Geometria Elementar gênese e desenvolvimento. Roberto Ribeiro Paterlini

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1 Geometria Elementar gênese e desenvolvimento Roberto Ribeiro Paterlini

2 Copyright março de 2010 by Roberto Ribeiro Paterlini Departamento de Matemática, UFSCar A presente versão está disponível na página pessoal do autor em formato pdf para ser examinada por colegas professores interessados Solicitamos não disponibilizar o arquivo em outras páginas O nosso endereço é Trata-se da construção de uma proposta alternativa para o ensino da Geometria Para sugestões ou perguntas favor se comunicar com o autor no endereço roberto@dmufscarbr A proposta deste livro é para ser usado como texto principal ou de apoio em cursos de formação de professores de Matemática para o ensino básico Pessoalmente temos utilizado como texto principal Mas no momento preferimos afirmar que a presente versão ainda não está adequada para uso em sala de aula até que seja terminada, corrigida e passada pelo escrutínio de colegas Para sugestões ou perguntas favor se comunicar com o autor no endereço roberto@dmufscarbr Presentemente esse texto está em constante atualização, e solicitamos atenção para que não sejam divulgadas versões desatualizadas As figuras aqui utilizadas e que não foram construídas pelo autor são de domínio público ou livres para uso não comercial As referências às figuras estão no Apêndice A, página 349 Caso tenha havido algum engano solicitamos que sejamos alertados Favor usar o endereço roberto@dmufscarbr O Copyright deste texto pertence ao autor, na forma da lei É permitido o download dos arquivos para uso pessoal, com transferência para ledores eletrônicos ou para impressão, na forma da lei, sem qualquer ônus É proibido o uso comercial em todo ou em parte de qualquer material aqui disponibilizado, por qualquer meio É vedada a modificação desse texto, sob qualquer forma Solicitamos que se forem feitas impressões em escala por agente educacional, público ou privado, que o material seja distribuído gratuitamente, e não sejam cobradas taxas, nem mesmo a título de preço de custo Gratos Figura da capa: Representação do quadrilátero de Giovanni Saccheri, que desempenha importante papel na geometria axiomática As hipóteses são: AD = BC e  e ˆB são retos ABCD é um retângulo? Este texto foi editado em LATEX 2ε pelo autor, que agradece à comunidade TEX pelos meios disponibilizados

3 Roberto Ribeiro Paterlini Geometria Elementar gênese e desenvolvimento um curso superior para professores de Matemática Data da primeira versão: 01 de março de 2010 Data desta versão: 23 de abril de 2015 Departamento de Matemática UFSCar

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5 Capítulo 15 Perpendicularismo e paralelismo no espaço 151 Introdução Neste Capítulo continuamos nossa apresentação da Geometria Euclidiana sob a perspectiva de um sistema axiomático Veremos agora as propriedades básicas de retas e planos no espaço O principal foco é o estudo das relações de perpendicularismo e paralelismo entre esses elementos (retas com retas, retas com planos e planos com planos) Precisamos conhecer essas relações para definir com precisão sólidos geométricos, como cilindros, paralelepípedos, etc, e investigar suas propriedades 152 Bases da Geometria Euclidiana no espaço Vimos no Capítulo 9, particularmente nas seções 94 e 98 (páginas 91 e 103, respectivamente), os axiomas e resultados iniciais da Geometria Euclidiana no espaço Para termos presentes essas propriedades fazemos a seguir uma pequena lista 1) O espaço contém pelo menos quatro pontos não coplanares (este é o Axioma E1) 2) (a) Dados três pontos quaisquer, existe um plano que os contém (b) Dados três pontos não colineares quaisquer, existe um único plano que os contém (c) Todo plano contém pelo menos três pontos não colineares (este é o Axioma E3) 3) Se uma reta interseta um plano que não a contém, a interseção contém um único ponto (este é o Teorema 93) 4) Dados uma reta e um ponto fora da reta, existe um único plano que os contém (este é o Teorema 94) 5) Se dois planos diferentes se intersetam, a interseção é uma reta (este é o Axioma E5) 6) Dado um plano, os pontos do espaço que não pertencem ao plano formam dois conjuntos não vazios tais que: (i) cada um dos conjuntos é convexo; e (ii) se A pertence a um dos conjuntos e B ao outro, então AB interseta o plano (este é o Axioma E10) Lembremos que duas retas são ditas paralelas se são coplanares e se não se intersetam, e que duas retas não coplanares são chamadas reversas Temos a propriedade: 7) Dados uma reta e um ponto fora dela, existe, no espaço, uma única reta paralela à reta dada e que contém o ponto dado Essa propriedade foi observada no Problema 1034 De fato, sejam r uma reta e P um ponto 243

6 244 Geometria Elementar: gênese e desenvolvimento fora dela Seja α o plano que os contém Pelo Axioma E16 (página 142) existe em α uma única reta s paralela a r e que contém P Suponhamos que existe uma outra reta t que seja paralela a r e que também contenha P, com t não contida em α Como t e r são paralelas, existe um plano β que os contém Então α e β são planos que contêm r e P, logo são o mesmo plano Assim t está contida em α, o que é uma contradição Portanto não é possível existir no espaço uma segunda paralela a r por P 153 Perpendicularismo entre retas e planos Começamos com resultados básicos sobre perpendicularismo entre retas e planos Definições 151 Uma reta e um plano se dizem perpendiculares quando se intersetam e cada reta contida no plano que passa pelo ponto de interseção é perpendicular à reta dada Se A é o ponto de interseção dizemos que o plano é perpendicular à reta em A, ou vice-versa Um segmento ou uma semirreta é perpendicular a um plano se intersetam o plano e se a reta que os contém é perpendicular ao plano Se o segmento AB é perpendicular a um plano com B no plano, então o ponto B chama-se pé do segmento perpendicular que liga A ao plano Quando precisamos verificar que uma reta é perpendicular a um plano não é necessário provar que ela é perpendicular a todas as retas do plano que contêm o ponto de interseção Sabemos por experiência que basta fazer isso para duas retas Vamos ver isso na forma de um teorema Para que a demonstração fique mais clara vejamos primeiro o seguinte Lema 152 Sejam S e U pontos equidistantes dos pontos P e Q Então todo ponto do segmento SU é equidistante de P e Q Demonstração A demonstração está ilustrada na Figura 151, em que procuramos deixar claro que a situação ocorre no espaço Temos PSU = QSU pelo caso LLL Logo PSU = QSU Seja T um ponto arbitrário do interior de SU Por LAL temos PST = QST Portanto PT = QT P S Q T U Figura 151 Ilustração do Lema 152

7 Perpendicularismo e paralelismo no espaço 245 Teorema 153 Se uma reta é perpendicular a duas retas que se intersetam em seu ponto de interseção, então ela é perpendicular ao plano que as contém Demonstração A demonstração está ilustrada na Figura 152 Sejam α um plano contendo duas retas s e u que se intersetam em A Seja r uma reta perpendicular a s e u em A Queremos provar que toda reta t de α que contém A também é perpendicular a r Sejam P e Q pontos de r equidistantes de A Sejam S um ponto de s e U de u, diferentes de A, e situados em semiplanos opostos de α em relação à reta t Portanto SU interseta t num ponto T Temos T A pois SU não está contido em s Como S e U são equidistantes de P e Q então, em virtude do Lema anterior, T também é No plano que contém r e t, os pontos A e T são equidistantes dos extremos do segmento PQ, logo t é a mediatriz desse segmento no referido plano Assim t é perpendicular a r r P s t u A Q U T S α Figura 152 Ilustração do Teorema 153 Nossa experiência com objetos geométricos nos diz que por um ponto de uma reta passa um plano perpendicular a ela, e esse plano é único Veremos isso na forma de teorema As duas proposições seguintes constituem uma preparação para que possamos demostrá-lo Proposição 154 Por um ponto de uma reta passa um plano perpendicular à reta Demonstração A demonstração está ilustrada na Figura 153 Sejam r uma reta e P um ponto nela contido Sejam α e β planos que contêm r (por que existem?) Seja s a reta de α que é perpendicular a r por P, e seja t a reta de β que é pérpendicular a r por P Seja γ o plano determinado por s e t Então r é perpendicular a duas retas de γ pelo ponto P, portanto r é perpendicular a esse plano Proposição 155 Se uma reta e um plano são perpendiculares em um ponto A, então o plano contém toda reta que passa por A e é perpendicular à reta dada

8 246 Geometria Elementar: gênese e desenvolvimento r α s P t β γ Figura 153 Ilustração da Proposição 154 Demonstração A demonstração está ilustrada na Figura 154 Sejam α um plano e r uma reta perpendicular a ele pelo ponto P Seja t uma reta (do espaço) perpendicular a r por P Queremos provar que t está contido em α Como r e t são retas concorrentes, existe um plano β determinado por elas Como α e β se intersetam (em P), então eles se intersetam em uma reta s Assim, no plano β, as retas s e t são perpendiculares a r, logo são iguais (Teorema 920, página 110) Segue que t pertence a α r β t s P α Figura 154 Ilustração da Proposição 155 Teorema 156 Por um ponto de uma reta passa um único plano perpendicular à reta Demonstração A existência do plano é garantida pela Proposição 154 acima Vejamos a unicidade Sejam α e β planos perpendiculares a uma reta r por um ponto P Seja t a reta de interseção desses planos Seja s outra reta de α que passa por P, logo ela é perpendicular a r Pela Proposição 155 acima, o plano β também contém s Portanto, α e β se intersetam em duas retas diferentes, logo são iguais No Problema 91311, página 123, vimos que, dado um segmento em um plano, sua mediatriz é o conjunto dos pontos do plano que são equidistantes dos extremos do segmento Os resultados vistos acima sobre planos e retas perpendiculares nos permitem demonstrar uma versão espacial dessa propriedade: Teorema 157 O plano perpendicular a um segmento pelo seu ponto médio é o conjunto dos pontos (do espaço) que são equidistantes dos extremos do segmento

9 Perpendicularismo e paralelismo no espaço 247 Demonstração A demonstração está ilustrada na Figura 155 Seja α um plano perpendicular ao segmento PQ pelo seu ponto médio R Seja C o conjunto dos pontos do espaço que são equidistantes de P e Q Pretendemos mostrar que α = C Seja X α O segmento X R está nesse plano, logo é perpendicular a PQ pelo seu ponto médio Então X está em uma mediatriz de PQ, e assim é equidistante de seus extremos Em consequência X C, e α C Seja agora X C Como X é equidistante de P e Q, X R está na mediatriz do segmento PQ (no plano que contém PQ e X ) Logo X R é perpendicular a PQ Como o plano α contém qualquer reta perpendicular a PQ pelo ponto R, vem que X R está nesse plano Logo X α e C α Provamos que α = C P α R X Q Figura 155 Ilustração do Teorema 157 O resultado seguinte descreve uma propriedade frequentemente utilizada em construções Se levantamos verticalmente dois pilares e esticamos sobre eles uma tela de arame, esperamos que essa tela forme uma figura planar Abstratamente temos o Teorema 158 Duas retas quaisquer perpendiculares a um mesmo plano são coplanares Demonstração Na Figura 156 vemos ilustrados um plano α e duas retas r e s a ele perpendiculares Sejam P e Q respectivamente os pés de r e s em α Se P = Q então r e s são concorrentes e já sabemos que existe um plano que as contém Suponhamos P Q Seja AB um segmento em α e que interseta PQ em M, sendo M o ponto médio de ambos, e AB é perpendicular a PQ Seja β o plano perpendicular a AB por M Nosso objetivo é provar que r e s estão em β Vamos primeiro provar que r está em β Seja C um ponto de r diferente de P Como PA = PB temos CPA = CPB pelo caso LAL Segue que C A = CB, e assim C é equidistante dos extremos do segmento AB Então, pelo Teorema 157, C está no plano perpendicular a AB pelo seu ponto médio Mas esse plano é β Assim β tem dois pontos de r, a saber, P e C Portanto r está em β Da mesma forma se prova que s está em β, e terminamos Prosseguimos nossos estudos sobre planos e retas perpendiculares Queremos provar agora que por um ponto de um plano passa uma única reta perpendicular ao plano Essa afirmação é um tipo de dual do Teorema 156 Começamos com a existência da reta Proposição 159 Por um ponto de um plano dado existe uma reta perpendicular ao plano Demonstração Seja P um ponto em um plano α Escolhemos, nesse plano, uma reta r que contenha P Confira ilustração na Figura 157 Consideremos o plano β perpendicular a r pelo ponto P Esse plano existe em virtude do Teorema 156 (β é único, mas não vamos usar isso agora) β é diferente de α, pois r está em α mas tem um único ponto em β Mas α e β se intersetam em P, logo sua interseção é uma reta s Seja

10 248 Geometria Elementar: gênese e desenvolvimento β C r s B P M Q α A Figura 156 Ilustração do Teorema 158 t a reta de β perpendicular a s por P A reta t também é perpendicular a r, pois r é perpendicular a β e t está nesse plano Assim t é perpendicular a duas retas diferentes de α (r e s) no ponto P Portanto t é perpendicular a α pelo ponto P β t s P r α Figura 157 Ilustração da Proposição 159 Desejamos agora provar que a reta perpendicular é única Examinando a demonstração acima verificamos que o plano β é o único plano perpendicular a r por P, e t é a única reta perpendicular a s por P Assim, se consideramos o processo usado nessa demonstração, a reta t assim obtida é única Mas temos que considerar que poderíamos obter a reta perpendicular por outro processo, e eventualmente ela seria diferente de t Assim, para provar que a perpendicular é única, parece que a melhor tática é usar contradição Supomos que temos duas, e tentamos obter uma contradição com a teoria Isso é o que fazemos em Teorema 1510 Por um ponto de um plano dado existe uma única reta perpendicular ao plano Demonstração Conforme comentamos, falta provar a unicidade Seja P um ponto em um plano α Sejam t e u retas perpendiculares ao plano pelo ponto Confira ilustração na Figura 158 Como t e u são retas concorrentes, existe um plano β que as contém Esse plano é diferente de α, pois t está nele mas não está em α Por outro lado α e β se intersetam em P, logo sua interseção é uma reta s Concentremo-nos agora no plano β Nele temos as retas t e u que são perpendiculares a s no mesmo ponto P Então t = u

11 Perpendicularismo e paralelismo no espaço 249 β t u P α s Figura 158 Ilustração do Teorema 1510 Retomamos agora o Teorema 156, que afirma que Por um ponto de uma reta passa um único plano perpendicular à reta Mas agora consideramos o caso em que o ponto não está na reta Teorema 1511 Dados um ponto e uma reta (que contém o ponto ou não), existe um único plano que contém o ponto e é perpendicular à reta Demonstração Conforme comentamos, o caso em que o ponto está na reta já foi visto no Teorema 156 Suponhamos que o ponto não está na reta Sejam r uma reta e P um ponto fora dela Existe um único plano α determinado por eles Veja ilustração na Figura 159 Nesse plano existe uma reta s perpendicular a r e contendo o ponto P Seja Q o pé dessa perpendicular em r Pelo Teorema 156 existe um plano β perpendicular a r por Q Pela Proposição 155 esse plano contém todas as retas perpendiculares a r, logo s está em β Assim P pertence a β, e β é o plano procurado β s Q r α P Figura 159 Ilustração do Teorema 1511 Vejamos agora a unicidade Sejam β e β planos perpendiculares a r e contendo P, e sejam, respectivamente, s e s suas intersecções com α Não podemos ter s s, pois se isso ocorresse teríamos no plano α duas retas perpendiculares a r e concorrentes, o que não é possível Logo s = s Então β e β são planos perpendiculares a r por um ponto de r, e o Teorema 156 implica β = β Retomamos agora o Teorema 1510, que afirma que Por um ponto de um plano dado existe uma única reta perpendicular ao plano Mas agora consideramos o caso em que o ponto não está no plano

12 250 Geometria Elementar: gênese e desenvolvimento Teorema 1512 Dados um ponto e um plano (que contém o ponto ou não), existe uma única reta que contém o ponto e é perpendicular ao plano Demonstração Conforme comentamos, o caso em que o ponto está no plano já foi visto no Teorema 1510 Suponhamos que o ponto não está no plano Vejamos primeiro a existência da reta perpendicular Sejam α um plano e P um ponto fora dele Podemos acompanhar a demonstração na Figura 1510 Por um ponto qualquer Q de α tomamos a reta r perpendicular a esse plano Se r contém P, terminamos Se não contém, seja β o plano determinado por r e P r s t t P T β Q α Figura 1510 Ilustração do Teorema 1512 Observemos que β é diferente de α pois contém r e α não Ainda Q pertence a ambos, de modo que a interseção desses planos é uma reta s que contém Q Como r é perpendicular a α, r e s são perpendiculares Seja t a reta de β paralela a r por P Então t é perpendicular a s em um ponto T Afirmamos que t é a reta procurada Para ver isso, seja t a reta perpendicular a α por T Então r e t são ambas perpendiculares a α, e o Teorema 158 garante que elas são coplanares Seja γ esse plano Então γ contém r e T, assim como β Portanto γ = β Vemos a partir disso que t e t são perpendiculares a s por T no plano β Dessa forma t = t, e t é perpendicular a α Vejamos agora a unicidade Sejam α um plano e P um ponto fora dele Suponhamos que existam duas perpendiculares t e u a α por P Sejam T e U os pés dessas perpendiculares em α Então, no plano que contém t e u, temos uma reta TU, um ponto P fora dela e duas retas t e u a ela perpendiculares por P Sabemos que isso não é possível Assim vale a unicidade, e terminamos Deixamos para o estudante a demonstração da Proposição 1513 O menor segmento ligando um plano a um ponto que não lhe pertence é o segmento perpendicular Aproveitamos o ensejo para definir distância entre ponto e plano Definição 1514 A distância de um plano a um ponto que não lhe pertence é o comprimento do segmento perpendicular do ponto ao plano Se o ponto pertence ao plano dizemos que a distância é zero Dado um plano α e um ponto A α, o pé da perpendicular de A a α é o ponto P α tal que AP é perpendicular a α

13 Perpendicularismo e paralelismo no espaço 251 Estivemos estudando propriedades de perpendicularismo entre retas e planos Precisamos também definir o que significa um plano ser perpendicular a outro Vamos fazer isso mais abaixo, depois que estudarmos o conceito de diedro 154 Paralelismo de retas e planos Apresentamos agora resultados básicos sobre paralelismo entre retas e planos e entre planos e planos Já vimos na Definição 101 os conceitos de retas paralelas e retas reversas Vamos repetir aqui Definições 1515 Duas retas são ditas paralelas se são coplanares e se não se intersetam Duas retas não coplanares são ditas reversas Dois planos, ou um plano e uma reta, se dizem paralelos se não se intersetam Um segmento se diz paralelo a um plano se a reta que o contém é paralela ao plano Lembremos que, em virtude do Axioma E16 e do resultado do Problema 1034, dado uma reta e um ponto fora dela, existe (no espaço) uma única reta paralela à reta dada e contendo o ponto dado Agora a primeira propriedade que vamos estudar é Proposição 1516 Se um plano interseta dois planos paralelos, então as interseções são duas retas paralelas Demonstração A afirmação está ilustrada na Figura 1511 Sejam α e β planos paralelos Seja γ um plano que interseta α na reta r e β na reta s Essas retas são paralelas pois: (i) são coplanares (estão no plano γ); (ii) não se intersetam (pois α e β não se intersetam) α β r s γ Figura 1511 Ilustração da Proposição 1516 O próximo resultado é o análogo para o espaço da afirmação do Problema 10334, página 147 Teorema 1517 Se uma reta é perpendicular a um de dois planos paralelos, então ela é perpendicular ao outro Demonstração Sejam α e β planos paralelos e t uma reta perpendicular a α Queremos provar que t interseta β e, ainda mais, lhe é perpendicular Veja ilustração na Figura 1512 Certamente que β não está contido em t Portanto existe em β um ponto A que não pertence a t Isso implica que t e A determinam um plano γ Esse plano interseta α, pois contém t e esta reta interseta α Seja r a interseção de γ e α Por outro lado, γ também interseta β, pois o ponto

14 252 Geometria Elementar: gênese e desenvolvimento α β t r s A γ Figura 1512 Ilustração do Teorema 1517 A é comum Seja s a interseção de γ e β Pelo que foi observado na Proposição acima, r e s são paralelas Em resumo, no plano γ temos duas retas paralelas r e s e uma reta t que é perpendicular a r Pelo Problema 10334, já citado acima, t interseta s em um ponto Q e é perpendicular a ela Portanto t é perpendicular a uma reta de β pelo ponto Q Tomando agora um ponto B de β, diferente de Q e fora de s, repetimos a construção acima e encontramos outra reta de β perpendicular a t pelo ponto Q Portanto t é perpendicular a β Outro resultado sobre paralelismo é Teorema 1518 Se dois planos são perpendiculares a uma reta então eles são paralelos Demonstração Sejam α e β dois planos perpendiculares a uma mesma reta nos pontos P e Q respectivamente Se os dois planos se encontrassem em um ponto R, então PQR seria um triângulo com dois ângulos internos retos, o que é impossível Logo os planos não se encontram, e assim são paralelos Corolário 1519 Dois planos, cada um paralelo a um terceiro plano, são paralelos Demonstração Sejam α e β dois planos, cada um deles paralelo a um terceiro plano γ Seja r uma reta perpendicular a α Como α e γ são paralelos, então r é também perpendicular a γ Como γ e β são paralelos, então r é perpendicular a β Portanto, α e β têm uma reta perpendicular comum, e assim são paralelos O seguinte resultado já foi praticamente visto no Teorema 158, mas vamos repetí-lo aqui para enfatizar o aspecto de que as retas perpendiculares são paralelas Proposição 1520 Duas retas perpendiculares a um mesmo plano são paralelas Demonstração Sejam r e s duas retas perpendiculares a um plano α pelos pontos P e Q, respectivamente O Teorema 158, mencionado acima, nos diz que elas são coplanares Seja β o plano que as contém Nesse plano temos duas retas (r e s) perpendiculares a outra reta ( PQ) Logo r e s são paralelas Uma consequência dessa afirmação é Corolário 1521 Um plano perpendicular a uma de duas retas paralelas é perpendicular à outra

15 Perpendicularismo e paralelismo no espaço 253 Demonstração Sejam r e s retas paralelas e α um plano perpendicular a r Queremos mostrar que s encontra α e lhe é perpendicular Faremos isso indiretamente Confira ilustração na Figura 1513 Seja A um ponto qualquer de s O Teorema 1512 garante que existe uma (única) reta t que contém A e é perpendicular ao plano Pela Proposição 1520 r e t são paralelas Pelo Axioma das Paralelas, t = s Logo s encontra α e lhe é perpendicular r s t A α Figura 1513 Ilustração do Corolário 1521 Vimos no Problema 10331, página 147, que em um plano, se duas retas são paralelas a uma terceira, então elas são paralelas entre si Usando as propriedades de planos perpendiculares a retas podemos agora eliminar a exigência de que as três retas devem estar no mesmo plano Corolário 1522 Duas retas, cada uma paralela a uma terceira reta, são paralelas Demonstração Sejam r e s duas retas, cada uma paralela a uma terceira reta t Seja α um plano perpendicular a t Como r e t são paralelos, então α é perpendicular a r Como s e t são paralelos, então α é perpendicular a s Como r e s são perpendiculares ao mesmo plano, então são paralelas Nossa experiência da vida comum nos diz que planos paralelos são equidistantes Isso pode ser demonstrado no nosso sistema axiomático Teorema 1523 Se dois planos são paralelos é constante a distância de qualquer ponto de um deles ao outro Demonstração Sejam α e β planos paralelos Sejam A e B pontos arbitrários de α Sejam C e D seus respectivos pés sobre β Queremos provar que AC = BD Confira ilustração na Figura 1514 α A B β C D Figura 1514 Ilustração do Teorema 1523 Como os segmentos AC e BD são perpendiculares a β, eles pertencem a um plano e são paralelos (Teorema 158) Esse plano, por sua vez, interseta os planos α e β em retas paralelas (Proposição 1516) Considere agora o quadrilátero plano ABDC Pelo que foi observado ele tem os dois pares de lados opostos paralelos, logo é um paralelogramo Pelo Teorema 1013 seus lados opostos são congruentes Em particular, AC = BD

16 254 Geometria Elementar: gênese e desenvolvimento Para definir distância entre planos paralelos precisamos ainda do Teorema 1524 Prove que, dados dois planos paralelos, o menor segmento com extremidades nos dois planos ocorre quando esse segmento é perpendicular aos planos Demonstração Sejam α e β planos paralelos Sejam A α e B β pontos tais que AB α Para obter esse segmento escolha um ponto arbitrário a α e tome a reta perpendicular a α por A Pelo Teorema 1517 essa reta intercepta β em um ponto B, logo AB α Temos também AB β Sejam agora C α e D β pontos quaisquer Queremos provar que AB C D Confira ilustração na Figura 1515 Seja E β tal que CE β Pelo Teorema 1523 temos AB = CE Se E = D, terminamos Se E D então CDE é um triângulo retângulo com hipotenusa CD, logo CE < CD Assim AB < CD Com isso terminamos α A C B D E β Figura 1515 Distância entre planos paralelos Esses resultados nos permitem colocar a Definição 1525 A distância entre dois planos paralelos é a medida de qualquer segmento perpendicular que os liga Terminamos essa seção observando o Teorema 1526 (Teorema de Tales para planos paralelos) Planos paralelos determinam sobre duas retas secantes quaisquer segmentos correspondentes proporcionais Demonstração Sejam α, β, γ, planos paralelos e m e n retas secantes a esses planos Suponhamos primeiro que m n Então m e n estão em um plano ω, e as interseções desse plano com os planos paralelos são retas paralelas Essas retas determinam com m e n paralelogramos e os lados opostos desses paralelogramos determinados por m e n são congruentes, e temos o resultado desejado Se m não é paralelo a n, consideramos por m α a reta l paralela a n Pelo que foi observado o resultado vale para os segmentos determinados sobre l e n Mas l e m são coplanares, pois são concorrentes, de modo que podemos aplicar a elas o Teorema 1020, apresentado na página 153, e o resultado vale para l e m Combinando os dois resultados obtidos segue que a afirmação é verdadeira para m e n

17 Perpendicularismo e paralelismo no espaço 255 l m n α β γ 155 Diedros Figura 1516 Ilustração do Teorema de Tales para planos paralelos Um conceito básico em geometria espacial é o de diedro Eles são um tipo de generalização da ideia de ângulo plano Com esse conceito podemos definir quando dois planos são perpendiculares Definições 1527 Se dois semiplanos têm a mesma origem e não estão contidos no mesmo plano, a reunião dos dois semiplanos e sua origem é chamada diedro A origem dos dois semiplanos é chamada aresta do diedro A reunião da aresta e de qualquer um dos dois semiplanos é chamada face do diedro Se P e Q são pontos da aresta do diedro e A é um ponto de uma face e B de outra, ambos fora da aresta, então o diedro é indicado por APQB A interseção de um diedro com um plano perpendicular à sua aresta chama-se seção normal do diedro A Figura 1517 ilustra essas definições P B P B Q A R C Q A D Figura 1517 À esquerda, um diedro À direita, uma seção normal de um diedro Pode-se provar que duas seções normais quaisquer de um diedro são congruentes Proposição 1528 Todos as seções normais de um diedro têm a mesma medida

18 256 Geometria Elementar: gênese e desenvolvimento Demonstração Consideremos um diedro APQB e duas seções normais CRD e ESF Queremos provar que esses ângulos têm a mesma medida Os pontos C, D, E e F podem ser tomados de forma que C e E estão no mesmo semiplano que A, D e F estão no mesmo semiplano que B, RC = SE e RD = SF Confira ilustração na Figura 1518, à esquerda À direita da mesma figura vemos como esses pontos formam figuras no espaço: três quadriláteros e dois triângulos Vamos provar que os dois triângulos são congruentes Notemos primeiro que SF DR é um paralelogramo, pois SF = RD (por construção) e SF e RD são perpendiculares à mesma reta em um plano, logo são paralelos De modo análogo se vê que SECR é um paralelogramo Aqui usamos o Teorema 1014, da página 143 Uma consequência é que EC e DF são paralelos e congruentes, pois são ambos paralelos e congruentes a SR Logo ECDF é um paralelogramo, do que vem CD = EF Assim são congruentes os triângulos ESF e CRD pelo caso LLL Portanto CRD e ESF têm a mesma medida P S R Q C A B E F D S R E C F D Figura 1518 Ilustração da Proposição 1528 Conforme comentamos, a ideia de diedro nos permite definir planos perpendiculares Definições 1529 A medida de um diedro é a medida de qualquer uma de suas seções normais Um diedro se diz reto se sua medida for 90 Dois planos se dizem perpendiculares se contêm um diedro reto Sobre planos perpendiculares veremos dois resultados O primeiro nos diz que para que um plano seja perpendicular a outro basta que ele contenha uma reta perpendicular ao segundo plano Em outros termos, Teorema 1530 Se uma reta é perpendicular a um plano, então todo plano contendo a reta é perpendicular ao plano dado Demonstração Acompanhamos a demonstração com a Figura 1519 Sejam α um plano e r uma reta perpendicular a ele no ponto P Seja β um plano qualquer contendo r Queremos provar que esse plano é perpendicular a α Para isso temos que ver que eles formam um diedro reto Seja s a interseção de α e β, e consideremos a reta t de α perpendicular a s por P Como s é perpendicular a r, vemos que ela é perpendicular a duas retas concorrentes do plano γ definido por r e t Logo γ é perpendicular a s e as retas r e t definem uma seção normal dos diedros formados por α e β Essa seção normal é um ângulo reto, de modo que α e β são perpendiculares Temos também o

19 Perpendicularismo e paralelismo no espaço 257 β r P t α s Figura 1519 Ilustração dos Teoremas 1530 e 1531 Teorema 1531 Se dois planos são perpendiculares então qualquer reta de um deles perpendicular à interseção dos planos é perpendicular ao outro plano Demonstração A demonstração pode também ser acompanhada com a Figura 1519 Sejam α e β planos perpendiculares e seja s a reta interseção Seja r uma reta de β perpendicular a s em um ponto P Queremos provar que r é perpendicular a α Para isso consideremos em α a reta t perpendicular a s em P Então s é perpendicular a r e t, de modo que essas duas retas formam uma seção normal dos diedros definidos por α e β Como esses planos são perpendiculares, então a referida seção normal é um ângulo reto Assim r e t são perpendiculares Vemos que r é perpendicular a duas retas concorrentes de α, logo r é perpendicular a esse plano 156 Projeções e pontos simétricos Vimos na Definição 932, página 119, o conceito de projeção de um ponto sobre uma reta Mais importante é o correspondente conceito de projeção sobre um plano Afinal das contas, sempre que desenhamos um objeto tridimensinal do espaço em uma folha de papel, estamos na verdade desenhando uma projeção desse objeto em um plano Definições 1532 A projeção ortogonal (neste texto denominada simplesmente projeção) de um ponto sobre um plano que não o contém é o pé da perpendicular do ponto ao plano Se o ponto pertence ao plano dizemos que sua projeção sobre o plano é ele mesmo A projeção de um conjunto de pontos sobre um plano é o conjunto das projeções de todos os seus pontos sobre o plano O estudo das projeções é bastante extenso e engloba inúmeras técnicas No momento veremos apenas o seguinte resultado: Teorema 1533 Se uma reta e um plano não são perpendiculares então a projeção da reta sobre o plano é uma reta Se a reta suporte de um segmento e um plano não são perpendiculares então a projeção do segmento sobre o plano é um segmento Demonstração Sejam α um plano e r uma reta não perpendicular a ele Se a reta está no plano, ela é sua própria projeção, e terminamos Suponhamos que r não está contida em α Sejam A e B dois pontos de r, e A e B os respectivos pés das perpendiculares desses pontos ao plano Primeiro

20 258 Geometria Elementar: gênese e desenvolvimento observamos que AA e BB estão em retas diferentes, pois, se estivessem na mesma reta, essa reta seria r, e r seria perpendicular a α, o que não é o caso Ainda, A e B não são coincidentes, pois, se o fossem, haveria duas perpendiculares a α pelo mesmo ponto, o que não é possível Portanto está bem definida a reta s que contém A e B, e essa é uma reta de α Vamos mostrar que s é a projeção de r sobre α Como AA e BB são perpendiculares a α, eles estão no mesmo plano, que chamaremos de β Esse plano contém r, assim é diferente de α, mas tem com ele pontos em comum, a saber, A e B, logo sua interseção é a reta s Pelo Teorema 1530, α e β são perpendiculares, pois β contém uma reta perpendicular a α Seja C um ponto qualquer de r, e seja C sua projeção sobre α Queremos provar que C está em s Para isso, seja C D perpendicular a s em β, com D em s Então C D está em β e é perpendicular à interseção desse plano com α Pelo Teorema 1531 CD é perpendicular a α Assim CD e CC são perpendiculares ao mesmo plano pelo mesmo ponto C, logo são iguais Então D = C e C está em s Seja agora T um ponto qualquer de s Queremos mostrar que ele é projeção de algum ponto de r Seja t a perpendicular a s por T no plano β Logo t é perpendicular à interseção de α e β, que são planos perpendiculares Pelo Teorema 1531 t é perpendicular a α Como r não é perpendicular a s, segue que t e r não são paralelas Seja C sua interseção Assim T é o pé da perpendicular de C a α, ou seja, é a projeção de C Provamos assim que s é a projeção de r Seja agora AB um segmento cuja reta suporte r não é perpendicular a α Se o segmento estiver contido em α, ele é a projeção dele mesmo, e terminamos Do contrário, usando as notações acima, a projeção de AB está na reta s Seja C tal que A C B Já vimos que a projeção C de C sobre α está em s Queremos provar que A C B Como t = AA e v = BB são paralelas, B e B estão do mesmo lado de t no plano β Chamaremos este lado de L Em virtude do resultado do Problema 992, temos C L Como u = CC e t são paralelas, C L Portanto C A B Do mesmo modo se prova que C B A Segue que A C B Seja agora T um ponto tal que A T B Já vimos que existe um ponto C r tal que T é a projeção de C sobre α Com o mesmo argumento do parágrafo anterior provamos que A C B Logo a projeção de AB sobre α é o segmento A B r β B C A A C B α s Figura 1520 Ilustração do Teorema 1533 Na Definição 933, na página 119, vimos o que é o simétrico de um ponto em relação a uma reta Vejamos agora a definição de simétrico de um ponto em relação a um plano Definições 1534 Seja A um ponto e α um plano que não o contém O simétrico de A em relação a α é o ponto A tal que: (i) A está na perpendicular a α por A e no semiespaço oposto a A em relação ao plano; (ii) A e A têm a mesma distância de α Se o ponto A está no plano α, dizemos que ele mesmo é seu simétrico em relação ao plano

21 Perpendicularismo e paralelismo no espaço 259 Dado um conjunto F do espaço, seu simétrico em relação a α é o conjunto dos simétricos dos seus pontos em relação ao plano Confira ilustração na Figura 1521 Usando o resultado do Teorema 1512 vemos que, dado um ponto e um plano, existe e é único o simétrico do ponto em relação ao plano A A Figura 1521 A é o simétrico de A em relação ao plano 157 Problemas Problema 1571 Explique por que vale a Proposição 1513: O menor segmento ligando um plano a um ponto que não lhe pertence é o segmento perpendicular Problema 1572 Sejam r e s retas reversas, P e Q dois pontos de r e S e T dois pontos de s Explique por que as retas PS e QT são reversas Problema 1573 O espaço menos um ponto é um conjunto convexo? Problema 1574 Demonstre que se uma reta interseta um de dois planos paralelos e não está nele contido, então ela interseta o outro plano Problema 1575 Prove que, dado um plano, existem infinitos planos paralelos a ele Problema 1576 Dado um plano e um ponto, é uma reta a interseção de todos os planos perpendiculares ao plano dado passando pelo ponto dado Problema 1577 Demonstre o seguinte: dado um plano α e pontos P e Q situados em semiplanos diferentes em relação ao plano α, existem infinitos planos β que contêm P e Q e que intersetam α em alguma reta Faça uma figura ilustrando a afirmação Problema 1578 Em cada uma das afirmações abaixo, assinale V se for sempre verdadeira, F se for sempre falsa e A se for às vezes verdadeira, às vezes falsa Justifique suas respostas e faça figuras a) Duas retas paralelas ao mesmo plano são perpendiculares entre si b) Se um plano interseta dois planos paralelos, as retas de interseção são reversas c) Se dois planos são paralelos à mesma reta, então eles são paralelos entre si d) A interseção de um plano com as faces de um diedro é um ângulo contido no diedro

22 260 Geometria Elementar: gênese e desenvolvimento e) Se duas retas são perpendiculares ao mesmo plano, elas são paralelas f) Se duas retas são paralelas ao mesmo plano, elas são paralelas g) Se uma reta é perpendicular a um plano, todo plano contendo a reta é perpendicular ao plano dado h) A projeção de um ângulo sobre um plano pode ser um ponto i) Duas retas são paralelas se forem perpendiculares a uma mesma reta Problema 1579 Prove que, dada uma reta, existem infinitos planos que a contêm Faça um desenho mostrando uma reta e três planos que a contêm Problema Usando que o espaço contém pelo menos quatro pontos não coplanares, mostre que existem retas reversas Desenhe duas retas reversas Problema Dê condições mínimas sobre os pontos A, B, P e Q para que esteja bem definido o diedro [APQB] Problema Defina interior de um diedro qualquer e explique por que ele é um conjunto convexo Problema Um plano α e uma reta r não contida nele são paralelos se e somente se r é paralela a alguma reta de α Problema Mostre que se uma reta interseta um plano, existe no plano uma reta perpendicular a ela pelo ponto de interseção Em que situação essa reta é única? Problema Na Figura 1522 (a), A, B, C e D são não coplanares, AD = DC, BC = B A e DB A é um ângulo reto Então pelo menos um dos segmentos da figura é perpendicular a um dos planos Que segmento e que plano? Demonstre sua resposta C B D D (a) A B (b) α A C E Figura 1522 Figura para os Problemas e Problema Na Figura 1522 (b), A, C e E estão no plano α e não são colineares Ainda, AB é perpendicular a AE e CD a CE, e AB é paralela a CD Prove que AB e CD são perpendiculares a α Problema Na Figura 1523, A e B estão em semiespaços opostos em relação ao plano α e são equidistantes dele As perpendiculares a α por A e B intersetam α em T e S, respectivamente Prove que: (i) AB interseta ST ; (ii) se R é o ponto de interseção de AB com ST então R é o ponto médio de ST

23 Perpendicularismo e paralelismo no espaço 261 A α S R T B Figura 1523 Figura para o Problema Problema Sejam A, B, C e D quatro pontos do espaço não coplanares e tais que três a três não são colineares A reunião dos segmentos AB, BC, CD e D A é chamada quadrilátero reverso Prove que é um paralelogramo o quadrilátero que se obtém ligando-se consecutivamente os pontos médios desses segmentos Faça uma figura ilustrativa Problema Se dois planos (diferentes) se intersetam em uma reta r, então qualquer reta paralela aos dois planos é paralela a r Problema Suponha que três planos têm exatamente um ponto em comum Existe uma reta que seja simultaneamente paralela aos três planos? Problema Prove que, dado um plano e um ponto fora dele, existe um único plano contendo o ponto e paralelo ao plano dado Problema Sejam α e β planos que se intersetam na reta r Sejam A um ponto de α, B um ponto de β e P um ponto de r tais que APB é uma seção normal de um dos diedros formados por α e β Determine em que situação exatamente se tem AP perpendicular a β Nesse caso vale α β? Por que? Confira ilustração na Figura 1524 β r P Figura 1524 Figura ilustrativa do Problema α A B Problema Sejam α um plano e r uma reta Prove que existe um plano contendo r e perpendicular a α Em que condições este plano é único?

24 262 Geometria Elementar: gênese e desenvolvimento Problema Sejam α um plano e AB um segmento Mostre que o simétrico de AB em relação a α é o segmento A B, em que A é simétrico de A e B o de B Problema O que é a projeção de uma reta sobre um plano? E o simétrico de uma reta em relação a um plano? Problema Se cada um de dois planos que se intersetam é perpendicular a um terceiro plano, a reta de interseção é perpendicular ao terceiro plano Confira ilustração na Figura 1525 r C γ Q β t B A s α Figura 1525 Ilustração do Problema Problema Descreva o conjunto dos pontos do espaço que são equidistantes de três pontos não colineares dados Problema Considere a Figura 1526, em que se tem as seguintes propriedades: AB BC, AB BE, BC CE, C D E Demonstre que AC CE A B D E C Figura 1526 Figura ilustrativa do Problema Problema Prove que, dado um plano e um ponto (no plano ou não), existem infinitos planos contendo o ponto e perpendiculares ao plano dado Faça um desenho ilustrativo mostrando pelo menos dois desses planos Problema Sejam α um plano e P um ponto fora dele Sejam r e s retas que contêm P e que são paralelas a α Prove que o plano determinado por essas retas é paralelo a α

25 Perpendicularismo e paralelismo no espaço 263 α A B D C β Figura 1527 Figura para o Problema Problema Na Figura 1527, α e β são planos paralelos Os pontos A e B estão em α, e os pontos C e D são suas respectivas projeções em β Prove que as diagonais do quadrilátero ABDC se cortam ao meio Problema Na Figura 1528, AC, BC e CD são segmentos perpendiculares dois a dois Ainda, AD = BD e E, F e G são pontos médios de AD, BD e CD, respectivamente Demonstre que são congruentes os ângulos F EG e B AC, e ache sua medida A E B C F Figura 1528 Figura ilustrativa do Problema G D Problema Sejam α e β dois planos paralelos Sejam B AC α e EDF β ângulos tais que AB DE e AC DF Prove que esses ângulos têm a mesma medida ou são suplementares Identifique quando ocorre cada um desses casos Confira ilustração na Figura 1529 α D β A C B F E Figura 1529 Figura ilustrativa do Problema 15733

26 264 Geometria Elementar: gênese e desenvolvimento Problema Sejam α e β dois planos paralelos Seja A 1 A 2 A n um polígono em α Escolha um ponto qualquer B 1 β Sejam B 2,, B n os pontos de β tais que A 1 B 1 A 2 B 2 A n B n Prove que B 1 B 2 B n é um polígono congruente a A 1 A 2 A n A Figura 1530 pode ajudar α β A n A 1 B n B 1 B 2 A 2 Figura 1530 Figura ilustrativa do Problema Problema Sejam r e s retas reversas Construa um plano contendo s e paralelo a r Esse plano é único? Problema Existe uma e somente uma reta perpendicular a duas retas reversas dadas Problema Sejam r e s retas reversas Mostre que existem dois planos paralelos, cada um contendo uma das retas Problema Sejam r uma reta e s uma segunda reta não paralela à primeira (concorrente a ela ou não) Descreva o conjunto formado por todas as retas paralelas a s e que interceptam r Problema Sejam r e s retas reversas Mostre que a menor distância entre elas é dada pelo comprimento do segmento que as une e é perpendicular a ambas Problema Sejam r e s retas reversas e P um ponto do espaço Investigue qual deve ser o posicionamento de P para que exista uma reta t que o contenha e que intercepte r e s 158 Temas para investigação Tema 1581 No texto foram estudados o que são ângulos entre retas e entre planos Investigue o que poderia ser uma definição adequada de ângulo entre reta e plano Descubra e demonstre algum resultado associado a esse conceito Tema 1582 Dois planos que se encontram têm, cada um, uma reta perpendicular, e essas retas também se intersetam Investique o que se pode dizer sobre a relação entre os ângulos formados pelas retas e os diedros dos planos

27 Capítulo 16 Prismas e pirâmides CAPÍTULO EM ELABORAÇÃO 161 Introdução Estudamos neste Capítulo duas classes gerais de figuras geométricas não planas denominadas prismas e pirâmides Seus tipos mais simples, o cubo e o tetraedro, constituem os sólidos geométricos mais conhecidos e usados em todos os campos da atividade humana Informamos que os termos figura, sólido e região do espaço constituem palavras da linguagem comum usadas como sinônimos para indicar subconjuntos do espaço Esses termos também aparecem neste texto com esse sentido 162 O cubo O cubo é a figura geométrica formada pela reunião de seis quadrados congruentes de modo que cada lado de cada um dos quadrados coincide com um lado de um único outro quadrado Existe uma única figura que satisfaz esses requisitos O estudante é convidado a verificar isso no Problema 1631 Essa figura tem um formato bastante conhecido, e vemos a seguir desenhos de cubos em diversas posições Figura 161 Desenhos de cubos O desenho da esquerda corresponde à definição dada Um cubo é formado pela reunião de 12 segmentos, denominados arestas Para contar as arestas de um cubo podemos usar um desenho e contá-las diretamente, ou fazemos a seguinte conta Cada quadrado que forma o cubo tem 4 lados, e como são seis quadrados, isso perfaz um total de 6 4 = 24 lados No cubo os lados coincidem aos pares para formar as arestas, de modo que resultam 24/2 = 12 arestas O comprimento de uma aresta também é chamado de aresta Os vértices de um cubo são os vértices dos quadrados que o formam Podemos contar os vértices de um cubo em um desenho e ver que são 8 Outra forma é observar que seis quadrados 265

28 266 Geometria Elementar: gênese e desenvolvimento têm um total de 6 4 = 24 vértices, e que no cubo cada vértice é formado pela coincidência de três vértices de quadrados, de modo que o cubo tem 24/3 = 8 vértices Ou então observamos que cada aresta tem duas extremidades e em cada vértice concorrem três arestas, logo são 12 2 = 24 extremidades de arestas, e assim são 24/3 = 8 vértices As faces de um cubo são as regiões quadradas dos quadrados que o formam Como não existem quadrados coincidentes, o cubo tem seis faces As faces formam pares de figuras disjuntas, e duas quaisquer dessas faces disjuntas se denominam faces opostas Duas faces opostas quaisquer são paralelas (resultado do Problema 1632) É costume indicar por A a quantidade de arestas, por V a de vértices e por F a de faces Assim no cubo temos A = 12, V = 8, F = 6 A característica de Euler χ de uma figura formada por polígonos é o número inteiro Portanto a característica de Euler do cubo é χ = F +V A χ = F +V A = = 2 Dado um sólido formado por polígonos, para todo inteiro p 1 indicamos por V p a quantidade de vértices aos quais concorrem p arestas No cubo temos V 3 = 8 e V p = 0 para todo p 3 Uma diagonal de um cubo é um segmento com extremos em dois vértices que não estão em uma mesma face Examinando desenhos de cubos vemos que eles têm 4 diagonais Essa conta pode ser feita sem o uso de desenhos Como o cubo tem 8 vértices, existem ( 8 2) segmentos ligando dois quaisquer desses pontos Dessa quantidade subtraímos as 12 arestas e os segmentos que são diagonais das faces, que são 6 2 = 12 Logo a quantidade de diagonais de um cubo é ( ) 8 D = = 8! 24 = = 4 2 2!6! O cubo tem um interior, que o estudante poderá facilmente definir Isso é solicitado no Problema 1634 A reunião das faces de um cubo denomina-se superfície do cubo Lembramos que uma face é uma região quadrada determinada por qualquer um dos quadrados que definem o cubo, e assim uma face inclui o quadrado e seu interior Chamamos de cubo sólido à reunião da superfície do cubo com o seu interior Observamos que ao estudar cubos em um livro de Geometria deve-se ficar atento à definição adotada pelo autor Alguns autores denominam cubo ao que aqui estamos chamando de superfície do cubo, e outros ao que aqui denominamos cubo sólido Não conhecemos nenhum autor que chama de cubo à reunião dos seus 8 vértices, mas, quem sabe, pode ocorrer Vamos obter agora o que chamamos centro do cubo Consideremos um cubo ABCDEFGH definido na Figura 162, com faces ABCD, EFGH, ADHE, etc Usando o resultado do Problema 1632 e Teoremas anteriores (particularmente do Capítulo 15), sabemos que AE e CG são perpendiculares ao plano ABCD, logo são coplanares e perpendiculares a AC, de modo que ACGE é um retângulo As diagonais AG e CE desse retângulo são congruentes e se encontram num ponto O, que as divide ao meio (portanto O é equidistante de A, C, G e E, seja R essa distância) Sejam I o ponto médio de EG e J o ponto médio de AC Em virtude do resultado do Problema o segmento I J contém O Ainda temos que O é o ponto médio de I J e I J AE e assim I J ABCD Considerando agora o retângulo BDHF vemos que o ponto de encontro O de suas diagonais B H e DF as divide ao meio, e assim é equidistante de B, D, H e F, e essa distância é R, pois as

29 Prismas e pirâmides 267 E A H I F O D J Figura 162 Localização do centro de um cubo B G C diagonais do cubo são todas congruentes Ainda, I é também o ponto médio de F H e J o de BD, de modo que O é o ponto médio de I J Portanto O = O Encontramos assim um ponto O equidistante dos vértices do cubo Chamamos a esse ponto de centro do cubo Esse ponto tem outras propriedades que serão estudadas nos problemas abaixo Uma planificação de um cubo de aresta a é uma figura plana formada por 6 quadrados de lado a, de forma que cada quadrado tem pelo menos um lado em comum com outro quadrado e se dobrarmos a figura nos lados comuns obtemos o cubo Vemos na Figura 163 um exemplo de planificação do cubo Figura 163 Um exemplo de planificação do cubo Desconsiderando-se rotações e reflexões, o cubo tem 11 planificações, apresentadas nas Figuras 164 e 165 Figura 164 Seis exemplos de planificações do cubo

30 268 Geometria Elementar: gênese e desenvolvimento Figura 165 Mais cinco exemplos de planificações do cubo Um cubo pode ser expresso em coordenadas cartesianas Para determinar o cubo basta escrever as coordenadas de seus vértices O cubo de aresta unitária colocado no primeiro quadrante e com um vértice na origem tem vértices A = (1,0,0) B = (1,1,0) C = (0,1,0) D = (0,0,0) E = (1,0,1) F = (1,1,1) G = (0,1,1) H = (0,0,1) Na Figura 166 vemos um desenho desse cubo z H G E F D C y A x B Figura 166 Desenho de cubo em um sistema de coordenadas cartesianas Apresentamos algumas dicas simples para o desenho de cubos Um cubo é uma figura em três dimensões, e um desenho em folha de papel é uma figura em duas dimensões, chamada projeção plana do cubo Para realizar essa redução empregamos algumas técnicas Uma das mais usadas é a denominada projeção cavaleira ou militar Para obter um cubo de aresta a, desenhamos dois quadrados de lado a, com lados correspondentes paralelos, e deslocados um em relação ao outro Ligando os vértices correspondentes (chamados lados oblíquos) obtemos um desenho do cubo Os lados oblíquos têm uma redução de um fator k que depende do ângulo θ que esse lado faz com a direção horizontal da folha Os manuais de Desenho Técnico apresentam a seguinte tabela com os valores mais usados: θ k 30 2/3 45 1/2 60 1/3

31 Prismas e pirâmides 269 Por exemplo, em um cubo de 4 cm, a aresta oblíqua deve medir (2/3)4 = 8/3 cm se a angulação for de 30 Seguem desenhos com os valores da tabela acima (Figura 167) Figura 167 Desenho de cubos usando a projeção cavaleira Na Figura 168 vemos o desenho de um cubo com o uso da chamada perspectiva isométrica Todos os segmentos desenhados têm a mesma medida Os quadriláteros são paralelogramos com ângulos de medida 120 e 60 Figura 168 Desenho de cubo na perspectiva isométrica 30 Os métodos de projeção vistos acima, perspectiva cavaleira e isométrica, são os mais usados em desenhos técnicos de Geometria Se quisermos desenhos mais realistas podemos usar outros recursos, como pontos de fuga A Figura 169 ilustra um exemplo em que se usa um ponto de fuga Figura 169 Desenho de cubo com um ponto de fuga

32 270 Geometria Elementar: gênese e desenvolvimento 163 Problemas Figura 1610 Composição artística com cubos Problema 1631 Seja P uma figura formada pela reunião de seis quadrados congruentes de modo que cada lado de cada um dos quadrados coincide com um único lado de outro quadrado (esta é a definição de cubo) a) Explique por que dois quaisquer desses quadrados com um lado comum não são coplanares b) Explique por que dois quaisquer desses quadrados com um lado comum formam um diedro de medida 90 c) Sejam ABCD e ABEF dois desses quadrados com um lado comum AB Explique por que BC e BE têm que ser lados de um mesmo quadrado d) Mostre que cada vértice do cubo é um ponto de encontro de três vértices dos quadrados, e a ele concorrem três arestas e) Usando desenhos explique por que P tem que ter o formato de um cubo como os da Figura 161 Problema 1632 Seja P um cubo, e seja α o plano determinado por uma face qualquer a) Explique por que existem quatro arestas do cubo que têm extremidades em α e não estão nele contidas, e essas quatro arestas estão do mesmo lado de α e são perpendiculares a ele b) Explique por que duas faces opostas quaisquer de um cubo estão em planos paralelos Problema 1633 Seja P uma figura formada pela reunião de polígonos de forma que cada lado de cada polígono é coincidente com um lado de um único outro polígono, e, dois polígonos quaisquer com um vértice comum não são coplanares Explique por que a cada vértice concorrem pelo menos três arestas Problema 1634 Seja P um cubo Defina seu interior Mostre que o interior de qualquer cubo é um conjunto convexo Mostre que o cubo reunido com suas faces e seu interior (cubo sólido) é um conjunto convexo Problema 1635 No cubo da Figura 1611 temos BK = BM e P é ponto médio de K M a) Prove que H é equidistante de K e de M b) Prove que o plano HDP é perpendicular a K M Problema 1636 Dado o cubo da Figura 1611 calcule as medidas dos ângulos EGD e EG A

33 Prismas e pirâmides 271 E A H D F P Figura 1611 Figura para o Problema 1635 K B M G C Problema 1637 Dado o cubo de aresta a, mostre que todas as suas diagonais são congruentes e calcule sua medida Problema 1638 Dado o cubo de aresta a, calcule a distância R de seu centro O aos seus vértices Problema 1639 Dado o cubo de aresta a, calcule a distância r de seu centro O às suas faces Problema Dado o cubo de aresta a, calcule a distância ρ de seu centro O às suas arestas Problema Explique por que, a menos de rotações e reflexões, o cubo tem 11 planificações, conforme são vistas nas Figuras 164 e 165 Problema Ache as coordenadas cartesianas dos vértices do cubo de aresta 2 com centro na origem das coordenadas e arestas paralelas aos eixos cartesianos Expresse, em coordenadas cartesianas, as arestas, as faces e o interior desse cubo Problema Uma seção plana de um cubo é a interseção da superfície de um cubo com um plano Estude que tipo de seções planas podem ser formadas com o cubo Faça um desenho para cada caso, explicando com detalhes Problema A superfície de um cubo é secionada por um plano não paralelo a nenhuma das faces A seção pode ser um quadrado? Se a resposta for afirmativa determine com exatidão a posição de um tal quadrado Se a resposta for negativa, justifique Problema Prove que se uma seção plana de um cubo é um retãngulo, então um lado desse retângulo (e, portanto, dois lados opostos) é paralelo a uma aresta do cubo Problema Considere o cubo ABCDEFGH da Figura 1612 Sejam M o ponto médio de AE e N o ponto médio de CG Mostre que os pontos H, M, B e N são coplanares e que HMBN é um losango não quadrado

34 272 Geometria Elementar: gênese e desenvolvimento H G E M D L F N A B Figura 1612 Desenho para o Problema C Problema A superfície de um cubo é secionada por um plano que interseta quatro arestas paralelas a) Mostre que a figura formada é um paralelogramo b) Encontre condições necessárias e suficientes (em relação à posição do plano) para que o paralelogramo seja um retângulo c) Encontre condições necessárias e suficientes (em relação à posição do plano) para que o paralelogramo seja um quadrado Problema Considere o cubo ABCDEFGH conforme definido na Figura 1611 Seja I o ponto médio de AB, J o de BC, K o de CG, L o de GH, M o de E H e N o de E A Mostre que I JK LM N é um hexágono regular contido em um plano que passa pelo centro do cubo e é perpendicular a uma diagonal Problema a) Calcule as medidas dos ângulos formados por segmentos que unem o centro de um cubo com dois vértices b) Calcule as medidas dos ângulos formados por uma diagonal do cubo e as arestas que concorrem no mesmo vértice Problema Considere o cubo ABC DE FG H conforme definido na Figura 1611 Calcule a distância de A às diagonais CE e B H Problema Dado um cubo e um plano, a projeção ortogonal do cubo no plano é a figura formada pelas projeções ortogonais das arestas do cubo no plano (confira Seção 156 na página 257) Ao projetar um cubo em um plano podemos obter vários desenhos Três deles estão na Figura 1613 São denominadas projeções simétricas do cubo Para cada uma delas descreva a posição do cubo em relação ao plano de projeção Se o cubo tem aresta a, calcule, em cada projeção, as medidas de todos os segmentos e ângulos Figura 1613 Problema Complete a tabela abaixo referente a um cubo de aresta a Alguns desses dados serão estudados na Seções 176 e 177 e no Capítulo 18

35 Prismas e pirâmides O tetraedro a aresta a (A,V,F ) arestas, vértices e faces d diagonal da face D diagonal do cubo a área da face A área de superfície V volume a 3 R distância do centro aos vértices r distância do centro às faces ρ distância do centro às arestas α diedro O tetraedro é a figura geométrica formada pela reunião dos segmentos que unem quatro pontos não coplanares quaisquer Essa figura tem um formato bastante conhecido, e vemos a seguir desenhos de tetraedros em diversas posições Figura 1614 Desenhos de tetraedros O desenho da esquerda corresponde à definição dada As arestas de um tetraedro são os segmentos que o formam Quatro pontos não coplanares determinam ( 4 2) = 6 segmentos, de modo que um tetraedro tem A = 6 arestas As faces de um tetraedro são as regiões triangulares dos triângulos que os formam Como são ( 4 3) = 4 triângulos, temos F = 4 faces Os vértices do tetraedro são os quatro pontos que o definem, e assim temos V = 4 vértices Sua característica de Euler é χ = F +V A = = 2 igual, portanto, à do cubo Num tetraedro qualquer temos V 3 = 4 e V p = 0 para todo p 3 O tetraedro não tem diagonais (segmento ligando dois vértices e não contido em uma face) Dado um vértice de um tetraedro, existe apenas uma face que não o contém, denominada face oposta a esse vértice Uma altura de um tetraedro é o segmento perpendicular que liga um vértice ao plano determinado pela face oposta a esse vértice A reunião das faces de um tetraedro chama-se superfície do tetraedro É possível definir interior de um tetraedro A reunião da superfície de um tetraedro com seu interior denomina-se tetraedro sólido Conforme já observamos a respeito dos cubos, ao estudar tetraedros em um livro de Geometria deve-se ficar atento à definição adotada pelo autor Alguns autores denominam tetraedro ao que aqui estamos chamando de superfície do tetraedro, e outros ao que aqui estamos chamando de

36 274 Geometria Elementar: gênese e desenvolvimento tetraedro sólido Não conhecemos nenhum autor que chama de tetraedro à reunião dos seus 4 vértices, mas, quem sabe, pode ocorrer Um tetraedro se diz regular quando os triângulos que o compõem são todos equiláteros Um tetraedro se diz isósceles quando tem um vértice ao qual concorrem três arestas congruentes A face oposta a esse vértice chama-se base do tetraedro isósceles Estudamos a seguir algumas propriedades do tetraedro regular Vamos mostrar que ele tem um centro, que é o ponto de encontro das quatro alturas Seja ABCD um tetraedro regular de lado a Se X é um vértice de tetraedro, anotamos por H X o pé da altura relativa a X Sabemos, do Problema 1659, que H X é o circuncentro da face oposta a X Por exemplo, H A é o circuncentro do triângulo BCD Por outro lado, todas as faces do tetraedro são triângulos equiláteros, e nestes a altura de cada vértice coincide com a mediana (e, portanto, com a mediatriz) Se X e Y são vértices do tetraedro, indicamos por M X Y o ponto médio de X Y Dessa forma H A é o ponto de encontro de BM CD, C M BD e DM BC Sabemos ainda que B H A = (2/3)BM CD, o mesmo nos outros vértices Confira a Figura 1615 A B M BC O H A H B M CD D C Figura 1615 Centro do tetraedro regular Seja h a altura do triângulo equilátero de lado a Usando o Teorema de Pitágoras podemos calcular que h = ( 3/2)a Portanto todas as alturas das faces do tetraedro tem medida h Aplicando esse mesmo teorema ao triângulo AB H A vemos que a altura H = AH A do tetraedro mede H = ( 6/3)a Todas as alturas do tetraedro têm esse mesmo valor Consideremos agora a altura B H B O plano ABM CD contém as duas alturas AH A e B H B e como H A está no interior de B AM CD e como H B está no interior de ABM CD, o Teorema Crossbar garante que essas duas alturas se encontram num ponto O A distância r = OH A pode ser calculada Notemos primeiro a semelhança H B BM CD H A BO que implica H B M CD H A O = BM CD BO = H BB h/3 = h H A B r BO = H 2h/3 Usando que h = ( 3/2)a e H = ( 6/3)a calculamos r = ( 6/12)a Fazendo os mesmos cálculos no triângulo AH A M CD obtemos OH B = r = OH A Das relações acima temos também que BO = 3r Tomando agora a altura C H C vemos que ela e AH A se encontram em um ponto O, e fazendo os mesmo cálculos obtemos O H A = r, portanto O = O Temos também OH C = r

37 Prismas e pirâmides 275 Finalmente usando os mesmos recursos vemos que O DH D e que OH D = r Assim o ponto O pertence às quatro alturas e dista r = ( 6/12)a dos quatro pés dessas alturas Para desenhar tetraedros regulares parece que a melhor opção é usar coordenadas cartesianas Vemos na Figura o desenho do tetraedro regular cujos vértices têm as coordenadas ( 1 A = 0, 1, ), B = ( 1,0, 1 ) 2, C = (1,0, 1 ) ( 1 2, D = 0,1, ), 2 2 O estudante pode verificar que se trata realmente de um tetraedro regular e calcular a sua aresta z A x B C D y Figura 1616 Desenho de um tetraedro regular em um sistema de coordenadas cartesianas 165 Problemas Problema 1651 Seja P um sólido formado pela reunião de quatro triângulos não coplanares de modo que cada lado de cada um dos triângulos coincide com um lado de um único outro triângulo a) Explique por que em P se tem V 3 = 4 e V p = 0 para todo p 3, e por que isso implica V = 4 b) Explique por que P tem que ter a forma do sólido do desenho da esquerda da Figura 1614 Problema 1652 Explique por que um tetraedro qualquer não tem diagonais Problema 1653 Em um tetraedro duas arestas se dizem opostas quando não se interceptam Explique por que em um tetraedro qualquer as arestas se organizam em pares de arestas opostas Problema 1654 Defina interior de um tetraedro qualquer e mostre que é um conjunto convexo Problema 1655 Explique por que num tetraedro regular todas as arestas são congruentes Em particular, todo tetraedro regular é isósceles

38 276 Geometria Elementar: gênese e desenvolvimento Problema 1656 Seja ABC um triângulo, e seja a um número real positivo Descubra para que valores de a existem exatamente dois pontos V tais que V A = V B = V C = a Problema 1657 Explique por que existem tetraedros regulares e tetraedros isósceles não regulares Problema 1658 Explique por que existem tetraedros escalenos, isto é, as arestas são diferentes duas a duas Problema 1659 Mostre que um tetraedro é isósceles se e somente se tem uma altura com pé no circuncentro de uma face Se o tetraedro é regular, todas as alturas têm pé no circuncentro da face correspondente Problema Na Figura 1617, ABCD é um tetraedro com todas as arestas de mesma medida a P e Q são pontos médios de AD e BC, respectivamente a) Demonstre que PQ é perpendicular a AD e a BC; b) Calcule PQ A B Q P D C Figura 1617 Figura para o Problema Problema Em um tetraedro qualquer os três segmentos que unem os pontos médios de dois lados opostos quaisquer se encontram em um ponto Problema Um tetraedro isósceles tem as três arestas congruentes de medida a, e sua base é um triângulo equilátero de lado b Ache as medidas de todas as suas alturas, e localize os seus pés nas faces correspondentes Problema Ligando os pontos médios de arestas do cubo escolhidas convenientemente, exiba um tetraedro não regular cujas faces são triângulos isósceles congruentes Problema Um tetraedro não regular com todas as faces congruentes chama-se disfenóide Um exemplo particular de disfenóide foi visto no Problema Mostre que num disfenóide duas arestas opostas quaisquer são congruentes Verifique se vale a recíproca Problema Mostre que se um tetraedro tem todas as faces congruentes (portanto é um disfenóide), então a soma dos três ângulos que concorrem em qualquer vértice é 180 Verifique se vale a recíproca

39 Prismas e pirâmides 277 Problema Em um tetraedro regular duas arestas opostas quaisquer são ortogonais, isto é, deslocando uma delas paralelamente até intersetar a segunda, esta segunda aresta é perpendicular à aresta deslocada Problema Calcule o valor (em radianos e em graus) do denominado ângulo tetraédrico de um tetraedro regular Esse ângulo tem vértice no centro do tetraedro e lados cada um contendo um vértice do tetraedro Resposta: arccos( 1/3) = 2arctg( 2) 1, ,4712 Problema Calcule a medida (em radianos e em graus) dos diedros de um tetraedro regular Resposta: arccos(1/3) = arctg(2 2) = arcsen(2 2/3) 1, , Problema Calcule a medida do ângulo entre uma aresta e uma face que não a contém em um tetraedro regular Resposta: arccos( 3/3) 0, ,73561 Problema Mostre que, a menos de rotações ou reflexões, existem apenas duas planificações de um tetraedro qualquer Problema Um tetraedro que tem um vértice ao qual concorrem três arestas que formam três ângulos retos chama-se trirretangular a) Explique por que em um sistema de coordenadas cartesianas adequado os vértices de um tetraedro trirretangular qualquer podem ser escritos como O = (0,0,0) A = (a,0,0) B(0,b,0) C = (0,0,c) a > 0, b > 0, c > 0 b) Calcule as arestas e a área de superfície desse tetraedro em função de a, b e c c) Prove o Teorema de GUA (Gua de Malves, JP ( )): a(abc) 2 = a(oab) 2 + (OAC) 2 + (OBC) 2 d) Mostre que o pé da altura relativa ao vértice O é o ortocentro de ABC Problema Mostre que são coordenadas dos vértices de um tetraedro regular os pontos ( ) ( ) ( a,0,0 6 a,± a ) 6 2,0 0,0, 3 a Calcule a aresta desse tetraedro Problema Mostre que podemos colocar um tetraedro regular dentro de um cubo de modo que todas as arestas do tetraedro estejam contidas em faces do cubo Se o cubo tem aresta a, calcule a aresta do tetraedro Faça um desenho ilustrando o cubo e o tetraedro Problema Ao projetar (projeção ortogonal, Seção 156, página 257) um tetraedro regular em um plano podemos obter vários desenhos Três deles estão na Figura 1618 São denominadas projeções simétricas do tetraedro regular Para cada uma delas encontre a posição do tetraedro em relação ao plano de projeção Se o tetraedro tem aresta a, calcule, em cada projeção, a medida de todos os segmentos Problema a) Investigue que tipo de figuras se obtém intersetando um plano com as faces de um tetraedro b) Mostre que a interseção de um plano com as faces de um tetraedro qualquer pode ser um paralelogramo c) Mostre que a interseção de um plano com as faces de um tetraedro regular pode ser um quadrado Se esse tetraedro tem aresta a, calcule o lado do quadrado que você obteve

40 278 Geometria Elementar: gênese e desenvolvimento Figura 1618 Problema Dado um tetraedro regular de aresta a, calcule a distância do seu centro a uma aresta qualquer Problema Complete a tabela abaixo referente a um tetraedro regular de aresta a Alguns desses dados serão estudados na Seções 176 e 177 e no Capítulo 18 a aresta a (A,V,F ) arestas, vértices e faces h altura da face H altura do tetraedro a área da face A área de superfície V volume ( 2/12)a 3 R distância do centro aos vértices r distância do centro às faces ρ distância do centro às arestas α diedro θ ângulo tetraédrico 166 Temas para investigação Tema 1661 Defina o que poderia ser chamado de plano diagonal de um cubo e estude suas propriedades Tema 1662 Um cubo sólido de dimensão três pode ser expresso em coordenadas cartesianas tridimensionais Ox y z pelas desigualdades k x k k y k k z k para algum número real positivo k Um cubo sólido de dimensão quatro pode ser expresso em coordenadas cartesianas quadridimensionais Ox y zw pelas desigualdades k x k k y k k z k k w k Estude as propriedades desse cubo Por exemplo, o que são seus elementos de dimensões zero, um, dois e três? O que seria para essa figura o análogo do que é a planificação para o cubo tridimensional? Esse cubo tem centro? Tema 1663 Vimos na página 266 que a característica de Euler χ de uma figura formada por polígonos é o número inteiro χ = F +V A

41 Prismas e pirâmides 279 Investigue por que a fórmula desse número é F +V A e não uma outra qualquer, por exemplo, F + V + A, ou quem sabe 3F + V A, ou ainda (F + V )/A Por que será que é usado o termo característica para adjetivar esse número? Tema 1664 Dentre todas as seções triangulares do cubo, encontre a que tem área máxima Tema 1665 Dentre todas as seções do cubo na forma de quadrilátero, encontre a que tem área máxima

42 280 Geometria Elementar: gênese e desenvolvimento

43 Capítulo 17 Cilindros, cones e a esfera CAPÍTULO EM ELABORAÇÃO 171 Introdução Continuando nosso estudo da Geometria Euclidiana, abordaremos agora os cilindros, os cones e a esfera, às vezes denominados corpos redondos Veremos suas definições, classificação e propriedades básicas 172 Cilindros 173 Problemas 174 Cones 175 Problemas Problema 1751 Planificando a superfície lateral de um cone reto de geratriz g e de base circular de raio r, obtém-se um setor circular de Calcule senθ, em que θ é o ângulo formado pela geratriz com o eixo do cone Ilustração na Figura 171 θ h x r g g x Figura 171 Planificação de um cone 281

44 282 Geometria Elementar: gênese e desenvolvimento 176 A esfera Procedemos agora ao estudo da esfera Vejamos inicialmente algumas definições Definições 171 Sejam O um ponto do espaço e ρ um número real positivo A superfície esférica, ou, simplesmente, esfera, de centro O e raio ρ é o conjunto dos pontos do espaço cuja distância a O é ρ Também chamamos de raio ao segmento que liga o centro da esfera a um de seus pontos Uma corda da esfera é um segmento cujas extremidades estão na esfera Um diâmetro é uma corda que passa pelo centro Por diâmetro também designamos o número que é o dobro do raio Dois pontos da esfera se dizem antípodas se forem extremidades do mesmo diâmetro A interseção de uma esfera com um plano que contém seu centro e com qualquer um dos semiplanos por ele determinado chama-se semiesfera ou hemisfério Observação O termo esfera é, às vezes, utilizado para designar o conjunto formado pela superfície esférica e seu interior Aqui chamaremos esse conjunto de região esférica Figura 172 Desenhos artísticos de esferas O primeiro resultado sobre esferas é a Proposição 172 A interseção de uma esfera com um plano que contém seu centro é a circunferência desse plano com centro igual ao centro da esfera e raio igual ao raio da esfera Demonstração Basta usar as definições de esfera e circunferência Confira ilustração na Figura 173 Figura 173 Representação de uma esfera e de um círculo máximo Com esse resultado podemos considerar a

45 Cilindros, cones e esferas 283 Definição 173 A interseção de uma esfera com um plano passando pelo seu centro chama-se círculo máximo (da esfera) Um semicírculo máximo é uma semicircunferência de um círculo máximo Definições 174 Uma reta ou um plano que intersetam uma esfera em um único ponto se dizem tangentes a ela Nesse caso o ponto de interseção chama-se ponto de contato Uma reta ou um plano que intersetam uma esfera em mais de um ponto se dizem secantes a ela No Problema 1778 vemos uma condição necessária e suficiente para que uma reta seja tangente a uma esfera As posições relativas entre retas e esferas são estudadas no Problema 1779 Vejamos resultados análogos para planos e esferas Teorema 175 Um plano é tangente a uma esfera em um ponto de contato se e somente se o plano é perpendicular ao raio que tem extremidade nesse ponto Demonstração Seja S uma esfera de centro O e raio ρ Seja α um plano perpendicular a um raio de S, digamos α OT, com T S α Precisamos provar que α é tangente a S em T Seja S α, com S T Então OT S é um triângulo retângulo com hipotenusa OS, de modo que OS > OT = ρ Assim S não pertence a S, e α é tangente a S em T Confira a Figura 174 S α S O T Figura 174 Representação de uma esfera e um plano tangente Reciprocamente, seja α um plano tangente a S em T Portanto, por definição, o plano α interseta S apenas no ponto T Queremos provar que OT α Se não for, seja P o pé da perpendicular a α por O No plano α consideremos o ponto U na semirreta oposta a PT e tal que UP = PT Temos U T e OPT = OPU, de modo que OU = OT = ρ Assim U α S, o que é uma contradição Escólio 176 Se um plano é tangente a uma esfera em um ponto de contato então qualquer outro ponto do plano está no exterior da esfera Demonstração Seja S uma esfera de centro O e raio ρ e seja α um plano tangente a S em T S α Pelo Teorema 175 temos α OT Seja S α, com S T Então OT S é um triângulo retângulo com hipotenusa OS, de modo que OS > OT = ρ Assim S está no exterior de S Lema 177 Se um plano tem um ponto no interior de uma esfera, então a interseção do plano com a esfera é a circunferência cujo centro é o pé da perpendicular do centro da esfera ao plano e cujo raio é ρ 2 d 2, em que ρ é o raio da esfera e d a distância do centro da esfera ao plano

46 284 Geometria Elementar: gênese e desenvolvimento Demonstração Seja S uma esfera de centro O e raio ρ Seja α um plano com um ponto no interior de S Se esse plano contém o centro da esfera, já sabemos, da Proposição 172, que S α é a circunferência de α com centro em O e raio ρ Nesse caso d = 0, e o Teorema vale Suponhamos que α não contém O Como α tem um ponto no interior de S, a distância de O a α é < ρ Seja P o pé da perpendicular de O a α Logo OP = d é a distância de O ao plano α Ainda, como P é o ponto de α mais próximo de O, temos d < ρ Confira a Figura 175 S O α X P Figura 175 Representação de uma esfera e um plano secante Seja I = S α e seja C a circunferência de α de centro P e raio r = ρ 2 d 2 (r existe pois d < ρ) Queremos provar que I = C Seja X I Como X S temos OX = ρ Note que X O e X P Usando que OX P é retângulo em P temos X P = OX 2 OP 2 = ρ 2 d 2 = r Como X α, temos X C Provamos que I C Seja agora X C Então X α, P X = r, X O e X P Usando que OX P é retângulo em P temos OX = P X 2 +OP 2 = r 2 + d 2 = (ρ 2 d 2 ) + d 2 = ρ, de modo que X S Logo X S α, e X I Provamos que C I, do que segue I = C Teorema 178 Sejam S uma esfera de raio ρ e centro O, e α um plano Seja d a distância de O ao plano Temos: (i) se d > ρ então o plano não interseta a esfera; (ii) se d = ρ então o plano é tangente à esfera; (iii) se d < ρ, então a interseção do plano com a esfera é a circunferência cujo centro é o pé da perpendicular do centro da esfera ao plano e cujo raio é ρ 2 d 2 Demonstração (i) Como a menor distância de α a O é d, então todo ponto de α dista de O mais do que ρ Portanto α e S não de intersetam Na verdade, todo ponto de α está no exterior de S (ii) Se d = ρ então o pé da perpendicular de O ao plano é um ponto P que pertence ao plano e à esfera Qualquer outro ponto de α dista de S mais do que ρ, de modo que o plano interseta a esfera em um único ponto, e assim são tangentes (iii) Se d < ρ então o pé da perpendicular de O ao plano é um ponto P que pertence ao plano e ao interior da esfera O resultado segue do Lema Problemas No Capítulo 22 são estudadas outras propriedades da esfera Problema 1771 Sejam O um ponto do espaço e ρ um número real positivo Explique por que a esfera de raio ρ e centro O tem infinitos pontos Problema 1772 Defina interior e exterior de uma esfera Prove que são conjuntos com uma infinidade de pontos, que o interior é convexo e o exterior não é convexo

47 Cilindros, cones e esferas 285 Problema 1773 Prove que, dados dois pontos não antípodas em uma esfera, existe um círculo máximo que os contém, e é único O que ocorre se os pontos forem antípodas? Problema 1774 Demonstre que, dada uma corda de uma esfera, o interior da corda está contido no interior da esfera Problema 1775 Consideremos em uma esfera uma corda qualquer que não contenha seu centro Prove que um raio a interseta em seu ponto médio se e somente se o raio lhe é perpendicular Problema 1776 Demonstre que, em uma esfera, o diâmetro é a maior das cordas Problema 1777 Sejam AB e C D dois diâmetros de uma esfera Prove que AC B D é um retângulo O que ocorre se os diâmetros são perpendiculares? Problema 1778 Demonstre que uma reta é tangente a uma esfera num ponto de contato se e somente se a reta é perpendicular ao raio de extremidade nesse ponto Problema 1779 Seja d a distância de uma reta ao centro de uma esfera de raio ρ Prove que: (i) se d > ρ então a reta não interseta a esfera; (ii) se d = ρ então a reta é tangente à esfera; (iii) se d < ρ então a reta interseta a esfera em exatamente dois pontos Como corolário conclua que uma reta interseta uma esfera em no máximo dois pontos Problema Prove que, em toda esfera, dois círculos máximos quaisquer se encontram em exatamente dois pontos antípodas Problema Em uma esfera, dois círculos máximos se dizem perpendiculares quando os planos que os contêm são perpendiculares Demonstre que, dados dois círculos máximos quaisquer, existe um único círculo máximo perpendicular a ambos Problema Considere um cubo de aresta a Calcule o raio da esfera: (i) circunscrita; (ii) inscrita; (iii) tangente às arestas Nos casos (ii) e (iii) localize os pontos de tangência Problema Considerando o desenho da Figura 176, esclareça o que é uma esfera circunscrita ou inscrita em um cilindro Prove que todo cilindro circular reto tem esfera circunscrita, mas tem esfera inscrita apenas quando sua altura for igual ao diâmetro da base Figura 176 Desenho de esfera inscrita em cilindro

48 286 Geometria Elementar: gênese e desenvolvimento Problema Dado um tetraedro regular, considere seu centro, definido na Seção 164, pág 273 Explique por que esse ponto é o centro da esfera circunscrita ao tetraedro, é o centro da esfera inscrita (isto é, tangente às faces do tetraedro), e o centro da esfera tangente às suas arestas Se o tetraedro tem aresta a, calcule o raio de cada uma dessas esferas Localize nas faces os pontos de tangência da esfera inscrita Determine nas arestas o ponto de tangência com a terceira esfera Problema Mostre que quatro pontos não coplanares determinam uma única esfera Conclua que qualquer tetraedro tem esfera circunscrita Problema Uma esfera está apoiada em um cone, de modo que parte do interior do cone interseta parte da esfera ou toda ela (ilustração na Figura 177) Identifique a interseção do cone com a esfera Figura 177 Representação de uma esfera apoiada no interior de um cone Problema Esclareça o que é uma esfera circunscrita ou inscrita em um cone Prove que todo cone circular reto tem esferas circunscrita e inscrita 178 Temas para investigação Tema 1781 Investigue as possíveis posições relativas entre duas esferas Isto é, dadas duas esferas, descreva como elas se interceptam, e as condições em que ocorre cada tipo de interseção Justifique suas conclusões Tema 1782 Investigue quais pirâmides e cones podem ser inscritos em uma esfera Tema 1783 Investigue quais tipos de tetraedro tem esfera circunscrita e inscrita (inscrita às arestas ou às faces)

49 Capítulo 18 Volume de sólidos CAPÍTULO EM ELABORAÇÃO 181 Introdução Vejamos os dois últimos axiomas da Geometria Euclidiana, e os usaremos em investigações sobre volumes de sólidos, particularmente prismas, pirâmides, esferas, cilindros e cones Axioma E21 (do paralelepípedo) O volume de um paralelepípedo retângulo é o produto da área da base pela altura Axioma E22 (do Princípio de Cavalieri) São dados dois sólidos e um plano Suponha que todo plano paralelo ao plano dado interseta os dois sólidos em regiões de mesma área ou não os interseta Então os dois sólidos têm o mesmo volume 182 Volume de prismas 183 Volume da esfera O volume da região esférica de raio r pode ser simplesmente chamado de volume da esfera de raio r Veremos como esse volume pode ser calculado Teorema 181 O volume da esfera de raio r é 4 3 πr 3 Demonstração A fazer Teorema 182 A área da superfície esférica de raio r é 4πr 2 Segue um indicativo da demonstração (a fazer) 287

50 288 Geometria Elementar: gênese e desenvolvimento Definição 183 Um plano secante a uma esfera a divide em duas regiões, que são as interseções da esfera com os semiespaços determinados pelo plano Se o plano não contém o centro da esfera, a região que está no semiespaço que não contém o centro denomina-se calota esférica A altura da calota é a diferença entre o raio da esfera e a distância do plano ao centro da mesma Teorema 184 A área de uma calota de altura h em uma esfera de raio r é 2πrh Definição 185 Dados uma região esférica e um diedro cuja aresta contém seu centro, denominamos fuso esférico à interseção dessa região esférica com o diedro e seu interior A medida do ângulo do fuso é a medida do diedro A superfície do fuso é interseção da esfera com o diedro e seu interior Teorema 186 O volume do fuso cujo ângulo mede a graus é 4 3 πr 3 a 360 Teorema 187 A área da superfície do fuso cujo ângulo mede a graus é 4πr 2 a 360 Lembramos que se um ângulo mede a graus, então sua medida em radianos é θ = πa/180 Dessa forma o volume do fuso cujo ângulo mede θ radianos é 2 3 r 3 θ, e a área da superfície desse fuso é 2r 2 θ 184 Problemas Problema 1841 Calcule o volume do tetraedro regular cujas arestas medem s Problema 1842 O volume de um cilindro reto de altura h e raio da base r é V = πr 2 h Se o raio for aumentado de 10% e a altura diminuída de 20%, que alteração sofrerá o volume? Problema 1843 Um cilindro circular reto tem uma esfera inscrita Calcule a razão entre a área do cilindro e a área da esfera Calcule também a razão entre seus volumes Observe os resultados assim obtidos e enuncie um teorema Conta a História da Matemática que esse teorema foi descoberto por Arquimedes e era um de seus preferidos Problema 1844 Um marceneiro tomou uma esfera de madeira, e fez nela um furo cilíndrico, centralizado Verificou que o comprimento do furo era de 6 cm Qual o volume do sólido restante? Figura 181 Ilustração do Problema 1844

51 Volumes de sólidos Temas para investigação Tema 1851 Investigue se existem generalizações do Teorema de Arquimedes referido no Problema 1843 Por exemplo: a) o que ocorre com um cone circular reto equilátero e uma esfera inscrita; b) com um cubo e uma esfera inscrita; c) com um tetraedro regular e uma esfera inscrita; d) com um octaedro regular e uma esfera inscrita; e) investigue o que ocorre com outros poliedros regulares e não regulares; f) investigue a versão plana desses resultados g) Explore outras possibilidades relativas a esse tema Tema 1852 Investigue uma generalização do Problema 1844, mostrando que o volume do sólido restante só depende da altura do cilindro que foi extraído da esfera (portanto não depende do raio da esfera)

52 290 Geometria Elementar: gênese e desenvolvimento

53 Capítulo 19 Poliedros CAPÍTULO EM ELABORAÇÃO 191 Introdução 192 Considerações iniciais 193 Problemas Problema 1931 P é um poliedro cujas faces são todas quadradas Que poliedro é esse? Não se esqueça de justificar cada passo, sempre fazendo desenhos para ilustrar o raciocínio (Sugestão: imagine que você dispõe de quadrados cortados em papelão, e começa a montar o poliedro Estude as possibilidades) Problema 1932 Um cubo de aresta a é seccionado por planos que cortam, cada um, todas as arestas concorrentes num vértice em pontos que distam x (com x < a/2) deste vértice Retirandose as pirâmides formadas, obtém-se um poliedro P a) Desenhe esse poliedro P b) Calcule a quantidade de faces F, de arestas A e de vértices V de P justificando com explicações (e não contando no desenho, pois não tenho como acompanhar sua contagem) c) Verifique se o poliedro P satisfaz à fórmula de Euler d) Calcule a quantidade de diagonais de P, explicando cada passo Problema 1933 Descreva todos os poliedros com quatro faces Problema 1934 Problema 3 Defina octaedro regular ABC DE F de acordo com a figura abaixo Suponha que suas arestas medem a Dois vértices se dizem opostos quando não pertencem à mesma aresta Duas faces se dizem opostas quando não se intersetam a) Calcule a distância entre dois vértices opostos quaisquer b) Calcule o volume desse ocatedro c) Explique por que as faces do octaedro se organizam em pares de faces opostas d) Prove que no octaedro acima (octaedro regular) duas faces opostas quaisquer são paralelas 291

54 292 Geometria Elementar: gênese e desenvolvimento A B C D E G H I J K A B C D G H I J K L M N A B C D E F

55 Poliedros 293 A B C D E F

56 294 Geometria Elementar: gênese e desenvolvimento

57 Capítulo 20 Geometria euclidiana com coordenadas 201 Introdução Estivemos estudando, em capítulos anteriores, um sistema axiomático para a Geometria Euclidiana Acompanhamos as ideias de alguns autores, como [57], e adotamos um sistema que é uma simplificação do que foi proposto pelo matemático George D Birkhoff em 1932 Esse sistema assume que já foi construído o conjunto dos números reais e já foram estudadas suas propriedades básicas Com isso obtemos uma grande simplificação e nos aproximamos da forma com que a Geometria é estudada no ensino básico Neste Capítulo vamos construir um modelo para a Geometria Euclidiana, denominado Geometria Analítica Consiste em considerar o conjunto R n = R R, e definir algebricamente os objetos geométricos É um dos modelos mais utilizados da Geometria Euclidiana, pois permite o uso intensivo dos métodos algébricos, conferindo grande facilidade na manipulação dos objetos geométricos e na generalização para dimensões superiores O conjunto R é utilizado para modelar a reta, R 2 é utilizado para modelar o plano e R 3 o espaço Se n > 3 chamamos R n de espaço multidimensional Neste texto, por simplicidade de exposição, apresentamos R 2 como um modelo do plano, e mesmo assim nos limitamos a alguns aspectos desse método Para obter mais detalhes sobre esse método confira observações do autor [39], página 140 e seguintes 202 Um modelo algébrico da Geometria Plana O conjunto R 2, chamado produto cartesiano de R por R, pode ser assim definido: R 2 = {(x, y) x, y R} O símbolo (x, y), denominado par ordenado, significa que estamos tomando os números reais x e y em ordem, isto é, em (x, y), x é o primeiro número (chamado abscissa) e y é o segundo número (chamado ordenada) Entendemos que os pares ordenados obedecem à seguinte condição de identidade: (x, y) = (w, v) x = w e y = v Para construir nosso modelo de geometria consideramos o conjunto R 2, e chamamos os seus elementos de pontos, o que nos lembra que estamos estudando esse conjunto do ponto de vista geométrico Dessa forma estamos admitindo o Axioma fundamental da Geometria Analítica: Os pontos do plano podem ser associados biunivocamente com os elementos de R 2 295

58 296 Geometria Elementar: gênese e desenvolvimento Para completar a definição de nosso modelo precisamos agora determinar que tipo de subconjuntos de pontos são as retas Definição 201 Dados números reais a, b e c, sendo a e b não simultaneamente nulos, a reta de coeficientes a, b e c é o subconjunto de R 2 R a,b,c = {(x, y) R 2 ax + by + c = 0} Observamos a primeira diferença entre o modelo tradicional de geometria euclidiana e o modelo algébrico No primeiro as retas constituem um conceito espontâneo, construído pelos indivíduos através de suas experiências com fenômenos naturais e iterações sociais No segundo elas são definidas por uma expressão algébrica Todos os axiomas da Geometria Euclidiana que se referem ao plano podem ser demonstrados como teoremas em nosso modelo algébrico Conforme já explicamos, veremos alguns dos aspectos mais simples desse estudo 203 As retas no modelo algébrico Vamos no ocupar, nesta seção, em demonstrar o primeiro axioma da Geometria Euclidiana, mas agora em nosso modelo algébrico Lembramos que esse axioma é o Axioma E1: Dados dois pontos diferentes, existe exatamente uma reta que os contém Começamos examinando melhor a definição de reta dada em 201 Notemos que a equação ax +by +c = 0 admite multiplicidades, ou seja, o conjunto de pontos (x, y) definido por ax +by + c = 0 é o mesmo que o definido por kax +kby +kc = 0, qualquer que seja o número k 0 Isto é, as retas R a,b,c e R ka,kb,kc são as mesmas Em particular, se a 0, podemos escrever x+(b/a)y+(c/a) = 0 em vez de ax+by +c = 0, e se b 0, podemos escrever (a/b)x+y +(c/b) = 0 Como sempre temos a 0 ou b 0, as retas são de pelo menos uma das formas: R 1,b,c = {(x, y) R 2 x + by + c = 0} ou R a,1,c = {(x, y) R 2 ax + y + c = 0} Notemos ainda que um ponto (x, y) está em uma reta R a,b,c quando ax + by + c = 0 Portanto os pontos A = (x 1, y 1 ) e B = (x 2, y 2 ) estão na reta R a,b,c quando ax 1 + by 1 + c = 0 e ax 2 + by 2 + c = 0 Subtraindo as equações acima vem a(x 1 x 2 ) + b(y 1 y 2 ) = 0, e se y 1 y 2 podemos escrever b = a x 1 x 2 y 1 y 2 e c = ax 1 by 1 e se x 1 x 2 temos Vejamos agora o a = b y 1 y 2 x 1 x 2 e c = ax 1 by 1 Teorema 202 Dois pontos diferentes quaisquer determinam uma única reta

59 Geometria euclidiana com coordenadas 297 Demonstração Sejam A = (x 1, y 1 ) e B = (x 2, y 2 ) pontos diferentes Isto significa que x 1 x 2 ou y 1 y 2 Se x 1 x 2, de acordo com as observações acima, podemos tomar b = 1 e temos a = y 1 y 2 x 1 x 2 e c = ax 1 by 1 Dessa forma a reta R y 1 y 2 x 1 x 2,1, y 1 y 2 x 1 x 2 x 1 y 1 contém A e B Por outro lado, se y 1 y 2, tomamos a = 1 e temos b = x 1 x 2 y 1 y 2 e c = x 1 by 1 Dessa forma a reta R 1, x 1 x 2 y 1 y 2, x 1 + x 1 x 2 y 1 y 2 y 1 contém A e B Notemos que se x 1 x 2 e y 1 y 2 as retas obtidas são iguais, pois seus coeficientes são os mesmos a menos do fator k = x 1 x 2 y 1 y 2, que é 0 Multiplicando os coeficientes da primeira por k obtemos os coeficientes da segunda Concluímos que existe uma única reta que contém A e B Vemos assim que vale, em nosso modelo algébrico, o Axioma E1 da Geometria Euclidiana O Axioma E2 é objeto do Problema 2073, e os axiomas E3 a E5, enunciados na página 92 e seguintes, dizem respeito ao espaço Veremos na próxima seção como ficam os axiomas de medida em nosso modelo algébrico 204 Distâncias no modelo algébrico O primeiro axioma de medida é o da distância, enunciado na página 97 Axioma E6: A todo par de pontos diferentes corresponde um único número real positivo No nosso modelo algébrico obtemos explicitamente uma distância através da função d : R 2 R, definida por d(a,b) = (x 1 x 2 ) 2 + (y 1 y 2 ) 2 para quaisquer pontos A = (x 1, y 1 ) e B = (x 2, y 2 ) Temos assim a Definição 203 A distância entre dois pontos A = (x 1, y 1 ) e B = (x 2, y 2 ) quaisquer de R 2 é o número d(a,b) = (x 1 x 2 ) 2 + (y 1 y 2 ) 2 (201) Temos motivos para considerar essa definição de distância, os quais comentaremos mais adiante Supomos que a distância em R 2 está fixada com a Definição 203 Portanto a distância entre dois pontos A e B de R 2 é única, dada pela expressão d(a,b) acima definida Deixamos para o leitor provar a Proposição 204 Com as notações da Definição 203, temos: (i) d(a,b) = 0 A = B; (ii) Se A B então d(a,b) > 0 Com isso vemos que vale, neste modelo algébrico, o Axioma E6 da Geometria Euclidiana Temos também o Teorema 205 [Desigualdade triangular] Quaisquer que sejam os pontos A, B e C de R 2 temos d(a,c) d(a,b) + d(b,c), e ocorre a igualdade se e somente se os pontos são colineares Deixamos para o leitor provar este resultado (Problema 2075) Observamos que em nossa abordagem algébrica da Geometria obtivemos logo de saída a desigualdade triangular! Isso nos dá uma ideia das potencialidades do método algébrico Na Geometria Euclidiana isso só aconteceu depois de muitos axiomas e teoremas Confira também o Problema 2072, em que apresentamos uma condição algébrica sobre colinearidade de três pontos Isso ajuda na demonstração do Teorema 205

60 298 Geometria Elementar: gênese e desenvolvimento 205 Paralelismo no modelo algébrico Vemos nesta seção que no modelo algébrico podemos demonstrar o Axioma E16, da unicidade da reta paralela, que afirma que Em um plano, por um ponto dado fora de uma reta passa uma única paralela à reta dada (página 142) Já conhecemos a definição de retas paralelas em um plano: são duas retas que não se interceptam Para estudar retas paralelas e outras propriedades precisamos conhecer condições algébricas sobre a posição relativa de duas retas O resultado abaixo nos dá essas informações Teorema 206 Sobre as retas r = R a,b,c e s = R d,e,f podemos afirmar que: i) r = s se e somente se a b d e = a c d f = b c e f = 0 ii) r intercepta s se e somente se a b d e 0 e nesse caso a interseção é um único ponto iii) r é diferente e paralela a s se e somente se a b d e = 0 e: a d c f 0 ou b c e f 0 Demonstração As retas dadas r = R a,b,c e s = R d,e,f têm o ponto A = (x, y) em comum quando ax + by + c = 0 e dx + e y + f = 0 (202) Precisamos analisar (202) como um sistema de duas equações e duas incógnitas x e y Para isso utilizamos a nomenclatura e os resultados de [7], pág 33 e seguintes O sistema (202) pode ter: (i) infinitas soluções (neste caso as retas coincidem); (ii) uma única solução (neste caso as retas se interceptam em um único ponto); (iii) nenhuma solução (neste caso as retas são diferentes e paralelas) Consideremos a matriz dos coeficientes A associada ao sistema e a matriz ampliada B dadas por ( a b A = d e ) ( a b c e B = d e f Observamos que A é matriz não nula, pois, por definição de reta, não podemos ter a e b simultaneamente nulos Logo, se p é o posto de A, temos 1 p 2 Ainda, p = 1 quando o determinante de A é nulo Se esse determinante é não nulo, então p = 2 De forma análoga, se q é o posto de B, temos 1 q 2, e q = 1 se forem nulos todos os seus determinantes menores a b d e = 0 e a c d f = 0 e b c e f = 0 Caso contrário, isto é, se um deles for não nulo, temos q = 2 Aplicando o Teorema 254 de [7], pág 45, temos: i) p = q = 1 Este caso ocorre quando os três determinantes menores acima são nulos, e, pelo Teorema citado, temos o caso em que o sistema (202) tem infinitas soluções Isto equivale a r = s ii) p = 2 Este caso ocorre quando o determinante de A é 0 Temos necessariamente q = 2 Pelo Teorema citado, isso acontece quando o sistema (202) tem uma única solução, o que equivale a r intercepta s em um único ponto )

61 Geometria euclidiana com coordenadas 299 iii) p = 1 e q = 2 Este caso ocorre quando o determinante de A é = 0 e um dos outros dois determinantes menores de B é 0 Pelo Teorema citado, isso acontece quando o sistema (202) não tem solução, o que equivale a r diferente e paralelo a s Já temos os instrumentos suficientes para demonstrar o axioma euclidiano das paralelas: Teorema 207 Por um ponto fora de uma reta passa uma e uma única paralela à reta Demonstração Sejam r = R a,b,c uma reta e A = (p, q) um ponto fora dela Assim ap + bq + c 0 Queremos encontrar números d, e e f tais que a reta s = R d,e,f contém A e é paralela a r Portanto as condições sobre os números d, e e f são dp + eq + f = 0 e, em virtude do Teorema 206, parte (iii), a b d e = 0 e a c d f 0 ou b c e f 0 Assim temos que ter dp + eq + f = 0 e ae = db e (a f cd ou b f ec) Vamos considerar dois casos: 1 caso: a 0 Sejam d = 1, e = b/a e f = p (b/a)q Temos dp + eq + f = 0 e ae = db Ainda, de f = p (b/a)q vem a f = ap bq Como ap + bq + c 0 segue que c ap bq ou c a f e cd a f Portanto a reta s = R d,e,f, com d = 1, e = b/a e f = p (b/a)q, contém A e é paralela a r 2 caso: b 0 Sejam e = 1, d = a/b e f = (a/b)p q Temos dp + eq + f = 0 e ae = db Ainda, de f = (a/b)p q vem b f = ap bq Como ap + bq + c 0 segue que c ap bq ou c b f e ce b f Portanto a reta s = R d,e,f, com d = a/b, e = 1 e f = (a/b)p q, contém A e é paralela a r Observemos que se a 0 e b 0, temos dois formatos para a reta paralela, mas são a mesma reta, pois ( a b,1, a ) b p q = a (1, ba b, p ba ) q Portanto a reta paralela é única Concluímos assim a demonstração do Axioma E16, da unicidade da reta paralela 206 Outras propriedades do modelo algébrico Fazemos alguns comentários adicionais sobre o modelo algébrico da Geometria Euclidiana A definição de ângulos necessita dos arcos trigonométricos como seno, cosseno e tangente No contexto dos números reais essas funções são definidas na forma de séries de potências Confira, por exemplo, [53], página 392, ou [75], página 187 Feito isso podemos considerar a definição de medida de ângulo entre retas Definição 208 Se r = R a,b,c e s = R d,e,f são retas que se interceptam, a medida do ângulo entre elas é definida por ae bd arctg quando ad + be 0 ad + be e por 90 quando ad + be = 0

62 300 Geometria Elementar: gênese e desenvolvimento Em particular temos a Definição 209 As retas R a,b,c e R d,e,f se dizem perpendiculares quando ad + be = 0 Com isso podemos provar o Teorema 2010 Dados uma reta e um ponto (contido ou não na reta) passa uma e uma única perpendicular à reta A demonstração desse teorema pode ser feita de modo inteiramente análoga à do Teorema 207, e é solicitada no Problema 2078 Bastante útil é a expressão vetorial ou paramétrica da reta Sejam (x 1, x 2 ) e (x 2, y 2 ) pontos diferentes de uma reta r = R a,b,c Sejam X = x 2 x 1 e Y = y 2 y 1 Então ax = by Queremos exprimir nesse esquema um ponto arbitrário (x, y) dessa reta Temos a(x x 1 ) = b(y y 1 ) Seja t um número real tal que x x 1 = t X Então y y 1 = ty Portanto (x, y) = (x 1, y 1 ) + t(x,y ) Em outros termos, dados dois pontos diferentes (x 1, x 2 ) e (x 2, y 2 ), a reta que passa por eles é r = {(x 1, y 1 ) + t(x,y ) t R} Observe que o segmento ligando (x 1, x 2 ) e (x 2, y 2 ) é r = {(x 1, y 1 ) + t(x,y ) t [0,1]} Dados dois pontos diferentes A = (x 1, x 2 ) e B = (x 2, y 2 ), o par ordenado (X,Y ) = (x 2 x 1, y 2 y 1 ) chama-se vetor de origem A e final B Esse conceito é útil em muitas situações Podemos continuar desenvolvendo dessa forma a Geometria Analítica e demonstrar todos os axiomas da Geometria Euclidiana Algumas dessas demonstrações estão propostas nos Problemas 207 A conexão entre esses dois modelos pode também ser evidenciada através da representação da Geometria Analítica proporcionada pelo sistema de coordenadas cartesianas Não vamos dar detalhes dessa representação, pois é bastante conhecida do leitor Apenas notamos que se fizéssemos essa representação logo no início de nossa exposição ficaria mais fácil perceber certas definições, como a da distância, dada em 203 Ali foi definido que a distância entre dois pontos A = (x 1, y 1 ) e B = (x 2, y 2 ) quaisquer de R 2 é o número d(a,b) = (x 1 x 2 ) 2 + (y 1 y 2 ) 2 Por que é usada essa fórmula? y y 2 B y 1 A C x 1 x 2 x Figura 201 Origem da fórmula da distância A Figura 201 mostra a situação em que os pontos A e B definem uma reta não paralela ao eixo Ox e nem ao eixo Oy Consideremos as projeções dos pontos A e B nos eixos Ox e Oy Consideremos ainda o ponto C = (x 2, y 1 ) De acordo com as concepções sobre distância de pontos trabalhadas na Geometria Euclidiana, a distância entre A e C é igual à distância entre (x 1,0) e (x 2,0) Temos

63 Geometria euclidiana com coordenadas 301 assim AC = x 1 x 2 Do mesmo modo BC = y 1 y 2 Considerando agora o triângulo retângulo ABC e lembrando que na Geometria Euclidiana vale o Teorema de Pitágoras, segue que AB = AC 2 + BC 2 = (x 1 x 2 ) 2 + (y 1 y 2 ) 2 Nos casos em que os pontos A e B definem uma reta paralela a um dos eixos obtemos a mesma fórmula Essas considerações nos levam a definir a distância entre pontos de R 2 usando essa fórmula Um tópico muito importante do estudo algébrico da Geometria Euclidiana é a demonstração do axioma LAL de congruência de triângulos Para isso podemos usar a chamada lei dos cossenos Dado um triângulo ABC, temos AB 2 = BC 2 + AC 2 2BC AC cosγ, em que γ = m( ACB) Essa fórmula pode ser demonstrada apenas com recursos algébricos Para obter mais detalhes consulte [39], página 144 Vemos que a Geometria Analítica em R 2 é um modelo algébrico para a Geometria Euclidiana Plana O mesmo podemos fazer com R 3 e a Geometria Euclidiana Espacial Portanto, fazendo uma construção inteiramente algébrica de R podemos em seguida construir a Geometria Euclidiana Isso é o que na Matemática é chamado de aritmetização da Geometria Em particular, do ponto de vista da Lógica, vemos que a Geometria Euclidiana é tão consistente quanto o conjunto R 207 Problemas Problema 2071 No texto definimos retas R a,b,c para números reais a e b não simultaneamente nulos O que é esse conjunto se a = 0 e b = 0? Problema 2072 Prove que três pontos diferentes A = (x 1, y 1 ), B = (x 2, y 2 ) e C = (x 3, y 3 ) são colineares se e somente se o determinante x 1 x 2 x 3 y 1 y 2 y = 0 Em particular, o ponto (x, y) se encontra na reta que passa por dois pontos diferentes A = (x 1, y 1 ) e B = (x 2, y 2 ) se e somente se x y 1 x 1 y 1 1 x 2 y 2 1 = 0 Problema 2073 Demonstre que no modelo algébrico de Geometria vale a seguinte versão do Axioma E2 para o plano: a) Toda reta contém pelo menos dois pontos b) Existem três pontos não colineares Problema 2074 Vimos, na Geometria Euclidiana, que o comprimento de um segmento AB não depende da ordem com a qual os pontos são considerados, isto é, vale que AB = B A Verifique que isto também vale no modelo algébrico provando que d(a,b) = d(b, A) Problema 2075 Prove o Teorema 205: Quaisquer que sejam os pontos A, B e C de R 2 temos d(a,c) d(a,b) + d(b,c), e ocorre a igualdade se e somente se os pontos são colineares (Sugestão: defina a norma X = x1 2 + x2 2 para todo X = (x 1, x 2 ) R 2 Prove que X + Y X + Y Dados A, B e C, tome X = C B e Y = B A)

64 302 Geometria Elementar: gênese e desenvolvimento Problema 2076 a) Prove que as retas R a,b,c e R d,e,f são paralelas se e somente se existe k 0 tal que d = ka, e = kb e f kc b) Prove que as retas R a,b,c e R d,e,f são paralelas se e somente se R d,e,f = R a,b,c para algum número c diferente de c Problema 2077 Complete a Definição 209 provando que se as retas R a,b,c e R d,e,f satisfazem à condição ad + be = 0 então elas se interceptam em um único ponto Problema 2078 Usando um método puramente algébrico demonstre que dados um ponto A = (p, q) e uma reta r = R a,b,c existe uma única perpendicular a r que contém A Dê uma expressão dessa perpendicular Problema 2079 Na Geometria Analítica, assim como no Geometria Euclidiana, dizemos que o ponto B está entre A e C quando d(a,c) = d(a,b) + d(b,c) Em virtude do Teorema 205 essa condição implica que os pontos são colineares Sejam A = (x 1, x 2 ) e C = (x 2, y 2 ) pontos diferentes, e ponhamos X = x 2 x 1 e Y = y 2 y 1 Prove que o ponto B está entre A e C se e somente se B = (x 1, y 1 ) + t(x,y ) para algum t [0,1] Problema Defina algebricamente a semirreta de origem A = (x 1, y 1 ) e contendo B = (x 2, y 2 ) Problema Demonstre que a Geometria Analítica satisfaz o Axioma E7 (da régua), descrito na página 91, completando os detalhes da seguinte construção Dada uma reta r = R a,b,c, escolhemos nela um ponto O = (x 0, y 0 ) como origem das coordenadas Seja (x 1, y 1 ) um segundo ponto de r Anotaremos h = x 1 x 0 e k = y 1 y 0 Então ah = bk Se (x, y) é um ponto qualquer de r, temos a(x x 0 ) = b(y y 0 ) Seja t tal que x x 0 = th Então y y 0 = tk A um ponto qualquer (x, y) de r associamos o número t h 2 + k 2 Mostre que essa associação é biunívoca e que a distância entre dois pontos quaisquer da reta r é o valor absoluto da diferença dos números correspondentes Problema Demonstre que a Geometria Analítica satisfaz o Axioma E8 (da colocação da régua), descrito na página 92 Problema Dada uma reta R a,b,c, defina algebricamente os semiplanos por ela determinados Demonstre o Axioma E9, da separação do plano, dado na página 103 Problema Mostre por que a Lei dos Cossenos implica que a correspondência LAL é uma congruência Problema Usando métodos algébricos prove que a menor distância do ponto A = (p, q) à reta R a,b,c é dada pelo valor da expressão ap + bq + c a 2 + b 2 e esse valor é a distância do ponto A ao pé da perpendicular à reta Problema Defina a área do triângulo de vértices A = (x 1, y 1 ), B = (x 2, y 2 ) e C = (x 3, y 3 ) como o valor absoluto da expressão 1 x 1 y x 2 y 2 1 x 3 y 3 1 Prove que essa definição coincide com a fórmula tradicional de área de triângulos (metade da base vezes a altura)

65 Geometria euclidiana com coordenadas 303 Problema Dadas as retas concorrentes R a,b,c e R d,e,f, sejam h = a 2 + b 2 e k = d 2 + e 2 Mostre que as equações das bissetrizes dos ângulos formados por elas são k(ax + by + c) ± h(dx + e y + f ) = 0 Problema Dado um triângulo de vértices A = (x 1, y 1 ), B = (x 2, y 2 ) e C = (x 3, y 3 ), determine algebricamente: a) seu baricentro (ponto de encontro das medianas, segmentos que ligam cada vértice om o ponto médiodo lado oposto) b) seu ortocentro (ponto de encontro das alturas); b) seu circuncentro (ponto de encontro das mediatri;zes dos lados); c) seu incentro (ponto de encontro das bissetrizes internas) d) Prove que os três primeiros pontos estão na mesma reta e encontre a equação dessa reta (chamada reta de Euler) Se o triângulo for equilátero esses pontos coincidem e a reta não é determinada 208 Temas para investigação Tema 2081 Consideremos o conjunto Z 2 = {0,1}, formado apenas pelos números 0 e 1, munido das seguintes operações de adição e multiplicação, diferentes das operações usuais: = = = = = = = = 1 Podemos compreender essa estrutura como uma representação do comportamento dos números pares e ímpares, com 0 representando os pares e 1, os ímpares Por exemplo, ímpar mais ímpar é par, e isso está associado ao fato de que estamos considerando = 0 a) Investigue a Geometria modelada pelo produto cartesiano Z 2 Z 2 Estude quais são as suas retas e suas propriedades b) Chamaremos de ter os números inteiros que têm resto zero quando divididos por 3, de ínter os que têm resto 1, e alter os que têm resto 2 Defina um conjunto Z 3 = {0,1,2} com operações de adição e multiplicação que reflita o comportamento recíproco dessas classes de números Estude a Geometria representada por Z 3 Z 3 c) Investigue generalizações dessas ideias para conjuntos Z n = {0,1,,n 1} Tema 2082 Considerando o conjunto R 3 como um modelo de Geometria Euclidiana Espacial, dê definições de retas e planos neste conjunto Demonstre os primeiros cinco axiomas da Geometria Euclidiana, enunciados na Seção 94, página 91 Tema 2083 Estude as origens históricas da Geometria Analítica, e o papel que nela tiveram Descartes e Fermat Em particular, Descartes se esforçou para convencer seus contemporâneos de que ele havia descoberto um método muito importante Procure saber como ele fez isso Tema 2084 Colecione problemas de Geometria que permitam comparar o método tradicional e o algébrico Por exemplo, o estudo das posições relativas entre reta e circunferência, feito no Teorema 112, página 168 Como fica sua solução através do método das coordenadas? Tema 2085 Se o modelo algébrico de geometria é mais potente que o tradicional, então por que ainda ensinamos este último?

66 304 Geometria Elementar: gênese e desenvolvimento

67 Capítulo 21 Isometrias do plano 211 Introdução Comentamos no Capítulo 9, Seção 912, página 113, como é importante, no estudo da Geometria, o conceito de congruência de figuras Além de fornecer métodos para a investigação de propriedades geométricas, esse conceito traz a ideia de classificar as figuras e determinar as propriedades comuns às figuras de uma mesma classe Vimos que a congruência entre triângulos exerce um papel fundamental, e sua definição tradicional estabelece que dois triângulos são congruentes quando existe uma correspondência entre os seis pares de elementos desses triângulos (três lados e três ângulos), e os pares correspondentes têm a mesma medida Esse é o denominado conceito estático de congruência Essa definição resolve bem essa questão no âmbito dos métodos da Geometria de Posição, descrita no Capítulo 9 Entretanto observamos que essa técnica não coincide com a noção espontânea de congruência, que envolve movimento De acordo com essa noção, uma figura é congruente a outra quando podemos mover uma delas e fazê-la coincidir com a outra Veremos no presente Capítulo que a ideia de movimento em um plano pode ser operacionalizada pelas transformações do plano Estudaremos, em particular, um tipo especial de transformação, a isometria, que pode ser vista como um movimento no plano que transporta um triângulo qualquer sobre outro a ele congruente 212 Transformações do plano Começamos com a Definição 211 Uma transformação do plano é uma função T : R 2 R 2 Dizemos que T transporta a figura F do plano sobre a figura G quando T (F ) = G Vejamos alguns exemplos Exemplo 212 A função T : R 2 R 2 definida por T (x, y) = (2x,2y) é um exemplo de transformação do plano Ela tem as seguintes particularidades: é uma bijeção do plano sobre o plano, transporta qualquer segmento AB sobre o segmento T (A)T (B), sendo que o comprimento deste é o dobro do primeiro Em particular T transporta um triângulo em outro triângulo semelhante ao primeiro, e a razão de semelhança é 2 Confira a Figura 211, em que vemos ilustrada a ação de T sobre um triângulo Observe que podemos usar notação matricial para expressar T : T (x, y) = ( )( x y ) 305

68 306 Geometria Elementar: gênese e desenvolvimento y y T x x Figura 211 Ação de T : R 2 R 2, T (x, y) = (2x,2y) sobre um triângulo Definição 213 Uma transformação linear do plano é uma função T : R 2 R 2 da forma T (x, y) = (ax + by,cx + d y), em que a, b, c e d são números reais Em outros termos, ( a b T (x, y) = c d Exemplo 214 Sejam k e l números reais não simultaneamente nulos A função T : R 2 R 2 definida por T (x, y) = (x +k, y +l) é um exemplo de transformação do plano, denominada translação Exemplo 215 A função T : R 2 R 2 definida por T (x, y) = (x,0) é um exemplo de transformação do plano, denominada projeção ortogonal sobre o eixo Ox Exemplo 216 Seja r uma reta Se (x, y) é um ponto fora de r, seu simétrico em relação a r é o único ponto (x, y) tal que r é a mediatriz do segmento de extremos (x, y) e (x, y) Por outro lado, se (x, y) r dizemos que seu simétrico em relação a r é ele mesmo Definimos agora a função T r : R 2 R 2 tal que T r (x, y) é o simétrico de (x, y) em relação a r Esta transformação do plano é denominada reflexão em relação a r A reta r é denominada reta de simetria da reflexão Exemplo 217 Fixemos um ângulo de medida θ 0 A rotação de ângulo θ em relação a (0,0) é a transformação do plano T θ : R 2 R 2 definida da seguinte forma Primeiro, T (0,0) = (0,0) Se (x, y) (0,0), consideramos o segmento (0,0)(x, y), e o rotacionamos em um ângulo de valor θ no sentido anti-horário se θ > 0, e no sentido horário se θ < 0 Obtemos dessa forma um segmento (0,0)(x, y) Definimos então T θ (x, y) = (x, y) y )( x y ) θ α T θ (x, y) (x, y) x Figura 212 Ação de uma rotação de ângulo θ > 0 sobre um ponto Para calcular a expressão de T θ em coordenadas, fixemos (x, y) (0,0), e seja α o ângulo determinado pelo segmento (0,0)(x, y) e o semieixo positivo Ox, no sentido anti-horário Então θ + α é o ângulo determinado pelo segmento (0,0)T θ (x, y) e o semieixo positivo Ox (confira ilustração na

69 Isometrias do plano 307 Figura 212 para o caso em que θ > 0) Usando o Teorema de Pitágoras e escrevendo d = x 2 + y 2 temos (x, y) = (d cosα,d senα) e T θ (x, y) = (d cos(θ + α),d sen(θ + α)) Usando as fórmulas cos(θ +α) = cosθ cosα senθ senα e sen(θ +α) = cosθ senα+senθ cosα vem T θ (x, y) = (x cosθ y senθ, x senθ + y cosθ) Observe que T θ é uma transformação linear, pois pode ser escrita na forma ( cosθ senθ T θ (x, y) = senθ cosθ )( x y ) 213 Isometrias do plano Conforme já comentamos, estamos interessados, nesta exposição de nosso modelo algébrico de Geometria, em estudar movimentos do plano que transportam um triângulo sobre outro congruente Naturalmente o principal requisito para esse tipo de transformação é que ela deve transportar um segmento sobre outro segmento de mesmo comprimento Veremos que é suficiente definir Definição 218 Uma transformação do plano T : R 2 R 2 chama-se isometria euclidiana ou, simplesmente, isometria, quando d(t (A),T (B)) = d(a,b) para quaisquer pontos A e B do plano Em outros termos, as isometrias são transformações que preservam distâncias Em particular, aqui estamos pensando na distância euclidiana d, definida em 203, página 297 Vejamos, antes de mais nada, exemplos de isometrias Uma isometria trivial é a identidade Id : R 2 R 2, dada por Id(x, y) = (x, y) Outros exemplos são: Exemplo 219 Toda translação T : R 2 R 2, dada por T (x, y) = (x + k, y + l), definida no Exemplo 214, é uma isometria De fato, se A = (x 1, y 1 ) e B = (x 2, y 2 ) são pontos quaisquer do plano, temos d(t (A),T (B)) = (x 1 + k (x 2 + k)) 2 + (y 1 + l (y 2 + l)) 2 = = (x 1 x 2 ) 2 + (y 1 y 2 ) 2 = d(a,b) Exemplo 2110 Toda reflexão T r : R 2 R 2 em relação a uma reta r, conforme definida no Exemplo 216, é uma isometria A demonstração deste fato está solicitada no Problema 2187 Exemplo 2111 Toda rotação T θ : R 2 R 2 de ângulo θ em relação a (0,0), definida no Exemplo 217, é uma isometria Isso pode ser verificado usando-se sua expressão em coordenadas (a demonstração deste fato está solicitada no Problema 2188) Esse fato também é consequência do Teorema 2113 demonstrado logo abaixo No Exemplo 217 definimos rotação de ângulo θ em relação a (0,0), mas podemos definir rotação de ângulo θ em relação a um ponto qualquer C do plano

70 308 Geometria Elementar: gênese e desenvolvimento Definição 2112 Sejam C um ponto de R 2 e θ 0 um ângulo A rotação de ângulo θ em relação a C é a transformação do plano R = T C,θ : R 2 R 2 definida da seguinte forma: R(C) = C, e, se P C é um ponto qualquer de R 2, R(P) é o ponto tal que CR(P) = CP e a medida do ângulo PCR(P) é θ, medida contada a partir da semirreta CP no sentido horário se θ > 0 e no sentido anti-horário se θ < 0 Temos Teorema 2113 Toda rotação é uma isometria Demonstração Seja R a rotação de centro C e ângulo θ Sejam P e Q dois pontos quaisquer do plano Para provar que R é uma isometria devemos verificar que PQ = R(P)R(Q) Se P = C e Q C, temos R(P)R(Q) = CR(Q) = CQ = PQ, por definição de rotação O mesmo ocorre se P C e Q = C Suponhamos P C e Q C Se C, P e Q forem colineares, então C, R(P) e R(Q) são colineares, e suas posições relativas na reta são respectivamente as mesmas que as daqueles três pontos Como CP = CR(P) e CQ = CR(Q), então R(P)R(Q) = PQ Suponhamos que C, P e Q não sejam colineares Temos uma situação como a que está ilustrada na Figura 213 Os triângulos PCQ e R(P)CR(Q) são congruentes pelo caso LAL, pois CP = CR(P), CQ = CR(Q) e PCQ = R(P)CR(Q) Logo R(P)R(Q) = PQ, e R é uma isometria y R(Q) R(P) C Q O P x Figura 213 Ilustração do Teorema Propriedades geométricas das isometrias Estamos interessados em compreender como as isometrias transformam as figuras A figura mais elementar (depois do ponto) é o segmento Por definição, toda isometria preserva a distância de pontos Portanto, dados A e B, temos d(t (A), T (B)) = d(a, B) Mas isso não significa de imediato que o segmento AB é transportado no segmento T (A)T (B) A imagem de AB por T poderia ser uma curva Mas podemos esperar que segmento vai em segmento, pois todo X AB tem suas distâncias até A e até B preservadas Vamos investigar essas questões começando com a Proposição 2114 Toda isometria T : R 2 R 2 é injetiva

71 Isometrias do plano 309 Demonstração É uma consequência imediata da definição de isometria Se A B então d(t (A),T (B)) = d(a,b) > 0, portanto T (A) T (B) Proposição 2115 Seja T : R 2 R 2 uma isometria e sejam A e B pontos diferentes quaisquer Então T transporta o segmento AB sobrejetivamente no segmento T (A)T (B) Demonstração Não custa observar inicialmente que T (A)T (B) é realmente um segmento, pois T (A) T (B) Provemos primeiro que se X é um ponto do segmento AB então T (X ) é um ponto do segmento T (A)T (B) Como X está em AB temos d(a, X ) + d(x,b) = d(a,b), em virtude da Definição 99, página 99 Em virtude de T ser uma isometria temos d(t (A),T (X )) + d(t (X ),T (B)) = d(a, X ) + d(x,b) = = d(a,b) = d(t (A),T (B)) Portanto T (X ) é um ponto do segmento T (A)T (B) Provamos assim que a imagem T (AB) do segmento AB por T está contida em T (A)T (B) Seja agora Y um ponto do interior do segmento T (A)T (B) Pelo Axioma da colocação da régua aplicado à reta T (A)T (B) podemos supor que a coordenada de T (A) é zero, a de T (B) é z > 0 e a de Y é y Como Y está entre T (A) e T (B) então 0 < y < z Pelo mesmo Axioma da colocação da régua, mas agora aplicado à reta AB podemos supor que a coordenada de A é zero e a de B é b > 0 Como T é uma isometria temos b = z Logo 0 < y < b, e existe no segmento AB um ponto X de coordenada y Como T é uma isometria, a coordenada de T (X ) na reta T (A)T (B) é y, portanto T (X ) = Y Isto prova a afirmação Na demonstração da Proposição acima vimos que se A X B então T (A) T (X ) T (B), e as distâncias são preservadas Podemos ver assim que vale o Escólio 2116 Seja T : R 2 R 2 uma isometria Então T transporta pontos colineares em pontos colineares, preservando sua ordem na reta e suas distâncias Corolário 2117 A imagem de três pontos não colineares por uma isometria T : R 2 R 2 são três pontos não colineares Demonstração Sejam A, B e C três pontos não colineares Se T (A), T (B) e T (C) fossem colineares, com T (B) entre T (A) e T (C), por exemplo, teríamos d(t (A),T (B))+d(T (B),T (C)) = d(t (A),T (C)) Mas, pela desigualdade triangular, temos d(a, B) + d(b,c) > d(a,c), contrariando a definição de isometria Vejamos agora o Proposição 2118 Seja T : R 2 R 2 uma isometria Então T transporta reta sobre reta Demonstração Seja r uma reta, e sejam A e B pontos de r Seja s a reta determinada por T (A) e T (B) Afirmamos que T transporta r sobre s Vamos provar primeiro que T transporta r em s Consideremos um ponto arbitrário X de r Como A, B e X são colineares, segue que T (A), T (B) e T (X ) são colineares Dessa forma T (X ) está em s, e temos T (r ) s Vamos provar agora que T transporta r sobrejetivamente em s Para provar isso, colocamos em r um sistema de coordenadas de forma que a coordenada de A seja 0 e a de B seja b > 0 De forma análoga, colocamos em s um sistema de coordenadas de forma que a coordenada de T (A)

72 310 Geometria Elementar: gênese e desenvolvimento seja 0 Observe que, pelo fato de ser T uma isometria, a coordenada de T (B) tem que ser b ou b; escolhemos que seja b Consideremos um ponto arbitrário Y de s, e seja y sua coordenada Podemos supor Y T (A) e Y T (B), pois esses pontos já estão na imagem de T Logo y 0 e y b Seja X o ponto de r de coordenada y Então X A e X B Afirmamos que T (X ) também tem coordenada y De fato, se A X B ou A B X, temos respectivamente T (A) T (X ) T (B) e T (A) T (B) T (X ), e a coordenada c de T (X ) é positiva Ainda, c = d(t (X ),T (A)) = d(x, A) = y, e a coordenada de T (X ) é y Se X A B, a coordenada c de T (X ) é negativa, e c = d(t (X ),T (A)) = d(x, A) = y, e novamente a coordenada de T (X ) é y Então T (X ) = Y, e terminamos O estudante pode observar que a demonstração da Proposição acima contém a do Escólio 2119 Toda isometria T : R 2 R 2 transporta semirreta sobre semirreta Sendo assim temos o Corolário 2120 A imagem de um ângulo por uma isometria T : R 2 R 2 é um ângulo de mesma medida Demonstração Seja T : R 2 R 2 uma isometria e B AC um ângulo Como A, B e C são não colineares, T (A), T (B) e T (V ) também não são colineares, de modo que T (B)T (A)T (C) é um ângulo Ainda, as semirretas B A e BC são levadas, respectivamente, sobre as semirretas T (B)T (A) e T (B)T (C) Portanto a imagem de B AC por T é o ângulo T (B)T (A)T (C) Notemos agora que os triângulos ABC e T (B)T (A)T (C) são congruentes pelo caso LLL pois, sendo T uma isometria, preserva a medida dos lados Segue que os ângulos B AC e T (B)T (A)T (C) têm a mesma medida Vamos provar agora o Proposição 2121 Toda isometria T : R 2 R 2 é sobrejetiva (sua imagem é R 2 ) Demonstração Sejam T : R 2 R 2 uma isometria e Q um ponto de R 2 Queremos mostrar que existe P r tal que T (P) = Q Sejam A e B pontos diferentes de R 2 Sabemos que toda isometria é injetiva, assim T (A) T (B) Se T (A) = Q ou T (B) = Q, terminamos Suponhamos T (A) Q e T (B) Q Ponhamos T (A) = A e T (B) = B Existem apenas duas possibilidades para os pontos A, B e Q: eles são colineares ou não Suponhamos primeiro que A, B e Q sejam colineares Então estão em uma reta s, que é imagem da reta r que contém A e B Em virtude da Proposição 2118 existe P r tal que T (P) = Q Suponhamos agora que A, B e Q não sejam colineares, e consideremos o triângulo Q A B Construímos no lado AB os triângulos PAB e R AB congruentes a Q A B, com P e R em semiplanos opostos em relação à reta AB As semirretas AP e AR são levadas em semirretas diferentes com origem A, pois T é injetiva, P R e AP = AR Além disso elas formam ângulos de mesma medida que Q A B com a semirreta A B Logo, como T preserva distância, T (P) = Q ou T (R) = Q Com essa propriedade temos a Proposição 2122 Toda isometria é invertível, e a inversa de qualquer isometria é também uma isometria Demonstração Seja T : R 2 R 2 uma isometria Como T é bijetiva, ela tem uma transformação inversa T 1 : R 2 R 2 Provemos que T 1 também preserva distância Sejam A e B pontos de R 2 Então d(t 1 (A),T 1 (B)) = d(t (T 1 (A),T (T 1 (B)) = d(a,b) Logo T 1 é uma isometria

73 Isometrias do plano 311 Aproveitamos a oportunidade para demonstrar a Proposição 2123 A composta de duas isometrias é também uma isometria Demonstração Sejam T,S : R 2 R 2 isometrias, e A e B pontos de R 2 Temos d((t S)(A),(T S)(B)) = d(t (S(A)),T (S(B)) = d(s(a),s(b)) = d(a,b) Portanto a composta de isometrias é uma isometria Na Definição 2112 vimos o que é uma rotação T C,θ : R 2 R 2 de ângulo θ em relação a um ponto C, e no Teorema 2113 vimos uma demonstração geométrica de que essas rotações são isometrias Essa demonstração pode ser feita de outra forma Sabemos que a rotação T θ : R 2 R 2 de ângulo θ em relação à origem é uma isometria Seja T : R 2 R 2 a translação que leva a origem a C Então T C,θ = T T θ T 1 Usando as Proposições 2122 e 2123 vemos que T C,θ é uma isometria Pelas propriedades geométricas das isometrias, estudadas acima, vemos que a condição de preservar distância é bastante restritiva Podemos prever que existem poucos tipos de isometrias Uma forma de fazer este estudo é considerar seus pontos fixos Veremos que a quantidade e o posicionamento dos pontos fixos de uma isometria determinam seu tipo Definição 2124 Seja T : R 2 R 2 uma transformação Chamamos de ponto fixo de T a todo ponto P tal que T (P) = P Para estudar os pontos fixos de uma isometria começaremos com a seguinte propriedade: Proposição 2125 Se A e B são pontos fixos de uma isometria T, então todos os pontos da reta que passa por A e B são fixos Demonstração Sabemos que T transforma a reta r que passa por A e B na reta que passa por T (A) e T (B) Uma vez que A e B são pontos fixos, a reta r é levada sobre si mesma Seja P um ponto qualquer de r Suponha que P está entre A e B Sabemos que T (P) está entre A e B Como AP = T (A)T (P) = AT (P) e como P e T (P) estão na mesma semirreta com origem A, são o mesmo ponto, isto é, T (P) = P A demonstração para P em outras posições é análoga Proposição 2126 Sejam S e T isometrias e r uma reta do plano Se existirem pontos A B em r tais que S(A) = T (A) e S(B) = T (B) então S(X ) = T (X ) para todo X r Demonstração Com efeito, nesse caso a isometria R = T 1 S é tal que R(A) = A e R(B) = B Pela Proposição 2125, todo ponto de r é fixado por R, ou seja S = T em r Lembremos que a transformação Id : R 2 R 2 definida por Id(P) = P para todo P R 2 chamase identidade Portanto a identidade do plano é uma isometria que fixa todos os pontos Veremos que isometrias diferentes podem fixar, simultaneamente, no máximo, os pontos de uma reta Para ver isso façamos primeiro o Teorema 2127 Se uma isometria T fixa três pontos não colineares, então T é a identidade Demonstração Sejam A, B e C três pontos fixos não colineares da isometria T Do teorema anterior concluímos que T fixa as retas que contêm AB, AC e BC Seja P um ponto fora dessas retas e seja Q um ponto entre A e B (diferente de A e B) A reta r determinada por P e Q intercepta um dos outros dois lados do triângulo ABC em um ponto R (Teorema de Pasch, página 106) Logo r tem dois pontos fixados por T, a saber, Q e R Pelo teorema anterior T fixa a reta r e portanto fixa o ponto P Uma vez que P foi escolhido arbitrariamente, T fixa todos os pontos do plano, ou seja, T é a identidade

74 312 Geometria Elementar: gênese e desenvolvimento Teorema 2128 Se as isometrias T e S coincidem em três pontos não colineares, então T = S Demonstração Vimos que toda isometria é uma bijeção do plano, logo tem inversa, e sua inversa é uma isometria Sabemos também que a composta de duas isometrias é uma isometria Logo T S 1 é uma isometria Sejam então A, B e C os três pontos não colineares fixados por T e S simultaneamente Notemos que S 1 também fixa esses três pontos Logo T S 1 fixa esses três pontos Pelo Teorema 2127 T S 1 = Id Concluímos que T = S Com esses resultados podemos classificar as isometrias em quatro tipos diferentes: i) a identidade, que fixa todos os pontos; ii) as isometrias com dois pontos fixos (e, portanto, com uma reta fixa) iii) as isometrias com um ponto fixo; iv) as isometrias com nenhum ponto fixo Já temos exemplos de todos esses casos As reflexões são isometrias que têm um reta de pontos fixos, e apenas eles As rotações são isometrias com um único ponto fixo As translações são isometrias sem pontos fixos 215 Isometrias e congruência de triângulos Observamos no início deste Capítulo que estamos interessados em ver como transformações do plano podem movimentar triângulos sobre triângulos congruentes Estamos interessados nas duas questões seguintes: Questão 1 A imagem de um triângulo por uma isometria é um triângulo congruente ao primeiro? Questão 2 Se dois triângulos são congruentes, existe uma isometria que transporta um sobre o outro? A Questão 1 praticamente já foi respondida na Seção anterior Temos Proposição 2129 Sejam T : R 2 R 2 uma isometria e ABC um triângulo Então a imagem T (ABC) de ABC por T é o triângulo T (A)T (B)T (C), que é congruente a ABC Demonstração Como A, B e C não são colineares vimos, na Seção anterior, que T (A), T (B) e T (C) não são colineares, e formam um triângulo Vimos também que T (AB) é o segmento T (A)T (B), T (AC) é o segmento T (A)T (C) e T (BC) é o segmento T (B)T (C) Logo a imagem T (ABC) de ABC é o triângulo T (A)T (B)T (C) Como T preserva distâncias, esses triângulos são congruentes pelo caso LLL Respondemos agora a Questão 2: Teorema 2130 Sejam ABC = DEF triângulos congruentes Existe uma isometria T de modo que T (A) = D, T (B) = E e T (C) = F Portanto T transporta ABC sobre DEF Demonstração Construímos no plano um sistema de coordenadas cartesianas de modo que A = (0,0) e B = (b,0), com b > 0 Confira a Figura 214 Seja T AD a translação do plano tal que T AD (A) = D Essa transformação é uma isometria e transporta o semieixo positivo de Ox no semieixo positivo Ox e o semieixo positivo de Oy no semieixo positivo Oy Sejam A = T AD (A), B = T AD (B) e C = T AD (C) Portanto A = D

75 Isometrias do plano 313 Seja α a medida do ângulo entre semieixo positivo de Ox e a semirreta DE, medido no sentido antihorário Consideremos a rotação T α de ângulo α em torno da origem A Como T α é uma isometria temos T α (B ) = E e T α (C ) = F, pois o ângulo entre DC e DF também mede α Para encerrar a demonstração da afirmação basta considerar a isometria T = T α T AD y F y C E F C A B D x E α A = D B Figura 214 Construção de uma isometria que transporta um triângulo sobre outro congruente x 216 Isometrias em coordenadas Não é difícil obter uma expressão em coordenadas para qualquer isometria Isto é dado pelo Teorema 2131 Seja T : R 2 R 2 uma isometria Então existem números reais k, l, m e n tais que m 2 + n 2 = 1 e T (x, y) = (mx ny + k,nx + my + l) (211) ou T (x, y) = (mx + ny + k,nx my + l) (212) Demonstração Seja OX Y o sistema cartesiano de coordenadas (x, y) Os eixos numéricos OX e OY são perpendiculares e se encontram no ponto O = (0,0), e seus semieixos positivos são OX e OY, respectivamente A isometria T transporta essas retas em um sistema cartesiano O X Y, pois T transporta reta em reta e conserva a medida do ângulo As retas O X e O Y são perpendiculares e se encontram no ponto O = T (0,0) Consideremos em O X um sistema de coordenadas de forma que o semieixo positivo O X seja imagem por T de OX Feita essa escolha, a imagem O Y do semieixo positivo OY pode ser qualquer uma das semirretas de T ( OY ) com origem em O Temos assim duas opções Suponhamos que o ângulo do semieixo positivo OX ao semieixo positivo OX, medido no sentido anti-horário, seja θ Então o ângulo do semi-eixo positivo OY ao semi-eixo positivo O Y, também medido no sentido anti-horário, pode ser θ ou θ Vamos examinar separadamente cada um desses casos Escrevemos T (0,0) = (k,l) Caso 1 O ângulo do semieixo positivo OY ao semieixo positivo O Y, medido no sentido antihorário, é θ Nesse caso a isometria T é uma mudança de coordenadas que leva o sistema OX Y, de coordenadas (x, y), no sistema O X Y, de coordenadas (x, y ), preservando a orientação O ponto P = (x, y) é levado no ponto P = (x, y ) por T Confira ilustração na Figura 215 Nesse caso, as equações da mudança de coordenadas, segundo demonstrado em [52], página 117 e seguintes, são

76 314 Geometria Elementar: gênese e desenvolvimento Y Y P θ θ X Figura 215 Ação de uma isometria que preserva orientação P X x = x cosθ y senθ + k e y = x senθ + y cosθ + l Chamando cosθ = m e senθ = n obtemos a expressão (211), com m 2 + n 2 = 1 Caso 2 O ângulo do semieixo positivo OY ao semieixo positivo O Y, medido no sentido antihorário, é θ Nesse caso a isometria T é uma mudança de coordenadas que leva o sistema OX Y, de coordenadas (x, y), no sistema O X Y, de coordenadas (x, y ), invertendo a orientação O ponto P = (x, y) é levado no ponto P = (x, y ) por T Confira ilustração na Figura 216 Y P X θ θ X P Y Figura 216 Ação de uma isometria que não preserva orientação Nesse caso, as equações da mudança de coordenadas, segundo demonstrado em [52], página 117 e seguintes, são x = x cosθ + y senθ + k e y = x senθ y cosθ + l Chamando cosθ = m e senθ = n obtemos a expressão (212), com m 2 + n 2 = 1 Da demonstração do Teorema 2131 vemos que existem dois tipos de isometrias: as que preservam orientação e as que invertem As primeiras são da forma (211), e as outras da forma (212)

77 Isometrias do plano 315 Está claro que as translações e as rotações preservam a orientação No Problema é solicitado do estudante verificar que as reflexões invertem a orientação 217 Isometrias e o modelo algébrico Comentamos no Capítulo 20 que a Geometria Analítica Plana constitui um modelo algébrico da Geometria Euclidiana Plana Nesse contexto podemos definir as isometrias através de sua expressão em coordenadas e demonstrar suas propriedades de forma independente dos axiomas da Geometria Euclidiana Nesse contexto podemos fazer uma definição algébrica de congruência da seguinte forma: Definição 2132 Os subconjuntos F e G do plano se dizem congruentes quando existe uma isometria T : R 2 R 2 tal que T (F ) = G Com essa definição vemos que as isometrias realizam a noção espontânea de congruência entre triângulos, que consiste em considerar congruentes triângulos que podem ser movimentados um sobre o outro, coincidindo como conjunto de pontos 218 Problemas Problema 2181 Estude a transformação do plano T (x, y) = (x, y/2) Observe que ela tem o efeito de reduzir verticalmente qualquer figura do plano Como exemplo, determine a imagem por T da circunferência C = {(x, y) x 2 + y 2 = 1} Mostre que T é injetiva e sobrejetiva Dê a expressão transformação da inversa de T Problema 2182 Dada a transformação linear T : R 2 R 2 definida por T (x, y) = (x + 2y,2x + y), descreva a imagem por T da circunferência x 2 + y 2 = 1 Problema 2183 Verifique todas as afirmações do Exemplo 212 usando diretamente a expressão de T em coordenadas Problema 2184 Estude as propriedades das translações, definidas no Exemplo 214 Em particular: a) prove que toda translação leva reta sobre reta, e calcule qual é a reta que é imagem da reta R a,b,c ; b) prove, usando a definição 208, que toda translação conserva a medida de ângulos Problema 2185 Considere a reta r = R a, 1,0 Determine a expressão em coordenadas da transformação do plano T : R 2 R 2 denominada projeção ortogonal sobre r, isto é, para qualquer (x, y) R 2, T (x, y) é o pé da projeção de (x, y) sobre r Problema 2186 Considere a reta r = R a, 1,0 Determine a expressão em coordenadas da reflexão em relação a essa reta Problema 2187 Mostre que a reflexão T r : R 2 R 2 em relação a uma reta r, conforme definida no Exemplo 216, é uma isometria Sugestão: tome um reta r e pontos quaisquer A e B do plano Sejam A e B os pontos simétricos respectivamente de A e B em relação à reta r Prove que A B = AB usando congruências de triângulos Considere os vários casos necessários, como A r, a r, o mesmo para B, e ainda se A e B estão do mesmo lado de r, ou não Problema 2188 Prove que toda rotação T θ : R 2 R 2 de ângulo θ em relação a (0,0), definida no Exemplo 217, é uma isometria, usando sua expressão em coordenadas

78 316 Geometria Elementar: gênese e desenvolvimento Problema 2189 Vimos, no Exemplo 217, que toda rotação T θ : R 2 R 2 de ângulo θ em relação a (0,0), é uma transformação linear e uma isometria Considere agora uma transformação linear qualquer do plano T : R 2 R 2, da forma T (x, y) = (ax+by,cx+d y), em que a, b, c e d são números reais a) Encontre condições sobre os números a, b, c e d para que T seja uma isometria b) Investigue se existem transformações lineares que sejam isometrias mas não são rotações ( x y Problema Prove que a transformação do plano T : R 2 R 2 definida por T (x, y) =, x + y ) 2 2 é uma isometria Ache a imagem da reta diagonal {(x, y) x = y} por T Problema Prove que toda isometria transporta retas paralelas em retas paralelas Problema Sejam T : R 2 R 2 uma isometria e r uma reta Mostre que T transporta semiplano determinado por r sobre semiplano determinado por T (r ) Problema Prove que toda isometria T : R 2 R 2 transporta o interior do ângulo ABC sobre o interior do ângulo T (A)T (B)T (C) Problema Prove que toda isometria T : R 2 R 2 transporta o interior do triângulo ABC sobre o interior do triângulo T (A)T (B)T (C) Problema Prove, usando a recíproca do Teorema de Pitágoras, que toda isometria T : R 2 R 2 transporta ângulo reto em ângulo reto Problema Demonstre que toda isometria transporta qualquer circunferência em uma circunferência de mesmo raio Problema Considere um triângulo isósceles não equilátero Encontre duas isometrias que transportam esse triângulo em si mesmo Existem outras isometrias? Problema Considere um triângulo equilátero Encontre seis isometrias que transportam esse triângulo em si mesmo Existem outras isometrias? Problema Sejam A e B pontos (diferentes) de R 2 Prove que existe uma única reflexão R : R 2 R 2 tal que R(A) = B Problema Prove que se uma isometria T : R 2 R 2 fixa todos os pontos de uma reta r, então T é a identidade ou a reflexão em relação a r Sugestão: tome um ponto P fora de r e mostre que T (P) = P ou T (P) é o simétrico de P em relação a r Problema Sejam ABC = DEF triângulos congruentes Mostre que existe uma isometria que transporta um sobre o outro composta de no máximo três reflexões Problema Prove que toda isometria é a composição de no máximo três reflexões Problema Demonstre que toda translação é a composição de duas reflexões cujas retas de simetria são paralelas Problema Prove a recíproca do Teorema 2131 Isto é, se T : R 2 R 2 é de uma das formas (211) ou (212), então T é uma isometria Problema Explique por que as translações e as rotações preservam a orientação

79 Isometrias do plano 317 Problema Demonstre que as equações da reflexão R(x, y) = (x 1, y 1 ) em relação à reta y = ax + b são x 1 = 1 a2 1 + a 2 x + 2a (y b) 1 + a2 y 1 = 2a 1 + a 2 x 1 a2 (y b) + b 1 + a2 Problema Prove que as reflexões invertem a orientação Problema a) Encontre a imagem da reta reta R a,b,c pela isometria T : R 2 R 2 definida por T (x, y) = (mx ny + k,nx + my + l) b) Encontre a imagem da reta reta R a,b,c pela isometria T : R 2 R 2 definida por T (x, y) = (mx + ny + k,nx my + l) Problema Usando a expressão em coordenadas das isometrias e a Definição 208, página 299, dê outra demonstração de que qualquer isometria conserva a medida de ângulos Problema Dado um número real positivo t, uma semelhança de razão t no plano é uma transformação T : R 2 R 2 tal que d(t (A),T (B)) = td(a,b) quaisquer que sejam os pontos A e B do plano Mostre que toda semelhança é uma bijeção do plano do plano sobre o plano Ainda transporta o segmento AB sobre o segmento T (A)T (B), sendo que o comprimento deste é t vezes o comprimento do primeiro Em particular T transporta um triângulo em outro triângulo Mostre que T transporta retas em retas, e retas paralelas em retas paralelas Prove que T transporta triângulos retângulos em triângulos retângulos, e, em consequência, transporta retas perpendiculares em retas perpendiculares Prove que a transformação inversa de uma semelhança de razão t é uma semelhança de razão 1/t Prove que a composta de duas semelhanças é uma semelhança, e calcule sua razão Demonstre que toda semelhança conserva a medida de ângulos Problema Mostre que toda transformação linear da forma ( )( ) t 0 x T (x, y) = 0 t y sendo t um número real positivo, é uma semelhança, mas nem toda semelhança é desta forma Problema Dizemos que duas figuras F e G do plano são semelhantes se existe uma semelhança T : R 2 R 2 tal que T (F ) = G Se t é a razão de T, dizemos que t é a razão de semelhança de F para G Prove que se dois triângulos têm ângulos correspondentes congruentes, então são semelhantes Problema A transformação T : R R definida por T (x, y) = (kx,k y) para algum número real positivo k chama-se homotetia de razão k e centro O a) Prove que toda homotetia leva segmento sobre um segmento cujo comprimento é k vezes o comprimento do primeiro segmento Ainda, leva ângulo sobre ângulo, preservando sua medida b) Como é a imagem de uma circunferência por uma homotetia? c) E de um polígono regular? Problema Chamamos de reflexão com deslizamento à composição de uma reflexão em relação a uma reta r com uma translação com vetor de deslocamento não nulo e paralelo à reta r Prove que as isometrias do plano são: a identidade, as translações, as rotações, as reflexões e as reflexões com deslizamento Sugestão: seja T : R 2 R 2 uma isometria diferente da identidade e seja A R 2 tal que A = T (A) A Seja A = T (A ) Então d(a, A ) = d(a, A ) > 0 Considere os três casos relativos ao posicionamento dos pontos A, A e A : (i) A, A e A são não colineares; (ii) A, A e A são pontos diferentes e colineares; (iii) A = A

80 318 Geometria Elementar: gênese e desenvolvimento 219 Temas para investigação Tema 2191 Investigue como são as imagens de elipses, hipérboles e parábolas por transformações lineares do plano Tema 2192 Investigue como são as isometrias que são compostas por duas reflexões Tema 2193 Estude as isometrias que preservam o triângulo equilátero Mostre que elas formam um grupo algébrico em relação à operação de composição Estude as propriedades desse grupo Tema 2194 Identifique todas as isometrias que preservam o quadrado Mostre que elas formam um grupo algébrico em relação à operação de composição Estude as propriedades desse grupo Tema 2195 Identifique todas as isometrias que preservam um polígono regular com n 5 lados Mostre que elas formam um grupo algébrico em relação à operação de composição Estude as propriedades desse grupo Tema 2196 Dizemos que uma figura do plano tem simetria bilateral quando existe uma reta tal que a reflexão em relação a essa reta transporta a figura sobre si mesma Investigue figuras com simetria bilateral Um bom começo pode ser polígonos regulares

81 Capítulo 22 Geometria da Superfície Esférica 221 Introdução Até o início do Século XVII existia uma forte concepção na mente dos intelectuais de que a Geometria Euclidiana era a única possível Certamente que essa ideia advinha de nossa forma de olhar o espaço e o movimento das coisas Embora vivemos em um planeta cuja superfície tem a forma aproximada de uma esfera, no dia a dia não nos damos conta disso, e, quando andamos nesta superfície imaginamos que estamos nos movimentando em um plano Isso talvez ocorra por que a superfície da Terra é, para nós, imensa, e não temos quotidianamente a consciência de que ela tem o formato de uma esfera Hoje temos maior facilidade em compreender essa situação devido ao progresso no conhecimento e na exploração do espaço Todos temos em nosso imaginário aquela famosa foto do planeta Terra obtida pelos astronautas da Apollo 17 em sua viagem à Lua Ao contrário do que ocorria antigamente, não temos mais dúvida de que moramos na superfície de uma esfera, e podemos até nos conscientizar desse fato no dia a dia, embora isso cause pouco efeito em nossa movimentação diária Fotografia da Terra tirada em 7 de dezembro de 1972 a partir da espaçonave Apollo 17, a uma distância de km A foto mostra a África, a Antártida e a Península Arábica Esta foi a sexta e última viagem do programa Apollo em que astronautas deixaram a órbita da Terra e pousaram na Lua Esta imagem passou a fazer parte de nossos livros escolares e foi reproduzida amplamente nos meios de comunicação Ela modificou definitivamente a forma como vemos o lugar onde moramos e sua posição relativa dentro do espaço Figura 221 Veremos neste Capítulo como podemos construir uma geometria diferente da euclidiana simplesmente imaginando um mundo constituído pela superfície da esfera Essa Geometria, que denominamos Geometria da Superfície Esférica, abreviadamente GSE, tem aplicações na Matemática, na Astronomia e na Geografia 222 Ideias iniciais Imaginemos, como um exercício de abstração, que vivemos restringidos à superfície de uma esfera e que, ao nos movimentarmos, ficamos restritos a ela, sem poder nos mover para o espaço circun- 319

82 320 Geometria Elementar: gênese e desenvolvimento dante, seja para o interior, seja para o exterior dessa esfera Ou então, se for mais fácil, imagine um pequeno ser de duas dimensões que tem sua vida delimitada à superfície de uma esfera Essa ideia não é original! No livro Flatland: A Romance of Many Dimensions, escrito pelo professor Edwin Abbott Abbott e publicado em 1884 na Inglaterra, o autor descreve uma sociedade que funciona em duas dimensões Os personagens são figuras como segmentos e polígonos, e o próprio autor se coloca nela como um quadrado Na estória o quadrado descobre a existência de um ser de três dimensões, uma esfera, mas essa ideia não é aceita pelo grupo dominante daquela sociedade Figura 222 Esse romance sobre um mundo de duas dimensões teve uma continuação em Sphereland: A Fantasy About Curved Spaces and an Expanding Universe, escrito em 1965 por Dionys Burger Imaginemos então que o ser que mora na superfície da esfera precisa ir do ponto A ao ponto B Se ele deseja percorrer o menor caminho possível, que trajetória deve seguir? Não é difícil percebermos que o menor caminho que conecta dois pontos em uma superfície esférica é o menor arco do círculo máximo que contém esses dois pontos Vimos no Problema 1773, página 285, que sempre existe um círculo máximo ligando dois pontos dados de uma superfície esférica Veja ilustração na Figura 223 A B Figura 223 Círculo máximo passando por dois pontos na superfície esférica, com destaque para o caminho mais curto A percepção dessa propriedade pode ser feita experimentalmente Tomamos uma esfera de isopor e desenhamos em sua superfície um círculo máximo Fixamos dois alfinetes nessa curva e esticamos de um ao outro um elástico, deixando-o tensionado Vemos que a tendência do elástico é se acomodar ao longo do círculo máximo Isso significa que essa curva proporciona o lugar geométrico de menor tensão para o elástico e, portanto, é seu formato mais curto Uma demonstração mais formal dessa propriedade utiliza recursos de Cálculo Diferencial e Integral O estudante pode consultar [55], páginas 117 e 128 Para constar enunciamos esse resultado como o Teorema 221 Sejam A e B pontos não antípodas de uma esfera O menor caminho sobre a esfera ligando A a B é o menor arco do único círculo máximo que os contém Se A e B são antípodas, o menor caminho sobre a esfera ligando A a B é qualquer um dos semicírculos máximos que os contém

83 Geometria da Superfície Esférica 321 Na Geometria Euclidiana, uma das noções que temos agregada ao campo conceitual reta é a de que o segmento de reta que une dois pontos é o menor caminho de um ao outro Essa é uma noção que pouco exploramos aqui, mas é muito utilizada na Física, por exemplo, na Ótica Isso nos dá a ideia de construir uma geometria na superfície esférica em que as retas são os círculos máximos Veremos, na próxima seção, o que ocorre nessa geometria 223 Bases da Geometria da Superfície Esférica Consideremos uma esfera S de raio r e centro O Denominamos Geometria da Superfície Esférica, ou, simplesmente, GSE, ao conjunto S em que consideramos subconjuntos distinguidos, denominados geodésicas, definidos como segue: Definição 222 Denominamos de geodésica da esfera a qualquer um de seus círculos máximos Nosso objetivo é investigar as propriedades das figuras formadas na esfera por suas geodésicas Procedemos de forma similar ao que fizemos na Geometria Euclidiana, sendo que agora as geodésicas fazem o papel que as retas tinham naquela geometria Lembremos que dados dois pontos não antípodas A e B da esfera, eles e o centro O são não colineares, portanto determinam um único plano no espaço A interseção desse plano com a esfera é uma circunferência de raio r no plano, denominada círculo máximo da esfera, e que agora passamos a chamar de geodésica determinada por A e B Dois pontos não antípodas A e B de uma geodésica a repartem em dois arcos, um menor e outro maior (ambos contendo os pontos A e B) Isto nos dá a ideia de definir segmentos nessa Geometria Definição 223 Dados dois pontos não antípodas A e B de uma geodésica, o arco menor por eles determinado é chamado de segmento geodésico de extremidades A e B, e indicado por AB Também dizemos que AB é o segmento geodésico que liga A a B Se for necessário o arco maior determinado por A e B pode ser chamado de segmento geodésico oposto de extremidades A e B Vemos que, dados dois pontos não antípodas da esfera, existe um único segmento geodésico que os liga Por outro lado, se A e B são pontos antípodas, existem infinitos semicírculos máximos com extremidades nesses pontos Dado um segmento geodésico AB podemos associar a ele o ângulo AOB Esse é o ângulo central determinado pelo arco AB na circunferência de raio r e centro O que contém os pontos A e B Se estivermos usando a unidade graus para medir ângulos, diremos que α = m( AOB) é a medida angular em graus do segmento geodésico AB Sabemos que o comprimento desse arco é πr α/180, que chamaremos de comprimento em graus do segmento geodésico AB Se estivermos usando a unidade radiano para medir ângulos, α é a medida angular em radianos do segmento geodésico AB, e o seu comprimento em radianos é r α Na GSE podemos definir o equivalente a semirretas da Geometria Euclidiana da seguinte forma Sejam A um ponto de S e B seu antípoda Consideremos um círculo máximo contendo A (e, portanto, B) Então esse círculo máximo é repartido por A e B em dois semicírculos máximos, digamos C 1 e C 2 (ambos os semicírculos contêm A e B) Então C 1 {B} e C 2 {B} são chamados semigeodésicas de origem A Imitando o que é feito na Geometria Euclidiana, podemos definir ângulo como subconjunto de S da seguinte forma Sejam C e C duas semigeodésicas de mesma origem A e não contidas na mesma geodésica Dizemos que C C é um ângulo de vértice A Sejam B um ponto de C diferente de A e C um ponto de C diferente de A O ângulo C C pode ser indicado por B AC,

84 322 Geometria Elementar: gênese e desenvolvimento se estiver claro que se trata de um ângulo em S A medida desse ângulo é a medida do diedro definido pelos arcos AB e AC Mais exatamente, esse diedro tem como aresta a reta r determinada pelo ponto A e por seu antípoda, uma das faces desse diedro é o semiplano determinado por r e por B, e a outra face é o semiplano determinado por r e por C Dado um ponto A em uma geodésica, existe a reta tangente a essa circunferência em A, contida no plano determinado pela geodésica Essa reta será denominada reta tangente à geodésica em A Consideremos duas geodésicas que se encontram em um ponto A e, portanto, também se encontram no antípoda de A, e em mais nenhum outro ponto Podemos associar a essas geodésicas um ângulo da seguinte forma Consideramos os dois planos definidos por essas geodésicas Eles formam quatro diedros com aresta comum contendo o centro O da esfera Se esses diedros não são retos, o ângulo associado às duas geodésicas é o menor ângulo normal determinado por eles Se os diedros são retos, o ângulo associado às duas geodésicas é qualquer um desses diedros retos Dizemos também que o ângulo associado entre duas geodésicas é o ângulo entre as geodésicas Outra forma equivalente de definir o ângulo entre duas geodésicas é considerar as duas retas tangentes a elas num de seus pontos de encontro Essas retas formam quatro ângulos, opostos pelo vértice aos pares, e escolhemos o menor deles, se foram diferentes, ou qualquer um se forem retos Se considerarmos o outro ponto de encontro das geodésicas, os ângulos correspondentes determinados pelas retas tangentes nesse ponto são congruentes aos anteriores A medida desse ângulo é igual à medida do menor diedro determinado por essas geodésicas Confira o Problema 2273, em que são solicitadas as demonstrações dessas afirmações Definição 224 Sejam A, B e C pontos de uma esfera não contidos em uma mesma geodésica (em particular dois quaisquer desses pontos não são antípodas) O triângulo esférico de vértices A, B e C e lados AB, BC e AC é o conjunto AB BC AC Indicaremos esse conjunto por ABC, desde que esteja claro que se trata de uma figura na superfície esférica Os ângulos internos desse triângulo são B AC, ABC e ACB, que poderão ser indicados respectivamente por Â, ˆB e Ĉ C γ b a A α c β B Figura 224 Desenho de um triângulo esférico mostrando as geodésicas que contêm os lados Enunciamos algumas propriedades elementares dos triângulos na GSE Confira [84], página 57 e seguintes Na GSE podemos definir triângulo isósceles Valem as seguintes propriedades: os ângulos da base são congruentes, e a mediana relativa à base também é bissetriz e é perpendicular à base Na GSE podemos definir congruência entre triângulos e demonstrar os casos de congruência LAL, ALA e LLL Diferentemente da Geometria Euclidiana, na GSE a correspondência AAA implica em congruência Portanto não é possível desenhar dois triângulos não congruentes mas com três pares de ângulos correspondentes congruentes

85 Geometria da Superfície Esférica 323 Na GSE vale uma versão mais fraca da desigualdade do ângulo externo Se α, β e γ são as medidas dos ângulos de um triângulo, então 180 γ > α β (221) Na GSE vale: em um triângulo qualquer, ao maior ângulo se opõe o maior lado Na GSE vale a desigualdade triangular: em qualquer triângulo, qualquer um dos lados é menor do que a soma dos outros dois lados Não vamos continuar nossos estudos sobre a GSE por imitação com a GE O estudante pode investigar outros resultados por conta própria ou consultando textos especializados Por exemplo em [74] e [70] pode obter mais informações Faremos aqui apenas mais uma intervenção: como é a soma dos ângulos internos de um triângulo esférico? Estudaremos essa questão a seguir 224 Um resultado não tão surpreendente na GSE Investigando como são os triângulos esféricos, um fato nos chama de imediato a atenção: em S existem triângulos com dois ângulos retos Vemos um exemplo na Figura 225 Escolhemos uma geodésica e nela tomamos dois pontos não antípodas A e B Tomamos a reta perpendicular ao plano da geodésica que passa por O Essa reta intercepta S em dois pontos Escolhemos um deles, digamos N Então o triângulo esférico ABN tem dois ângulos retos, em A e em B N A B Figura 225 Triângulo esférico com dois ângulos retos Está claro que os ângulos internos de triângulos esféricos não se comportam como seus correspondentes da Geometria Euclidiana Não é difícil compreender isso se olharmos diversas figuras de triângulos esféricos Parece que eles sempre tem algum lado curvado para fora, e o próprio interior do triângulo também tem essa característica Vamos investigar essa percepção Consideremos um triângulo esférico ABC Desenhando por completo as geodésicas determinadas pelos seus lados, vemos que elas formam outros triângulos Em particular, um desses triângulos é formado pelos antípodas dos pontos A, B e C, e é congruente a ABC Vemos na Figura 226 uma ilustração desse fenômeno Nessa Figura, em que indicamos o antípoda de P por P, vemos a esfera segundo a perspectiva da reta que é perpendicular ao plano determinado pelo círculo máximo que passa por AB Observemos o triângulo esférico ABC e seu antípoda ( A)( B)( C), e que ambos são congruentes

86 324 Geometria Elementar: gênese e desenvolvimento B C A C A B Figura 226 Fusos determinados por um triângulo esférico Teorema 225 Dados uma esfera de raio r e um triângulo esférico ABC, a soma, em radianos, de seus ângulos internos é m(â) + m( ˆB) + m(ĉ) = π + área(abc) r 2 (222) Demonstração Na Figura 226 [AC( C)B] é o diedro cuja aresta contém o diâmetro C( C) e lados que contêm os pontos A e B Esse diedro determina na esfera um fuso que chamaremos de fuso C Note que esse fuso tem ângulo Ĉ Portanto a área do fuso C é 2r 2 m(ĉ) De modo análogo temos os fusos A e B cujas áreas são, respectivamente, 2r 2 m(â) e 2r 2 m( ˆB) Portanto área fuso A + área fuso B + área fuso C = 2r 2 ( m(â) + m( ˆB) + m(ĉ) ) Por outro lado, área fuso A + área fuso B + área fuso C = = área da semiesfera + 2 área(abc) + área(ab( C)) área(( A)( B)C) Como área(ab( C)) = área(( A)( B)C), segue o resultado Observemos que na fórmula (222) do Teorema 225 o fator área(abc)/r 2 é sempre positivo Portanto, na GSE, a soma dos ângulos internos de qualquer triângulo excede π radianos, ou 180 graus Vamos destacar esse resultado no Teorema 226 Na GSE, a soma dos ângulos internos de qualquer triângulo excede π radianos, ou 180 graus 225 Comparando a GSE com a GE Pudemos ver nas seções anteriores que a Geometria da Superfície Esférica (GSE) tem várias diferenças em relação à Geometria Euclidiana (GE) A mais marcante é que, na GSE, a soma dos ângulos internos de qualquer triângulo excede 180 graus Mas existem mais diferenças, algumas das quais comentaremos agora Outras serão objeto de problemas da Seção 227 a) Não vale na GSE o Axioma E1 Dados dois pontos diferentes, existe exatamente uma reta que os contém Essa afirmação tem que ser modificada para: Dados dois pontos diferentes e não antípodas, existe exatamente uma geodésica que os contém Dois pontos antípodas estão em infinitas geodésicas

87 Geometria da Superfície Esférica 325 b) Não vale na GSE o Axioma E7, que em particular diz que Os pontos de uma reta podem ser postos em correspondência biunívoca com os números reais Essa afirmação tem que ser modificada para: Os pontos de uma geodésica podem ser postos em correspondência biunívoca com os números reais do intervalo [0, 2π) c) A GSE não tem um resultado correspondente ao Axioma E16 da GE por um ponto dado fora de uma reta passa uma única paralela à reta dada Não vale nem mesmo a afirmação do Teorema 106, página 140, por um ponto fora de uma reta passa uma paralela à reta dada, pois não existem retas paralelas Conforme comentamos na Seção 102, dados uma reta e um ponto fora dela podemos, a princípio, considerar as seguintes possibilidades: (i) não existe uma reta paralela à reta dada contendo o ponto dado; (ii) existe uma única reta paralela à reta dada contendo o ponto dado; (iii) existe mais de uma reta paralela à reta dada contendo o ponto dado Vemos que a possibilidade (i) corresponde à GSE, e a possibilidade (ii) à GE Estudaremos, no Capítulo 23, a Geometria Hiperbólica, que satisfaz à condição (iii) 226 Geometrias elípticas Para encerrar esta seção observamos que nossa apresentação da Geometria da Superfície Esférica depende do fato de estarmos considerando a esfera como um objeto do espaço euclidiano Portanto nessa geometria não temos axiomas, pois todas as propriedades podem ser provadas usando as propriedades do espaço euclidiano O que fizemos, foi, na verdade, apresentar um modelo euclidiano de uma das chamadas Geometrias Elípticas Existem versões intrínsecas de Geometrias Elípticas, em que não se utiliza o espaço euclidiano Elas começam com uma lista de axiomas, e o primeiro deles pode ser: duas retas quaisquer se interceptam Para obter mais detalhes o estudante pode consultar [14], página 84 e seguintes, assim como [55], página 129 e seguintes 227 Problemas Problema 2271 Explique a observação feita na Definição 224, que afirma que se os pontos A, B e C não estão na mesma geodésica então dois quaisquer deles não são antípodas Problema 2272 Prove que as retas tangentes a uma geodésica em pontos antípodas são paralelas Problema 2273 Considere duas geodésicas que se encontram em um ponto A e em seu antípoda A a) Explique por que as retas tangentes às geodésicas em A determinam ângulos congruentes àqueles correspondentes determinados pelas tangentes em A b) Prove que a medida do ângulo entre duas geodésicas é a mesma considerando as duas possibilidades definidas no texto (medida do diedro ou medida do ângulo dado pelas retas tangentes) Problema 2274 Explique por que dados pontos não antípodas A e B da esfera de raio r, existe uma correspondência biunívoca entre os pontos da geodésica que os contém e os números reais do intervalo [0,2πr ), de modo que ao ponto A corresponde o valor 0 e ao ponto B um valor b tal

88 326 Geometria Elementar: gênese e desenvolvimento que b [0,πr ) Explique por que essa propriedade substitui, na GSE, os axiomas de medida da GE, e qual a diferença das duas geometrias sob este aspecto Problema 2275 Defina o que é conjunto convexo na GSE Depois prove o seguinte Seja g uma geodésica qualquer Então S g é a união de dois conjuntos (chamadas semiesferas abertas determinadas por g ) tais que: (i) cada um deles é convexo; (ii) se um ponto A está em um desses conjuntos e B no outro, então AB intercepta g Problema 2276 Explique por que na GSE vale o Teorema de Pasch Problema 2277 Seja C uma semirreta de origem A e H uma das semiesferas abertas determinada pela geodésica que contém C Seja x (0,180) Explique por que existe um ponto C H de forma que x é a medida em graus do ângulo determinado por C e pela semigeodésica de origem A que contém C Explique por que na GSE valem os axiomas sobre ângulos adotados na GE Problema 2278 Dada uma geodésica, consideremos o plano por ela determinado e o diâmetro da esfera perpendicular a ele Os extremos desse diâmetro chamam-se polos da geodésica Prove que, dada uma geodésica e um ponto que não é um de seus polos, existe uma única geodésica que contém o ponto e é perpendicular à geodésica dada O que ocorre se o ponto for um polo da geodésica? Problema 2279 Justifique por que o triângulo esférico dado na Figura 225 tem dois ângulos retos, em A e em B A construção usada nessa Figura está explicada no texto antes dela Problema Explique por que um triângulo esférico ABC e o triângulo antípoda ( A)( B)( C) são congruentes Problema Defina interior de um ângulo da GSE, e descreva esse conjunto Problema Na GSE três pontos não colineares (isto é, que não estão na mesma geodésica) determinam um único triângulo? É possível definir interior de um triângulo? Problema Dada uma geodésica da GSE, prove que todas as geodésicas perpendiculares a ela se encontram em dois pontos Problema Prove que na GSE todo triângulo está contido em uma semiesfera Problema Prove que na GSE a soma dos lados de qualquer triângulo é menor do que 2π Sugestão: dado um triângulo ABC, para mostrar que a soma de seus lados satisfazem à propriedade requerida, aplique a desigualdade triangular ao triângulo ( A)BC, em que A é o antípoda de A Problema Dê exemplo de um triângulo equilátero retângulo na GSE Aproveite para ver que na GSE não vale o Teorema de Pitágoras Problema Na GSE, qual é o maior valor que pode atingir a soma dos ângulos internos de um triângulo? Problema Existem retângulos na GSE? Problema Prove que na GSE os ângulos do topo de um quadrilátero de Saccheri qualquer são congruentes e obtusos

89 Geometria da Superfície Esférica 327 b θ < a + b na GSE θ = a + b na GE a c θ Figura 227 Figura do Problema Problema Prove que na GSE a área do triângulo ABC é área(abc) = r 2 [m(â) + m( ˆB) + m(ĉ) 180 se os ângulos estão medidos em graus Problema Interprete e explique a Figura 227 Problema Verifique se na GSE vale um resultado correspondente ao Teorema do ângulo externo 937 da GE Problema Verifique se na GSE vale o caso de congruência LAA Problema No Teorema 106, página 140, foi provado que Por um ponto fora de uma reta passa uma paralela à reta dada Esse resultado naturalmente não vale na GSE Identifique em quais passos falha a demonstração utilizada ali Problema Calcule a soma dos ângulos internos de um polígono esférico Problema Explique o que ocorre na fórmula (222) do Teorema 222, página 324, quando r 228 Temas para investigação Tema 2281 Na Geometria da Superfície Esférica (GSE) existem figuras poligonais de dois lados, que chamaremos de diágonos Estude as propriedades dessas figuras Tema 2282 Na GSE existem triângulos esféricos isósceles? Se existirem, investigue suas propriedades Tema 2283 Defina quadrilátero na GSE e estude suas propriedades Tema 2284 Defina circunferência na GSE e estude suas propriedades Dada uma circunferência, ela tem um único centro? Tema 2285 O termo Geometria Elíptica, utilizado na Seção 226, sugere que essa geometria pode ser modelada na superfície de um elipsoide Investigue como são as retas nessa superfície

90 328 Geometria Elementar: gênese e desenvolvimento Tema 2286 Existe uma trigonometria esférica, descoberta pelos matemáticos árabes do Século X, que estuda propriedades trigonométricas dos triângulos esféricos Investigue isso Por exemplo, em um triângulo ABC vale a seguinte fórmula (lei dos senos da trigonometria esférica): senα sen a = senβ senb = senγ senc sendo: α a medida do ângulo interno Â, a a medida angular do lado BC, etc, conforme notações da Figura 224 Tema 2287 Neste projeto o estudante está convidado a estudar ladrilhamentos da esfera com polígonos da GSE Assim como ladrilhamos o plano, figuras planas, o espaço, etc, podemos ladrilhar a esfera Os lados desses polígonos devem ser segmentos geodésicos Observe que todo poliedro inscritível em uma esfera pode ser projetado na esfera e gerar um ladrilhamento com polígonos regulares O exemplo mais conhecido é o do icosaedro truncado, cuja estrutura é utilizada em bolas de futebol Confira a Figura 228 Descreva que poliedros estão nessa categoria Faça desenhos desses ladrilhamentos na esfera Figura 228 Ilustrações do icosaedro truncado e o correspondente ladrilhamento na esfera Existem ladrilhamentos da esfera que não têm correspondentes como poliedros São os hosoedros Confira as Figuras 229 e 2210 Descreva esses ladrilhamentos e explique por que não existem como poliedros Informações podem ser obtidas na Wikipedia, através das palavras chaves spherical polyhedron e spherical tiling Figura 229 Hosoedro trigonal Figura 2210 Hosoedro quadrigonal

91 Capítulo 23 Geometria hiperbólica 231 Introdução Neste capítulo vamos estudar alguns aspectos da chamada Geometria Hiperbólica (GH) Essa Geometria admite todos os axiomas da Geometria Euclidiana com exceção de um, o axioma das paralelas Em seu lugar estabelece que por um ponto fora de uma reta existe mais de uma paralela à reta dada Desde a antiga civilização grega até meados do Século XIX o modelo euclidiano de geometria era o único vigente Todo cientista, ao medir ou estudar fenômenos no espaço circundante, admitia, implicitamente, que a organização geométrica desse espaço obedecia aos axiomas euclidianos Essa concepção era tão forte na mente de todas as pessoas que não era nem mesmo questionada, contrariando o antigo aforisma da Filosofia: duvide de tudo Muitos filósofos afirmavam que a geometria (como a descrevia Euclides, pois não havia outra) era a geometria natural do universo De fato, algumas propriedades da geometria euclidiana parecem ser bem naturais Por exemplo, existe uma única reta contendo dois pontos dados Outra propriedade, que é o chamado axioma das paralelas : dada uma reta e um ponto fora dela, existe uma única reta paralela à reta dada passando pelo ponto Os matemáticos do tempo de Euclides e os que vieram depois dele tampouco questionavam a existência de outra geometria Para eles aquela era a única que existia Os matemáticos simplesmente estudavam a geometria, expandindo seus resultados e melhorando a estrutura proposta por Euclides Foi esse estudo minucioso que levou à descoberta de outras geometrias Isso se deu da seguinte forma Conforme já comentamos, a estrutura da geometria proposta por Euclides era composta de definições, axiomas e teoremas Esses elementos eram dispostos em uma ordem, do mais simples para o mais complexo Assim, Euclides inicia com as definições e os axiomas mais simples possíveis Depois de cada grupo de definições e axiomas, demonstra o maior número de teoremas que é possível deduzir desses elementos Observando a ordem com que Euclides dispôs esses elementos, vemos que ele postergou o axioma das paralelas o máximo possível, e demonstrou todos os teoremas que pôde sem usar esse axioma Os matemáticos perceberam que Euclides teria tentado admitir o axioma das paralelas não como um postulado, mas como um teorema, mas não conseguiu uma demonstração Assim se perguntava: o axioma das paralelas poderia ser demonstrado usando apenas os axiomas e definições anteriores a ele? Seria possível descobrir alguma demonstração que teria passado despercebida a Euclides e seu grupo de matemáticos da Escola de Alexandria? O fato é que, por muitos séculos, os matemáticos tentaram descobrir essa demonstração Por 329

92 330 Geometria Elementar: gênese e desenvolvimento vezes acharam que a haviam encontrado, mas depois sempre se percebia algum defeito, alguma pequena afirmação que fora usada mas não demonstrada Depois de tanto esforço e com poucos resultados, começaram a desconfiar que essa demonstração não existia Aos poucos os matemáticos aprenderam a olhar com mais maleabilidade para uma estrutura axiomática, e perceber que essas estruturas podiam variar, cada uma com seus axiomas e resultados Começaram então a se perguntar o que significaria uma estrutura geométrica sem o axioma das paralelas, ou com um enunciado diferente daquele de Euclides Perceberam que se obtinha outra estrutura lógica, perfeitamente coerente, mas com propriedades geométricas diferentes das usuais Esses estudos levaram à descoberta de outras geometrias Num primeiro momento se pensava que essas geometrias constituiam um mero exercício lógico, mas logo se percebeu que existiam espaços matemáticos nos quais essas geometrias eram naturais Assim se foi modificando a mente humana, e a geometria euclidiana deixou de ser a única estrutura geométrica residente em nosso mecanismo psicológico, tendo esse se ampliado para abarcar outras possibilidades Esse amadurecimento levou à descoberta da teoria da relatividade, a qual propõe que a geometria natural do espaço não é necessariamente a euclidiana Essas descobertas tiveram outra consequência Os matemáticos compreenderam que era importante estudar teoricamente as estruturas axiomáticas, sem se importar, a princípio, com sua correlação com a realidade física ou com pré-concepções psicológicas Essa nova forma de investigar trouxe muitas descobertas através das estruturas geométricas, algébricas e analíticas A Matemática passou por um grande avanço, que ocorre até hoje Com isso se explica a importância que os matemáticos dão às estruturas axiomáticas É necessário observar, entretanto, que o estudo da Matemática através de estruturas axiomáticas exige muito amadurecimento mental, e por isso esse método não deve, em geral, ser utilizado para estudantes do ensino básico 232 Axiomas da Geometria Hiperbólica Plana Nesta seção estudamos uma geometria diferente da Geometria Euclidiana Admitimos a existência de um plano como conjunto de pontos, de subconjuntos desse plano chamados retas, que obedecem a determinadas propriedades, designadas por axiomas, que estão listados a seguir Todos esses axiomas, exceto um, são equivalentes aos da Geometria Euclidiana Apresentamos enunciados de axiomas que trazem pequenas mudanças em relação aos axiomas enunciados anteriormente, no Capítulo 9 Como são mudanças que influem muito pouco no processo dedutivo, não vamos repetir aqui as definições e teoremas que deles decorrem Axioma H1 (da incidência da reta) Dados dois pontos diferentes, existe uma única reta que os contém Axioma H2 (da régua) 1) Dados dois pontos diferentes A e B, existe um número positivo a eles associado chamado distância de A a B e indicado por AB 2) Os pontos de uma reta qualquer podem ser postos em correspondência com os números reais de modo que: (i) a cada ponto da reta corresponde um único número real, chamado coordenada do ponto; (ii) a cada número real corresponde um único ponto da reta; (iii) a distância entre dois pontos quaisquer é o valor absoluto da diferença de suas coordenadas 3) Dados dois pontos A e B em uma reta, o sistema de coordenadas pode ser escolhido de tal modo que a coordenada de A seja zero e a de B seja positiva A partir desses axiomas podemos definir estar entre, segmento AB, semirreta, ângulo B AC, tri-

93 Geometria hiperbólica 331 ângulo, conjunto convexo, etc, e obter várias propriedades, como dados três pontos, exatamente um deles está entre os outros dois Axioma H3 (da separação do plano) Dada uma reta em um plano, os pontos do plano que não estão na reta formam dois conjuntos chamados semiplanos, que satisfazem as seguintes condições: (i) Cada semiplano é não vazio e convexo; (ii) Se o ponto A está em um semiplano e o ponto B no outro, então o segmento AB intercepta a reta A partir desse axioma podemos definir interior de triângulo e obter muitos resultados sobre a posição relativa entre pontos e retas Axioma H4 (da medida de ângulos) A todo ângulo B AC corresponde um número real a tal que 0 < a < 180, chamado medida em graus do ângulo, ou, simplesmente, medida, e indicado por m( B AC) Axioma H5 (da construção de ângulos) Seja AB uma semirreta contida na origem de um semiplano Para todo número real a tal que 0 < a < 180, existe uma única semirreta AC, com C no semiplano dado, tal que m( B AC) = a Axioma H6 (da adição de ângulos) Se o ponto D está no interior de B AC então m( B AC) = m( B AD) + m( D AC) Axioma H7 (do suplemento) Quaisquer dois ângulos que formam um par linear são suplementares Axioma H8 (da congruência LAL) Toda correspondência LAL é uma congruência Axioma H9 (da não unicidade da reta paralela) Por um ponto dado fora de uma reta passa mais de uma reta paralela à reta dada Em nossa breve exposição da geometria hiperbólica poderemos eventualmente usar também os seguintes axiomas: Axioma H10 (da área) A toda região poligonal corresponde um número positivo, denominado área da região poligonal Axioma H11 (da adição de áreas) Se uma região poligonal é a união de duas ou mais regiões poligonais tais que duas a duas não têm ponto interior em comum, então a área da região poligonal é a soma das áreas das regiões que a formam Axioma H12 (da área de triângulos) As áreas de regiões triangulares delimitadas por triângulos congruentes são iguais Definição 231 O sistema de axiomas H1-H12 e o conjunto de propriedades que podem ser obtidas deles chama-se Geometria Hiperbólica Plana (GH), e é um exemplo de geometria não-euclidiana Esperamos que na Geometria Hiperbólica apareçam propriedades e resultados diferentes da Geometria Euclidiana Certamente que um deles diz respeito à soma dos ângulos internos de um triângulo qualquer Vamos provar que, na Geometria Hiperbólica, a soma dos ângulos internos de um triângulo qualquer é 180, e que existem triângulos para os quais a soma é < 180 Devido às dificuldades técnicas, para não alongar demasiadamente este texto, deixamos para o estudante

94 332 Geometria Elementar: gênese e desenvolvimento provar que, na Geometria Hiperbólica, a soma dos ângulos internos de um triângulo qualquer é < 180 Confira o Problema e o Tema Propriedades de triângulos na GH Observemos inicialmente que na GH (Geometria Hiperbólica) valem todas as definições e resultados demonstrados até (inclusive) o Teorema 106, página 140, visto no início da Seção 102 (Retas paralelas em um plano) Destacamos que o Teorema do Ângulo Externo e suas consequências, estudadas na Seção 914, na página 126 e seguintes, valem nas duas geometrias Os três primeiros resultados que estudamos logo a seguir são atribuídos a Giovanni Saccheri e a Adrien-Marie Legendre, e ainda valem na GE e na GH, pois se baseiam nos axiomas H1 a H8, admitidos em ambas Teorema 232 Dado um triângulo qualquer ABC, existe outro tal que a soma dos seus ângulos internos é igual à soma dos ângulos internos do anterior mas tem um ângulo que mede 1 2m(Â) ou menos Demonstração Consideremos, como referência, a Figura 231 Dado o triângulo ABC, seja M o ponto médio do lado BC e seja AE o segmento do qual M é também o ponto médio B M E A Figura 231 Figura ilustrativa do Teorema 232 C Afirmamos que o triângulo AEC é o outro triângulo procurado Vamos mostrar primeiro que a soma dos ângulos internos desses triângulos são iguais Temos B AM = CEM, o que implica que m( ˆB) = m( EC M) e m( B AM) = m(ê) Portanto soma dos ângulos do triângulo ABC = m( M AC) + m( B AM) + m( ˆB) + m( BC A) = = m( M AC) + m(ê) + m( EC M) + m( BC A) = = m( M AC) + m(ê) + m( EC A) = soma dos ângulos do triângulo AEC Notemos agora que pelo menos um dos ângulos B AM e E AC tem medida (1/2)m(Â) Como B AM = CEM, temos B AM = Ê Portanto pelo menos um dos ângulos Ê e E AC tem medida (1/2)m(Â) Como consequência obtemos o teorema abaixo, ainda válido igualmente na GE e na GH Teorema 233 A soma dos ângulos internos de um triângulo qualquer é 180 Demonstração Seja ABC um triângulo, e suponhamos que a soma de seus ângulos internos seja > 180 Então m(â) + m( ˆB) + m(ĉ) = r

95 Geometria hiperbólica 333 para algum número r > 0 Aplicando n vezes o Teorema 232, encontramos um triângulo DE F tal que a soma de seus ângulos internos é igual à soma dos ângulos internos de ABC e que tem um ângulo que mede 1 2 n m(â) Digamos que esse ângulo seja ˆD Se n for suficientemente grande para que 1 2 n m(â) < r podemos admitir que m( ˆD) < r Temos então m( ˆD) + m(ê) + m( ˆF ) = r e m( ˆD) < r Combinando esses dois resultados temos m(ê) + m( ˆF ) > 180 Mas isso contraria o Corolário 938 Teorema 234 A medida de um ângulo externo qualquer de um triângulo arbitrário é maior ou igual à soma da medida dos dois ângulos internos não adjacentes Lembramos que, no caso da Geometria Euclidiana, a medida de um ângulo externo qualquer de um triângulo arbitrário é igual à soma da medida dos dois ângulos internos não adjacentes Demonstração Tomando a Figura 232 como referência, temos a + b + c 180 (Teorema 233) Como c e θ são suplementares temos c + θ = 180 Juntando essas informações vem a + b θ b a c θ Figura 232 Figura do Teorema 234 Chegou o momento em que mostramos que na GH existe um triângulo com ângulos internos que somam menos do que 180 Naturalmente para isso precisamos usar o Axioma H9 A ideia inicial é a seguinte Consideremos a Figura 233 em que temos uma reta r, um ponto A em r, um segmento AB perpendicular a r em A e uma reta s perpendicular a AB em B As retas r e s são paralelas pois, se não o fossem, se encontrariam em um ponto P, e o triângulo ABP teria dois ângulos retos, contrariando o Corolário 938 (ou o Teorema 233) B ε s s r γ γ 1 γ 2 A C C 1 C 2 Figura 233 Figura referente ao Teorema 235 Em virtude do Axioma H9, existe outra reta paralela a AB por B, a qual chamaremos de s Seja ε a medida do ângulo determinado por s e s Vamos trabalhar no lado de AB em que a medida do ângulo determinando por B A e s é 90 ε

96 334 Geometria Elementar: gênese e desenvolvimento Consideremos um ponto C em r e movimentemos esse ponto para a direita, assim C assume posições C 1, C 2, Sejam γ a medida do ângulo ACB, γ 1 a medida do ângulo AC 1 B, etc A soma dos ângulos internos dos triângulos ABC i é S i = m( B AC i ) + γ i + m( ABC i ) Notemos que m( B AC i ) = 90 e m( ABC i ) < 90 ε Logo S i < 90 + γ i + 90 ε ou S i < γ i ε Se conseguirmos um triângulo ABC i para algum i em que γ i ε 0, teremos encontrado um triângulo em que a soma dos ângulos internos é < 180 Teorema 235 Na GH existe um triângulo tal que a soma de seus ângulos internos é < 180 Demonstração Consideremos a construção iniciada acima com a Figura 233, sendo que agora tomamos C 1 de modo que CC 1 = BC, tomamos C 2 de modo que C 1 C 2 = BC 1, e assim por diante Obtemos a Figura 234 Agora o triângulo BCC 1 é isósceles com base BC 1, logo m( CBC 1 ) = γ 1, o triângulo BC 1 C 2 é isósceles com base BC 2, logo m( C 1 BC 2 ) = γ 2, etc Por causa do Teorema 234 temos γ 1 + γ 1 γ, logo γ 1 (1/2)γ, e depois temos γ 2 + γ 2 γ 1, logo γ 2 (1/2 2 )γ, e assim por diante, no i-ésimo triângulo obtemos γ i (1/2 i )γ Se i é suficientemente grande para que (1/2 i )γ < ε, temos γ i < ε Então a soma S dos ângulos internos do triângulo ABC i é S < γ i ε < 180 B γ 1 γ 2 ε s s r A γ γ 1 C C 1 C 2 γ 2 Figura 234 Figura 2 referente ao Teorema 235 Vemos que é possível construir logicamente uma geometria em que são válidos os axiomas euclidianos com exceção do axioma das paralelas A pergunta que surge é se essa geometria é um mero exercício especulativo ou se tem existência como ente matemático ou natural Veremos, na próxima Seção, que podemos construir modelos euclidianos de GH Com isso podemos afirmar que a GH é tão consistente quanto a GE

97 Geometria hiperbólica Modelos euclidianos de GH Existem muitos modelos de Geometria Hiperbólica construídos como objetos euclidianos Naturalmente esses modelos não são simples e, a princípio, parecem bem estranhos Mas têm a função de nos convencer de que a GH tem existência na Matemática Quanto à existência da GH no mundo físico, esse é um problema cujo entendimento ainda está por ser aprofundado Exemplo 236 O seguinte exemplo de geometria não-euclidiana é atribuído a Felix C Klein e Eugenio Beltrami Sejam C uma circunferência e D o disco aberto formado pelos pontos interiores de C O espaço de nossa geometria é D As retas dessa geometria são as cordas abertas de C, isto é, são todas as cordas de C sem os pontos extremos A Figura 235 mostra uma reta r nessa geometria, um ponto P fora dessa reta e retas que passam por P e não interceptam r Portanto, são retas paralelas a r Dessa forma essa geometria obedece ao Axioma H9 e é um exemplo de geometria não-euclidiana Se usarmos o conceito de distância usual não vale o Axioma H2, e esse modelo não é uma geometria hiperbólica no sentido que definimos neste texto Mas é possível redefinir distância e medida de ângulo de modo que estejam satisfeitos os axiomas da geometria hiperbólica Vamos comentar apenas a definição de distância nesse modelo Sejam P e Q pontos de D e sejam S e T os pontos extremos da corda que contém P e Q na ordem S P Q T ou na ordem S Q P T Definimos a distância entre P e Q por d(p,q) = 1 PT QS 2 log PS QT Nesta fórmula X Y é a distância euclidiana entre os pontos X e Y, log é o logaritmo neperiano e se S P Q T podemos dispensar o sinal de valor absoluto nesta fórmula Os Problemas e complementam esse estudo P r Figura 235 Ilustração do modelo de GH de Klein-Beltrami Exemplo 237 O seguinte exemplo de geometria não-euclidiana é atribuído a Jules H Poincaré Seja C uma circunferência e D o disco aberto formado pelos pontos interiores de C O espaço de nossa geometria é D As retas dessa geometria são os diâmetros de C e os arcos de circunferência que interceptam C em ângulos retos, isto é, a tangente a C e a tangente ao arco nos pontos de interseção são perpendiculares É fácil observar, antes de mais nada, que essa Geometria obedece ao Axioma H9 Isso está ilustrado na Figura 236, em que vemos uma reta r, um ponto P fora de r, e duas retas s e t passando pelo ponto P e ambas paralelas a r A distância entre dois pontos na GH do disco de Poincaré é dada pela mesma fórmula da distância do modelo da Klein-Beltrami Portanto os resultados dos Problemas e também se aplicam aqui Podemos definir semirretas (que são arcos de circunferências) e ângulos, e

98 336 Geometria Elementar: gênese e desenvolvimento tomar como medida de um ângulo a medida euclidiana do ângulo correspondente formado pelas tangentes às semirretas no vértice r t P s Figura 236 Ilustração do modelo de GH do disco de Poincaré Exemplo 238 O seguinte exemplo de geometria não-euclidiana é denominado modelo do semiplano de Poincaré Dado um sistema de coordenadas cartesianas Ox y, consideremos o semiplano superior H = {(x, y) y > 0} O conjunto de pontos de H é o nosso espaço As retas dessa geometria são as semirretas abertas {(a, y) y > 0}, a R, perpendiculares ao eixo Ox, e as semicircunferências abertas com centro no eixo Ox e contidas em H Confira a Figura 237, em que vemos uma reta r, um ponto P fora de r, e três retas s, t e u passando pelo ponto P e paralelas a r t P u s r Figura 237 Ilustração do modelo de GH do semiplano de Poincaré 235 Outras propriedades da GH Para informação do estudante enunciamos sem demonstração outras propriedades da GH Certamente a que mais chama a atenção é Teorema 239 Na GH em qualquer triângulo a soma dos ângulos internos é < 180 O Problema e o Tema 2374 trazem mais detalhes sobre esse resultado Uma bela figura disponibilizada na Wikipedia Mostra um triângulo hiperbólico desenhado na superfície de um parabolóide hiperbólico Vemos também (parte de) duas retas paralelas mostrando uma perpendicular comum Figura 238