Robustez da dinâmica sob perturbações: da semicontinuidade superior à estabilidade estrutural. Arthur Geromel Fischer

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1 Robustez da dinâmica sob perturbações: da semicontinuidade superior à estabilidade estrutural Arthur Geromel Fischer

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3 SERVIÇO DE PÓS-GRADUAÇÃO DO ICMC-USP Data de Depósito: Assinatura: Arthur Geromel Fischer Robustez da dinâmica sob perturbações: da semicontinuidade superior à estabilidade estrutural Dissertação apresentada ao Instituto de Ciências Matemáticas e de Computação - ICMC-USP, como parte dos requisitos para obtenção do título de Mestre em Ciências Matemática. VERSÃO REVISADA Área de Concentração: Matemática Orientador: Prof. Dr. Hildebrando Munhoz Rodrigues USP São Carlos Setembro de 2015

4 Ficha catalográfica elaborada pela Biblioteca Prof. Achille Bassi e Seção Técnica de Informática, ICMC/USP, com os dados fornecidos pelo(a) autor(a) F529r Fischer, Arthur Geromel Robustez da dinâmica sob perturbações: da semicontinuidade superior à estabilidade estrutural / Arthur Geromel Fischer; orientador Hildebrando Munhoz Rodrigues. -- São Carlos, p. Dissertação (Mestrado - Programa de Pós-Graduação em Matemática) -- Instituto de Ciências Matemáticas e de Computação, Universidade de São Paulo, Semigrupos e Atratores Globais. 2. Semicontinuidade inferior e superior. 3. Estabilidade estrutural e topológica. 4. Permanência e continuidade de elementos críticos. 5. Semigrupos Morse-Smale. I. Rodrigues, Hildebrando Munhoz, orient. II. Título.

5 Arthur Geromel Fischer Robustness of the dynamics under perturbation: from the upper semicontinuity to the structural stability Master dissertation submitted to the Instituto de Ciências Matemáticas e de Computação - ICMC- USP, in partial fulfillment of the requirements for the degree of the Master Program in Mathematics. FINAL VERSION Concentration Area: Mathematics Advisor: Prof. Dr. Hildebrando Munhoz Rodrigues USP São Carlos September 2015

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7 Agradecimentos Primeiramente, gostaria de agradecer aos meus pais. Agradeço ao meu orientador, Professor Hildebrando, e ao Professor Alexandre por toda a ajuda e suporte durante todos esses anos, desde o primeiro ano da minha graduação. Agradeço também à Universidade de São Paulo e aos professores que colaboraram, de um modo ou de outro, para a minha formação. Por m, agradeço à FAPESP pelo apoio nanceiro. vii

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9 Resumo O objetivo principal deste trabalho é o estudo da estabilidade estrutural dos atratores de semigrupos. Começamos este trabalho apresentando o conceito e propriedades básicas de semigrupos que possuem atratores globais. Estudamos, então, semigrupos gradientes e dinamicamente gradientes, mostrando que eles são equivalentes e que uma pequena perturbação autônoma de um semigrupo gradiente continua sendo gradiente. Estudamos as variedades estável e instável de um ponto de equilíbrio hiperbólico e o comportamento de soluções periódicas sob perturbação. Concluímos este trabalho com o estudo dos semigrupos Morse-Smale. Palavras-chave: Semigrupos, atratores globais, estabilidade estrutural, semigrupos gradientes, semigrupos Morse-Smale. ix

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11 Abstract The main goal of this work is the study of structural stability of global attractors. We start this work by presenting the concept and basic properties of semigroups and global attractors. We then studied gradient and dinamically gradient semigroups, showing that these concepts are equivalent and that a small autonomous pertubation of a gradient semigroup remains a gradient semigroup. We studied the stable and unstable manifolds in the neighbourhood of a hyperbolic equilibrium point and the behavior of periodic solutions under perturbation. Finally, we studied the Morse-Smale semigroups. Keywords: Semigroups, global attractors, structural stability, gradient semigroups, Morse-Smale semigroups. xi

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13 Sumário Introdução 1 1 Semigrupos e Atratores Globais Noções e fatos básicos Existência de atratores globais Semicontinuidade superior e inferior 17 3 Estabilidade Estrutural Topológica de Atratores Semigrupos gradientes Semigrupos dinamicamente gradientes Estruturas homoclínicas Equivalência entre semigrupos dinamicamente gradientes e gradientes Decomposição de Morse para semigrupos dinamicamente gradientes Funções de Lyapunov para semigrupos dinamicamente gradientes Estabilidade estrutural topológica Vizinhança de um Elemento Crítico Variedades invariantes próximas a um ponto de equilíbrio Variedades invariantes como grácos Diferenciabilidade de variedades invariantes Variedades invariantes sob perturbações O λ-lema Permanência e Continuidade de Elementos Críticos Permanência e continuidade de pontos de equilíbrio Permanência e continuidade de soluções periódicas Soluções periódicas Estabilidade e instabilidade de órbitas periódicas Permanência de órbitas periódicas sob perturbações Semigrupos Morse-Smale Noções básicas Estabilidade estrutural de semigrupos Morse-Smale xiii

14 xiv SUMÁRIO 6.3 Exemplo Conclusão 125

15 Introdução Um sistema dinâmico é uma família de operadores {S(t, s) : t s}, denida em um espaço X e tomando valores nele mesmo de forma que, se o valor de uma certa variável no instante s for x, então S(t, s)x representa o valor dessa variável num instante posterior t. Conhecendo o sistema dinâmico, podemos saber, no futuro, os valores de variáveis que conhecemos no presente. A variável x pode representar diversos tipos de quantidades, sejam elas físicas, biológicas ou em qualquer outra área do conhecimento. Podemos, por exemplo, querer representar a posição de um corpo no espaço, o crescimento de uma população ou a distribuição da temperatura em um corpo. Dessa forma, o espaço X pode ser de dimensão nita ou innita. Podemos utilizar a teoria dos sistemas dinâmicos para representar sistemas físicos existentes no nosso mundo. No entanto, ao fazermos nosso modelo, devemos nos lembrar que ele é uma simplicação do sistema real e, portanto, poderá conter erros. Por isso, o estudo de perturbações dos sistemas dinâmicos é essencial. Este trabalho tem como objetivo a análise do comportamento assintótico dos semigrupos. Para isso, é fundamental focarmos na estabilidade dos atratores globais destes semigrupos. Neste trabalho, trabalhamos apenas com sistemas autônomos e os semigrupos serão denotados sob a forma {S(t) : t 0}. Começamos este trabalho apresentando propriedade básicas dos semigrupos e conceitos como invariância, atração, absorção e soluções globais. Para medirmos a distância entre dois conjuntos, denimos a semi-distância de Hausdor entre os conjuntos A e B: dist H (A, B) := sup inf d(x, y). x A y B Por ela, o conjunto A está "próximo"do conjunto B se todo ponto de A estiver "próximo"de algum ponto de B. Com essas noções, podemos denir o conceito de um atrator global A para um semigrupo {T (t) : t 0} como sendo um conjunto compacto e invariante tal que lim dist H(T (t)b, A) = 0, t

16 2 SUMÁRIO para todo conjunto B limitado. Podemos, agora, desenvolver a parte principal deste trabalho: a estabilidade dos atratores de semigrupos sob uma perturbação autônoma. Começamos o segundo capítulo com o estudo da semicontinuidade superior dos atratores e mostramos que se {T η (t) : t 0} η [0,1] for uma família de semigrupos contínua em η = 0 de forma que cada {T η (t) : t 0} possui atrator global A η, então lim dist H(A η, A 0 ) = 0. η 0 Feito isso, estudamos a semicontinuidade inferior dos atratores e mostramos que, sob certas condições, podemos garantir que lim dist H(A 0, A η ) = 0. η 0 É importante notar que a semicontinuidade superior costuma ser obtida de maneira mais simples que a semicontinuidade inferior. Dessa forma, os capítulos seguintes apresentam condições para obtermos a semicontinuidade inferior. O terceiro capítulo é dedicado a um tipo importante de semigrupo: os semigrupos gradientes, ou seja, semigrupos que possuem uma função de Lyapunov associada. Estudamos, ainda no terceiro capítulo, os semigrupos dinamicamente gradientes (semigrupos que possuem as mesmas propriedades dinâmicas de um semigrupo gradiente). Denimos um par atrator-repulsor e decomposição de Morse para construirmos uma função de Lyapunov associada a um semigrupo dinamicamente gradiente, mostrando a equivalência entre semigrupos gradientes e dinamicamente gradientes. Após caracterizarmos os atratores destes semigrupos, buscamos condições para que uma perturbação de um semigrupo gradiente continue sendo gradiente. Denimos e estudamos, no quarto capítulo, as variedades estável e instável de um elemento críticos (um ponto de equilíbrio hiperbólico ou uma órbita periódica normalmente hiperbólica). Para isso, utilizamos resultados relacionados à decomposição espectral de operadores lineares (para mais detalhes, consultar [6] e [8]). Começamos o quinto capítulo provando, sob hipóteses naturais, as semicontinuidades superior e inferior dos pontos de equilíbrio de aplicações. Finalizamos este capítulo com um estudo da estabilidade assintótica de soluções periódicas. Por m, estudamos, no sexto capítulo, os semigrupos Morse-Smale. Uma característica importante destes semigrupos é que eles são dinamicamente gradientes e a família de invariantes isolados é formada apenas por pontos de equilíbrio e órbitas periódicas. Dessa forma, os resultados do quinto capítulos são essenciais para o estudo dos semigrupos Morse-Smale. Concluímos este trabalho demonstrando um resultado de estabilidade mais forte do que o obtido para semigrupos gradientes: a existência de um isomorsmo entre o diagrama de fase de um semigrupo Morse-Smale e o do semigrupo perturbado. Esta dissertação utiliza resultados básicos de análise, análise funcional e equações diferenciais em espaços de Banach. Para mais detalhes, consultar [2], [7] e [8].

17 Capítulo Semigrupos e Atratores Globais 1 Neste capítulo, introduzimos noções básicas que serão utilizadas no restante deste trabalho. Em particular, denimos e estudamos os conceitos de semigrupo, soluções globais e atratores globais. 1.1 Noções e fatos básicos Seja X um espaço métrico com a métrica d : X X R +, onde R + := [0, ) e denotaremos por C(X) o conjunto das funções contínuas de X em X. Dado um subconjunto A X, denimos a ɛ-vizinhança de A em X como sendo o conjunto O ɛ (A) = {x X : d(x, a) < ɛ para algum a A} Começaremos, agora, com a denição de sistemas dinâmicos autônomos (ou semigrupos) e, de agora em diante, t representa uma variável real. Denição Um semigrupo é uma família {T (t) : t 0} C(X) com as seguintes propriedades: (a) T (0) = I X, onde I X é o operador identidade em X, (b) T (t + s) = T (t)t (s), para todo t, s 0, (c) a função R + X (t, x) T (t)x X é contínua. Denição (Invariância). Um subconjunto A de X é dito invariante pelo semigrupo {T (t) : t 0} se T (t)a = A, para todo t 0. Se A = {a } é um conjunto unitário

18 4 Semigrupos e Atratores Globais invariante, dizemos que a é um ponto de equilíbrio, ou simplesmente um equilíbrio para {T (t) : t 0}. Dizemos que A é positivamente invariante se T (t)a A, para todo t 0. Por m, dizemos que A é negativamente invariante se A T (t)a, para todo t 0. Vamos denir as noções de atração e absorção pela ação de um semigrupo. Para isso, precisamos da semi-distância de Hausdor dist H (A, B) entre dois conjuntos A e B de X, denida por: dist H (A, B) := sup inf d(x, y). x A y B Denimos, também, a distância simétrica de Hausdor entre dois conjuntos A e B por: d H (A, B) = dist H (A, B) + dist H (B, A). Utilizando essa distância, dois conjuntos estão perto se todo ponto do primeiro conjunto está perto de algum ponto do segundo conjunto. Por m, denotamos por dist(a, B) a distância usual entre conjuntos: dist(a, B) := inf inf d(x, y). x A y B Observação Notemos que dist H (A, B) = 0 se, e somente se, A B. De fato, se A B, então, pela denição, é imediato que dist H (A, B) = 0. Por outro lado, vamos supor que dist H (A, B) = 0. Temos, então, que inf y B d(x, y) = 0, x A. Assim, xados x A e n N, existe y B tal que d(x, y) < 1 2n. Seja a A. Dado n N, existe a n A tal que d(a, a n ) < 1 2n. Para cada a n, existe b n B tal que d(a n, b n ) < 1 2n. Dessa forma, d(a, b n) d(a, a n ) + d(a n, b n ) < 1 n. Assim, a sequência {b n } n N B converge para a. Logo a B. Denição (Atração e absorção). Sejam A e B subconjuntos de X. (I) Dizemos que A atrai B pela ação do semigrupo {T (t) : t 0} se lim dist H(T (t)b, A) = 0 t (II) Dizemos que A absorve B se existe t 0 0 tal que T (t)b A, para todo t t 0. Em particular, se A absorve B, então A atrai B.

19 1.1 Noções e fatos básicos 5 Denição (Atrator global). Um conjunto A é chamado de atrator global para o semigrupo {T (t) : t 0} se A for compacto, invariante e atrai os subconjuntos limitados de X pela ação de {T (t) : t 0}. Proposição Se um semigrupo {T (t) : t 0} possui atrator global, então este atrator global é único. Demonstração. Sejam A e  atratores globais para o semigrupo {T (t) : t 0}. Pela invariância de A, temos que T (t)a = A para todo t 0. Assim, como  atrai todos os limitados,  atrai A e 0 = lim dist H (T (t)a, Â) = lim dist t H(A, Â) = dist H(A, Â) t Desta forma, A = A  = Â. Analogamente,  A, mostrando a igualdade entre os dois atratores. Denição Uma solução global de {T (t) : t 0} por x X é uma função contínua φ : R X tal que φ(0) = x e T (t)(φ(s)) = φ(t + s), para todo s R e t 0. Uma solução global constante será chamada de solução estacionária e é fácil ver que seu valor é um ponto de equilíbrio. Como T (t) não é necessariamente injetiva, podem existir diferentes soluções globais por x. Quando uma solução global φ : R X por x existe, denimos a órbita de x relativa à solução global φ por γ φ (x) := {φ(t) : t R}. Também escrevemos (γ φ ) t (x) := {φ(s) : s t} e denimos o conjunto α-limite de x com relação a φ como α φ (x) = (γ φ ) t (x) t R Lema Seja {T (t) : t 0} um semigrupo com atrator global A. Então, dado x A, existe uma solução global limitada φ x : R A tal que φ x (0) = x. Consequentemente A = {x X : existe uma solução global limitada por x}.

20 6 Semigrupos e Atratores Globais Demonstração. Pela invariância de A, temos que, para cada x A, R + t φ(t) := T (t)x é sempre bem denida e relativamente compacta. Como A = T (1)A, para cada x A, existe x 1 A tal que T (1)x 1 = x. Podemos, então, construir uma sequência {x n : n N} A tal que x 0 = x e T (1)x n 1 = x n, para todo n N. Notemos que uma sequência com essas propriedades pode não ser única. Sejam j, n N, com j n. Então T (j)x n = T (j 1)T (1)x n = T (j 1)x n+1 = T (j 2)T (1)x n+1 = T (j 2)x n+2 =... = T (j j)x n+j = x n+j Denamos T (t)x t 0 φ x (t) = T (j + t)x j t [ j, j + 1), j = 1, 2, 3,... É claro que φ x (0) = x e que φ x : R A é limitada, já que está contida em A. Mostremos que ela é uma solução global. Para isso, tomemos t Seja s 0. Então T (t)(φ x (s)) = T (t)t (s)x = T (t + s)x = φ x (t + s) 2. Seja s < 0 e t + s 0. Então existe j N tal que s [ j, j + 1). Assim, T (t)(φ x (s)) = T (t)t (j + s)x j = T (t + j + s)x j = T (t + s)t (j)x j = T (t + s)x = φ x (t + s) 3. Seja s < 0 e t + s < 0. Então existem j, n N tais que s [ j, j + 1) e t + s [ n, n + 1). Assim, T (t)(φ x (s)) = T (t)t (j + s)x j = T (t + j + s)x j = T ([t + n + s] + [j n])x j = T (t + n + s)t (j n)x j = T ([t + s + n)x n = φ x (t + s) Assim, φ x : R A é uma solução global limitada por x e, consequentemente, A {x X : existe uma solução global limitada por x}.

21 1.2 Existência de atratores globais 7 Para a outra inclusão, dada uma solução global limitada φ : R X para o semigrupo {T (t) : t 0}, do fato que φ(r) é um conjunto invariante limitado e que A atrai conjuntos limitados, temos que Sendo A fechado, φ(r) A. Disso, 0 = lim t dist H (T (t)φ(r), A) = dist H (φ(r), A). {x X : existe uma solução global limitada por x} A. e o lema está provado. Observação Pela primeira parte da demonstração acima, podemos ver que se A é um conjunto invariante para o semigrupo {T (t) : t 0}, então existe uma solução global φ : R A por x, para todo x A. 1.2 Existência de atratores globais Nesta seção, vamos apresentar resultados que caracterizam semigrupos que possuem um atrator global. Denição O conjunto ω-limite de um conjunto B X é denido por onde ω(b) = t R + γ + t (B), γ + t (B) := s t T (s)b. Proposição Seja B X. Então ω(b) é fechado e ω(b) = {y X : existem sequências {t n } n N em R + e {x n } n N em B tais que t n n n e T (t n )x n y}.

22 8 Semigrupos e Atratores Globais Se φ : R X é uma solução global por x X, então α φ (x) é fechado e α φ (x) = {v X : existe uma sequência {t n } n N em R + tal que t n n e φ( t n ) n v} Demonstração. O conjunto ω(b) é fechado pois é a interseção de conjuntos fechados. Se y ω(b), então y t R + γ + t (B) e, consequentemente, y γ + t (B), para todo t 0. Assim, para cada n N, existe uma sequência {y n k } k N γ + n (B) tal que y n k que k y. Como y n k γ+ n (B) para todos n, k N, existem {x n k } n,k N B e {q n k } n,k N R + tais y n k = T (n + q n k )x n k. Também, dados n N e ɛ > 0, existe k(n, ɛ) N tal que d(y n k, y) < ɛ, sempre que k k(n, ɛ), ou seja, d(t (n + qk n)xn k, y) < ɛ se k k(n, ɛ). Denamos t n := n + q n e x k(n, 1 n ) n := x n Temos que k(n, 1 ) n n N. t n d(t (t n )x n, y) < 1 n n 0 Assim, se y ω(b), y = lim n T (t n )x n, onde t n n e x n B, para todo Por outro lado, sejam y X e {t n } n N R +, {x n } n N B sequências satisfazendo n e y = lim n T (t n )x n. Então, xando τ R +, temos que {T (t n )x n } tn τ γ + τ (B) e y γ + τ (B). provada. Os resultados para α φ (x) são análogos. Consequentemente, y ω(b) e a caracterização de ω(b) está Proposição Sejam K um conjunto compacto contido em X e {x n } n N uma sequência em X tais que

23 1.2 Existência de atratores globais 9 lim d(x n, K) = 0 n Então {x n } n N tem uma subsequência que converge para algum ponto de K. Além disso, dado um semigrupo {T (t) : t 0} e K um conjunto compacto, se K atrai outro conjunto compacto K 1, então γ + 0 (K 1 ) é relativamente compacto e ω(k 1 ) K. Demonstração. Dado m N, existem n m N e y nm K, tais que d(x nm, y nm ) < 1 m. Sendo K compacto e tomando uma subsequência, se necessário, podemos assumir que y nm m y 0, para algum y 0 K. Dessa forma, obtemos d(x nm, y 0 ) d(x nm, y nm ) + d(y nm, y 0 ) m 0 Isso mostra que {x n } n N possui uma subsequência que converge para um ponto de K, provando a primeira parte da proposição. Provemos a segunda parte. Dado ɛ > 0, existe t 0 R + tal que T (t)k 1 O ɛ/2 (K), t t 0 Sendo K compacto, existem pontos y 1,..., y p K tais que K está na reunião de bolas de raio ɛ/2 e centro y j, 1 j p. Como para cada x T (t)k 1 existe um y K tal que d(x, y) < ɛ, então existe j N tal que d(x, y 2 j) d(x, y) + d(y, y j ) < ɛ + ɛ = ɛ. 2 2 Dessa forma, se t t 0, T (t)k 1 está contido na reunião nita de bolas de raio ɛ. Consequentemente, t t 0 T (t)k 1 está nesta mesma reunião nita de bolas e, logo, é totalmente limitado. Sendo 0 t t 0 T (t)k 1 compacto, segue que γ + (K 1 ) K é totalmente limitado. Assim, γ + (K 1 ) K é compacto. Disso, segue que γ + (K 1 ) é relativamente compacto. Finalmente, γ t + (K 1 ) é não-vazio e compacto para para cada t (R) + e γ t + (K 1 ) γ s + (K 1 ) se s t. Isso signica que a família {γ t + (K 1 )} t R + tem a propriedade da interseção nita e

24 10 Semigrupos e Atratores Globais ω(k 1 ) = t R + γ + t (K 1 ). Dado y ω(k 1 ) e ɛ > 0, existe t 0 R + tal que y γ + t 0 (K 1 ) O ɛ (K). Então, d(y, K) ɛ e, sendo ɛ arbitrário, o resultado segue. Lema Seja {T (t) : t 0} um semigrupo em X. Se B X, então T (t)ω(b) ω(b) para todo t 0. Se B é tal que ω(b) é compacto e atrai B, então ω(b) é invariante. Demonstração. Se ω(b) =, não há nada para provar. Vamos, então, assumir que ω(b). Fixemos t R +. Da Proposição (1.2.2), se y ω(b), existem sequências {t n } n N R + e {x n } n N B tais que y = lim n T (t n )x n. Pela continuidade de T (t), temos que T (t)y = lim n T (t+t n )x n e que T (t)y ω(b). Logo, T (t)ω(b) ω(b). Vamos supor que ω(b) seja compacto e atraia B. Seja x ω(b). Então existem sequências {t n } n N R + e {x n } n N B, tais que t n n e T (t n )x n n x. Para cada t R + xado, existe n 0 N tal que t n > t, se n n 0. Assim, T (t)t (t n t)x n = T (t n )x n n x. Como ω(b) é compacto e atrai B, temos que d(t (t n t)x n, ω(b)) n 0. Proposição (1.2.3), obtemos que {T (t n t)x n } n N possui uma subsequência convergente, que será denotada da mesma forma. Se T (t n t)x n y, temos que y ω(b) e que T (t)y = x, ou seja, que ω(b) T (t)ω(b), completando a demonstração. Lema Seja x X e suponha que exista uma solução global φ : R X por x tal que φ(r ) seja compacto. Então α φ (x) é não-vazio, compacto e invariante. Demonstração. Lembrando que α φ (x) = t R (γ φ ) t (x), α φ (x) é compacto porque é um conjunto fechado contido em um compacto e, pela propriedade da interseção nita, α φ (x) é não-vazio. Da

25 1.2 Existência de atratores globais 11 Seja t R +. números reais {t n } n N, tal que t n Pela Proposição (1.2.2), dado y α φ (X), existe uma sequência de n e φ( t n ) n y. Pela continuidade de T (t), temos que T (t)φ( t n ) = φ(t t n ) n T (t)y e que T (t)y α φ (x), ou seja, T (t)α φ (x) α φ (x). Por outro lado, se w α φ (x), existe uma sequência {t n } n N, tal que t n n e φ( t n ) n w. Como {φ( t n t) : n N} é um subconjunto de um conjunto compacto, ele é relativamente compacto e, tomando uma subsequência se necessário, assumir que existe z X tal que φ( t n t) n z e z α φ (x). Pela continuidade de T (t), obtemos que T (t)z = w e α φ (x) T (t)α φ (x), provando a invariância de α φ (x). Lema Seja {T (t) : t 0} um semigrupo em X e B X tal que ω(b) é compacto e atrai B. Se B for conexo, então ω(b) será também conexo. Demonstração. A aplicação [0, ) X (s, x) T (s)x X é contínua e a imagem do conjunto conexo [t, ) B é γ t + (B), que também será conexo para t 0. O resultado então segue, lembrando que ω(b) = t 0 γ+ t (B). Lema Seja B um subconjunto não vazio de X tal que γ + t 0 (B) é compacto para algum t 0 0. Então ω(b) é não-vazio, compacto, invariante e atrai B. Demonstração. Para cada t t 0, γ + t (B) é não-vazio e compacto. Como a família {γ + t (B) : t t 0 } tem a propriedade da interseção nita, ω(b) = t t 0 γ + t (B) é nãovazio e compacto. Vamos provar agora a atração. Vamos supor, por absurdo, que ω(b) não atraia B. Então existem ɛ 0 > 0 e sequências {x n } n N em X e {t n } n N em R + tais que t n e d(t (t n )x n, ω(b)) > ɛ 0 para todo n N. n Como γ + t 0 (B) é compacto e {T (t n )x n, n n 1 } γ + t 0 (B) para algum n 1 N, existem subsequências, indexadas por {n j } j N, tais que t nj y X. B. j e x nj j y, para algum Disso, segue que y ω(b) e d(y, ω(b)) ɛ 0, o que é um absurdo. Assim, ω(b) atrai

26 12 Semigrupos e Atratores Globais Como ω(b) é compacto e atrai B, o Lema (1.2.4) garante a invariância de ω(b). Denição Um semigrupo {T (t) : t 0} é chamado assintoticamente compacto quando, para cada conjunto B X não-vazio, fechado e limitado tal que T (t)b B, para todo t 0, existe um conjunto compacto J B que atrai B. Denição Um semigrupo {T (t) : t 0} é chamado eventualmente limitado quando, para cada conjunto limitado B X, existe t 0 0 tal que γ + t 0 (B) é limitado. Lema Se {T (t) : t 0} é um semigrupo assintoticamente compacto e B é um subconjunto não-vazio de X tal que γ + t 0 (B) é limitado para algum t 0 0, então ω(b) é não-vazio, compacto, invariante e atrai B. Demonstração. Como T (t) é contínuo e T (t)γ + t 0 (B) γ + t 0 (B), temos que T (t)γ + t 0 (B) γ + t 0 (B) Como o semigrupo é assintoticamente compacto, temos que existe um conjunto compacto J γ + t 0 (B) que atrai γ + t 0 (B). Logo, existem sequências {ɛ n } n N e {t n } n N tais que ɛ n n 0, t n n e T (t)(γ + t 0 (B)) O ɛn (J), para todo t t n. Logo, ω(b) J. Como ω(b) é fechado e J é compacto, temos que ω(b) é compacto. Mostremos que ω(b) atrai B. Suponhamos que isto não ocorra. Então existem ɛ 0 e sequências {x n } n (N) em X e {t n } n (N) em R tais que t n n e d(t (t n )x n, ω(b)) > ɛ 0. Da compacidade de J e pela Proposição (1.2.3), existem subsequências denotadas por {n j } j N N e z J tais que t nj j e T (t nj )x nj j z Desta forma, z ω(b) e d(z, ω(b)) ɛ 0, o que é um absurdo, provando que ω(b) atrai B. Logo, ω(b) é não vazio, compacto e atrai B. A invariância de ω(b) segue do Lema (1.2.4). Proposição Seja {T (t) : t 0} um semigrupo tal que {T (t n )x n } n N é relativamente compacto sempre que {T (t n )x n } n N e {x n } n N são limitados e t n este semigrupo é assintoticamente compacto. n. Então

27 1.2 Existência de atratores globais 13 Reciprocamente, se {T (t) : t 0} é um semigrupo eventualmente limitado e assintoticamente compacto, então {T (t n )x n } n N é relativamente compacto sempre que {x n } n N for uma sequência limitada em X e t n n. Demonstração. Seja B X um conjunto fechado, limitado e não-vazio tal que T (t)b B, para todo t 0. Assim, ω(b) B é não-vazio, compacto, invariante e atrai B. Então {T (t) : t 0} é assintoticamente compacto. Reciprocamente, se {T (t) : t 0} é um semigrupo eventualmente limitado e {x n } n N é uma sequência limitada em X, existe t 0 0 tal que B = γ t0 ({x n } n N ) é um conjunto limitado. Como B é positivamente invariante e o semigrupo em questão é assintoticamente compacto, existe um conjunto compacto J B de X que atrai B. Em particular, {T (t n )x n } n N converge para J quando n e, logo, é relativamente compacto. Denição Um semigrupo {T (t) : t 0} é chamado ponto dissipativo se existir um conjunto limitado B X que absorve pontos de X. Denição Um semigrupo {T (t) : t 0} é chamado limitado dissipativo se existir um conjunto limitado B X que absorve subconjuntos limitados de X. Denição Um semigrupo {T (t) : t 0} é chamado compacto dissipativo se existir um conjunto limitado B X que absorve subconjuntos compactos de X. Observação Nas três denições acima, poderíamos ter trocado a palavra absorve por atrai sem mudar os conceitos em questão. Lema Seja {T (t) : t 0} um semigrupo ponto dissipativo e assintoticamente compacto. Se γ + (K) for limitado sempre que K for um conjunto compacto, então {T (t) : t 0} é compacto dissipativo. Demonstração. Como {T (t) : t 0} é ponto dissipativo, existe um conjunto não-vazio limitado B que absorve pontos de X. Seja U = {x B : γ + (x) B}.

28 14 Semigrupos e Atratores Globais Como B absorve pontos, U não é vazio pois se x B, então existe t 0 0 tal que T (t)x B, se t t 0. Assim, T (t 0 )x U. Claramente, γ + (U) = U e U é limitado. Notemos, também, que, se x X, então existe t 0 0 tal que T (t)x B, para todo t t 0. Disso, γ + (T (t)x) B, t t 0, ou seja, T (t)x U, mostrando que U absorve os pontos de X. Como T (t)γ + (U) γ + (U), t 0 e {T (t) : t 0} é assintoticamente compacto, existe um conjunto compacto K γ + (U) = U que atrai U. Então K também atrai os pontos de X. Mostremos que existe uma vizinhança V de K tal que γ + t (V ) é limitado para algum t 0. Vamos supor que isso não ocorra. Então existem sequências {x n } n N X e {t n } n N R + e y K tais que x n n y, t n n e {T (t n )x n } n N não é limitado. Seja A = {x n } n N. Então A é compacto e, para todo t 0, γ + t (A) não é limitado. Isso contradiz as hipóteses do lema. Fixemos uma vizinhança V de K e t V R + tais que γ + t V (V ) é limitado. Como K atrai os pontos de X e T (t) é contínuo, para cada x X, existe t x > t V e uma vizinhança O x de x tais que T (t)x V, t (t x t V ) e T (t x t V )O x V. Disso, T (t x )O x T (t V )V e T (t + t x )O x T (t + t V )V, t 0. Em outras palavras, T (t)o x γ + t V (V ), se t t x. Assim, para cada x X, γ + t V (V ) absorve uma vizinhança de x. Como podemos cobrir um compacto por um número nito de vizinhanças, γ + t V (V ) absorve compactos de X, provando que {T (t) : t 0} é um semigrupo compacto dissipativo. Proposição Seja {T (t) : t 0} um semigrupo. Se K for um compacto que atrai a si mesmo, então ω(k) = t 0 T (t)k. Demonstração. Pela denição, é imediato que t 0 T (t)k ω(k). Utilizando a Proposição (1.2.3), com K = K 1, obtemos que ω(k) K e γ + (K) é relativamente compacto. Pelo Lema (1.2.7), ω(k) é não-vazio, compacto, invariante e atrai K. Logo, ω(k) = T (t)ω(k) T (t)k, t 0, provando que ω(k) t 0 T (t)k.

29 1.2 Existência de atratores globais 15 Teorema Um semigrupo {T (t) : t 0} é eventualmente limitado, ponto-dissipativo e assintoticamente compacto se, e somente se, possui um atrator global A. Demonstração. Vamos supor que {T (t) : t 0} seja assintoticamente compacto, ponto dissipativo e eventualmente limitado. Pelo Lema (1.2.16), este semigrupo é compacto dissipativo. Sejam C um conjunto limitado que absorve compactos de X e B = {x C : γ + (x) C}. Sejam t 0 e x T (t)b. Então existe uma sequência {x n } n N B tal que x = lim n T (t)x n. Pela denição de B, vemos que T (t)x n B e x B. Assim, T (t)b B. Notemos que, dado um compacto K 1 X, existe t 0 0 tal que T (t)k 1 C, t t 0. Disso, γ + (T (t)k 1 ) C, t t 0, ou seja, T (t)k 1 B, mostrando que B absorve compactos de X. Como {T (t) : t 0} é assintoticamente compacto, existe um compacto K B que atrai B. Então K atrai compactos de X. Seja A = ω(b), então A é não-vazio, compacto e invariante. Se J X é um compacto, então ω(j) K e ω(j) = T (s)ω(j) T (s)k, s 0. Pela Proposição (1.2.17), ω(j) s 0 T (s)k = ω(k) e, consequentemente, ω(k) atrai J. Seja D X um conjunto limitado. Como {T (t) : t 0} é eventualmente limitado e assintoticamente compacto, pelo Lema (1.2.10), ω(d) é não-vazio, compacto, invariante e atrai D. Sendo ω(d) compacto e invariante, podemos tomar J = ω(d) na etapa anterior para concluir que ω(d) = ω(j) A. Assim A atrai D, provando que A é um atrator global. Para a recíproca, vamos supor que {T (t) : t 0} tenha atrator global A. Dado um conjunto limitado B X, existe t B 0 tal que T (t)b O 1 (A), t t B. Então γ + t B (B) é limitado e O 1 (A) absorve pontos de X. Assim {T (t) : t 0} é eventualmente limitado e ponto-dissipativo. Sejam {x n } n N X uma sequência limitada e {t n } n N R + com t n n. Como A atrai o conjunto {x n : n N}, {T (t n )x n } n N é uma sequência limitada e d(t (t n )x n, A) n 0. Pela Proposição (1.2.3), {T (t n )x n } n N tem uma subsequência convergente em A e

30 16 Semigrupos e Atratores Globais {T (t n )x n : n N} é relativamente compacto. Pela Proposição (1.2.11), {T (t) : t 0} é assintoticamente compacto.

31 Capítulo Semicontinuidade superior e inferior 2 Este capítulo é dedicado ao estudo da continuidade do atrator quando um semigrupo é perturbado. Apresentamos os conceitos de semicontinuidade inferior e superior e condições de continuidade para os atratores de uma família de semigrupos. Denição Sejam X e Λ espaços métricos e {A λ } λ Λ uma família de subconjuntos de X. Dizemos que {A λ } λ Λ é (1) semicontínua superiormente em λ 0 se (2) semicontínua inferiormente em λ 0 se lim dist H (A λ, A λ0 ) = 0; λ λ 0 lim dist H (A λ0, A λ ) = 0; λ λ 0 Lema Seja Λ um espaço métrico, λ 0 Λ e {A λ } λ Λ uma família de subconjuntos de X. (1) Se para toda sequência λ n n λ 0, {x λn }, com x λn A λn, tem uma subsequência convergente, cujo limite pertence a A λ0, então {A λ } λ Λ é semicontínua superiormente

32 18 Semicontinuidade superior e inferior em λ 0. Reciprocamente, se {A λ } λ Λ for semicontínua superiormente em λ 0, A λ0 for compacto e λ n n λ 0, então toda sequência {x λn }, com x λn convergente, com limite em A λ0. A λn, tem uma subsequência (2) Se A λ0 for compacto e, para todo x A λ0 e λ n n λ 0, existir uma sequência λ nk k λ 0 e {x λnk }, com x λnk A λnk, que converge para x, então {A λ } λ Λ é semicontínua inferiormente em λ 0. Reciprocamente, se {A λ } λ Λ for semicontínua inferiormente em λ 0, λ n x A λ0, então a existe uma subsequência λ nk que converge para x. (A compacidade de A λ0 n λ 0 e k λ 0 e {x λnk }, com x λnk A λnk, não é necessária aqui). Demonstração. (1) Suponhamos que, para toda sequência λ n n λ 0, a sequência {x λn }, com x λn A λn, tenha uma subsequência convergente, com limite em A λ0 e que {A λ } λ Λ não seja semicontínua superiormente em λ 0. Então existe ɛ > 0 e uma sequência {λ n } n N Λ tais que λ n cada n N, existe x n A λn n λ 0 e dist H (A λn, A λ0 ) 2ɛ. Assim, para tal que d(x n, A λ0 ) ɛ. Isso contradiz o fato de {x n } n N possuir uma subsequência que converge para um ponto de A λ0. Para a recíproca, vamos supor que A λ0 seja compacto, λ n n λ 0 e x λnk A λnk. Então, como lim n dist H (A λn, A λ0 ) = 0, temos que lim n d(x λn, A λ0 ) = 0. Assim, para cada n N, existe z n A λ0 se necessário). com d(x λn, z n ) < 1/n (tomando uma subsequência, Sendo A λ0 compacto, existe uma subsequência {z nk } que converge para x 0 A λ0. Desta forma, d(x λnk, x 0 ) d(x λnk, z nk )+d(z nk, x 0 ) k 0, provando o que queríamos. (2) Suponha que A λ0 seja compacto e que, para todo x A λ0 e λ n n λ 0, existam subsequências λ nk quando k. k λ 0 e {x λnk }, com x λnk A λnk, tais que para x λnk x Suponha, por absurdo, que {A λ } λ Λ não seja semicontínua inferiormente em λ 0. Então existem ɛ > 0 e uma sequencia {λ n } n N Λ tais que λ n 2ɛ, n N. Logo, existem y λn A λ0 tais que d(y λn, A λn ) ɛ. n λ 0 e dist H (A λ0, A λn )

33 19 Sendo A λ0 compacto, podemos assumir que {y λn } converge para algum x A λ0 e que d(x, A λn ) ɛ, n N. Assim, existem subsequências λ nk ɛ d(x, A λnk ) d(x, x λnk ) k 0, o que é um absurdo. k k λ 0 e x λnk A λnk tais que x λnk x e Para a recíproca, vamos supor que {A λ } λ Λ seja semicontínua inferiormente em λ 0, λ n n λ 0 e x A λ0. Tomando uma subsequência, podemos assumir que dist H (A λ0, A λn ) 1 2n. Assim, d(x, A λn ) 1 2n. Dessa forma, para cada n, podemos encontrar x n A λn tal que d(x, x n ) 1. Temos, então uma sequência satisfazendo as propriedades desejadas. n Denição A família de semigrupos {T η (t) : t 0} η [0,1] é contínua em η = 0 se T η (t)x T 0 (t)x quando η 0, uniformemente para (t, x) em subconjuntos compactos de R + X. Teorema (Semicontinuidade superior). Seja {T η (t) : t 0} η [0,1] uma família de semigrupos contínua em η = 0. Se cada {T η (t) : t 0} tiver um atrator global A η, para η [0, 1] e η [0,1] A η for compacto, então a família {A η : η [0, 1]} é semicontínua superiormente em η = 0. Demonstração. Considere as sequências {η k } k N e {u ηk } k N, tais que η k Como η [0,1] A η é compacto, podemos assumir que existe u 0 X tal que u ηk k 0, u ηk A. Para provarmos a semicontinuidade superior, temos que mostrar que u 0 A 0. k u 0. Pelo Lema (1.1.8), basta provarmos que existe uma solução global limitada de {T 0 (t) : t 0} por u 0. Para cada k N, existe uma solução global limitada de {T ηk (t) : t 0}, denotada por ψ (η k) : R X, por u ηk. Para t 0, como [0, 1] η T η (t)x X é uniformemente contínua em compactos de R + X, temos que ψ (η k) (t) = T ηk (t)u ηk uniformemente para t em subconjuntos limitados de R + X. k T 0 (t)u 0

34 20 Semicontinuidade superior e inferior Vamos construir uma solução global por u 0. Tomemos η 0 k = η k, k N. Dado j N, existe uma subsequência {η j k } k N de {η j 1 k } k N e u j tais que ψ ηj k k ( j) u j. Isso ocorre pois {ψ η k ( j) : j N} η [0,1] A η, que é compacto. Pela convergência de T η (1) a T 0 (1) em subconjuntos compactos de X, temos que, para 0 i j, ψ (ηj k ) ( j) = T ηk (i)ψ (ηj k ) ( j i) k T 0 (i)u j i Pela unicidade do limite, temos então que T 0 (i)u j i = u j. Denamos T 0 (t)u 0 t 0 ψ(0)(t) := T 0 (t + j)u j t [ j, j + 1), j = 1, 2, 3,... Temos que ψ (0) : R X é solução global de {T 0 (t) : t 0} por u 0 e ψ (ηk k ) (t) k ψ (0) (t), t R. Sendo ψ (0) o limite de uma sequência de funções cuja imagem está em um compacto, ψ (0) (t) é limitada e sua imagem está contida em A 0. Em particular, u 0 A 0. Assim, temos uma sequência nas condições do item 1) do Lema (2.0.20), provando a semicontinuidade superior. Denição Seja {T (t) : t 0} um semigrupo. As soluções globais que convergem para um ponto de equilíbrio y quando t tende a constituem um conjunto invariante chamado conjunto instável W u (y ) de y, ou seja, W u (y ) = {y X : existe uma solução global φ y : R X tal que φ y (0) = y e φ y (t) t y } Dada uma vizinhança V de y, o conjunto de pontos y de V tais que existe uma solução global φ y : R X tal que φ y (0) = y e φ y (t) t y para todo t R é chamado de conjunto instável local de y e é denotado por W u loc (y ).

35 21 Denição A órbita γ φ de uma solução global não-constante φ : R X que tende a um ponto de equilíbrio y quando t tende a ± é chamada de órbita homoclínica em y. Teorema (Semicontinuidade inferior). Seja {T η (t) : t 0} η [0,1] uma família de semigrupos contínua em η = 0 satisfazendo: (i) {T η (t) : t 0} tem atrator global A η, para cada η [0, 1]. (ii) Existe p N tal que E η {y,η 1,..., y,η }, para todo η [0, 1], em que E η representa o conjunto de soluções estacionárias de {T η (t) : t 0}. (iii) Existe δ > 0 tal que p {W u δ (y,η j ) : η [0, 1]} é semicontínua inferiormente em η = 0, onde W u δ (y,η j ) = {y B δ (y,η j ) : existe solução global φ y : R X tal que φ y (0) = y, φ y (t) t y,η j e φ y (t) B δ (y,η j ) para todo t R }. (iv) A 0 = p j=1 W u (y,0 j ) Então {A η : η [0, 1]} é semicontínua inferiormente em η = 0. Demonstração. Por (iv), temos que A 0 = p j=1 W u (y,0 j ). Disso, se u 0 A 0, existem uma solução global φ (0) : R X por u 0, 1 l p e τ R + tal que φ (0) (t) B δ (y,0 l ), t τ. Então φ (0) ( τ) Wδ u(y,0 l ). Pela semicontinuidade inferior de {Wδ u(y,η j ) : η [0, 1]}, dada uma sequência {η k } k N que converge para 0, existem uma subsequência {η kl } l N de {η k } k N e u τ η kl tais que u τ η kl l φ (0) ( τ) e, consequentemente, soluções globais ψ (η k l ) {T ηkl (t) : t 0} com ψ (η k l ) (0) = u τ η kl tais que ψ (η k l ) (0) l φ (0) ( τ). W u δ (y,η k l j ) : R X de

36 22 Semicontinuidade superior e inferior Usando a continuidade de {T η (t) : t 0} em η = 0, temos que T ηkl (τ)ψ (η k l ) (0) l T 0 (τ)φ (0) ( τ) = φ (0) (0) = u 0. A sequência {x l } l N, com x l semicontinuidade inferior de {A η : η [0, 1]} em η = 0. := T ηkl (τ)ψ (η k l ) (0) usada no Lema (2.0.20) garante a

37 Capítulo Estabilidade Estrutural Topológica de Atratores 3 Neste capítulo, estudamos semigrupos bastante utilizados em aplicações: os semigrupos gradientes e os semigrupos dinamicamente gradientes e provamos a equivalência destes dois conceitos. Primeiramente, denimos os semigrupos gradientes e estudamos algumas propriedades básicas. Em seguida, apresentamos os semigrupos dinamicamente gradientes e mostramos que um semigrupo gradiente é também dinamicamente gradiente. Para provarmos a equivalência entre estes dois tipos de semigrupos, precisamos entender o que é uma decomposição de Morse. Feito isso, podemos construir uma função de Lyapunov para um semigrupo dinamicamente gradiente. Por m, provamos que pequenas perturbações de semigrupos gradientes continuam sendo gradientes. 3.1 Semigrupos gradientes Denição Um semigrupo {T (t) : t 0} com um conjunto invariante Ξ é gradiente com relação a Ξ se existir uma função contínua V : X R tal que (i) R + t V (T (t)x) R é não-crescente para cada x X. (ii) Se x é tal que V (T (t)x) = V (x) para todo t R +, então x Ξ.

38 24 Estabilidade Estrutural Topológica de Atratores (iii) V é constante em cada componente conexa de Ξ. Uma função V : X R com essas propriedades é chamada de função de Lyapunov para {T (t) : t 0}. Lema Seja {T (t) : t 0} um semigrupo gradiente com relação a um conjunto invariante Ξ. Então ω(x) Ξ para cada x X. Se existir uma solução global φ : R X por x, então α φ (x) Ξ. Além disso, se Ξ for a reunião disjunta de conjuntos invariantes Ξ 1,..., Ξ n e {T (t) : t 0} for assintoticamente compacto, então ω(x) Ξ i para algum 1 i n e se existir uma solução global φ : R X por x, então α φ (x) Ξ j para algum 1 j n. Demonstração. Sejam x X e y ω(x). t n n, tal que y = lim n T (t n )x. Então existe uma sequência {t n } n N, com Sendo V contínua, V (y) = lim n V (T (t n )x). Como R + t V (T (t)x) é nãocrescente, V (y) = lim t V (T (t)x). Assim, para t R +, V (y) = lim n V (T (t + t n )x) = lim n V (T (t)t (t n )x) = V (T (t)y) Pela propriedade (ii) dos semigrupos gradientes, y Ξ, provando a primeira armação. Suponha, agora que exista uma solução global φ : R X por x X xado. Se y α φ (x), então existe uma sequência {t n } n N, com t n n, tal que y = lim n φ( t n ). Assim, como no caso anterior, V (y) = lim t V (φ( t)) e V (y) = V (T (t)y), mostrando que y Ξ. A última armação é imediata ao lembrarmos que ω(x) e α φ (x) são conexas (Lemas (1.2.6) e (1.2.10)). Teorema Se {T (t) : t 0} for um semigrupo gradiente com relação ao conjunto invariante limitado Ξ e for eventualmente limitado e assintoticamente compacto, então {T (t) : t 0} tem atrator global A = W u (Ξ), onde

39 3.1 Semigrupos gradientes 25 W u (Ξ) = {y X : existe uma solução global φ : R X com φ(0) = x tal que φ(t) t Ξ} é chamado de conjunto instável de Ξ. Se Ξ = n i=1 Ξ i onde Ξ = {Ξ 1,..., Ξ n } for uma coleção disjunta de conjuntos fechados invariantes, então A = n i=1 W u (Ξ i ). Finalmente, se existir um conjunto B limitado e conexo que contém A, então A é conexo. Demonstração. Pelo Lema , tomando B = {x}, obtemos que ω(x) é não-vazio, compacto, invariante e atrai x. Pelo Lema (3.1.2, ω(x) Ξ e, então, Ξ é um limitado que atrai os pontos de X. Então {T (t) : t 0} é ponto dissipativo e, pelo Teorema , possui atrator global. Se x A, existe solução global φ : R X por x. Como φ(r) é relativamente compacto, α φ (x) e, pelo Lema (3.1.2), α φ (x) Ξ. Isso mostra que A W u (Ξ). Pela Observação 1.1.9, sendo Ξ invariante, existe uma solução global ψ : R Ξ por y, para todo y Ξ e, sendo Ξ limitado, ψ é limitado. Logo, ψ(r) A. Em particular, y A e Ξ A. Se x W u (Ξ), então existe solução global φ : R X por x e φ(t) t Ξ. Disso, sendo A um atrator global, existem τ 1, τ 2 R tais que d(φ(t), Ξ) < 1, se t < τ 1, e d(φ(t), A) < 1, se t > τ 2. Então φ é limitado em (, τ 1 ] [τ 2, + ) e, sendo [τ 1, τ 2 ] um compacto, φ é limitada. Logo φ(r) A e, em particular, x A, provando que W u (Ξ) A. Isso completa a demonstração que A = W u (Ξ). Seja Ξ = n i=1 Ξ i, com {Ξ 1,..., Ξ n } uma coleção disjunta de conjuntos fechados invariantes. Pelo Lema 3.1.2, para cada solução global φ : R X por um x X, temos que α φ (x) Ξ j, para algum 1 j n. Disso, se φ(t) t Ξ, então φ(t) t Ξ j, provando que A = W u ( n i=1 Ξ i) = n i=1 W u (Ξ i ). Se A está contido em um conjunto conexo limitado B de X, pela invariância de ω(b) e como ω(b) A = ω(a) ω(b), A = ω(b) e é, portanto, conexo pelo Lema

40 26 Estabilidade Estrutural Topológica de Atratores Lema Seja {T (t) : t 0} um semigrupo e Ξ um compacto invariante para este semigrupo. Dados t 0 e ɛ > 0, existe δ tal que {T (s)y : 0 s t, y O δ (Ξ)} O ɛ (Ξ). Demonstração. Suponha que existam t 0 > 0 e ɛ 0 > 0 tais que, para cada k N, existam x k O 1/k (Ξ) e s k [0, t 0 ], de forma que d(t (s k )x k, Ξ) > ɛ 0. que s k Sendo [0, t 0 ] compacto e tomando uma subsequência, se necessário, podemos assumir k s 0, para algum s 0 [0, t 0 ] e que x k k y Ξ, pela Proposição Pela continuidade de R + X (t, x) T (t)x X, temos que d(t (s 0 )y, Ξ) ɛ 0, o que contradiz o fato de T (s 0 )y Ξ. Lema Seja {T (t) : t 0} um semigrupo gradiente com relação ao conjunto invariante Ξ. Suponha que: (i) {T (t) : t 0} possui atrator global A; (ii) Ξ = n i=1 Ξ i, com Ξ = {Ξ 1,..., Ξ n } uma coleção disjunta de conjuntos fechados invariantes, n N ; (iii) a função de Lyapunov associada é contante em cada Ξ i, 1 i n. Seja V (Ξ) = {n 1,..., n p }, com n i n i+1, 1 i p 1. Se 1 j p 1 e n j r < n j+1, então X r = {z X : V (z) r} é positivamente invariante sob a ação de {T (t) : t 0} e {T r (t) : t 0}, a restrição de {T (t) : t 0} a X r, tem atrator global A (j) dado por Em particular, V (z) n j A (j) = {W u (Ξ l ) : V (Ξ l ) n j } se z A (j), n 1 = min{v (x) : x X} e A (1) = { Ξ Ξ : V ( Ξ) = n 1 } é formado por todos os conjuntos invariantes assintoticamente estáveis, isto é, para cada Ξ Ξ, com Ξ A (1), existe ɛ > 0 tal que T (t)x t Ξ, sempre que x O ɛ ( Ξ). Demonstração. Pela propriedade (ii) da Denição (3.1.1), vemos que X r é positivamente invariante sob ação de {T (t) : t 0}.

41 3.1 Semigrupos gradientes 27 Como {T (t) : t 0} possui atrator global, segue que {T (t) : t 0} é eventualmente limitado, assintoticamente compacto e ponto-dissipativo. É imediato que {T r (t) : t 0} é eventualmente limitado, assintoticamente compacto, ponto-dissipativo e, consequentemente, que {T r (t) : t 0} possui atrator global, que será denotado por A (j). A restrição de V a X r, denotado por V r, é claramente uma função de Lyapunov para {T r (t) : t 0} associada a {Ξ l : V (Ξ l ) < n j }. Obtemos, pelo Teorema 3.1.3, a caracterização de A (j). Seja Ξ Ξ. Mostremos que se V ( Ξ) = n 1, então W u ( Ξ) = Ξ. Pela invariância de Ξ, é imediato que Ξ W u ( Ξ). Seja y W u ( Ξ). Então existe solução global φ : R X por y tal que φ(t) t Ξ. Pela continuidade de R t V (φ(t)), temos que V (φ(t)) t n 1 e como esta função é decrescente, V (φ(t)) = n 1, para todo t R. Sendo Ξ uma família disjunta, temos que V (φ(r)) Ξ e, em particular, y Ξ. Logo, W u ( Ξ) Ξ. Provemos, agora, a última armação do teorema. Seja δ 0 = 1 2 min{dist( Ξ, ˆΞ)}, em que este mínimo é tomado sobre os conjuntos Ξ, ˆΞ Ξ, com Ξ, ˆΞ A (1) e Ξ ˆΞ. Suponhamos que a armação seja falsa. Então, para todo ɛ > 0, existe x ɛ O ɛ ( Ξ) de forma que T (t)x ɛ não converge para Ξ quando t. Em outras palavras, existe 0 < δ < δ 0 e sequências {x k } k N em X e {t k } k N em R + tais que x k k Ξ, t k e d(t (t k )x k, Ξ) δ. k Sendo {T (t) : t 0} assintoticamente compacto, {T (t k )x k } k R tem uma subsequência convergente, cujo limite será denotado por y. Como n 1 é o valor mínimo de V em X, temos que e n 1 = V ( Ξ) = lim k V (x k ) lim k V (T (t k )x k ) = V (y) n 1 n 1 = V ( Ξ) = lim k V (x k ) lim k V (T (t + t k )x k ) = V (T (t)y) n 1 Assim, V (y) = V (T (t)y) = n 1, para todo t R + e y Ξ. Como x k k Ξ, temos que d(y, Ξ) < δ 0 e y Ξ.

42 28 Estabilidade Estrutural Topológica de Atratores Mas d(y, Ξ) = δ, o que é um absurdo. Assim, para cada Ξ A (1), existe 0 < δ < δ 0 tal que, se x O δ ( Ξ), então T (t)x t Ξ, provando o que queríamos. 3.2 Semigrupos dinamicamente gradientes Nesta seção, vamos denir os semigrupos dinamicamente gradientes. Estes semigrupos possuem as mesmas propriedades dinâmicas dos semigrupos gradientes, mas não requerem uma função de Lyapunov. Vamos, também, mostrar que um semigrupo dinamicamente gradiente é um semigrupo gradiente. Por m, vamos provar a estabilidade topológica desses semigrupos, ou seja, que uma pequena perturbação de um semigrupo gradiente continua sendo gradiente. Denição Seja Ξ um conjunto invariante para o semigrupo {T (t) : t 0}. Dizemos que Ξ é um conjunto invariante isolado quando for o conjunto invariante maximal em O δ (Ξ) para algum δ > 0. Dizemos que Ξ = {Ξ 1,..., Ξ n } é uma coleção disjunta de conjuntos invariantes isolados se cada Ξ i for um conjunto isolado invariante e existir δ > 0 tal que O δ (Ξ i ) O δ (Ξ j ) =, 1 i < j n. Lema (Hiperbolicidade topológica). Sejam {T (t) : t 0} um semigrupo assintoticamente compacto e ξ : R X uma solução global de {T (t) : t 0}. Suponha que U, V sejam conjuntos abertos de X, com U V, e Ξ o subconjunto invariante maximal de V. 0. Se existir t 0 R tal que ξ(t) U para todo t t 0, então d(ξ(t), Ξ) t 0. Analogamente, se existir t 0 R tal que ξ(t) U para todo t t 0, então d(ξ(t), Ξ) t Demonstração. Vamos supor que exista t 0 R tal que ξ(t) U para todo t t 0. Suponhamos, por absurdo, que exista ɛ > 0 e uma sequência {t n } n N tais que t n e d(ξ(t n ), Ξ) ɛ. n Como o semigrupo é assintoticamente compacto, a sequência {ξ(t n )} n N possui uma subsequência convergente. Vamos, então, assumir que ξ(t n ) n y. Então d(y, Ξ) ɛ e y pertence ao conjunto ω-limite de x 0 = ξ(0).

43 3.2 Semigrupos dinamicamente gradientes 29 Logo, y ω(x 0 ) U, Ξ ω(x 0 ) Ξ V e ω(x 0 ) Ξ é um subconjunto invariante de V que não está contido em Ξ. Isso contradiz a hipótese de que Ξ é o subconjunto invariante maximal de V. Assim d(ξ(t), Ξ) t 0. O outro caso é análogo. Denição Seja Ξ Ξ e 0 < ɛ < ɛ 0 := 1 2 min 1 i j n dist(ξ i, Ξ j). Uma ɛ-cadeia de Ξ até Ξ consiste de: (1) Uma sub-coleção disjunta {Ξ l1,..., Ξ lk } de Ξ com Ξ l1 = Ξ lk+1 = Ξ ; (2) Um conjunto de pontos {x 1,..., x k } em X, com d(x i, Ξ li ) < ɛ, para i = 1,..., k; (3) Sequências nitas de números reais positivos {t 1,..., t k } e {τ 1,..., τ k }, com τ i < t i < τ i+1, para todo i = 1,..., k 1, e τ k < t k, tais que d(t (t i )x i, Ξ li+1 ) < ɛ, para todo i = 1,..., k e k d(t (τ i )x i, O ɛ0 (Ξ lj )) > 0 j=1 Um conjunto invariante isolado Ξ Ξ é recorrente por cadeia se existir δ (0, ɛ 0 ) e ɛ-cadeias de Ξ até Ξ, para cada ɛ (0, δ). Denição Seja X um espaço métrico, {T (t) : t 0} um semigrupo em X com atrator global A. Dizemos que {T (t) : t 0} é um semigrupo dinamicamente gradiente se as duas condições seguintes ocorrem: (G1) Existe uma coleção de conjuntos invariantes isolados Ξ = {Ξ 1,..., Ξ n } em A, com a propriedade de que qualquer solução global ξ : R X em A satisfaz para 1 i, j n. lim d(ξ(t), Ξ i) = 0 e lim d(ξ(t), Ξ j ) = 0 t t (G2) Ξ não possui nenhum conjunto invariante isolado recorrente por cadeia.

44 30 Estabilidade Estrutural Topológica de Atratores Observação Nas denições anteriores, cada Ξ i, i = 1, 2,..., n, é compacto. De fato, xemos 1 i n. Como Ξ i A, basta mostrar que Ξ i é fechado. Como Ξ i é invariante, Ξ i também é invariante. Disso, se Ξ i não for fechado, ele não pode ser o invariante maximal em O δ (Ξ i ), para δ > 0. Assim, Ξ i é fechado e, logo, compacto. Lema Seja {T (t) : t 0} um semigrupo dinamicamente gradiente, com uma coleção disjunta de conjuntos isolados invariantes Ξ = {Ξ 1,..., Ξ n } e atrator global A. Dado x X, existe Ξ j Ξ tal que d(t (t)x, Ξ j ) t 0. Demonstração. Seja y X e 0 < 2δ 0 < min 1 i<j n dist(ξ i, Ξ j ) e notemos que, dado δ (0, δ 0 ), existe δ (0, δ) tal que se d(y, Ξ i ) < δ e, para algum t y > 0, d(t (t y )y, Ξ i ) δ, então d(t (t)y, Ξ i ) > δ para todo t t y. Se isso não ocorresse, poderíamos tomar sequências {y k } k N em X, {t k } k N e {τ k } k N em R tais que d(y k, Ξ i ) < 1 k, d(t (t k)y k, Ξ i ) δ e d(t (τ k )y k, Ξ i ) < 1 k, com t k < τ k, o que contradiz (G2). Sejam x X e B := γ + (x). Como existe um atrator global, B é limitado. Pelo Lema 3.5.3, dado δ, existe T 0 = T 0 (δ, B) R tal que, T (t)y O δ ( n i=1 Ξ i) para y B e algum t [0, T 0 ]. Isso equivale a dizer que, para cada s R +, existe um t [s, s + T 0 ] e i = 1, 2,..., n tal que T (t)x O δ (Ξ i ). Vamos supor que a conclusão do lema seja falsa. sequência {t k } k N e δ (0, δ 0 ) tais que t k Então podemos encontrar uma k e d(t (t k )x, Ξ j ) δ para todo j = 1, 2,..., n. Mas, para cada t k, existe σ k [t k, t k +T 0 ] tal que T (σ k )x O δ (Ξ i ), para algum i = 1, 2,..., n. Também temos, tomando uma subsequência se necessário, que t k+1 > σ k. Isso contradiz a primeira parte da demonstração já que Ξ é nito. Assim, temos que d(t (t)x, Ξ j ) t 0 para algum j = 1, 2,..., n. 3.3 Estruturas homoclínicas Denição Seja {T (t) : t 0} um semigrupo dinamicamente gradiente com uma coleção disjunta de conjuntos isolados invariantes Ξ = {Ξ 1,..., Ξ n }, atrator global A e

45 3.3 Estruturas homoclínicas 31 0 < 2δ < min 1 i<j n dist(ξ i, Ξ j ). Uma estrutura homoclínica em A é uma coleção de conjuntos {Ξ l1,..., Ξ lk } Ξ e uma coleção de soluções globais limitadas {ξ i : R X, 1 i k}, com Ξ lk+1 := Ξ l1, tais que (i) lim t ξ i (t) = Ξ li, 1 i k (ii) lim t + ξ i (t) = Ξ li+1, 1 i k (iii) min j=1,...,k sup t R d(ξ j (t), n i=1 O δ(ξ i )) > 0 Lema Seja {T (t) : t 0} um semigrupo com uma coleção disjunta de conjuntos isolados invariantes Ξ = {Ξ 1,..., Ξ n } e atrator global A que satisfaz (G1). Então (G2) é satisfeita se, e somente se, A não possui estruturas homoclínicas. Demonstração. Vamos supor que A possua uma estrutura homoclínica. Então existe uma coleção de conjuntos {Ξ l1,..., Ξ lk } Ξ e uma coleção de soluções globais limitadas {ξ i : R X, 1 i k}, com Ξ lk+1 := Ξ l1, tais que (i) lim t ξ i (t) = Ξ li, 1 i k (ii) lim t + ξ i (t) = Ξ li+1, 1 i k (iii) min j=1,...,k sup t R d(ξ j (t), n i=1 O δ(ξ i )) > 0 Desses fatos, os requisitos da Denição (3.2.3) são imediatos. Agora, vamos supor que um dos conjuntos invariantes isolados Ξ Ξ seja recorrente por cadeia. Então, após reordenarmos Ξ, temos que existem {Ξ 1,..., Ξ l } e, para cada inteiro positivo k, pontos x k 1,..., x k l e números positivos t k 1,..., t k l tais que d(x k i, Ξ i ) < 1 k, d(t (tk i )x k i, Ξ i+1 ) < 1 k, 1 i l. Adicionando, se necessário, mais conjuntos invariantes isolados às 1 -cadeias, podemos k assumir que k=1 t [0,t k i ] T (t)xk i Ξ j = para j diferente de i e de i + 1. Tomemos 0 < 2δ < min{dist(ξ i, Ξ j ) : 1 i < j n} e números positivos τ k 1,..., τ k l forma que d(t (t)x k i, Ξ i ) < δ para todo 0 t τ k i e d(t (τ k i )x k i, Ξ i ) = δ. de

46 32 Estabilidade Estrutural Topológica de Atratores τ 0 i Podemos supor que τ k i R, x k i k pois, caso contrário, poderíamos assumir que τ k i k x 0 i Ξ i e que d(t (τ 0 i )x 0 i, Ξ i ) = δ, contrariando a invariância de Ξ i. k Sendo {T (t) : t 0} assintoticamente compacto, existe uma subsequência de {T (τ k i )x k i : k N} convergindo para z 0 i X quando k. Essa subsequência será denotada da mesma forma por simplicidade. Podemos tomar uma subsequência dessa nova sequência obtida tal que {T (τ k i 1)x k i } k N convirja para z 1 i. Repetindo o processo, temos, para cada natural n, um ponto z n i tal que T (τ k i n)x k i Vamos denir ξ i : R X por Notemos que T (1)z n i k z n i. T (t)zi 0 t 0 ξ i (t) = T (n + t)zi n t [ n, n + 1), n = 1, 2, 3,... = T (1) lim k T (τ k i n)x k i = lim k T (τ k i (n 1))x k i = x n 1 i. A partir disso é fácil ver que ξ i é uma solução global. Para t [ τ k i, ), denamos ξ k i (t) := T (τ k i + t)x k i. É claro que d(ξ k i (t), Ξ i ) δ para t [ τ k i, 0] e que para cada n natural, novamente tomando uma subsequência, temos que ξ k i ( n) k z n i. Assim, xado t R, temos dois casos a considerar: t 0: ξ k i (t) = T (t)ξ k i (0) k T (t)z 0 i = ξ i (t). t [ n, n + 1), n = 1, 2, 3,...: ξ k i (t) = T (t + n)ξ k i ( n) k T (n + t)z n i = ξ i (t). δ. Assim ξ i (t) = lim k ξ k i (t) e, para todo t 0, temos que ξ i (t) O δ (Ξ i ) e d(ξ i (0), Ξ i ) = Como vale (G1) e k=1 t [0,t k i ] T (t)xk i Ξ j = para j diferente de i e de i + 1, temos que ξ i (t) Ξ i quando t e ξ i (t) Ξ i+1 quando t. Disso, existem τ 1, τ 2 R tais que d(ξ i (t), Ξ i ) < 1, se t < τ 1, e d(ξ i (t), Ξ i+1 ) < 1, se t > τ 2. Então ξ i é limitado em (, τ 1 ] [τ 2, + ) e, sendo [τ 1, τ 2 ] um compacto, ξ i é limitada.

47 3.3 Estruturas homoclínicas 33 Assim, todas as propriedades para que A tenha uma estrutura homoclínica foram satisfeitas. Corolário Se {T (t) : t 0} for um semigrupo dinamicamente gradiente com uma família de conjuntos invariantes disjuntos Ξ = {Ξ 1,..., Ξ n } e A for seu atrator global, então existem conjuntos invariantes isolados Ξ α e Ξ ω tais que Ξ α possui um conjunto estável trivial em A, ou seja, W s (Ξ α ) A = Ξ α, onde W s (Ξ α ) := {y X : T (t)y Ξ α quando t } e Ξ ω possui conjunto instável trivial, ou seja, W u (Ξ ω ) = Ξ ω, onde W u (Ξ ω ) := {y X : existe uma solução global ξ : R X tal que ξ(0) = y e ξ(t) t Ξ ω } Demonstração. Provemos que existe um conjunto invariante isolado Ξ ω instável trivial. É claro que Ξ i W u (Ξ i ) para cada 1 i n. Para provarmos a recíproca, suponha que, para cada i, exista y i solução global ξ i : R X por y i tal que ξ i (t) t Ξ i. Podemos denir Ξ l1 mesma forma, existe ξ l2 com conjunto / W u (Ξ i ) e uma := Ξ 1. Como vale (G1), ξ 1 (t) t Ξ l2, para algum l 2 l 1. Da tal que ξ l2 (t) t Ξ l3, para algum l 3 l 2. Assim, vemos que, após um número nito de repetições do processo acima, temos uma estrutura homoclínica, contradizendo (G2). Assim, a existência de um conjunto instável trivial está provada. Podemos proceder de forma semelhante para mostrar a existência de um conjunto estável trivial em A. Para isso, devemos construir uma estrutura homoclínica notando que existem soluções globais ξ i : R X por y i para todo y i W s (Ξ i ) A, 1 i n tais que ξ i (t) t + Ξ i. Lema Seja {T (t) : t 0} um semigrupo gradiente com respeito à coleção de

48 34 Estabilidade Estrutural Topológica de Atratores conjuntos invariantes isolados Ξ = {Ξ 1,..., Ξ n } e com atrator global A. Então {T (t) : t 0} é um semigrupo dinamicamente gradiente com relação a Ξ. Demonstração. Primeiramente, mostremos que vale (G1). Seja ξ : R X uma solução global. Pelo Lema 3.1.2, existem 1 i, j n tais que ω(ξ) Ξ j e α(ξ) Ξ i. Como lim t d(ξ(t), ω(ξ)) = 0, temos que lim t d(ξ(t), Ξ j ) = 0. De forma análoga, lim t d(ξ(t), Ξ i ) = 0. Mostremos, por contradição, que não existem estruturas homoclínicas associadas a Ξ. Seja {Ξ 1,..., Ξ k } e {ξ 1,..., ξ k }, 1 k n uma estruturas homoclínica associada a Ξ (após uma possível reordenação). Assim, temos que ξ j : R X é tal que para j = 1, 2,..., k e Ξ k+1 := Ξ 1. lim ξ j(t) = Ξ j e lim ξ j (t) = Ξ j+1 t t O caso k = 1 é demonstrado pela corolário anterior. Vamos, então, considerar k 2. Denamos as constantes L j por L j := V Ej, j = 1, 2,..., k. Para qualquer t R, temos que L j V (ξ j (t)) L j+1. Assim, L 1 L 2... L k L k+1 = L 1. Então existe L real tal que L j = L para todo j = 1, 2,..., k. Dados t 1 < t 2, temos L = L j V (ξ j (t 1 )) V (ξ j (t 2 )) L j+1 = L. Dessa forma, R t V (ξ j (t)) é constante. Isso implica que ξ j (R) Ξ p para algum p = 1, 2,..., n. Como cada Ξ j é um conjunto invariante isolado e lim t ξ j (t) = Ξ j, ξ j (R) Ξ j. Analogamente, como lim t ξ j (t) = Ξ j+1, ξ j (R) Ξ j+1 e, logo, Ξ j = Ξ j+1. Isso quer dizer que existe Ξ Ξ tal que Ξ j = Ξ para todo j = 1, 2,..., k e obtemos uma contradição.

49 3.4 Equivalência entre semigrupos dinamicamente gradientes e gradientes Equivalência entre semigrupos dinamicamente gradientes e gradientes Denição Dizemos que uma família de semigrupo {T η (t) : t 0} η [0,1] é coletivamente assintoticamente compacta em η = 0 se, dadas as sequências {η k } k N [0, 1], {x k } k N limitada em X e {t k } k N [0, ) tais que η k k 0 e t k {T ηk (t k )x k } é relativamente compacto em X. k, então Lema Seja {T η (t) : t 0} η [0,1] uma família de semigrupos contínua e coletivamente assintoticamente compacta. Sejam as sequências {t k } k N em R +, {t k } k N em [0, 1] e {x k } k N em X tais que t k k N. k, η k k 0 e {x k } é limitada. Denamos I k := [ t k, ) e ξ k : I k X dada por ξ k (t) = T ηk (t + t k ), para t I k e Então existe uma solução global ξ 0 : R X de {T 0 (t) : t 0} e uma subsequência de {ξ k } que converge uniformemente para ξ 0 em compactos de R. Demonstração. Sendo a família de semigrupos compactamente assintoticamente compacta, podemos tomar z 0 X e N 0 N, com N 0 um conjunto innito, tais que Denamos ξ (0) 0 : [0, ) X por z 0 = lim k N0 T ηk (t k )x k. ξ (0) 0 (t) = T 0 (t)z 0, t 0. Sejam z 1 X e N 1 N 0 de forma que t k > 1 para todo k N 1 e Denamos ξ (1) 0 : [ 1, 0] X por z 1 = lim k N1 T ηk (t k 1)x k. ξ (1) 0 (t) = T 0 (t + 1)z 1, t [ 1, 0].

50 36 Estabilidade Estrutural Topológica de Atratores Notemos que ξ (1) 0 (0) = T 0 (1) lim k N1 T ηk (t k 1)x k = lim k N1 T ηk (1)T ηk (t k 1)x k = lim k N1 T ηk (t k )x k = z 0 = ξ (0) 0 (0). Repetindo essa construção, dado n R, obtemos N n N n 1 e um ponto z n tais que Denamos ξ (n) 0 : [ n, n + 1] X por z n = lim k Nn T ηk (t k n)x k. Finalmente, seja ξ 0 : R X dada por ξ (n) 0 (t) = T 0 (t + n)z 1, t [ n, n + 1]. ξ 0 (t) = ξ (0) 0 (t), se t 0 ξ (n) 0 (t), se t [ n, n + 1). É fácil ver que ξ 0 : R X é uma solução global de {T 0 (t) : t 0}. Vamos denir o conjunto N de forma que seu n-ésimo elemento seja o n-ésimo elemento do conjunto N n. Então N é um conjunto innito e vamos mostrar que {ξ k } k N converge para ξ 0. Sejam C 0 := {T ηk (t k )x k : k N 0 } e 0 a < b. Pela continuidade da família, temos Desta forma, lim sup k,k N 0 sup d(t ηk (t)x, T 0 (t)x) = 0. (t,x) [a,b] C 0 d(ξ k (t), ξ 0 (t)) = d(t ηk (t + t k )x k, T 0 (t)z 0 ) d(t ηk (t)t ηk (t k )x k, T 0 (t)t ηk (t k )x k ) + d(t 0 (t)t ηk (t k )x k, T 0 (t)z 0 ) 0 uniformemente para em [a, b] quando k N 0 e k, já que T ηk (t k )x k C 0. Tomemos, agora, n N e denamos o compacto C n := {T ηk (t k n)x k : k N n }.

51 3.4 Equivalência entre semigrupos dinamicamente gradientes e gradientes 37 Então lim sup k,k N n e concluímos, analogamente, que sup d(t ηk (t)x, T 0 (t)x) = 0 (t,x) [ n, n+1] C n quando k N n e k. sup d(ξ k (t), ξ 0 (t)) 0 t [ n, n+1] Por m, como N é um subconjunto de N n (a partir do n-ésimo elemento), se K R for um compacto, então existe um número nito de intervalos da forma [a, b] e [ n, n+1] que cobrem K e obtemos que quando k N e k. sup d(ξ k (t), ξ 0 (t)) 0 t K Decomposição de Morse para semigrupos dinamicamente gradientes Denição Seja {T (t) : t 0} um semigrupo com atrator global A. Dizemos que um subconjunto Ξ não-vazio de A é um atrator local se existir ɛ > 0 tal que ω(o ɛ (Ξ)) = Ξ. O repulsor Ξ associado ao atrator local Ξ é o conjunto denido por Ξ = {x A : ω(x) Ξ = } O par (Ξ, Ξ ) é chamado de um par atrator-repulsor para {T (t) : t 0}. Lema Seja {T (t) : t 0} um semigrupo com atrator global A. Se Ξ for um atrator local, então existe ɛ > 0 tal que Ξ O ɛ (Ξ) =. Além disso, Ξ é fechado e invariante.

52 38 Estabilidade Estrutural Topológica de Atratores Demonstração. Pela denição de atrator local, existe ɛ > 0 tal que ω(o ɛ (Ξ)) = Ξ. Assim, se x O ɛ (Ξ), então ω(x) Ξ e x / Ξ, provando a primeira armação. Notemos, agora, que ω(t (t)x) = ω(x) para todo t 0 e, consequentemente, x Ξ se, e somente se, T (t)x Ξ, provando a invariância. Por m, seja x Ξ. Então existe y Ξ tal que d(x, y) < ɛ. Com isso, d(x, Ξ) > 2 ɛ. Assim, 2 dist(ξ, Ξ) ɛ. Como 2 Ξ é invariante, seu fecho também é invariante e d(t (t)x, Ξ) ɛ 2, para todo t R+, mostrando que ω(x) Ξ = e que x Ξ. Denição Uma n-upla ordenada Ξ = {Ξ 1,..., Ξ n } de conjuntos invariantes isolados é chamada de decomposição de Morse de A se, para toda solução global φ : R A, tivermos que Ξ j t φ(t) t Ξ i, com j > i, ou para algum i i n. φ(r) Ξ i, Lema Seja {T (t) : t 0} um semigrupo com atrator global A. Se Ξ for um compacto invariante e existir ɛ > 0 tal que Ξ atrai O ɛ (Ξ) A então, dado δ > 0, existe δ > 0 tal que γ + (O δ (Ξ)) O δ (Ξ), onde γ + (O δ (Ξ)) = x O δ (Ξ) t 0 T (t)x. Demonstração. Dado 0 < δ < ɛ, se não existir δ > 0 tal que γ + (O δ (Ξ)) O δ (Ξ), então existem x Ξ, {x n } n N em X e {t n } n N em R tais que x n n x, d(t (t n )x n, Ξ) = δ e T (t)x n O δ (Ξ), para todo t [0, t n ]. Se t n supor que t n n t 0 R, então d(t (t 0 )x, Ξ) = δ, o que é um absurdo. Por isso, podemos n. Denamos, para cada n, ξ n : [ t n, ) X dado por ξ n (t) = T (t n + t)x n. Como já feito anteriormente, tomando uma subsequência denotada da mesma forma, podemos

53 3.4 Equivalência entre semigrupos dinamicamente gradientes e gradientes 39 assumir que existe uma solução global ξ : R X tal que ξ n (t) n ξ(t), para todo t R. Por essa construção, vemos que ξ((, 0]) é limitada. Temos, também, que existe τ R tal que d(ξ(t), A) < 1 se t > τ. Então ξ i é limitado em (, 0] [τ, + ) e, sendo [0, τ] um compacto, ξ é limitada. Logo ξ(r) A. Dessa forma, temos que ξ(t) O δ (Ξ) A O ɛ (Ξ) A para t 0 e d(ξ(0), Ξ) = δ. Mas dado t R, d(t (t)ξ( t), Ξ) = d(ξ(0), Ξ) = δ, contrariando a hipótese que Ξ atrai O ɛ (Ξ) A. Lema Seja {T (t) : t 0} um semigrupo em um espaço métrico X com atrator global A e S(t) := T (t) A. Então {S(t) : t 0} é claramente um semigrupo no espaço métrico A. Se Ξ for um atrator local para {S(t) : t 0} no espaço métrico A e K for um subconjunto compacto de A tal que K Ξ =, então Ξ atrai K. Além disso, Ξ é um atrator local para {T (t) : t 0} em X. Demonstração. Seja K um subconjunto compacto de A tal que K Ξ =. Se Ξ não atrai K, então existem δ > 0, x K, {x n } n N em K e {t n } n N em R tais que t n n n, x n x e d(t (t n )x n, Ξ) δ. Pelo Lema (3.4.6). existe 0 < δ < δ tal que d(t (t)x n, Ξ) δ para todo t [0, t n ]. Isso implica que d(t (t)x, Ξ) > δ para todo t 0 e, consequentemente, que ω(x) Ξ =. Isso contradiz o fato que K Ξ =, provando o primeiro resultado. Para a última armação, notemos que existe δ > 0 tal que ω(o δ (Ξ)) Ξ = para todo δ (0, δ). Pela invariância de ω(o δ (Ξ)) e como Ξ atrai subconjuntos compactos de A que não interceptam Ξ, temos que ω(o δ (Ξ)) Ξ. Assim, como ω(o δ (Ξ)) atrai O δ (Ξ), temos que Ξ é um atrator local para {T (t) : t 0} em X. Lema Seja {T (t) : t 0} um semigrupo em um espaço métrico X com atrator global A e um par atrator-repulsor (Ξ, Ξ ). Se uma solução global ξ : R X de {T (t) : t 0} for tal que ξ(t) O δ (Ξ ), para todo t 0, para algum δ > 0 tal que O δ (Ξ ) Ξ =, então d(ξ(t), Ξ ) t 0.

54 40 Estabilidade Estrutural Topológica de Atratores Demonstração. Suponha a conclusão seja falsa. Então existem δ > 0 e uma sequência {t n } n N em R tais que t n n e d(ξ( t n ), Ξ ) δ. Assim, considerando o compacto K = {z A : d(z, Ξ ) δ }, temos que x n := ξ( t n ) K e T (t n )x n = ξ(0), ou seja, Ξ não atrai K, contrariando o Lema (3.4.7). Lema Seja {T (t) : t 0} um semigrupo em X com atrator global A e um par atrator-repulsor (Ξ, Ξ ). Se ξ : R X for uma solução global limitada de {T (t) : t 0} por x / Ξ Ξ, então ξ(t) t Ξ e ξ(t) t Ξ. Além disso, se x X\A, então T (t)x t Ξ Ξ. Demonstração. Como x A e x / Ξ, pelo Lema 3.4.7, temos que ξ(t) t Ξ. Vamos supor que ξ Ξ quando t e dividir a demonstração em dois casos. (1) Se ξ(r) Ξ =, então ξ(r) é invariante, contém um ponto que não está em Ξ e, pelo Lema 3.4.7, é atraído por Ξ. Assim o que é um absurdo. 0 = lim t dist H (T (t)ξ(r), Ξ) = dist H (ξ(r), Ξ), (2) Se ξ(r) Ξ, então, para δ > 0 sucientemente pequeno, existem sequências {t n } n N e {τ n } n N tais que t n n, τ n n, ξ( t n + τ n ) n z Ξ, d(ξ( t n + t), Ξ ) δ para 0 t τ n e d(ξ( t n ), Ξ ) = δ. Disso, podemos obter uma solução global ζ : R A de forma que d(ζ(t), Ξ ) δ para todo t 0. Assim, ω(ζ(0)) / Ξ, o que implica que ζ(0) Ξ, contrariando o fato de d(ζ(0), Ξ ) = δ. Agora, suponha que x X\A e provemos que T (t)x t Ξ Ξ. Se γ + (x) Ξ, dado ɛ > 0, existe t ɛ R tal que d(t (t ɛ )x, Ξ) < ɛ e, sendo Ξ um atrator local, T (t)x t Ξ. Agora, se γ + (x) Ξ =, existe δ > 0 tal que γ + (x) O δ (Ξ) =. Mostremos que T (t)x t Ξ. Se isso não fosse verdade, então existiriam ɛ > 0 e uma sequência {t n } n N tais que t n n e d(t (t n )x, Ξ ) ɛ.

55 3.4 Equivalência entre semigrupos dinamicamente gradientes e gradientes 41 Seja, para cada n R, a função ξ n : [ t n, ), dada por ξ n (t) = T (t + t n )x. Fixado t > 0 e tomando subsequência, podemos denir a solução global ξ por ξ(t) = lim n ξ n (t), que satisfaz d(ξ(0), Ξ ) ɛ e d(ξ(t), Ξ) δ para todo t R. Temos então um absurdo, já que ω(ξ(0)) Ξ = e ξ(0) / Ξ. Lema Seja {T (t) : t 0} um semigrupo dinamicamente gradiente em um espaço métrico X, com atrator global A e uma coleção de conjuntos invariantes isolados Ξ = {Ξ 1,..., Ξ n }. Então existe 1 i n tal que Ξ i é um atrator local. Demonstração. Suponha que não exista nenhum atrator local em Ξ. Como Ξ 1 não é um atrator local, dado ɛ > 0 existe x 1 O ɛ (Ξ 1 ) A e um número real τ 1 tal que T (τ 1 )x 1 / O ɛ (Ξ 1 ). Pelo Lema 3.2.6, existe t 1 > τ 1 tal que T (t 1 )x 1 O ɛ (Ξ j ) para algum 1 j n. Se j = 1, temos uma contradição com a propriedade (G2). Caso contrário, como Ξ j não é um atrator local, podemos repetir o processo e construir uma ɛ-cadeia, já que Ξ possui um número nito de elementos e vamos obter, novamente, uma contradição com (G2). Vamos, agora, descrever a construção da decomposição de Morse dos atratores de um semigrupo dinamicamente gradiente. Seja {T (t) : t 0} um semigrupo dinamicamente gradiente e Ξ = {Ξ 1,..., Ξ n } uma coleção de conjuntos invariantes isolados. Podemos assumir, após uma possível reordenação, que Ξ 1 é um atrator local para {T (t) : t 0}. Temos, também, que Ξ 1 = {a A : ω(a) Ξ 1 = } Então cada Ξ i, i > 1, está contido em Ξ 1 e, se a / A\{Ξ 1 Ξ 1}, uma solução global φ : R A por a satisfaz Ξ 1 t φ(t) t Ξ 1 Já foi mostrado que Ξ 1 é invariante sob a ação de {T (t) : t 0}. Vamos considerar, agora, a restrição T 1 (t) de T (t) a Ξ 1 =: {E1} 0. Ao fazermos esta restrição, todas as soluções globais φ : R A tais que φ(t) t Ξ 1 foram removidas, ou seja, se φ 1 : R A for uma solução global de {T (t) : t 0} e φ(t) t Ξ i, então i > 1. É imediato que {T 1 (t) : t 0} herda as propriedades (G1) e (G2) de {T (t) : t 0} e, então, {T 1 (t) : t 0} é um semigrupo dinamicamente gradiente com a coleção de conjuntos invariantes isolados {Ξ 2,..., Ξ n }. Podemos assumir que Ξ 2 é um atrator local para {T 1 (t) : t 0} em Ξ 1. Se {Ξ 2 } 1 for o repulsor associado ao conjunto invariante isolado Ξ 2 para {T 1 (t) : t 0} em Ξ 1,

56 42 Estabilidade Estrutural Topológica de Atratores podemos considerar a restrição {T 2 (t) : t 0} de {T 1 (t) : t 0} a {Ξ 2 } 1, que é um semigrupo dinamicamente gradiente em {Ξ 2 } 1 com conjuntos invariantes disjuntos associados {Ξ 3,..., Ξ n }. Ao fazermos isso, removemos todas as soluções globais φ : R A tais que φ(t) t t Ξ 1 e, se Ξ j φ(t) t Ξ 2, então j 2. Podemos repetir este procedimento n vezes, obtendo uma reordenação de {Ξ 1,..., Ξ n }, de forma que Ξ j é um atrator local para a restrição de {T (t) : t 0} a {Ξ j 1 } j 2, considerando que {Ξ 0 } 1 = A. t Com essa construção, se uma solução global φ : R A é tal que Ξ l φ(t) t Ξ k então l k. Isso prova que Ξ = {Ξ 1,..., Ξ n }, denotada da mesma forma após reordenação, é uma decomposição de Morse de A. Vamos provar que, para uma sequência apropriada de atratores locais = A 0 A 1... A n = A, podemos construir uma decomposição de Morse Ξ. Para isso, vamos utilizar W u (Ξ i ) = {x X : existe uma solução global ξ : R X com ξ(0) = x tal que ξ(t) t Ξ i } Vamos, também, denir A 0 =, A 1 = Ξ 1 e, para j = 2, 3,..., n A j = Por essa construção, vemos que A n = A. (Teorema (3.1.3)) j W u (Ξ i ) (3.4.1) i=1 Lema Seja A j denido como em (3.4.1)). Então, para cada j = 0,..., n, A j é compacto. Demonstração. Precisamos apenas mostrar que cada W u (Ξ i ) é fechado, já que eles são subconjuntos de A. Seja {x k } k R uma sequência em W u (Ξ i ) tal que lim k x k = x A. Para cada k, existe uma solução global ξ k : R A por x k tal que ξ k (t) t Ξ i. Tomando o limite de uma subsequência, obtemos uma solução global ξ : R A por x tal que ξ(t) t Ξ i. Assim, provamos que x W u (Ξ i ). Lema Seja {T (t) : t 0} um semigrupo dinamicamente gradiente associado à coleção de conjuntos invariantes disjuntos Ξ = {Ξ 1,..., Ξ n }, ordenada de forma a ser uma decomposição de Morse. Então A j dado por (3.4.1)) é um atrator local para {T (t) : t 0} em X e

57 3.4 Equivalência entre semigrupos dinamicamente gradientes e gradientes 43 Ξ j = A j A j 1, j = 1,..., n Demonstração. Primeiramente, mostremos que existe δ 0 > 0 tal que O δ0 (A j ) ( n i=j+1 Ξ i) =. Se isso não fosse verdade, existiria uma sequência {x k } k N, com x k n i=j+1 Ξ i k tal que x k A j. Como a união de conjuntos considerada contém um número nito de conjuntos, podemos assumir que x k Ξ i0, para todo k N, para algum j + 1 i 0 n xado. Pelo Lema , podemos assumir, tomando uma subsequência, que x k k x A j Ξ i0 =, o que é um absurdo. Pelo Lema 3.4.7, é suciente provarmos que A j é um atrator local para {T (t) : t 0} restrito a A. Mostremos que, dado 0 < δ < δ 0, existe 0 < δ < δ tal que γ + (O δ (A j )) O δ (A j ). Caso contrário, poderíamos encontrar {x k } k N em X e {t k } k N em R tais que (i) t k (ii) x k k k A j (iii) d(t (t k )x k, A j ) = δ (iv) d(t (t)x k, A j ) δ, se t [0, t k ] Denamos ξ k : R X, onde ξ k (t) = T (t + t k )x k. Pelo Lema 3.4.2, podemos admitir a existência de uma solução global ξ : R X de modo que d(ξ(0), A j ) = δ e d(ξ(t), A j ) δ se t < 0. Como {T (t) : t 0} é um semigrupo dinamicamente gradiente, ξ(t) Ξ k quando t para algum 1 k n. Mas como O δ0 (A j ) ( n i=j+1 Ξ i) = e d(ξ(t), A j ) δ, t < 0, temos que k j. Dessa forma, ξ(0) W u (Ξ j ) A j, o que contradiz d(ξ(0), A j ) = δ. Assim, provamos que, para todo 0 < δ < δ 0, existe 0 < δ < δ tal que γ + (O δ (A j )) O δ (A j ). Disso, ω(o δ (A j )) O δ (A j ) O δ0 (A j ). Se x ω(o δ (A j )), então existe solução global ξ : R X por x e ξ(t) O δ (A j ), para todo t R. Notemos também que ξ(t) t Ξ i, para algum i j, ou seja x W u (Ξ i ) A j. Resumindo, ω(o δ (A j )) A j.

58 44 Estabilidade Estrutural Topológica de Atratores Por outro lado, A j O δ (A j ), o que implica que ω(a j ) ω(o δ (A j )). Pela denição de A j, é fácil ver que ele é invariante. Assim, ω(a j ) = A j A j. Logo, A j ω(o δ (A j )), provando que A j é um atrator local. Mostremos que Ξ j = A j A j 1. Notemos que A j 1 = {z A : ω(z) A j 1 = } e que se z A j A j 1, então existe uma solução global ξ : R A por z tal que {Ξ i : 1 i j} t ξ(t) t {Ξ i : j i n} Como o semigrupo é dinamicamente gradiente e estamos trabalhando com uma decomposição de Morse, também temos que Ξ l consequência Ξ j temos que z Ξ j. t ξ(t) t Ξ k, com l k. Como t ξ(t) t Ξ j e, como não podemos ter estruturas homoclínicas, Por outro lado, se x Ξ j, então ω(x) Ξ j, ω(x) A j 1 = e x A j 1. Por m, é óbvio, da denição de A j, que Ξ j A j. Provamos, então que Ξ j = A j A j 1. Lema Seja {T (t) : t 0} um semigrupo dinamicamente gradiente com a coleção de conjuntos variantes isolados Ξ = {Ξ 1,..., Ξ n }, reordenada de forma a ser uma decomposição de Morse. Então n (A j A j) = j=0 Demonstração. Se z n i=1 Ξ i, então existe k {1, 2,..., n} tal que z Ξ k = A k A k 1. Como A k A k+1... A n, temos que z A j, se j k. Também temos que A k 1 A k 2... A 0 e que z A j, se j < k. Assim, z (A j A j), para 0 j n. Fica então provado que n i=1 Ξ i n j=0 (A j A j). Seja, agora, z n j=0 (A j A j). Sejam K := {0, 1, 2,..., n}, I := {i K : z A i } e J := {j K : z A j} Como A k A k+1... A n, podemos tomar i = min I e I = {i, i+1,..., n}. Notemos que I J = e I J = K, o que signica que J = {1, 2,..., i 1}. Assim z A i e z A i 1, ou seja, z Ξ i e a demonstração está completa. n i=1 Ξ i

59 3.4 Equivalência entre semigrupos dinamicamente gradientes e gradientes Funções de Lyapunov para semigrupos dinamicamente gradientes O objetivo desta seção é provarmos a equivalência entre semigrupos gradientes e semigrupos dinamicamente gradientes. Para isso, nos próximos lemas, vamos construir uma função de Lyapunov para semigrupos dinamicamente gradientes. Lema Seja {T (t) : t 0} um semigrupo com atrator global A. Então a função h : X R, dada por h(x) = sup d(t (t)x, A) t 0 é bem denida, contínua, não-crescente em soluções de {T (t) : t 0} e h 1 (0) = A. Demonstração. Dado x X, existe t x > 0 tal que d(t (t)x, A) 1, para todo t t x. Sendo [0, t x ] um compacto e a função [0, t x ] t d(t (t)x, A) contínua, vemos que h(x) é nito e h está bem denida. Pelo Lema (3.4.7), dado ɛ > 0, existe 0 < δ < ɛ tal que γ + (O δ (A)) O ɛ (A), mostrando a continuidade de h em A. Sejam x 0 X\A e 0 < µ < h(x 0 ). Pela continuidade da função X x d(x, A) [0, ), podemos encontrar uma vizinhança limitada V de x 0 de forma que d(z, A) > µ, para todo z V. Existe, também, τ > 0 tal que γ + (T (τ)v ) O µ (A). Assim, se z V, temos que h(z) = sup 0 s τ d(t (s)z, A) e, pela continuidade de {T (t) : t 0}, obtemos que h é contínua. Por m, se z X e t 2 t 1 0, então h(t (t 1 )z) = sup t 0 d(t (t)t (t 1 )z, A) = sup d(t (t + t 1 )z, A) = sup d(t (t)z, A) t 0 t t 1 sup d(t (t)z, A) = sup d(t (t)t (t 2 )z, A) = h((t (t s )z) t t 2 t 0

60 46 Estabilidade Estrutural Topológica de Atratores Lema Seja {T (t) : t 0} um semigrupo em um espaço métrico X com atrator global A e seja (Ξ, Ξ ) um par atrator-repulsor em A. Então existe uma função f : X R que satisfaz: (i) f : X R é contínua em X. (ii) f : X R é não-crescente em soluções de {T (t) : t 0}. (iii) f 1 (0) = Ξ e f 1 (1) A = Ξ. (iv) Dado z X, se f(t (t)z) = f(z) para todo t 0, então z (Ξ Ξ ). Tal função pode ser denida por em que f(x) = h(x) + k(x), x X h(x) := sup t 0 d(t (t)x, A), k(x) := sup t 0 l(t (t)x) e l(x) := d(x,ξ) d(x,ξ)+d(x,ξ ). Demonstração. Sendo Ξ e Ξ subconjuntos disjuntos e fechados de A, que é um subconjunto compacto de X, Ξ e Ξ são subconjuntos fechados de X. Denindo d(z, ) = 1 para cada z X, denamos a função (função canônica de Urysohn se Ξ e Ξ são não-vazios) l : X [0, 1] associada a (Ξ, Ξ ) por l(z) = d(z, Ξ) d(z, Ξ) + d(z, Ξ ), z X. A função l está bem denida, l 1 (0) = Ξ e l 1 (1) = Ξ. Agora, vamos denir a função k : X R por k(z) := sup l(t (t)z). t 0

61 3.4 Equivalência entre semigrupos dinamicamente gradientes e gradientes 47 Como l(t (t)z) [0, 1] para todo z X e t 0, temos que K(X) [0, 1]. Para vermos que [0, ) t k(t (t)z) [0, 1] é não-crescente para cada z X, notemos que, se 0 t 1 t 2, temos k(t (t 1 )z) = sup t 0 l(t (t)t (t 1 )z) = sup l(t (t + t 1 )z) = sup l(t (t)z) t 0 t t 1 sup l(t (t)z) = sup l(t (t + t 2 )z) = k(t (t 2 )z) t t 2 t 0 Pela invariância de Ξ e ξ, é fácil ver que k(ξ) = {0} e k(ξ ) = {1}. Por outro lado, se z X e k(z) = 0, então l(t (t)z) = 0 para todo t 0. Em particular, l(z) = 0 e z Ξ. Dessa forma, k 1 (0) = Ξ. Mostremos que l 1 (1) A = Ξ. Seja z A tal que k(z) = 1 e z / Ξ. Então ω(z) Ξ. Sendo l contínua e do fato que Ξ atrai z, temos que lim t l(t (t)z) = 0. Assim, existe t 0 > 0 tal que 1 = k(z) = sup 0 t t0 l(t (t)z). Isso implica que existe t [0, t 0 ] tal que l(t (t )z) = 1, ou seja, T (t )z Ξ. Dessa forma, temos que ω(z) = ω(t (t )z) Ξ, contradizendo o fato de ω(z) Ξ. Assim, se k(z) = 1 para algum z A, temos que z Ξ. Provemos, agora, que, se z A e k(t (t)z) = k(z) para todo t 0, então z Ξ Ξ. Suponha que isto seja falso. Então existe z A\Ξ Ξ tal que k(t (t)z) = k(z), para todo t 0. Como ω(z) Ξ e ω(z) atrai z, temos que k(z) = lim t k(t (t)z) = 0. Como k 1 (0) = Ξ, z Ξ, o que é uma contradição. Para provarmos a continuidade de k : X R, vamos considerar três casos: Caso 1: Continuidade de k : X R em Ξ. Como l(z) k(z) 1 para todo z X, dado z 0 Ξ e z X, temos que k(z) k(x 0 ) = 1 k(z) 1 l(z) Sendo l(z 0 ) = 1, obtemos a continuidade de k da continuidade de l. Caso 2: Continuidade de k : X R em Ξ.

62 48 Estabilidade Estrutural Topológica de Atratores Como l : x R é contínua em Ξ, dado ɛ > 0, existe δ > 0 tal que l(o δ (Ξ)) [0, ɛ). Do Lema 3.4.6, existe δ (0, δ) tal que γ + (O δ (Ξ)) O δ (Ξ), de onde obtemos que k(o δ (Ξ)) [0, ɛ). Caso 3: Continuidade de k : X R em X\(Ξ Ξ ). Seja z 0 X\(Ξ Ξ ). Do Lema 3.4.9, lim d(t (t)z 0, Ξ) = 0 ou lim d(t (t)z 0, Ξ ) = 0. t t Caso 3.1 Suponha que lim t d(t (t)z 0, Ξ ) = 0 e, consequentemente, k(z 0 ) = 1, já que l(t (t)z 0 ) t 1. Dado ɛ > 0, pela continuidade de l : X R em Ξ, existe uma vizinhança aberta V de Ξ em X tal que l(v ) (1 ɛ, 1]. Seja t 0 > 0 de forma que T (t 0 )z 0 V. Pela continuidade de T (t 0 ) : X X, existe uma vizinhança U de z 0 tal que T (t 0 )U V, o que implica que k(z) > 1 ɛ para todo z U, provando este caso. Caso 3.2 Suponha que lim t d(t (t)z 0, Ξ) = 0. Como l(z 0 ) > 0, podemos tomar δ > 0 tal que l(o δ (Ξ)) [0, l(z 0) 2 ). Pelo Lema 3.4.6, existe δ (0, δ) tal que γ + (O δ (Ξ)) O δ (Ξ). Disso, existe t 0 > 0 tal que T (t)z 0 O δ (Ξ) para todo t t 0. Pela continuidade de T (t 0 ) : X X, existe uma vizinhança U 1 de z 0 em X tal que T (t 0 )U 1 O δ (Ξ). Assim, para todo z U 1, temos que T (t 0 )z O δ (Ξ), de forma que T (t)z O δ (Ξ) para todo t t 0. Finalmente, pela continuidade de l, existe uma vizinhança U 2 de z 0 em X tal que l(z) > l(z 0 )/2, para todo z U 2. Tomando U := U 1 U 2, temos que, se z U, k(z) = sup 0 t t0 l(t (t)z) e obtemos a continuidade de k. Seja h : X R dada por h(z) = sup t 0 d(t (t)z, A) e denamos f : X R por f(z) := h(z) + k(z), z X.

63 3.4 Equivalência entre semigrupos dinamicamente gradientes e gradientes 49 A continuidade de f segue da continuidade de k e de h. Como k e h são não-crescentes ao longo de soluções de {T (t) : t 0}, f também é não-crescente ao longo de soluções. Como h(ξ) = k(ξ) = 0, temos que f(ξ) = 0. Se f(z) = 0 para algum z X, então h(z) = k(z) = 0 e z Ξ. Isso mostra que f 1 (0) = Ξ. Como f A = k A, temos que f 1 (0) A = k 1 (0) A = Ξ. Por m, seja z X tal que f(t (t)z) = f(z) para todo t 0. Como h e k não podem crescer ao longo de soluções, temos que h(t (t)z) = h(z) e k(t (t)z) = k(z) para todo t 0. Como d(t (t)z, A) t 0, temos que h(z) = 0 e z A. Como k(t (t)z) = k(z) para todo t 0, temos que z Ξ Ξ, completando a demonstração. Lema Seja {T (t) : t 0} um semigrupo num espaço métrico X com atrator global A e uma coleção de conjuntos invariantes isolados Ξ = {Ξ 1,..., Ξ n }. Então {T (t) : t 0} é um semigrupo gradiente com relação a Ξ se, e somente se, for dinamicamente gradiente com relação a Ξ. Além disso, a função de Lyapunov V : X R de um semigrupo dinamicamente gradiente pode ser escolhida de forma que V (Ξ k ) = k 1, para cada k = 1,...n. Tal função pode ser denida como em que V (x) := h(x) + n k j (x), x X h(x) := sup t 0 d(t (t)x, A), k j (x) := sup t 0 l j (T (t)x) e l j (x) := por (3.4.1)). j=1 d(x,a j ) d(x,a j )+d(x,a j ) (A j dado Demonstração. Já mostramos que um semigrupo gradiente é dinamicamente gradiente ( Lema 3.3.4) Seja {T (t) : t 0} um semigrupo dinamicamente gradiente com respeito a Ξ, ordenado de forma a ser uma decomposição de Morse para A. Seja = A 0 A 1... A n = A a sequência de atratores locais dada por (3.4.1) e = A n A n 1... A 0 = A seus repulsores, de forma que, para cada j = 1, 2,...n, nós temos Ξ j = A j A j 1.

64 50 Estabilidade Estrutural Topológica de Atratores Consideremos as funções h : X R, dada por h(x) := sup t 0 d(t (t)x, A); l j : X R, dada por l j (x) := d(x,a j ) d(x,a j )+d(x,a j ) e k j : X R, dada por k j (x) := sup t 0 l j (T (t)x). Denamos a função V : X R por V (z) := h(z) + n k j (z), z X j=1 Vamos mostrar que V é uma função de Lyapunov para o semigrupo {T (t) : t 0}. (i) Como V é a soma de funções contínuas, V é uma função contínua. Além disso, h e cada k j são não-crescente ao longo de soluções. Logo, V é não-crescente ao longo de soluções. (ii) Suponha que z X seja tal que V (T (t)z) = V (z) para todo t 0. Como h e cada k j não podem crescer ao longo de soluções, temos que h(t (t)z) = h(z) e k j (T (t)z) = k j (z) para todo t 0 e j = 0, 1,..., n. Pelo Lema (3.4.15), z A j A J, para cada j = 0, 1,..., n. Usando o Lema (3.4.13), obtemos que n ( n z Aj AJ) = Ξ i. j=0 i=1 (iii) Se k {1, 2,..., n} e z Ξ k = A k A j 1, então z A k A k+1... A n = A e z A k 1 A k A 0 = A. Assim, k j (z) = 0 se k j n e k j (z) = 1 se 1 j k 1 e V (z) = n k 1 k j (z) = k j (z) = k 1 j=1 j=1 3.5 Estabilidade estrutural topológica Esta seção é dedicada ao estudo de pequenas perturbações autônomas em semigrupos dinamicamente gradientes.

65 3.5 Estabilidade estrutural topológica 51 Lema Seja {T η (t) : t 0} η [0,1] uma família de semigrupos contínua e coletivamente assintoticamente compacta em η = 0. Considere as sequências {η n } n N, {a n } n N, {b n } n N e {c n } n N tais que a n < b n < c n, η n n 0, b n a n n e c n b n n. Denamos J n = [a n, c n ] e seja, para cada n N, ξ n : J n X uma solução de {T ηn : t 0}. Vamos, também, supor que θ = n ξ n(j n ) é limitado. Nestas condições, existe uma subsequência {n k } k N e uma solução global ξ 0 : R X de {T 0 (t) : T 0} tal que ξ nk ( + b nk ) ξ 0 ( ) uniformemente em subintervalos compactos de R. Demonstração. Como b n a n subsequência {n 0,k } k N tal que n e {ξ n (a n )} θ é limitado, podemos tomar uma para algum x 0 X. ξ n0,k (b n ) = T ηn0,k (b nk a nk )ξ n0,k (a nk ) k x 0 Denamos ξ 0 : [0, ) X por ξ 0 (t) = T 0 (t)x 0 para t 0. Assim, ξ 0 (t) = T 0 (t)x 0 = lim k T ηn0,k (t)ξ n0,k (b nk ) = lim k ξ n0,k (t + b nk ). e essa convergência é uniforme em compactos de R pois, se K é um compacto de R, usando a continuidade da família de semigrupos em η = 0, temos sup d(ξ 0 (t), ξ n0,k (t + b n )) t K sup(d(t 0 (t)x 0, T 0 (t)ξ n0,k (b nk )) + d(t 0 (t)ξ n0,k (b nk ), T ηn0,k (t)ξ n0,k (b nk ))) k 0. t K Temos também que ξ 0 ([0, )) θ. Suponha que já tenhamos construído sequências {n j,k } k N para 0 j m 1 de forma que {n j+1,k : k N} {n j,k : k N} e que ξ nj,k ( + b nk ) ξ 0 ( ) quando k uniformemente em subintervalos compactos de [ j, ), onde ξ 0 : [ (m 1), ) X é uma solução de {T 0 (t) : t 0} contida em θ.

66 52 Estabilidade Estrutural Topológica de Atratores Tomemos, agora, uma subsequência n m,k tal que ξ nm,k ( m + b nk ) = T ηnm,k ( m + b nk a nk )ξ n0,k (a nk ) k x m para algum x m X. Vamos estender ξ 0 ( ) para [ m, ) fazendo ξ 0 (s) = T 0 (s m)x m para s [ m, (m 1)). Então T 0 (1)x m = lim k T ηnm,k (1)ξ nm,k ( m + b nk ) = lim k ξ nm,k ( (m 1) + b nk ) = ξ 0 ( (m 1)) e ξ 0 : [ m, ) é uma solução de {T 0 (t) : t 0}. Como feito anteriormente, ξ nm,k ξ 0 uniformemente em subintervalos compactos de [ m, ) e ξ 0 ([ m, )) θ Fazendo n k = n k,k, a sequência {ξ nk ( )} k N e a solução global ξ 0 correspondente possuem as propriedades que queríamos. Corolário Seja {T η (t) : t 0} η [0,1] uma família de semigrupos contínua e coletivamente assintoticamente compacta em η = 0. Suponhamos que {T η (t) : t 0} possua atrator global A η e que η [0,1] A η é limitado. Sejam {η k } k N tal que η k k 0, s = {s k } k N uma sequência em R e, para cada k R, ξ k uma solução global de {T ηk (t) : t 0} em A ηk. Então existe uma subsequência {ξ kj } j N de {ξ k } k N tal que {ξ kj ( + s j )} j N converge uniformemente em intervalos limitados de R para uma solução global ξ 0 de {T 0 (t) : t 0} com ξ 0 (R) A 0. Em particular, a família {A η : η [0, 1]} é semicontínua superiormente em η = 0. Lema Seja {T η (t) : t 0} η [0,1] uma família de semigrupos contínua e coletivamente assintoticamente compacta em η = 0 com atrator global A η e as coleções de conjuntos invariantes isolados Ξ η = {Ξ 1,η,...Ξ n,η } de forma que {T 0 (t) : t 0} satisfaça (G1). Suponhamos que {A η : η [0, 1]} seja semicontínua superiormente em η = 0. Dado 0 < 2δ < min{dist(ξ i,0, Ξ j,η ) : 1 i < j n} e um conjunto limitado B X, existem números positivos t 0 = t 0 (δ, B) e η 0 > 0 tais que {T η (t)u 0 : 0 t t 0 } n i=1 O δ(ξ i,0 ) para todo u 0 B e η [0, η 0 ].

67 3.5 Estabilidade estrutural topológica 53 η 0 Além disso, se max j=1,...,n d H (Ξ j,η, Ξ k,0 ) 0, então {T η (t)u 0 n i=1 O δ(ξ i,η ) para todo u 0 B e η [0, η 0 ]. : 0 t t 0 } Demonstração. Vamos supor que o resultado seja falso. Então existem sequências {u k } k N em B, {η k } k N em [0, 1] e {t k } k N em R + tais que η k 0 t t k } n i=1 O δ(ξ i,0 ) =. k 0, t k k e {T ηk (t)u k : Pelo Lema (3.5.1), fazendo a n = 0, b n = tn 2 e c n = t n, existe uma solução global limitada ξ : R X de {T 0 (t) : t 0} tal que T ηk (t + t k 2 )u k ξ(t) uniformemente em subconjuntos compactos de R. Assim, ξ(t) / n i=1 O δ(ξ i,0 ) para todo t R, contradizendo (G1). Lema Seja {T η (t) : t 0} η [0,1] uma família de semigrupos contínua e coletivamente assintoticamente compacta em η = 0. Vamos supor que, para cada η [0, 1], exista uma coleção de invariantes isolados disjuntos Ξ η = {Ξ 1,η,..., Ξ n,η }, A η seja o atrator global de {T η (t) : t 0} e max 1 i n d H (Ξ i,η, Ξ i,0 ) η < 2δ 0 < min 1 i<j n dist(ξ i,0, Ξ j,0 ). Fixemos, também, Nestas condições, se {T 0 (t) : t 0} for dinamicamente gradiente e para 0 < δ < δ 0 dado, existem n 0 > 0 e δ > 0 (independente de η [0, η 0 ]) tais que se η [0, η 0 ], d(z 0, Ξ i,η ) < δ para algum 1 i n e, para algum t 1 > 0, nós tivermos d(t η (t 1 )z 0, Ξ i,η ) δ, então d(t η (t)z 0, Ξ i,η ) > δ para todo t t 1. Demonstração. Suponha que para algum 1 i n existam sequências {z k } k N em X e {η k } k N em [0, 1], {τ k } k N em R + e {σ k } k N em R + tais que: η k k 0, d(z k, Ξ i,ηk ) < 1 k, σ k < τ k, d(t ηk (σ k )z k, Ξ i,ηk ) δ d(t ηk (τ k )z k, Ξ i,ηk ) < 1 k.

68 54 Estabilidade Estrutural Topológica de Atratores Vamos mostrar que isso contradiz a propriedade (G2) de {T 0 (t) : t 0}. Pela continuidade dos semigrupos, podemos assumir que d(t ηk (σ k )z k, Ξ i,ηk ) = δ e d(t ηk (t)z k, Ξ i,ηk ) < δ para t < σ k. Também temos que σ k k. Denamos, para cada k N, ξ k : [ σ k, ) dada por ξ k (t) = T ηk (t + σ k )z k. Aplicando o Lema 3.5.1, com a n = σ n, b n = σn e c 2 n = 0, obtemos uma solução global ξ 0 : R A tal que ξ 0 (τ) τ Ξ i,0. Como {T 0 (t) : t 0} é dinamicamente gradiente, temos que existe j i tal que ξ 0 (τ) τ Ξ j,0. Dessa forma, existem sequências {k m } m N em N e {t m } m N em N com σ km < t m < τ km tais que d(t ηkm (σ km )z km, Ξ j,ηk,m ) < 1 m e d(t η km (t km )z km, Ξ j,ηk,m ) δ. Procedendo da mesma forma, obtemos uma solução ξ 1 : R A tal que ξ 1 (τ) τ Ξ j,0 e ξ 1 (τ) τ Ξ l,0 para algum l = 1, 2,..., n, l i e l j. Repetindo este procedimento um número nito de vezes, chegamos numa contradição. Teorema Seja {T η (t) : t 0} η [0,1] uma família de semigrupos contínua e coletivamente assintoticamente compacta em η = 0. Vamos assumir que (a) {T η (t) : t 0} tem atrator global A η para cada η [0, 1] e η [0,1] A η é limitado; (b) para cada η [0, 1], A η contém uma coleção de conjuntos invariantes isolados Ξ η = {Ξ 1,η,..., Ξ n,η } tal que lim η 0 d H (Ξ i,η, Ξ i,0 ) = 0 para todo 1 i n; (c) existem δ > 0 e η 0 (0, 1] tal que Ξ i,η é o conjunto invariante maximal em O δ (Ξ i,η ), 1 i n e 0 η η 0 ; (d) {T 0 (t) : t 0} é um semigrupo dinamicamente gradiente com atrator global A 0 e coleção de conjuntos invariantes isolados Ξ 0 = {Ξ 1,0,..., Ξ n,0 }. Então existe η 1 > 0 tal que, para todo η (0, η 1 ), {T η (t) : t 0} é um semigrupo dinamicamente gradiente com respeito a Ξ η.

69 3.5 Estabilidade estrutural topológica 55 Demonstração. Primeiramente, provemos que, para η > 0 sucientemente pequeno, {T η (t) : t 0} satisfaz (G1). Para isso, vamos supor que isso não ocorra, ou seja, que existam 0 < δ < δ, uma sequência η k k 0 e soluções globais ξ k de {T ηk (t) : t 0} em A ηk que tais lim sup t d(ξ k (t), n Ξ i,ηk ) > δ. (3.5.1) i=1 Aplicando o Lema 3.5.1, com s = {0}, obtemos uma subsequência (denotada da mesma forma) e uma solução global ξ 0 : R X de {T 0 (t) : t 0} tal que ξ k (t) ξ 0 (t) uniformemente em subconjuntos compactos de R. Como {T 0 (t) : t 0} satisfaz (G1), existe 1 i n tal que ξ 0 (t) t Ξ i,0. k k l. Assim, para cada l N, existem t l > 0 e k l N tais que d(ξ k (t l ), Ξ i,0 ) < 1, para todo k Por (3.5.1), existem, para l sucientemente grande, t l > t l tais que d(ξ kl (t), Ξ i,0 ) < δ para todo t [t l, t l ) e d(ξ k l (t l ), Ξ i,0) = δ.. Pela continuidade de {T 0 (t) : t 0} e invariância de Ξ i,0, devemos ter que t l t l Novamente pelo Lema 3.5.1, com s = {t l } l=1 l e, tomando uma subsequência, obtemos uma solução global ξ 1 : R X de {T 0 (t) : t 0} tal que ξ 1 (t) = lim l ξ kl (t + t l ), com convergência uniforme em subconjuntos compactos de R. Pela forma como ξ 1 foi obtido, é fácil ver que d(ξ 1 (t), Ξ i,0 ) δ para todo t 0 e, consequentemente, ξ 1 (t) Ξ i,0 quando t. Sendo ξ 1 uma solução global de {T 0 (t) : t 0}, existe j i tal que ξ 1 (t) Ξ j,0 quando t. Como feito anteriormente, para cada m N, existem t m > 0 e k m N tais que d(ξ k (t m ), Ξ j,0 ) < 1 m, para todo k k m. Também existem, para m sucientemente grande, t m > t m tais que d(ξ km (t), Ξ j,0 ) < δ para todo t [t m, t m) e d(ξ km (t m), Ξ j,0 ) = δ. Repetindo este processo, encontramos uma solução global ξ 2 : R X de {T 0 (t) : t 0} tal que ξ 2 (t) Ξ j,0 quando t e ξ 2 (t) Ξ r,0 quando t, para algum r / {i, j}. Repetindo este processo um número nito de vezes, construímos uma estrutura

70 56 Estabilidade Estrutural Topológica de Atratores homoclínica, o que contraria (G2). Assim, provamos que existe η 1 > 0 tal que, se ξ η for uma solução global em A η e η < η 1, temos que lim t d(ξ η (t), Ξ i,0 ) = 0. Pela hipótese (b), para η sucientemente pequeno, temos que lim t d(ξ η (t), Ξ i,η ) = 0. Analogamente, podemos provar que existe η 2 > 0 tal que, se ξ η for uma solução global em A η e η (0, η 2 ), temos que lim t d(ξ η (t), Ξ i,η ) = 0 para algum j = 1, 2,..., n. Assim, provamos que se η for sucientemente pequeno, {T η (t) : t 0} satisfaz (G1). Provemos {T η (t) : t 0} satisfaz (G2) para η > 0 sucientemente pequeno. Vamos supor que isso não ocorra. Então existem Ξ 1,0,..., Ξ p,0 em Ξ 0 (Ξ p+1,0 := Ξ 1,0 ), η k soluções globais ξ 1 k,..., ξp k de {T η k (t) : t 0} em A ηk e tempos t 1 k,..., tp k tais que k 0, d(ξk(0), i Ξ i,ηk ) < 1 k, d(ξi k(t i k), Ξ i+1,ηk ) < 1 k, 1 i p. Esses Ξ 1,ηk,..., Ξ p,ηk podem ser escolhidos uma vez que existe apenas um número nito de possibilidades para estruturas homoclínicas. Pela hipótese (b) e como η k 0, podemos supor que d(ξ i k(0), Ξ i,0 ) < 1 k, d(ξi k(t i k), Ξ i+1,0 ) < 1 k, 1 i p. Usando o Lema 3.5.1, através de subsequências, obtemos soluções globais ξ l : R X de {T 0 (t) : t 0}, 1 l p, dadas por ξ l (t) = lim k ξ l k (t). É fácil ver que ξ l (t) t Ξ l,0 e ξ l (t) t Ξ l+1,0, ou seja, formam uma estrutura homoclínica em A 0, o que é um absurdo.

71 Capítulo Vizinhança de um Elemento Crítico 4 Neste capítulo, buscamos descrever o comportamento de um sistema ao redor de um elemento crítico (ponto de equilíbrio ou uma órbita periódica). Para isso, devemos estudar as variedades estáveis e instáveis de um ponto, assim como o comportamento dessas variedades quando o sistema sofre uma perturbação. Vamos considerar, neste capítulo, X um espaço de Banach. Por m, é aconselhável que o leitor esteja familiarizado com resultados de análise funcional e teoria espectral. Estes resultados podem ser encontrados em [6]. Denição Seja L : X X um operador linear limitado. Então o conjunto resolvente ρ(l) de L é denido como λ C tal que λ L é invertível com inversa linear limitada. O espectro de L é o conjunto σ(l) := ρ(l)\c. O raio espectral de r(l) do operador L é dado por r(l) = sup{ λ : λ σ(l)}. Denição Um semigrupo é dito ser continuamente diferenciável se, para cada t 0, T (t) : X X é diferenciável em X e a aplicação R + X (t, x) D x T (t) L(X) é contínua. Aqui, D x T (t) representa a derivada de Fréchet de T (t) em x, ou seja, T (t)(x + h) T (t)x D x T (t)h lim h 0 h = 0.

72 58 Vizinhança de um Elemento Crítico Denição Um ponto de equilíbrio x 0 de um semigrupo diferenciável {T (t) : t 0} é hiperbólico se o espectro de D x0 T (t) for disjunto do círculo unitário S 1 em C. Uma solução {x 0 (t) : t R} com período p > 0 é chamada normalmente hiperbólica se 1 for um autovalor simples isolado de U(t) = D x T (p) e σ(u(t)) x0 (t) S1 = {1}, para cada t [0, p]. 4.1 Variedades invariantes próximas a um ponto de equilíbrio Variedades invariantes como grácos Teorema (Propriedades básicas de variedades invariantes). Seja X um espaço de Banach, L : X X um operador linear limitado e ρ > 0 tal que σ(l) {ξ C : ξ = ρ} =. Seja γ(t) = ρe it, t [0, 2π]. Denamos as projeções espectrais Π s = 1 (λ L) 1 dλ e Π u = I Π s 2πi γ e as decomposições de X e L como X = X u X s e L = L u L s, com X j = Π j X e L j = L Xj, j = u, s. Então existe γ > 0 e uma norma equivalente em X tal que, se N : X X é globalmente Lipschitz contínua com LipN γ (LipN representa a constante de Lipschitz de N), então existem variedades de Lipschitz S (ρ) e U (ρ) para T = L + N em X tais que: (i) U (ρ) é um gráco sobre X u e S (ρ) é um gráco sobre X s ; (ii) T (U (ρ) ) = U (ρ), T S (ρ) = S (ρ) T X e a restrição T U(ρ) é um homeomorsmo; (iii) S (ρ) U (ρ) = {0}; (iv) Lip(T S(ρ) ) < ρ e Lip(T 1 U (ρ) ) < ρ 1 ; (v) S (ρ) = {x X : T n x = o(ρ n ), quando n }

73 4.1 Variedades invariantes próximas a um ponto de equilíbrio 59 U (ρ) = {x X : existe uma sequência {x j } j 0 com x 0 = x, x j+1 = T (x j ), j < 0, e sup ρ j x j < }. j 0 Se (ρ) estiver sucientemente próximo de ρ, então S (ρ ) = S (ρ) e U (ρ ) = U (ρ) ; (vi) existe uma função contínua P : X U (ρ) tal que P x x Cd(x, U (ρ) ), para algum C > 0, T P = T P, em que P x = ξ U (ρ) se, se somente se, T n x T n ξ = o(ρ n ) quando n. Além disso, d(t n x, U (ρ) ) Cθ n d(x, U (ρ) ) para todo n 0, x X e constantes θ < ρ e C > 0 apropriadas. Se L for um isomorsmo, então, para cada γ sucientemente pequeno, T é um homeomorsmo e T S (ρ) = S (ρ). Demonstração. Sejam a, b R tais que 0 < b < ρ < a, σ(l u ) {ξ C : ξ > a} e σ(l s ) {ξ C : ξ < b}. Vamos escolher normas equivalentes em X u e X s de forma que L 1 u a 1 e L s b. Para X = X u X s, vamos utilizar a norma dada por x u + x s := max{ x u, x s }. Assim, em X, temos que Π j L(X) = 1, j = u, s. Escolhamos γ de forma que b + 2γ < ρ < a 2γ. Assim, podemos escrever T como T : X u X s X u X s (x u, x s ) (L u x u + N u (x u + x s ), L s x s + N s (x u + x s )) com LipN u γ e LipN s γ, em que N j = Π j N, j = u, s. Vamos buscar U (ρ) com a forma {ξ+θ(ξ) : ξ X u }, para alguma aplicação θ : X u X s tal que θ(0) = 0, Lipθ 1 e T U (ρ) U (ρ).

74 60 Vizinhança de um Elemento Crítico A condição T U (ρ) U (ρ) é satisfeita se, e somente se, dado ξ X u, existir ˆξ X u tal que T (ξ + θ(ξ)) = ˆξ + θ(ˆξ), ou seja, ˆξ = L u ξ + N u (ξ + θ(ξ)) θ(ˆξ) = L s θ(ξ) + N s (ξ + θ(ξ)). (4.1.1) Denamos, também, para cada θ : X u X s, a função θ : X u X s por θ (ˆξ) = L s θ(ξ) + N s (ξ + θ(ξ)). Mostremos que existem θ e U (ρ) = {ξ + θ(ξ) : ξ X u } que satisfazem as condições do teorema. Seja θ : X u X s uma função satisfazendo θ(0) = 0 e Lipθ 1. Fixado ˆξ X u, a função ξ L 1 u ˆξ L 1 u N u (ξ + θ(ξ)) é uma contração. De fato, sejam ξ 1, ξ 2 X u. Então (L 1 u ˆξ L 1 u N u (ξ 1 + θ(ξ 1 ))) (L 1 ˆξ u L 1 u N u (ξ 2 + θ(ξ 2 ))) = L 1 u N u (ξ 1 + θ(ξ 1 )) + L 1 N u (ξ 2 + θ(ξ 2 )) a 1 γ[ ξ 1 ξ 2 + θ(ξ 1 ) θ(ξ 2 ) ] 2a 1 γ ξ 1 ξ 2. u Como 2a 1 γ < 1, mostramos que ξ L 1 u N u (ξ + θ(ξ)) é uma contração. Com isso, para cada ˆξ X u, existe um único ξ X u tal que ξ = L 1 ˆξ u L 1 u N u (ξ + θ(ξ)), ou seja, existe um único ξ satisfazendo a primeira equação de (4.1.1). Sejam ξ 1, ξ 2, ˆξ 1, ˆξ 2 X u tais que ˆξ i = L u ξ i + N u (ξ i + θ(ξ i )), i = 1, 2. Então ˆξ 1 ˆξ 2 = L u ξ 1 + N u (ξ 1 + θ(ξ 1 )) L u ξ 2 N u (ξ 2 + θ(ξ 2 )) L u (ξ 1 ξ 2 ) γ[ ξ 1 ξ 2 + θ(ξ 1 ) θ(ξ 2 ) ] (4.1.2) a (ξ 1 ξ 2 ) 2γ ξ 1 ξ 2 = (a 2γ) (ξ 1 ξ 2 ). Além disso,

75 4.1 Variedades invariantes próximas a um ponto de equilíbrio 61 θ ( ˆξ 1 ) θ ( ˆξ 2 ) = L s θ(ξ 1 ) + N s (ξ 1 + θ(ξ 1 )) L s θ(ξ 2 ) N s (ξ 2 + θ(ξ 2 )) b ξ 1 ξ 2 + γ[ ξ 1 ξ 2 + θ(ξ 1 ) θ(ξ 2 ) ] (b + 2γ) ξ 1 ξ 2. Dessas duas desigualdades, obtemos que θ ( ˆξ 1 ) θ ( ˆξ 2 ) b+2γ a 2γ ˆξ 1 ˆξ 2, ou seja, que Lipθ b+2γ a 2γ < 1 Seja F o conjunto das funções φ : X u X s com θ(0) = 0 e Lipθ 1, com a distância d(θ, τ) = sup ξ X u,ξ 0 θ(ξ) τ(ξ). ξ Temos então que F é um espaço métrico completo. Mostremos, agora, que F θ θ F é uma contração. Sejam θ, τ F e ˆξ X u. Denamos ξ θ, ξ τ X u por ˆξ = L u ξ θ + N u (ξ θ + θ(ξ θ )) = L u ξ τ + N u (ξ τ + τ(ξ τ )). Pela desigualdade (4.1.2), obtemos que ˆξ 1 (a 2γ) ξ θ. Além disso, a ξ θ ξ τ = a L 1 u (L u (ξ θ ξ τ )) L u (ξ θ ξ τ ) = N u (ξ θ + θ(ξ θ )) N u (ξ τ + τ(ξ τ )) γ[ ξ θ ξ τ + θ(ξ θ ) τ(ξ τ ) ] γ[ ξ θ ξ τ + θ(ξ θ ) τ(ξ θ ) + τ(ξ θ ) + τ(ξ τ ) ] γ[2 ξ θ ξ τ + d(θ, τ) ξ θ ]. Dessa forma,

76 62 Vizinhança de um Elemento Crítico ξ θ ξ τ γd(θ, τ) a 2γ ξ θ γd(θ, τ) (a 2γ) 2 ˆξ. Através dessa última desigualdade, obtemos θ (ˆξ) τ (ˆξ) = L s θ(ξ θ ) + N s (ξ θ + θ(ξ θ )) L s τ(ξ τ ) N s (ξ τ + τ(ξ τ )) b θ(ξ θ ) τ(ξ τ ) + γ[ ξ θ ξ τ + θ(ξ θ ) τ(ξ τ ) ] = (b + γ) θ(ξ θ ) τ(ξ τ ) + γ ξ θ ξ τ (b + γ)[ θ(ξ θ ) τ(ξ θ ) + τ(ξ θ ) τ(ξ τ ) ] + γ ξ θ ξ τ (b + γ)d(θ, τ) ξ θ + (b + 2γ) ξ θ ξ τ b + γ a 2γ d(θ, τ) ˆξ (b + 2γ)γ + (a 2γ) d(θ, τ) ˆξ b + 2γ d(θ, τ) ˆξ, 2 a 2γ ou seja, d(θ, τ ) b + 2γ d(θ, τ). a 2γ Assim, F θ θ F é uma contração. Vamos, a partir de agora, denotar seu ponto xo por θ. Com isso, podemos denir U (ρ) := {ξ + θ(ξ) : ξ X u }. Vamos mostrar que T U (ρ) = U (ρ). Como Lipθ 1 e θ satisfaz a equação (4.1.1), temos que T U (ρ) U (ρ). Seja ˆξ + θ(ˆξ) U (ρ). Já mostramos que existe um (único) ξ U (ρ) tal que ˆξ = L u ξ+n u (ξ+θ(ξ)). Pela equação (4.1.1), θ(ˆξ) = L s θ(ξ)+n s (ξ+θ(ξ)) e T (ξ+θ(ξ)) = ˆξ + θ(ˆξ). Assim, mostramos que T U (ρ) = U (ρ). Mostremos que Lip(T 1 U (ρ) ) < ρ 1.

77 4.1 Variedades invariantes próximas a um ponto de equilíbrio 63 Sejam x, z U (ρ). Vamos escrever x = ξ +θ(ξ) e z = ζ +θ(ζ), com ξ, ζ X u. Então x z = max{ ξ ζ, θ(ξ) θ(ζ) } = ξ ζ, já que Lipθ 1. Sejam, também, T x = ˆξ + θ(ˆξ) e T z = ˆζ + θ(ˆζ). Assim, usando a desigualdade (4.1.2), temos que T x T z = ˆξ ˆζ (a 2γ) ξ ζ = (a 2γ) x z. Dessa forma, Lip(T 1 U (ρ) ) (a 2γ) 1 < ρ 1. Vamos mostrar que U (ρ) = {x X : existe uma sequência {x j } j 0 com x 0 = x, x j+1 = T (x j ), j < 0, e sup j 0 ρ j x j < }. Seja x U (ρ). Como T U (ρ) = U (ρ), para cada j = 1, 2,..., podemos encontrar x j tal que x j+1 = T (x j ), com x 0 = x. Além disso, x j+1 = T x j = T x j T (0) (a 2γ) x j. Assim, x j x (a 2γ) j = o(ρ j ) quando j e sup j 0 ρ j x j <. Dessa forma, U (ρ) {x X : existe uma sequência {x j } j 0 com x 0 = x, x j+1 = T (x j ), j < 0, e sup j 0 ρ j x j < }. Por outro lado, sejam x X e {x j } j N tais que T (x j ) = x j+1 para j < 0 e x j = o(ρ j ) quando j. Para cada j = 1, 2,... vamos escrever x j = ξ j + θ(ξ j ) + η j, com ξ j X u e η j X s. Como T (x j ) = x j+1, temos L u ξ j +N u (ξ j +θ(ξ j )+η j )+L s (θ(ξ j )+η j )+N s (ξ j +θ(ξ j )+η j ) = ξ j+1 +θ(ξ j+1 )+η j+1.

78 64 Vizinhança de um Elemento Crítico Separando os termos em X u e X s, obtemos ξ j+1 = L u ξ j + N u (ξ j + θ(ξ j ) + η j ) θ(ξ j+1 ) + η j+1 = L s (θ(ξ j ) + η j ) + N s (ξ j + θ(ξ j ) + η j ). (4.1.3) Seja ˆξ j = L u ξ j + N u (ξ j + θ(ξ j )). Então θ( ˆξ j ) = L s θ(ξ j ) + N s (ξ + θ(ξ j )). Isso implica que ˆξ j ξ j+1 = N u (ξ j + θ(ξ j )) N u (ξ j + θ(ξ j + η j )) γ η j. Assim, η j+1 ξ j+1 ˆξ j η j+1 θ(ξ j+1 ) θ( ˆξ j ) η j+1 + θ(ξ j+1 ) θ( ˆξ j ) = L s (θ(ξ j ) + η j ) + N s (ξ j + θ(ξ j ) + η j ) L s (θ(ξ j )) N s (ξ j + θ(ξ j )) b η j + γ η j = (b + γ) η j, e, pela desigualdade anterior, obtemos que η j+1 (b + 2γ) η j. Consequentemente, η 0 (b + 2γ) j η j, para j < 0. Notemos que ξ j max{ ξ j, θ(ξ j ) + η j } = x j = o(ρ j ) quando j. Então η j = x j ξ j θ(ξ j ) x j + 2 ξ j = o(ρ j ) quando j. Assim, η 0 η j (b + 2γ) η j j (ρ) j 0 quando j. Para nalizar, notemos que podemos repetir esse mesmo argumento para ρ < ρ, com ρ sucientemente próximo de ρ. Isso signica que, sup j 0 ρ j x j < e, assim, x j = O(ρ j ) = o(ρ j ) quando j. Com isso, concluímos que η 0 = 0 e x = x 0 = ξ 0 + θ(ξ 0 ) U (ρ) e provamos que U (ρ) {x X : existe uma sequência {x j } j 0 com x 0 = x, x j+1 = T (x j ), j <

79 4.1 Variedades invariantes próximas a um ponto de equilíbrio 65 0, e sup j 0 ρ j x j < }. Denamos ˆP : X U (ρ) dada por ˆP x = x u + θ(x u ), para x X, em que x = x u + x s com x u X u e x s X s. Seja, para n 0, P n = (T U(ρ) ) n ˆP T n. Para x X xado, seja a sequência {x n } n N tal que x 0 = x e x n+1 = T (x n ). Como feito anteriormente, escrevendo, para cada n N, x n = ξ n + θ(ξ n ) + η n, com ξ n X u e η n X s, obtemos que η n+1 (b + 2γ) η n e, assim, η n (b + 2γ) n η 0. Notemos que η 0 x ξ 0 θ(ξ 0 ) = x ˆP x e η n (b + 2γ) n x ˆP x. Como x n+1 = T (x n ), temos que ξ n+1 + θ(ξ n+1 ) + η n+1 = T (ξ n + θ(ξ n ) + η n ) e, tomando os termos em X u, obtemos ξ n+1 = L u ξ n + N u (ξ n + θ(ξ n ) + η n ). Também temos as seguintes relações: T n+1 P n+1 x = T n+1 (T U(ρ) ) (n+1) ˆP T n+1 x = ˆP T n+1 x = ξ n+1 + θ(ξ n+1 ) T n+1 P n x = T n+1 (T U(ρ) ) n ˆP T n x = T ˆP T n x = T (ξ n + θ(ξ n )) = ˆξ n + θ( ˆξ n ), com ˆξ n = L u ξ n + N u (ξ n + θ(ξ n )) e θ(ˆξ n ) = L s θ(ξ n ) + N s (ξ n + θ(ξ n )). Com isso, temos ξ n+1 ˆξ n = N u (ξ n + θ(ξ n ) + η n ) N u (ξ n + θ(ξ n ) γ η n. Lembrando que Lip(T 1 U (ρ) ) (a 2γ) 1, obtemos P n+1 x P n x = (T U(ρ) ) (n+1) T n+1 P n+1 x (T U(ρ) ) (n+1) T n+1 P n x (a 2γ) n 1 T n+1 P n+1 x T n+1 P n x = (a 2γ) n 1 ξ n+1 + θ(ξ n + 1) ˆξ n θ(ˆξ n ) = (a 2γ) n 1 ξ n+1 ˆξ n γ (a 2γ) n+1 η n γ (a 2γ) ( b + 2γ a 2γ )n x ˆP x. Além disso, lembrando que, se 0 < w < 1, k=n wk = w n k=0 wk = w n (1 w) 1,

80 66 Vizinhança de um Elemento Crítico temos que P m x P n x m 1 k=n P n+1 x P n x γ a 2γ x ˆP x ( b + 2γ a 2γ γ a 2γ x ˆP x ) n( b + 2γ 1 a 2γ m 1 k=n ( b + 2γ ) k a 2γ ) 1 n 0, e, junto com o fato de ˆP ser limitado em subconjuntos limitados de X, concluímos que {P n } n N é uma sequência de Cauchy uniformemente em subconjuntos limitados de X. Denamos P : X U (ρ) por P x = lim n P n x, para cada x X. Cada P n é contínua como composição de funções contínuas e, sendo a convergência uniforme em limitados, obtemos a continuidade de P. Como P 0 = ˆP, a desigualdade acima nos mostra que com (C 1) = γ b+2γ (1 a 2γ a 2γ ) 1. P x ˆP x (C 1) x ˆP x, Além disso, como P x x x ˆP x P x ˆP x, temos Para todo x X, temos P x x C x ˆP x T P n+1 x = T (T U(ρ) ) (n+1) ˆP T n+1 = (T U(ρ) ) n ˆP T n (T x) = P n T x, e fazendo n, obtemos que T P x = P T x. Por m, lembrando que T n x = ξ n + θ(ξ n ) + η n, d(t n x, U (ρ) ) T n x T n P x = T n x P T n x C T n x ˆP T n x = C η n C(b + 2γ) n η 0 = C(b + 2γ) n x ˆP x = C(b + 2γ) n d(x, U (ρ) ). Assim, provamos os resultados enunciados para U (ρ). Vamos, agora, encontrar o espaço

81 4.1 Variedades invariantes próximas a um ponto de equilíbrio 67 S (ρ) da forma S (ρ) = {σ(η) + η : η X s }. Para isso, vamos prosseguir de maneira semelhante ao caso U (ρ). por Dados η X s e σ : X s X u, com σ(0) = 0 e Lipσ 1, podemos denir ˆη e σ (η) σ(ˆη) = L u σ (η) + N u (σ(η) + η) ˆη = L s η + N s (σ(η) + η). Assim, η = 0 implica que ˆη = 0 e σ (η) = 0. Além disso, é fácil ver que ˆη 1 ˆη 2 (b + 2γ) η 1 η 2. Dessa forma, σ (η 1 ) σ (η 2 ) a 1( σ( ˆη 1 ) σ( ˆη 2 ) +γ[ σ(η 1 )+η 1 σ(η 2 ) η 2 ] ) b + 4γ η 1 η 2, a ou seja, Lipσ b+4γ a < 1. Para ver que a aplicação σ σ é uma contração, basta notar que σ (η) 1 σ (η) 2 a 1 [ ˆη 1 ˆη 2 + 2γ η 1 η 2 ] b + 4γ η 1 η 2. a Pelo Teorema do Ponto Fixo, existe σ, com σ(0) = 0 e Lipσ 1, satisfazendo { σ(ˆη) = L u σ(η) + N u (σ(η) + η)ˆη) = L s η + N s (σ(η) + η). Assim, obtemos S (ρ) tal que T S (ρ) S (ρ). Sejam η 1, η 2 X s. Como Lipσ 1, temos que σ(η 1 ) + η 1 σ(η 2 ) η 2 = η 1 η 2 e, com isso, T (σ(η 1 ) + η 1 ) T (σ(η 2 ) + η 2 ) = L s η 1 L s η 2 + N s (σ(η 1 ) + η 1 ) N s (σ(η 2 ) + η 2 ) b η 1 η 2 + γ σ(η 1 ) + η 1 ) (σ(η 2 ) + η 2 ) (b + 2γ) η 1 η 2, provando que Lip(T S(ρ) ) (b + 2γ) < ρ.

82 68 Vizinhança de um Elemento Crítico Os demais resultados para S (ρ) são obtidos de forma análoga aos de U (ρ). Por m, como Lipθ < 1 e Lipσ 1, temos que Lip(θ σ) < 1. Seja x S (ρ) U (ρ). Então x = ξ + θ(ξ) = σ(η) + η, com ξ X u e η X s. Então ξ = σ(η) e η = σ(ξ), o que implica que ξ = σ(η(ξ)), contradizendo Lip(θ σ) < 1 e provando que S (ρ) U (ρ) = {0}. Corolário (Estabilidade). Seja L L(X), com σ(l) {ξ C : ξ = ρ} =, para algum ρ 1, N : X X, com N(0) = 0 e LipN γ. Vamos denir T := L + N. Se K for um conjunto limitado com K T (K), então K U (ρ). Se K for um subconjunto de U (ρ) com T (K) K, então K é estável se, e somente se, K for estável com respeito a T U(ρ), ou seja, dado ɛ > 0, existe δ > 0 tal que se d(x, K) < δ e x U (ρ), então d(t n x, K) < ɛ, para todo n 0.. Demonstração. Sendo σ(l) fechado e U (ρ) = U (ρ ) para ρ sucientemente próximo de ρ, podemos assumir que ρ < 1. Como K T (K), dado x K, existe uma sequência {x j } j 0 tal que x 0 = x, x j+1 = T (x j ) para j 0 e sup j 0 x j ρ j <, já que K é limitado e ρ < 1. Pelo teorema anterior, x U (ρ), provando que K U (ρ). Suponha que T (K) K U (ρ) e que K seja estável com respeito a T U(ρ). Assim, dado ɛ > 0, existe δ > 0 tal que se d(x, K) < δ e x U (ρ), então d(t n x, K) < ɛ, para todo n 0. Denamos A = {x X : d(p x, K) < δ e d(x, U (ρ) ) < ɛ C }. que é uma vizinhança aberta de K, já que P é contínua. Para cada n 0 e x A, temos d(t n x, K) d(t n P x, K) + d(t n x, P T n x) d(t n P x, K) + Cd(T n x, U (ρ) ) < ɛ + Cθ n d(x, U (ρ) ) < 2ɛ, para n sucientemente grande, já que 0 < θ < ρ < 1, provando que K é estável.

83 4.2 Diferenciabilidade de variedades invariantes 69 A recíproca é trivial. Observação No corolário anterior, K será assintoticamente estável se, e somente se, K for assintoticamente estável com respeito a T U(ρ). 4.2 Diferenciabilidade de variedades invariantes Vamos mostrar, nesta seção, que as variedades obtidas na seção anterior são suaves sempre que a aplicação T : X X for suave. Lema Sejam X, Y espaços de Banach reais, Q X um conjunto aberto e f : Q Y uma aplicação localmente Lipschitz. Então f é continuamente diferenciável em Q se, e somente se, para cada x 0 Q, quando (x, h) (x 0, 0). f(x + h) f(x) f(x 0 + h) + f(x 0 ) = o( h ) (4.2.1) Demonstração. Seja f continuamente diferenciável em Q. Mostremos que f(x + h) f(x) f(x 0 + h) + f(x 0 ) = o( h ) quando (x, h) (x 0, 0). Notemos que se x Q, temos que f(x + h) f(x) = [ 1 0 f (x + th)dt]h f(x 0 + h) f(x 0 ) = f (x 0 )h + o( h ). Além disso, dado ɛ > 0, existe δ > 0 tal que se x x 0 < δ e h < δ, então f (x + h) f (x 0 ) < ɛ. Assim, 0 f(x + h) f(x) f(x 0 + h) + f(x 0 ) [ 1 ] (f (x + th) f (x))dt h + f (x)h f (x 0 ) + o( h ) 0 [ 1 ] [ (f (x + th) f 1 ] (x 0 ))dt h + (f (x) f (x 0 ))dt h + f (x)h f (x 0 ) + o( h ) 0 2 h ɛ + f (x)h f (x 0 ) + o( h )

84 70 Vizinhança de um Elemento Crítico quando (x, h) (x 0, 0). Assim, vemos que f(x + h) f(x) f(x 0 + h) + f(x 0 ) = o( h ) quando (x, h) (x 0, 0). Para a recíproca, vamos primeiro assumir que a derivada de f existe em cada ponto de Q. Assim, f(x + th) f(x) f(x 0 + th) + f(x 0 ) = o( th ) quando (x, th) (x 0, 0), ou seja, f(x + h) f(x) t f(x 0 + h) f(x 0 ) t = o( h ). Assim, (f (x) f (x 0 ))h = o( h ) quando (x, h) (x 0, 0). Em outras palavras, dado ɛ > 0, existe δ > 0 tal que se x x 0 < δ e h < δ, então (f (x) f (x 0 ))h h < ɛ. Assim, f (x) f (x 0 ) < ɛ sempre que x x 0 < δ, ou seja, f é contínua. Falta apenas mostrarmos que se (f (x) f (x 0 ))h = o( h ) quando (x, h) (x 0, 0), então a derivada de f existe em todos os pontos de Q. Caso 1: X = Y = R. Sendo f uma função Lipschitz, ela é absolutamente contínua e, consequentemente, diferenciável em quase todo ponto. Dado x 0 Q e ɛ > 0, existe δ > 0 tal que se x x 0 + h < δ, então f(x + h) f(x) f(x 0 + h) + f(x 0 ) ɛ h. Além disso, existe x (x 0 h, x 0 + h) tal que f (x ) existe. Assim, para h 0 sucientemente pequeno, temos f(x 0 + h) f(x 0 ) h f (x ) f(x 0 + h) f(x 0 ) f(x + h) + f(x ) h + f(x + h) f(x ) f (x ) h 2ɛ.

85 4.2 Diferenciabilidade de variedades invariantes 71 f(x Denamos α = lim sup 0 +h) f(x 0 ) f(x h 0 e β = lim inf 0 +h) f(x 0 ) h h 0. Pela desigualdade anterior, vemos que α, β [f (x ) 2ɛ, f (x )+2ɛ], ou seja, que 0 α β 4ɛ. h Sendo ɛ > 0 arbitrário, temos que α = β e que f (x 0 ) existe. Caso 2: X = R. Seja η Y. Pelo primeiro caso e como f(x + h) f(x) f(x 0 + h) + f(x 0 ), η η Y f(x + h) f(x) f(x 0 + h) + f(x 0 ) = o( h ) quando (x, h) (x 0, 0), a função R x f(x), η R é C 1. Também temos que d f(x), η dx = lim h 0 f(x), η h Logo, D(x) : η d dx f(x), η está em Y. f(x), η η lim h 0 h Dado ɛ > 0, existe δ > 0 tal que, se x x 0 < δ e h < δ, então η Lipf. f(x + h) f(x) + f(x 0 + h) f(x 0 ), η ɛ η h e, consequentemente, D(x) D(x 0 ), η ɛ η, ou seja, x D(x) Y é contínua. Assim, se x 0 Q, η Y com η 1 e h sucientemente pequeno, temos que f(x0 + h) f(x 0 ) h quando h 0 uniformemente para η 1., η = 1 x0 +h D(x) D(x 0 ), η dx 0 h x 0 Seja τ : Y Y a inclusão canônica, isto é, τ(y) = ŷ, em que ŷ : Y Y é dada por ŷ(η) = η(y), para todo η Y. Dessa forma,

86 72 Vizinhança de um Elemento Crítico ( f(x0 + h) f(x 0 ) ) h 0 τ D(x 0 ). h Sendo τ uma isometria, concluímos que lim h 0 f(x 0 +h) f(x 0 ) h existe em Y. Caso 3: Caso Geral Sejam x Q e h X. Pelo caso anterior, R t f(x + th) Y é C 1 para t sucientemente próximo de 0. Então a derivada de Gâteaux df(x; h) = d dt f(x + th) t=0 existe para cada x Q e h X. Além disso, temos que, se x 0 Q, f(x + th) f(x) f(x 0 + th) + f(x 0 ) = o( th ), quando (x, th) (x 0, 0). Dessa forma, se h 1, df(x; h) df(x 0 ; h) 0, quando x x 0 Q uniformemente. Teorema (Variedades C 1 Invariantes). Vamos supor que X, L, ρ, N e T satisfaçam as condições do Teorema e que N : X X é continuamente diferenciável com derivada limitada em uma vizinhança de U (ρ). Então U (ρ) é C 1. Se N for continuamente diferenciável com derivada limitada em uma vizinhança de S (ρ), então S (ρ) é C 1. Demonstração. Provemos o resultado para U (ρ). Podemos escrever U (ρ) = {ξ + θ(ξ : ξ X u }, com θ : X u X s, θ(0) = 0 e Lipθ 1, dada por ˆξ = L u ξ + N u (ξ + θ(ξ)) θ(ˆξ) = L s θ(ξ) + N s (ξ + θ(ξ)). (4.2.2)

87 4.2 Diferenciabilidade de variedades invariantes 73 Vamos denir λ ξ0 (θ) = 1 lim sup (ξ,h) (ξ 0,0) h θ(ξ + h) θ(ξ) θ(ξ 0 + h) + θ(ξ 0 ). Pelo Lema 4.2.1, basta provarmos que λ ξ0 (θ) = 0 para todo ξ 0 X u. Pela denição de λ ξ0 (θ), é imediato que λ ξ0 (θ) 2Lipθ 2. Denamos N 0 j,k = N j x k (ξ 0 + θ(ξ 0 )), j = u, s, k = 1, 2. Temos que (ξ + h) ˆξ = L u h + N u (ξ + h + θ(ξ + h)) N u (ξ + θ(ξ)) = (L u + N u x 1 (ξ 0 + θ(ξ 0 )))h + N u x 2 (ξ 0 + θ(ξ 0 ))(θ(ξ + h) θ(ξ)) + +N u (ξ + h + θ(ξ + h)) N u (ξ + θ(ξ)) N u x 1 (ξ 0 + θ(ξ 0 ))h N u x 2 (ξ 0 + θ(ξ 0 ))(θ(ξ + h) θ(ξ)) = (L u + N u x 1 (ξ 0 + θ(ξ 0 )))h + N u x 2 (ξ 0 + θ(ξ 0 ))(θ(ξ + h) θ(ξ)) + o( h ) quando (ξ, h) (ξ 0, 0) em X u X s. Da mesma forma, θ (ξ + h) θ(ˆξ) = L s θ(ξ + h) L s θ(ξ) + N s (ξ + h + θ(ξ + h)) N s (ξ + θ(ξ)) = (L s + N s x 2 (ξ 0 + θ(ξ 0 )))(θ(ξ + h) θ(ξ)) + N s x 1 (ξ 0 + θ(ξ 0 ))h + N s (ξ + h + θ(ξ + h)) N s (ξ + θ(ξ)) N s x 1 (ξ 0 + θ(ξ 0 ))h N s x 2 (ξ 0 + θ(ξ 0 ))(θ(ξ + h) θ(ξ)) = (L s + N s x 2 (ξ 0 + θ(ξ 0 )))(θ(ξ + h) θ(ξ)) + N s x 1 (ξ 0 + θ(ξ 0 ))h + o( h ) quando (ξ, h) (ξ 0, 0) em X u X s. Assim θ( (ξ + h) θ(ˆξ) θ( (ξ 0 + h) + θ( ˆξ 0 ) = (L s + N s x 2 (ξ 0 + θ(ξ 0 )))(θ(ξ + h) θ(ξ) θ(ξ 0 + h) + θ(ξ 0 )) + o( h ) (b + γ)λ ξ0 (θ) h + o( h ). Seja k = (ξ 0 + h) ˆξ 0. Sabemos, do Teorema 4.1.1, que k (a 2γ) h e temos que

88 74 Vizinhança de um Elemento Crítico (ξ + h) (ˆξ + k) = (ξ + h) ˆξ (ξ 0 + h) + ˆξ 0 = N s (ξ 0 + θ(ξ 0 ))(θ(ξ + h) θ(ξ) θ(ξ 0 + h) + θ(ξ 0 )) + o( h ) x 2 ( γλ ξ0 (θ) + o(1) ) h. Em particular, (ξ 0 + h) ( ˆξ 0 + k) = o( h ). Utilizando essas duas desigualdades, obtemos k 1 θ(ˆξ + k) θ(ˆξ) θ(ˆξ 0 + k) + θ(ˆξ 0 ) = k 1 θ (ξ + h) θ(ˆξ) θ (ξ 0 + h) + θ(ˆξ 0 ) θ (ξ + h) + θ(ˆξ + k) θ(ˆξ 0 + k) + θ (ξ 0 + h) k 1 [ θ (ξ + h) θ(ˆξ) θ (ξ 0 + h) + θ(ˆξ 0 ) + θ (ξ + h) + θ(ˆξ + k) + θ(ˆξ 0 + k) + θ(ξ 0 + h) ] ( ) ( ) k 1 [ (b + γ)λ ξ0 (θ) h + o( h ) + γλ ξ0 (θ) + o(1) h + o( h )] k 1 [(b + 2γ)λ ξ0 (θ) h ) + o( h )] b + 2γ a 2γ λ ξ 0 (θ) + o(1). quando (ξ, h) (ξ 0, 0) e (ˆξ, k) (ˆξ 0, 0). Armamos que essas duas convergências são equivalentes. De fato, temos que ˆξ ˆξ 0 = L u (ξ ξ 0 ) + N u (ξ + θ(ξ)) N u (ξ 0 + θ(ξ 0 )) (a 2γ) ξ ξ 0 ˆξ ˆξ 0, o que prova, pela continuidade de L u, θ e N u, que ξ ξ 0 se, e somente se, ˆξ ˆξ 0. Além disso, k = (ξ 0 + h) ˆξ 0 = L u h + N u (ξ 0 + h + θ(ξ 0 + h)) N u (ξ 0 + θ(ξ 0 ))

89 4.3 Variedades invariantes sob perturbações 75 e, usando o caso anterior com ξ = ξ 0 + h, temos que h 0 se, e somente se, k 0. Logo, λˆξ0 (θ) b + 2γ a 2γ λ ξ 0 (θ), para todo ξ 0 X u. Seja λ = sup ξ0 X u λ ξ0 (θ). Então 0 λ 2 e λ = sup ˆξ 0 X u λˆξ0 (θ) = sup ξ 0 X u λˆξ0 (θ) b + 2γ a 2γ sup ξ 0 X u λ ξ0 (θ) = b + 2γ a 2γ λ. Como b+2γ a 2γ < 1, temos que λ = 0, completando a demonstração de que U (ρ) é C 1. A demonstração para S (ρ) é análoga. 4.3 Variedades invariantes sob perturbações Vamos estudar, nesta seção, aplicações com parâmetros. Sejam X, Y espaços de Banach, L : X X e M : Y X aplicações lineares limitadas tais que σ(l)\{ξ C : ξ 1} é fechado e X = X u X cs e L = L u L cs é a decomposição associada à decomposição espectral σ cs = σ(l)\{ξ C : ξ 1} e σ u = σ(l)\{ξ C : ξ > 1} = σ(l)\{ξ C : ξ r}, para algum r > 1. Também temos que M = M u + M cs, M i L(Y, X j ), j = u, cs. Seja N : X Y X uma função de Lipschitz com LipN sucientemente pequeno e N(0, 0) = 0. Vamos denir T (x, y) = Lx + My + N(x, y). A seguir, vamos procurar variedades invariantes para T (, y). Seja T : X Y X Y dada por T (x, y) = (T (x, y), ρy) para algum 1 < ρ < r. Notemos que ρ / σ(l). Vamos denir [ ] L M L = L(X Y ) 0 ρi Y e N = T L. É fácil ver que σ(l ) = σ(l) {ρ}, já que λ ρ(l)\{ρ} se, e somente se, λ ρ(l ) e [ ] (λ L) (λ L ) 1 1 (λ ρ) = 1 (λ L) 1 M 0 (λ ρ) 1. Seja γ(t) = νe 2πit, t [0, 1], com 1 < ν < ρ. Como (λ ρ) 1 (λ L) 1 = (λ ρ) 1 (ρ L) 1 (λ L) 1 (ρ L) 1, vamos denir a projeção Π L cs associada ao espectro de L contido em D = {λ C : λ < 1} por

90 76 Vizinhança de um Elemento Crítico Π L cs = 1 [ Π (λ L ) 1 L dλ = cs (L cs ρi) 1 M cs 2πi γ 0 0 e Π L cs(x Y ) = X cs = X cs 0. Se tomarmos, agora, 1 < ρ < ν < r, podemos denir ] I Π L u = 1 [ Π (λ L ) 1 L dλ = cs (I L cs )(ρi L) 1 M u 2πi γ 0 I Y ] [ Π L = cs (L u ρi) 1 M u 0 I Y ]. Assim, Π L u = [ Π L u (L u ρi) 1 M u 0 0 ] e Π L u (X Y ) = X u = X u 0. Vamos denir, também, [ ] 0 (L ρi) Π L ρ = 1 M, 0 I Y X ρ = {((ρ L) 1 My, y)y Y } e Π L u,ρ = Π L u Π L ρ. Se T : X Y X for C 1, então T é C 1 e as variedades invariantes associadas a T também serão C 1. A variedade instável, denotada por U ρ, é o gráco de uma aplicação ψ : X u X ρ X cs. Seja α = (L cs ρ) 1 M cs. A condição T (U ρ ) U ρ garante que se ξ X u e y Y, então existem ˆξ X u e ŷ Y tais que { (ˆξ + αŷ, ŷ) = Lu,ρ (ξ + αy + ψ(ξ + αy, y), y) + N u,ρ (ξ + αy + ψ(ξ + αy, y), y) ψ(ˆξ + αŷ, ŷ) = L cs (ξ + αy + ψ(ξ + αy, y), y) + N cs (ξ + αy + ψ(ξ + αy, y), y). Logo, separando os termos em X u e em Y, obtemos que { ˆξ = Lu ξ + M u y + N u (ξ + αy + ψ(ξ + αy, y), y) ŷ = ρy. Da mesma forma, obtemos que ψ(ˆξ + αŷ, ŷ) = L cs αy + L cs ψ(ξ + αy, y), y) + N cs (ξ + αy + ψ(ξ + αy, y) + L cs αy + M cs y. Seja θ y : X u X cs dada por θ y = ψ(ξ + αy, y)y). Como M cs y + L cs αy = ραy, temos que θ y (ŷ) = L cs θ y (ξ) + N cs (ξ + αy + θ y (ξ), y) + ραy.

91 4.4 O λ-lema 77 Assim, a aplicação y θ y ( ) é C 1 e dene a variedade instável para T y ( ) = T (, y). Analogamente, provamos que a variedade centro-estável para T y ( ) é C 1 com respeito a y. 4.4 O λ-lema Teorema (caso local). Seja X um espaço de Banach e T : X X uma aplicação C 1 denida em uma vizinhança de 0 de forma que T (0) = 0 e 0 é um ponto hiperbólico, ou seja, temos a decomposição espectral de T (0) em T (0) = L = L 1 L 2, X = X 1 X 2, com r(l 2 ) 1 e r(l 1 1 ) < 1, e vamos denotar por W u loc, W s loc e estável, respectivamente. as variedades locais instável Vamos supor que dimx 1 < ou que T C 1+, ou seja, que x T (x) seja uniformemente contínua numa vizinhança de zero. Então existe uma vizinhança V de 0 em X tal que se x = x 0, x n+1 = T (x n ) V para n 0 e x n n 0, D 0 for uma subvariedade mergulhada em X tal que D 0 W s loc = {x0 }, T x 0D 0 T x 0W s loc = X e denindo D n = {p V : existem p 0,..., p n V com p 0 D 0, p n = p e p j+1 = T (p j ), para 0 j n} temos que, para n sucientemente grande, D n é uma subvariedade C 1 mergulhada em X e D n contém 0. e W u loc n D na topologia C 1, em que D é a componente conexa de W u loc V que Além disso, para n sucientemente grande e após uma mudança de coordenadas, D n possuem as seguintes formas: e D n = {x n + ξ + ψ n (ξ) : ξ X 1, ξ < r} W u loc V = D = {ξ + ψ n (ξ) : ξ X 1, ξ < r},

92 78 Vizinhança de um Elemento Crítico em que ψ n, θ : X 1 X 2 são C 1 e ψ n θ C 1 (B r(x 1 ),X 2 ) 0 quando n. Demonstração. Primeiramente, vamos denir N de forma que T = L + N. Nesta demonstração, vamos escrever X 1 X 2 em vez de X = X 1 X 2 quando for conveniente e obter Primeira etapa. T : X 1 X 2 X 1 X 2 (x 1, x 2 ) (L 1 x 1 + N 1 (x 1, x 2 ), L 2 x 2 + N 2 (x 1, x 2 )). Pelos Teoremas e 4.2.2, sabemos que existe r 0 > 0 e aplicações C 1 θ : X 1 X 2 e σ : X 2 X 1 tais que W u loc = {ξ + θ(ξ) : ξ X 1, ξ < r 0 } e W s loc = {σ(η) + η : η X 2, η < r 0 }. Seja a mudança de coordenadas h : X 1 X 2 X dada por h(ξ, η) = ξ + σ(η) + η. Então, se T (h(ξ, η)) = h(ˆξ, ˆη), nós temos que T (ξ + σ(η) + η) = L 1 ξ + L 1 σ(η) + L 2 η + N 1 (ξ + σ(η) + η) + N 2 (ξ + σ(η) + η) = ˆξ + σ(ˆη) + ˆη e, separando os termos de X 1 e X 2, obtemos que ˆξ = L 1 ξ + L 1 σ(η) + N 1 (ξ + σ(η) + η) σ(ˆη) ˆη = L 2 η + N 2 (ξ + σ(η) + η). Sabemos que σ : X 2 X 1 satisfaz σ( η) = L 1 σ(η) + N 1 (σ(η) + η) η = L 2 η + N 2 (σ(η) + η). Assim, podemos escrever a equação anterior como

93 4.4 O λ-lema 79 ˆξ = L 1 ξ + N 1 (ξ + σ(η) + η) N 1 (σ(η) + η) + σ( η) σ(ˆη) ˆη = L 2 η + N 2 (ξ + σ(η) + η). Vamos denir Ñ1(ξ, η) := N 1 (ξ + σ(η) + η) N 1 (σ(η) + η) + σ( η) σ(ˆη) e Ñ2(ξ, η) := N 2 (ξ + σ(η) + η). Então obtemos h 1 T h : X 1 X 2 X 1 X 2 dada por (ξ, η) (ˆξ, ˆη) = (L 1 ξ + Ñ1(ξ, η), L 2 η + Ñ2(ξ, η)). É fácil ver que Ñ1 e Ñ2 são aplicações C 1 próximas de 0. Além disso, se ξ = 0, então ˆη = η, mostrando que Ñ1(0, η) = 0 e ˆξ = 0. Seja T = h 1 T h. Pelo que foi feito acima, sua variedade estável é {ξ = 0} e, dessa forma, podemos assumir, numa vizinhança de 0, que W s loc = X 2 e que N 1 (η) = 0, para todo η X 2, η < r 0. Da mesma forma, podemos fazer a mudança de coordenadas (ξ, η) ξ + θ(ξ) + η para assumir que, numa vizinhança de 0, W u loc = X 1 e que N 2 (ξ) = 0, para todo ξ X 1, ξ < r 0. Notemos que essas mudanças de coordenadas são independentes, no sentido que se N 1 (0, η) = 0, então Ñ 1 (0, η) = N 1 (ξ + θ(ξ) + η) ξ=0 = N 1 (0, η) = 0. Dessa forma, podemos assumir que W u loc = X 1 e W s loc = X 2. Segunda etapa. Já sabemos que T : X 1 X 2 X 1 X 2 (x 1, x 2 ) (L 1 x 1 + N 1 (x 1, x 2 ), L 2 x 2 + N 2 (x 1, x 2 )) é uma aplicação C 1 se x 1 < r 0 e x 2 < r 0. Além disso, temos que N 1 (0, x 2 ) =

94 80 Vizinhança de um Elemento Crítico N 2 (x 1, 0) = 0 e N i x j (x 1, x 2 ) 0, quando (x1, x 2 ) (0, 0) para 1 i, j 2. Como T C 1+ ou dim X 1 <, temos que N 2 x 2 (x 1, x 2 ) 0 quando x 2 0, uniformemente para x 1 < r 0. Vamos, agora, escolher normas equivalentes em X 1 e X 2 de forma que L 1 1 = a 1 e L 2 = b, com 1 b < a. Tomemos 0 < γ < a b 4 e vamos assumir que r 0 > 0 é sucientemente pequeno de forma que, se N i,j = N i x j, 1 i, j 2, então N i,j γ em V := {(x 1, x 2 ) : x 1 < r 0, x 2 < r 0 }. Terceira etapa. Seja x 0 V Wloc s = V X 2 tal que x n = T n (x 0 ) V para n 0 e x n n 0. Então x n V W s loc, o que implica que xn < r 0. Notemos que o espaço tangente de W s loc = X 2 em x 0 é X 2. Consideremos a projeção π 1 : X 1 X 2 X 1 e mostremos que sua restrição ao espaço tangente T x 0D 0 de D 0 em x 0 é um isomorsmo sobre X 1. Seja π 1 a restrição de π 1 a T x 0D 0. Primeiramente, se v T x 0D 0 é tal que π 1 v = 0, então v X 2. Como T x 0D 0 X 2 = {0}, temos que v = 0 e que π é injetiva. Para a recíproca, seja w X 1. Como X = T x 0D 0 X 2, existe w 1 T x 0D 0 e w 2 X 2 tal que w = w 1 + w 2 e w = π 1 w = π 1 w 1 = π 1 w 1, mostrando que π 1 é sobrejetora. Dessa forma, sendo π 1 contínua e bijetora, o teorema do gráco fechado garante que sua inversa é também contínua. Pelo Teorema da Função Inversa, existem ρ 0 > 0, uma vizinhança D 0 ρ 0 de x 0 em D 0 e U ρ0 := {ξ X 1 : ξ < ρ 0 } tais que π 1 : D 0 ρ 0 U ρ0 é invertível e que sua inversa π 1 1 : U ρ0 D 0 ρ 0 é contínua. Denamos, para cada ξ U ρ0, ψ 0 (ξ) = π 1 1 ξ ξ x 0. Como ξ X 1 e x 0 X 2, temos que π 1 ψ 0 (ξ) = 0, ou seja, ψ 0 é uma função contínua de X 1 em X 2. disso, Sendo π 1 um isomorsmo e π 1 (x 0 ) = 0, temos que π 1 1 (0) = x 0 e que ψ 0 (0) = 0. Além D 0 ρ 0 = π 1 1 U ρ0 = { π 1 1 ξ : ξ U ρ0 } = {x 0 + ξ + ψ 0 (ξ) : ξ U ρ0 }.

95 4.4 O λ-lema 81 Consideremos, agora, a aplicação U ρ0 ξ L 1 ξ + N 1 (x 0 + ξ + ψ 0 (ξ)). Como L 1 1 N 1,1 (x 0 ) a 1 γ < 1, dado ˆξ X 1, existe um único ξ X 1 tal que ˆξ = L 1 ξ + N 1,1 (x 0 )ξ e o operador linear L 1 + N 1,1 (x 0 ) : X 1 X 1 é um isomorsmo. O Teorema da Função Inversa garante a existência de ρ 1 > 0 e da vizinhança U ρ1 0 em X 1 tais que, para todo ˆξ U ρ1, existe um único ξ U ρ0 tal que ˆξ = L 1 ξ + N 1 (x 0 + ξ + ψ 0 (ξ)). Denamos a aplicação ψ 1 : U ρ1 X 2 por de ψ 1 (ˆξ) = L 2 ψ 0 (ξ) + N 2 (x 0 + ξ + ψ 0 (ξ)) N 2 (0, x 0 ). É fácil ver que ψ 1 é contínua, ψ 1 (0) = 0 e, como X 2 x 1 = T (x 0 ) = L 2 x 0 + N 2 (x 0 ), T (D 0 ρ 0 ) = {T (x 0 + ξ + ψ 0 (ξ)) : ξ U ρ0 } {ˆξ + ψ 1 (ˆξ) + L 2 x 0 + N 2 (x 0 ) : ˆξ U ρ1 } = {x 1 + ξ + ψ 1 (ξ) : ξ U ρ1 }. Suponhamos que tenhamos denido a aplicação contínua ψ n : U ρn X 2 tal que ψ n (0) = 0 e T n (Dρ 0 0 ) {x n + ξ + ψ n (ξ) : ξ U ρn }. Como já feito, L 1 + N 1,1 (0, x 0 ) : X 1 X 1 é um isomorsmo e, pelo Teorema da Função Inversa, existe ρ n+1 > 0 tal que, para todo ˆξ U ρn+1, existe um único ξ U ρn tal que ˆξ = L 1 ξ + N 1 (x n + ξ + ψ n (ξ)). Denamos a aplicação ψ n+1 : U ρn+1 X 2 por ψ n+1 (ˆξ) = L 2 ψ n (ξ) + N 2 (x n + ξ + ψ n (ξ)) N 2 (0, x n ). É fácil ver que ψ n+1 (0) = 0 e T n+1 (D 0 ρ 0 ) {x n+1 + ξ + ψ n+1 (ξ) : ξ U ρn+1 }. e Assim, para cada n N, temos ρ n > 0 e uma aplicação contínua ψ n tais que ψ n (0) = 0 T n (D 0 ρ 0 ) {x n + ξ + ψ n (ξ) : ξ U ρn }.

96 82 Vizinhança de um Elemento Crítico Quarta etapa. Para n 0, seja Λ n L(X 1, X 2 ) denido por Λ n := ψ n(0). Utilizando a denição de ψ n e como N 1,2 (0, x n ) = 0, temos que Λ n+1 = [(L 2 + N 2,2 (0, x n ))Λ n + N 2,1 (0, x n )] [L 1 + N 1,1 (0, x n )] 1. Notemos que [L 1 + N 1,1 (0, x n )] 1 (a γ) 1 e, dessa forma, para cada n 0, Λ n+1 [(b + γ) Λ n + γ](a γ) 1 = b + γ a γ Λ n + γ a γ. Provemos que a sequência { Λ n } n 0 é limitada. Seja γ = a b = 1. 4(a b (a b)/2) 2 Se Λ n γ, então γ a b 2γ < a b 4(a b 2γ) < Λ n+1 b + γ a γ γ + γ a γ = γ. Por outro lado, se Λ n > γ e Λ n+1 > Λ n, então Λ n < Λ n+1 b + γ a γ Λ n + γ a γ < γ, ou seja, isso é um absurdo. Assim, se Λ n > γ, então Λ n+1 Λ n, provando que { Λ n } n 0 é limitada. Seja α = lim sup n Λ n. Então α b + γ a γ α + γ a γ e α γ < 1 2. Assim, existe n 0 > 0 tal que, se n n 0, Λ n 1 2. Por m, tomemos 0 < ρ < min 0 n n0 {ρ n } de forma que ψ n seja uma aplicação C 1 denida em ξ < ρ, para cada 0 n n 0 e sup ψ n 0 (ξ) ψ n 0 (0) + ψ n 0 (ξ) ψ n 0 (0) Λ n + 1 ξ ρ 2 1. Quinta etapa.

97 4.4 O λ-lema 83 Mostremos que, para n n 0, as funções ψ n : U ρn U rn, em que r n = min{ρ(a γ) n n 0, r 0 }. X 2 podem ser estendidas para Como sup ξ <ρ ψ n 0 (ξ) 1, temos que Lipψ n0 1 em U ρ. Então, se ξ, ξ U rn0, temos que L 1 1 N 1 (x n 0 + ξ + ψ n0 (ξ)) L 1 1 N 1 (x n 0 + ξ + ψ n0 ( ξ)) 2a 1 γ ξ ξ. Observando que N 1 (x n 0 + ψ n0 (ξ)) = 0, dado ˆξ U rn0 +1, temos L ˆξ L 1 N 1 (x n 0 +ξ+ψ n0 (ξ)) < a 1 ˆξ +a 1 γ ξ a 1 r n0 +1+a 1 γr n0 a 1 r n0 (a γ)+a 1 γr n0 r n Por essas desigualdades e lembrando que γ < a b 4, a aplicação U r n0 ξ L 1 1 ˆξ L 1 1 N 1 (x n 0 + ξ + ψ n0 (ξ)) U rn0 é uma contração. Assim, para cada ˆξ U rn0 +1, existe um único ξ U rn0 = U ρ tal que ˆξ = L 1 ξ + N 1 (x n 0 + ξ + ψ n0 (ξ)). Vamos estender ψ n0 +1 para U rn0 +1 denindo ψ n0 +1(ˆξ) = L 2 ψ n0 (ξ) + N 2 (x n 0 + ξ + ψ n0 (ξ)) N 2 (0, x n 0 ). Temos que, para todo ˆξ U rn0 +1, ψ n 0 +1(ˆξ) = [(L 2 + N2, 2(x n 0 + ξ + ψ n0 (ξ)))ψ n 0 (ξ) + N 2,1 (x n 0 + ξ + ψ n0 (ξ))] [L 1 + N 1,1 (x n 0 + ξ + ψ n0 (ξ)) + N 1,2 (x n 0 + ξ + ψ n0 (ξ))ψ n 0 +1(ξ)] 1. Notemos que, como feito anteriormente e usando que ψ n 0 (ξ) 1, temos [L 1 + N 1,1 (x n 0 + ξ + ψ n0 (ξ)) + N 1,2 (x n 0 + ξ + ψ n0 (ξ))ψ n 0 +1(ξ)] 1 1 a 2γ.

98 84 Vizinhança de um Elemento Crítico Então Consequentemente ψ n0 +1(ˆξ) b + γ a 2γ ψ n 0 (ξ) + γ a 2γ. sup ψ n0 +1(ˆξ) b + γ ˆξ U rn0 a 2γ +1 Logo, Lipsψ n sup ψ n 0 (ξ) + ξ U rn0 γ a 2γ b + 2γ a 2γ < 1. Podemos proceder analogamente para construir a extensão de ψ n a U rn para obter ˆξ = L 1 ξ + N 1 (x n 1 + ξ + ψ n 1 (ξ)) ψ n (ˆξ) = L 2 ψ n 1 (ξ) + N 2 (x n 1 + ξ + ψ n 1 (ξ)) N 1 (0, x n 1 ). Como a γ > 1 podemos ver que ρ r n r n+1 para todo n n 0. Além disso, existe n 1 n 0 tal que r n = r 0 para todo n n 1. Se n n 1, podemos denir λ n = sup ξ Ur0 ψ n(ξ) e λ n 1. Sexta etapa. Pela etapa anterior, temos que, se ˆξ r 0, ψ n+1 (ˆξ) b ψ n (ξ) + N 2 (x n + ξ + ψ n (ξ)) N 2 (x n + ψ n (ξ)) + N 2 (x n + ξ) N 2 (0, x n ) (b + γ) ψ n (ξ) + N 2 (x n + ξ) N 2 (0, x n ). Além disso, ξ = L 1 1 ˆξ + L 1 1 N 1 (x n + ξ + ψ n (ξ)) a 1 ˆξ + a 1 γ ξ, o que implica que (a γ) ξ ˆξ. Dessa forma, ψ n+1 (ˆξ) ˆξ b + γ a γ ψ n(ξ) + 1 a γ N 2(x n + ψ n (ξ)) N 2 (0, x n ).

99 4.4 O λ-lema 85 Como N 2 (ξ, x n ) N 2 (0, x n ) ξ sup η U r0 N 2,1 (η, x n ), temos que sup ξ Ur0 ψ n(ˆξ) ˆξ sup ξ Ur0 ψ n (ξ) 0 quando n. 0 uniformemente quando n, o que implica que Derivando ˆξ em relação a ξ e lembrando que Lipψ n 1, temos que dˆξ ( dˆξ ) 1 1 (a 2γ) e que dξ dξ a 2γ. Podemos usar esta estimativa para derivar ψ n e obter ψ n+1(ˆξ) 1 a 2γ ψ n+1(ˆξ) ξ 1 ( ) b ψ a 2γ n(ξ) + N 2,1 (x n + ξ + ψ n (ξ)) + N 2,2 (x n + ξ + ψ n (ξ))ψ n(ξ) b + γ a 2γ λ n + 1 a 2γ sup N 2,1 (x n + ξ + ψ n (ξ)). ξ U r0 Isso implica que Dessa forma, λ n 0 quando ξ < r 0. Denamos λ n+1 (b + γ)ψ n + 1 a 2γ sup ξ U r0 N 2,1 (x n + ξ + ψ n (ξ)) n 0, já que b+γ a 2γ < 1, xn n 0, ψ n (ξ) n 0 e N 2,1 (ξ, x 2 ) x 2 0 S n = {x n + ξ + ψ n (ξ) : ξ U r0 }. Lembrando que V = {(x 1, x 2 ) : x 1 < r 0, x 2 < r 0 } e W u loc U r0 = V W u loc = D. Então S n n D. = X 1, temos que Sétima etapa.

100 86 Vizinhança de um Elemento Crítico Para completarmos a demonstração, falta apenas mostrarmos que S n = D n se n for sucientemente grande. Seja (ξ, x n + ψ n (ξ)) S n. Para i = 0,..., n, sejam ξ n = ξ, ξ i+1 = ˆξ i e p i = (ξ i, x i + ψ i (ξ i )). A quinta etapa mostra que essa construção está bem denida. É fácil ver que T (p i ) = p i+1, i = 0,..., n 1. e, dessa forma, que S n D n. Para a recíproca, seja p = p n D n, p 0 D 0, p 1,..., p n V e p j+1 = T (p j ), 0 j < n. Vamos escrever p j = x j + ξ j + η j, com ξ j X 1 e η j X 2. Temos então que p j+1 = x j+1 + ξ j+1 + η j+1 = T (p j ) = T (x j + ξ j + η j ) = L 1 ξ j + N 1 (x j, ξ j + η j ) + L 2 x j + L 2 η j + N 2 (x j, ξ j + η j ) = T x j + L 1 ξ j + N 1 (x j, ξ j + η j ) + L 2 η j + N 2 (x j, ξ j + η j ) N 2 (0, x j ). Logo, ξ j+1 = L 1 ξ j + N 1 (x j, ξ j + η j ) η j+1 = L 2 η j + N 2 (x j, ξ j + η j ) N 2 (0, x j ). Se, para algum 0 j < n, tivermos que η j = ψ j (ξ j ), então η i = ψ i (ξ i ) para todo i j e, em particular, η n = ψ n (ξ n ), ou seja, p n S n. Como ξ j+1 (a γ) ξ j, temos ξ 0 ξ n (a γ) n < r 0 (a γ) n ρ, para n n 1. Assim, p 0 D 0 e ξ 0 ρ, o que implica que p 0 D 0 ρ e, consequentemente, p 0 = x 0 + ξ 0 + ψ 0 (ξ 0 ). Logo p n S n e D n S n. Denição Seja T : X X uma aplicação num espaço de Banach X tal que o semigrupo {T n : n N} possua atrator global A. Dizemos que T é reversível se T A for injetivo, T for diferenciável em A e T (z) : X X for um operador linear contínuo e injetivo para cada z A.

101 4.4 O λ-lema 87 Proposição Seja x um ponto xo hiperbólico da aplicação reversível T. Então o conjunto W u (x) = n 0 T n (T u loc (x)) é uma variedade C1 injetivamente imersa em X. Demonstração. Pelos Teoremas e 4.2.2, existe θ : X 1 X 2 uma aplicação C 1 de forma que W u loc(x) = {x + ξ + θ(ξ) : ξ X 1, ξ < r 0 } para algum r 0 > 0. Assim, dado z W u (x), seja n z o menor inteiro não negativo tal que z T nz (W u loc (x)). vizinhança de z em T nz (W u loc (x)) e seja W z T nz (W z ). Como T é reversível, T nz (W u loc (x)) é aberto. Seja U z uma uma vizinhança em W u loc (x) tal que U z = Seja π 1 : W u loc (x) X u a projeção de W u loc (x) em X 1, ou seja, π 1 (x + ξ + θ(ξ)) = ξ, com ξ X 1 e ξ < r 0. Denamos φ z : π 1 (W z ) U z por φ z (ξ) = T nz (x + ξ + θ(ξ)). Por essa construção, é imediato que {(π 1 (W z ), φ z )} é uma carta C 1 para W u (x) e, como a inclusão i : W u (x) X tem a derivada injetiva, temos que W u (x) está injetivamente imersa em X. Teorema (caso global). Seja X um espaço de Banach e T : X X uma aplicação de forma que o semigrupo {T n : n N} tenha atrator global A, e T seja uma aplicação C 1 em uma vizinhança de A e seja reversível Suponha que T (0) = 0, T (0) = L = L 1 L 2, X = X 1 X 2, com r(l 2 ) 1 e r(l 1 1 ) < 1, e vamos denotar por W u loc, W s loc as variedades locais instável e estável de 0, respectivamente. Além disso, seja W u (x) = n 0 T n (W u loc ) e vamos assumir que dim X 1 < ou T C 1+ em A, ou seja A z T (z) é uniformemente contínua. Então, dados n 0 N e uma subvariedade D 0 de X tal que D 0 W s loc = {x 0} e T x 0D 0 T x 0W s loc = X, existe uma vizinhança D0 ρ de x 0 em D 0 e, para n sucientemente grande, existem conjuntos S n T n (D 0 ρ) tais que na norma C 1. S n T n 0 (W u loc), quando n

102 88 Vizinhança de um Elemento Crítico Demonstração. Pela terceira etapa da demonstração do λ-lema local, sabemos que existem vizinhanças D 0 ρ de x 0 em D 0 e V de 0 em X e, para n sucientemente grande, conjuntos R n = {x n + ξ + ψ n (ξ) : ξ X 1, ξ < r 0 } T n (D 0 ρ), em que x n = T n (x 0 ) e ψ n : X 1 X 2 são aplicações C 1 de forma que R n W u loc quando n, na norma C 1. Como podemos escrever, para alguma aplicação θ : X 1 X 2, Wloc u = {ξ + θ(ξ) : ξ X 1, ξ < r 0 }, temos que ψ n θ C 1 (B r0 (X 1 ),X 2 ) 0, quando n. Seja U r = {ξ X 1 : ξ < r}, para r > 0 e denamos φ, µ n : U r0 T n 0 (W u loc ) por para n sucientemente grande. ψ(ξ) = T n 0 (ξ + θ(ξ)) µ n = T n 0 (x n + ξ + ψ n (ξ)), Como dim X 1 < ou T C 1+ em uma vizinhança de A, temos e sup ξ U r0 µ n (ξ) φ(ξ) 0, quando n sup µ n(ξ) φ (ξ) 0, quando n. ξ U r0 Denindo S n = T n 0 (R n n 0 ), para n sucientemente grande, temos que S n T n (D 0 ρ) e S n T n 0 (Wloc u ) quando n.

103 Capítulo Permanência e Continuidade de Elementos Críticos 5 Sejam T η aplicações contínuas em um espaço de Banach X, com η [0, 1]. Começamos este capítulo estudando a continuidade dos conjuntos dos pontos de equilíbrio dessas aplicações. Neste capítulo, também mostramos que uma órbita normalmente hiperbólica é um invariante isolado e que ela se comporta continuamente sob perturbações. 5.1 Permanência e continuidade de pontos de equilíbrio Teorema (semicontinuidade superior de pontos de equilíbrio). Seja [0, 1] X (η, x) T η x X uma aplicação contínua e uniformemente contínua em compactos de X em η = 0. Vamos supor que a família de semigrupos {T n η : n N} η [0,1] seja coletivamente assintoticamente compacta. Se cada T η tiver o conjunto de pontos xos E η, η [0, 1] e η [0,1] E η for limitado, então a família {E η : η [0, 1]} é semicontínua superiormente em η = 0. Demonstração. Para cada η [0, 1], seja x η E η. Vamos considerar uma sequência {η n } n N [0, 1] tal que η n 0 quando n. Como {x η n } é limitado, {T n η : n N} η [0,1] é coletivamente assintoticamente compacta e T ηn x η n = x η n, temos que {x η n } possui uma subsequência convergente.

104 90 Permanência e Continuidade de Elementos Críticos Podemos, então, supor que x η n x quando n. Pela continuidade da família {T η } η [0,1] em η = 0, temos que x = lim n x η n = lim n T ηn x η n = T 0 x. Assim, T 0 x = x e x E 0. Pela Lema , a família {E η } η [0,1] é semicontínua superiormente em η = 0. Lema Seja X um espaço de Banach e T 0 C(X). Seja x E 0 um ponto xo de T 0. Se T 0 for diferenciável em x, 1 / σ(t 0(x )) e T 0 (y + x ) T 0 (z + x ) T 0(x )(y z) X = o( y z X ), (5.1.1) então x é isolado. Consequentemente, se E 0 for compacto, T 0 for diferenciável em x, 1 / σ(t 0(x )) e T 0 satisfaz (5.1.1) para todo x E 0, então E 0 é nito. Demonstração. Sendo x um ponto xo de T 0 e 1 / σ(t 0(x )), podemos denir a aplicação φ : X X dada por φ(y) = (I T 0(x )) 1 (T 0 (y + x ) T 0 (x ) T 0(x )y). Se y + x for um ponto xo de T 0, então φ(y) = y. Por outro lado, se φ(y) = y, então (I T 0(x ))y = T 0 (y + x ) T 0 (x ) T 0(x )y e y + x é um ponto xo de T 0. Em particular, 0 é um ponto xo de φ. Como vale (5.1.1), existe δ > 0 tal que T 0 (y + x ) T 0 (z + x ) T 0(x )(y z) X 1 2 I T 0(x )) 1 L(X) y z X, sempre que y, z B δ (0). Assim, temos que

105 5.1 Permanência e continuidade de pontos de equilíbrio 91 φ(y) X (I T 0(x )) 1 L(X) T 0 (y + x ) T 0 (x ) T 0(x )y X 1 2 y < δ e que φ(y) φ(z) X (I T 0(x )) 1 L(X) T 0 (y+x ) T 0 (z+x ) T 0(x )(y z) X 1 2 y z, para todo y, z B δ (0). Assim, φ(b δ (0)) B δ (0) e φ é uma contração em B δ (0). Isso implica que x é o único ponto xo de T 0 em B δ (0) e x é um ponto de equilíbrio isolado para T 0. Para completar a demonstração, basta notarmos que se E 0 fosse compacto e não nito, poderíamos encontrar uma sequência {x j } E 0, com x j x, tal que x j x quando n, contrariando o fato de x ser isolado. Teorema Seja X um espaço de Banach e {T η } η [0,1] uma família de aplicações contínuas. Vamos supor que x 0 E 0 seja um ponto xo de T 0, 1 / σ(t 0(x 0)) e que (i) lim T η(x 0) T 0 (x 0) X = 0; (5.1.2) η 0 (ii) dado ɛ > 0, existe δ > 0 tal que ( ) lim sup sup T η(y) T 0(x 0) L(X) η 0 y B δ (x 0 ) (iii) para algum η 0 (0, 1], dado ρ > 0, existe ɛ > 0 tal que ɛ; (5.1.3) T η (y) T η (z) T η(z)(y z) X ρ y z X, y, z B ɛ (x 0), η [0, η 0 ]. (5.1.4) Então existem δ > 0 e η 0 > 0 tais que T η tem um único ponto xo x η B δ (x 0) para cada η [0, η 0 ] e x η x 0 quando η 0.

106 92 Permanência e Continuidade de Elementos Críticos Demonstração. Primeiramente, notemos que x η é um ponto xo de T η se, e somente se, x η for um ponto xo para φ η (y) = (I T 0(x 0)) 1 [T η (y) T 0(x 0)y]. Mostremos que, para δ > 0 sucientemente pequeno, existe η δ > 0 tal que φ η é uma contração em B δ (x 0) para todo η [0, η δ ]. Notemos que φ η (y) x 0 = (I T 0(x 0)) 1 [T η (y) T 0 (x 0) T 0(x 0)(y x 0)] = (I T 0(x 0)) 1 [T η (y) T η (x 0) T η(x 0)(y x 0)]+ (I T 0(x 0)) 1 [T η(x 0) T 0(x 0)](y x 0)+ (I T 0(x 0)) 1 [T η (x 0) T 0 (x 0)]. Por (5.1.4), podemos tomar ɛ > 0 tal que (I T 0(x 0)) 1 [T η (y) T η (x 0) T η(x 0)(y x 0)] X 1 4 y x 0 X para todo y B ɛ (x 0). Por (5.1.2) e (5.1.3), podemos tomar η 1 > 0 tal que, para todo 0 η η 1 (I T 0(x 0)) 1 [T η (x 0) T 0 (x 0)] X ɛ 4 e (I T 0(x 0)) 1 [T η(x 0) T 0(x 0)] L(X) ɛ 4. Assim, φ η (B ɛ (x 0)) B ɛ (x 0) para todo 0 η η 1. Também temos que

107 5.1 Permanência e continuidade de pontos de equilíbrio 93 φ η (y) φ η (z) = (I T 0(x 0)) 1 [T η (y) T η (z) T 0(x 0)(y z)] = (I T 0(x 0)) 1 [T η (y) T η (z) T η(z)(y z)]+ (I T 0(x 0)) 1 [T η(z) T 0(x 0)](y z). Como valem (5.1.3) e (5.1.4), tomemos 0 < ɛ ɛ e 0 < η 2 < η 1 tais que, para todo y, z B ɛ (x 0), tenhamos (I T 0(x 0)) 1 [T η (y) T η (z) T η(z)(y z)] X 1 4 y z X. e (I T 0(x 0)) 1 [T η(z) T 0(x 0)](y z) X 1 4 y z X. Pelo que foi feito, é fácil ver que se 0 η η 2, φ η (B ɛ (x 0)) B ɛ (x 0) e que φ η é uma contração em B ɛ (x 0). Dessa forma, T η possui um único ponto xo x η em B ɛ (x 0) para todo η [0, η 2 ]. Por m, dado 0 < ɛ < ɛ, podemos tomar 0 < η 1 < η 1 de forma que φ η (B ɛ (x 0)) B ɛ (x 0) para todo 0 η η 1, o que implica que x η x 0 X ɛ, para todo η [0, η 1], provando que x η x 0 quando η 0. Teorema (Semicontinuidade inferior). Seja {T η } 0 η 1 uma família de aplicações C 1 (X). Suponhamos que: (i) E 0 é compacto; (ii) 1 / x 0 E 0 σ(t (x 0)) ; (iii) lim T η(x 0) T 0 (x 0) = 0, para cada x 0 E 0 ; η 0 (iv) dado ɛ > 0, existe δ > 0 tal que ( ) lim sup sup T η(y) T 0(x 0) L(X) ɛ; η 0 y B δ (x 0 )

108 94 Permanência e Continuidade de Elementos Críticos (v) para cada x 0 E 0, existe η 0 (0, 1] tal que, dado ρ > 0, existe ɛ > 0 tal que T η (y) T η (z) T η(z)(y z) X ρ y z X, y, z B ɛ (x 0), η [0, η 0 ]. Então a família {E η : η [0, 1]} é semicontínua inferiormente em η = 0. Demonstração. A demonstração é imediata graças ao Teorema e Lema Permanência e continuidade de soluções periódicas Nosso objetivo aqui é mostrar que órbitas periódicas normalmente hiperbólicas são conjuntos invariantes isolados e que elas se comportam continuamente quando são perturbadas. Os resultados de existência e unicidade de equações diferenciais em espaços de Banach podem ser encontrados em [2] Soluções periódicas Denição Seja x 0 uma solução periódica com período p > 0, ou seja, x 0 (t) = x 0 (t + p), para todo t R. Essa solução é chamada de orbitalmente estável se o conjunto Γ = {x 0 (t) : 0 t p} for estável, ou seja, dada uma vizinhança U de Γ, existe uma vizinhança V U de Γ tal que toda solução que começa em V permanece em U para todo t 0. Uma solução é chamada orbitalmente assintoticamente estável se existe uma vizinhança V de Γ tal que, para toda vizinhança U de Γ, toda solução que começa em V ca em U para t t U, para um certo t U > 0. Lema Seja X um espaço de Banach, A : D(A) X X um operador setorial (ver Denição de [2]) e f : X X uma função continuamente diferenciável. Suponhamos que o problema ẋ + Ax = f(x) (5.2.1) x(0) = x 0

109 5.2 Permanência e continuidade de soluções periódicas 95 tenha uma solução periódica x 0 : R X de período p > 0 e que R t f x (x 0 (t)) L(X, X) seja uniformemente contínua. Seja, também, {T (t, s) : t s} o processo de evolução associado a ẏ + Ay = f x (x 0 (t))y. (5.2.2) Então T (t + p, s + p) = T (t, s) para todo t s e, xado n N, T (t + np, t) = T (t + p, t) n, para todo t R. Além disso, 1 é um autovalor para T (t 0 + p, t 0 ) para todo t 0 R e temos para constantes M e m apropriadas. T (t, s)x Me m(t s) x, Demonstração. Primeiramente, notemos que T (t + p, s + p) = e A(t s) + = e A(t s) + = e A(t s) + t+p s+p t s t s e A(t+p θ) f x (x 0 (θ))t (θ, s + p)dθ e A(t θ) f x (x 0 (θ + p))t (θ + p, s + p)dθ e A(t θ) f x (x 0 (θ))t (θ + p, s + p)dθ. Concluímos que T (t + p, s + p) e T (t, s) são o mesmo, já que ambos são obtidos como ponto xo da equação S(t, s) = e A(t s) + t s e A(t θ) f x (x 0 (θ))s(θ, s)dθ, que é uma contração para t e s sucientemente próximos. Dessa forma, T (t + np, t) = T (t + np, t + (n 1)p) T (t + p, t) = T (t + p, t) n.

110 96 Permanência e Continuidade de Elementos Críticos Agora, notemos que x(t) e x(t + h) são soluções de ẋ + Ax = f(x). Podemos, então, escrever x 0 (t + h) = e At x 0 (h) + o que implica que t 0 e A(t s) f(x 0 (s + h))ds, x 0 (t + h) x 0 (t) = e At (x 0 (h) x 0 (0)) + t 0 e A(t s) (f(x 0 (s + h)) f(x 0 (s)))ds. de Dividindo a expressão acima por h e fazendo h 0, obtemos que y(t) = ẋ(t) é solução ẏ + Ay = f x (x 0 (t))y. Assim, ẋ 0 (s) = ẋ 0 (s + p) = T (s + p, s)ẋ 0 (s), para todo s R. Sendo x 0 uma solução periódica e por unicidade das soluções de equações diferenciais lineares, temos que ẋ 0 (t) 0, t R. Assim, provamos que 1 é autovalor para T (s + p, s), s R. Por m, dados t s, existe um inteiro n t e τ [0, p) tais que t = s + n t p + τ. Assim, T (t, s) T (t, s+n t p) T (s+p, s) nt ( T (t, s+n t p) e m(t s ntp) ) e m(t s ntp) e mntp Me m(t s), com m = 1 p log T (s + p, s) e M = sup 0 τ p T (t, t τ) e mτ. Denição A aplicação período ou aplicação de Poincaré para um processo de evolução {T (t, s) : t s} com período p > 0 é denida por U(t) = T (t + p, t).

111 5.2 Permanência e continuidade de soluções periódicas 97 Os autovalores diferentes de zero de U(t) são chamados de multiplicadores característicos. Lema Consideremos o operador setorial A, o processo de evolução {T (t, s) : t s} dado por (5.2.2) e a aplicação de Poincaré U(t). (i) Os multiplicadores característicos independem do tempo. Mais precisamente, σ(u(t))\{0} independem do tempo. (ii) Se A tem resolvente compacto, então U(t) é compacto e σ(u(t))\{0} é constituído apenas por multiplicadores característicos. Demonstração. (i) Sejam s R, µ 0 e x 0 tais que U(s)x = T (s + p, s)x = µx e tomemos s t s + p. Pela periodicidade de U( ), basta provarmos que µ é um autovalor de U(t). Denamos y = T (t, s)x, de forma que T (s + p, t)y = µx. Assim, y 0 e U(t)y = T (t + p, t)t (t, s)x = T (t + p, s + p)t (s + p, s)x = µt (t, s)x = µy, provando que os multiplicadores característicos independem do tempo. Sejam s R, µ ρ(u(s))\{0}. resultado para s t s + p. Pela periodicidade de U( ), basta provarmos o Fixado x, temos que T (s + p, t)(µ U(t))x = [µ T (s + p, t)t (t + p, s + p)]t (s + p, t)x = (µ T (s + p, t)t (t, s))t (s + p, t)x = (µ U(s))T (s + p, t)x. Seja y = (µ U(t))x. Então µx = y + w, com w = U(t)x = T (t + p, s + p)t (s + p, t)x = T (t, s)t (s + p, t)x = T (t, s)(µ U(s)) 1 T (s + p, t)y. Assim,

112 98 Permanência e Continuidade de Elementos Críticos T (s + p, t)x = (µ U(s)) 1 T (s + p, t)y. Através destes cálculos, podemos ver que, dado y, podemos denir x = µ 1 (y + w), com w = T (t, s)(µ U(s)) 1 T (s + p, t)y, de forma que (µ U(t))x = y. Além disso, (µ U(t)) 1 é limitado, já que x µ 1( 1 + T (t, s) (µ U(s)) 1 T (s + p, t) ) y, mostrando que µ ρ(u(t)). Assim, ρ(u(s))\{0} ρ(u(t)), concluindo esta etapa da demonstração. (ii) Como A tem resolvente compacto, (λ A) 1 é compacto e, lembrando que T (t, s) = 1 2πi Γ eλ(t s) (λ A) 1 dλ, para uma curva Γ apropriada, obtemos que T (t, s) é compacto para todo t s. σ(u(t))\{0} consiste apenas de autovalores. Em particular, U(t) é compacto e, consequentemente, Teorema Seja σ 1 um conjunto espectral de σ(u(t)), para todo t R. Então, para cada t R, o espaço X pode ser decomposto em X 1 (t) + X 2 (t), com σ(u(t) X1 (t)) = σ 1, σ(u(t) X2 (t)) = σ(u(t))\σ 1 e, para i = 1, 2, T (t, s) leva X i (s) em X i (t). Se 0 / σ 1, então T (t, s) : X 1 (s) X 1 (t) é injetora. Seja β R tal que e βp = sup{ λ : λ σ 1 }. Então para qualquer ɛ > 0, existe M ɛ > 0 tal que T (t, s)x M ɛ e (β+ɛ)(t s) x para t s e x X 1 (s). Vamos supor que 0 / σ 1 e γ R seja tal que e γp = inf{ λ : λ σ 1 } > 0. Então T (t, s)x, x X 1 (s) pode ser denido para t s e T (t, s)x M ɛ e (γ ɛ)(t s) x

113 5.2 Permanência e continuidade de soluções periódicas 99 para t s. Por m, seja s 0 R. Se existir uma linha de 0 até no plano complexo disjunta de σ 1, então existe uma família de operadores limitados invertíveis P (t) : X 1 (s 0 ) X 1 (t), para todo t R, tal que P (t + p) = P (t), P (s 0 ) = 1 e um operador limitado em X 1 (s 0 ) com espectro σ(c) = 1 ln σ p 1 e, para todo t, s, temos T (t, s)x = P (t)e C(t s) P 1 (s)x. Demonstração. Seja γ uma curva orientada positivamente, disjunta de σ(u(t)), para t R, tal que σ 1 esteja no interior de γ e σ(u(t))\σ 1 esteja em seu exterior. Denamos Seja t s. Então T σ1 (τ) = 1 (λ U(τ)) 1 dλ para todo τ R. 2πi γ T (t, s)u(s) = T (t, s)t (s, s p) = T (t, s p) = T (t, t p)t (t p, s p) = U(t)T (t, s). Assim, para t s e λ / σ(u(t)), temos (λ U(t))T (t, s) = T (t, s)(λ U(s)) e (λ U(t)) 1 T (t, s) = T (t, s) 1 (λ U(s)). Dessa forma, temos que T (t, s)p σ1 (s) = P σ1 (t)t (t, s), provando que T (t, s) leva X i (s) em X i (t), i = 1, 2. Mostremos que se 0 / σ 1, então, para t s, T (t, s) : X 1 (s) X 1 (t) é injetora. Para isso, vamos supor que T (t, s)x = 0, para x X 1 (s) e x 0. Seja n N tal que s t s + np. Então 0 = T (s + np, t)t (t, s)x = T (s + np, s)x = (U(s)) n x, o que signica que 0 σ 1, provando o que queríamos.

114 100 Permanência e Continuidade de Elementos Críticos Seja ɛ > 0. Mostremos existe M ɛ > 0 tal que T (t, s)x M ɛ e (β+ɛ)(t s) x. Para isso, basta mostrarmos que e (β+ɛ)(t s) T (t, s) t X1 0. (s) Se isso fosse falso, poderíamos tomar C 0 > 0 e uma sequencia t j quando j, de forma que e (β+ɛ)(pn j+θ j ) ( U(s) X1 (s)) nj T (θ j + s, s) X1 (s) C 0, em que t j s = pn j + θ j, com n j N e 0 θ j < p. Equivalentemente (após tomarmos a raiz n j -ésima), e (β+ɛ)p ( U(s) X1 (s) ) nj 1 n j T (θj + s, s) X1 (s) 1 n j ( C0 e (β+ɛ)θ j ) 1 n j. Fazendo j, temos que n j e e ɛp 1, o que é um absurdo, completando a demonstração da primeira estimativa. Para a segunda estimativa, se 0 / σ1, então U(s) X1 (s) e T (t, s) X1 (s) são invertíveis. Analogamente, mostramos que e (γ ɛ)(t s) T (t, s) X1 0 quando t, e concluí- (s) mos que T (t, s)x M ɛ e (γ ɛ)(t s) x para t s e x X 1. Vamos, agora, supor que exista uma linha γ de 0 até disjunta de σ 1 e tomemos s 0 R. Em particular, notemos que 0 / σ 1. Seja L uma curva disjunta de γ e tal que σ 1 esteja em seu interior. Tomando um ramo apropriado para a função log( ), podemos denir C = 1 (λ U(s 0 ) 2πip X1 (s 0 ) ) 1 log λdλ, L de forma que U(s 0 ) X1 (s 0 ) = epc e σ(c) = 1 p log σ 1. Como 0 / σ 1, se t s, então T (t, s) X1 tem inversa contínua dada por (s)

115 5.2 Permanência e continuidade de soluções periódicas 101 ( T (t, s) X1 (s) ) 1 = ( U(s) X1 (s) ) nt (s + np, t) X1 (t), com n escolhido de forma que s + np t. Denamos, para t s 0 Então P (t) = T (t, s 0 ) X1 (s 0 ) e C(t s 0) : X 1 (s 0 ) X 1 (t). P (t + p) = T (t + p, s 0 ) X1 (s 0 ) e C(t+p s 0) = T (t + p, s 0 + p) X1 (s 0 ) U(s 0 + p) X1 (s 0 ) e Cp e C(t s 0) = P (t) e podemos, então, estender a denição de P (t) para todo t R. Se t s s 0, temos T (t, s) X1 (s) = T (t, s 0) X1 (s 0 ) e C(t s 0) e C(t s) [e C(s s 0) (T (s, s 0 ) X1 (s 0 ) ) 1 ] = P (t)e C(t s) P 1 (s) Para todo t R e s s 0, vamos denir o que implica que T (t, s) X1 (s) = P (t)ec(t s) P 1 (s), ou seja, T (s, t) X1 (t) T (t, s) X1 (s) = P (t)ec(t s) P 1 (s)p (s)e C(s t) P 1 (t) = I X1 (s), T (s, t) X1 (t) = ( T (t, s) X1 (s) e T (t, s) pode ser denida para todo t, s R. ) 1

116 102 Permanência e Continuidade de Elementos Críticos Estabilidade e instabilidade de órbitas periódicas Teorema Vamos assumir as hipóteses do Lema Se o multiplicador 1 for um autovalor simples isolado de U(t) = T (t + p, t), t R e o restante do espectro de U estiver em {λ C : λ < e βp } para algum β > 0, então Γ é assintoticamente estável. Demonstração. Seja z satisfazendo ż + [A f x (x 0 (t))]z = g(t, z), em que g(t, z) = f(x 0 (t) + z) f(x 0 (t)) f x (x 0 (t))z. É fácil ver que g(t, 0) = 0. Notemos que g(t, z 1 ) g(t, z 2 ) = f(x 0 (t) + z 1 ) f(x 0 (t) + z 2 ) f x (x 0 (t))(z 1 z 2 ) f(x 0 (t) + z 1 ) f(x 0 (t) + z 2 ) f x (x 0 (t) + z 1 )(z 1 z 2 ) + (f x (x 0 (t) + z 1 ) f x (x 0 (t)))(z 1 z 2 ). Dessa forma, vemos que g(t, z 1 ) g(t, z 2 ) k(ρ) z 1 z 2 para z i ρ, i = 1, 2, com k(ρ) ρ 0 0. Denamos x = x 0 (t) + z. Seja P {1} a projeção espectral associada ao autovalor 1 de U(t), t R, ou seja, P {1} (t) = 1 (λ U(t)) 1 dλ, 2πi γ {1} em que γ {1} é uma curva fechada orientada positivamente, cujo único autovalor em seu interior é o 1. Como U(t + jp) = U(t), para todo j Z, temos que P (t + jp) = P (t). Por essa projeção que nós denimos, temos X = X 1 (t) X 2 (t), em que X 1 (t) = R(P {1} (t)) = [ẋ 0 (t)] (já que 1 é autovalor simples) e X 2 (t) = ker(p {1} (t)). Sejam t s e x 1 X 1 (s). Como T (s + p, s)x 1 = x 1 e T (, ) é contínua, existe M 1 tal que T (t, s)x 1 M 1 x 1.

117 5.2 Permanência e continuidade de soluções periódicas 103 Pelo Lema e como T (s + p, s) L(X 2 (s)) tem raio espectral estritamente menor que 1, se x 2 X 2 (s), temos que existem M 2 > 0 e β > 0 tais que T (t, s)x 2 M 2 e β (t s) x 2. Para simplicar os cálculos a seguir, vamos tomar M = max{m 1, M 2 }. Sejam 0 < β < β e ρ > 0 tais que ρ e Mk(ρ)M 0 ( 1 β + com M 0 = sup{ P {1} (s) + 1}. 0 e (β β)u du ) 1 2 Vamos supor que y : R X satisfaça, para todo t 0 xado e t t 0, sup s t0 y(s) e β(s t 0) Podemos escrever ẏ + [A f x (x 0 (t))]y = g(t, y). P {1} (t)y(t) = T (t, t 0 )P {1} (t 0 )y(t 0 ) + t t 0 T (t, s)p {1} (s)g(s, y(s))ds. Assim, como T (, t 0 ) é periódico, T (t, t X1 (t 0 ) 0) X1 (t 0 está bem denido para todo t R. ) Então T (t 0, t)p {1} (t)y(t) = P {1} (t 0 )y(t 0 ) + t t 0 T (t 0, s)p {1} (s)g(s, y(s))ds. Como y(t) e β(t t0) 0 quando t, temos que T (t 0, t)p {1} (t)y(t) 0 quando t e P {1} (t 0 )y(t 0 ) = t 0 T (t 0, s)p {1} (s)g(s, y(s))ds. Fixado t 0 R, seja o espaço Z = {z C([t 0, ) X) : sup t t0 { z e β(t t0) } ρ} com a métrica z w β = sup t t0 { z w e β(t t0) }. Denamos, para t t 0, a aplicação

118 104 Permanência e Continuidade de Elementos Críticos F (z)(t) = T (t, t 0 )a + t t 0 T (t, s)(i P {1} )(s)g(s, z(s))ds t T (t, s)p {1} (s)g(s, z(s))ds e mostremos que ela é uma contração para a X 2 (t 0 ), a ρ 2M. De fato, temos as 3 desigualdades a seguir: e β(t t 0) T (t, t 0 )a Me (β β )(t t 0 ) a α M a ρ 2. Lembrando que g(s, z) k(ρ) z k(ρ)e β(s t 0) z(s) β, temos t e β(t t 0) t 0 T (t, s)(i P {1} )(s)g(s, z(s))ds t e β(t t 0) [Me β (t s) ][M 0 ][k(ρ)e β(s t0) z(s) β ]ds t 0 t Mk(ρ)M 0 e (β β)(t s) z β ds t 0 Mk(ρ)M 0 z β e (β β)u du, 0 Por m, e β(t t 0) t e β(t t 0) T (t, s)p {1} (s)g(s, z(s))ds Mk(ρ)M 0 z β t [M][M 0 ][k(ρ)e β(s t 0) z β ]ds t e β(s t) ds = Mk(ρ)M 0 z β 1 β. Dessa forma, como z β ρ, temos que e β(t t0) F (z)(t) α ρ + Mk(ρ)M 2 0ρ( 1 + β e (β β)u du ρ e segue que F : Z Z é uma aplicação bem denida. 0 Pelas desigualdades acima, é fácil ver que

119 5.2 Permanência e continuidade de soluções periódicas 105 e β(t t 0) F (z)(t) F (w)(t) Mk(ρ)M 0 z w β 0 e (β β)u + Mk(ρ)M 0 z w β 1 β 1 2 z w β e que F é uma contração uniforme em Z para a ρ 2M. Para a X 2 (t 0 ), a B X 2 ρ/2m (0), usando as estimativas já feitas, temos ρ 2M, seja z = z (, a) o único ponto xo de F. Se a, b e β(t t 0) (z (, a) z (, b)) M a b z (, a) z (, b) β e, consequentemente, z (, a) z (, b) β M a b z (, a) z (, b) β. Assim, z (, a) z (, b) β 2M a b. Denamos H(a) = z (t 0, a) a = Usando a última desigualdade obtida, temos que t 0 T (t 0, s)p {1} (s)g(s, z (s, a))ds. g(s, z (s, a)) g(s, z (s, b)) β k(max{ z (s, a) β, z (s, a) β }) z (s, a) z (s, b) β k(2m max{ a, b })2M a b e, assim,

120 106 Permanência e Continuidade de Elementos Críticos H(a) H(b) t 0 [M][M 0 ][e β(s t 0) k(2m max{ a, b })2M a b ]ds = 2M 2 M 0 k(2m max{ a, b }) a b = 2M 2 M 0 k(2m max{ a, b }) a b 1 β. t 0 [e β(s t 0) ds Vamos denir x (t, a) = x 0 (t) + z (t, a). Substituindo a expressão de g, vemos que x é uma solução para ẋ + Ax = f(x), para t > t 0 e todo a X, a ρ/2m. Seja x(, ξ) a solução para ẋ + Ax = f(x) para t > t 0 p, com x(t 0 p, ξ) = ξ. Se ξ x(t 0, ξ) for sucientemente pequeno, então x(t, ξ) existe para t (t 0 p, t 0 + p] e mostraremos que existem θ R e a X 2 (t 0 ) sucientemente pequenos tais que x(t 0 + θ, ξ) = x (t 0, a). Assim, Por unicidade da solução, isso signica que x(t, ξ) = x (t θ, a), para t t 0 + θ. x(t, ξ) x 0 (t θ) = z (t θ, a) ρe β(t θ t 0) e teremos provado que Γ é orbitalmente assintoticamente estável, concluindo a demonstração do teorema. Para isso, notemos que x(t 0 + θ, ξ) = x (t 0, a) se, e somente se, G(θ, a; ξ) = a θẋ 0 (t 0 ), com G(θ, a; ξ) = x(t 0 + θ, ξ) x 0 (t 0 + θ) H(a) + x 0 (t 0 + θ) x 0 (t 0 ) θẋ 0 (t 0 ). Notemos que

121 5.2 Permanência e continuidade de soluções periódicas 107 G(0, 0; x 0 (t 0 )) = 0 P {1} (t 0 )(a θẋ 0 (t 0 )) = θẋ 0 (t 0 ) (I P {1} (t 0 ))(a θẋ 0 (t 0 )) = a. Assim, (θ, a) a θẋ(t 0 ) é invertível. Dado ɛ > 0, existe 0 < δ < p tal que H(a) H(â) ɛ a â e ẋ 0 (t 0 +θ) ẋ 0 (t 0 ) ɛ sempre que θ δ e a, â δ. Além disso, se t (t 2 0 p, t 0 + p] e 0 < γ < 1, temos, pelo Teorema de [2], que existe C > 0 tal que ẋ(t, ξ) ẋ 0 (t) C(t t 0 + p) 1 ξ x 0 (t 0 )) 1 γ. Assim, se θ, ˆθ, a, â δ, temos que ( x(t 0 + θ, ξ) x 0 (t 0 + θ) ) ( x(t 0 + ˆθ, ξ) x 0 (t 0 + ˆθ) ) ( θẋ(t 0, ξ) θẋ 0 (t 0 ) ) (ˆθẋ(t0, ξ) ˆθẋ 0 (t 0 ) ) + o( θ + ˆθ ) ( ẋ(t 0, ξ) ẋ 0 (t 0 ) ) θ ˆθ + o( θ + ˆθ ) e ( x 0 (t 0 + θ) x 0 (t 0 ) θẋ 0 (t 0 ) ) ( x 0 (t 0 + ˆθ) x 0 (t 0 ) ˆθẋ 0 (t 0 ) ) = o( θ ˆθ ). Logo, G(θ, a; ξ) G(ˆθ, â; ξ) C p ξ x 0(t 0 ) 1 γ θ ˆθ + ɛ a â + ɛ θ ˆθ 2 ( ɛ a â + θ ˆθ ), para δ e ξ x 0 (t 0 ) sucientemente pequenos. Dessa forma, mostramos que G é uma contração e, logo, que exite um único par (θ, a), com θ, a δ, tal que a θẋ 0 (t 0 ) = G(θ, a; ξ), concluindo a demonstração.

122 108 Permanência e Continuidade de Elementos Críticos Teorema Vamos assumir as mesmas condições do Teorema 5.2.6, mas supor que σ(u(t)) {λ C : λ > 1} seja um conjunto espectral não vazio. Então a solução x 0 ( ) é orbitalmente instável, ou seja, existe uma vizinhança W de Γ = {x 0 (t) : t [0, p]} e uma sequencia x n U tal que d(x n, Γ) n 0, mas cada x(t, t 0 ; x n ) sai de W. Demonstração. Seja σ 1 = σ(u(t)) {λ C : λ > 1} e denamos I P σ1 = 1 (λ U(t)) 1 dλ, 2πi γ com γ(t) = ρe 2πit, t [0, 1] e ρ > 1 tal que σ 1 = {λ σ(u(t)) : λ > ρ}. Sejam X 1 (t) = R(P σ1 (t)), X 2 (t) = ker(p σ1 (t)) e X α = X 1 (t) X 2 (t). Então existem constantes M 1 e β > 0 tais que, se t > s e x 2 X 2 (s), temos T (t, s)x 2 Me β(t s) x 2. Além disso, pela forma como a decomposição espectral foi feita, o espectro de (U(t) X1 ) 1 está dentro da bola unitária. Se x 1 X 1 (s) e t < s, então t = s np + τ, com n N e τ [0, p), e vamos escrever T (t, s)x 1 = T (t, s np)t (s np, s)x 1 = T (s np)(u(t) X1 ) 1 x 1. Podemos, então, fazer uma estimativa para T (t, s)x 1 e supor que β > 0 é tal que T (t, s)x 1 Me 3β(t s) x 1. Se sup t t0 z(t) e 2β(t t0) <, então g(t) := g(t, z(t)) satisfaz sup t t0 g(t) e 2β(t t0) <. De forma análoga ao teorema anterior, a única solução de ż + (A f x (x 0 (t)))z = g(t), t < t 0 tal que sup t t0 z(t) e 2β(t t 0) < é dada por z (t) = T (t, t 0 )a + t t 0 T (t, s)p σ1 (s)g(s, z (s))ds + t T (t, s)(i P σ1 (s))g(s, z (s))ds,

123 5.2 Permanência e continuidade de soluções periódicas 109 com P σ1 (t 0 )z(t 0 ) = a X 1. Pelas estimativas feitas e fazendo t, temos que z (t) 0, o que implica instabilidade Permanência de órbitas periódicas sob perturbações Teorema Seja A : D(A) X X um operador setorial e f(, ) : X ( 1, 1) X uma função continuamente diferenciável. Vamos assumir que x 0 ( ) é uma solução com período p > 0 de ẋ + Ax = f(x, 0). Vamos supor que 1 seja um autovalor simples isolado da aplicação de Poincaré associada à equação ẏ + Ay f x (x 0 (t), 0)y = 0. (5.2.3) Então existem uma vizinhança U de {x 0 (t) : t [0, p]} em X, η 0 > 0 e δ 0 > 0 tais que, para cada η (0, η 0 ), existe uma única solução x η ( ) de ẋ + Ax = f(x, η) em U com período p(η), com p(η) p δ 0. Além disso, p(η) p e x η (t) x 0 (t) quando η 0. Por m, se 1 for o único ponto do espectro da aplicação de Poincaré que está no círculo unitário, então a órbita periódica é um conjunto invariante isolado. Demonstração. Seja {T (t, s) : t s} o processo de evolução associado a (5.2.3) e T (p, 0) a aplicação de Poincaré associada. Sabemos que T (p, 0)ẋ 0 (0) = ẋ 0 (0). Denamos a projeção espectral associada ao conjunto espectral σ 0 = {1} por P = 1 (λ T (p, 0)) 1 dλ, 2πi γ com γ(t) = 1 + δe 2πit, t [0, 1] e δ tal que {λ C : λ 1 δ} σ(t (p, 0)) = {1}. Vamos escrever X = [ẋ 0 (0)] Z, com P X = [ẋ 0 (0)] e Z = ker P.

124 110 Permanência e Continuidade de Elementos Críticos Denamos x 0 de forma que x 0, tẋ 0 + z = t para todo escalar t e z Z. Então Z é o núcleo de x 0 e x 0, ẋ 0 (0) = 1. Denamos W = {x X : x 0, x x 0 (0) = 0} = x 0 + Z. Sabemos que existe uma única solução z η para ż + Az f x (x 0 (t), 0)z = f(x 0 (t) + z, η) f(x 0 (t), 0) f x (x 0 (t), 0)z (5.2.4) com f(x 0 (t) + z, η) f(x 0 (t), 0) f x (x 0 (t), 0)z X B(η + k( z ) z para z e η sucientemente pequenos, em que k(ρ) ρ 0+ 0 e t f x (t, x 0 (t)) L(X) é uniformemente contínua. Denamos x η = x 0 + z η e é fácil ver que x η é solução de ẋ + Ax = f(x, η). Vamos denotar por x(t, x 1, η) a solução de ẋ+ax = f(x, η) tal que x η (0) = x 1, denida em [0, 2p], se x 1 W e x 1 x 0 (0) + η for sucientemente pequeno. Pelo Teorema da Função Implícita, existe um único instante de tempo τ(x 1, η) numa vizinhança de 0 tal que já que g(τ, x 1, η) := x 0, x(p + τ, x 1, η) x 0 (0) = 0, g(0, x 0 (0), 0) = x 0, x(p, x 0 (0), 0) x 0 (0) = 0 g τ (0, x 0(0), 0) = x 0, ẋ 0 (0) = 1. Denamos, então, G(x 1, η) W por G(x 1, η) = x(τ(x 1, η) + p, x 1, η), É fácil ver que, como τ(x 0 (0), 0) = 0, então G(x 0 (0), 0) = x 0 (p) = x 0 (0) e que G x (x 0 (0), 0)z = ẋ 0 (0)τ x (x 0 (0), 0)z + T (p, 0)z, com z Z 1. Assim, como G x Z 1, temos que

125 5.2 Permanência e continuidade de soluções periódicas = x 0, G x (x 0 (0), 0), z = τ x (x 0 (0), 0)z + x 0, T (p, 0)z e, consequentemente, τ x (x 0 (0), 0)z = 0. Sendo 1 um autovalor simples, 1 / σ(t (p, 0) Z1 ) e G x (x 0 (0), 0) I tem inversa limitada em Z 1. Pelo Teorema da Função Implícita, existe um único x 1 (η) W. Assim, se η for sucientemente pequeno, existe um único ponto xo x 1 = G(x 1, η) W, o que signica que existe uma solução periódica com período p + τ(x 1, η). Por essa construção, é fácil ver que G : Z 1 Z 1 é hiperbólico e se {z n } n Z for uma solução global limitada de {G n : n 1}, ou seja, G(z n z n+1 ) para todo n Z, então z n = 0 para todo n Z. Logo, a órbita periódica obtida é isolada. Corolário Fixemos N N. Assumindo as hipóteses do Teorema 5.2.8, que p é o menor período de x 0 e que σ(u(t))\{1} não contém nenhum raiz n-ésima da unidade para 1 n N, então a solução periódica x 1 construída no Teorema é a única solução periódica próxima de {x 0 (t) : t [0, p]} com período menor do que (N + 1 )p, para 2 η sucientemente pequeno. Teorema Vamos assumir as hipóteses do Teorema e supor que x 0 : R X seja normalmente hiperbólica. Então, a órbita periódica x η : R X obtida no Teorema para ẋ + Ax = f(x, η) (5.2.5) é normalmente hiperbólica. Além disso, existe uma vizinhança U de {x 0 (t) : t [0, p]} em X e η 0 > 0 tais que, se η (0, η 0 ), a única solução global de (5.2.5) que permanece em U para todo t R é x η. Demonstração. Para uma órbita periódica ser normalmente hiperbólica, 1 deve ser autovalor simples da aplicação de Poincaré e o resto do espectro da aplicação de Poincaré deve estar fora do círculo unitário.

126 112 Permanência e Continuidade de Elementos Críticos Sejam T (p, 0) e T η (p η, 0) as aplicações de Poincaré para o sistema linearizado em torno de x 0 e para os sistemas linearizados em torno de x η, respectivamente. Então temos T (p, 0) = e Ap + p 0 ea(p s) f x (x 0 (s))t (s, 0)ds T η (p η, 0) = e Apη + p η 0 e A(pη s) f x (x η (s))t η (s, 0)ds. Sejam r η = min{p, p η }, q η = max{p, p η } e s < r η. Se η > 0 for sucientemente pequeno, temos e Apη e Ap L(X) η 0 0 e e A(pη s) e A(p s) L(X) = (e A(qη rη) I)e A(rη s) L(X) (e A(qη rη) I) L(X) e A(rη s) L(X) η 0 0. Como f x é uniformemente contínua, temos que f x (x η (s) f x (x 0 (s)) L(X,X) η 0 0 e, consequentemente, T (p, 0) T η (p η, 0) L(X) η 0 0. Vamos escrever σ(t (p, 0)) = σ S {1} σ U, com σ S = σ(t (p, 0)) {λ C : λ < 1} e σ U = σ(t (p, 0)) {λ C : λ > 1}. Sejam, agora, γ S e γ U curvas fechadas simples em torno dos conjuntos σ S e σ U, respectivamente, sem interceptar {λ C : λ = 1} e γ {1} uma curva em torno de 1, sem tocar em σ S e σ U. Dados η sucientemente pequeno, temos que γ i ρ(t η (p η, 0)), i = S, {1}, U, e todo o espectro de T η (p η, 0) está contido no interior dessas curvas. Denamos as projeções

127 5.2 Permanência e continuidade de soluções periódicas 113 P η S = 1 (λ T η (p η, 0)) 1 dλ, 2πi γ S P η {1} = 1 (λ T η (p η, 0)) 1 dλ e 2πi γ {1} P η U = 1 (λ T η (p η, 0)) 1 dλ. 2πi γ U Como essas projeções se comportam de forma contínua com relação a η e, pelo Teorema 5.2.8, 1 é autovalor simples de T η (p η, 0). Consequentemente, x η é uma órbita periódica normalmente hiperbólica. A existência dessas curvas dividindo o espectro garantem a existência das variedades estável e instável para (5.2.4). Isso implica que a órbita periódica é isolada.

128 114 Permanência e Continuidade de Elementos Críticos

129 Capítulo Semigrupos Morse-Smale 6 Neste capítulo, estudamos os semigrupos Morse-Smale. Mostramos algumas propriedades destes semigrupo e, em particular, que estes semigrupos são dinamicamente gradientes. O objetivo deste capítulo é provarmos que pequenas perturbações nos semigrupos Morse-Smale mantém a estrutura do diagrama de fases. para isso, vamos mostrar que existe um isomorsmo entre os conjuntos isolados invariantes de um semigrupo Morse- Smale e dos semigrupos sob pequenas perturbações. 6.1 Noções básicas Denição Seja {T (t) : t 0} um semigrupo com atrator global A. Denimos o conjunto não-errante Ω de {T (t) : t 0} como o conjunto dos pontos x A tais que, dados t 0 0 e uma vizinhança V x de x em X, existe t t 0 tal que (T (t)v x ) V x. Denição Seja {T (t) : t 0} um semigrupo com atrator global A. Dizemos que {T (t) : t 0} é um semigrupo Morse-Smale se ele satiszer: (i) {T (t) : t 0} é reversível, ou seja, T (t) A é injetivo, T (t) é diferenciável em A e D x T (t)(z) : X X é um operador linear limitado injetivo para todo t 0 e z A. (ii) Existem um número nito de pontos de equilíbrio hiperbólicos z 1,..., z n e um número nito de órbitas periódicas normalmente hiperbólicas ξ 1,..., ξ m : R X de {T (t) : t 0} tais que

130 116 Semigrupos Morse-Smale Ω = {{z 1 },..., {z n }, ξ 1 (R),..., ξ m (R)}. (iii) Se Ξ Ω, então dim Wloc u ({Ξ}) <. (iv) Se Ξ, ˆΞ Ω, então W u (Ξ) e W s loc (ˆΞ) se interceptam transversalmente, ou seja, se z W u (Ξ) W s loc (ˆΞ), então T z W u (Ξ) + T z W s loc (ˆΞ) = X (T z W u (Ξ) e T z W s loc (ˆΞ) são os espaços tangente de W u (Ξ) e W s loc (ˆΞ) em X, respectivamente, no ponto z). Observação Se W u (Ξ) e W s loc (ˆΞ) não se interceptam, então a condição (iv) é trivialmente satisfeita. Lema Seja {T (t) : t 0} um semigrupo com atrator global A e conjunto nãoerrante Ω. Então Ω é compacto, T (t)ω Ω para todo t 0 e ω(x) e α φ (x) são subconjuntos de Ω, para todo x A. Demonstração. Seja {z n } n N Ω tal que z n z A quando n e seja V z uma vizinhança de z em X. Então existe n 0 R tal que V z é uma vizinhança de V n0 e, como z n0 Ω, dado t 0 0, existe t t 0 tal que V (t)v z V z, mostrando que z Ω. Assim Ω é fechado e, consequentemente, compacto. Sejam z Ω, t, t 0 0 e V uma vizinhança de T (t)z. Pela continuidade de T (t), existe uma vizinhança U de z tal que T (t)u = V. Como z Ω, existe s t 0 tal que T (s)u U. Logo, T (s)v V = T (t + s)u T (t)u. Por m, sejam z ω(x) A, para algum x X, t 0 0 e V uma vizinhança de z em X. Seja {t n } n N [0, ) tal que t n n e z = lim n T (t n )x. Logo, existe n 0 N tal que T (t n )x V, para todo n n 0. Tomemos n 1 n 0 tal que t := t n1 t n0 t 0. Assim, T (t n1 )x V e T (t n1 )x = T (t)t (t n0 )x T (t)v, mostrando que T (t)v V e, consequentemente, z Ω. O caso α φ (x) é análogo. Corolário Se forem válidas as hipóteses do teorema anterior e o semigrupo {T (t) : t 0} for reversível, então Ω é invariante.

131 6.1 Noções básicas 117 Demonstração. Seja z Ω. Como T (s) A é injetivo e A é invariante, existe um único x A tal que T (s)x = z. Sejam t 0 0 e V uma vizinhança de x em X. Então T (s)v é uma vizinhança de z e, assim, existe t t 0 tal que T (t)t (s)v T (s)v. Logo, T (t)v V e x Ω, concluindo a demonstração. Proposição Seja {T (t) : t 0} um semigrupo Morse-Smale com a coleção de conjuntos invariantes isolados disjuntos Ξ = {{z 1 },..., {z n }, ξ 1 (R),..., ξ m (R)} e sejam Ξ, ˆΞ Ξ. Se W u (Ξ) W s loc (ˆΞ), então dim W u (Ξ) dim W u (ˆΞ). Demonstração. Seja z W u (Ξ) W s loc (ˆΞ). Então T z W u (Ξ) + T z W s loc (ˆξ) = X. Por outro lado, se ẑ ˆΞ, então TẑW u loc (Ξ) T ẑw c loc (ˆΞ) TẑW s loc (ˆΞ) = X. Assim, dim W u (Ξ) = dim T z W u (Ξ) dim TẑW u (ˆΞ)+dim TẑW c (ˆΞ) dim TẑW u (ˆΞ) = dim W u (ˆΞ). Proposição Seja {T (t) : t 0} um semigrupo Morse-Smale com a coleção de conjuntos invariantes isolados disjuntos Ξ = {{z 1 },..., {z n }, ξ 1 (R),..., ξ m (R)} e sejam Ξ, ˆΞ Ξ. Se W u (Ξ) W s loc (ˆΞ), então existe uma subvariedade D 0 W u (Ξ) tal que D 0 W s loc (ˆΞ) = {x 0 } e T x 0D 0 T x0 W s loc = X. Demonstração. Seja x 0 W u (Ξ) W s loc (ˆΞ). Existe uma vizinhança V de x 0 em W u (Ξ), uma vizinhança W de 0 em T x 0W u (Ξ) e uma aplicação C 1 aberta ψ : W V. Como dim W = dim W u (Ξ) dim W u (ˆΞ), existe um subespaço vetorial F de T x 0W u (Ξ) tal que F T x 0W s loc (ˆΞ) = X. A demonstração está completa se tomarmos D 0 = ψ(f ). Na próxima proposição, usamos que a transversalidade é uma propriedade aberta. Mais detalhes sobre este assunto podem ser encontrados em [3], em especial, no Teorema Proposição Seja {T (t) : t 0} um semigrupo Morse-Smale com a coleção disjunta de conjuntos invariantes isolados Ξ = {{z 1 },..., {z n }, ξ 1 (R),..., ξ m (R)} e se-

132 118 Semigrupos Morse-Smale jam Ξ 1, Ξ 2, Ξ 3 Ξ. Se W u (Ξ 1 ) W s loc ( ˆΞ 2 ) e W u (Ξ 2 ) W s loc ( ˆΞ 3 ), então W u (Ξ 1 ) W s loc ( ˆΞ 3 ). Demonstração. Sejam x 12 o ponto de intersecção transversal entre W u (Ξ 1 ) e W s loc (Ξ 2) e x 23 o ponto de intersecção transversal entre W u (Ξ 2 ) e W s loc (Ξ 3). Pela proposição 6.1.7, existe uma subvariedade D 0 de X tal que D 0 W u (Ξ 1 ), D 0 W s loc (Ξ 2) = {x 12 }, T x12 D 0 T x12 W s loc (Ξ 2) = X. Seja n 0 N tal que x 23 T n 0 (W u loc (Ξ 2)). Pelo λ-lema, existe uma vizinhança D 0 ρ de x 12 em D 0 e conjuntos R n T n (D 0 ρ) W u (Ξ 1 ) tais que R n T n 0 (W u loc(ξ 2 )) quando n. Sendo a transversalidade uma propriedade aberta, existe um ponto x 13 W u (Ξ 1 ) W s loc (Ξ 3) de interseção transversal. Teorema Seja {T (t) : t 0} um semigrupo Morse-Smale com atrator global A e conjunto não-errante Ω = {{z 1 },..., {z n }, ξ 1 (R),..., ξ m (R)}. Então {T (t) : t 0} é um semigrupo dinamicamente gradiente e Ω é o conjunto de famílias invariantes disjuntas isoladas. Demonstração. Provemos (G1). Seja ξ : R A uma solução global fora de Ω e seja x = ξ(0). Sabemos que ω(x) Ω. Tomemos x 1 ω(x) e uma sequência {t n } n N [0, ) tais que t n n e ξ(t n ) n x 1. Se x 1 for um ponto de uma órbita periódica, vamos utilizar x 1 para representar toda a órbita periódica, e não apenas um ponto. Suponhamos que ξ(t) não convirja para x 1 quando t. Então existem ɛ 0 > 0 e uma sequência {τ n } n N, com τ n > t n, de forma que d(ξ(τ n ), x 1 ) ɛ 0, para todo n 0. Como A é compacto, podemos assumir que ξ(τ n ) n x 2 ω(x)\{x 1 }. Seja δ > 0 de forma que O δ (y) O δ (z) =, para todo y z Ω. Podemos, então, construir uma sequência {s n } n N, com t n < s n < τ n e ξ(s n ) / O δ (x 1 ) O δ (x 2 ). Pela compacidade de A, podemos assumir que ξ(s n ) n x 3 ω(x)\{x 1, x 2 }. Podemos repetir este processo e obter uma sequência innita de pontos de equilíbrio em Ω, ou seja, um absurdo.

133 6.1 Noções básicas 119 Logo, ξ(t) x 1 quando t. Mostramos, de forma análoga, o resultado para α ξ (x) e t, concluindo a demonstração de (G1). Provemos, agora, (G2). Suponhamos que exista uma estrutura homoclínica em Ω. Usando a Proposição 6.1.8, podemos assumir que existe x Ω e uma solução global ξ : R X tal que ξ(t 0 ) / Ω para algum t 0 R e x t ξ(t) t x. Seja x 0 = ξ(t 0 ) e podemos assumir que x 0 W s loc (x). Seja D0 uma vizinhança de x 0 transversal a W s loc (x) em x0. Pelo λ-lema, existe uma vizinhança D 0 ρ de x 0 em D 0 e conjuntos S n T n (D 0 ρ) tais que S n T n 0 (W u loc (x)) quando n, para qualquer n 0 N. Em particular, tomando n 0 tal que x 0 T n 0 (W loc (x)), então x 0 Ω, contradizendo nossa hipótese inicial. Logo, provamos (G2) e a demonstração está completa. Teorema Seja {T (t) : t 0} um semigrupo gradiente reversível associado à coleção disjunta de conjuntos invariantes isolados dada por Ξ = {{z 1 },..., {z n }, ξ 1 (R),..., ξ m (R)}, onde cada z i é um ponto de equilíbrio hiperbólico e ξ j : R X é uma órbita periódica normalmente hiperbólica, 1 i n e 1 j m. Além disso, vamos supor que se Ξ Ξ, então dim W u loc (Ξ) < e, se Ξ, ˆΞ Ξ, então W u (Ξ) e W s loc (ˆΞ) se interceptam transversalmente. Sob essas condições, {T (t) : t 0} é um semigrupo Morse-Smale e seu conjunto não-errante Ω é Ξ. Demonstração. Falta apenas provarmos que Ω = Ξ. Como Ξ possui apenas pontos de equilíbrios e órbitas periódicas, é fácil ver que Ξ Ω. Suponhamos que existe x Ω\Ξ e seja ξ 1 : R X uma solução global por x. Então existem x 1 e x 2 em Ξ, com x 1 x 2, tais que x 1 t ξ 1 (t) t x 2. Seja δ 0 = d(x,x 2) 2 > 0. Dado ɛ > 0, pela continuidade do semigrupo, existem τ 2 > τ 1 > 0 e uma vizinhança V x de x tais que T (τ 1 )V x O ɛ (x 2 ) e T (τ 2 )V x V x. Assim, existem

134 120 Semigrupos Morse-Smale sequências {y n } n N em X e {t n } n N em R + tais que y n O 1/n (x 2 ) e T (t n )y n / O δ0 (x 2 ). Isso garante a existência de uma solução global ξ 2 : R X tal que x 2 t ξ 2 (t) t x 3, para algum x 3 em Ξ e, por (G2), x 3 x 1 e x 3 x 2. Podemos repetir esse processo e obter uma contradição com o fato de Ξ possuir apenas um número nito de invariantes isolados. Assim, Ξ Ω e o teorema está provado. Através destes dois teoremas, obtemos o seguinte resultado: Corolário Seja {T (t) : t 0} um semigrupo reversível associado a um números nitos n de pontos de equilíbrio e m de órbitas periódicas. Seja Ω = {{z 1 },..., {z n }, ξ 1 (R),..., ξ m (R)}, onde cada z i é um ponto de equilíbrio hiperbólico e ξ j : R X é uma órbita periódica normalmente hiperbólica, 1 i n e 1 j m. Vamos supor que se x Ω, então dim Wloc u (x) < e, se x, y Ω, então W u (x) e Wloc s (y) se interceptam transversalmente. Então {T (t) : t 0} é um semigrupo Morse-Smale se, e somente se, ele for um semigrupo dinamicamente gradiente com respeito a Ω. 6.2 Estabilidade estrutural de semigrupos Morse-Smale Denição Sejam {T (t) : t 0} e {S(t) : t 0} dois semigrupos dinamicamente gradientes. Dizemos que existe um isomorsmo de diagramas de fase entre os atratores de {T (t) : t 0} e {S(t) : t 0} se as seguintes condições forem satisfeitas: (i) Se Ξ T = {{z 1 },..., {z n }, ξ 1 (R),..., ξ m (R)} e Ξ S = {{ẑ 1 },..., {ẑˆn }, ˆξ 1 (R),..., ˆξ ˆm (R)} forem as coleções disjuntas de conjuntos invariantes isolados para {T (t) : t 0} e {S(t) : t 0}, respectivamente, então n = ˆn e m = ˆm. (ii) Existe uma bijeção D : Ξ T Ξ S de forma que exista uma solução global ξ : R X de {T (t) : t 0} satisfazendo lim t d(ξ(t), Ξ i) = 0 e lim t d(ξ(t), Ξ j ) = 0

135 6.2 Estabilidade estrutural de semigrupos Morse-Smale 121 se, e somente se, existir uma solução global ψ : R X de {S(t) : t 0} tal que lim d(ψ(t), D(Ξ i)) = 0 e lim d(ψ(t), D(Ξ j )) = 0. t t Lema Vamos supor as mesmas condições do Teorema 3.5.5, ou seja, {T η (t) : t 0} η [0,]1 é uma família de semigrupos contínua e coletivamente assintoticamente compacta em η = 0 que satisfaz (a) {T η (t) : t 0} tem atrator global A η para cada η [0, 1] e η [0,1] A η é limitado; (b) para cada η [0, 1], A η contém uma coleção de conjuntos invariantes isolados Ξ η = {Ξ 1,η,..., Ξ n,η } tal que lim η 0 d H (Ξ i,η, Ξ i,0 ) = 0 para todo 1 i n; (c) existem δ > 0 e η 0 (0, 1] tal que Ξ i,η é o conjunto invariante maximal em O δ (Ξ i,η ), 1 i n e 0 η η 0 ; (d) {T 0 (t) : t 0} é um semigrupo dinamicamente gradiente com atrator global A 0 e coleção de conjuntos invariantes isolados Ξ 0 = {Ξ 1,0,..., Ξ n,0 }. Além disso, vamos supor que η k 0 e ξ k : R X é uma solução global de {T ηk (t) : t 0} tal que lim d(ξ k(t), Ξ i,ηk ) = 0 e lim d(ξ k (t), Ξ j,ηk ) = 0. t t Então existe uma sequência de soluções globais ξ l : R X de {T 0 (t) : t 0}, com 1 l m 1 (m n), e conjuntos invariantes isolados {Ξ nl } 1 l m Ξ 0 tais que Ξ n1 = Ξ 1,0, = Ξ nm = Ξ j,0 e Ξ nl t ξ l (t) t Ξ nl+1, para 1 l m 1. Demonstração. Seja 0 < δ < 1 2 min{d(ξ i,0, Ξ j,0 ) : i < j}. Como lim t d(ξ k (t), Ξ i,ηk ) = 0 e d H (Ξ i,η, Ξ i,0 ) η 0 0, podemos considerar uma subsequência de {ξ k } e assumir que ξ k (t) k ξ 1 (t) uniformemente em compactos de R, para alguma solução global ξ 1 de {T 0 (t) : t 0} tal que ξ 1 (t) t Ξ n1 := Ξ i,0.

136 122 Semigrupos Morse-Smale Ξ n2. Por (G1), existe um conjunto invariante isolado Ξ n2 Ξ 0, Ξ n1 Ξ n2 tal que ξ 1 (t) t Se Ξ n2 = Ξ j,0, a demonstração está concluída. Caso contrário, existem {k l } l N e t l > t l de forma que d(ξ kl (t l ), Ξ n2 ) < δ l, d(ξ k l (t), Ξ n2 ) < δ para todo t [t l, t l ) e d(ξ k l (t l ), Ξ n 2 ) = δ. Temos que t l t l quando l, pois, caso contrário, poderíamos assumir que t l t l τ e ξ kl (t l ) x Ξ n2, implicando que lim l ξ kl (t l ) = T 0(τ)x Ξ n2, o que contradiz nossa hipóteses. Tomando uma subsequência, podemos assumir que existe ξ 2 (t) = lim l ξ kl (t + t l ). Como t l t l, temos que d(ξ 2 (t), Ξ n2 ) δ para todo t 0 e, consequentemente, ξ 2 (t) t Ξ n2. Além disso, existe Ξ n3 Ξ 0 \(Ξ n1, Ξ n2 ) tal que ξ 2 (t) t Ξ n3. Podemos repetir esse argumento e, sendo Ξ 0 nito, obtemos a sequência desejada. Teorema Seja {T η (t) : t 0} η [0,1] uma família de semigrupos contínua em η = 0, satisfazendo (i) {T η (t) : t 0} tem atrator global A η para cada η [0, 1], η (0,1] A η é compacto e {T η (t) : t 0} é reversível para todo η [0, 1]; (ii) Ξ η = {{z 1,η },..., {z n,η }, ξ 1,η (R),..., ξ m,η (R)} é uma coleção de conjuntos invariantes isolados para {T η (t) : t 0} para cada η [0, 1] e para 1 j n e 1 i m; lim d(z j,η, z j,0 ) = 0 e lim d H (ξ i,η (R), ξ i,0 (R)) = 0, η 0 η 0 (iii) existe δ > 0 e η 0 (0, 1] tais que, se 0 η η 0 e Ξ η Ξ η, então Ξ η é o conjunto invariante maximal em O δ (Ξ η ); (iv) para cada conjunto compacto J R +, nós temos η 0 sup D x T η (t)(z) D x T 0 (t)(z) L(X) 0, t J uniformemente para z em uma vizinhança de η (0,1] A η.

137 6.2 Estabilidade estrutural de semigrupos Morse-Smale 123 (v) {T 0 (t) : t 0} é um semigrupo Morse-Smale dinamicamente gradiente em X com atrator global A 0. Então existe η 0 > 0 tal que, se η (0, η 0 ), então {T η (t) : t 0} é um semigrupo Morse-Smale dinamicamente gradiente e existe um isomorsmo de diagrama de fase entre os atratores de {T η (t) : t 0} e {T 0 (t) : t 0}. Demonstração. Pelo Teorema 3.5.5, sabemos que existe η 0 > 0 tal que, se η (0, η 0 ), então o semigrupo {T η (t) : t 0} é dinamicamente gradiente com respeito à coleção de conjuntos invariantes isolados Ξ η e, se η 0 for sucientemente pequeno, cada solução global em Ξ η será um ponto de equilíbrio hiperbólico ou uma órbita normalmente hiperbólica. Vamos denir D : Ξ 0 Ξ η por D(Ξ i,0 ) = Ξ i,η, para cada i = 1,..., n. Dessa forma, D será uma bijeção e nós podemos assumir que, sendo a transversalidade uma propriedade aberta, que η 0 é sucientemente pequeno para que, se W u (Ξ i,0 ) W s loc (Ξ j,0), então W u (Ξ i,η) W s loc (Ξ j,η) e existe um ponto de interseção transversal. Isso mostra que, se existir uma conexão entre Ξ i,0 e Ξ j,0, então existe uma conexão entre Ξ i,η e Ξ j,η. Para a recíproca, tomemos uma sequência η k 0 e uma sequência de soluções globais ξ k : R X de {T η (t) : t 0} tais que lim d(ξ k(t), Ξ i,ηk ) = 0 e lim d(ξ k (t), Ξ j,ηk ) = 0. t t Pelo Lema 6.2.2, existem uma coleção de soluções globais ψ l : R X de {T 0 (t) : t 0}, l = 1,..., m 1, com m n, e uma coleção de conjuntos invariantes isolados Ξ nl,0 em Ξ 0 tais que Ξ n1,0 = Ξ i,0, Ξ nm,0 = Ξ j,0 e Ξ nl,0 t ψ l (t) t Ξ nl+1,0, para todo l = 1,..., m 1. Pela Proposição 6.1.8, existe uma solução global ψ : R X de {T 0 (t) : t 0} tal que

138 124 Semigrupos Morse-Smale Ξ i,0 t ψ(t) t Ξ j,0, concluindo a demonstração. 6.3 Exemplo Mostraremos, através de um exemplo, que a transversalidade é essencial para garantirmos a estabilidade estrutural. Notemos, na primeira gura, que a variedade instável W u (e 2 ) de e 2 e a variedade estável local Wloc s (e 3) de e 3 não se interceptam transversalmente. Após uma pequena perturbação autônoma, vemos na segunda gura que a conexão entre e 2 e e 3 foi perdida e que, consequentemente, não existe um isomorsmo de diagramas de fase entre os atratores do sistema original e o do sistema perturbado. Figura 6.1: Atrator global sem transversalidade. Figura 6.2: Atrator global do sistema perturbado.