Prof. MSc. David Roza José -

Transcrição

1 1/13

2 2/13 Vibração Livre com Atrito de Coulomb Em diversos sistemas mecânicos, amortecedores de Coulomb ou de atrito seco são utiizados devido à simpiicidade mecânica e conveniência. Em estruturas vibratórias, quando componentes apresentam desiizamentos reiatvos entre si, o atrito de Couiomb aparece internamente. A Lei de Couiomb diz que quando dois corpos estão em contato, a força necessária para produzir desiizamento é proporcionai à força normai agindo no piano de contato. Assim, a força de fricção F é dada por: Sendo μ o coefciente de atrito, que depende dos materiais e do estado das superfcies em contato. Por exempio, μ = 0.1 para metais iubrifcados em contato; μ = 0.3 para metais não iubrifcados; e assim por diante. A força de atrito age na direção oposta à veiocidade. O atrito de Couiomb é por vezes chamado de amortecimento constante, já que a força de amortecimento é independente do desiocamento e da veiocidade; dependendo somente da força normai N entre as superfcies desiizantes.

3 3/13 Vibração Livre com Atrito de Coulomb Considere o sistema com 1 GL sujeito ao atrito de Couiomb, conforme mostrado. Já que o atrito varia com a direção da veiocidade, é necessário considerar dois casos, conforme pode ser observado.

4 4/13 Vibração Livre com Atrito de Coulomb Caso I Quando o desiocamento x é positvo e dx/dt também é positvo; ou quando x é negatvo e dx/dt também é negatvo. A equação de movimento torna-se: Esta é uma equação diferenciai ordinária não-homogênea de segunda ordem. A soiução é dada por:

5 5/13 Vibração Livre com Atrito de Coulomb Caso II Quando o desiocamento x é positvo e dx/dt é negatvo; ou quando x é negatvo e dx/dt é positvo. A equação de movimento torna-se: Esta é uma equação diferenciai ordinária não-homogênea de segunda ordem. A soiução é dada por:

6 6/13 Vibração Livre com Atrito de Coulomb Essas duas situações mostram que cada metade do cicio é harmônico e de soiução distnta. Porém ambas podem ser expressadas através da função sgn( ); que é um operador que exprime o sinai do argumento. Assim a equação acima é uma EDO não-iinear, para a quai métodos numéricos podem ser utiizados.

7 7/13 Exemplo 7.1 Caicuiar a resposta, através do MATLAB, de um sistema massa-moia sujeito ao atrito de Couiomb com x 0 = 5 m e ẋ 0 = 0. Seja m = 10 kg, k = 200 N/m e μ = 0.5; com t = [0,8] s. Resolução de EDOs no MATLAB O MATLAB utiiza diversos métodos solvers baseados em métodos de Runge-Kuta, que podem ser apiicados na soiução de equações de EDO s de primeira ordem. Deve-se, num primeiro momento, converter uma EDO de ordem n em n EDO s de ordem 1. Isso pode ser feito através de um método de redução de ordem. Nossa equação de movimento é dada por: Que pode ser separada como:

8 8/13 Exemplo 7.1 Assim podemos criar a rotna que resoive o probiema.

9 9/13 Vibração Livre com Atrito de Coulomb (1) A equação de movimento é não-iinear com atrito de Couiomb, enquanto é iinear com amortecimento viscoso; (2) A frequência naturai do sistema permanece inaiterada com o atrito de Couiomb, e é reduzida na presença do amortecimento viscoso; (3) O movimento é periódico com o atrito de Couiomb, e não necessariamente será com amortecimento viscoso (critcamente e superamortecido); (4) O sistema pára depois de um tempo, enquanto que o movimento teoricamente persiste na presença do amortecimento viscoso; (5) A ampiitude de osciiação reduz iinearmente com o amortecimento de Couiomb, enquanto reduz-se exponenciaimente com amortecimento viscoso; (6) A cada cicio sucessivo, a ampiitude do movimento é reduzida peia quantdade de 4μN/k, de forma que a ampiitude no fnai de cada cicio consecutvo é dada por:

10 10/13 Exemplo 7.2 Utiize o MATLAB para piotar a resposta do seguinte sistema: m = 450 kg, k = N/m, c= 1000 kg/s, x 0 = e ẋ = 1.0 m/s para t = [0,8] s.

11 11/13 Exemplo 7.2 Utiize o MATLAB para piotar a resposta do seguinte sistema: m = 450 kg, k = N/m, c= 1000 kg/s, x 0 = e ẋ = 1.0 m/s.

12 12/13 Exemplo 7.3 Dado um sistema massa-moia amortecido de constantes m = 10 kg e k = 200 N/m, com x 0 = 0.6 e ẋ = 0; gere três gráfcos sobrepostos de 0 a 5 segundos para ξ = 1.4; ξ = 1 e ξ = 0.25.

13 13/13 Exemplo 7.3 Dado um sistema massa-moia amortecido de constantes m = 10 kg e k = 200 N/m, com x 0 = 0.6 e ẋ = 0; gere três gráfcos sobrepostos de 0 a 5 segundos para ξ = 1.4; ξ = 1 e ξ = 0.25.