Sistemas de Alarme Óptimos para Processos de Contagem

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1 Sistemas de Alarme Óptimos para Processos de Contagem Magda Monteiro Isabel Pereira Manuel Scotto UIMA-UA SPE-Covilhã 1

2 Introdução Em muitos fenómenos descritos por processos é fundamental a implementação de um sistema de alarme Pretende-se saber se para algum t o processo X t > L c e emite um alarme sempre que esse cruzamento é predito. Alarme simples baseado na esperança condicional em que o alarme é dado sempre que o preditor ultrapassa um valor previamente fixado longe da optimalidade 2

3 Introdução Lindgren e de Maré estabeleceram os princípios para os sistemas de alarme óptimos e resultados básicos para cruzamentos de nível Antunes et al. sugeriram uma abordagem bayesiana para modelos AR(p) Neste trabalho aplica-se a metodologia clássica e bayesiana na obtenção de sistemas de alarme óptimos para processos de contagem INAR(1) 3

4 Sistemas de alarme óptimos Seja X t um processo de contagem. A sequência {1, 2, t-1, t, t+1, } dividida em três secções {1,,t-q} passado; Dt { X1,..., X } = t q Dados Definições {t-q+1,,t} presente; X 2 = { Xt q+ 1,..., Xt} Exp. presente {t+1, } futuro; X 3 = { } X t + Exp. futura 1,... Catástrofe qualquer evento C t,j gerada por X 3 Exemplo: C = X u < X { + + } t, j t j 1 t j de interesse definido na σ-álgebra Região de Alarme qualquer acontecimento A t,j pertencente a σ X2 predictor de C t,j 4

5 Sistemas de alarme óptimos Definições A região de alarme A t,j tem dimensão α j e probabilidade de detecção γ j se = P( A D ) e γ = P( C A, D ) α j t, j t j t, j t, j A região de alarme A t,j é óptima de dimensão α j se t com PBD ( )= α t PC ( A, D) = sup PC ( BD, ) (1) j t, j t, j t t, j t B σ X2 Um sistema de alarme óptimo de dimensão α j é uma família de regiões de alarme A t,j que satisfaz (1) 5

6 Sistemas de alarme óptimos Lema Sejam p( x2 Dt ) e p( x2 Ct, j, Dt) as probabilidades preditivas de X 2 e X 2 C t,j respectivamente. O sistema de alarme definido por Px ( 2 C,, ) t jd q t At, j= x2 IN : kt, j (2) Px ( 2 D) t onde k : α = P( A D ), é óptimo de dimensão α j t, j j t, j t Antunes, M. et al (23) Características Operacionais 1. P( C A, D ): Prob. de detectar a catástrofe t, j t, j t 2. P( A C, D ): Prob. de alarme correcto t, j t, j t 3. P( A C, D ): Prob. de falso alarme t, j t, j t 4. P( C A, D ) : Prob. de não detectar a catástrofe t, j t, j t 6

7 Sistemas de alarme óptimos para Processos INAR(1) Modelo Seja X t um processo de contagem INAR(1) definido por Xt = αt o Xt 1 + Zt, t = 1,2,... e t Com Z t ~P(λ), Z t e X t-1 independentes, α t =, onde Y t é uma 1 + ωy e t covariável de interesse ωy X α o X = Ui, Ui ~ B(1, α) i= 1 7

8 Sistemas de alarme óptimos para Processos INAR(1) - Abordagem Clássica Distribuição de X n+h condicional a h 1 Mostra-se que Xn+ h = βn+ h, h Xn + βn+ h, j Zn+ h j,onde j= x= x1 x n ~ (,..., ) β k 1 αn m, k 1 = 1, k = nk, m= min(, ), 1 x x n+ h j h i xn i j= n n+ h x (,, ) exp n n+ h λα = λ βn+ h, j i ( βn+ h, h) ( 1 βn+ h, h) P x x C % j= i= λ h 1 β ( x i)! n+ h xn+ h i (3) 8

9 Sistemas de alarme óptimos para Processos INAR(1) - Abordagem Bayesiana Distribuição a priori dos parâmetros: λ Ga(c,d) e ω N(μ,τ --1 ), com c, d, τ >, 1 c 1 1 ( ) 2 h( ωλ, ) λ exp dλ τ ω μ, λ> (4) 1 2πτ 2 Verosimilhança condicional a x ( ) Distribuição a posteriori ( ω, λ ) = ( ω, λ ) (, ω, λ) n min( xt 1, xt) xt i λ λ x 1 1,, t i x (1 ) t i ωλ i αt α = t (5) t= 1 i= ( xt i)! f x x e C % h x h x f x x % % % n min( xt 1, xt) x t i h 2, x c exp d xt 1 x (1 ) t 1 i e λ λ i ωλ λ λ τ ω μ i t t t 1 i ( xt i)! C α α % πτ = = ( ) ( ) ( ) 9

10 Sistemas de alarme óptimos para Processos INAR(1) - Abordagem Bayesiana A distribuição preditiva X n+h dado x, h passos à frente é onde é dada por (3) e h é dada por (6) ~ ( ) (,, ) (, ) P xn+ h x P xn+ h x ω λ h ω λ x dωdλ % % % ( x, ω, λ ) P x n+ h % = Aproximação de Monte Carlo (MCMC com passo Metropolis) Como a distribuição preditiva bayesiana é dada por P xn+ h x = Eθ x P xn+ h θ, x m % % % ˆ 1 P( x x) = P( x x, ω, λ ) ( 7) n+ h n+ h i i % m i= 1 % ( ) ( ) 1

11 Sistemas de alarme óptimos para Processos INAR(1) Dois passos à frente Consideremos a catástrofe { } C = X u < X t,2 t+ 1 t+ 2 D t ={X 1, X 2,, X t-1 }; X 2 ={ X t }; X 3 ={ X t+1, X t+1, } Pelo Lema { } A = x IN : P( C x, D ) k P( C D ) ; onde k : P( C D ) = α t,2 t t,2 t t 2 t,2 t 2 t,2 t 2 Ou ainda { } A = x IN : P( C x, D ) k ; onde k= k P( C D ) t,2 t t,2 t t 2 t,2 t

12 Estudo de simulação Considerámos 2 simulações, de tamanho 199, do processo e Xt = αt o Xt 1 + Zt, t = 1,2,... α t = 1 + e Com Z t ~P(4), X =, ω=.2, Y t ~AR(1) de média 3 e φ=.6 ω Yt ω Yt Para cada simulação, t=2, u= Abordagem Clássica Est. Máx. Verosimilhança Verdadeiros parâmetros Abordagem Bayesiana Amostra de dimensão 1 da dist a posteriori dos parâmetros para diferentes valores de k calculámos as regiões de alarme características operacionais A escolha de k foi feita de modo a que PC ( 2,2 A2,2, D2) PA ( 2,2 C2,2, D2)

13 Características operacionais Exemplo K P(C) P(A) P(C A) P(A C) P A C P ( C A) P A C,4,498,688,59,815,29,681,41,498,688,59,815,29,681,42,498,688,59,815,29,681,43,498,688,59,815,29,681,44,498,515,64,664,35,57,45,498,515,64,664,35,57,46,498,515,64,664,35,57,47,498,515,64,664,35,57,48,498,515,64,664,35,57,49,498,515,64,664,35,57,5,498,515,64,664,35,57,51,498,515,64,664,35,57,52,498,515,64,664,35,57,53,498,348,7,487,39,34,54,498,348,7,487,39,34,55,498,348,7,487,39,34,56,498,347,7,486,39,34,57,498,347,7,486,39,34,58,498,347,7,486,39,34,59,498,347,7,486,39,34,6,498,347,7,486,39,34,61,498,347,7,486,39,34 K P(C) P(A) P(C A) P(A C) P ( C A),62,498,2,75,318,43,26,63,498,2,75,318,43,26,64,498,2,75,318,43,26,65,498,2,75,317,43,25,66,498,2,75,317,43,25,67,498,2,75,317,43,25,68,498,2,75,317,43,25,69,498,2,75,317,43,25,7,498,5,79,183,46,2,71,498,5,79,183,46,2,72,498,5,79,183,46,2,73,498,1,79,182,46,1,74,498,1,79,182,46,1,75,498,1,79,182,46,1,76,498,1,79,182,46,1,77,498,56,82,92,48,54,78,498,54,82,88,48,52,79,498,54,82,88,48,52,8,498,54,82,88,48,52,81,498,54,82,88,48,52,82,498,22,83,37,49,21,83,498,15,83,26,49,15

14 ,,1,8,6,4,2,,1,8,6,4,2,, M.L.Est Bayes Ap. True P.,1,1,8,8,6,6,4,4,2, M.L.Est,, Bayes Ap. True P.,1,1,8,8,6,6,4,4,2, ,,1,8,6,4,2 Valores de k para cada amostra simulada e para cada abordagem,,1,8,6,4,

15 , M.L.Est Bayes Ap.,1 True P.,8,6,4,2, ,1,8,6,4,

16 Regiões de Alarme A 2,2 1 1 Amostras 1-25 Amostras 26-5 Amostras Amostras 76-1 Amostras -5 Amostras Amostras Amostras

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18 Conclusões Verd. Param. C NC Regiões de alarme BAYES C NC C 51% 9% Est M.V. NC 4% C 28% NC 8% Em 6% das amostras existiu catástrofe Est. M.V.(%) Bayes(%) Verd(%) Alarmes.5.5 Alarmes correctos Catástrofes detectadas

19 Referências Al-Osh, M. A. and Alzaid, A. A. (1987). First-order integer-valued autoregressive (INAR(1)) process. J. Time Series Analysis, Vol. 8, Antunes, M., Amaral-Turkman, M.A. and Turkman, K. F. (23). A Bayesian approach to event prediction intervals. J. Time Series Analysis, Vol. 24, de Maré, J. (198). Optimal prediction of catastrophes with application to Gaussian process. Annals of Probability, Vol. 8, Freeland, K. R. (1998). Statistical Analysis of Discrete Time Series with Applications to the Analysis of Workers Compensation Claims Data. Ph.D. thesis, University of Columbia, Canada. Gomes D.(25). Processos Autoregressivos de coeficientes aleatórios na modelação de dados de contagem. Tese de Doutoramento,Universidade de Évora, Portugal Lindgren, G. (1975). Prediction of catastrophes and high level crossings. Bulletin of International Statistical Institute, Vol. 46, Silva,N. (25). Análise Baysiana de Séries Temporais de Valores Inteiros. Tese de Doutoramento, Universidade de Aveiro, Portugal. Svensson, A., Lindquist, R. and Lindgren, G. (1996). Optimal prediction of catastrophes in autoregressive moving average processes. J. Time Series Analysis, Vol. 17,