Raciocínio Lógico Matemático Modulo Geral

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1 Raciocínio Lógico Matemático Modulo Geral CONCURSO: Ministério do Trabalho e Emprego CARGO: Auditor-Fiscal do Trabalho PROFESSOR: Alex Lira Este curso é protegido por direitos autorais (copyright), nos termos da Lei n.º 9.610/1998, que altera, atualiza e consolida a legislação sobre direitos autorais e dá outras providências. Rateio é crime!!! Valorize o trabalho do professor e adquira o curso de forma honesta, realizando sua matrícula individualmente no site concurseiro24horas.com.br

2 AULA 02 AUDITOR-FISCAL DO TRABALHO 1. Considerações Iniciais Equivalência Lógica Propriedades fundamentais de equivalência lógica Propriedades Idempotente Propriedades de absorção Propriedades comutativas, associativas e distributivas Equivalências da Condicional Equivalência da Disjunção Equivalências da Bicondicional Equivalência da Disjunção Exclusiva Esqueceu uma das equivalências? Não se preocupe! Negação de proposições compostas Negação da conjunção Negação da disjunção Negação do condicional Negação do bicondicional Questões comentadas Considerações finais Resumo Lista de questões

3 1. Considerações Iniciais AUDITOR-FISCAL DO TRABALHO Olá, pessoal!!! Sejam todos bem vindos à do nosso curso de Raciocínio Lógico Objetivo para Auditor-Fiscal do Trabalho! Nessa aula veremos que uma mesma proposição pode ser escrita de outras maneiras, permanecendo com o mesmo valor lógico. Além disso, aprenderemos (ou revisaremos, para quem já estudou esse assunto) a forma correta de negarmos proposições compostas, conforme cada tipo de conectivo lógico. A ESAF e o CESPE (assim como as demais bancas) dificilmente se esquecem de cobrar pelo menos uma questão envolvendo equivalência lógica ou negação de proposições. São muitas questões mesmo, pessoal! Prepare-se, pois definitivamente você ficará altamente qualificado em mais esse assunto!!!

4 2. Equivalência Lógica AUDITOR-FISCAL DO TRABALHO JÁ CAIU EM PROVA! Duas proposições são logicamente equivalentes quando apresentam tabelas-verdade idênticas. Deu para entender o conceito de equivalência lógica? Podemos reescrevê-lo de outra forma: Equivalência Lógica Duas proposições são logicamente equivalentes quando apresentam sempre o mesmo valor lógico, independentemente dos valores lógicos das proposições simples que as compõem. Na realidade, pessoal, a equivalência lógica é útil para substituir uma sentença por outra que lhe seja equivalente. Quando duas proposições p e q são logicamente equivalentes, representamos a equivalência simbolicamente como p q. C U I D A D O! Não confunda o símbolo equivalência lógica ( ) com o símbolo da dupla implicação ( ). No entanto, visto que a ideia de equivalência é muito parecida com a de igualdade, vamos usar o símbolo = para representar uma equivalência. Podemos construir diversas equivalências lógicas, por meio da análise da tabelaverdade de proposições compostas. Entretanto, iremos nos concentrar no que realmente pode cair na prova do seu concurso, tomando por base as equivalências que as principais bancas têm cobrado. Lembre-se: Nosso foco é fazer você passar no concurso, não tornar-se um expert em raciocínio lógico! Vamos resolver uma questão que caiu numa prova de Analista-Tributário. QUESTÃO 01 (ESAF/Receita Federal/Analista-Tributário/2009) A afirmação: "João não chegou ou Maria está atrasada" equivale logicamente a: a) Se João não chegou, Maria está atrasada. b) João chegou e Maria não está atrasada. c) Se João chegou, Maria não está atrasada. d) Se João chegou, Maria está atrasada. e) João chegou ou Maria não está atrasada

5 p: João chegou q: Maria está atrasada A proposição do enunciado é: ~p q Acabamos de aprender que, para que duas proposições sejam logicamente equivalentes, o resultado de sua tabela-verdade deve ser idêntico. Daí, precisamos construir a tabela-verdade de todas as alternativas para comparar com a proposição do enunciado. Espero que todos estejam afiados não só na construção de tabelas-verdade, como também no valor lógico de cada conectivo. Vamos treinar! Enunciado p q ~p ~q ~p a) q P b) ^ ~q p c) ~q p d) q p e) ~q ~p q V V F F V F F V V V V F F V V V V F V F F V V F F F V V F V F F V V V V V V V V Dessa forma, como os resultados das tabelas-verdade de (p q) e (~p q) são idênticos, chegamos à conclusão de que são proposições equivalentes. Isto é: (~p q) = (p q) Portanto, a alternativa correta é a letra D. 1.1 Propriedades fundamentais de equivalência lógica Existem algumas propriedades que são bem básicas, mas que facilitam a resolução de várias questões na hora da prova. Portanto, é extremamente aconselhável que você as conheça Propriedades Idempotente O termo idempotente se refere à propriedade que algumas operações têm de poderem ser realizadas várias vezes sem que o valor do resultado se altere após a aplicação inicial. Em outras palavras, operações idempotentes têm a propriedade de poderem ser aplicadas mais de uma vez sem que o resultado se altere. 1ª) p ^ p = p. Exemplo: André passou no concurso e André passou no concurso = André passou no concurso. Vamos verificar isso na tabela-verdade: p p p ^ p V V V V V V F F F F F F

6 2ª) p p = p. Exemplo: José se dedica aos estudos ou José se dedica aos estudos = José se dedica aos estudos. Confira na tabela-verdade: p p p p V V V V V V F F F F F F Propriedades de absorção As propriedades a seguir têm sua origem na teoria de conjuntos. Também são bem óbvias; porém, úteis. 1ª) p (p ^ q) = p. Confira na tabela-verdade: p q p ^ q p (p ^ q) V V V V V F F V F V F F F F F F 2ª) p ^ (p q) = p. Confira na tabela-verdade: p q p q p ^ (p q) V V V V V F V V F V V F F F F F Propriedades comutativas, associativas e distributivas Se afirmei que as propriedades anteriores eram óbvias, as próximas o são ainda mais! Daí apenas relacionarei elas sem fazer observações ou comprovações. Para facilitar seu entendimento sobre as propriedades a seguir, uma dica é comparálas com o que acontece com os números. Por exemplo, = 4 + 1; 2 X 4 = 4 X 2. Propriedades comutativas: 1ª) p ^ q = q ^ p 2ª) p q = q p 3ª) p q = q p

7 C U I D A D O! A propriedade comutativa não se aplica ao conectivo condicional. Isto é: p q q p Propriedades associativas: 1ª) (p ^ q) ^ r = p ^ (q ^ r) 2ª) (p q) r = p (q r) Propriedades distributivas: 1ª) p ^ (q r) = (p ^ q) (p ^ r) 2ª) p (q ^ r) = (p q) ^ (p r) 1.2 Equivalências da Condicional Tenha sempre em mente que investigaremos a equivalência das proposições por meio do método da comparação entre as tabelas-verdade das proposições envolvidas. No caso do conectivo Se... então, temos basicamente duas equivalências que são exploradas repetidamente nas provas de concursos. 1ª) De condicional para condicional: Se p, então q = Se não q, então não p. Simbolicamente, temos: p q = ~q ~p Passos para obter a equivalência acima: 1º Trocam-se os termos da condicional de posição; 2º Negam-se ambos os termos. Comprovação da equivalência: Vamos comparar as tabelas-verdade de (p q) e de (~q ~p) - Tabela-verdade de p q: p q p q V V V V F F F V V F F V OBS: a coluna em destaque representa o valor lógico da estrutura (p q). Tabela-verdade de ~q ~p: p q ~p ~q ~q ~p V V F F V V F F V F F V V F V F F V V V

8 OBS: a coluna em destaque representa o valor lógico da estrutura (~q ~p). Perceba que os resultados das duas estruturas são idênticos. Portanto, de fato, as proposições são equivalentes. 2ª) De condicional para disjunção: Se p, então q = não p ou q. Simbolicamente, temos: p q = ~p q Nesse caso, observamos uma equivalência da condicional que se relaciona com o conectivo ou (disjunção). Passos para obter a equivalência acima: 1º Nega-se o primeiro termo; 2º Mantém-se o segundo termo; 3º Troca-se o conectivo condicional pelo ou. Comprovação da equivalência: Vamos comparar as tabelas-verdade de (p q) e de (~p q) Tabela-verdade de p q: p q p q V V V V F F F V V F F V Tabela-verdade de ~p q: p q ~p ~p q V V F V V F F F F V V V F F V V Perceba que os resultados das duas estruturas são idênticos, o que nos leva a concluir que as proposições são equivalentes. Resumindo, temos: EQUIVALÊNCIAS DA CONDICIONAL p q = ~q ~p p q = ~p q Vejamos agora algumas questões de concurso cobrando esse assunto. QUESTÃO 02 (ESAF/ANEEL/Técnico-Administrativo/2006) Uma sentença logicamente equivalente a Se Ana é bela, então Carina é feia é:

9 a) Se Ana não é bela, então Carina não é feia. b) Ana é bela ou Carina não é feia. c) Se Carina é feia, Ana é bela. d) Ana é bela ou Carina é feia. e) Se Carina não é feia, então Ana não é bela. AUDITOR-FISCAL DO TRABALHO p: Ana é bela q: Carina é feia p q Aprendemos que o conectivo condicional possui duas equivalências especiais: EQUIVALÊNCIAS DA CONDICIONAL p q = ~q ~p p q = ~p q Vamos testar as equivalências que conhecemos. Daí, a partir da proposição Ana é bela Carina é feia, teremos: 1ª) De condicional para condicional: 1º Trocam-se os termos da condicional de posição; Carina é feia Ana é bela 2º Negam-se ambos os termos: Carina não é feia Ana não é bela Analisando as alternativas, concluímos que a alternativa correta é a letra E. QUESTÃO 03 (ESAF/SEFAZ MG/Gestor Fazendário/2005) A afirmação "Não é verdade que, se Pedro está em Roma, então Paulo está em Paris" é logicamente equivalente à afirmação: a) É verdade que 'Pedro está em Roma e Paulo está em Paris'. b) Não é verdade que 'Pedro está em Roma ou Paulo não está em Paris'. c) Não é verdade que 'Pedro não está em Roma ou Paulo não está em Paris'. d) Não é verdade que 'Pedro não está em Roma ou Paulo está em Paris'. e) É verdade que 'Pedro está em Roma ou Paulo está em Paris'. p: Pedro está em Roma q: Paulo está em Paris ~(p q) Vamos testar as duas equivalências que o conectivo lógico possui:

10 Daí, a partir da proposição ~(Pedro está em Roma Paulo está em Paris), teremos: 1ª) De condicional para condicional: 1º Trocam-se os termos da condicional de posição; ~(Paulo está em Paris Pedro está em Roma) 2º Negam-se ambos os termos: ~(Paulo não está em Paris Pedro não está em Roma) Analisando as alternativas, não encontramos a proposição acima. E agora, professor? Agora recorremos à segunda equivalência do condicional. 2ª) De condicional para disjunção: 1º Nega-se o primeiro termo: Pedro não está em Roma. 2º Mantém-se o segundo termo: Paulo está em Paris. 3º Troca-se o conectivo condicional pelo ou: ~(Pedro não está em Roma ou Paulo está em Paris). Portanto, a alternativa correta é a letra D. QUESTÃO 04 (CESPE/ANATEL/Técnico Administrativo/2012) Supondo que, por determinação da ANATEL, as empresas operadoras de telefonia móvel tenham enviado a seguinte mensagem a seus clientes: Caso não queira receber mensagem publicitária desta prestadora, envie um SMS gratuito com a palavra SAIR para 1111, julgue o próximo item, considerando que a mensagem corresponda à proposição P. A proposição P é logicamente equivalente à proposição Queira receber mensagem publicitária desta prestadora ou envie um SMS gratuito com a palavra SAIR para Sejam as proposições simples: a: Quero receber mensagem publicitária desta prestadora. b: Envio um SMS gratuito com a palavra SAIR para A proposição P do enunciado pode ser representada da seguinte forma: ~p q Vamos testar as duas equivalências que o conectivo lógico possui. 1ª) De condicional para condicional: 1º Trocam-se os termos da condicional de posição: q ~p 2º Negam-se ambos os termos: ~q p Analisando as alternativas, não encontramos a proposição acima. E agora, professor? Agora recorremos à segunda equivalência do condicional. 2ª) De condicional para disjunção: 1º Nega-se o primeiro termo: p 2º Mantém-se o segundo termo: q 3º Troca-se o conectivo condicional pelo ou:

11 Quero receber mensagem publicitária desta prestadora ou envio um SMS gratuito com a palavra SAIR para Portanto, o item está certo. QUESTÃO 05 (CESPE/SUFRAMA/Agente Administrativo/2014) Considere as seguintes proposições: P1: Se o Brasil reduzir as formalidades burocráticas e o nível de desconfiança nas instituições públicas, eliminar obstáculos de infraestrutura e as ineficiências no trânsito de mercadorias e ampliar a publicação de informações envolvendo exportação e importação, então o Brasil reduzirá o custo do comércio exterior. P2: Se o Brasil reduzir o custo do comércio exterior, aumentará o fluxo de trocas bilaterais com outros países. C: Se o Brasil reduzir o nível de desconfiança nas instituições públicas, aumentará o fluxo de trocas bilaterais com outros países. A partir dessas proposições, julgue o item seguinte a respeito de lógica sentencial. A proposição P2 é logicamente equivalente à proposição O Brasil não reduz o custo do comércio exterior, ou aumentará o fluxo de trocas bilaterais com outros países. Sejam as proposições simples: p: O Brasil reduzir o custo do comércio exterior. q: O Brasil aumentará o fluxo de trocas bilaterais com outros países. A proposição P2 do enunciado pode ser representada da seguinte forma: p q A questão cobra se a proposição acima é equivalente à seguinte: ~p q Vamos testar a equivalência que o conectivo lógico condicional possui, relacionandoo à disjunção. De condicional para disjunção: 1º Nega-se o primeiro termo: ~p 2º Mantém-se o segundo termo: q 3º Troca-se o conectivo condicional pelo ou: O Brasil não reduz o custo do comércio exterior, ou aumentará o fluxo de trocas bilaterais com outros países. Portanto, o item está certo. 1.3 Equivalência da Disjunção No caso do conectivo ou, a equivalência lógica mais cobrada é a seguinte: p ou q = Se ~p, então q Simbolicamente, temos: p q = ~p q

12 Nesse caso, observamos a possibilidade de converter uma disjunção numa condicional. Passos para obter a equivalência acima: 1º Nega-se o primeiro termo; 2º Mantém-se o segundo termo; 3º Troca-se o ou pelo condicional. EQUIVALÊNCIA DA DISJUNÇÃO p q = ~p q Vejamos algumas questões em que a ESAF e o CESPE abordaram esta equivalência. QUESTÃO 06 (ESAF/MPOG/Analista de Planejamento e Orçamento/2001) Dizer que André é artista ou Bernardo não é engenheiro é logicamente equivalente a dizer que: a) André é artista se e somente se Bernardo não é engenheiro. b) Se André é artista, então Bernardo não é engenheiro. c) Se André não é artista, então Bernardo é engenheiro. d) Se Bernardo é engenheiro, então André é artista. e) André não é artista e Bernardo é engenheiro. Sejam as proposições simples: p: André é artista q: Bernardo é engenheiro p ~q Vamos testar a equivalência que o conectivo lógico disjunção possui: EQUIVALÊNCIA DA DISJUNÇÃO p q = ~p q Daí, a partir da proposição André é artista OU Bernardo não é engenheiro, teremos: 1º Nega-se o primeiro termo: André não é artista. 2º Mantém-se o segundo termo: Bernardo não é engenheiro. 3º Troca-se o ou pelo condicional: Se André não é artista, então Bernardo não é engenheiro. Encontrou a sentença acima entre as opções de resposta? Eu também não!

13 O problema é que a ESAF foi muito maldosa e não incluiu a sentença acima entre as alternativas. Dessa forma, teremos de buscar outra proposição que seja logicamente equivalente a esta. Usaremos a primeira equivalência de conectivos que aprendemos: p q = ~q ~p A partir da sentença Se André não é artista, então Bernardo não é engenheiro, vamos aplicar os passos para obter a equivalência acima. Logo: 1º Trocam-se os termos da condicional de posição: Se Bernardo não é engenheiro, então André não é artista. 2º Negam-se ambos os termos. Se Bernardo é engenheiro, então André é artista. Prontinho! Portanto, a alternativa correta é a letra D. Questão 07 (CESPE/ABIN/ATI/Administração/2010) A proposição "um papel é rascunho ou não tem mais serventia para o desenvolvimento dos trabalhos" é equivalente a "se um papel tem serventia para o desenvolvimento dos trabalhos, então é um rascunho". Certo Errado p: Um papel é rascunho. q: Um papel tem serventia para o desenvolvimento dos trabalhos. O enunciado nos trouxe duas proposições compostas e deseja saber se elas são equivalentes. Vamos examiná-las: (p ~q) e (q p) Chegou a hora de testar a equivalência que o conectivo lógico disjunção possui. Daí, teremos: 1º Nega-se o primeiro termo: Um papel não é rascunho. 2º Mantém-se o segundo termo: Um papel não tem mais serventia para o desenvolvimento dos trabalhos. 3º Troca-se o ou pelo condicional: Se um papel não é rascunho, então ele não tem mais serventia para o desenvolvimento dos trabalhos. Aprendemos que uma das equivalências fundamentais do conectivo condicional afirma que: p q = ~q ~p O que isso tem a ver com a nossa questão, professor? Tudo, caro aluno! Pois, a frase que obtemos acima é equivalente a: Se um papel tem serventia para o desenvolvimento dos trabalhos, então ele é um papel é rascunho. Portanto, o item está certo

14 1.4 Equivalências da Bicondicional AUDITOR-FISCAL DO TRABALHO No caso do conectivo se e somente se, temos duas equivalências que especialmente as Bancas ESAF e CESPE têm cobrado bastante. E se a ESAF e o CESPE estão cobrando, isso significa que na sua prova tem uma forte chance disso marcar presença. Vamos ficar expertos! 1ª) De bicondicional para conjunção: p q = (p q) ^ (q p) Opa! A Bicondicional equivale a duas condicionais unidas por uma conjunção? Exatamente, caro(a) aluno(a). Por isso que o nome é BIcondicional. Assim, as proposições... Marcos trabalha se e somente se o Flamengo for campeão. Se Marcos trabalha, então o Flamengo é campeão e se o Flamengo for campeão, então Marcos trabalha.... são equivalentes. MEMORIZE Como é uma BIcondicional, teremos uma Condicional na ida E outra na volta. No entanto, precisamos aprofundar um pouco mais a equivalência acima. A ESAF dificulta um pouco mais as questões que envolvem o conectivo bicondicional por explorar também as equivalências do conectivo se... então. Dessa forma a nossa equivalência pode se transformar em quatro: (p q) ^ (q p) (~q ~p) ^ (q p) p q (p q) ^ (~p ~q) (~q ~p) ^ (~p ~q) 2ª) De bicondicional para bicondicional: p q = ~p ~q Dessa maneira, para construirmos uma outra proposição composta onde os termos sejam unidos pelo se e somente se, basta negarmos os dois termos simples, mantendo o conectivo. Isto é: 1º) Negam-se os dois termos; 2º) Mantém-se o conectivo Bicondicional; Lembre-se também que o se e somente se não faz questão de ordem entre suas proposições. Ou seja, p se e somente se q e q se e somente se p são equivalentes

15 QUESTÃO 08 (ESAF/SMF-RJ/2010) AUDITOR-FISCAL DO TRABALHO A proposição um número inteiro é par se e somente se o seu quadrado for par equivale logicamente à proposição: a) se um número inteiro for par, então o seu quadrado é par, e se um número inteiro não for par, então o seu quadrado não é par. b) se um número inteiro for ímpar, então o seu quadrado é ímpar. c) se o quadrado de um número inteiro for ímpar, então o número é ímpar. d) se um número inteiro for par, então o seu quadrado é par, e se o quadrado de um número inteiro não for par, então o número não é par. e) se um número inteiro for par, então o seu quadrado é par. Sejam as proposições simples: p: um número inteiro é par. q: O quadrado do número inteiro é par. p q Analisando as alternativas, notamos que elas só tratam do se... então. Daí, trabalharemos apenas com a equivalência que nos leva a obter os condicionais unidos pela conjunção. Assim, a partir da proposição um número inteiro é par o seu quadrado for par., teremos: 1ª) De bicondicional para conjunção: p q = (p q) ^ (q p) A nossa sentença será: Se um número inteiro for par, então o seu quadrado é par, e se o quadrado de um número inteiro for par, então o número é par. Encontrou essa sentença entre as alternativas? Encontrei não, professor. Exato. E já sabe por quê? Perfeito. É a malvadeza da ESAF em também exigir que você faça a equivalência do conectivo condicional. Logo, uma das possibilidades é fazer a equivalência apenas do segundo se... então. Vamos lá: Se um número inteiro for par, então o seu quadrado é par, e se um número inteiro não for par, então o seu quadrado não é par. Agora sim, a alternativa correta é a letra A. QUESTÃO 09 (CESPE/ANCINE/Técnico em Regulação/2012) A proposição Um engenheiro de som é desnecessário em um filme se, e somente se, o filme em questão é mudo é logicamente equivalente a Um engenheiro de som é desnecessário e o filme em questão é mudo ou um engenheiro de som é necessário e o filme em questão não é mudo. Gabarito: Certo

16 Sejam as proposições simples: p: Um engenheiro de som é desnecessário em um filme. q: O filme em questão é mudo. Vamos resolver esse item através de suas tabelas-verdade. Assim, teremos: p q ~p ~q p q p ^ q ~p ^ ~q (p ^ q) (~p ^ ~q) V V F F V V F V V F F V F F F F F V V F F F F F F F V V V F V V Identificamos claramente que o item está correto, já que as proposições do enunciado possuem tabelas-verdade idênticas. 1.5 Equivalência da Disjunção Exclusiva A equivalência lógica que veremos agora não é tão glamorosa nas provas de concursos públicos, pois raramente é cobrada. Mas é interessante estarmos preparados para tudo! No caso da disjunção exclusiva, simbolizada por v, podemos formar uma equivalência relacionando-a ao conectivo se e somente se. Isso nos dará como resultado: p v q = p ~q ou p v q = ~p q Portanto, uma disjunção exclusiva é equivalente a uma bicondicional com um dos termos negados (tanto faz se é o primeiro ou o segundo termo negado). Sentenças como as seguintes... Ou João é pescador ou Anderson é motorista. João é pescador se e somente se Anderson não é motorista. João não é pescador se e somente se Anderson é motorista.... são logicamente equivalentes. Vamos comprovar isso. Aprendemos que o principal método para identificar proposições logicamente equivalentes é o a comparação das tabelas-verdade. É o que faremos agora. A tabela-verdade do ou... ou (p v q) será: p q p v q V V F V F V F V V F F F A tabela-verdade de p ~q será: p q ~q p ~q V V F F V F V V

17 F V F V F F V F AUDITOR-FISCAL DO TRABALHO Como as duas tabelas-verdade acima têm resultados iguais, chegamos à conclusão que, de fato: p v q = p ~q Muito bem, pessoal. Chegamos ao fim do tópico tratando das equivalências lógicas. A fim de ajuda-lo a memorizar o que vimos até aqui, coloquei abaixo um resumo que será de grande ajuda. Nem preciso dizer que você precisa decorá-lo (rs)! RESUMINDO: p q ~q ~p ~p ou q p ou q ~p q Equivalências de proposições compostas p q (p q) ^ (q p) (~q ~p) ^ (q p) (p q) ^ (~p ~q) (~q ~p) ^ (~p ~q) p q = ~p ~q p ou q p v q = p ~q 1.6 Esqueceu uma das equivalências? Não se preocupe! Após ver todas as equivalências acima, é possível que você me pergunte: E se na hora da prova eu esquecer a equivalência que se aplica a determinado conectivo lógico? Pulo a questão?

18 Jamais, meu aluno! Toda questão de equivalência pode ser resolvida tranquilamente por fazer as tabelas-verdade da proposição do enunciado e das alternativas. Daí busca-se as duas colunas que ficaram com valores lógicos iguais. Vamos ver isso na prática? AUDITOR-FISCAL DO TRABALHO QUESTÃO 10 (ESAF/DNIT/Analista Administrativo/2013) A proposição composta p p ^ q é equivalente à proposição: a) p v q b) p Λ q c) p d) ~ p v q e) q Vamos resolver a questão de duas formas. A primeira pela via da equivalência, e a segunda pela via da tabela-verdade. 1ª Solução: equivalência. A proposição do enunciado é: p p ^ q O conectivo que se busca a sua equivalência é o condicional. Aprendemos que as equivalências do Se... então nos levam a duas possibilidades: a outro condicional ou a uma disjunção. Com isso em mente, já eliminamos as alternativas b, c, e. Analisando as alternativas da questão, não vimos a presença de nenhum condicional. Assim, trabalharemos apenas com a equivalência que nos conduz a uma disjunção. Passos para obter a equivalência: 1º Nega-se o primeiro termo: ~p 2º Mantém-se o segundo termo: p ^ q 3º Troca-se o conectivo condicional pelo ou: ~p (p ^ q) Portanto, a alternativa correta é a letra D. 2ª Solução: tabela-verdade. A proposição do enunciado é: p p ^ q Vimos que será necessário construir as tabelas-verdade da proposição do enunciado e das alternativas. Logo: c) e) a) b) d) p q ~p p q p ^ q ~p q p p ^ q V V F V V V V V F F V F F F F V V V F V V F F V F F V V Enunciado

19 Identificamos claramente que a alternativa correta é a letra D, já que a sua tabelaverdade é idêntica à tabela-verdade da proposição do enunciado. Como era de esperar, chegamos ao mesmo resultado utilizando os dois tipos de solução. Dessa forma, não esqueça: se der um branco na hora da prova, recorra à tabela-verdade! 2. Negação de proposições compostas Esse é um assunto que é bastante cobrado em concursos públicos. No caso específico da ESAF, no entanto, não há uma presença muito forte deste tópico em suas provas. Como esse assunto aparece na prova, professor? O que se observa, caro aluno, é que a ESAF costuma cobrar o conhecimento da negação de proposições compostas em questões que tratam de outro assunto, tornando necessário que você domine esse item. É praticamente um pré-requisito! Quanto ao CESPE, esse assunto também é muitíssimo cobrado, só que de uma forma mais direta, conforme ficará claro por meio das diversas questões que abordaremos. Não se preocupe. Garanto que você entenderá tudo tranquilamente! Aprendemos em nossa aula inaugural como fazer a negação de proposições simples. Agora nos interessa saber como negar proposições compostas. A depender do conectivo lógico que une as proposições simples envolvidas na sentença, diversas formas de negação lógica surgirão. Vejamos caso a caso. 2.1 Negação da conjunção Para negar uma proposição composta unida pelo conectivo conjunção (p e q), seguiremos os seguintes passos: 1º) Negamos a primeira parte: ~p 2º) Negamos a segunda parte: ~q 3º) Trocamos e por ou: ~p ou ~q

20 Portanto, temos que: ~(p e q) = ~p ou ~q A relação obtida acima é conhecida como 1ª Lei de Morgan, em homenagem ao seu autor, o matemático Augustus De Morgan ( ). Pergunta para você, meu aluno: como comprovaremos que a relação acima é verdadeira? Por meio das tabelas-verdade, professor. Esse é meu aluno. Parabéns! O primeiro passo é construir a tabela-verdade de ~(p e q). p q ~p ~q p ^ q ~( p ^ q) V V F F V F V F F V F V F V V F F V F F V V F V Pronto. A coluna em destaque representa o resultado lógico da negação do conectivo conjunção. Daí, o segundo passo é construir a tabela-verdade da estrutura ~p ou ~q. p q ~p ~q ~p ~q V V F F F V F F V V F V V F V F F V V V Por fim, o terceiro e último passo é comparar os resultados obtidos nas duas tabelasverdade que acabamos de construir. ~( p ^ q) ~p ~q F F V V V V V V Professor, as duas tabelas são idênticas. Perfeito, isso mesmo. E se os resultados das tabelas-verdade de duas proposições são idênticos, o que podemos dizer sobre elas? Podemos afirmar que as proposições são equivalentes. Exato. Portanto, se você estiver diante de uma questão que solicite a negação do conectivo conjunção, nem precisa mais se dar ao trabalho de construir as tabelasverdade das proposições envolvidas, pois você já sabe que: ~(p e q) = ~p ou ~q Vamos agora testar os nossos conhecimentos por meio de algumas questões. QUESTÃO 11 (ESAF/CGU/Analista de Finanças e Controle/2008) Maria foi informada por João que Ana é prima de Beatriz e Carina é prima de Denise. Como Maria sabe que João sempre mente, Maria tem certeza que a afirmação é falsa. Desse modo, e do ponto de vista lógico, Maria pode concluir que é verdade que:

21 a) Ana é prima de Beatriz ou Carina não é prima de Denise. b) Ana não é prima de Beatriz e Carina não é prima de Denise. c) Ana não é prima de Beatriz ou Carina não é prima de Denise. d) se Ana não é prima de Beatriz, então Carina é prima de Denise. AUDITOR-FISCAL DO TRABALHO e) se Ana não é prima de Beatriz, então Carina não é prima de Denise. p: Ana é prima de Beatriz. q: Carina é prima de Denise. p ^ q No entanto, a sentença precisa ser negada, visto que quem a declarou (João) sempre mente. E acabamos de aprender que a negação de uma proposição conjuntiva é dada pela relação: ~(p ^ q) = ~p ~q Assim, podemos concluir que: Ana não é prima de Beatriz ou Carina não é prima de Denise. Portanto, a alternativa correta é a letra C. QUESTÃO 12 (CESPE/TRE-ES/Apoio Especializado/Operação de Computadores/2011) A negação da proposição "Marcos gosta de estudar, mas não gosta de fazer provas" é logicamente equivalente à proposição "Marcos não gosta de estudar e gosta de fazer provas". p: Marcos gosta de estudar. q: Marcos gosta de fazer provas. p ^ ~q Precisamos negar a sentença acima, pois é exatamente isso que o enunciado deseja. E acabamos de aprender que a negação de uma proposição conjuntiva é dada pela relação: ~(p ^ q) = ~p ~q Assim, podemos concluir que: Marcos não gosta de estudar ou gosta de fazer provas. Portanto, o item está errado. QUESTÃO 13 (CESPE/Polícia Federal/EPF/2013) A negação da proposição Pedro Henrique não será eliminado na investigação social e ele atende aos outros requisitos estará corretamente redigida da seguinte forma:

22 Pedro Henrique será eliminado na investigação social e ele não atende a algum dos outros requisitos. p: Pedro Henrique será eliminado na investigação social. q: Pedro Henrique atende aos outros requisitos. ~p ^ q Precisamos negar a sentença acima, pois é exatamente isso que o enunciado deseja. E acabamos de aprender que a negação de uma proposição conjuntiva é dada pela relação: ~(p ^ q) = ~p ~q Vimos também que basta seguir três passos: Nega-se a primeira parte: p Nega-se a segunda parte: ~q Troca-se o e pelo ou : p ~q Assim, podemos concluir que: Pedro Henrique será eliminado na investigação social ou ele não atende aos outros requisitos. Portanto, o item está errado. QUESTÃO 14 (CESPE/IBAMA/Analista Administrativo/2013) A negação da proposição Houve alternância de climas quentes e frios e a presença humana no planeta é recente pode ser expressa por Não houve alternância de climas quentes e frios ou a presença humana no planeta não é recente. p: Houve alternância de climas quentes e frios. q: A presença humana no planeta é recente. p ^ q Precisamos negar a sentença acima, pois é exatamente isso que o enunciado deseja. E acabamos de aprender que a negação de uma proposição conjuntiva é alcançada por seguir três passos: Nega-se a primeira parte: ~p Nega-se a segunda parte: ~q Troca-se o e pelo ou : ~p ~q Assim, podemos concluir que:

23 Não houve alternância de climas quentes e frios ou a presença humana no planeta não é recente. Portanto, o item está certo. QUESTÃO 15 (CESPE/SUFRAMA/ANATA/2014) Considerando que P seja a proposição O atual dirigente da empresa X não apenas não foi capaz de resolver os antigos problemas da empresa como também não conseguiu ser inovador nas soluções para os novos problemas, julgue o item a seguir a respeito de lógica sentencial. A negação da proposição P está corretamente expressa por O atual dirigente da empresa X foi capaz de resolver os antigos problemas da empresa ou conseguiu ser inovador nas soluções para os novos problemas. A proposição P é composta pelas seguintes proposições simples a: O atual dirigente da empresa X foi capaz de resolver os antigos problemas da empresa. b: O atual dirigente da empresa X conseguiu ser inovador nas soluções para os novos problemas. ~a ^ ~b Precisamos negar a sentença acima, pois é exatamente isso que o enunciado deseja. E acabamos de aprender que a negação de uma proposição conjuntiva é alcançada por seguir três passos: Nega-se a primeira parte: a Nega-se a segunda parte: b Troca-se o e pelo ou : a b Assim, podemos concluir que: O atual dirigente da empresa X foi capaz de resolver os antigos problemas da empresa ou conseguiu ser inovador nas soluções para os novos problemas. Portanto, o item está certo. QUESTÃO 16 (CESPE/Polícia Federal/Agente Administrativo/2014) Considerando que P seja a proposição Não basta à mulher de César ser honesta, ela precisa parecer honesta, julgue o item seguinte, acerca da lógica sentencial. A negação da proposição P está corretamente expressa por Basta à mulher de César ser honesta ou ela não precisa parecer honesta

24 A proposição P é composta pelas seguintes proposições simples a: Basta à mulher de César ser honesta. b: A mulher de César precisa parecer honesta. ~a ^ b Precisamos negar a sentença acima, pois é exatamente isso que o enunciado deseja. E acabamos de aprender que a negação de uma proposição conjuntiva é alcançada por seguir três passos: Nega-se a primeira parte: a Nega-se a segunda parte: ~b Troca-se o e pelo ou : a ~b Assim, podemos concluir que: Basta à mulher de César ser honesta ou ela não precisa parecer honesta. Portanto, o item está certo. 2.2 Negação da disjunção Para negar uma proposição composta unida pelo conectivo disjunção (p ou q), seguiremos os seguintes passos: 1º) Negamos a primeira parte: ~p 2º) Negamos a segunda parte: ~q 3º) Trocamos ou por e: ~p e ~q Portanto, temos que: ~(p ou q) = ~p e ~q A relação obtida acima é conhecida como 2ª Lei de Morgan. E já sabemos que a comprovação da equivalência acima é feita através do uso da tabelas-verdade. Assim: p q ~p ~q p q ~( p q) ~p ^ ~q

25 V V F F V F F V F F V V F F F V V F V F F F F V V F V V AUDITOR-FISCAL DO TRABALHO Como os resultados lógicos das proposições acima foram idênticos, temos que, de fato: ~( p q) = ~p ^ ~q Vamos agora testar os nossos conhecimentos por meio de algumas questões. QUESTÃO 17 (ESAF/SEFAZ SP/APOFP/2009) A negação de: Milão é a capital da Itália ou Paris é a capital da Inglaterra é: a) Milão não é a capital da Itália. b) Milão não é a capital da Itália e Paris não é a capital da Inglaterra. c) Milão não é a capital da Itália ou Paris não é a capital da Inglaterra. d) Paris não é a capital da Inglaterra. e) Milão é a capital da Itália e Paris não é a capital da Inglaterra. Gabarito: B O enunciado da questão é claro ao perguntar de forma direta sobre a negação de uma proposição composta unida pelo conectivo disjunção. De toda forma, caro aluno, o método de resolução será o mesmo que vínhamos utilizando nas questões de negação de conjunção. p: Milão é a capital da Itália. q: Paris é a capital da Inglaterra. p q No entanto, o que buscamos é a sua negação. E acabamos de aprender que a negação de uma proposição disjuntiva é dada pela relação: ~(p q) = ~p ^ ~q Assim, podemos concluir que: Milão não é a capital da Itália e Paris não é a capital da Inglaterra. Portanto, a alternativa correta é a letra B. QUESTÃO 18 (CESPE/ANATEL/Técnico Administrativo/2012) A negação da proposição Ocorre falha técnica na chamada ou a operadora interrompe a chamada de forma proposital é corretamente expressa por Não ocorre falha técnica na chamada nem a operadora interrompe a chamada de forma proposital

26 p: Ocorre falha técnica na chamada. q: A operadora interrompe a chamada de forma proposital. p q Precisamos negar a sentença acima, pois é exatamente isso que o enunciado deseja. E acabamos de aprender que a negação de uma proposição disjuntiva é alcançada por seguir três passos: Nega-se a primeira parte: ~p Nega-se a segunda parte: ~q Troca-se o ou pelo e : ~p ^ ~q Assim, podemos concluir que: Não ocorre falha técnica na chamada nem a operadora interrompe a chamada de forma proposital. Portanto, o item está certo. 2.3 Negação do condicional Essa é a negação de proposições compostas mais cobrada em provas de concursos públicos! Portanto, atenção total. Mas já lhe adianto que não há com o que se preocupar; o método de solução será o mesmo. Para negar uma proposição composta unida pelo conectivo condicional (Se p, então q), seguiremos os seguintes passos: 1º) Mantém a primeira parte: p 2º) Negamos a segunda parte: ~q 3º) Trocamos "Se então" por "e": p e ~q Portanto, temos que: ~(p q) = p ^ ~q Que legal. A negação do condicional nos leva a uma conjunção!

27 E já sabemos que a comprovação da equivalência acima é feita através do uso da tabelas-verdade. Assim: p q ~q p q ~( p q) p ^ ~q V V F V F F V F V F V V F V F V F F F F V V F F Como os resultados lógicos das proposições acima foram idênticos, temos que, de fato: ~(p q) = p ^ ~q Nada mais apropriado do que agora vermos como isso funciona na prática por meio de algumas questões. QUESTÃO 19 (ESAF/MF/Assistente Técnico-Administrativo/2014) A negação da proposição se Paulo trabalha oito horas por dia, então ele é servidor público é logicamente equivalente à proposição: a) Paulo trabalha oito horas por dia ou é servidor público. b) Paulo trabalha oito horas por dia e não é servidor público. c) Paulo trabalha oito horas por dia e é servidor público. d) Se Paulo não trabalha oito horas por dia, então não é servidor público. e) Se Paulo é servidor público, então ele não trabalha oito horas por dia. p: Paulo trabalha oito horas por dia. q: Paulo é servidor público. p q No entanto, o que buscamos é a sua negação. E acabamos de aprender que a negação de uma proposição composta tendo como conectivo lógico o Se... então é dada pela relação: ~(p q) = p ^ ~q Assim, podemos concluir que: Paulo trabalha oito horas por dia e não é servidor público. Portanto, a alternativa correta é a letra B. QUESTÃO 20 (ESAF/Receita Federal/ATRFB/2012) A negação da proposição "se Paulo estuda, então Marta é atleta" é logicamente equivalente à proposição a) Paulo não estuda e Marta não é atleta. b) Paulo estuda e Marta não é atleta. c) Paulo estuda ou Marta não é atleta. d) se Paulo não estuda, então Marta não é atleta

28 e) Paulo não estuda ou Marta não é atleta. AUDITOR-FISCAL DO TRABALHO p: Paulo estuda. q: Marta é atleta. p q No entanto, o que buscamos é a sua negação. Faremos isso seguindo três passos: 1º) Mantém a primeira parte: Paulo estuda. 2º) Negamos a segunda parte: Marta não é atleta. 3º) Trocamos "Se então" por "e": Paulo estuda e Marta não é atleta. Assim, podemos concluir que: Paulo estuda e Marta não é atleta. Portanto, a alternativa correta é a letra B. QUESTÃO 21 (ESAF/STN/Analista de Finanças e Controle/2013) A negação da proposição se Curitiba é a capital do Brasil, então Santos é a capital do Paraná é logicamente equivalente à proposição: a) Curitiba não é a capital do Brasil e Santos não é a capital do Paraná. b) Curitiba não é a capital do Brasil ou Santos não é a capital do Paraná. c) Curitiba é a capital do Brasil e Santos não é a capital do Paraná. d) Se Curitiba não é a capital do Brasil, então Santos não é a capital do Paraná. e) Curitiba é a capital do Brasil ou Santos não é a capital do Paraná. p: Curitiba é a capital do Brasil. q: Santos é a capital do Paraná. p q No entanto, o que buscamos é a sua negação. Faremos isso seguindo três passos: 1º) Mantém a primeira parte: Curitiba é a capital do Brasil. 2º) Negamos a segunda parte: Santos não é a capital do Paraná. 3º) Trocamos "Se então" por "e": Curitiba é a capital do Brasil e Santos não é a capital do Paraná. Assim, podemos concluir que a negação da proposição do enunciado é: Curitiba é a capital do Brasil e Santos não é a capital do Paraná. Portanto, a alternativa correta é a letra C. QUESTÃO 22 (CESPE/Polícia Federal/Agente/2012) Um jovem, ao ser flagrado no aeroporto portando certa quantidade de entorpecentes, argumentou com os policiais conforme o esquema a seguir: Premissa 1: Eu não sou traficante, eu sou usuário;

29 Premissa 2: Se eu fosse traficante, estaria levando uma grande quantidade de droga e a teria escondido; Premissa 3: Como sou usuário e não levo uma grande quantidade, não escondi a droga. Conclusão: Se eu estivesse levando uma grande quantidade, não seria usuário. Considerando a situação hipotética apresentada acima, julgue o item a seguir. A proposição correspondente à negação da premissa 2 é logicamente equivalente a "Como eu não sou traficante, não estou levando uma grande quantidade de droga ou não a escondi". p: Eu sou traficante. q: Eu estou levando uma grande quantidade de droga. r: Eu escondia uma grande quantidade de droga. p (q ^ r) No entanto, o que buscamos é a sua negação. Faremos isso seguindo três passos: 1º) Mantém a primeira parte: Eu sou traficante. 2º) Negamos a segunda parte: Eu não estou levando uma grande quantidade de droga ou não a escondi. 3º) Trocamos "Se então" por "e": Eu sou traficante e Eu não estou levando uma grande quantidade de droga ou não a escondi. Assim, podemos concluir que a negação da Premissa 2 é: Eu sou traficante, e não estou levando uma grande quantidade de droga ou não a escondi. Portanto, o item está errado. QUESTÃO 23 (CESPE/Polícia Civil-CE/Inspetor/2012) A negação da proposição "Se houver corrupção, os níveis de violência crescerão" é equivalente a "Se não houver corrupção, os níveis de violência não crescerão". p: Existe corrupção. q: Os níveis de violência crescerão. p q No entanto, o que buscamos é a sua negação. Faremos isso seguindo três passos:

30 1º) Mantém a primeira parte: Existe corrupção. 2º) Negamos a segunda parte: Os níveis de violência não crescerão. 3º) Trocamos "Se então" por "e": Existe corrupção e Os níveis de violência não crescerão. Assim, podemos concluir que a negação da proposição do enunciado é: Houve corrupção e os níveis de violência não crescerão. Portanto, o item está errado. 2.4 Negação do bicondicional Dificilmente você verá uma questão cobrando a negação de proposições compostas unidas pelo conectivo bicondicional ( ). Todavia, como nosso curso é completíssimo, não deixaremos esse assunto de lado. Mãos à obra! Para negar uma proposição composta unida pelo conectivo bicondicional ( Se e somente se ), seguiremos os seguintes passos: 1º) Mantém a primeira parte: p 2º) Mantém a segunda parte: q 3º) Trocamos o "Se e somente se" pelo "OU exclusivo": p ou ~q Portanto, temos que: ~(p q) = p q Que interessante, meus alunos: a negação do bicondicional é o OU exclusivo, e vice-versa. Vamos comprovar isso por meio de tabelas-verdade. Logo: p q p q ~( p q) p q ~(p q) V V V F F V V F F V V F F V F V V F F F V F F V Como os resultados lógicos das proposições acima foram idênticos, temos que, de fato:

31 ~(p q) = p q E: ~(p q) = p q AUDITOR-FISCAL DO TRABALHO Veja como isso já foi cobrado em provas de concursos. QUESTÃO 24 (CESPE/TC-DF/Analista de Controle Externo/2012) Com a finalidade de reduzir as despesas mensais com energia elétrica na sua repartição, o gestor mandou instalar, nas áreas de circulação, sensores de presença e de claridade natural que atendem à seguinte especificação: P: A luz permanece acesa se, e somente se, há movimento e não há claridade natural suficiente no recinto. Acerca dessa situação, julgue o item seguinte. A negação da especificação P é logicamente equivalente à proposição "A luz não permanece acesa se, e somente se, não há movimento ou há claridade natural suficiente no recinto". Vamos destacar a proposição P mencionada no enunciado: A luz permanece acesa se, e somente se, há movimento e não há claridade natural suficiente no recinto. O que a questão busca saber é se a negação de P é equivalente à seguinte proposição: "A luz não permanece acesa se, e somente se, não há movimento ou há claridade natural suficiente no recinto". E agora, professor, como resolver essa bronca? Simples! Iremos seguir a mesma receita de bolo das questões anteriores de negação de proposições compostas. p: A luz permanece acesa. q: Há movimento. r: Há claridade natural suficiente no recinto. p (q ^ ~r) No entanto, o que buscamos é a sua negação. Faremos isso seguindo três passos: 1º) Mantém a primeira parte: A luz permanece acesa. 2º) Mantém a segunda parte: Há movimento e não há claridade natural suficiente no recinto. 3º) Trocamos "Se e somente se" pelo "OU exclusivo": Ou a luz permanece acesa ou há movimento e não há claridade natural suficiente no recinto. Assim, podemos concluir que a negação da proposição do enunciado é: Ou a luz permanece acesa ou há movimento e não há claridade natural suficiente no recinto. Portanto, o item está errado

32 Outra solução possível seria por meio do uso das tabelas-verdade. Mas, dessa vez deixarei a resolução por sua conta, como um dever de casa (rs). Caso tenha alguma dificuldade, deixe uma mensagem no fórum ou me mande um . Ok? 3. Questões comentadas ESAF QUESTÃO 25 (ESAF/Ministério do Turismo/ANATA/2014) A proposição se Catarina é turista, então Paulo é estudante é logicamente equivalente a a) Catarina não é turista ou Paulo não é estudante. b) Catarina é turista e Paulo não é estudante. c) Se Paulo não é estudante, então Catarina não é turista. d) Catarina não é turista e Paulo não é estudante. e) Se Catarina não é turista, então Paulo não é estudante. p: Catarina é turista q: Paulo é estudante p q Vamos testar as duas equivalências que o conectivo lógico possui: Daí, a partir da proposição Catarina é turista Paulo é estudante, teremos: 1ª) De condicional para condicional: 1º Trocam-se os termos da condicional de posição; Paulo é estudante Catarina é turista 2º Negam-se ambos os termos: Paulo não é estudante Catarina não é turista Analisando as alternativas, concluímos que a alternativa correta é a letra C. QUESTÃO 26 (ESAF/Ministério da Fazenda/ATA/2009) X e Y são números tais que: Se X 4, então Y>7. Sendo assim: a) Se Y 7, então X > 4. b) Se Y > 7, então X 4. c) Se X 4, então Y < 7. d) Se Y < 7, então X 4. e) Se X < 4, então Y 7. p: X

33 q: Y>7 p q Vamos testar as duas equivalências que o conectivo lógico possui: Daí, a partir da proposição X 4 Y>7, teremos: 1ª) De condicional para condicional: 1º Trocam-se os termos da condicional de posição: Y>7 X 4 2º Negam-se ambos os termos: Y 7 X > 4 Analisando as alternativas, concluímos que a alternativa correta é a letra A. QUESTÃO 27 (ESAF/CGU/Técnico de Finanças e Controle/2008) Um renomado economista afirma que A inflação não baixa ou a taxa de juros aumenta. Do ponto de vista lógico, a afirmação do renomado economista equivale a dizer que: a) se a inflação baixa, então a taxa de juros não aumenta. b) se a taxa de juros aumenta, então a inflação baixa. c) se a inflação não baixa, então a taxa de juros aumenta. d) se a inflação baixa, então a taxa de juros aumenta. e) se a inflação não baixa, então a taxa de juros não aumenta. Sejam as proposições simples: p: A inflação baixa. q: taxa de juros aumenta. ~p q Vamos testar a equivalência que o conectivo lógico disjunção possui. Daí, a partir da proposição Inflação não baixa OU taxa de juros aumenta., teremos: 1º Nega-se o primeiro termo: Inflação baixa. 2º Mantém-se o segundo termo: Taxa de juros aumenta. 3º Troca-se o ou pelo condicional: Se Inflação baixa, então taxa de juros aumenta. Portanto, a alternativa correta é a letra D. QUESTÃO 28 (ESAF/Receita Federal do Brasil/Analista Tributário) A afirmação: João não chegou ou Maria está atrasada equivale logicamente a: a) Se João não chegou, Maria está atrasada. b) João chegou e Maria não está atrasada. c) Se João chegou, Maria não está atrasada. d) Se João chegou, Maria está atrasada. e) João chegou ou Maria não está atrasada

34 Questão bem parecida com a anterior. É bom para você analisar o tipo de questão que a ESAF cobra, especialmente quais as equivalências lógicas mais interessantes a serem estudadas. Sejam as proposições simples: p: João chegou. q: Maria está atrasada. ~p q Vamos testar a equivalência que o conectivo lógico disjunção possui. Daí, a partir da proposição João não chegou OU Maria está atrasada., teremos: 1º Nega-se o primeiro termo: João chegou. 2º Mantém-se o segundo termo: Maria está atrasada. 3º Troca-se o ou pelo condicional: Se João chegou, então Maria está atrasada. Portanto, a alternativa correta é a letra D. QUESTÃO 29 (ESAF/MPOG/Analista de Planejamento e Orçamento/2010) Sejam F e G duas proposições e ~F e ~G suas respectivas negações. Marque a opção que equivale logicamente à proposição composta: F se e somente G. a) F implica G e ~G implica F. b) F implica G e ~F implica ~G. c) Se F então G e se ~F então G. d) F implica G e ~G implica ~F. e) F se e somente se ~G. Sejam as proposições simples F e G. F G Analisando as alternativas, notamos que a maioria trata do se... então. Daí, trabalharemos apenas com a equivalência que nos leva a obter os condicionais unidos pela conjunção. De bicondicional para conjunção: F G = (F G) ^ (G F) Encontrou essa sentença entre as alternativas? Encontrei não, professor. Exato. E já sabe por quê? Perfeito. Mais uma vez a nossa querida ESAF está querendo dificultar a nossa vida. Mas, já sabemos a saída para essa pegadinha! Basta trabalhar com as equivalências presentes em um dos condicionais (ou os dois). Logo, uma das possibilidades é fazer a equivalência apenas do segundo se... então. Vamos lá: F G = (F G) ^ (~F ~G) Agora sim, a alternativa correta é a letra B. QUESTÃO 30 (ESAF/CGU/Analista de Finanças e Controle/2002)

35 Dizer que não é verdade que Pedro é pobre e Alberto é alto, é logicamente equivalente a dizer que é verdade que: a) Pedro não é pobre ou Alberto não é alto. b) Pedro não é pobre e Alberto não é alto. c) Pedro é pobre ou Alberto não é alto. d) se Pedro não é pobre, então Alberto é alto. e) se Pedro não é pobre, então Alberto não é alto. p: Pedro é pobre. q: Alberto é alto. p ^ q No entanto, a sentença precisa ser negada, visto que queremos saber no que ela se tornará quando não for verdade. E acabamos de aprender que a negação de uma proposição conjuntiva é dada pela relação: ~(p ^ q) = ~p ~q Assim, podemos concluir que: Pedro não é pobre ou Alberto não é alto. Portanto, a alternativa correta é a letra A. QUESTÃO 31 (ESAF/MPOG/EPPGG/2009) A negação de "Maria comprou uma blusa nova e foi ao cinema com José" é: a) Maria não comprou uma blusa nova ou não foi ao cinema com José. b) Maria não comprou uma blusa nova e foi ao cinema sozinha. c) Maria não comprou uma blusa nova e não foi ao cinema com José. d) Maria não comprou uma blusa nova e não foi ao cinema. e) Maria comprou uma blusa nova, mas não foi ao cinema com José. Essa questão é ainda mais simples, já que o enunciado é claro ao perguntar de forma direta sobre a negação de uma proposição composta unida pelo conectivo conjunção. De toda forma, caro aluno, o método de resolução será o mesmo. É praticamente uma receita de bolo (rs). p: Maria comprou uma blusa nova. q: Maria foi ao cinema com José. p ^ q No entanto, o que buscamos é a sua negação. E você já está careca de saber que: ~(p ^ q) = ~p ~q