Propagação de distribuições pelo método de Monte Carlo

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1 Sumário Propagação de distribuições pelo método de Monte Carlo João Alves e Sousa Avaliação de incertezas pelo GUM Propagação de distribuições O método de Monte Carlo Aplicação a modelos de medição por comparação (fracções) Conclusões CIMi21 Metrology & Industry International Conference Porto, Março de 21 2 O GUM [ISO/IEC Guide 98-3:28 - Guide to the expression of uncertainty in measurement] considera Modelo de medição Expressão geral do tipo Y = f (X ) Vector de quantidades de entrada X: X 1,,X N Quantidade de saída Y O GUM baseia-se na teoria das probabilidades, com o objectivo de quantificar inexactidão A informação sobre X i provém de distribuições de probabilidades A informação sobre Y obtém-se determinando a sua distribuição de probabilidades Sabendo a forma do modelo e as distribuições dos X i a distribuição de Y fica univocamente determinada 3 4 X 1 X 2 X 3 Distribuições das quantidades de entrada X i Modelo matemático Y = f(x 1,, X N ) Y Distribuição da measuranda Y Avaliação de incertezas pelo GUM O GUM fornece uma abordagem simplificada, chamada GUM uncertainty framework (GUF) Usa uma linearização de f (X ) em relação às melhores estimativas dos X i Ao invés de trabalhar com as próprias distribuições, usa parâmetros que representam as distribuições Expectativas (médias) e desvios padrão Covariâncias (para distribuições conjuntas) Graus de liberdade (quando aplicável) 5 6

2 Avaliação de incertezas pelo GUM Avaliação de incertezas pelo GUM Propagação de estimativas e incertezas padrão (e covariâncias eventualmente) através do modelo linearizado Utilização de uma distribuição Gaussiana para caracterizar Y Utilização de uma distribuição t-student quando o número de graus de liberdade é finito Construção de um intervalo de confiança para Y referente a uma dada probabilidade p x 1 x 2 x 3 u 2 (x 1 ) u 2 (x 2 ) Y = f (X 1,, X N ) Y y c i (X x i ) y = f(x) Lei da Propagação de Incertezas (LPI) u 2 (y) = c i2 u 2 (x i ) u 2 (x 3 ) 7 8 Distribuições das quantidades de entrada X i g(ξ) Distribuição da measuranda Y Distribuição da mensuranda para modelo Y = X 1 + X 2 ξ 1 a a ξ g(ξ) 95 % Y = X 1 + X 2 η ξ 2 x U x x+u ξ 9 1 As condições de utilização do GUM devem ser verificadas para cada caso Quando a utilização do GUM não é apropriada deve ser adoptado um método alternativo válido Abordagem alternativa pelo MC vem expressa em [ISO/IEC Guide 98-3:28/Suppl 1 Propagation of distributions using a Monte Carlo method] Fundamental usar as próprias distribuições e o modelo, em vez de linearização e parâmetros de síntese das distribuições Determinação da distribuição de Y sem constrangimentos é a essência desta abordagem Para aplicar a metodologia é necessário atribuir distribuições (PDF) às variáveis de entrada X i Esta atribuição baseia-se na informação de medição disponível, relacionada com os X i O princípio de máxima entropia é utilizado para esse fim 11 12

3 Atribuição de PDFs aos X i Informação disponível Limites inferior e superior Soma de duas quantidades com distribuições rectangulares de igual largura Estimativa e incerteza padrão associada Estimativa, incerteza expandida, factor de expansão, graus de liberdade PDF atribuído Rectangular Triangular Gaussiana t-student Implica a implementação de um método numérico da propagação de distribuições Utilizado para derivar a distribuição de Y A distribuição de Y usada para fornecer o intervalo de confiança para Y O método de Monte Carlo selecciona um número de simulações que determina o grau de exactidão numérica da aplicação A distribuição de Y é aproximada por uma representação discreta G Os parâmetros estatísticos são derivados de G Implementação implica Modelo f (X ) PDF g X (ξ) Número de simulações, M Grau de probabilidade, p Geração de sequências x 1,,x M de g X (ξ) Para obtermos M valores do modelo y s = f (x s ), s = 1,,M Representação G da distribuição de Y Estimativa y e incerteza padrão u (y ) Intervalo de confiança para Y Validação dos valores obtidos pelo GUM Comparação numérica dos resultados obtidos usando o GUM e o método MC Se os resultados forem concordantes a menos de uma exactidão numérica pré-estabelecida a abordagem do GUM fica validada δ = ½ 1 r onde r vem de u (y ) = a 1 r Validado se y U (y ) y low δ y U (y ) y high δ O uso de um número crescente de simulações pelo MC permite assegurar exactidão numérica do próprio método de MC Intervalo de confiança dos percentis y low e y high - não superior a ε = ½ 1 -d em que d é a exactidão requerida Propriedades do método de Monte Carlo A informação disponível é utilizada Modelos genéricos, mesmo se não lineares Exemplificação com modelos por comparação, envolvendo fracções Quaisquer PDFs (incluindo PDFs assimétricas) y e u (y ) mais fiáveis Intervalos de confiança mais fiáveis e fisicamente plausíveis em que as funções densidade de probabilidade (PDFs) são ambas rectangulares 17 18

4 As funções densidade de probabilidade definem-se pelas funções Exemplo 1 a = 5, b = 51, c = 5, d = a = 5, b = 51, c = 5, d = 51 y u(y) y low y high Cov Int % Exemplo 2 a =, b = 1, c = 1, d = a =, b = 1, c = 1, d = 2 y % u(y) % y low y high Cov Int % Exemplo 3 a = 4, b = 5, c = 1, d =

5 a = 4, b = 5, c = 1, d = 2 y % u(y) % y low y high Cov Int % Referências ISO/IEC Guide 98-3:28 - Guide to the expression of uncertainty in measurement ISO/IEC Guide 98-3:28/Suppl 1 Propagation of distributions using a Monte Carlo method M.G. Cox and P. M. Harris. SSfM Best Practice Guide No. 6, Uncertainty evaluation. Technical Report DEM-ES-11, National Physical Laboratory, Teddington, UK,