figura 1 (I) (II) (III) (IV)

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Gabriel Henrique da Fonseca Nunes
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1 Duas bolas absolutamente elásticas, de massas m e m e velocidades v e v respectivamente, chocam-se frontalmente, suas velocidades estão na direção da linha que une os seus centros. Determinar as velocidades das bolas após o choque nos casos: a) A velocidade da segunda bola antes do choque é igual a zero; b) As massas das bolas são iguais. Dados do problema massa da bola : m ; massa da bola : m ; velocidade inicial da bola : v ; velocidade inicial da bola : v. Esquema do problema Adotamos um sistema de referência orientado para a direita, com a velocidade da bola no mesmo sentido do referencial ( v 0 ) e a velocidade da bola no sentido contrário ( v 0 ), conforme figura. Solução figura Como o choque é elástico a quantidade de movimento e a energia cinética do sistema se conservam. Assim começamos por escrever estas equações para as bolas e nas situações antes e depois do choque Antes do choque Depois do choque Q i = m v Q i = m v i E C i E C = m v = m v (I) (II) (III) (IV) Q f = m v f Q f = m v f f E C f E C = m v f = m v f (V) (VI) (VII) (VIII) Usando o Princípio da Conservação da Quantidade de Movimento com as equações (I) e (II) antes do choque e as equações (V) e (VI) depois do choque, temos Q i = Q f m v m v = m v f m v f (IX) Usando o Princípio da Conservação da Energia com as equações (III) e (IV) antes do choque e as equações (VII) e (VIII) depois do choque, temos E C i = E C f m v m v = m v f m v f simplificando o fator de ambos os lados da igualdades, obtemos m v m v = m v f m v f (X)

2 As expressões (IX) e (X) formam um sistema de duas equações a duas incógnitas ( v f e v f ) m v m v = m v f m v f m v m v = m v f m v f isolando o valor de v f na primeira equação, temos m v f = m v m v m v f v f = m m v m v m v f (XI) e substituindo na segunda, obtemos m v m v = m v f m [ m m v m v m v f ] m v m v = m v f m m m v m v m v f o termo entre parênteses do lado direito da igualdade é do tipo a b c = a b c ab acbc aplicando à expressão acima e simplificando o termo m no numerador e denominador, temos m v m v = m v f m m v m m v v m v v f + +m v m m v v f m v f (XII) Observação: na dúvida podemos multiplicar diretamente os dois termos m v m v m v f m v m v m v f m v m m v v m v v f m m v v m v m m v v f m v v f m m v v f m v f m v m m v v m v v f m v m m v v f m v f multiplicando toda a expressão (XII) por m m v m v = m v f m m v m m v v m v v f + +m v m m v v f m v f m m m v m v = m m v f m v m m v v m v v f + +m v m m v v f m v f simplificando o termo m v de ambos os lados da igualdade, obtemos m m v = m m v f m v m m v v m v v f m m v v f m v f simplificando o termo m de ambos os lados da igualdade, obtemos m v = m v f m v m v v m v v f m v v f m v f coletando os termos em v f e v f

3 m m v f m v m v v f m v m v v m v = 0 Esta é uma Equação do. o Grau do tipo a x b xc = 0 onde a incógnita é o valor desejado v f, sendo resolvendo m m a v f x m v m v b v f x c m v m v v m v = 0 Δ = b 4ac = m v m v 4 m m m v m v v m v Δ = 4m v 8m m v v 4m v 4 m m v m v v m v + +m v m m v v m m v Δ = 4m v 8m m v v 4m v 4m m v 8m v v 4m v - -4m v 8m m v v 4m m v Δ = 4m v 8m v v 4m v Δ = 4m v v v v o termo entre parênteses é um Produto Notável do tipo a a bb = ab, então v f = b± Δ a v f = m v m v m v v m m Δ = 4m v v = m v m v ± 4m v v m m v f = m v m v ±m v v m m ou v f = m v m v m v v m m v f = m v m v m v m v m m ou v f = m v m v m v m v m m v f = m m m m v ou v f = m v m v m v m m v f = v ou v f = m m v m v m m (XIII) (XIV) substituindo a solução (XIII) na expressão (XI), obtemos v f = m m v m v m v v f = m v m v f = v (XV) substituindo a solução (XIV) na expressão (XI), obtemos v f = m [ m v m v m m m v m v m m ] v f = m [ m v m m m v m m m m m v m m v m m ] 3

4 v f = m [ m v m m v m m v m v m v m m v m m v m m ] v f = m [ m m v m v m m v m m ] m v m v m v m m ] v f = m v v m m m m v f = m m [ (XVI) a) Fazendo v = 0 nas soluções (XIV) e (XVI), obtemos v f = m m v m.0 m m v f = m m v 0 m m v f = m m m m v v f = m v 0. m m m m v f = m v 0 m m v f = m v m m Se m > m, a velocidade final da bola será positiva ( v f 0 ), pois m m 0, a velocidade final da bola também será positiva ( v f 0 ). Isto significa que após o choque a bola continua se deslocando no mesmo sentido da trajetória com velocidade menor e a bola, que estava em repouso, começa a se deslocar no mesmo sentido (figura -A). Se m < m, a velocidade final da bola será negativa ( v f 0 ), pois m m 0, a velocidade final da bola será positiva ( v f 0 ). Isto significa que a bola que se deslocava no mesmo sentido da trajetória inverte seu movimento após o choque e volta contra a orientação da trajetória, a bola começa a se deslocar favor da orientação da trajetória (figura -B). figura b) Fazendo m = m = m nas soluções (XIV) e (XVI), obtemos v f = m m v m.v mm v f = 0. v m.v m 4

5 v f = m m v v f = v v f = m v v m m mm v f = m v v.0 m v f = m m v v f = v Neste caso as bolas trocam suas velocidades, a bola volta contra a orientação da trajetória com o módulo da sua velocidade igual ao módulo da velocidade da bola, enquanto a bola volta a favor da trajetória com o módulo da sua velocidade igual ao modulo da velocidade da bola (figura 3). figura 3 Observação: as soluções (XIII) e (XV) não foram utilizadas pois apresentam uma impossibilidade física. A bola continuaria com sua velocidade a favor da orientação da trajetória e a bola continuaria com sua velocidade contra a orientação da trajetória, não haveria choque, seriam duas bolas fantasmas passando uma através da outra (figura 4). figura 4 5

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