Limites de Pontos de Ramificação de Curvas Planas, Usando

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1 Instituto Nacional de Matemática Pura e Aplicada Limites de Pontos de Ramificação de Curvas Planas, Usando Folheações Wállace Mangueira de Sousa Tese de Doutorado Orientador: Eduardo Esteves 017

2 A conversação enriquece a compreensão, mas a solidão é a escola do gênio. Edward Gibson

3 RESUMO Desenvolvemos um método para calcular o limite de curvas duais planas de alguns tipos de famílias. Além disto, fazemos um comparativo entre a fórmula do limite de curvas duais planas dada por Katz [9] e o método aqui introduzido. O nosso principal resultado é calcular o limite de curvas duais da família de Zeuthen de qualquer tipo, isto é, da família de curvas planas F = E A + F 1 X, Y, Zt + F X, Y, Zt + k[x, Y, Z][[t]] cuja fibra genérica é reduzida, E é um polinômio homogêneo irredutível, A um polinômio homogêneo livre de quadrados e gcde, A = 1. Em termos concretos, mostramos que lim F = E + A + [ n E] + 4 n[e A], onde n é um inteiro positivo e n é um discriminante definido de forma recursiva. Usamos a seguinte notação: seja C uma curva plana. Denotamos por C para a curva dual de C. Sejam D 1, D duas curvas planas sem componentes em comum. Denotamos por [D 1 D ] a união dos pencils de retas que passam por cada um dos pontos de D 1 D, contados com as mesmas multiplicidades de interseção que o correspondente ponto tem no 0-ciclo [D 1 D ]. De fato, calculamos algo um pouco mais geral: o 0-ciclo do limite do esquema de ramificação genérico sobre a fibra genérica da família de Zeuthen de qualquer tipo de um sistema linear geral. Para tanto, desenvolvemos um método de recorrência de tal forma que as condições impostas sobre a fibra genérica implicam que este método de recorrência finalize.

4 AGRADECIMENTOS Imensamente grato a Deus pelo dom da vida e conquistas alcançadas. Força motriz da minha existência e responsável por fornecer toda a firmeza necessária ao enfrentar de cada dia, assim como, todo o acalento e amor de um Pai ao seu filho. É ao Senhor que primordialmente dedico cada caractere deste trabalho. À minha mãe, símbolo de coragem e amor impecável, pela constância e incessante apoio aos meus projetos e educação. Ao meu pai, por mostrar-me que a determinação pode nos levar a caminhos inacreditáveis. Às minhas irmãs e sobrinho, por todos os momentos de descontração e alegria. Aos meus avós, César, Ana e Amigão, exemplos de fraternidade, que com a superação de inúmeras adversidades fizeram dos meus pais pessoas de bem e hoje, mesmos carregando os sinais da elevada idade, expõem com orgulho as marca do labor, distribuindo ternura e sabedoria a todos que os circundam. Em especial, ao meu primo Marcinho, que embora não nos regue mais com o bálsamo da sua alegria, irmandade e perseverança, plantou como semente no íntimo dos nossos corações tudo o que de bom pairava sobre si, essa, que germinou e a cada dia cresce como quem foi plantada em terreno fértil, fornecendo doces frutos, porém, com o talo amargo da saudade. A toda a minha família pelo apoio e incentivo dados. À minha namorada, Princesa, pelo companheirismo, paciência e genuíno amor que me foi ternamente fornecido ao longo de todos esses anos, também por acreditar nos meus sonhos e como fiel amiga agir em proveito das suas realizações. Ao padre Zé Sinfrônio e Dona Bidia, pelos seus ensinamentos e todo o vigor em sempre impulsionar-me a seguir pelos melhores caminhos. Que em fim possam repousar ao lado do Senhor. Aos docentes da Universidade Federal da Paraíba, aqui especialmente representados em nome dos professores Fernando Xavier, amigo e primeiro a orientar-me pelas veredas da matemática e Roberto Bedregal, orientador no mestrado, com o qual desfrutei de bons momentos conversando sobre Álgebra Comutativa. Aos antigos amigos dos cursos de Física e Matemática da UFPB, dos quais lembro com nostalgia. Assim como, as mais recentes, mas não menos

5 importantes amizades com parte do alunado do Instituto de Matemática Pura e Aplicada, destacadamente Cayo e Rick, que muito ajudaram dentro e fora das quatro linhas desta instituição. A todo o corpo docente do IMPA pelos ensinamentos prestados, especialmente ao professor Karl-Otto, pelas produtivas conversas que tivemos, e Eduardo Esteves pela paciência, apoio e brilhante orientação, esta, indispensável na conclusão deste ciclo. Por fim, agradeço também a Capes pelo essencial apoio financeiro. v

6 Contents Introdução 1 1 Wronskianos e esquemas de ramificação Wronskianos Derivações equivalentes Esquemas de ramificação Famílias infinitesimais e limites 17.1 Famílias e limites F-Derivações F-Derivações reduzidas Adaptações Aplicações Famílias de Zeuthen de primeiro tipo Famílias de Zeuthen de segundo tipo Outros tipos de famílias Famílias regulares Polígono de Newton Discriminante formal Famílias não-regulares Famílias de Zeuthen de tipo n 43

7 Introdução As curvas planas de grau d são parametrizadas por um espaço projetivo de dimensão N = d+ 1. Supondo que a característica do corpo é 0, então as condições para uma curva passando por um ponto p e tangente a uma reta L são representadas por um hiperplano H p e uma hipersuperfície H L de grau d em P N k, respectivamente. Para propósitos enumerativos os seguintes números característicos são importantes: N d s := Número de curvas suaves planas de grau d tangente a d + s retas e passando por s 1 pontos, onde as retas e os pontos são escolhidos em posição geral. Ou seja, se p 1,..., p N s e L 1,..., L s são pontos e retas gerais, então N d s é o número dos pontos na interseção H p1 H pn s H L1 H Ls que correspondem às curvas suaves. Se s < d 1, o Teorema de Bézout garante que N d s = d s. De fato, o conjunto S das curvas com componentes múltiplas satisfazem todas as condições de reta e as curvas do tipo CL, onde C curva plana e L linear, formam a maior componente deste conjunto, com codimensão d 1. Assim, se s < d 1 as condições gerais nos pontos implicam que este conjunto S não intersecta H p1... H pn s. Logo, todos os pontos da interseção H p1 H pn s H L1 H Ls correspondem às curvas suaves e, por tanto, podemos computar N d s usando Bézout. Por outro lado, se s d 1, então esta fórmula deve ser corrigida. A determinação destes números característicos para todos os graus é complicado e ainda é um problema em aberto. Para contextos históricos, veja, por exemplo [10]. Zeuthen [0] contribuiu em seu trabalho calculando heuristicamente os números N 3 s e N 4 s; Kleiman e Speiser [1] confirmaram o resultado obtido por Zeuthen no cálculo de N 3 s; Vakil [15] também confirmou os resultados de Zeuthen para o caso N 4 s. Aluffi [1] mostrou que os números característicos N d d 1 e N d d podem ser calculados usando blowups. Por outro lado, diferente de Aluffi, Gastel [16] mostrou que os números N d d 1 e N d d podem ser calculados usando limites de conormais de curvas planas e afirmou que possivel- 1

8 mente este seja um melhor caminho para cálculo dos números característicos. Seja F 0 é uma curva plana lisa, então o conormal de F 0, denotado por CF 0, é o conjunto CF 0 := {p, L P k P k p F 0, T p F 0 L}, onde P k é o espaço projetivo dual e T p F 0 é a reta tangente a F 0 no ponto p. Além disto, a curva dual de F 0, denotada por F0, é a imagem da segunda projeção, ou seja, é a imagem do mapa CF 0 π P k. Notemos que a condição de uma reta L ser tangente a F 0 em um ponto de F 0 é equivalente à condição da reta L pertencer à curva F 0. números característicos têm relações com as curvas duais. Seja F = F t = i 0 F ix, Y, Zt i Desta forma, os k[x, Y, Z][[t]] uma família de curvas planas a um parâmetro cuja fibra genérica é lisa. Assim, temos que para quase todo c k, a curva F c é lisa. Podemos nos perguntar para qual curva plana a curva dual se degenera quando c converge para 0. O limite de curvas duais de qualquer família de curvas a um parâmetro é muito difícil de determinar. precisamos de fórmulas de uma forma geral. Mas, para termos teoremas significativos, Precipuamente, o cálculo dos limites de curvas duais foi abordado por Zeuthen, com o objetivo de computar os números característicos. Ele mostrou que se F X, Y, Z, t = 0 é uma família a um parâmetro de curvas planas que satisfazem algumas condições, primeiro tipo, segundo tipo,..., terminologia usada por Zeuthen, então o limite de curvas duais depende somente dos primeiros termos da expansão em séries formal para F em termos de t. Foi mostrado por Gastel que em algumas dessas famílias, como a de primeiro tipo, as fórmulas resultantes valem para graus arbitrários. Katz [9] mostrou que se a família é regular, então o limite pode ser expresso em termos do discriminante formal de F. Por outro lado, sejam F 0 uma curva plana lisa e V, L um sistema linear sobre F 0, ou seja, L é um feixe invertível sobre F 0 e V H 0 F 0, L é um espaço vetorial com dim V = r + 1. Para cada ponto p F 0 e cada inteiro não negativo l, seja V l p V o subsistema linear das seções de V que se anulam em p com multiplicidade pelo menos l. Um ponto p tal que dim V r + 1 p 1 é dito ser um ponto de ramificação de V. Podemos ver o conjunto dos pontos de ramificação do sistema V como um subesquema

9 de F 0. Denotamos este subesquema por R F0 V, L. Sejam F 0 uma curva plana lisa e π : F 0 P 1 k o morfismo definido pela projeção de um ponto geral o P k. Seja R F 0 V, L o esquema de ramificação sobre a curva F 0 de V, L, o sistema linear associado ao mapa π. Neste caso, o divisor de ramificação deste mapa, como em [8] Cap.IV pg.301, é igual ao esquema de ramificação R F0 V, L. Além disto, um ponto p está no suporte de divisor de ramificação deste mapa se, e somente se, a reta que liga o a p, denotada por op, é tangente a F 0 no ponto p. Isto implica que a curva dual F0 é completamente determinada pelos divisores de ramificação das projeções de pontos gerais. Logo, podemos calcular os limites de curvas duais através do cálculo dos limites de esquemas de ramificação. Em resumo, podemos dizer que os esquemas de ramificação têm relações com o cálculo dos números característicos. Assim, chegamos ao título deste trabalho. Esta tese apresenta uma outra abordagem para o cálculo dos limites de curvas duais: através do cálculo do limite de esquemas de ramificação. A teoria aqui introduzida, na verdade, é um trabalho de E. Esteves e N. Medeiros. Esteves e Medeiros calcularam os pontos de ramificação de um sistema linear sobre uma curva plana usando folheações singulares. Seja α uma seção global não nula de T P k d 1, o feixe tangente de P k torcido. Dizemos que α é uma folheação singular de P k de grau d. A folheação singular α induz, via sequência de Euler, um campo de vetores global sobre A 3 k. Este campo corresponde a uma k-derivação homogênea de k[x, Y, Z], ou seja, = G 1 X + G Y + G 3 Z, onde G 1, G, G 3 k[x, Y, Z] são homogêneos de mesmo grau e X, Y, Z são as derivadas parciais canônicas. Dizemos que a folheação α deixa uma curva plana F 0 invariante se F 0 F 0. Um exemplo simples de uma folheação que deixa a curva plana F 0 invariante é a folheção induzida pela derivação X F 0 Y F 0 Z F 0 F0,H := det X H Y H Z H, X Y Z onde H k[x, Y, Z] é um polinômio homogêneo. 3

10 Suponhamos que V k[x, Y, Z] e é um k-subespaço vetorial homogêneo gerado por a 0,..., a r. Dizemos que o determinante a 0 a 1 a r a W v := det 0 a 1 a r... r a 0 r a 1 r a r ] é o Wronskiano de v := [a 0 a r com respeito a uma k-derivação homogênea de k[x, Y, Z], onde i é a i-ésima iterada de. Definimos W V := W v, onde v é qualquer base ordenada de V. Seja V, O P k e F0 o sistema linear sobre a curva plana F 0 induzido por V, onde V é um k-subespaço vetorial homogêneo com dim k V = r + 1. Denotamos por R F0 V o esquema de ramificação sobre F 0 do sistema linear V, O P k e F0. Seja H um polinômio homogêneo primo com F 0. Com estas hipóteses, Esteves e Medeiros mostraram que gcdw F0,H V, F 0 = 1 se, e somente se, o esquema de ramificação R F0 V é finito, ou seja, é um divisor da curva. Neste caso, eles mostraram que o esquema R F0 V pode ser visto globalmente como um wronskiano, ou seja, o esquema de ramificação satisfaz a seguinte expressão como divisor de Cartier da curva F 0 : r + 1 W V F F0,H 0 = R F0 V + H F 0. I Suponhamos que F seja uma família de curvas planas cuja fibra genérica é reduzida. Sejam V k[[t]][x, Y, Z] um k[[t]]-submódulo homogêneo de posto r + 1 e H k[x, Y, Z] homogêneo primo com F 0. Acrescentando o símbolo para indicar os termos sobre a fibra genérica, temos que se o esquema de ramificação genérico R F V é finito, então a Expressão I também será válida na ótica da fibra genérica desta família, ou seja, r + 1 W F,H V F = R F V + H F. II Desejamos calcular o 0-ciclo do limite do esquema de ramificação genérico, ou seja, queremos calcular o 0-ciclo do limite de R F V. 4 Para tanto,

11 podemos tomar o limite da Expressão II. Por outro lado, o limite de W F,H V F não necessariamente será W V 0 F F0,H 0, pois este último termo pode nem sequer fazer sentido. Por exemplo, basta que a fibra especial F 0 seja não reduzida ou que uma componente de F 0 divida algum elemento não nulo de V 0. Esteves e Medeiros resolveram este problema permitindo adaptar as derivações a cada componente irredutível de F 0. Estas adaptações, junto com um estudo mais aprofundado em limites de divisores de Cartier [6], possibilitaram calcular o limite do esquema de ramificação genérico de alguns tipos de famílias de curvas planas cuja fibra especial é não reduzida. Dentre estas famílias com fibra especial não reduzida temos as de primeiro tipo, segundo tipo e terceiro tipo, terminologia de Zeuthen. O resultado principal desta tese é mostrar que podemos calcular o 0- ciclo do limite do esquema de ramificação sobre a fibra genérica da família de Zeuthen de qualquer tipo, ou seja, da família F = E A+ i 1 F ix, Y, Zt i k[[t]][x, Y, Z] d, de um sistema linear genérico V. Em particular, considerando V [[t]] o sistema linear induzido por V, sistema linear associado a projeção de um ponto geral o P k, calculamos o limite de curvas duais da família de Zeuthen de qualquer tipo. Isto significa que calculamos o limite do esquema de ramificação e, particularmente, o limite de curvas duais de todos os elementos de um aberto denso da maior componente do conjunto S, onde S é o conjunto, definido anteriormente, das curvas com componentes múltiplas. O cálculo do limite de curvas planas duais deste tipo de família é bastante significativo, o qual foi abordado várias vezes mas sem sucesso. Breves apontamentos acerca dos capítulos. No Capítulo 1 introduzimos o conceito de derivações equivalentes o qual desempenha papel fundamental no cálculo do esquema de ramificação. Além disso, no Lema 1.3 mostramos que o esquema de ramificação sobre uma curva de um sistema linear, quando finito, pode ser visto globalmente como um wronskiano. No Capítulo introduzimos os estudos com famílias de curvas planas e no Teorema. calculamos o limite do esquema de ramificação genérico de um sistema linear geral sobre uma família geral. Mais ainda, fazemos uma análise dos limites de pontos de ramificação sobre a fibra genérica e concluimos que adaptando as derivações a cada componente irredutível da fibra especial, podemos com- 5

12 putar o limite do esquema de ramificação genérico sobre outros tipos de famílias cuja fibra especial é não reduzida. No Capítulo 3 obtemos os mesmos resultados que Zeuthen para o limite das curvas duais de famílias de primeiro tipo e segundo tipo. Calculamos também outro tipo de família que, como veremos no Capítulo 4, não é regular, em geral. No Capítulo 4 descrevemos o conceito de famílias regulares introduzido por Katz [9] e fazemos um comparativo entre o método de Katz de calcular limites de curvas planas duais e o método introduzido neste trabalho. Finalizamos com o Capítulo 5 mostrando no Teorema 5.3 que se a fibra genérica da família F = E A + F 1 t + F t + é reduzida, E é irredutível, A livre de quadrados com gcde, A = 1 e V é um sistema linear geral de posto r + 1, então esta família é de tipo n para algum n e que o 0-ciclo do limite do esquema de ramificação genérico, denotado por [R F V ], satisfaz r + 1 [R F V ] = [R E V 0] + [R A V 0] + 4 n[e A] + [ n E], onde n é um discriminante definido de forma recursiva. 6

13 1 Wronskianos e esquemas de ramificação 1.1 Wronskianos Sejam k um anel e S uma k-álgebra. Sejam uma k-derivação de S e v := [a 0 a r ] uma matriz linha com a i S. Dizemos que o determinante a 0 a 1 a r a W v := det 0 a 1 a r..., r a 0 r a 1 r a r onde i denota a i-ésima iterada de, é o Wronskiano de v com respeito a derivação. Notemos que a multilinearidade do determinante e a regra de Leibniz de derivações garantem as seguintes propriedades do Wronskiano: 1 W c v = c r+1 W v para todo c S. W vm = det MW v para toda matriz quadrada M de ordem r + 1 com entradas em k. Se V S é um k-módulo livre ] de posto finito, denotamos por W V := W v, onde v := [a 0 a r, para a 0,..., a r uma k-base ordenada de V. A Propriedade nos afirma que W V está bem definido a menos de multiplicação por um elemento invertível de k. Suponhamos que k é um corpo e que S := k[x, Y, Z]. Para cada inteiro d 0, considere S d S o k-submódulo livre dos polinômios homogêneos de grau d, incluindo 0. Um k-submódulo V S é dito homogêneo de grau d se V S d. Sejam X, Y, Z as k-derivações parciais naturais de S com respeito às variáveis X, Y, Z. Uma k-derivação de S pode ser expressa na forma = G 1 X + G Y + G 3 Z, onde G 1, G, G 3 S. Dizemos que é homogênea de grau d se G 1, G, G 3 são homogêneos de grau d. 7

14 Dado um polinômio P S, defina P := [ ] X P Y P Z P. Se Q S é outro polinômio, consideramos a k-derivação P,Q de k[x, Y, Z] definida por P X P Y P Z P P,Q := det Q := det X Q Y Q Z Q X Y Z Y P Z P := Y Q Z Q X P Z P X X Q Z Q X P Y P Y + X Q Y Q Z. Suponhamos que k é um corpo algebricamente fechado de característica 0. Uma k-derivação homogênea = G 1 X + G Y + G 3 Z de grau d de S induz um mapa racional η : P k P k, definido por η p := G 1 p : G p : G 3 p. O mapa η induz uma folheação η : O P k 1 d T P k, onde T P é o feixe tangente de P k k, no seguinte sentido: a direção dada por η no ponto p P k é a reta passando pelos pontos p e η p. Ambos o mapa racional e a reta não estão definidos no subesquema V P k menores da matriz: [ X Y Z G 1 G G 3 ]. dado pelos Um ponto p V é chamado singularidade de η, ou singular para η. Esta folheação existe genericamente, ou seja, V P k se não é um múltiplo da derivação de Euler: ε := X X + Y Y + Z Z. Neste caso, dizemos que η é uma folheação de grau d de P k. detalhes veja, por exemplo, [5]. Para mais A folheação η deixa uma curva plana F 0 invariante se, e somente se, F 0 F 0. Além disso, existe uma quantidade finita de singularidades de η sobre F 0 se, e somente se, gcd, F 0 = 1. Aqui o termo gcd, F 0 é, por 8

15 definição, o maior divisor comum de F 0 e os menores da matriz: [ X Y Z G 1 G G 3 ] ] ] Notemos que estes menores são W [X Y, W [X Z e W [Y Z. Também dizemos que é primo com F 0 quando gcd, F 0 = 1. ]. 1. Derivações equivalentes Sejam k um corpo infinito e S := k[x, Y, Z] com a graduação natural. Seja F 0 S um polinômio homogêneo não constante. Definição 1.1. Sejam 1 e duas k-derivações homogêneas de S tais que F 0 1 F 0 e F 0 F 0. Dizemos que 1 e são equivalentes módulo F 0 e denotamos por 1 F0, se existe c k {0} tal que para cada polinômio homogêneo linear L existem uma k-derivação homogênea e um polinômio homogêneo N S satisfazendo: L 1 c = F 0 + Nε. 1 Proposição 1.1. Sejam 1 e duas k-derivações homogêneas de S tais que F 0 1 F 0 e F 0 F 0. Se 1 F0 e V S e é um k-espaço vetorial, então o subesquema definido por W 1 V = F 0 = 0 é o mesmo que o definido por W V = F 0 = 0. ] Proof. De fato, seja v := [a 0 a r uma base de V. Pelas propriedades do wronskiano, sabemos que W L 1 V = L r+1 W 1 V. Por hipótese, W L 1 V = W Lc +F 0 +NεV F0 W Lc +NεV. Usando indução, podemos mostrar que para cada n existem H j A, para j = 1,..., n, tais que Lc + Nε n a i = L n c n n a i + L n 1 c n 1 n 1 a i H a i H n para todo a i, ou seja, W Lc +NεV = W Lc V. Portanto, L r+1 W 1 V = W L 1 V F0 W Lc V = L r+1 c r+1 W 1 V 9

16 para todo polinômio linear homogêneo L. Como k é infinito, temos W 1 V F0 c r+1 W V. 1.3 Esquemas de ramificação Sejam k um corpo infinito de característica zero, S := k[x, Y, Z] e F 0 S um polinômio homogêneo não nulo de grau d > 0. O polinômio F 0 define uma curva plana C P k, ou seja, um subesquema fechado de dimensão pura um. Seja I C O P o feixe de ideais de C sobre P k k. Notemos que I C /IC é localmente livre de posto um. Além disto, temos que a sequência exata canônica de feixes sobre C, induz um mapa I C IC d Ω 1 P k /k O C µ : Ω 1 C/k I C I C π Ω 1 C/k 0 Ω 1 P k /k O C, o qual é definido sobre um aberto afim U de C por π U λ f λ d U f, onde λ é uma seção de Ω 1 P k /k O C sobre U e f é um seção de I C /IC sobre U. O mapa µ está bem definido pois I C I é um feixe de O C -módulos localmente C livre de posto 1. Defina ω C/k := Ω 1 P k /k IC 1. IC Tensorizando µ por IC I C 1 obtemos o seguinte mapa: η C/P k /k : Ω1 C/k ω C/k. Vejamos como descrever o mapa η := η C/P k /k localmente, digamos no aberto U Z Z 0. Defina x := X/Z, y := Y/Z e fx, y := F 0 x, y, 1. 10

17 Como antes, temos o seguinte mapa o qual é definido por η UZ : Ω k[x,y] ω k[x,y] /k /k, fx,y fx,y fx, y η UZ πdx := dx dx + x fx, y dy fx, y, y ou seja, Analogamente, η UZ πdx := fx, y y dx dy fx, y. fx, y η UZ πdy := dx dy fx, y. x Consideramos agora os seguintes mapas canônicos: 1. A diferencial exterior O C Ω 1 C ;. O homomorfismo η : Ω 1 C ω C definido anteriormente; 3. A derivação d : O C ω C obtida da composição dos dois mapas anteriores. A derivação d : O C ω C induz localmente, digamos no aberto U Z, uma k-derivação: : O C U Z O C U Z definida por du Z h = h τ Z, onde τ Z := dx dy fx, y. Notemos que = fx, y fx, y y + x, x y ou seja, a k-derivação em U Z é dada pelo determinante: = det [ fx,y x x fx,y y y Seja V S e um k-subespaço vetorial com dim V = r + 1, para certos inteiros e > 0 e r > 0. Suponhamos que o k-espaço vetorial V induz um sistema linear V, O P e C de posto projetivo r e grau de sobre C. k ]. 11

18 Para cada ponto p C e cada inteiro não negativo l, seja V l p V o subsistema linear das seções de V que se anulam em p com multiplicidade pelo menos l. Um ponto p tal que dim V r + 1 p 1 é dito ser um ponto de ramificação de V. Um ponto p C é um ponto de Weierstrass se p é um ponto de ramificação do sistema linear completo das seções de ω C. Podemos ver o conjunto dos pontos de ramificação de um sistema V sobre F 0 como um subesquema de F 0 da seguinte forma: no aberto U Z Z 0, consideramos o subesquema de F 0 definido por W V = F 0 = 0, onde é a derivação definida acima. Façamos as mesmas construções nos outros abertos canônicos para a derivação e o subesquema dado pela interseção dos respectivos wronskianos com F 0. Estes subesquemas de F 0 definidos localmente colam [4] e formam um subesquema de F 0, o qual chamamos de esquema de ramificação de V sobre F 0 e denotamos por R F0 V. Além disto, R F0 V parametriza os pontos de ramificação do sistema V sobre F 0, ou seja, o suporte de R F0 V é o conjunto dos pontos de ramificação do sistema linear V sobre F 0. O esquema de ramificação R F0 V pode ser infinito. De fato, Proposição 1.. O esquema de ramificação R F0 V é finito se, e somente se, C é geometricamente reduzida e o sistema linear é não degenerado em cada componente geométrica de C. Em outras palavras, denotando por k o fecho algébrico de k, temos que R F0 V é finito se, e somente se, os fatores irredutíveis do polinômio homogêneo F 0 em k[x, Y, Z] são distintos e não dividem qualquer elemento não nulo de V k k. Proof. Para maiores detalhes veja [4] Prop.7.8 pg.133. É importante considerar o fecho algébrico de k. Por exemplo, se k = R, F 0 = X + Y, V = RX + RY e = X F 0 Y Y F 0 X, temos que W V = F 0 e, portanto, R F0 V será toda a curva, mesmo sendo F 0 irredutível e não dividindo qualquer polinômio linear. Este mesmo exemplo serve para mostrar a necessidade de que os fatores irredutíveis de F 0 não devem dividir qualquer elemento de V. Considere k = C, F 0 = X + iy X iy e V = CX + CY. Temos que F 0 não tem fatores múltiplos, mas seus fatores irredutíveis dividem elementos não nulos de V. E, como antes, o esquema de ramificação será toda a curva. Se R F0 V é finito, então podemos ver R F0 V como um divisor de Cartier de F 0. Terminaremos esta seção calculando R F0 V por meio de 1

19 um wronskiano global. Antes, precisamos introduzir um pouco mais de conceitos. Sejam D 1, D S polinômios homogêneos não constantes e coprimos. Denotamos por D 1 D o subesquema de P k definido por D 1 = D = 0, e por [D 1 D ] o 0-ciclo associado. Veremos também D 1 D como um divisor de Cartier da curva D 1 ou D. Lema 1.3. Seja k um corpo infinito de característica 0. Considere P k[x, Y, Z] um polinômio homogêneo e V k[x, Y, Z] um k-subespaço vetorial de dimensão r + 1, para algum inteiro positivo r. Então as seguintes afirmações são verdadeiras: 1. Se Q 1, Q k[x, Y, Z] são polinômios homogêneos não constantes, então Q P,Q1 P Q 1 P,Q.. Para cada polinômio homogêneo não constante Q k[x, Y, Z] primo com P, o esquema de ramificação R P V associado a V sobre a curva definida por P é finito se, e somente se, gcdw P,Q V, P = 1. Neste caso, r + 1 W P,Q V P = R P V + Q P como divisores de Cartier da curva. 3. Se P é livre de quadrados, então gcd P,Q, P = 1 para todo polinômio homogêneo não constante Q k[x, Y, Z] primo com P. Proof. 1. Seja L qualquer polinômio homogêneo linear, não nulo. Podemos assumir sem perda de generalidade que L = Z. Pois se L=: L 0, L 1, L é uma k-base de k[x 1, X, X 3 ] 1, então L i = 3 j=1 a i,jx j, i = 1,, 3 e, além disso, 3 Li = b i,j Xj, i = 1,, 3. j=0 13

20 Portanto, L0 P L1 P L P X0 P X1 P X P L0 Q L1 Q L Q = X0 Q X1 Q X Q [ b i,j ] T 1 i,j 3, L0 L1 L X0 X1 X ou seja, os determinantes das duas matrizes diferem por um fator constante não nulo e isto não interfere no que desejamos. Seja X P Y P εp P,Q Y P εp := X Q Y Q εq := X Y ε Y Q εq X P εp X X Q εq Y X P Y P + X Q Y Q ε onde ε é a derivação de Euler. Notemos que para P, Q k[x, Y, Z] polinômios homogêneos quaisquer, a multilinearidade do determinante garante que Z P,Q = P,Q. Sejam q 1 e q os graus de Q 1 e Q respectivamente. Definamos Q X := q Q X Q 1 q 1 Q 1 X Q, Q Y := q Q Y Q 1 q 1 Q 1 Y Q. Como q Q εq 1 q 1 Q 1 εq = q Q q 1 Q 1 q 1 Q 1 q Q = 0, temos que Zq Q P,Q1 q 1 Q 1 P,Q = q Q P,Q 1 q 1 Q 1 P,Q Y P εp = q Q Y Q 1 εq 1 Y P εp X q 1 Q 1 Y Q εq X X P εp q Q X Q 1 εq 1 X P εp Y + q 1 Q 1 X Q εq Y 14

21 X P Y P +q Q X Q 1 Y Q 1 ε q X P Y P 1Q 1 X Q Y Q ε X P X P = Q Y εp X + Q X εp Y + Q X Q Y ε Q X Q Y = pp + X P Y P ε, X Y Q X onde p é o grau de P. Isto conclui a demonstração do Item 1.. Pelo Item 1, temos Z P,Q P Q P,Z. A Proposição 1.1 e as propriedades do wronskiano garantem que Z r+1 W P,Q V = W Z P,Q V P cw Q P,Z V = cq r+1 W P,Z V, 3 para algum c k. Por outro lado, como Q Y X P Y P Z P X P Y P P,Z = = X Y Z X Y, temos que, no aberto U Z Z 0, R P V é a interseção de P com W P,Z V. Além disso, como gcdq, P = 1, a Equação 3 nos diz que no aberto U Z R P V é finito gcdw P,Q V, P = Z n, para algum n Z. O mesmo raciocínio mostra que no aberto U X R P V é finito gcdw P,Q V, P = X m, para algum m Z, ou seja, temos que R P V é finito gcdw P,Q V, P = 1. Além disto, notemos que se gcdw P,Q V, P = 1, então a Equação 3 nos afirma que: r + 1 r + 1 Z P + W P,Q V P = Q P + W P,Z V P. Desta forma, sobre o aberto U Z, temos que a Equação segue. Analoga- 15

22 mente, a Equação também será válida nos abertos U X e U Y. 3. Como k é infinito, podemos assumir que todo fator linear que divide P não é combinação de apenas duas funções coordenadas, digamos X e Y. Seja Q k[x, Y, Z] um polinômio homogêneo não constante primo com P. Seja V k[x, Y, Z] o subespaço vetorial gerado por X e Y. Como gcdl, P = 1 para cada L V, e P é livre de quadrados, temos, pela Proposição 1., que R P V é finito. Segue do Item que W P,Q X, Y é primo com P e, portanto, gcd P,Q, P = 1. 16

23 Famílias infinitesimais e limites.1 Famílias e limites Sejam k um corpo algebricamente fechado de característica 0 e S := k[x, Y, Z] com a graduação natural. Sejam k[[t]] o anel das séries de potências formais sobre a variável t com coeficientes em k, kt := k[[t]][1/t] o anel das séries formais de Laurent o corpo de frações de k[[t]] e S[[t]] com a graduação induzida, onde o grau de t é zero. Os elementos homogêneos de S[[t]] são chamados de séries de potências homogêneas. Para cada k-espaço vetorial V, definimos por V [[t]] o k[[t]]-módulo das séries de potências sobre t com coeficientes em V. Dado P V [[t]], denotamos por P 0 o coeficiente constante. Denotamos V := V [1/t] = V kt. Para evitar confusão, usaremos o índice para indicar que um certo objeto deveria ser considerado sobre kt. Seja V S[[t]] um k[[t]]-submódulo. Dizemos que V é saturado se para cada P S[[t]] tal que tp V, temos P V. Observação.1. Se V S d [[t]] é um k[[t]]-submódulo homogêneo não nulo, então V é livre de posto finito, pois V é finitamente gerado, não tem torção e k[[t]] é domínio de ideais principais. Digamos que V tem posto r + 1 para um inteiro r 0. ] Além disto, se V é saturado, então V possui uma k[[t]]-base [P 0 P r de séries de potências homogêneas de grau d tal que os respectivos coeficientes constantes P 0 0,..., P r 0 são linearmente independentes sobre k. Denotamos por V 0 o subespaço de S d gerado por P 0 0,..., P r 0. Seja F S e [[t]] com F 0 0. Desta forma, vemos F como uma família infinitesimal de curvas planas de grau e. Seja V S d [[t]] um k[[t]]- submódulo. O k[[t]]-módulo V induz uma família infinitesimal de sistemas lineares de grau de sobre esta família de curvas. Os membros genéricos destas famílias são definidos sobre kt: a curva genérica é dada por F, a qual é F vista como um elemento de kt[x, Y, Z], e o sistema linear genérico é induzido por V, visto como um kt-subespaço vetorial de S d t. 17

24 Para cada subsequema fechado R P k[[t]], definimos lim R := P k R P P k[[t]] kt. Dizemos que lim R é o bordo esquemático, ou o esquema limite, ou o limite, do subesquema R em P k. Suponhamos que o esquema de ramificação genérico R F V P kt é finito. Denotamos por R F V o bordo esquemático de R F V em P k e denotamos por [R F V ] o 0-ciclo associado. O nosso objetivo é calcular [R F V ].. F-Derivações Sejam k um corpo algebricamente fechado de característica 0, S := k[x, Y, Z] com a graduação natural e F S e [[t]] com F 0 0. Seja V S[[t]] um k[[t]]-submódulo não nulo, homogêneo, saturado de posto r + 1, para algum inteiro r > 0. Suponhamos que o esquema de ramificação genérico R F V P kt é finito. Para computar o bordo esquemático R F V do esquema de ramificação genérico R F V, consideraremos k[[t]]-derivações homogêneas de S[[t]]. Tais derivações podem ser escritas em termos da base natural, X, Y, Z na forma = G X X + G Y Y + G Z Z, onde G X, G Y, G Z são séries de potências homogêneas com o mesmo grau, digamos m. Definamos 0 := G X 0 X + G Y 0 Y + G Z 0 Z. Se 0 não é múltiplo da derivação de Euler, então induz uma família infinitesimal de folheações singulares de grau m do plano. Dizemos que é uma F -derivação se F F. Geometricamente, a família de folheações associada a deixa invariante a família de curvas planas definida por F. Um exemplo simples de uma F -derivação é X F Y F Z F := F,H = X H Y H Z H, X Y Z 18

25 onde H é qualquer série de potências homogênea de grau positivo. Para uma referência sobre derivações ou campos de vetores que deixam uma hipersuperfície uma curva no nosso caso invariante veja [5]. Se H e F não têm componentes em comum em kt[x, Y, Z], podemos usar F,H para calcular R F V sobre a curva genérica dada por F. De fato, supondo R F V é finito, o Lema 1.3 afirma que a expressão do divisor de ramificação como divisor de Cartier sobre a curva genérica é: Observação.. r + 1 R F V = W V F H F. Além disto, para calcular R F V, podemos escolher H k[x, Y, Z] homogêneo, não constante e primo com F 0. Neste caso, para calcular [R F V ], podemos tomar o 0-ciclo do bordo da expressão acima. Por outro lado, o bordo da interseção W V F não necessariamente será W 0V 0 F 0, pois este último termo pode nem sequer fazer sentido. Por exemplo, se uma componente irredutível de F 0 é múltipla ou divide um polinômio não nulo de V 0, então esta componente é também componente de W 0V 0. Concluiremos este capítulo mostrando como tratar o caso onde F 0 tem componentes mútiplas, mas F é uma deformação de F 0 ao longo de uma direção geral, e nenhum dos fatores irredutíveis de F 0 divide algum polinômio não nulo de V 0..3 F-Derivações reduzidas Sejam k um corpo algebricamente fechado de característica 0 e S := k[x, Y, Z] com a graduação natural. Para cada polinômio homogêneo não constante P S, escrevamos P = n i=1 E e i i, onde E 1,..., E n são fatores irredutíveis coprimos de P. Definamos n P := E i P P i=1 n = E i i=1 n i=1 e i E i E i. 19

26 Notemos que P = P P P = i E e i 1 i i E i P P = i E e i 1 i P para qualquer P S homogêneo não constante. Seja F S[[t]] uma série de potências homogênea de grau positivo e termo constante F 0 não nulo. Definamos H := F F 0/t, e F 0 := H. Como H = 0 e F 0 = 0, pois F 0 divide F 0, temos que F = F 0 + t H = 0, ou seja, é uma F -derivação. Dizemos que a derivação é a F -derivação reduzida. Lema.1. Seja F S[[t]] uma série de potências de grau positivo. Seja H := F F 0/t. Considere F 0 0 = H0. Se gcde i, H0 = 1, então gcd 0, E i = 1. Proof. A multilinearidade do determinante garante que: F 0 n i=1 E i n 0 = H0 = H0 i=1 e i E i E i = n n E i e i E j H0 j i i=1 n E i = e i E j H0 + E i i j i 0

27 n = e i E j Ei,H0 + E i i, j i onde i é uma derivação. Desta forma, se gcde i, H0 = 1, o Lema 1.3 afirma que gcd 0, E i = 1. O próximo resultado mostra que se F = i F ix, Y, Zt i k[x, Y, Z][[t]] é uma deformação de F 0 ao longo de uma direção geral, ou seja, nenhum dos fatores irredutíveis de F 0 é fator de F 1, então podemos calcular o limite do esquema de ramificação genérico de um sistema linear V quando este sistema é não degenerado sobre cada componente irredutível de F 0. Teorema.. Sejam k um corpo algebricamente fechado de característica 0 e F k[x, Y, Z][[t]] uma série de potências homogêneas de grau positivo. Escreva F 0 = n i=1 E e i i, onde E 1,..., E n são os fatores irredutíveis coprimos de F 0. Defina H := F F 0 /t Notemos que H0 = F 1. Seja V k[x, Y, Z][[t]] um k[[t]]-submódulo homogêneo não nulo saturado de posto r + 1, onde r é um inteiro positivo. Suponha que E i não divida F 1 nem qualquer polinômio não nulo de V 0 para cada i = 1,..., n. Defina R i := R Ei V 0, o esquema de ramificação do sistema linear induzido por V 0 sobre a curva definida por E i. Então o esquema genérico de ramificação R F V P kt é finito, e o 0-ciclo do bordo esquemático [R F V ] em P k satisfaz [R F V ] = i r + 1 e i [R i ] + e i + e j [E i E j ] i<j r e i 1[E i F 1 ]. Proof. Consideremos a F -derivação reduzida F 0 := H. 1 i

28 Notemos que F F 0 + th F 0 i Ee i 1 i F 0 F,H = H = H = H = H = i F 0 i H = i E e i 1 E e i 1 i. Como os fatores irredutíveis de F são distintos, pois F 1 é primo com E i, para todo i = 1,..., n, e não dividem qualquer elemento não nulo de V, a Proposição 1. garante que R F V é finito. O Lema 1.3 e as propriedades do wronskiano implicam que r + 1 R F V = W F,H V F F H r + 1 = W i E i e i 1 V F F H r + 1 r + 1 = e i 1Ei F + W V F F H i r + 1 = W V F + e i 1Ei F F H. Agora, como i [lim E i F ] = [E i F 1 ] e [lim F H ] = i e i [E i F 1 ] segue que [R F V ] = [lim W V F ] Por outro lado, a prova do Lema.1 garante que r + 1 [E i F 1 ]. 4 n 0 = e i E j Ei,F 1 + E i i, 5 j i onde i é uma derivação. Notemos que cada E i não divide F 1 nem qualquer i

29 polinômio não nulo de V 0. Assim, a Proposição 1. e o Lema 1.3 implicam que gcdw 0 V 0, E i = 1. Portanto, [lim W V F ] = [W 0 V 0 F 0] = i e i [W 0 V 0 E i ]. Usando a Equação 5 e o Lema 1., temos Portanto, [W 0 V 0 E i ] = [W ei n j i E j Ei,F 1 +E i i V 0 E i] = [W ei n j i E j Ei V 0 E,F 1 i ] r + 1 = [E j E i ] + [W Ei,F 1 V 0 E i ] j i r + 1 r + 1 = [E j E i ] + [R i ] + [E i F 1 ] j i [lim W V F ] = i = i e i [R i ] + i r + 1 = [E j E i ] + [E i F 1 ] + [R i ]. j i [ r + 1 ] e i [E j E i ] + [E i F 1 ] + [R i ] j i r + 1 e i [E i F 1 ] + r + 1 e j + e i [E i E j ]. Substituindo esta última equação em 4, obtemos o resultado desejado. i<j Seja C uma curva plana. Usaremos a notação C para a curva dual de C. Se C, D são duas curvas planas sem componentes em comum, denotamos por [C D] a união dos pencils de retas que passam por cada um dos pontos de C D, contados com as mesmas multiplicidades de interseção que o correspondente ponto tem no ciclo [C D]. Exemplo.1. Sejam k um corpo algebricamente fechado de característica 0, uma curva plana suave C P k e f : C P1 k a projeção por um ponto geral o P k V,. Seja f O P 1 1 o sistema linear associado a f. Assim, k o divisor de ramificação deste sistema linear é o esquema dos zeros de uma seção global s, a seção Wronskiana de f O P 1 1 ωc = f O k P 1 ω C. k 3

30 Ou seja, considere o mapa O C f O P 1 k ω C induzido pela seção global s. Este mapa é injetivo e induz um mapa dual também injetivo, Além disso, como f O P 1 k ω 1 C f O P 1 k ω 1 C O C. = f Ω P 1 Ω 1 k C, pois a curva é suave, a [8] Cap.IV Prop..3 pg.301 garante que f O P 1 ω 1 k C é isomorfo ao feixe de ideais do divisor de ramificação da projeção. Logo, por [8] Ex..3c pg.305, p está no suporte do divisor de ramificação do sistema linear se, e somente se, a reta que liga o a p, denotada por op, é tangente a C. Agora, considerando C sua curva dual e p n pp o divisor de ramificação do sistema linear, temos que C o = p n p op. Portanto, sabendo p n pp para um ponto o geral recuperamos C. Corolário..1. Seja k um corpo algebricamente fechado de característica 0. Seja F = i 0 F ix, Y, Zt i k[x, Y, Z][[t]] uma série de potências homogênea de grau positivo. Escreva F 0 = n i=1 E e i i, onde E 1,..., E n são os fatores irredutíveis coprimos de F 0. Suponhamos que E i não divida F 1 para i = 1,..., n. Então, lim F = i e i E i + i<j e i + e j [E i E j ] + i e i 1[E i F 1 ] Proof. Segue do Exemplo.1 e do Teorema...4 Adaptações Sejam k um corpo algebricamente fechado de característica 0 e S := k[x, Y, Z] com a graduação natural. Seja F S[[t]] uma série de potências homogênea de grau positivo e com coeficiente constante F 0 não nulo. Seja V S[[t]] um k[[t]]-submódulo, homogêneo, saturado de posto r+1, para algum inteiro r > 0. Considere uma F -derivação de S[[t]]. 4

31 Se o esquema de ramificação genérico R F V é finito, gostaríamos de calcular o 0-ciclo do bordo esquemático [R F V ] em P k. Como vimos na Seção., podemos escolher tal que W V seja primo com F e, assim, computamos R F V. Entretanto, o k-espaço vetorial V 0 pode induzir um sistema linear degenerado sobre uma componente irredutível da curva plana definida por F 0, ou seja, esta componente divide um elemento não nulo de V 0. Mais ainda, 0 pode conter uma componente de F 0 no seu lugar singular, por exemplo, quando a componente é multipla e = F,H para qualquer série de potências homogênea H S[[t]]. Em qualquer um dos casos, W 0 V 0 será divisível por uma componente de F 0, e, portanto, não podemos usar o Lema 1.3 para computar o limite R F V. Para contornarmos isto, permitiremos modificar as derivações para adaptálas a cada fator irredutível de F 0. De fato, para calcular o 0-ciclo do limite do esquema de ramificação genérico R F V em P k, permitimos mudar para qualquer outra F - derivação 1, tal que as derivações induzidas e 1 em kt[x, Y, Z] sejam equivalentes módulo F. Estas mudanças são permitidas pois para algum c kt {0}. W 1 V F cw V Vamos realmente considerar algo um pouco mais geral e para tanto fazemos a seguinte definição. Definição.1. Seja F S[[t]] uma série de potências homogênea de grau positivo e com termo constante F 0 não nulo. Sejam E um fator irredutivel de F 0 e uma F -derivação. Dizemos que é adaptada a E se gcd 0, E = 1. Definição.. Dizemos que uma F -derivação 1 de S[[t]] é uma adaptação de uma F -derivação para E, componente irredutível de F 0, se 1 é adaptada a E e existe uma série de potências homogênea G S[[t]] tal que gcde, G0 = 1 e 1 F G. No próximo capítulo veremos alguns tipos de famílias em que existem derivações adaptadas aos fatores irredutíveis de F 0. Não sabemos em geral quando tais adaptações existem. Mas quando estas derivações existem, podemos calcular o 0-ciclo do bordo esquemático do esquema de ramificação genérico [R F V ] usando o Teorema.4, o qual é uma simples consequência 5

32 da proposição abaixo. Proposição.3. Seja k um corpo algebricamente fechado de característica 0. Sejam F, G k[[t]][x, Y, Z] séries de potências homogêneas de graus positivos. Considere E 1,..., E n os fatores irredutíveis de F 0, e e 1,..., e n suas multiplicidades. Suponhamos que, para cada i = 1,..., n, existem séries de potências homogêneas L i, M i k[[t]][x, Y, Z] tais que: 1. L i G é equivalente a M i módulo F em kt[x, Y, Z];. L i 0M i 0 é primo com E i. Então F e G são coprimos em kt[x, Y, Z] e [lim G F ] = n i=1 e i [M i 0 E i ] [L i 0 E i ]. Proof. Este resultado pode ser encontrado num contexto mais geral em [6] Thm.4 pg.9. Teorema.4. Sejam k um corpo algebricamente fechado de característica 0, F k[[t]][x, Y, Z] uma série de potências homogênea de grau positivo, uma F -derivação e V k[[t]][x, Y, Z] um k[[t]]-submódulo saturado, homogêneo, de posto r+1. Considere E 1,..., E n os fatores irredutíveis de F 0, e e 1,..., e n suas multiplicidades. Suponhamos que para cada i = 1,..., n o submódulo V 0 é não degenerado sobre E i e que exista uma série de potências homogêneas H i k[[t]][x, Y, Z] e uma F -derivação i que seja E i -adaptada e satisfaça: 1. gcdh i 0, E i = 1;. i F H i. Então W V e F não têm componentes em comum em kt[x, Y, Z] e [lim W V F ] = n n r + 1 e i [W i 0V 0 E i ] e i [H i 0 E i ] i=1 Proof. Definamos L i := H r+1 que: i i=1, M i := W i V e G := W V. Notemos 1. L i 0 = H r+1 i 0 é primo com E i pela Hipótese 1; 6

33 . L i G é equivalente a M i módulo F pela Hipótese, pela Propriedade 1 do wronskiano e pela Proposição 1.1. Assim, a Proposição.3 afirma que F e G = W V são coprimos em kt[x, Y, Z] e que [lim W V F ] = [lim G F ] = = n i=1 e i [M i 0 E i ] [L i 0 E i ] n n r + 1 e i [W i 0V 0 E i ] e i [H i 0 E i ], i=1 como queríamos demonstrar. i=1 7

34 3 Aplicações Sejam k um corpo algebricamente fechado de característica 0, S := k[x, Y, Z] com a graduação natural e F S d [[t]] uma série de potências homogênea não nula. Proposição 3.1. Seja H k[x, Y, Z] um polinômio homogêneo primo com F 0. Seja X F Y F Z F F,H = det X H Y H Z H. X Y Z Suponhamos que F 0 = n i=1 Ee i i, onde E 1,..., E n são fatores irredutíveis e coprimos. Assim, F,H é adaptada a E i se, e somente se, e i = 1. Proof. Como F,H 0 = n i=1 Ee i i,h = e ie e i 1 i j i E e j j E i,h + E e i i j i Ee j,h, j então o Lema 1.3 informa que a F -derivação F,H é adaptada a E i se, e somente se, e i = 1. Por outro lado, mostraremos que existem derivações adaptadas a componentes irredutíveis múltiplas de alguns tipos de famílias. 3.1 Famílias de Zeuthen de primeiro tipo Definição 3.1. Suponhamos que F = E n A + F 1 t + F t + + F i t i +, onde A e E são livres de quadrados e coprimos e n. Dizemos que F é de primeiro tipo se gcde, F 1 = 1. O nosso objetivo é encontrar F -derivações que sejam adaptadas a cada componente irredutível de F 0 = E n A e, assim, usar o Teorema.4 junto com o Lema 1.3 para poder calcular o 0-ciclo do limite do esquema de ramificação genérico [R F V ], onde V S e [[t]] é um k[[t]]-submódulo homogêneo, saturado, genérico de posto r + 1. Seja H k[x, Y, Z] um polinômio homogêneo primo com F 0. Como os fatores de A aparecem com multiplicidade 1 como fatores de F 0, a 8

35 Proposição 3.1 garante que a F -derivação F,H é adaptada para cada fator irredutível de A. Por outro lado, uma F -derivação adaptada a cada fator irredutível de E é simplesmente dada por := 1 E n 1 B 1,E n A = 1 E n 1 onde B 1 := F E n A/t. De fato, notemos que X B 1 Y B 1 Z B 1 X E n A Y E n A Z E n A, X Y Z F = E n A + B 1 t = E n A + t B 1 = 0, logo é uma F -derivação. Para mostrar que é adaptada a cada componente irredutível de E, notemos que 0 = 1 E n 1 F 1,E n A = na F1,E + E F1,A e que E é livre de quadrados, assim a Proposição 3.1 garante que é adaptada a cada componente irredutível de E. Precisamos comparar e F,H para podermos usar o Teorema.4. Observemos que t = t1/e n 1 B1,E n A = 1/E n 1 tb1,e n A = 1/E n 1 F,E n A. Assim, o Lema 1.3 afirma que H F th = 1/E n 1 H F,E n A F 1/E n 1 E n A F,H = EA F,H como kt-derivações de kt[x, Y, Z]. Como gcdea, H = 1, temos que H é uma adaptação de E F,H a cada componente irredutível de E. Seja V k[[t]][x, Y, Z] um k[[t]]-submódulo saturado, homogêneo, de posto r+1 tal que V 0 é não degenerado sobre cada componente irredutível de F 0 e que R F V é finito. Defina := 1 := E F,H ; := H ; H 1 := 1; H := A. 9

36 Segue do Teorema.4 que [lim W V F ] = [W 1 0V 0 A] + [W 0V 0 E n ] r + 1 [A E n ] 6 Agora, como 1 0 = E E n A,H A E n+1 A,H, temos, pelo Lema 1.3, que r + 1 W 1 0V 0 A = E n+1 H A + R A V 0. 7 Analogamente, 0 = H 0 E HA F1,E. Logo, W 0V 0 E n r + 1 = n AHF 1 E + R E V 0. 8 Finalmente, as propriedades do wronskiano e o Lema 1.3 implicam que r + 1 W V F = W E F,H V F = R F V + E H F. Como [lim E H F ] = [E F 1 ] + [H E n A], e, por definição, [lim R F V ] = [R F V ] temos [lim W V F ] = [R F V ] + r + 1 [E F 1 ] + r + 1 [H E n A]. 9 Desta forma, substituindo 7, 8, 9 em 6 e tomando os 0-ciclos associados, teremos r + 1 [R F V ] = [E n+1 H A] + [R A V 0] r + 1 +n [AHF 1 E] + [R E V 0] 30

37 ou seja, r + 1 [A E n ] r + 1 [E F 1 ] r + 1 [H E n A], r + 1 [R F V ] = n[r E V 0]+[R A V 0]+ n+1[a E]+n 1[F 1 E]. Agora, seja V [[t]] k[[t]][x 1, X, X 3 ] e o k[[t]]-submódulo gerado por V, o sistema linear induzido pela projeção de um ponto geral de P k. Teorema 3.. Seja F = E n A + F 1 t + F t + + F i t i + uma série de potências homogênea, onde A e E são livres de quadrados e gcde, AF 1 = 1. Então, lim F = ne + A + n + 1[A E] + n 1[F 1 E]. Observação 3.. Notemos que quando n = e o posto de V é r + 1, o 0-ciclo do limite do esquema de ramificação genérico da família de primeiro tipo é: r + 1 [R F V ] = [R E V 0] + [R A V 0] + 4 1[A E] + [F 1 E]. 3. Famílias de Zeuthen de segundo tipo Seja F = E n A + ne n 1 F 1 t + F t + F 3 t 3 + uma série de potências homogênea, onde n, E e A são livres de quadrados e coprimos. Suponhamos que gcda, F = 1. Notemos que = = A n 1 F = E n A n + ne n 1 A n 1 F 1 t + A n 1 F t + n EA + F 1 t + A n 1 F n EA + F 1 t + A n 1 F 31 n n EA n F 1 t + EA n F 1 + t.

38 Definamos := A n 1 F n EA n F1. Definição 3.. Dizemos que a família F é do segundo tipo se gcde, = 1. Neste caso, defina Q 1 := EA + F 1 t e Q := A n 1 F Q n 1 /t. Segue que A n 1 F = Q n 1 + Q t. 10 Notemos que Q 0 =. Seja H k[x, Y, Z] polinômio homogêneo tal que gcdh, EA = 1. Como na seção anterior, F,H é adaptada a cada fator irredutível de A. Por outro lado, a derivação := A n 1 Q,Q 1 é uma F -derivação. De fato, a Equação 10 garante que F = A n 1 Q,Q 1 F = Q,Q 1 A n 1 F F Q,Q 1 A n 1 = F Q,Q 1 A n 1. Além disto, como 0 := A n 1,EA = A n,e + A n 1 E,A e gcde, A = 1, temos que é adaptada a cada componente irredutível de E. Como t H = HA n 1 A n 1 F,Q 1 = HA n 1 F,Q1 + HA n 1 F A n 1,Q 1, segue que H F HA n 1 F,Q1 F A n 1 Q 1 F,H, como kt-derivações de kt[x, Y, Z]. Seja A = P 1 P m decomposição em fatores irredutíveis. Como, por hipótese, gcdp j, F = 1, para j = 1,.., m, então existe ij tal que P j F s se s < ij, mas P j F ij. Definamos P j := En A + ne n 1 F 1 t + F t + + F ij 1 t ij 1 P j, 3

39 onde j = 1,..., m. Notemos que para cada j = 1,..., m existem inteiros positivos a j, b j e séries de potências homogêneas N j tais que P a j j A n 1 Q 1 F N j t b j e gcdn j 0, P j = Portanto, P a j j H a F P j j A n 1 Q 1 F,H F N j F,H como kt-derivações de kt[x, Y, Z], para j = 1,..., m. Seja V k[[t]][x, Y, Z] um k[[t]]-submódulo saturado, homogêneo, de posto r+1 tal que V 0 é não degenerado sobre cada componente irredutível de F 0 e que R F V é finito. Definamos := 1 := ; l := N l 1 F,H, para l =,..., m + 1; E 1 := E; E l := P l 1 para l =,..., m + 1; H 1 := 1; H l := P a l 1 l 1 H para l =,..., m + 1. Assim, o Teorema.4 garante que m+1 [limw V F ] = n[w 1 0V 0 E] + [W l 0V 0 P l 1 ] l= ou seja, r + 1 m+1 l= [ P a l 1 l 1 0H P l 1], [lim W V F ] = n[w 1 0V 0 E] + [W E n A,H V 0 A] r + 1 m+1 m+1 + [N l 1 0 P l 1 ] [ P a l 1 l 1 0H P l 1]. 1 l= Como antes, iremos calcular cada termo não conhecido da igualdade acima. Calculando W 0V 0 E: como l= 0 E A n,e, 33

40 temos, pelo Lema 1.3, que r + 1 W 0V 0 E = A n E + R E V Calculando W E n A,H V 0 A: como temos que E n A,H A E n A,H, r + 1 W E n A,H V 0 A = E n H A + R A V Calculando [R F V ]: temos que = A n 1 Q,Q 1 F A n 1 F,Q1 como kt-derivações de kt[x, Y, Z], logo Notemos que r + 1 W V F = A n 1 Q 1 F + R F V. 15 e que, pela Equação 11, A n 1 Q 1 n F A nn 1 t n +, P a j j A n 1 Q 1 n F N n j t b jn +, para j = 1,..., m. Assim, a Proposição.3 garante que [lim A n 1 Q 1 n F ] = n[a nn 1 E]+ ou seja, [lim A n 1 Q 1 F ] = [A nn 1 E]+ m j=1 m j=1 n [N j 0 P j ] [ P a j j 0 P j ], [N j 0 P j ] [ P a j j 0 P j ]. 34

41 Tomando limite na Equação 15 e os 0-ciclos associados, [lim W V F ] = ou seja, r + 1 r [A nn 1 E] + [lim A n 1 Q 1 F ] + [lim R F V ], [lim W V F ] = [R F V ] m j=1 [Nj 0 P j ] [ P a j j 0 P j ] 16 Substituindo 13, 14 e 16 em 1 e tomando os 0-ciclos associados, ou seja, r + 1 [R F V ] = n [A n E] + [R E V 0] r [E n H A] + [R A V 0] r + 1 m+1 m+1 + [N l 1 0 P l 1 ] [ P a l 1 l 1 0H P l 1] l= r + 1 [A nn 1 E] + m j=1 l= [Nj 0 P j ] [ P a j j 0 P j ] r + 1 [R F V ] = n[r E V 0] + [R A V 0] + 3n n [E A] r + 1 +n 1 [ E]. Agora, seja V [[t]] k[[t]][x 1, X, X 3 ] e o k[[t]]-submódulo gerado por V, o sistema linear induzido pela projeção de um ponto geral de P k. Teorema 3.3. Seja F = E n A + ne n 1 F 1 t + F t + uma série de potências homogênea, onde n, E e A são livres de quadrados e coprimos. Suponhamos que gcda, F = 1 e que F é de segundo tipo. 35