MÉTODOS QUANTITATIVOS EM PESQUISA FLORESTAL DISTRIBUIÇÕES PROBABILÍSTICAS

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1 MÉTODOS QUANTITATIVOS EM PESQUISA FLORESTAL DISTRIBUIÇÕES PROBABILÍSTICAS

2 DISTRIBUIÇÃO DE FREQÜÊNCIA EXPONENCIAL BINOMIAL

3 DISTRIBUIÇÃO BINOMIAL PROVA DE BERNOULLI: SUCESSO OU FALHA SOMENTE DOIS POSSÍVEIS RESULTADOS PARA CADA INDIVÍDUO POPULAÇÃO DICOTÔMICA: DEFEITUOSA OU SEM DEFEITO, DOENTE OU SADIA, MACHO OU FÊMEA, MORTA OU VIVA, POSITIVA OU NEGATIVA. PROBABILIDADE DE SUCESSO: P(S)=p; P(F)=1-p = q

4 DISTIBUIÇÃO BINOMIAL JACOB BERNOULLI NASCEU EM 1654 E FALECEU EM 1705 EM BASILÉIA NA SUIÇA FOI PROFESSOR DE MATEMÁTICA NA UNIVERSIDADE DE BASILÉIA. PUBLICOU DIVERSOS TRABALHOS SOBRE CÁLCULO DIFERENCIAL, GEOMETRIA E PROBABILIDADE. PEDIU QUE NO SEU TÚMULO FOSSE ESCRITO: EU VOLTAREI O MESMO, EMBORA MUDADO

5 AMOSTRAGEM COM REPOSIÇÃO AMOSTRAGEM COM REPOSIÇÃO: 50 INDIVÍDUOS SENDO 10 DOENTES P(D)=10/50=0,2 OU 20 % P(S)=40/50=0,8 OU 80%

6 AMOSTRAGEM SEM REPOSIÇÃO NÃO HÁ INDEPENDÊNCIA DA PROVA 3 INDIVÍDUOS SELECIONADOS AO ACASO P(D)=10/50=0,2 OU 20% P(D)= 9/49=0,18 OU 18% P(D)=8/48 = 0,17 OU 17%

7 EXEMPLO: SUPONHAMOS UMA FLORESTA DE PINUS CARIBAEA VAR HONDURENSIS, ONDE AMOSTRAMOS 1000 ÁRVORES SENDO 4% COM RABO-DE-RAPOSA.

8 RABO-DE-RAPOSA SELEÇÃO ALEATÓRIA DE 1 ÁRVORE: 0=NORMAL OU 1 = RABO-DE-RAPOSA p=0.04 q=1-p=1-0,04 = 0,96 SELEÇÃO ALEATÓRIA DE 2 ÁRVORES (COM REPOSIÇÃO): 2 NORMAIS, 2 COM RABO-DE- RAPOSA, 1 NORMAL E OUTRA COM RR, 1 COM RR E OUTRA NORMAL 2 NORMAIS = q x q = 0,96 x 0,96 = 0, RR = p x p = 0,04 x 0,04 = 0, NORMAL E OUTRA RR = 2 x 0,04 x 0,96 = 0,0768

9 E SE AMOSTRARMOS 3 ÁRVORES? NNN NRN NNR RNN NRR RNR RRN RRR 1,2 1 0,8 0,6 0,4 3 NORMAIS = 1 2 NORMAIS E 1 RR =3 2 RR E 1 NORMAL = 3 3 RR = 1 TOTAL=8 3,5 3 2,5 2 1,5 1 0,2 0 N RR 0,5 0 3N 2N+1RR 1N+2RR 3RR

10 E AS PROBABILIDADES? 3 NORMAIS = 0,96 x 0,96 x 0,96 =0, NORMAIS E 1 RR = 3 x 0,96 x 0,96 x 0,04 = 0, NORMAL E 2 RR = 3 x 0,96 x 0,04 x 0,04 = 0, RR = 0,04 x 0,04 x 0,04 = 0,00011 TOTAL= 0, , , ,00011 = 1,0000

11 EXPANSÃO BINOMIAL EXPANSÃO DO TERMO (p+q) k, ONDE k É O TAMANHO DA AMOSTRA. AMOSTRA TAMANHO 1 (p+q) 1 = p + q TAMANHO 2 (p+q) 2 = p pq + q 2 TAMANHO 3 (p+q) 3 = p 3 + 3p 2 q + 3pq 2 + q 3 TAMANHO 4 (p+q) 4 =??????

12 TRIÂNGULO DE PASCAL

13 ANÁLISE COMBINATÓRIA k c = ( k k! c)!( c)! k = TAMANHO DA AMOSTRA c = COEFICIENTE DA EXPANSÂO (NÃO CONSIDERA O PRIMEIRO)

14 EXEMPLO: 5 1 = (5 5! 1)! 1! = = (5 5! 3)!3! = 10

15 EXERCÍCIO EM UM LABORATÓRIO A CHANCE DE TRANFERÊNCIA DE GENS DE UM ESPÉCIE PARA OUTRA É DE 25 %. TOMOU-SE UMA AMOSTRA DE 5 POSSÍVEIS TRANSGÊNICOS. QUAL A PROBABILIDADE DE NÃO SE TER INDIVÍDUOS TRANSGÊNICOS? QUAL A PROBABILIDADE DE HAVER NA AMOSTRA TOMADA 4 OU MAIS INDIVÍDUOS TRANSGÊNICOS?

16 SOLUÇÃO 1 0,2373 0, ] [ ] [ = = = = = = = q q p X P q p x k x X P x k x

17 SOLUÇÃO 2 P[ X 4] = 5 4 p 4 q p 5 q 5 5 = 0,0156

18 PARA CASA (OPTATIVO) A PORCENTAGEM DE GERMINAÇÃO DE SEMENTES DE UM DETRMINADO LOTE É DE 80%. SE PLANTARMOS 6 SEMENTES, QUAL A PROBABILIDADE DE: TER NO MÁXIMO 3 GERMINADAS? 4 OU MAIS GERMINADAS? O NÚMERO DE SEMENTES GERMINADAS ESTARÁ ENTRE 2 E 4 SEMENTES?

19 MÉTODOS QUANTITATIVOS EM PESQUISA FLORESTAL DISTRIBUIÇÃO DE POISSON

20 DISTRIBUIÇÃO DE POISSON (p+q) k, k MUITO GRANDE (0,001+0,999) 1000 SOLUÇÃO MUITO COMPLEXA DISTRIBUIÇÃO DISCRETA DO NÚMERO DE VEZES QUE UM EVENTO RARO ACONTECE (NÚMERO DE VEZES QUE O EVENTO NÃO OCORRE É GRANDE) VARIÁVEL ESPACIAL (NÚMERO DE INDIVÍDUOS EM PARCELAS) OU TEMPORAL (NÚMERO DE ANIMAIS CAPTURADOS POR DIA)

21 DISTRIBUIÇÃO DE POISSON Siméon Denis Poisson NESCEU EM 1781 E FALECEU EM 1840 NA FRANÇA FOI ALUNO DE DOIS GRANDES MATEMÁTICOS NA ESCOLA POLITÉCNICA, PARIS: LAPLACE E LAGRANGE EM 1837 PUBLICOU IMPORTANTE TRABALHO SOBRE PROBABILIDADE: Recherchés sur la probabilité des jugements FOI PROFESSOR DA ESCOLA POLITÉCNICA, ASTRÔNOMO DO SERVIÇO DE LONGITUDES E CATEDRÁTICO DE MATEMÁTICA PURA DA FACULDADE DE CIÊNCIAS (1809)

22 PROPRIEDADES MÉDIA DEVE SER PEQUENA EM RELAÇÃO AO NÚMERO MÁXIMO DE EVENTOS POSSÍVEIS, PORISSO O EVENTO É CONSIDERADO RARO. Ex.: NÚMERO DE INDIVÍDUOS DE MOGNO EM UMA PARCELA (MAIORIA DAS VEZES 0, 1 E 2). e m. m x P[ X = x] =, x = 0,1,2,..., x! m = MÉDIA

23 APLICAÇÃO:DISPERSÃO ALEATÓRIO AGRUPADO (CONTÁGIO)

24 DISPERSÃO COEFICIENTE DE DISPERSÃO (CD) = s 2 / m CD > 1 AGRUPADO CD = 1 ALEATÓRIO CD < 1 UNIFORME UNIFORME t = CD 1, com _( n 2 n 1 1) g. l.

25 CÁLCULO DO COEFICIENTE DE DISPERSÃO AGRUPE OS DADOS COLETADOS (USE O ALGORÍTMO DE RAMSDELL) CALCULE A MÉDIA E VARIÂNCIA USANDO AS FÓRMULAS PARA DADOS AGRUPADOS n = NÚMERO DE DADOS COLETADOS USE A TABELA DO TESTE t (STUDENT) PARA DECIDIR SOBRE O TESTE (t CALCULADO MAIOR QUE O t TABELADO, O VALOR É SIGNIFICATIVO).

26 TABELA DE t (STUDENT)

27 MÉTODOS QUANTITATIVOS EM PESQUISA FLORESTAL DISTRIBUIÇÃO NORMAL

28 DISTRIBUIÇÃO NORMAL TAMBÉM CHAMADA DE DISTRIBUIÇÃO DE GAUSS O FRANCÊS ABRAHAM DE MOIVRE PUBLICOU A EQUAÇÃO EM 1733 KARL PEARSON BATIZOU DE NORMAL PARA EVITAR UMA QUESTÃO INTERNACIONAL.

29 DISTRIBUIÇÃO NORMAL ABRAHAM DE MOIVRE NASCEU EM 1667 NA FRANÇA E FALECEU EM 1754 EM LONDRES PIONEIRO NO DESENVOLVIMENTO DA GEOMETRIA ANALÍTICA E TEORIA DE PROBABILIDADE TENDO PUBLICADO, EM 1718, O LIVRO:The Doctrine of Chance. NESTE LIVRO ELE DEFINE INDEPENDÊNCIA ESTATÍSTICA E APRESENTA ALGUMAS APLICAÇÕES PROBABILÍSTICAS COM DADOS E CARTAS. EM 1730 PUBLICA O TRABALHO Miscellanea Analytica ONDE APRESENTA A APROXIMAÇÃO NORMAL DA DISTRIBUIÇÃO BINOMIAL

30 DISTRIBUIÇÃO NORMAL Johann Carl Friedrich Gauss NASCEU EM 1777 E FALECEU EM 1855, NA ALEMANHA DURANTE O SEU CURSO SUPERIOR NA UNIVERSIDADE DE BRUNSWICK DESCOBRIU ENTRE OUTROS A APROXIMAÇÃO NORMAL DA DISTRIBUIÇÃO BINOMIAL GAUSS AINDA PROPÔS O MÉTODO DOS QUADRADOS MÍNIMOS (BASE PARA ANÁLISE DE REGRESSÃO), QUANDO PUBLICOU TRABALHO SOBRE A ÓRBITA MAIS PROVÁVEL DO ASTERÓIDE CERES

31 DISTRIBUIÇÃO NORMAL f ( x) = 1 e 1 2 ( x µ ) 2σ 2 2 πσ f ( z) = 1 2 π e 1 z 2 2 NORMAL PADRONIZADA, MÉDIA=0 VARIÂNCIA=1

32 RAZÕES PARA O ESTUDO DA NORMAL A MAIORIA DOS TESTES ESTATÍSTICOS PARTEM DO PRINCÍPIO QUE OS DADOS POSSUEM A DISTRIBUIÇÃO NORMAL (TESTES PARAMÉTRICOS) TABELAS DA NORMAL FORMA EXTENSIVAMENTE PUBLICADAS, PRINCIPALMENTE A DE z (N~0,1) A DISTRIBUIÇÃO DE MUITAS VARIÁVEIS BIOLÓGICAS É APROXIMADAMENTE NORMAL. VARIÁVEIS QUE NÃO SEGUEM A NORMAL PODEM SER TRANSFORMADAS PARA ATINGIR A NORMALIDADE. Ex.: LOG, RAIZ QUADRADA, ARCO SENO, ETC. TEOREMA DO LIMITE CENTRAL

33 TEOREMA DO LIMITE CENTRAL SE X i É UMA AMOSTRA ALEATÓRIA COM MÉDIA µ E VARIÂNCIA σ 2, A DISTRIBUIÇÃO DA MÉDIA DA AMOSTRA TENDE A UMA DISTRIBUIÇÃO NORMAL COM MÉDIA µ E VARIÂNCIA σ 2 /n, QUANDO n AUMENTA EM DIREÇÃO AO INFINITO.

34 DISTRIBUIÇÃO NORMAL

35 DISTRIBUIÇÃO NORMAL NORMAL BIMODAL ASSIMETRIA

36 DISTRIBUIÇÃO NORMAL: DOENÇAS

37 TRANSFORMAÇÃO FORMA TRANSFORMAÇÃO RAIZ QUADRADA LOGARITMO INVERSO

38 TESTE DE NORMALIDADE SAS PROPÕE USO DO TESTE DE SHAPIRO-WILK PARA PEQUENAS (<1000) AMOSTRAS E DE KOLMOGOROV- SMIRNOV PARA GRANDES AMOSTRAS. TESTE DE SHAPIRO-WILK BASEIA-SE NO AJUSTE DA DISTRIBUIÇÃO ACUMULADA EM ESCALA PROBABILÍSTICA.

39 SHAPIRO-WILK

40 SHAPIRO-WILK

41 TESTE DE NORMALIDADE NO SAS OPTIONS PS=54 PAGENO=1; DATA A; INPUT IND VAR1; CARDS; ; PROC UNIVARIATE DATA=A NORMAL PLOT; VAR VAR1; RUN;QUIT;

42 RESULTADOS DO TESTE DE NORMALIDADE DO SAS

43 RESULTADOS DO TESTE NORMALIDADE

44 AINDA RESULTADOS

45 OBRIGADO!!! ATÉ A PRÓXIMA!!!