Modelo físico de um salto de Bungee Jumping com solução utilizando método de Rounge Kutta.

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1 Universidade Estadual de Campinas Faculdade de Engenharia Mecânica Pós Graduação em Engenharia Mecânica IM458 - Tópicos em Métodos Numéricos: Métodos Numéricos em Mecânica dos Fluidos Alfredo Hugo Valença Morillo Modelo físico de um salto de Bungee Jumping com solução utilizando método de Rounge Kutta. CAMPINAS 2015

2 SUMÁRIO SUMÁRIO 1 Introdução 1 2 Hipóteses e Modelo Queda Livre Movimento Restringido Rounge Kutta Rounge Kutta 4ª Ordem para 2 Variáveis Rounge Kutta 4ª Ordem para 3 Variáveis Resultados 8 5 Conclusão 12 6 Referências 13

3 1 Introdução A prática do Bungee Jumping virou comum nos últimos anos, quando A. J. Hackett, um amante por esportes radicais resolveu saltar da Torre Eiffel preso pelo tornozelo à uma corda elástica em O próprio Hackett desenvolveu a corda para os saltos, mas muito antes disso, já existia a prática deste esporte. Já em 1954, dois jornalistas da revista National Geographic, foram até a ilha de Vanuatu, local onde o esporte era praticado, como uma espécia de ritual local. Nesta ilha, as cordas eram de cipós (HACKETT, 2015). O Bungee Jumping, que iniciou como um esporte nada segundo, com tornozelos amarrados em cipós, agora é um esporte que preza pela vida do atleta. Para isto, existem modelos para descrever o comportamento do elástico sob um salto a enormes alturas. Este trabalho possui como principal objetivo desenvolver um modelo que descreva a trajetória e velocidade do saltador, e para solucionar a equação diferencial que descreve o problema, será utilizado o método de Runge Kutta. 1

4 2 Hipóteses e Modelo Para desenvolver o modelo, foram assumidas algumas hipóteses, as mais importantes foram: Modelo em 1 dimensão, o saltador irá percorrer uma trajetória totalmente vertical, foi desprezado efeito de ventos laterais, e foi considerado a a pessoa cairá verticalmente ao iniciar o salto. Foi considerado que a corda elástica possui um efeito de amortecimento viscoso, fazendo uma aproximação do coeficiente de amortecimento. Se este efeito fosse desprezado, o saltador poderia ficar minutos em movimentos verticais. Desprezou-se o efeito da massa da corda. Considerado densidade do ar e do corpo humano como constantes. Utilizado um modelo já existente para aproximação da área de contato entre o ar e o corpo humano. O coeficiente de arrasto foi considerado constante para todas as velocidades. Primeiro passado para o desenvolvimento deste trabalho foi criar uma equação diferencial para descrever o problema. O ponto de partida foi a segunda equação de Newton, que diz: F = mc dy 2 d 2 t (2.1) sendo F as forças externas, m c a massa do corpo (pessoa que está saltando), y a posição da pessoa no sistema de coordenadas e t o tempo. Para formulação da equação diferencial, foi considerado dois momentos. O primeiro seria durante a queda livre, ou seja, antes da posição do saltador chegar ao comprimento da corda, neste momento a corda não estará sob tensão, o corpo estará sob queda livre. No segundo momento, existirá efeito da corda, sendo assim, será acrescentado termos ao somatório de forças, neste caso o corpo estará sob queda com movimento restringido. 2

5 2.1 Queda Livre Em um sistema de 1 dimensão, sendo ela a direção vertical. Foi considerado os valores positivos os vetores com direção para cima. Sendo assim, o somatório de foças externas fica: F = Fp + F v + F e + F d (2.2) sendo F p a força peso que agirá sobre a pessoa, F v a força virtual que ocorre devido a separação da camada limite no fluido (ar), F e a força de empuxo sobre o corpo e F d a força de arrasto. Os sinais adotados para descrever a Eq 2.2 foram adotados para descrever a direção do vetor das forças em relação a direção da coordenada adotada. Estas forças podem ser descritas da seguinte forma: F p = m c g F e = m f g (2.3) F v = 1m 2 f dy2 F d 2 t d = 1 dy dy A 2 dt dt cρ f C d onde m c é a massa do corpo, m f a massa deslocada do fluido, g é a aceleração da gravidade, A c seria uma aproximação da área superficial de um corpo humano, ρ f é a densidade do fluido e C d o coeficiente de arrasto. Ao analisar-se as equações descritas na Eq. 2.3, encontra-se duas variáveis ainda desconhecidas, que seriam A c e m f, a segui consta as aproximações adotadas para estes valores. m f = ρ f m c ρ c A c = mchc 3600 (2.4) sendo ρ c a densidade aproximada de uma pessoa e h c a altura do saltador. (2015). Este modelo da área superficial do ser humano foi retirado do artigo online escrito por Silva Ao unir as equações descritas acima, deve-se ter cuidado no sinal do termo. A Eq. 2.2 nos diz que a força peso possui sinal contrário as demais 3 forças. Porém, deve-se observar que a gravidade 3

6 e a posição y são vetores que durante queda livre, sempre possuirão valores negativos, pois estão em direção oposta à coordenada adotada. Unindo todas as equações conclui-se que durante a queda livre, a equação diferencial que descreve o problema é: ( ) dy f 1 = dy2 dt d 2 t = 1 ρ m c + m f c 2ρ c [ ( ) ρ f m c + m c g + 1 dy 2ρ c 2 dt dy dt ] m c h c 3600 ρ fc d (2.5) Tem-se na Eq. 2.5 uma funçao que depende apenas da velocidade ( dy dt ) e que descreve comportamento do corpo em queda livre. 2.2 Movimento Restringido Para o segundo momento, ele terá início ao ser aplicado uma tensão sobre a corda. Do conhecimento clássico de vibrações amortecidas, tem-se a seguinte expressão: onde c é um coeficiente de amortecimento e k a rigidez elástica. dy 2 m c d 2 t = cdy + ky = 0 (2.6) dt Da Eq. 2.6 aproveita-se estes dois termos, e soma-se eles à Eq Isto ocorre pois o somatório de forças externas da Eq. 2.2 ganha duas novas ações, provenientes da corda. Concluindo que a função que descreve fica: ( ) dy f 2 dt,y = dy2 d 2 t = 1 ρ m c + m f c 2ρ c [ ( ) ρ f m c + m c g + 1 dy 2ρ c 2 dt dy dt m c h c 3600 ρ fc d + c dy ] + k(y + L) dt (2.7) a f 2, diferente da f 1 possui duas variáveis indefinidas. O termo L foi adicionado à equação devido à vibração ocorrer em torno do comprimento da corda. Para utilização do método de Rounge Kutta é necessário definir uma terceira função, para o 4

7 caso de movimento restringido, esta função é: f 3 = dy dt (2.8) Será apresentado a seguir o método de Rounge Kutta. 5

8 3 Rounge Kutta Para solucionar o modelo apresentado no capítulo 2, será utilizado o método numérico de Rounge Kutta. Este método discretiza a função em passos de tempo (h), repetindo a até um instante pré determinado. Para o modelo proposto, serão necessários duas formas distintas de resolver por Rounge Kutta, já que a primeira função depende de apenas uma variável e a segunda função depende de duas variáveis. 3.1 Rounge Kutta 4ª Ordem para 2 Variáveis Todas as equações foram adaptadas da apostila escrita por Ismail e Moura (2012). Segue as equações necessárias para a solução através do método de Rounge Kutta de 4ª ordem: v n+1 = v n + h (k k 2 + 2k 3 + k 4 ) (3.1) t n+1 = t n + h os índices que acompanham as variáveis v e t representam cada instante do passo. de início eles são pré determinados, dependendo da condição inicial. Para o caso do Bungee Jumping, a condição de contorno é que: v(t) v(0) = 0. sendo assim v 1 = 0 e t 1 = 0. Seguem abaixo, o que realmente seria a equação de Rounge Kutta, as constantes necessárias para efetuar Eq k 1 = f 1 (t n, v n ) ( k 2 = f 1 tn + h, v 2 n + hk ) 2 1 ( k 3 = f 1 tn + h, v 2 n + hk ) 2 2 k 4 = f 1 (t n + h, v n + hk 3 ) (3.2) Observando a Eq. 2.5, percebe-se que f 1 depende apenas da velocidade (v), que por definição, 6

9 é a derivada da posição no tempo ( dy dt ). Por este motivo, ao utilizar a Eq. 3.2 deve-se apenas ignorar a parte das equações que dependam de t. 3.2 Rounge Kutta 4ª Ordem para 3 Variáveis Estas equações, como no caso anterior foram adaptadas da apostila de Ismail e Moura (2012). Neste caso, a posição depende da velocidade e do tempo, então a condição inicial ficaria da seguinte forma: y(v,t) y(0,0) = 0, com estas informações, já se torna possível utilizar a solução de Rounge Kutta. y n+1 = y n + h (k k 2 + 2k 3 + k 4 ) v n+1 = v n + h (l l 2 + 2l 3 + l 4 ) (3.3) t n+1 = t n + h As constantes de Rounge Kutta ficam da seguinte forma: k 1 = f 3 (v n ) l 1 = f 2 (y n, v n ) ( k 2 = f 3 vn + hl ) 2 1 ( l 2 = f 2 yn + hk 2 1, v n + hl ) 2 1 ( k 3 = f 3 vn + hl ) 2 2 ( l 3 = f 2 yn + hk 2 2, v n + hl ) 2 2 (3.4) k 4 = f 3 (v n + hl 3 ) l 4 = f 2 (y n + hk 3, v n + hl 3 ) Com estas equações foi possível solucionar o modelo desenvolvido. Segue no próximo capítulo os resultados. 7

10 4 Resultados Utilizando o Software Matlab, foi desenvolvido um programa para solucionar o modelo apresentado no capítulo 2, utilizando o método do capítulo 3. os valores. Em primeiro momento foi definido as diversas variáveis do problema. Segue na tabela abaixo Tabela 4.1: Definição das variáveis utilizadas para obtenção dos resultados. Variável Valor Unidade m c 70 kg ρ c 1010 kg/m 3 ρ f 1,204 kg/m 3 g -9,81 m/s 2 h c 1,75 m C d 0,5 - L 15 m c 12,78 N.s/m k 300 N/m Observa-se na Tab. 4.1 que todas as unidades se apresentam no sistema internacional. Para verificar se modelo de queda livre estava condizente, inicialmente foi testado ele sem limitá-lo pelo comprimento da corda, procurando determinar qual seria a velocidade quase constante que o corpo cairia depois de certo tempo. Consta na Fig. 4.1 o resultado obtido. Na Fig. 4.1 conclui-se que aconteceu o que era previsto, após um determinado instante de tempo, neste caso, 80 s, a velocidade tendeu a uma quase constante. O valor apresenta-se negativo pois o vetor velocidade está em direção oposta à consideração da coordenada. O valor de aproximadamente 250 km/h é condizente com a velocidade máxima que corpo humano alcança em queda livre. Segundo a revista Mundo Estranho da editora Abril, a velocidade máxima de uma pessoa em queda livre é de aproximadamente 245 km/h (MUNDO ESTRANHO, 2015) Após esta verificação, foi limitado que a solução de Rounge Kutta, no primeiro caso, para que fosse interrompido quando y n alcançasse comprimento da corda ( L), negativo pois os valores de y sempre serão negativos neste problema. 8

11 Figura 4.1: Gráfico da velocidade em função do tempo de um pessoa caindo em queda livre. O equação que descreve a posição para queda livre, seria a integração dupla no tempo da f 1, como descrito abaixo. t 0 f 1.dt.dt (4.1) Porém, para resolver esta integral foi utilizado o método trapezoidal disponibilizado pelo MatLab, onde foi integrado a velocidade em relação ao tempo. Esta integração foi realizada a cada passo de tempo. Após y alcançar módulo equivalente ao comprimento da corda, o modelo passaria para a segunda parte. A solução seria a de movimento restringido, utilizando Rounge Kutta de 3 variáveis. Seguem nas Figs 4.2 e 4.3 os resultados obtidos. 9

12 Figura 4.2: Gráfico da posição em função do tempo em um salto de Bungee Jumping. Figura 4.3: Gráfico da velocidade em função do tempo em um salto de Bungee Jumping. Na Fig. 4.2 é possível perceber que 60s são suficientes para o saltador parar no espaço, que seria em 15 m, comprimento da corda. Existe pequeno erro devido a solução ser numérica, este erro 10

13 pode ser resolvido diminuindo-se o passo. Em todos os casos deste trabalho foi utilizado um passo de 0,1. Já no gráfico de velocidade, na Fing. 4.3, como, deveria acontecer, a velocidade fica em 0 após determinado tempo. Por curiosidade, caso não houvesse sido considerado o amortecimento que a corda naturalmente existe, o arrasto não seria suficiente para parar a corda, somente após minutos ou horas. Segue gráfico da velocidade para este caso. Figura 4.4: Gráfico da velocidade em função do tempo em um salto de Bungee Jumping despresando amortecimento da corda. 0. Observa-se na Fig. 4.4 que levaria muito tempo para velocidade alcançar valores próximos a 11

14 5 Conclusão Neste trabalho é possível perceber a eficiência do método de Rounge Kutta. Os resultados se mostraram condizentes com o que ocorreria em um salto real com os parâmetros adotados. Interessante observar que a maior dissipação de energia para o caso do Bungee Jumping ocorre devido ao amortecimento da própria corda. porém é interessante considerar efeitos que fluido do meio exerce. Procurando sempre tornar a prática do esporte mais segura possível. Para trabalhos futuros, poderia ser considerado a variação do coeficiente de arrasto, verificando qual impacto isto traria ao resultado. Também seria interessante considerar efeitos bidimensionais, como a interferência do vento no salto e o fator de que o saltador não possui queda inicial em linha perfeitamente vertical. 12

15 6 Referências HACKETT, A.J. History settle in for the story Acessado em URL: ISMAIL, K.A.R. e MOURA, L.F.M. Métodos numéricos em mecânica dos fluidos, Apostila desenvolvida junto à Faculdade de Engenharia Mecânica - UNICAMP. MUNDO ESTRANHO. Qual a velocidade máxima que uma pessoa atinge em queda livre? Revista Mundo Estranho. Editora Abril. Acessado em URL: SILVA, M.N.P.D. Área da superfície de um corpo humano Brasil Escola. Acessado em URL: 13