Um filtro passa baix as (F.P.B.) ideal tem uma cur va de r es pos ta em frequência como mos trada na figura abaix o:

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1 F iltros Passivos O f iltro é um circuito que per mite a passagem de s inais apenas em determinadas freqüências. Ele pode s er classificado em: Filtro Passa B aix as (F.P.B.) Filtro Passa Altas (F.P.A.) Filtro Passa F aix a ( F.P.F.) Filtro ej eita Faix a (F..F.) Os filtros são cons ider ados passivos quando s ão for mados apenas por dispositivos passivos, como r es is tor es, capacitores e indutor es. Outra car acter ís tica dos filtros passivos é o fato de o ganho de tens ão s er sempre menor ou igual a (ou db), já que não possuem nenhum dispositivo ativo capaz de amplificar os sinais. F iltro Passa B aixas F.P.B. Um filtro passa baix as (F.P.B.) ideal tem uma cur va de r es pos ta em frequência como mos trada na figura abaix o: A v ur va de esposta em Frequência do Filtr o P assa B aixas Ideal c Para as freqüências abaixo da fr eqüências de cor te ( c), o ganho é igual a um, isto é, a tens ão de s aída é igual a tens ão de entr ada. Para freqüências acima da fr equência de cor te, o ganho é zer o, isto é a tens ão de s aída s er á nulo. Porém, na pr ática, não é possível construir-se um filtro com um corte tão brusco na resposta em frequência. F iltro Passa B aixas com ircuito O cir cuito série, como mos tr ado abaix o, funciona como um filtro pas s a baixas, pois nas baixas freqüências, o indutor comporta-se como uma r es is tência baixa (X << ), fazendo com que a maior parte da tens ão r ecaia s obr e o r es is tor de s aída. Já nas freqüências altas, o indutor comporta-se como uma r es is tência alta (X >> ), fazendo com que a tens ão no r es istor de s aída s ej a muito pequena. Filtros Passivos

2 E S F iltro Passa B aixas com ircuito Neste cir cuito, a ex pr es s ão da tens ão de s aída s (tensão no r es is tor ) em função da tensão de entr ada E é dada por : Av E Desta for ma, o ganho de tens ão des te filtro é: + J Av s E + J Dividindo-se o numer ador e o denominador por, tem-se: A + j A ex pr es s ão do ganho de tens ão des te filtr o pode s er apresentada em função de s ua frequência de cor te: Ganho de T ens ão: A Frequência de or te: + j c omo podemos observar, o ganho de tens ão é um número complex o e, portanto, possui um módulo e fas e. Assim, o ganho de tens ão s er á r epr es entado genericamente por um número complex o na for ma A A á As expressões do módulo e da fase do ganho de tensão em função da frequência são dadas por: Módulo: A Fase: + ( ) α arctg A partir da expressão do módulo do ganho em função da frequência, pode-se esboçar a curva de resposta em frequência A x deste filtro, considerando-se que: Filtros Passivos

3 ,77 A A A, 77 Av esposta em Frequência do F.P.B. (Módulo) Obs er vação: A fr eqüência de cor te é também conhecida como fr equência de meia potência, pois é nes s a frequência que a potência de s aída é a metade da potência de entrada. A par tir da ex pr es s ão da fas e do ganho em função da fr equência, pode-se esboçar o gr áfico á x, considerando-se que: -45 á -arctg á -arctg -45º -9 α 9 esposta em frequência do F.P.B. (fase) A cur va de r es pos ta em frequência (Módulo) deste filtr o pode, também, ser dada em decibel(db), calculando-se o módulo do ganho de tens ão por : A (db).log A Assim: A (db).log db A ( db).log 3dB. Av( db).log.log db +. Av( db).log.log 4dB + Pode-se então, esboçar a cur va de r es pos ta em frequência (módulo) A (db) x Filtros Passivos 3

4 A (db) -3 - esposta em Frequência do F.P.B. (Módulo em db) -4 Pelos resultados obtidos, percebe-se que, a par ti da fr equência de cor te, cada vez que a fr equência aumenta de um fator igual a, o ganho diminui em db. Diagr ama de B ode Uma for ma s imples e pr ática de r epr es entar a cur va de r es pos ta em frequência de um filtro é atr avés do diagr ama de Bode (pr onuncia-se Bode). Este diagrama r epr es enta o módulo do ganho A (db) em função da frequência, fazendose a apr ox imação por trechos de r etas (assíntotas). A figur a abaix o mos tr a o Diagr ama de Bode do filtro passa baix as analisado. A (db) -3 - Diagrama de Bode do F.P.B. -4 Destes gráficos, podemos concluir que: a) A es cala do ganho de tens ão é linear, mas a es cala de fr equência é logarítmica, devendo o gr áfico s er feito em papel monolog. b) Na frequência de cor te, o ganho de tens ão é de 3dB em relação ao patamar. c) Acima da frequência de cor te, o ganho diminui à tax a de db por década. d) D) Usando a apr ox imação de r etas (diagrama de Bode), o maior erro cometido é de 3 db na frequência de cor te. E xemplo: Dado o circuito a s eguir, pede-se: Filtros Passivos 4

5 mh E KÙ S a) Frequência de cor te em rd/s e em Hz rd / s f Hz π π b) Expressão complexa do ganho A +., j + j + 3 j 4 c) Expressão do módulo do ganho A + ( ) + 4 e) Esboçar o gr áfico do módulo do ganho em db em função da fr equência A (db) e) A fr equência quando a difer ença de fas e entr e a entr ada e a s aída é α arctg 45 arctg tg45 rd / s F iltro Passa B aixas com ircuito O cir cuito s ér ie, como mos tr ado na figur a abaixo, funciona como um filtro passa baix as, pois nas baixas freqüências, o capacitor de s aída compor ta-se como uma r es is tência alta (X >>), fazendo comque a maior parte da tens ão r ecaia sobre ele. Filtros Passivos 5

6 Já nas altas freqüências, o capacitor comporta-se como uma resistência baix a (X <<), fazendo com que a tens ão na s aída s ej a muito pequena. Neste cir cuito, a ex pr es s ão da tens ão E S de s aída S (T ensão no capacitor ) em função da tensão de entr ada E é dada por: jx S. E jx F iltro Passa B aixas com ircuito Desta for ma, o ganho de tens ão des te filtro é: S jx j. A Dividindo-se o numer ador e o denominador por e E jx + j. simplificando a ex pr es s ão, tem-se: A + j.. A ex pr es s ão do ganho de tens ão des te filtr o pode s er apresentada em função de s ua frequência de cor te, com segue: Ganho de T ensão: F r equência de or t e: A + j omo o ganho de tens ão é um número complexo, ele pode s er representado genericamente na for ma A A á. As expressões do módulo e da fase do ganho de tensão em função de frequência são dadas por: Módulo Fase A + ( ) α arctg omo se vê, estas expressões são iguais às do filtro passa baixas com circuito analisado anteriormente, com a ressalva de que as freqüências de corte são calculadas de formas diferente, pois elas dependem dos dispositivos utilizados nos filtros ( ou ). Desta forma, o esboço das curvas de resposta em frequência (módulo: A x á e fas e: á x ) deste filtro, tem o mes mo as pecto que as do filtro anterior, como mos tra a figura abaixo: Filtros Passivos 6

7 ,77 A Módulo -45 á -9 esposta em frequência do F.P.B. (fase) A cur va de r es pos ta em frequência (módulo) deste filtro pode, também, ser dada em decibel (db), calculando-se o módulo do ganho de tens ão por : A (db).log A Pode-se, então es boçar a cur va de r es pos ta em frequência (em módulo) A (db) x, e na for ma nor mal em diagrama de bode: A (db) A (db) Diagrama de B -4-4 Normal Diagrama de Bode E xemplo: -Projetar um filtro pas s a baix a com fc K H. -Adotando-se KÙ, tem-se: f 6nF 3 3 π.. π.. f π... Usando o valor comercial mais próximo 5nF, a frequência de corte sofrerá uma pequena alteração, porém insignificante face às tolerâncias dos dispositivos, como pode ser observado a seguir: f, KHz π π F iltro Passa Alt as F.P.A. Filtros Passivos 7

8 Um filtro passa altas (F.P.ª) ideal tem uma cur va de r es posta em frequência, como mos tr ada na figur a abaix o. A urva de esposta em frequência do Filtro Passa Altas Ideal c Para fr eqüências abaixo da frequência de cor te ( c ), o ganho é zer o, isto é, a tensão de s aída é nula. Para freqüências acima da frequência de cor te, o ganho é igual a um, isto é, a tens ão de s aída é igual à tens ão de entrada. Porém, na pr ática, não é possível construir-se um filtro com um corte tão brusco na r es pos ta em frequência. F iltro Passa Alt as com ircuito O cir cuito série, como mos tr ado na figur a baix o, funciona como um filtro passa altas, pois nas baixas freqüências, o indutor de s aída compor ta-se como uma resistência baix a (X <<), fazendo com que a tensão s obr e ele s ej a muito pequena. Já, nas altas freqüências, o indutor comporta-se como uma r es is tência alta (X >>), fazendo com que a tens ão de s aída s ej a muito alta. E S Filtro Passa Altas com ircuito Neste cir cuito, a ex pr es s ão da tens ão de s aída S (T ensão no indutor ) em função da tensão de entr ada E é dada por : j. Av E Desta for ma, o ganho de tens ão des te filtro é: + J s jϖ. Av Dividindo-se o numer ador e o denominador por, tem-se: + J E A j. A ex pr es s ão do ganho de tens ão des te filtr o pode s er apresentada em função de sua fr equência de cor te: Filtros Passivos 8

9 Ganho de T ens ão: A Frequência de or te: j omo podemos observar, o ganho de tens ão é um número complexo e, portanto, possui um módulo e fas e. Assim, o ganho de tens ão s er á r epr es entado genericamente por um número complex o na for ma A A á As expressões do módulo e da fase do ganho de tensão em função da frequência são dadas por: Módulo: A Fase: + ( ) α arctg A partir da expressão do módulo do ganho em função da frequência, pode-se esboçar a curva de resposta em frequência A x deste filtro, considerando-se que:,77 A A A, 77 Av esposta em Frequência do F.P.A. (Módulo) A par tir da ex pr es s ão da fas e do ganho em função da fr equência, pode-se esboçar o gr áfico á x, considerando-se que: á α 9 á arctg 45º esposta em frequência do F.P.A. (fase) α A cur va de r es pos ta em frequência (Módulo) deste filtr o pode, também, ser dada em decibel(db), calculando-se o módulo do ganho de tens ão por: A (db).log A Filtros Passivos 9

10 Assim: Av( db).log.log 4dB + Av( db).log.log db. + Av( db).log 3dB. Av( db).log +..log Pelos resultados obtidos, pode-se per ceber que, cada vez que a frequência aumenta de um fator igual a, o ganho aumenta em db, até chegar à fr equência de corte. Pode-se então, esboçar a cur va de r es pos ta em frequência (módulo) A (db) x, na forma normal e como diagrama de Bode. -3 A (db) / / db A (db) / / esposta em Frequência do F.P.A. (Módulo em db) -4 Diagrama de Bode do F.P.A. Exemplo: Dado o circuito a s eguir, pede-se: KÙ E mh S a) Frequência de cor te em rd/s e em Hz rd / s f khz 3 59, 5. π π b) Expressão complexa do ganho Filtros Passivos

11 A j. 3. j j c) Expressão do módulo do ganho A + ( ) 6 + d) A tensão de saída para E 5 e,5. Módulo do ganho: A + ( ),5 Fase e do ganho: α arctg arctg,5 c +,5,5 33,7,83 Para,5. : A,83 33,7 Portanto, a tensão de s aída nes ta frequência vale: S A E,83 33,7. 5 4,5 33,7 e) Esboçar o gr áfico do módulo do ganho em db em função da frequência. A (db) (rd/s) - -4 F iltro Passa Alt as com ircuito O cir cuito s ér ie, como mos tr ado abaix o, funciona como um filtor passa altas, pois nas baixas freqüências, o capacitor comporta-se como uma r es is tência alta (X >>), fazendo com que a tens ão s obr e o r es istor de s aída s ej a muito pequena. Já, nas altas freqüências, o capacitor comporta-se como uma r es is tência baixa (X<<), fazendo com que a tens ão de s aída s ej a muito alta. Filtros Passivos

12 Neste cir cuito, a ex pr es s ão da tens ão de saída S (tensão no r es is tor ) em função da tens ão de entr ada E é dada por : E S S. jx E Filtro Passa Altas com ircuito Desta for ma, o ganho de tens ão de entrada E é dada por : Av s E JX i + j. Dividindo-se o numer ador e o denominador por e s implificando a ex pr essão, temse: A j.. A ex pr es s ão do ganho de tensão deste filtr o pode s er apresentada em f unção de s ua f r equência de cor t e: Ganho de T ens ão: A Frequência de or te: j. omo podemos observar, o ganho de tens ão é um número complex o e, portanto, possui um módulo e fas e. Assim, o ganho de tens ão s er á r epr es entado genericamente por um número complex o na for ma A A á As expressões do módulo e da fase do ganho de tensão em função da frequência são dadas por: Módulo: A Fase: + ( ) α arctg omo se vê, estas expressões são iguais às do filtro passa altas com circuito analisado anteriormente, com a ressalva de que as frequências de corte são calculadas de forma diferentes, pois elas dependem dos dispositivos utilizados nos filtros ( ou ). Desta forma, o esboço das curvas de resposta em frequência (módulo:a x e fas e: á x ) deste filtro, tem o mes mo as pecto que as do filtro anterior, conforme a figura baixo: Filtros Passivos

13 A -9 á,77-45 esposta em Frequência do F.P.A. (Módulo) esposta em frequência do F.P.A. (fase) A cur va de r es pos ta em frequência (Módulo) deste filtro pode, também, ser dada em decibel(db), calculando-se o módulo do ganho de tens ão por : A (db).log A Pode-se então, esboçar a cur va de r es pos ta em frequência (módulo) A (db) x, na forma normal e como diagrama de Bode. -3 A (db) / / A (db) / / esposta em Frequência do F.P.A. (Módulo em db) -4 Diagrama de Bode do F.P.A. Exemplo: Projetar um filtro pas s a altas com f c Hz: E S Adotando-se, uf, tem-se: f KΩ.... f., π π π Usando o valor comercial mais próximo 8kÙ, a frequência de cor te sofrerá uma pequena alter ação, porém insignificante face às tolerâncias dos dispositivos, como pode s er observado à s eguir : f 94Hz 3 6 π.. π..8,..,. Filtros Passivos 3

14 I nt egr ador e Difer enciador Os circuitos integradores e difer enciador es são muito utilizados para ger ar formas de onda muito es pecíficas como a triangular e a impuls iva, a par tir de uma onda quadr ada. Tais formas de onda têm muitas aplicações na eletr ônica. Pelo nome des tes circuito, verifica-se que o integr ador e o difer enciador executam eletricamente, respectivamente, as funções integral e der ivada nos sinais de entr ada. I nt egr ador O integr ador é um filtro passa baix as operando numa frequência muito maior que a frequência de cor te.des ta for ma, a função de s aída r epr es enta a integr al da função de entrada. aso a funão de entr ada s ej a uma onda quadr ada com frequência f>>fc, a saída do integr ador apresentará uma onda pr aticamente tr iangular, como mos tr a a figura abaix o. E ircuito Integrador S O funcionamento é bas tante s imples. onsiderando o capacitor inicialmente descarregado (), em t é aplicada uma tens ão pos itiva na entr ada com amplitude E () E. Assim, o capacitor começa a s e car r egar com uma cons tante de tempo T << τ E - E c T/ T 3T/ T t omo a frequência da onda quadr ada é muito maior que a frequência de cor te do filtro, ou seja, T<< τ, antes do capacitor se car r egar completamente, a tens ão de entrada muda s eu valor para E (T /) -E. Então, o capacitor, que s e encontrava com a tens ão (T /), passa a s e des car r egar com a mes ma constante de tempo, até atingir o valor negativo (T ) - em τ T, e assim sucessivamente. -c T/ T 3T/ T Forma de Onda do ircuito Integrador t omo vis to anter ior mente, a car ga do capacitor não é linear.portanto, quanto maior for a cons tante de tempo do circuito em relação ao per íodo da tens ão de entr ada, mais a for ma de onda no capacitor se apr oxima da onda tr iangular, pois maior é a linear idade, embora a s ua amplitude s ej a menor. E xemplo: Dado o filtr o passa baix as a s eguir, qual deve s er a frequência da onda quadrada de entr ada par a que o circuito funcione como integr ador, ou seja, para que a for ma de onda no capacitor seja apr ox imadamente uma onda tr iangular? Filtros Passivos 4

15 E k5 Ù,4 7 uf ircuito Integrador S f 6Hz 3 6 π.. π..,5..,47. Para funcionar como integr ador, a frequência de entrada tem de s er muito maior que f. Na pr ática, isto é possível considerando-se a fr equência pelo menos vezes maior que a frequência de corte, isto é: f, 6kHz Dif er enciador O dif er enciador é um filtro passa altas operando numa frequência muito menor que a fr equência de cor te. Desta for ma, a função de s aída r epr es enta a der ivada da função de entrada. aso a função de entr ada s ej a uma onda quadr ada com frequência f< < f c, a saída do difer enciador apresentará uma onda pr aticamente impuls iva, como mostra a figur a abaix o: E ircuito Diferenciador S Neste cas o, o pr incípio de funcionamento é bas eado no fato de que o capacitor é um curto cir cuito par a variações muito br us cas de tens ão, o que ocorre nos instantes em que a tens ão de entrada var ia de E para E e vice-versa, fazendo com que es s as variações apareçam na s aída do circuito, ora na forma de impuls os positivos, ora na forma de impuls os negativos. E - E T/ T 3T/ T t A par tir destas variações, como a tens ão de entr ada per manece cons tante por um tempo T /, ele atua como um circuito aberto. Sendo T > > τ, o capacitor descarrega-se r apidamente, dando o aspecto mos tr ado na figur a ao lado. c -c T/ T 3T/ T t Forma de Onda do ircuito Diferenciador Filtros Passivos 5

16 E xemplo: Dado o filtr o passa altas a s eguir, qual deve s er a fr equência da onda quadrada de entr ada par a que o circuito funcione como difer enciador? E nf 3,3 kù ircuito Diferenciador S f 4, 83kHz 3 9 π.. π.3,3... Para funcionar como difer enciador, a frequência de entrada tem de s er muito menor que f. Na pr ática, isto é possível considerando-se a fr equência pelo menos vezes menor que a fr equência de corte, isto é: f 48, 3kHz ir cuit os ir cuit os S ér ie O cir cuito s ér ie é for mado por um resistor, um indutor e um capacitor ligados em série como mos tr a a figur a abaix o, cuja cor r ente foi considerada, arbitrariamente, como tendo fas e inicial nula. i v v v,i v v v i v v ircuito Série Diagrama Fasorial Em um circuito s ér ie, a tensão total aplicada é a s oma vetor ial das tensões no r es is tor, capacitor e indutor, isto é: v v + v + v om relação ao diagr ama fas or ial, sabe-se que: A tens ão no r es is tor está em fase com a cor r ente; A tens ão no indutor está adiantada de 9 em relação à cor r ente; A tens ão no capacitor está atr as ada de 9 em relação à cor r ente. Filtros Passivos 6

17 Portanto, as tensões e estão defas adas de 8 entre s i, sendo que a soma vetor ial delas é a difer ença entr e s eus módulos, com fase igual à da tensão de maior módulo. Por exemplo, considerando que >, tem-se que: v + v ( - ) 9 A figur a abaix o, mostra o diagr ama de tens ões obtido a par tir do diagr ama fasorial da figur a anter ior e o r es pectivo diagr ama de impedância, considerando que >. v - Ö T X ( ) I v Ö I (a) Diagrama de Tensões (b) Diagrama de Impedâncias Da figur a anter ior, pode-se obter o módulo da t ens ão total aplicada pelo gerador: + ( ) omo >. A defas agem Ö da tens ão do ger ador em relação à corrente é positiva, porém menor que 9, devido à influência do r es is tor. Isto s ignifica que a fase da impedância é também positiva, caracterizando um circuito indutivo, no qual a r eatância indutiva pr edomina s obr e a capacitiva. No circuito s ér ie, a impedância complexa equivalent e do circuito pode ser calculada por : + j( X X ) ou + j.. O módulo da impedância equivalent e do circuito vale: ( X ) X + ou +.. Filtros Passivos 7

18 A f as e da impedância equivalent e do circuito vale: ( X X ) φ arctg ou. arctg. φ O fator de potência do cir cuito pode s er obtido do diagr ama de impedância e vale: FP cos φ De tudo o que foi visto até aqui, podemos tirar algumas conclusões gerais: * aso X > X o circuito é indutivo (Ö> ); * aso X < X o circuito é capacitivo (Ö< ); * aso X X o circuito é r es is tivo (Ö ). Esta última condição (X X ) é chamada de r es s onância. ir cuit o essonante Um circuito r essonante é aquele que apr es enta a menor oposição possível à passagem de cor r ente elétr ica numa deter minada frequência f o, denominada de f r equência de r ess onância do circuito. I sto s ignifica que as freqüências maiores e menor es que f encontrarão maior oposição por parte do cir cuito r essonante. A figur a abaix o mos tr a um cir cuit o ressonante sér ie no qual é aplicada uma tens ão alter nada numa deter minada fr equência. i Quando a frequência de tens ão é tal que X X, a r eatância indutiva é anulada pela r eatância capacitiva, já que es tão defas adas de 8. Isto significa que o circuito compor ta-se como s e fosse uma r es is t ência pur a. v(t) A f r equência de r ess onância f, na qual este fenômeno ocor r e, pode s er determinada da seguinte for ma: X X.... ircuito essonante Série omo π. f, tem-se que: Filtros Passivos 8

19 f Frequência de r essonância do cir cuito π. Os gráficos da figura anter ior ( f( ) e i f( )) mostram o compor tamento do circuito r essonante s ér ie em função da frequência. ircuito apacitivo ircuito Indutivo I M o (a) Gráfico da Impedância (b) Gráfico da orrente omportamento do ircuito essonante Série Desta figur a, podem-se tir ar as seguintes conclusões: * Na frequência de r es s onância, o cir cuito é pur amente r es istivo e a opos ição à corrente é mínima, resultando numa corrente máxima I M ; * Abaixo da frequência de r essonância, a impedância é capacit iva ( X > X ) e a corrente es tá adiantada em relação à tens ão aplicada; * Acima da frequência de r essonância, a impedância é indut iva ( X > X ) e a corrente es tá atr as ada em relação à tensão aplicada. ar gur a de F aixa ( F ) e F ator de Qualidade ( Q) Define-se lar gur a de faixa ( F ) ou banda de fr equência, como s endo: F f S f ci Onde fcs frequência de cor te s uper ior fci frequência de cor te infer ior Na frequência de cor te, o valor da cor r ente é apr oximadamente 7,7% da corrente de r essonância I M, como mos tr a o gr áfico abaix o: Filtros Passivos 9

20 i I M,77.I M I M Este valor 7,7% corresponde a, ou a uma queda de 3dB na cor r ente máx ima. A lar gur a de faix a depende da qualidade da bobina. Uma bobina ideal tem resistência ôhmica nula, porém, na pr ática, o fio da bobina possui resistência. O fator de qualidade Q de uma bobina é definido como s endo: f ci f o f cs argura de Faixa do ircuito essonante f Q X o B Onde: X π. f reatância da bobina na frequência de r essonância O o. B resistência ôhmica da bobina O f at or de qualidade Q do circuito é dado por : Q X o T Onde: T resistência ôhmica total do cir cuito A lar gur a de faix a do circuito es tá r elacionada com o fator de qualidade através da expressão: F f o Q Portanto, quanto maior é a qualidade da bobina, menor é a lar gura da faix a ou mais aguda é a cur va i f( ), isto é, melhor é o circuito r essonante, pois ele s e torna mais seletivo, como mos tra a figura abaixo: I M i,77.i M Q Qualidade do ircuito essonante Q > Q f F F Filtros Passivos f

21 E xemplo: ) Em um ircuito s ér ie, tem-se: Ù, mh e,uf. Se a tens ão do gerador é, pedem-se: a) Frequência de r essonância do circuito f o 5, 95kHz 3 7 π. π. b) A corrente for necida pelo ger ador na fr equência de r essonância. -Na r es s onância, o circuito é s omente r es istivo, portanto: Ù I ma c) O ângulo de defas agem entre tens ão do ger ador e cor r ente na r essonância. -Na r es s onância, o circuito é s omente r es istivo e, portanto, o ângulo de defasagem é zer o (Ö ). d) A cor r ente e defas agem se f khz X ð.f. ð ,7Ù X 79, 6Ω 3 7 π. f. π... + j. j + j5,7 j79,6 z + j46,ω 4,7 Ω. Portanto: i v 4,7 9,9 4,7 ma omo X > X, nesta frequência o circuito é indutivo (khz > f o ). e) orrente e defas agem se f khz X ð.f. ð ,8Ù Filtros Passivos X 59, Ω 3 7 π. f. π...

22 + j. j + j6,8 j59, j96,4ω 38,9 43,9 ma. Portanto: i v 38,4 43,9 7,3 43,9 ma omo X > X, nesta frequência o circuito é capacitivo (khz < f o ). - Em um circuito s ér ie, tem-se: 6; ; e i ma. Pede-se: a) A impedância complex a: 6 6Ω X kω 3, I. I. X kω I. X j kω 3 X j, k Ω 3 o + j. j,6 + j, j,6 j,8kω 53 kω. b) Tensão aplicada no circuito v. i c) Diagrama Fas or ial v,i () (6) I (ma) - (8) () () Filtros Passivos

23 3- Dado o circuito r essonante a s eguir, pedem-se: Ù a) Frequência de r essonância v uh B 8Ù 5,6nF f o, 68kHz 6 9 π. π..5,6. b) Fator de qualidade da bobina X o ð., ,63Ù Q X o B 33,63 6,7 8 c) Fator de qualidade do cir cuito i Q X o T 33,63 7,4 + 8 I M d) argura de faix a do circuito,77.i M fo F, , 66kHz Q 98,35,68 7, F 8,66kHz F(kHz) e) alor de para que a lar gur a de faix a s ej a % da frequência de r essonância F 3 f o 3,68.,68. Q Q Q X o 33,63 Q 5, Ω B ir cuit o P ar alelo Filtros Passivos 3

24 O cir cuito par alelo é for mado por um resistor, um indutor e um capacitor ligados em paralelo, como mos tr a a figur a abaix o, cuja tens ão foi considerada, arbitrariamente, como tendo fas e inicial nula. i v i i I ircuito Paralelo v,i i Em um circuito par alelo, a corrente total fornecida pelo ger ador é a soma vetor ial das correntes no r es is tor, capacitor e indutor, isto é: i v i i + i + i om relação ao diagr ama fas or ial, sabe-se que: i (b) Diagrama Fasorial * A cor r ente no r es is tor está em fase com tensão; * A cor r ente no indutor está atras ada de 9 em relação à tens ão; * A cor r ente no capacitor está adiantada de 9 em relação à tens ão. Portanto, as correntes i e i estão defas adas de 8 entre s i, sendo que a soma vetor ial delas é a difer ença entr e s eus módulos, com fase igual à da cor r ente de maior módulo. Por exemplo, considerando que I > I, tem-se que: i + i (I -I ) 9 A figur a abaix o mos tr a o diagr ama de cor r entes obtido a par tir do diagr ama fasorial da figur a anter ior e o r es pectivo diagr ama de impedância, considerando que I > I. Filtros Passivos 4

25 v,i i (I - I ) i X ( I I ) Ô Ô i i v I (a) Diagrama de orrentes (b) Diagrama de Impedâncias orrentes e Impedância no ircuito Paralelo Da figur a (a), pode-se obter o módulo da corrente total fornecida pelo gerador: I I + ( I I ) omo I > I, a defas agem Ô da cor r ente em relação à tens ão é pos itiva, porém menor que 9, devido à influência do resistor. Isto s ignifica que a fas e da impedância é negativa, caracterizando um circuito capacitivo, no qual a r eatância capacitiva pr edomina s obr e a indutiva. No circuito par alelo, a impedância complex a equivalente do cir cuito pode ser calculada por: + + jx jx Desenvolvendo-se es ta ex pr essão, obtém-se a impedância complexa: X. X. X. X + j. ( X X ) ou. +.. j(.. ) O módulo da impedância equivalent e do circuito vale:. X. X ou ( X X ) +.( X X ). φ arctg (.. ). O f at or de potência do circuito pode s er obtido do diagr ama de impedância da figur a (b), e vale: FP cosφ FP Filtros Passivos 5

26 Neste cas o, as conclusões que podem ser tiradas são as seguintes: aso X > X o cir cuito é capacitivo ( Ô < ); aso X < X o cir cuito é indutivo ( Ô > ); aso X X o cir cuito é r es is tivo ( Ô ). Esta última condição também corresponde à r es s onância do circuito. Para o cir cuito par alelo valem também as expressões da frequência de ressonância ( o ou f o ), isto é: o ou. f o π. Mas neste cas o, como os dispositivos estão em paralelo, os gráficos da impedância e da corrente ( f( ) e i f( )) são como mos tr a a figur a abaix o: ircuito Indutivo ircuito apacitivo i I m o (a) Gráfico da Impedância o (b) Gráfico da orrente omportamento do ircuito essonante Paralelo Desta figur a, podem-se tir ar as seguintes conclusões: Na frequência de r essonância o, o cir cuito é pur amente r es is tivo e a oposição à cor r ente é máx ima, resultando numa cor r ente mínima I m; Abaixo da frequência de r essonância, a impedância é indut iva ( X > X ) ; Acima da frequência de r essonância, a impedância é capacit iva ( X > X ). E xemplo: - Dado o circuito a s eguir, pedem-se: Filtros Passivos 6

27 i o v kù X Ù X 5Ù I i I a) orrente complex a em cada componente e corrente total v v i ma i j ma X 5 9 v i 9 jma X 9 i i + i + i + j4 + j j6 63,5 7, 6 ma b) Impedância complex a v 36, 7, 6 Ω 3 i 63,5. 7,6 c) Diagrama Fas or ial v,i I (4mA) I (ma) 7,6 () I -I (6mA) I (ma) i (63,5mA) Filtros Passivos 7

28 Filtros Passivos 8