GRÁFICOS DE CONTROLE PARA O MONITORAMENTO DO VETOR DE MÉDIAS DE PROCESSOS BIVARIADOS AUTOCORRELACIONADOS

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1 XXXI ENCONRO NACIONAL DE ENGENHARIA DE PRODUCAO Belo Horizonte, MG, Brasil, 4 a 7 de outubro de 11. GRÁFICOS DE CONROLE PARA O MONIORAMENO DO VEOR DE MÉDIAS DE PROCESSOS BIVARIADOS AUOCORRELACIONADOS Daniel Salvatte de Oliveira (FEG/UNESP) danielsalvatte@hotmail.com Marcela Aparecida Guerreiro Machado (FEG/UNESP) marcelagmachado@yahoo.com.br A tendência natural no monitoramento de processos é a de controlar várias características de qualidade simultaneamente. Em geral, tem-se assumido a existência de correlação entre as várias características de qualidade de produtos fabricadoss, porém, os valores medidos de cada característica são tidos como independentes. Hoje em dia, devido à existência de processos altamente automatizados, raramente as observações são independentes. Freqüentemente, tais processos produzem dados autocorrelacionados. Neste trabalho estudam-se, por meio de simulações, as propriedades dos gráficos de controle utilizados no monitoramento do vetor de médias de processos bivariados autocorrelacionados. São eles: os gráficos simultâneos de X Barra univariados e o gráfico de ². O desempenho dos gráficos de X Barra em detectar uma alteração no processo é comparado com o do gráfico de ². Em geral, o gráfico de ² é mais eficiente do que os gráficos de X Barra. Estuda-se também uma estratégia, a da composição das amostras, para reduzir o efeito indesejável da autocorrelação. Palavras-chaves: Gráficos de controle, processos bivariados, autocorrelação

2 XXXI ENCONRO NACIONAL DE ENGENHARIA DE PRODUCAO Belo Horizonte, MG, Brasil, 4 a 7 de outubro de Introdução Os gráficos de controle surgiram em 194 quando Shewhart, então funcionário da Bell Laboratories, publicou relatório técnico visando divulgar os fundamentos de uma técnica estatística destinada ao monitoramento de processos. No início, como era de se esperar, poucos acreditaram no potencial desta nova técnica. Pouco a pouco, no entanto, os gráficos de controle ganharam a fama de serem ferramentas poderosas de monitoramento. Quando o gráfico de Shewhart está em uso, amostras de tamanho fixo são retiradas do processo em intervalos regulares. De acordo com os fundamentos estabelecidos por Shewhart, sempre que um ponto é plotado na região de ação do gráfico, o responsável pelo processo deve iniciar uma investigação, visando encontrar causas especiais que afetam a qualidade dos produtos, como por exemplo, um desgaste de ferramenta que altera a dimensão dos eixos que estão sendo manufaturados. Em geral, o desempenho dos gráficos de controle tem sido medido pelo número médio de amostras, NMA, que o gráfico de controle precisa para sinalizar uma alteração no processo (COSA; EPPRECH; CARPINEI, 5). O aumento da complexidade e dos níveis de automação dos processos industriais e a crescente disponibilidade de suporte computacional têm alimentado o interesse pelo monitoramento simultâneo de p características de qualidade. Não são poucos os artigos que tratam do monitoramento de processos multivariados, ver, por exemplo, Costa e Machado (9), Machado e Costa (8), Machado et al. (8). Antes de se utilizar um esquema de monitoramento multivariado deve-se investigar se os vetores de observações são independentes, assim como para o caso univariado. As observações de um processo multivariado são p-dimensional e as componentes são, em geral, autocorrelacionadas. Uma revisão recente da literatura mostra que são poucos, até o momento, os esquemas de monitoramento existentes para o caso multivariado quando as observações do processo são autocorrelacionadas. Para o caso univariado, uma abordagem que se tem revelado útil quando se lida com dados autocorrelacionados consiste em modelar diretamente a estrutura correlacional com um modelo apropriado de série temporal, ver, por exemplo, Costa e Claro (8). Neste trabalho, estudam-se, por meio de simulações, as propriedades dos gráficos de controle utilizados no monitoramento do vetor de médias de processos bivariados autocorrelacionados. São eles: os gráficos simultâneos de X e o gráfico de. O desempenho dos gráficos de X em detectar uma alteração no processo é comparado com o do gráfico de.. Gráficos de controle para o monitoramento do vetor de médias de processos bivariados.1 Gráficos de controle de de Hotteling Desde que foi criado, o gráfico de controle baseado na estatística para o monitoramento de processos multivariados passou a ser o dispositivo estatístico mais usual no monitoramento do vetor de médias de duas ou mais características de qualidade (HOELLING, 1947). O gráfico de controle é utilizado no monitoramento simultâneo de p variáveis de interesse. Quando o vetor das médias e a matriz de covariâncias, μ e Σ, de um processo

3 XXXI ENCONRO NACIONAL DE ENGENHARIA DE PRODUCAO Belo Horizonte, MG, Brasil, 4 a 7 de outubro de 11. p-variado distribuído normalmente são conhecidos, a estatística ésima amostra é dada por: i n 1 X i X i, de Hotelling para a i- (1) onde n é o tamanho da i-ésima amostra e X i é o vetor das médias amostrais dos p parâmetros para a amostra i. Quando o processo está sob controle, i segue uma distribuição de quiquadrado com p graus de liberdade. ' Para o caso bivariado, ou seja, quando p=, tem-se que μ ; ) e ( Σ, sendo o coeficiente de correlação entre X 1 e X. Neste caso, a 1 estatística de é dada por: n x1 x x x Quando o processo está sendo monitorado por um gráfico convencional do tipo ² (i.e., com parâmetros constantes), uma amostra de tamanho n é escolhida aleatoriamente a cada h horas. Então, os valores da variável ² obtidos das amostras são plotados em um gráfico com limite de controle dado por LC, (também conhecido como limite de ação). Um valor de ² além do limite de controle é uma indicação de que o processo necessita de ajustes. Quando o vetor de médias do processo está centrado no alvo ( ) dificilmente um valor de ² é superior ao LC; se isto acontecer tem-se um alarme falso, pois o gráfico indevidamente assinala um desajuste. em-se que LC, onde é a probabilidade de alarme falso (ou p, do erro do tipo I) e p é o número de variáveis sendo monitoradas.. Gráficos de X univariados Uma dificuldade encontrada ao se lidar com qualquer gráfico de controle multivariado é a interpretação prática de um sinal de fora de controle. Especificamente, não se sabe ao certo qual das p variáveis (ou qual subconjunto delas) é responsável pelo sinal. A prática padrão consiste em plotar gráficos X univariados para as variáveis X X X X p. Como um exemplo de como controlar diferentes variáveis com gráficos de X, considere duas características de qualidade, representadas pelas variáveis normalmente distribuídas X 1 e X. Primeiramente considere o caso em que as duas características são independentes e monitoradas separadamente por dois gráficos de X univariados com limites de controle de 3 desvios-padrão. Cada ponto amostral tem uma probabilidade do erro do tipo I igual a,7 (ou seja, =,7) de exceder os limites de controle de 3 desvios-padrão. A probabilidade de que as médias amostrais estejam dentro dos limites quando o processo está em controle é igual a (1-,7)(1-,7). Então a probabilidade do erro total do tipo I (denotada por ) para este caso é dada por =1-(1-,7)(1-,7)=1-,99467=,5393. No caso de p características de qualidade estatisticamente independentes a probabilidade do erro total do tipo I será dada por, 1 1 () p. (3) 1 (1 ) Caso se deseje manter controlada a probabilidade do erro do tipo I para um processo p- variado com variáveis aleatórias independentes, a equação (3) pode ser utilizada para calcular 3

4 XXXI ENCONRO NACIONAL DE ENGENHARIA DE PRODUCAO Belo Horizonte, MG, Brasil, 4 a 7 de outubro de 11. a probabilidade do erro do tipo I de cada gráfico. Conseqüentemente, obtém-se k, o coeficiente de abertura dos limites de controle de cada gráfico. Para o caso bivariado, os limites de controle são dados por 1 k 1 n para X 1 e k n para X. Se as variáveis são dependentes, que é o caso mais comum, a obtenção dos limites de controle de cada gráfico deixa de ser trivial, ver Montgomery (4) para detalhes. 3. Modelo do processo Neste artigo considera-se que as observações das características de qualidade a serem monitoradas são representadas por um modelo autoregressivo de primeira ordem, comum em aplicações, ver Atienza et al. (1998). Para o caso univariado, as observações X t para um processo autoregressivo de primeira ordem são dadas por (MOREIN & OLOI, 4 p.114): X X t t1 t, t=1,, 3,...,n (4) onde é a média do processo, é o coeficiente autoregressivo e t é o erro aleatório, i.i.d., t ~ N, ε. A variância do modelo AR(1) é expressa por (MOREIN & OLOI, 4 p ): X /( 1 ) (5) Neste trabalho estende-se o modelo AR(1) para o caso bivariado. Recorre-se à simulação para a obtenção dos valores de NMA dos gráficos de controle de X univariados em uso simultâneo (gráficos ) e do gráfico de para o monitoramento de processos bivariados autocorrelacionados. De acordo com a literatura consultada, ainda não se têm expressões matemáticas para a obtenção do NMA para os esquemas em estudo. Considera-se que os parâmetros do modelo autoregressivo são conhecidos, que as duas características de qualidade são independentes e que as autocorrelações entre as observações das duas características de qualidade são iguais e positivas. 4. Comparando os gráficos de controle para o monitoramento do vetor de médias de processos bivariados autocorrelacionados de Nesta seção compara-se o desempenho dos gráficos de X univariados com o do gráfico para o monitoramento de processos bivariados autocorrelacionados através do NMA. Quando o processo está em controle, qualquer sinal dado pelo gráfico é um alarme falso, portanto, neste caso, o NMA deve ser suficientemente grande para que a taxa de alarmes falsos seja pequena. Com o processo em controle, o NMA é dado pelo NMA. Quando existe um desajuste na média do processo o NMA deve ser pequeno, de forma que se possa detectálo rapidamente. O deslocamento da média pode ocorrer aleatoriamente a qualquer tempo no futuro, após o início da aplicação do gráfico de controle. Neste estudo, adota-se NMA =,. Assume-se que as variáveis originais têm uma distribuição normal bivariada com o vetor de médias e a matriz de covariâncias dados respectivamente por μ μ ; e 1 Σ. Após a ocorrência da causa especial, o 1 vetor de médias μ do processo se altera de μ, para μ 1 1 1;. 4

5 XXXI ENCONRO NACIONAL DE ENGENHARIA DE PRODUCAO Belo Horizonte, MG, Brasil, 4 a 7 de outubro de 11. As abelas 1 e apresentam os valores de NMA para os gráficos de X univariados (gráficos ) e para o gráfico de, considerando n = 4 e 5, respectivamente. Observa-se que, com a autocorrelação, os gráficos de X univariados e o gráfico de ficam mais lentos na sinalização de mudanças no processo (maior o valor do NMA). Por exemplo, da abela, para δ 1 =,75 e δ =, o NMA para os gráficos de X univariados é igual a 1,7 considerando o caso em que o processo é não autocorrelacionado, ou seja, Φ 1 = Φ =, e aumenta para 85,6 quando o processo é altamente autocorrelacionado, ou seja, Φ 1 = Φ =,7. O efeito de n na velocidade com que os gráficos de X e de sinalizam o desajuste do processo pode ser observado comparando os NMAs das abelas 1 e. Quando n aumenta, o poder de detecção do gráfico também aumenta. Por exemplo, quando Φ 1 = Φ =,5, δ 1 =,75 e δ =, o NMA para os gráficos de X diminui de 53,5 para 47,8 quando n aumenta de 4 para 5. Se é conhecida a informação de que apenas a média de uma das variáveis sofre alteração, o desempenho dos gráficos de X univariados e de é bastante similar. Se as médias das duas variáveis sofrem alterações, o gráfico de tem melhor desempenho para qualquer nível de autocorrelação. Os valores em negrito correspondem aos menores valores de NMA. Φ 1,,5,7 Φ,,5,7 k/lc 1,51 1,59 1,8 14,4,55,5 3,53 9,5 δ 1 δ,4,8, 199,9, 199,,1 199,3,5 119,4 114,9 136,7 13,6 164,4 158,9 176,5 177,5,5 41, 4,3 58,9 57,9 1,9 95,9 131,6 13,7,75 14,9 15,8 4, 4,8 53,5 53,5 88,4 88,3,5,5 8,6 75,7 1,8 96, 14, 131,5 163,4 159,1,5,5 3,5 18,5 34,6 8,8 66,3 57,4 99,7 94,,75,75 8,1 5,8 13,3 9,7 3,8 4,9 56,7 5, abela 1 - Valores de NMA para os gráficos e de (n = 4) Φ 1,,5,7 Φ,,5,7 k/lc 1,35 1,59 1,64 15,,4 5,43 3,44 34,95 δ 1 δ 199,9 1,1,,6,6 199,8,1,9,5 13,6 13,5 1,7 17, 157,5 159,1 176,6 178,1,5 3, 3,9 49, 49,4 9, 91,5 19,1 18,3,75 1,7 14, 19,, 47,8 47,9 85,6 83,9,5,5 71, 66, 9,3 85,4 133,1 19,4 161,3 158,6,5,5 17,8 13,8 8,,9 59,3 5,1 96,8 9,1,75,75 5,9 4,1 1,4 7,4 7,4, 54,7 49, abela - Valores de NMA para os gráficos e de (n = 5) Para maiores detalhes sobre as propriedades dos gráficos de X univariados e o gráfico de para o monitoramento do vetor de médias de processos bivariados autocorrelacionados ver, respectivamente, Carré e Machado (9) e Oliveira e Machado (9). 5

6 XXXI ENCONRO NACIONAL DE ENGENHARIA DE PRODUCAO Belo Horizonte, MG, Brasil, 4 a 7 de outubro de 11. Os códigos computacionais estão sendo testados por meio de comparações dos valores teóricos de NMA com os de simulação. Para o caso em que o processo é não autocorrelacionado, os resultados obtidos através das simulações foram bem próximos dos resultados teóricos, apresentando uma margem de erro inferior a %. Para o caso em que o processo é autocorrelacionado, ainda não existe na literatura valores teóricos de NMA. A orientadora deste trabalho vem desenvolvendo paralelamente as expressões analíticas para a obtenação do NMA. É importante ressaltar que a validação do código computacional elaborado depende dos erros. Quanto menor o erro inerente ao código, mais confiável este será. Considera-se razoável para este estudo um erro de no máximo 5%. 5. Estratégia adotada para reduzir o efeito da autocorrelação Uma maneira de se reduzir o efeito da autocorrelação consiste em se formar os subgrupos amostrais com unidades tomadas do processo em diferentes instantes de amostragens. Por exemplo, para subgrupos de quatro unidades, uma estratégia consiste em se compor a amostra atual com a primeira e terceira unidades tomadas na amostragem corrente e pela segunda e quarta unidades tomadas na amostragem anterior. As unidades selecionadas em diferentes instantes de amostragens são entre si independentes; portanto, a estratégia proposta para a formação das amostras reduz o efeito da autocorrelação na velocidade com a qual o gráfico de controle detecta mudanças no processo. Na seção 4 observou-se que o gráfico de é, em geral, mais eficiente do que os gráficos de. Desta forma, nesta seção estuda-se o desempenho do gráfico de, baseado em uma nova composição das amostras, para o monitoramento de processos bivariados autocorrelacionados. Recorre-se à simulação para a obtenção dos valores de NMA. De acordo com a literatura consultada, ainda não se têm expressões matemáticas para a obtenção do NMA para o esquema em estudo. Considera-se que os parâmetros do modelo autoregressivo são conhecidos, que as duas características de qualidade são independentes e que as autocorrelações entre as observações das duas características de qualidade são iguais e positivas. Neste estudo, adota-se NMA =, e n = 5. Na Figura 1 estão os valores do NMA para o caso em que as observações são independentes ou autocorrelacionadas. Na Figura 1(a) Φ =,; na Figura 1(b), Φ=,5 e na Figura 1(c), Φ=,7. O caso (I) é aquele em que as unidades das amostras foram todas retiradas do processo no mesmo instante de amostragem; já no caso (II), a primeira e a terceira unidades foram retiradas em um instante de amostragem e a segunda e quarta unidades foram retiradas no instante de amostragem anterior. Com a autocorrelação, o gráfico de controle fica mais lento na sinalização de mudanças no processo (maior o valor do NMA). Contudo, a estratégia das amostras formadas com unidades retiradas do processo em diferentes instantes de amostragens recupera a velocidade do gráfico em sinalizar. 6

7 NMA NMA NMA XXXI ENCONRO NACIONAL DE ENGENHARIA DE PRODUCAO Belo Horizonte, MG, Brasil, 4 a 7 de outubro de 11. fi= fi=, (caso I) fi=, (caso II) (,5;) (,5;,5) (,75;) (,75;,75) ( 1 ; ) fi= fi=,5 (caso I) fi=,5 (caso II) (,5;) (,5;,5) (,75;) (,75;,75) ( 1 ; ) fi= fi=,7 (caso I) fi=,7 (caso II) (,5;) (,5;,5) (,75;) (,75;,75) ( 1 ; ) Figura 1 - NMA dos gráficos de para n = 5 (a) Φ=,; (b) Φ =,5; (c) Φ=,7 6. Conclusões Neste trabalho estudaram-se, por meio de simulações, as propriedades dos gráficos de X univariados e do gráfico de para o monitoramento do vetor de médias de processos 7

8 XXXI ENCONRO NACIONAL DE ENGENHARIA DE PRODUCAO Belo Horizonte, MG, Brasil, 4 a 7 de outubro de 11. bivariados autocorrelacionados. Estudou-se também uma estratégia, a da composição das amostras, para reduzir o efeito da autocorrelação. Observou-se que a autocorrelação reduz a velocidade do gráfico de controle em sinalizar alterações no vetor de médias do processo. Quando comparado com o gráfico de, o desempenho dos gráficos de X univariados se mostrou bastante similar para o caso em que apenas a média de uma das variáveis sofre alteração. Quando as médias das duas variáveis sofrem alterações, o gráfico de tem melhor desempenho para qualquer nível de autocorrelação. Vale salientar que, para o caso bivariado, os gráficos de X são bem mais simples de serem utilizados, pois o usuário está muito mais familiarizado com o cálculo de médias do que com o cálculo da estatística de. A estratégia proposta neste trabalho, de formar as amostras com unidades retiradas do processo em diferentes instantes de amostragens, tem reduzido o efeito da autocorrelação na velocidade com a qual o gráfico de detecta mudanças no processo. A orientadora deste trabalho vem desenvolvendo, em paralelo, expressões matemáticas para a obtenção das propriedades dos gráficos de controle propostos. Assim, os resultados apresentados neste trabalho serão de grande valia, quando da comparação dos valores obtidos por meio de simulações com os valores teóricos a serem obtidos pela orientadora, de forma a validar o código computacional elaborado e o desenvolvimento matemático. Como continuidade deste trabalho, sugere-se estender o presente estudo para o caso em que as variáveis do processo são dependentes e as autocorrelações entre as observações são diferentes, ou seja, Φ 1 Φ. Sugere-se também o estudo de outras estratégias para reduzir o efeito da autocorrelação. 7. Agradecimentos Os autores agradecem à FAPESP pela concessão das bolsas de Iniciação Científica, processos n o 9/ e n o 9/9681-5, e do auxílio à pesquisa Jovem Pesquisador, processo no 8/ Referências APARASI, F.; JABALOYES, J. & CARRIÓN, A. Generalized variance chart design with adaptive sample sizes. he bivariate case, Communication in Statistics Simulation and Computation, 3, p , 1. AIENZA, O.O.; ANG, L.C. & ANG, B.W. A SPC procedure for detecting level shifts of autocorrelated processes, Journal of Quality echnology, 3, p.34-35, CARRÉ, R.A. & MACHADO, M.A.G. Gráficos de X univariados para o monitoramento do vetor de médias de processos bivariados autocorrelacionados. In: Congresso de Iniciação Científica, 1, São José do Rio Preto. Publicação dos trabalhos apresentados no XXI CIC. São José do Rio Preto: Universidade Estadual Paulista, 9, 4p. COSA, A.F.B.; EPPRECH, E.K. & CARPINEI, L.C.R. Controle Estatístico de Qualidade.. ed. São Paulo: Editora Atlas, p. COSA, A.F.B. & CLARO, F.A.E. Double sampling X control chart for a first-order autoregressive and moving average process model, he International Journal of Advanced Manufacturing echnology, 39, p.51-54, 8. COSA, A.F.B. & MACHADO, M.A.G. A new chart based on the sample variances for monitoring the covariance matrix of multivariate processes, International Journal of Advanced Manufacturing echnology, 41, p , 9. HOELLING, H. Multivariate quality control, illustrated by the air testing of sample bombsights, echniques of Statistical Analysis, p , New York, McGraw Hill,

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