças. São apresentados diversos exemplos, incluindo problemas aritméticos, geométricos, de probabilidade, de matemática financeira, entre outros. No final de cada capítulo é sempre incluída uma lista de exercícios resolvidos e uma lista de exercícios propostos com solução. Essas notas foram baseadas na dissertação de Simone Venturi [19]. Curitiba, 19 de Outubro de 017. Roy Wilhelm Probst Andrés David Báe Sánche Simone Venturi

6 Capítulo 1 Transformada Z Algumas das ideias matemáticas associadas com a transformada Z são conhecidas desde o século XVIII [9]. A ideia de construir uma série de potências usando como coeficientes os termos de uma sequência dada é justamente o conceito de função geratri, que foi introduido por DeMoivre em 1730 e utiliado amplamente por Laplace e outros no contexto de teoria da probabilidade durante o século XIX [14]. No entanto, a forma em que a transformada Z é utiliada atualmente no contexto de análise de sinais discretos pode ter sua origem traçada até o trabalho de Hurewic [8]. Os trabalhos de Barker [] e Ragaini e Zadeh [16] contribuiram para consolidar e difundir as ideias apresentadas por Hurewic, sendo Barker o primeiro a apresentar uma tabela de transformadas e Ragaini e Zadeh os primeiros a usar o termo transformada Z para referir-se a essa transformação [11]. Após sua populariação na área de sinais, outras generaliações foram introduidas e hoje fa parte fundamental das ferramentas da análise de sinais em engenharia e outra áreas [6, 9]. Neste capítulo será apresentada a definição da transformada Z e suas propriedades, com alguns exemplos e considerações básicas. Os exemplos e notações consideradas ao longo destas notas seguem principalmente as seguintes referências: [1, 4, 15, 17]. 1.1 Definição A transformada Z pode ser vista como um operador que converte uma sequência x n em uma função X(), onde é uma variável complexa. Será usada também a notação Z{x n } para referir-se a esta função. Definição 1.1. A transformada Z de uma sequência x n {x 0, x 1, x, x 3,...} é definida por:

7 Definição Z{x n } X() x n n n0 (1.1.1) x 0 + x 1 + x + x É importante ressaltar que X() existe apenas para regiões do plano complexo em que o somatório (1.1.1) converge. A transformada acima é as vees chamada também de transformada Z unilateral, em referência ao fato de considerar sequências da forma {x 0, x 1, x,...}, em contraste com as denominadas sequências bilaterais da forma {..., x, x 1, x 0, x 1, x,...}. Para este tipo de sequências é possível considerar de forma análoga uma transformada Z bilateral [13]. Nessas notas são consideradas apenas sequências unilaterais. Uma sequência x n admite a transformada Z se a série (1.1.1) é convergente para pelo menos um complexo, definindo assím uma função de variável complexa com domínio não vaio. Figura 1.1: Diagrama da Transformada Z e sua Inversa A seguir alguns exemplos simples de sequências e suas transformadas. Exemplo 1.1. Seja y n a sequência {, 4, 6, 4,, 0, 0, 0,...}. A transformda de y n, detonada por Z{y n } Y (), é: Y () y n n n definida para todo ,

8 Definição 3 Exemplo 1.. Seja a sequência delta dada por: { 1, se n k δ(n k) 0, se n k, onde k N. Calculando Z{δ(n k)} tem-se: Z{δ(n k)} δ(n k) n k. n0 Assim, Z{δ(n k)} k, para todo 0. Exemplo 1.3. Como um caso particular da sequência delta, para k 0, tem-se: { 1, se n 0 x n 0, se n 0, isto é, x n {1, 0, 0, 0, 0,...}, cuja transformada Z{x n } é dada por: X() x n n n , definida para todo complexo. Assim, Z{x n } 1. Nos exemplos anteriores as sequências consideradas tinham um número finito de termos diferentes de ero, e como consequência, a transformada Z foi expressa em cada caso como uma soma finita. Nos exemplos a seguir serão consideradas sequências que tem infinitos termos não nulos, e assim, o cálculo da transformada Z será feito através de séries, em particular através da série geométrica. A série geométrica e sua relação com a transformada Z será discutida com mais detalhe na próxima seção, mas será usado por enquanto o seguinte resultado sobre a série geométrica de raão x: n0 x n 1 + x + x x Exemplo 1.4. Seja a sequência de Heaviside dada por: { 0, se n < k H n k 1, se n k, se e somente se x < 1.

9 Definição 4 onde k N. Calculando a transformada Z da sequência dada, tem-se que: Z{H n k } H n k n n0 k 1 H n k n + H n k n n0 nk k + 1 k k k ( ), sempre que a série em parênteses for convergente. geométrica de raão 1/ e portanto converge para se 1 < 1. Essa série é uma série Assim: Z{H n k } 1 k 1 1 definida para > 1. k ( 1), Exemplo 1.5. Como um caso particular da sequência de Heaviside, para k 0, tem-se a sequência f n {1, 1, 1, 1,...}. Sua transformada Z{f n } é dada por: F () f n n n que corresponde a uma série geométrica de raão 1/. Assim: F () definida para > 1. 1,

10 Região de Convergência 5 Exemplo 1.6. Dado a R, considere a sequência constante y n {a, a, a, a,...}. A transformada Z{y n } Y () é dada por: Y () y n n n0 a + a + a + a a ( ) Novamente, pelo critério de convergência da série geométrica, tem-se que: a Y () 1 1 definida para > 1. a 1, 1. Região de Convergência Na seção anterior, vários exemplos ilustraram o fato de que a transformada Z de uma sequência f n, pode não estar definida para todo complexo. Em geral, a região do plano complexo para a qual a transformada F () existe é definida como a região de convergência (RDC) da transformada F (). Para estabelecer a RDC de algumas transformadas é importante considerar a série geométrica e sua região de convergência Série Geométrica Considere uma progressão geométrica (PG) de raão r C e primeiro termo a C, ou seja, uma sequência da forma: {a, ar, ar, ar 3,..., ar n...}. A série geométrica S correspondente a essa progressão, é definida como a soma dos termos da PG, isto é: S ar n a + ar + ar + ar n0 Dependendo dos valores de a e r essa soma pode ou não convergir. Para determinar os possíveis valores que essa soma pode tomar, será considerada a

11 Região de Convergência 6 soma parcial até o n ésimo termo e depois será analiado o que ocorre com a soma parcial quando n tende ao infinito. A soma dos n primeiros termos da PG é dada por: S n a + ar + ar + ar ar n 1. Se r 1 está expressão torna-se igual a na. Se r 1, é possivel obter uma expressão simplificada para esta soma. Multiplicando por r em ambos os lados da igualdade, tem-se que: e subtraindo S n rs n : isto é, e assim rs n ar + ar + ar 3 + ar ar n S n rs n a + ar + ar... + ar n 1 (ar + ar + ar ar n ) a ar n, S n (1 r) a(1 r n ) S n a(1 rn ), 1 r se r 1. Porém, o objetivo é notar o que ocorre com a soma S n quando n tende ao infinito. Tem-se que: quando r < 1, pois: lim S n n a 1 r lim n rn 0 se e somente se r < 1. Conclui-se que a soma de uma progressão geométrica, dado primeiro termo a C e raão r C, converge quando r < 1. A desigualdade r < 1 representa uma região do plano complexo, conforme Figura 1.. Utiliando o conceito de convergência para séries geométricas, serão considerados alguns exemplos relacionados à sequência dada pelas potências de um número. Exemplo 1.7. Para a C, seja x n a n, com n N. Tem-se que X() Z{x n } é dada por: X() a n n n0 1 + a + a + a

12 Região de Convergência 7 Figura 1.: Região correspondente a r < R. Logo, se a/ < 1, então: X() 1 1 a a. Assim, a região de convergência de X() é dada por a/ < 1, ou seja, > a. Diferentes possibilidades para a região de convergência são ilustradas na Figura 1.3 para a R.

13 Região de Convergência 8 Figura 1.3: RDC da forma > a. Exemplo 1.8. Para x n e an, n N e a C, tem-se que X() Z{x n } é dada por: X() e an n n0 1 + ea ea e a. ( ) e a ( ) e a Assim, tem-se uma série geométrica de raão r e a /, cuja RDC é dada

14 Propriedades 9 por e a / < 1, isto é, > e a. 1.3 Propriedades A seguir, serão apresentadas algumas propriedades básicas da transformada Z, seguidas de suas demonstrações e exemplos Linearidade Teorema 1.1. Sejam a e b números complexos dados, x n e y n sequências, e X() a transformada Z de x n, para > R 1 e Y () a transformada Z de y n, para > R. Então Z{ax n + by n } ax() + by (), para > max{r 1, R }. Demonstração: Z{ax n + by n } (ax n + by n ) n n0 ax n n + by n n n0 n0 a x n n + b y n n n0 n0 para todo n N. ax() + by () Exemplo 1.9. Seja y n sen(θn), para n N e θ R. Pela fórmula de Euler tem-se que { e iθ cos θ + i sen θ e iθ cos θ i sen θ e portanto: e cos θ eiθ + e iθ sen θ eiθ e iθ i. Assim é possível calcular a transformada Z de sen(θn) usando a propriedade de linearidade da seguinte forma:

15 Propriedades 10 { e iθn e iθn } Z{sen(θn)} Z i 1 i (Z{eiθn } Z{e iθn }) 1 i ( ) e iθ e iθ ( e iθ ) ( e iθ ) ( e iθ )( e iθ )i ( e iθ + e iθ ) i( e iθ )( e iθ ) ( e iθ + e iθ ) i( e iθ )( e iθ ) (1.3.) sen θ ( e iθ )( e iθ ) sen θ e iθ e iθ + 1 sen θ (e iθ + e iθ ) + 1 sen θ cos θ + 1. Na dedução anterior, foram usadas as transformadas de e iθn e de e iθn. Do Exemplo 1.8, para x n e an, tem-se que a RDC é dada por > e a. Assim, como e iθ e iθ 1 para θ R, tem-se que Z{sen(θn)} converge quando > 1. Exemplo Seja f n sen(nπ/), para n N, o que gera a sequência f n {0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1,...}. Pode-se encontrar Z{f n } através da definição (1.1.1): F () (1.3.3) Tem-se então em (1.3.3) uma PG de primeiro termo a 1/ e raão r

16 Propriedades 11 1/. Utiliando a fórmula da soma de uma PG: 1 F () 1 ( 1 ) + 1. Alternativamente, pode-se substituir θ π/ em (1.3.): { ( nπ Z sen )} sen π cos π + 1 A RDC é dada por > 1, conforme exemplo Diferenciação + 1. Teorema 1.. Se a transformada X() Z{x n } existe para > R então a transformada Z{nx n } também existe para > R e tem-se: Z{nx n } d d X(). Demonstração: Se a transformada X() Z{x n } existe para > R, tem-se pela convergência uniforme da série dentro de sua RDC que: d d X() d d x n n n0 n0 d d x n n nx n n 1 n0 1 nx n n 1 n0 n0 nx n n nx n n n0 1 Z{nx n}.

17 Propriedades 1 Assim, ou seja: d d X() 1 Z{nx n}, Z{nx n } d d X(). Generaliando o teorema anterior para k N, tem-se: Z{n k x n } ( d d ) k Z{x n }. (1.3.4) Exemplo Seja x n n, n N, ou seja, a sequência x n {0, 1,, 3, 4, 5,...}. Sua transformada Z{x n } pode ser obtida utiliando a propriedade de diferenciação da seguinte forma: Z{n} Z{n.1} d d Z{1} d d ( ) 1 [ ] ( 1) ( 1) (1.3.5) Assim Z{n} ( 1) + ( 1) ( 1)., com RDC > 1. ( 1) Exemplo 1.1. Seja y n n. A transformada Z{n }, pode ser obtida utiliando a propriedade de diferenciação da seguinte forma:

18 Propriedades 13 Z{n } Z{n.n} d d (Z{n}) d d ( 1) ( ( 1) ) ( 1) ( 1) 4 ( 1) ( 1) 4 ( + 1)( 1) ( 1) 4 Logo, tem-se que Z{n } ( + 1) ( 1) 3. ( + 1), com RDC > 1. ( 1) 3 Exemplo Seja f n na n, para a C. A transformada Z{f n } pode ser encontrada utiliando a propriedade de diferenciação. Lembrando que Z{a n } a, a transformada Z{nan } é dada por: Z{na n } d d Z{an } d d ( ) a a ( a). Portanto Z{na n a }, com RDC > a. ( a) Similaridade Teorema 1.3. Seja a C, a 0 e X() a transformada Z de x n, para > R. Tem-se que Z{a n x n } X(/a), para > a R.

19 Propriedades 14 Demonstração: Z{a n x n } a n x n n n0 n0 n0 x n n a n ( ) n ( x n X. a a) Se Z{x n } X() para X() é > R, então a RDC de X(/a) é dada por /a > R, ou ainda > a R. Exemplo Seja Z{na n } a transformada Z de na n. Como Z{n} pela propriedade de similaridade, tem-se: ( 1) Z{na n } a ( ) a 1 a ( a ) Portanto Z{na n } visto na seção anterior. a a a ( a) a ( a). a, com RDC > a, conforme Exemplo 1.13 ( a) Exemplo Seja Z{e αn } a transformada Z de e αn. Como Z{1} e utiliando a propriedade de similaridade: 1

20 Propriedades 15 Z{e αn } Z{(e α ) n } e α e α 1 e α e α e α. Logo Z{e αn } e α, com RDC > eα, conforme Exemplo 1.8. e α (1.3.6) O exemplo a seguir mostra como é possível combinar várias propriedades para determinar a transformada de sequências mais complexas. Exemplo A transformada Z{ n (n n)} pode ser determinada utiliando as propriedades de linearidade e similaridade. Calculando inicialmente Z{n n} tem-se que: Z{n n} Z{n } Z{n} para > 1. Portanto, ( + 1) ( 1) 3 ( 1) ( 1) 3, Z{ n (n n)} ( 1 ) 3 para / > 1. Assim, Z{ n (n n)} Translação 8 ( ) 3, 8, definida para >. ( ) 3 Nesta seção serão apresentadas as propriedades da transformada Z relacionadas à translação (ou deslocamento) dos termos de uma sequência. Considere inicialmente as seguintes sequências descritas explicitamente:

21 Propriedades 16 e {1, 3, 9, 7, 81,...} {3, 9, 7, 81, 43,...}. Claramente as duas sequências estão relacionadas com as potências de 3, mas o termo inicial da primeira sequência é 1 3 0, enquanto que o termo inicial da segunda sequência é Para a primeira sequência, o termo geral pode ser escrito como 3 n para n N. Esta mesma expressão poderia ser usada para descrever a segunda sequência se o índice n iniciasse a partir de 1, mas para usar os mesmos valores de n 0, 1,,..., a expressão adequada para a segunda sequência é 3 n+1, isto é: 3 n {1, 3, 9, 7, 81,...} e 3 n+1 {3, 9, 7, 81, 43,...}. Assim, a relação entre as duas sequências é que a sequência 3 n+1 corresponde a um deslocamento à esquerda da sequência 3 n. No mesmo sentido, a sequência {9, 7, 81, 43, 79,...}, que corresponde a dois deslocamentos à esquerda a partir da sequência 3 n, pode ser descrita com o termo geral 3 n+, isto é, 3 n+ {9, 7, 81, 43, 79,...}. Em geral, dada uma sequência x n, as notações x n+1, x n+ ou x n+k, correspondem às sequências obtidas por 1, ou k deslocamentos à esquerda, respectivamente. Assim, dada uma sequência a sequência x n+k, k N, é dada por x n {x 0, x 1, x, x 3,...}, x n+k {x k, x k+1, x k+, x k+3,... }. Exemplo Seja a sequência x n 4 + 3n. Descreva explicitamente os termos das sequências x n+1, x n+, e x n+5 e determine os termos gerais dessas sequências. Considerando x n e os deslocamentos correspondentes à esquerda, tem-se: x n {4, 7, 10, 13, 16,...}, x n+1 {7, 10, 13, 16, 19,...}, x n+ {10, 13, 16, 19,,...}

22 Propriedades 17 e x n+5 {19,, 5, 8, 31,...}. Como x n 4 + 3n, pode-se verificar que os termos gerais das sequências x n+1, x n+, e x n+5 correspondem a x n (n + 1) 7 + 3n, e x n (n + ) n, x n (n + 5) n. Assim como foi considerado o deslocamento à esquerda dos termos de uma sequência, é possivel considerar também o deslocamento a direita. No entanto, este deslocamento implica que novos termos precisam ser acrescentados no início da sequência. Estas posições terão o valor ero, pois uma sequência unilateral pode ser interpretada como uma sequência bilateral cujos termos associados a índices negativos são todos iguais a ero. Será usada a notação x n k para denotar a sequência obtida a partir de k deslocamentos à direita dos termos da sequência x n. Assim, dada uma sequência a sequência x n k, k N, é dada por x n {x 0, x 1, x, x 3,...}, x n k {0, 0, 0,..., 0, x }{{} 0, x 1, x,... }. k posições Exemplo Seja a sequência x n a n para a R, a 0. Descreva explicitamente os termos das sequências x n 1, x n e x n 4 e determine os termos gerais dessas sequências. Considerando x n e os deslocamentos correspondentes à direita, tem-se: x n {1, a, a, a 3, a 4,...}, x n 1 {0, 1, a, a, a 3,...}, e x n {0, 0, 1, a, a,...} x n 4 {0, 0, 0, 0, 1, a, a,...}. Note que, embora x n a n, o termo geral da sequência x n 1 não é a n 1, pois a posição correspondente a n 0 não satisfa a igualdade, isto é, 0 a 0 1. Contudo, o termo geral da sequência x n 1 pode ser descrito como:

23 Propriedades 18 x n 1 { 0 se n 0 a n 1 se n 1. e De forma análoga, os termos gerais das sequências x n e x n 4 são: { 0 se n 0, 1 x n a n se n x n 4 { 0 se n 0, 1,, 3 a n 4 se n 4. Agora que estão estabelecidas as notações para os deslocamentos à direita e à esquerda, serão consideradas as transformadas Z destas sequências e sua relação com a transformada da sequência original sem deslocamentos. Teorema 1.4. Seja X() a transformada Z de x n, para > R. Então: (i) Translação para Direita Z{x n k } k X(), para > R e k N. (ii) Translação para Esquerda k 1 Z{x n+k } k X() x n k n, para > R e k N. Demonstração: n0 (i) Para k N e > R tem-se: Z{x n k } k 1 + x 0 k + x 1 k+1 + x k+ + 1 k ( x0 0 + x x + ) k X(). (ii) Para k N e > R, tem-se: Z{x n } x n n n0 k 1 x n n + x n n. n0 nk

24 Propriedades 19 Faendo uma mudança de índice considerando n m + k no segundo somatório: Z{x n } k 1 x n n + x m+k (m+k) n0 m+kk k 1 x n n + k n0 m0 x m+k m k 1 x n n + k Z{x m+k }. n0 Logo, k 1 Z{x n } x n n + k Z{x n+k }. n0 Ou seja, ] k 1 k 1 Z{x n+k } [Z{x k n } x n n k X() x n k n. n0 n0 Em particular para k 1,, 3, o Teorema 1.4 assume o seguinte formato: (i) (ii) Z{x n 1 } 1 X() Z{x n } X() Z{x n 3 } 3 X() Z{x n+1 } X() x 0 Z{x n+ } X() x 0 x 1 Z{x n+3 } 3 X() x 0 3 x 1 x Exemplo Seja x n n, ou seja, x n {1,, 4, 8, 16,...}. Encontre as transformadas de x n e x n+1. Conforme estabelecido no Exemplo 1.7: para >. Z{x n } X(),

25 Propriedades 0 Do Teorema 1.4, tem-se: Z{x n } X() e 1 ( ) Z{x n+1 } 1 X() x Exemplo 1.0. Seja y n e αn, para α R. Tem-se que: Z{e αn } Y () e α, para > e α. Pode-se encontrar a transformada de y n+, utiliando a propriedade de translação à esquerda: Z{y n+ } Z{e α(n+) } Y () y 0 y 1 e α e α eα e α, para > e α. Ou ainda, encontrar a transformada de y n, utiliando a propriedade de translação à direita: Z{y n } Z{e α(n ) } Y () e α para > e α. 1 ( e α ),

26 Propriedades Convolução A convolução de duas sequências x n e y n, denotada por x n y n, é uma nova sequência w n, cujo n-ésimo termo é dado por: w n x n y n n x n k y k k0 n x k y n k. Mais infomações sobre convolução podem ser encontradas em [0]. A propriedade a seguir mostra que a transformada da convolução é o produto das transformadas. Teorema 1.5. Se Z{x n } X(), para > R 1 e Z{y n } Y (), para > R, então Z{x n y n } X()Y (), para > max{r 1, R }. k0 Demonstração: Z{x n y n } [ n ] x k y n k n0 k0 n x k y n k n k0 n0 n Tomando r n k, tem-se: x k k0 nk y n k n. Z{x n y n } x k k0 r0 x k k k0 r0 y r k r y r r X()Y (). Esta propriedade da transformada Z é considerada uma das mais importantes [1]. Nos exemplos a seguir, esta propriedade será usada para determinar a sequência correspondente a uma certa função na variável. Esta situação corresponde à determinação da transformada Z inversa da função. Este conceito será explorado com maior profundidade no próximo capítulo. Exemplo 1.1. Seja F () ( 1) 3.

27 Propriedades Quer-se encontrar f n tal que Z{f n } ( 1) 3, utiliando a propriedade de convolução. Conforme Exemplos 1.5 e 1.11, tem-se que: e Assim, Z{1} Z{n} F () 1 ( 1). ( 1) 3 1 ( 1) Z{1}Z{n}. Logo, pela propriedade de convolução: Z{1 n} Z{1}Z{n} Utiliando a definição de convolução, ( 1) 3. 1 n n 1.k k0 Logo, Exemplo 1.. Seja Quer-se encontrar y n tal que n n(n + 1). { } n(n + 1) Z ( 1) 3. Y () Z{y n } a ( 1)( a). a ( 1)( a).

28 Propriedades 3 e Como visto anteriormente nos exemplos 1.6 e 1.7, tem-se que: Assim, Z{a} Z{a n } Y () a 1 ( a). a ( 1)( a) a 1 a Z{a}Z{a n }. Logo, pela propriedade de convolução, Z{a a n } Z{a}Z{a n } Y (). Utiliando a definição de convolução: a a n n a.a k k0 a n k0 a k ( ) 1 a n+1 a. 1 a Logo, { a(1 a n+1 } ) a Z 1 a ( 1)( a) Valor Inicial A propriedade seguinte está relacionada com o comportamento assintótico da transformada Z. Teorema 1.6. Se a transformada Z{x n } X() existe para > R então: lim X() x 0 lim n 0 x n.

29 Propriedades 4 Demonstração: lim X() lim x n n n0 ( lim x 0 + x 1 + x + x ) lim x x lim + lim x + lim x x x 0 lim n 0 x n. Exemplo 1.3. Seja f n 1 uma sequência dada por f n {1, 1, 1, 1,...}. Como visto no Exemplo 1.5, sua transformada é dada por: F () 1. A propriedade do Valor Inicial pode ser verificada notando que o primeiro termo da sequência é : ou, f 0 lim 1 1 f 0 lim n 0 f n lim n Exemplo 1.4. Seja x n n a sequência vista no Exemplo 1.11, cuja transformada é dada por: X() ( 1). Pode-se verificar a propriedade do Valor Inicial, notando que seu termo inicial é dado por: ou, x 0 lim ( 1) 0 x 0 lim n 0 x n lim n 0 n 0.

30 Propriedades Valor Final A seguinte propriedade estabelece uma relação entre o limite da sequência e sua transformada Z. Teorema 1.7. Se a transformada Z{x n } X() existe para > R, e se lim n x n existe, então: Demonstração: pois: lim x n lim( 1)X(). n 1 Z{x n } x n n X(). n0 Pela propriedade de Translação para Esquerda vista anteriormente: E pela propriedade de Linearidade: Z{x n+1 } X() x 0. Z{x n+1 x n } X() x 0 X(). Assim, aplicando o conceito de limite em ambas as partes da igualdade: lim lim [Z{x n+1 x n }] lim[x() x 0 X()] n0 (x n+1 x n ) n lim( 1)X() lim 1 n0 x n+1 x n lim 1 ( 1)X() x 0 x 0 + lim n x n lim 1 ( 1)X() x 0, 1 x 0 x n+1 x n (x 1 x 0 ) + (x x 1 ) + (x 3 x ) (x n x n 1 ) +... n0 x 0 + lim n x n. Logo lim n x n lim 1 ( 1)X(). Exemplo 1.5. Seja f n (1/) n e sua transformada dada por: F () 1.

31 Exercícios Resolvidos 6 Pode-se verificar que: lim 1 ( 1) 1 ( ) n 1 0 lim. n Para facilitar a consulta, encontra-se no Apêndice A um resumo das propriedades vistas e no Apêndice B alguns pares de transformadas. 1.4 Exercícios Resolvidos A seguir exemplos da aplicação da transformada Z utiliando sua definição e propriedades para determinar a transformada Z de algumas sequências. Exemplo 1.6. Seja x n (n 1)a n, a R, calcule Z{(n 1)a n } e determine sua região de convergência. Pela propriedade de Linearidade, Z{(n 1)a n } a (Z{na n } Z{a n }). Pela propriedade de Similaridade, Z{a n } Z{a n.1} para > a. Pela propriedade de Diferenciação, Z{na n } d ( ) d a para > a. Logo, a a 1 a, ( ) a ( a) Z{(n 1)a n } a (Z{na n } Z{a n }) ( a a ( a) ) a a ( a), a ( a) a ( a) a + a a ( a) para > a. a a ( a),

32 Exercícios Resolvidos 7 Exemplo 1.7. Seja y n a n sen θn, θ R, calcule Z{a n sen θn}. Como visto anteriormente, Z{sen θn} Pela propriedade da Similaridade, sen θ cos θ + 1. Z{a n sen θn} a sen θ ( a ) cos θ + 1. a Multiplicando denominador e numerador por a, Z{a n sen θn} a sen θ a cos θ + a. Nos exemplos anteriores, as regiões de convergência das transformadas envolvidas no processo de cálculo eram iguais e portanto a região de convergência resultante permaneceu igual. Em situações mais complexas, a região de convergência resultante pode ser a interseção das regiões de convergência das transformadas consideradas. Exemplo 1.8. Calcule Z{f n } onde f n cosh(βn), com β R. Lembrando que cosh β eβ + e β, tem-se: { e βn + e βn } Z {cosh βn} Z. Pela propriedade da Linearidade, { e βn + e βn } Z 1 (Z{eβn } + Z{e βn }). Conforme Exemplo 1.8 (ou 1.15), tem-se: Z{e βn 1 } 1 eβ e β, para > e β. E do mesmo modo, para Z{e βn }, tem-se: para > e β. Z{e βn } e β,

33 Exercícios Resolvidos 8 Logo, se > max{e β, e β }, então: Z{cosh βn} 1 (Z{eβn } + Z{e βn }) 1 1 ( ) e β + e β ( ( e β ) + ( e β ) ) ( e β )( e β ) ( e β + e β ) ( e β + e β ) + 1 cosh β cosh β + 1. Assim, para > max{e β, e β }. Z{cosh βn} cosh β cosh β + 1, Nos exemplos a seguir, serão aplicadas às propriedades da transformada Z para sequências que estão escritas em termos de uma ou várias sequências não definidas explicitamente. Assim, a transformada resultante também dependerá das transformadas Z das sequências desconhecidas. Este tipo de situação será utiliada na solução de equações de diferenças (Capítulo 4). Exemplo 1.9. Considere uma sequência y n com transformada Z{y n } Y (). Calcule Z{y n 4y n 1 }. Pela propriedade de Linearidade, Z{y n 4y n 1 } Z{y n } 4Z{y n 1 }. Pela definição e propriedade de Translação para Direita, Z{y n } 4Z{y n 1 } Y () 4 1 Y () Y ()[1 4 1 ]. Portanto, Z{y n 4y n 1 } Y ()[1 4 1 ]. Exemplo Seja x n uma sequência com transformada Z{x n } X(). Calcule Z{e (n ) x n }.

34 Exercícios Resolvidos 9 Pela propriedade de Linearidade, Z{e (n ) x n } e 4 Z{e n x n }. Pela propriedade de Translação para Direita, Z{x n } X(). Chamando X() A() e pela propriedade de Similaridade, ( ) Z{e n x n } A e A(e ) (e ) X(e ) Logo, X(e ) e 4. Z{e (n ) x n } e 4 Z{e n x n } Portanto, e 4 X(e ) e 4 X(e ). Z{e (n ) x n } X(e ). Exemplo Seja f n uma sequência com transformada Z{f n } F (). Calcule Z{3(n 1)f n 1 }. Pela propriedade de Linearidade, Z{3(n 1)f n 1 } 3Z{(n 1)f n 1 } Pela propriedade de Translação para Direita, 3(Z{nf n 1 } Z{f n 1 }). Z{f n 1 } 1 F ().

35 Exercícios Resolvidos 30 Pela propriedade de Diferenciação, Z{nf n 1 } d d Z{f n 1} d d [ 1 F ()] [ F () + 1 ] d d F () Logo, F () d d F (). Z{3(n 1)f n 1 } 3(Z{nf n 1 } Z{f n 1 }) ( F () 3 d ) F () F () d 3 d d F (). Portanto, Z{3(n 1)f n 1 } 3 d d F (). Exemplo 1.3. Seja x n uma sequência com transformada Z{x n } X() e x 0 1. Calcule Z{a n+ x n+1 }, com a R. Pela propriedade de Linearidade, Z{a n+ x n+1 } a Z{a n x n+1 }. Pela propriedade de Translação para Esquerda, 1 1 Z{x n+1 } X() x r 1 r X() x 0 1. r0 Chamando A() X() x 0 1 e pela propriedade de Similaridade, ( Z{a n x n+1 } A a) ( ) a X a a x 0 [ ( ] X x 0. a a)

36 Exercícios Propostos 31 Logo, Z{a n+ x n+1 } a Z{a n x n+1 } a { a [ ( ]} X x 0. a) Substituíndo x 0 1 e simplificando, Z{a n+ x n+1 } a [ ( ] X 1. a) Exemplo Seja y n uma sequência com transformada Z{y n } Y (). Calcule Z{n y n + 3e n }. Pela propriedade de Linearidade, Z{n y n + 3e n } Z{n} Z{y n } + 3Z{e n }. Pela propriedade de Diferenciação, Seja Z{1} Z{n} Z{n.1} d d ( 1). ( ) 1 A() e pela propriedade de Similaridade, 1 ( ) Z{e n } A e 1 A(e) Logo, e e 1. Portanto, Z{n y n + 3e n } Z{n} Z{y n } + 3Z{e n } Z{n y n + 3e n } e Y () + 3 ( 1) e 1. 3e Y () + ( 1) e 1.

37 Exercícios Propostos Exercícios Propostos A seguir exercícios propostos em relação à definição e propriedades da Transformada Z, e região de convergência. Pode-se utiliar a lista de transformadas elementares (Apêndice B), como auxílio. 1. Calcule as transformadas, identificando a Região de Convergência: {( (a) Z ) n }. 3 (b) Z{ne 4n }. (c) Z{1 ( 5) n }. (d) Z{ + 3e n }. { ( nπ )} (e) Z cos. (f) Z{e an sen(αn)}. (g) Z{3 n sen(n)}.. Mostre que: ( cos β) (a) Z{cos(βn)}, para > 1. cos β + 1 senhα (b) Z{senh(αn)} cosh α + 1, para > max{eα, e α }. 3. Calcule: (a) Z{e n + 3e 0,5n }. (b) Z{5(0, 8) n 4(1, 1) n }. (c) Z{n sen(n)}. (d) Z{ n (n n)}. (e) Z{n 3(n 1)x n 1 } Respostas 1. (a) +, para > 3. 3 (b) e 4 (e 4 1), para > e 4. 6 (c), para > 1. ( 1)( + 5) ( 3e (d) e 1 + ), para > 1. 1

38 Exercícios Propostos 33 (e), para > (f) e a sen α e a e a cos α + 1, para > e a. (g) 3 sen, para > 3. 6 cos + 9. Utiliar a fórmula de Euler. 3. (a) (b) (c) (d) (e) 3 e + e e 1 e 1. 5(10 3) ( 1) sen ( cos + 1). 8 ( ) 3. ( 1) + 3 d d X().

39 Capítulo Transformada Z Inversa Neste capítulo será considerada a seguinte situação: dada uma função X(), é possível determinar uma sequência x n tal que Z{x n } X()? A resposta nem sempre é afirmativa para uma função arbitrária X(), mas quando existe tal sequência x n, ela é chamada de transformada Z inversa de X() e denotada por Z 1 {X()}. Exemplo.1. Dada a função X(), determine a transformada inversa Z 1 {X()}. No capítulo anterior foram calculadas as transformadas de várias sequências (resumidas no Apêndice B), entre elas a transformada da sequência a n, com a C: Z{a n }, se > a. a A função X() corresponde a esta expressão justamente quando a toma o valor, e assim, parece natural considerar a sequência n como a transformada Z inversa da função X(). Estritamente falando, seria preciso destacar adicionalmente que esta relação só é válida na região de convergência da transformada Z{ n }, ou seja: { } Z 1 n, para >. Mas, como nessa situação não há motivo para confusão, é possível simplesmente escrever: { } Z 1 n, ficando subentendido que a igualdade é válida somente na região de convergência da transformada Z da sequência.

40 Método de Série de Potências 35 Exemplo.. Determine a transformada Z inversa de X() + + ( 3). Usando os resultados do capítulo anterior, resumidos nos apêndices A e B, é possível estabelecer que: e Z {( ) n } Z {n3 n } + 3 ( 3). Pela linearidade da transformada Z tem-se que: Z {( ) n + 13 } n3n + + ( 3), e portanto, a transformada Z inversa de X() é dada pela sequência ( ) n n3n, isto é: { } Z ( 3) ( ) n n3n ( ) n + n3 n 1. Nas situações simples consideradas nos exemplos anteriores, a função X() pode ser identificada imediatamente ou com ajuda de uma tabela de transformadas, como a transformada de uma certa sequência. Em outros casos, será preciso decompor a função dada em termos de funções mais simples ou ainda utiliar a própria definição da transformada Z para determinar termo a termo a sequência Z inversa de X(). Nessas notas serão considerados os seguintes três métodos para obter a transformada Z inversa de uma função: Série de Potências, Frações Parciais, Resíduos. O primeiro método baseia-se na própria definição da transformada Z, o segundo método utilia manipulações algébricas para decompor a função dada em funções mais simples e o terceiro método utilia uma técnica geral baseada em resultados fundamentais da teoria de integração de funções de variável complexa.

41 Método de Série de Potências 36.1 Método de Série de Potências Neste método, o objetivo é obter a transformada Z inversa a partir de uma expansão de X() em séries de potências de 1. Assim, ao obter uma expressão da forma X() x n n, n0 para > R, a transformada Z inversa é determinada como a sequência dos coeficientes x n. Se X() está na forma de uma função racional X() g() h(), onde g() e h() são polinômios em, é possível usar o processo de divisão de g() por h() para obter termo a termo a série de potências de 1 correspondente a X(). Com esta técnica é possível, em teoria, determinar quantos termos da sequência forem necessários, mas nem sempre é fácil determinar uma fórmula geral fechada para os termos da sequência inversa. Exemplo.3. Seja X() ( + 1) ( 1). Determine a transformada inversa Z 1 {X()}. Dividindo o polinômio + por + 1, tem-se: Usualmente, o processo de divisão terminaria neste estágio. Porém, é possível continuar a divisão para eliminar termos no resto e gerar novos termos no quociente. Por exemplo, para eliminar o termo 3 no resto é possível multiplicar o polinômio + 1 por 3 1 e subtrair, isto é: De forma análoga, é possível eliminar o termo 5 no resto, multiplicando o polinômio + 1 por 5 e subtraindo. Este processo pode ser realiado de forma sucessiva:

42 Método de Série de Potências O quociente da divisão é uma série de potências de 1: X() Assim, x n {1, 3, 5, 7, 9,...}, o que sugere que a sequência procurada é dada por x n n + 1. Para mostrar que x n n + 1 é a expressão correta, basta provar que Z{n + 1} X() ( + 1) ( 1). De fato, Z{n + 1} Z{n} + Z{1} pela propriedade de linearidade e observando os itens 1 e 5 na lista de transformadas: Z{n + 1} Z{n} + Z{1} ( 1) + 1 ( + 1) ( 1) X(). Logo, x n n + 1 é a transformada Z inversa de X(). Exemplo.4. Considere X() ( + 1) e determine x n tal que Z{x n } X(), isto é, determine a transformada Z inversa de X(). Tem-se que ( + 1) e assim é possível determinar x n faendo a divisão correspondente da seguinte forma:

43 Método de Série de Potências Logo tem-se como quociente da divisão a série dada por X() Observando os termos da sequência {1,, 3, 4, 5,...} pode-se conjecturar que x n ( 1) n (n + 1). Para mostrar que de fato Z{( 1) n (n + 1)} ( + 1) basta observar que ( 1) n (n+1) n( 1) n +( 1) n e ao considerar a linearidade e as transformadas anteriormente estabelecidas tem-se: Z{( 1) n (n + 1)} Z{n( 1) n } + Z{( 1) n } ( 1) ( + 1) ( + 1) ( + 1) + + ( + 1) ( + 1). Logo x n ( 1) n (n + 1) é a a transformada Z inversa de X() ( + 1). O exemplo seguinte mostra que embora seja possível usar a divisão de polinômios para achar a série de potências de 1 e assim determinar quantos termos da sequência inversa forem necessários, nem sempre é óbvio como determinar uma fórmula para o termo geral.

44 Método de Frações Parciais 39 Exemplo.5. Seja X() Determine Z 1 {X()}. Usando a divisão de polinômios, tem-se: Ao analiar cuidadosamente o resíduo nota-se que algumas potências de 1 não aparecem (, 5, 8,...), ou seja, os coeficientes destes termos são iguais a ero. Assim, pode-se conjecturar que a sequência x n inversa de X() é da forma: x n {1, 1, 0, 1, 1, 0, 1, 1, 0,...}. Embora esta sequência seja aparentemente simples, seria surpreendente conseguir conjecturar a partir dela que seu termo geral é dado por: [ ] sen π(n+1) 3 x n. 3 Esta sequência será considerada novamente no Exemplo.1 da próxima seção e será mostrado como é possível deduir a fórmula para o termo geral utiliando números complexos.

45 Método de Frações Parciais 40. Método de Frações Parciais A ideia fundamental deste método é decompor uma função X() em soma de expressões mais simples cuja transformada Z inversa seja mais fácil de determinar. Usualmente o método é aplicado a expressões da forma X() A() B() onde A() e B() são polinômios em e o objetivo então é reescrever esta expressão como uma soma de frações mais simples, chamadas de frações parciais. A ideia de decomposição em frações parciais é usada também na integração de funções racionais como pode ser visto em diversos livros de Cálculo [5, 7, 18]. A forma particular em que as técnicas de frações parciais são usadas no contexto da transformada Z, levam em consideração o tipo de frações que podem ser reconhecidas como transformada Z de alguma sequência. É comum que as frações correspondentes a transformadas Z tenham pelo menos um termo no numerador e este fato pode ser aproveitado para obter frações parciais fáceis de identificar. Isto é ilustrado nos próximos exemplos. Exemplo.6. Seja X() ( )( 3). Determine a transformada Z inversa de X(). Se fosse possível expressar X() na forma ( )( 3) α + β 3, para α, β R, então seria possível determinar a inversa de X() imediatamente, pois os termos na soma correspondem às transformadas Z de sequências da forma a n. Mais precisamente, se então X() ( )( 3) α + β 3, Z 1 {X()} α n + β3 n. Uma forma de facilitar a determinação dessa decomposição em frações parciais para X() é considerar inicialmente X(), determinar uma decomposição simples para esta expressão e finalmente obter a decomposição para X() multiplicando por. Este procedimento é ilustrado a seguir.

46 Método de Frações Parciais 41 Considere X() 1 ( )( 3). O objetivo é determinar uma decomposição em frações parciais da forma: Note que: α + 1 ( )( 3) α + β 3. (..1) β α( 3) + β( ) 3 ( )( 3) (α + β) (3α + β). (..) ( )( 3) Assim, ao analisar o numerador de (..) e comparar com o numerador da primeira fração em (..1), pode-se concluir que para obter a igualdade os coeficientes α e β devem satisfaer α + β 0 (coeficiente de ) (3α + β) 1 (termo independente). Resolvendo este sistema linear por qualquer método, é possível obter os coeficientes α e β da decomposição. Tem-se assim que α 1 e β 1 e portanto: X() 1 ( )( 3) Multiplicando por, obtêm-se uma decomposição em frações parciais para X() da forma X() ( )( 3) + 3, e pode-se concluir finalmente que a inversa de X() é Exemplo.7. Seja Z 1 {X()} n + 3 n. X() ( a)( b) onde a, b C e a b. Determine Z 1 {X()}. Aplicando a decomposição em frações parciais em X()/: X() ( a)( b) α a + β b α( b) + β( a) ( a)( b) (α + β) (bα + aβ). ( a)( b)

47 Método de Frações Parciais 4 Pela igualdade dos polinômios em nos numeradores, (α + β) (bα + aβ), tem-se o sistema linear a seguir: α + β 1 (coeficiente de ) (bα + aβ) 0 (termo independente), cuja solução é Assim, e portanto Logo X() α X() a b a e β b b a. a b a a + b b a b ( ) ( ) ( ) ( ) a b +. b a a b a b x n Z 1 {X()} {( ) ( ) ( ) ( )} a b Z 1 + b a a b a b { } a b a Z 1 + b { } a b a Z 1 b a b a an + b b a bn Portanto: an+1 + b n+1 b a bn+1 a n+1. b a { Z 1 } bn+1 a n+1. ( a)( b) b a Os exemplos a seguir consideram expressões da forma X() A() B() onde o polinômio B() tem uma rai de multiplicidade dois.

48 Método de Frações Parciais 43 Exemplo.8. Seja X() ( + 5), Determine Z 1 {X()}. Aplicando a decomposição em frações parciais em X()/: X() ( + 5) A B ( + 5) A( + 5) + B ( + 5) A + 5A + B ( + 5). Pela igualdade dos polinômios em nos numeradores, A + 5A + B e tem-se o sistema linear: A 1 (coeficiente de ) 5A + B 0 (termo independente), cuja solução é A 1 e B 5. Assim, X() ( + 5) e portanto logo X() ( + 5). Analisando os itens e 9 na lista de transformadas: Z{( 5) n } + 5 x n Z 1 {X()} e Z{n( 5) n } 5 ( + 5), { } Z ( + 5) { } Z ( 5) n + n( 5) n. { } Portanto, Z 1 ( + 5) ( 5) n (1 + n). { } 5 Z 1 ( + 5)

49 Método de Frações Parciais 44 Exemplo.9. Determine a transformada inversa Z 1 de X() ( 3)( ). Seja X() ( 3)( ) 1 ( 3)( ). Usando a decomposição em frações parciais: X() 1 ( 3)( ) A 3 + B + C ( ) A( ) + B( )( 3) + C( 3) ( 3)( ) (A + B) + ( 4A 5B + C) + (4A + 6B 3C) ( 3)( ). Pela igualdade dos polinômios em nos numeradores: tem-se o sistema linear: 1 (A + B) + ( 4A 5B + C) + (4A + 6B 3C), 4A 5B + C 0 (coeficiente de ) A + B 0 (coeficiente de ) 4A + 6B 3C 1 (termo independente), cuja solução é A 1, B 1 e C 1. Assim, X() ( ) e portanto X() 3 ( ). Considerando novamente os resultados anteriores sobre transformada resumidos no Apêndice B, tem-se: x n Z 1 {X()} Z 1 { 3 { } Z n n nn. } ( ) { } { Z 1 Z 1 ( ) }

50 Método de Frações Parciais 45 Portanto: { } Z 1 ( 3)( ) 3 n n + n. No exemplo a seguir é apresentada uma decomposição em frações parciais para X() sem a divisão prévia por. Exemplo.10. Determine a transformada inversa Z 1 de X() + 3 ( + 1)( + ). Usando a decomposição em frações parciais: X() + 3 ( + 1)( + ) A B + A( + ) + B( + 1) ( + 1)( + ) (A + B) + (A + B). ( + 1)( + ) Pela igualdade dos polinômios em nos numeradores, tem-se o sistema linear: A + B 1 (coeficiente de ) A + B 3 (termo independente), cuja solução é A e B 1. Assim, X() Analisando o item 3 na lista de transformadas: logo Z{( 1) n 1 } x n Z 1 {X()} { Z } + e Z{( ) n 1 } 1 +, { } { } 1 1 Z 1 Z ( 1) n 1 ( ) n 1. Portanto, x n Z 1 {X()} ( 1) n 1 ( ) n 1.

51 Método de Frações Parciais 46 A vantagem de utiliar a decomposição em frações parciais é que muitas vees os termos resultantes são funções de muito simples de inverter. Podese observar, entretanto, que na aplicação da técnica de frações parciais para a obtenção da transformada Z inversa de X() A() B(), nos exemplos considerados até aqui, o polinômio B() sempre aparece fatorado em termos das suas raíes. Caso contrário, é preciso fatorar o polinômio antes de utiliar o método de frações parciais. Embora em teoria sempre seja possível realiar esta fatoração, no caso de polinômios de grau com raíes complexas ou de polinômios de grau maior que, este processo de fatoração pode não ser imediato. Exemplo.11. Seja X() O denominador da primeira fração pode ser fatorado imediatamente notando que ( +5) e portanto ( + 5), cuja inversa ja foi calculada no exemplo.8. O denominador da segunda fração também pode ser fatorado e tem-se 6 6 ( 3)( + ), cuja expressão já foi considerada de forma geral no exemplo.7. Assim, aplicando os resultados obtidos nos exemplos.7 e.8, pode-se calcular a transfor-

52 Método de Frações Parciais 47 mada inversa de X() como: Z 1 {X()} Z 1 { { Z 1 } { + Z 1 } { } { Z 1 ( + 5) + Z 1 } ( 3)( + ) ( 5) n (1 + n) + 3n+1 ( ) n+1 3 ( ) ( 5) n (1 + n) + 3n+1 ( ) n+1 5 } O exemplo seguinte considera um caso em que o polinômio no denominador tem raíes complexas. Mesmo neste caso é possível utiliar o método de frações parciais, mas há complicações inerentes ao fato de lidar com números complexos. Caso o objetivo seja determinar os coeficientes da sequência inversa sem necessariamente obter uma forma fechada para o termo geral, o método da série de potência pode ser mais conveniente. Caso seja necessário uma fórmula fechada para o termo geral e o método da série de potências não fornece uma conjectura sobre ela (vide Exemplo.5), então o método das frações parciais ou o método dos resíduos são mais apropriados. Exemplo.1. Seja X() Determine Z 1 {X()}. Este mesmo problema foi considerado no Exemplo.5 da seção anterior, cuja conclusão é que x n Z 1 {X()} deve ser da forma: x n {1, 1, 0, 1, 1, 0,...}. Além disso, apresenta sem demonstrar uma fórmula geral para x n : [ ] sen π(n+1) 3 x n. (..3) 3 Este problema será considerado agora utiliando o método das frações parciais. Note que o denominador da fração + + 1

53 Método de Frações Parciais 48 não pode ser fatorado da forma usual, pois as raíes de não são números reais. Aplicando a fórmula quadrática para é possível obter as raíes a 1 + 3i e b 1 3i. Assim, a fatoração em termos das raíes é: [ ( 1 + )] [ ( 3i 1 3i )] ( a)( b). Uma ve obtida esta fatoração, é possível usá-la para determinar a inversa, pois este tipo de função X() já foi considerada de forma geral no exemplo.7. Assim: { Z 1 {X()} Z 1 } logo x n ( Z 1 { bn+1 a n+1 b a ( 1 + 3i 1 3i ( a)( b). ) n+1 ( ) n+1 ( i 3 3i } 1 3i 1 + 3i ) n+1 ) n+1,. (..4) A expressão (..4) é uma fórmula geral, mas certamente parece muito mais complicada do que a fórmula geral anunciada anteriormente em (..3) para a sequência x n {1, 1, 0, 1, 1, 0,...}, obtida no exemplo.5. É possível mostrar que (..3) e (..4) são equivalentes utiliando a identidade sen θ eiθ e iθ i e a forma polar dos números complexos 1 3i cos ( ) 4π + i sen 3 ( ) 4π e i 4π 3 e i π 3 3

54 Método dos Resíduos 49 e Assim: 1 3i + cos x n ( 1 + 3i ( ) π + i sen 3 ) n+1 ( i 3 ( ) π e i π i ( ) n+1 ( ) n+1 e i π 3 e i π 3 i 3 π ei 3 (n+1) e i π 3 (n+1) i 3 [ ] sen π(n+1) 3. 3 ) n+1 Portanto: [ ] sen π(n+1) x n Z 1 3 {X()} {1, 1, 0, 1, 1, 0,...}. 3.3 Método dos Resíduos Nesta seção é considerado o método dos resíduos para o cálculo da transformada Z inversa. Este método é um procedimento geral que em teoria permite determinar a Z inversa para vários tipos de funções, mas neste texto o método será aplicado principalmente a funções racionais. O método dos resíduos está fundamentado em conceitos e resultados importante da análise complexa que serão considerados sem as respectivas demonstrações, que podem ser encontradas em [3, 10]..3.1 Pólos e Resíduos Os conceitos desenvolvidos nesta subseção são independentes da transformada Z e podem ser estudados em textos de variáveis complexas. A aplicação destes conceitos para o cálculo da transformada Z inversa é considerada na Subseção.3.. Definição.1 (Pólo). Considere uma função F () da forma: F () a m ( 0 ) m + + a a n ( 0 ) n, a m 0. (.3.5) n0 Neste caso, 0 é chamado de pólo de ordem m da função F.

55 Método dos Resíduos 50 Note que a definição de pólo só fa sentido se a função pode ser escrita na forma (.3.5). Nem toda função pode ser escrita nesta forma para algum 0, isto é, há funções que não possuem nenhum pólo (por exemplo, funções polinomiais e em geral funções analíticas em todo o plano C). Quando uma função F () tem um pólo de ordem m em 0 então o o produto ( 0 ) m F () tem limite finito e diferente de ero quando 0. Exemplo.13. Considere a função F () + ( 5) 3. Mostre que F () tem um pólo de ordem 3 em 0 5. Para poder concluir que 0 5 é um pólo de ordem 3 de F () a partir da Definição.1, é preciso reescrever F () na forma (.3.5), isto é, como uma soma de potências negativas e não negativas de de ( 5). Note que o numerador ( + ) pode ser reescrito como: + 7( 5) 0 + ( 5) 1. Esta forma de escrever a função + pode parecer artificial, mas nada mais é do que a série de Taylor de + ao redor de 5. Com isso, a função F () pode ser escrita como: F () + ( 5) 3 F () 7( 5)0 + ( 5) 1 7 ( 5) 3 ( 5) ( 5). Esta expressão está na forma (.3.5) considerando 0 5, m 3, a 3 7, a 1 e a n 0 para n 1. Assim, pode-se concluir que 5 é um pólo de ordem 3 de F (). Exemplo.14. Considere F () Mostre que F () tem um pólo de ordem 1 (pólo simples) em 1. Para facilitar a análise, é mais conveniente fatorar o numerador e denominador de F (): F () + ( + 1) ( + 1) + 1. Notando que o numerador pode ser escrito em termos de + 1 como tem-se: F () ( + 1) 0 + ( + 1) 1, + 1 ( + 1)0 + ( + 1) ( + 1) ( + 1) 0, e assim, pode-se concluir que 1 é um pólo de ordem 1 de F ().

56 Método dos Resíduos 51 Os exemplos anteriores sugerem que os pólos de uma função racional estão relacionados com os eros do denominador de F (). Note que no primeiro exemplo, 5 é um pólo de ordem 3 de F () e 5 é também uma rai de multiplicidade 3 do denominador de F (). No segundo exemplo, 1 é um pólo de ordem 1 de F () e embora inicialmente 1 pode ser considerado uma rai de multiplicidade do denominador, após a fatoração e a simplificação do termo (+1), 1 tornou-se uma rai de multiplicidade 1 do denominador resultante. Estes fatos podem ser formaliados no resultado a seguir. Teorema.1. Seja F () H() G(), onde H() e G() são funções polinomiais e 0 C tal que H( 0 ) 0. Então 0 é um pólo de ordem m de F () se e somente se 0 é uma rai de multiplicidade m de G(). Do resultado anterior, é possível identificar os pólos de uma função racional. Inicialmente, identificar as raíes 0 do denominador G(). Se 0 também é uma rai do numerador H(), considerar as possíveis simplificações do termo ( 0 ). Se após simplificações 0 ainda é uma rai do denominador resultante e não é uma rai do numerador, então 0 é um pólo de F () cuja ordem é dada pela multiplicidade de 0 como rai do denominador resultante. Exemplo.15. Determine os pólos da função F () 3 + ( + 3). Ao analiar o denominador ( + 3), note que 0 é uma rai de multiplicidade 1 e 3 é uma rai de multiplicidade. No entanto, o numerador 3 + também se anula em 0. Assim, é preciso fatorar e simplificar este termo: F () 3 + ( + 3) ( + ) ( + ) ( + 3) ( + 3). Com isso, 0 3 é a única rai do denominador e tem multiplicidade. Como o numerador ( + ) não se anula em 3, estão satisfeitas as condições do Teorema.1 e pode-se concluir que 0 3 é o único pólo de F () e é um pólo de ordem. Exemplo.16. Determine os pólos da função F () ( 1)( + ) 3. As raíes do denominador ( 1)( + ) 3 são: 0 com multiplicidade, 1 com multiplicidade 1 e com multiplicidade 3.