Estudo de escoamentos de ondas e correntes

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1 Estudo de escoamentos de ondas e correntes Aplicação do modelo IH-2VOF José Eduardo Pires Lopes Dissertação para a obtenção do grau de Mestre em Engenharia Civil Júri Presidente: Prof. Doutor António Jorge Silva Guerreiro Monteiro Orientadores: Prof. Doutor António Alberto Pires Silva, Doutora Maria da Graça Reis e Silva de Oliveira Neves Vogais: Prof. Doutor António Alexandre Trigo Teixeira, Doutora Maria Teresa Reis Novembro de 2012

2 Agradecimentos Esta Dissertação não seria possível sem a ajuda e os conhecimentos transmitidos pelo Professor António Pires Silva, que foram fundamentais para a sua realização. Estou também extremamente grato pela constante disponibilidade e paciência da Doutora Maria da Graça Neves, que muito contribuiu para que este trabalho fosse possível. Um agradecimento ao Laboratório Nacional de Engenharia Civil que permitiu a minha presença no Núcleo de Portos e Estruturas Marítimas, tendo facilitado imenso todo o processo. Aos meus pais e à minha namorada, por estarem sempre lá para mim quando precisei. Aos meus amigos e colegas que me apoiaram Obrigado. I

3 RESUMO O perfil vertical do campo da velocidade média horizontal resultante da presença de ondas de superfície e corrente é fortemente influenciado pela interação das ondas de superfície com a corrente. Para compreender melhor os fenómenos e possibilitar a verificação de modelos numéricos que os pudessem reproduzir, eram necessários dados experimentais, principalmente com informação relativa ao perfil vertical de velocidades ao longo de toda a coluna líquida e às tensões de Reynolds. Para tal, Klopman (1994) efetuou uma série de ensaios experimentais para estudar a cinemática do escoamento da propagação de ondas de superfície com a presença de uma corrente no mesmo sentido e o no sentido oposto, para profundidades intermédias e fora da zona de rebentação. Este estudo consiste na aplicação do modelo numérico IH-2VOF ao estudo da interação de ondas e correntes, reproduzindo-se os ensaios em modelo físico realizados por Klopman (1994). O modelo IH-2VOF foi desenvolvido na Universidade de Cantabria, Espanha, com base no modelo COrnell BReakingwaves And Structures da Universidade de Cornell (COBRAS-UC) e consiste num modelo numérico, bidimensional, baseado nas equações RANS (Reynolds Averaged Navier-Stokes), complementado com um modelo de turbulência (modelo k-ε) e um método de definição da superfície livre (Volume Of Fluid). De um modo geral, os resultados considerando os vários tipos de escoamento foram parcialmente satisfatórios. Todavia, persistiram ao longo dos ensaios discrepâncias, principalmente ao nível da parte inferior da coluna líquida. A variação de valores de diversos parâmetros livres do modelo, como a rugosidade do fundo, a introdução de uma camada porosa no fundo para simular o atrito, a parametrização do modelo de fecho da turbulência, o tipo de onda numérica gerada e o processo desta geração, não obviaram totalmente estes desajustes. Palavras chave: Ondas; Corrente; Modelo numérico IH-2VOF. II

4 ABSTRACT The vertical profile of the horizontal mean velocity field resulting from the presence of surface waves and current is strongly influenced by the interaction of surface waves with the current. To better understand the phenomena and permit verification of numerical models that could reproduce it, experimental data were needed, especially with information concerning the vertical velocity profile throughout the fluid column and the Reynolds stresses. To this end, Klopman (1994) performed a series of experimental tests to study the flow kinematics of the propagation of surface waves in the presence of a current in the same direction and in the opposite direction, to intermediate water depths out of the surf zone. This study is the application of the numerical model IH-2VOF to study the interaction of waves and currents, reproducing the physical model tests conducted by Klopman (1994). The model IH-2VOF was developed at the University of Cantabria, Spain, based on COrnell BReaking waves And Structures model of Cornell University (COBRAS-UC) and consists of a two-dimensional numerical model, based on RANS equations (Reynolds Averaged Navier- Stokes) complemented with a turbulence model (k-ε model) and a method of defining the free surface (Volume of Fluid). In general, the results considering the various types of flow were partially satisfactory. However, there were discrepancies along the tests, mainly at the bottom of the liquid column. The change in values of various free parameters of the model, as the bottom roughness, the introduction of a porous layer on the bottom for simulating friction, the parameterization of the turbulence model, the type of numeric wave generated and his generation process, did not totally obviate these mismatches. Keywords: Waves; Current; Numerical model IH-2VOF. III

5 Índice Índice de figuras... VI Índice de tabelas... VIII Simbologia... IX 1. Introdução Aspetos da interação ondas corrente Introdução Ondas Corrente Ondas e corrente Modelo IH-2VOF Introdução Conceitos base Domínio computacional e dados de entrada Definição e construção da malha de cálculo Dados de saída do modelo Introdução de corrente no modelo IH-2VOF Ensaios em modelo físico de Klopman (1994) Âmbito dos ensaios Configuração experimental e equipamentos Geometria do canal Características dos ensaios e procedimento experimental Equipamento utilizado Dados obtidos e análise efetuada Aplicação do modelo IH-2VOF Geometria do modelo Geração da agitação Calibração do modelo Análise de resultados do modelo Simulações apenas com correntes Simulações apenas com ondas IV

6 Simulações com ondas e corrente Conclusões Bibliografia Anexos Anexo 8.1. Perfis das velocidades médias horizontais na sonda 6 para o Ensaio 6, Ensaio 8, Ensaio 9, Ensaio 10, Ensaio 11, Ensaio 12, Ensaio 14 e Ensaio Anexo 8.2. Perfis da amplitude das velocidades médias horizontais na sonda 6 para o Ensaio 11, Ensaio 12, Ensaio 14 e Ensaio V

7 Índice de figuras Figura Perfil de velocidade horizontal e camada limite da onda [Adaptado de Van Rijn 1993] Figura Distribuição de velocidades para escoamentos lisos e rugosos Figura Influência das ondas no perfil de velocidades da corrente, para o caso de ondas no sentido da corrente (Kemp e Simons, 1982, 1983) [Adaptado de Van Rijn, 1993] Figura Influência das ondas no perfil de velocidades da corrente, para o caso de ondas no sentido contrário da corrente (Kemp e Simons, 1982, 1983) [Adaptado de Van Rijn, 1993] Figura Representação esquemática de montante do domínio e malha do IH-2VOF Figura Representação esquemática de jusante do domínio e malha do IH-2VOF Figura Esquema do domínio de cálculo com as variáveis representadas Figura Estrutura de entrada e saída de caudal (dimensões em mm) [Adaptado de Klopman, 1994] Figura Esquema da configuração experimental de Klopman (dimensões em m) [Adaptado de Klopman, 1994] Figura Aspeto da malha grosseira na sua extremidade de montante Figura Aspeto da malha fina na sua extremidade de montante Figura Série temporal da superfície livre na sonda 6 para o Ensaio 7 num intervalo entre os 150 s e os 200 s Figura Perfil das velocidades médias horizontais na sonda 6 para o Ensaio Figura Série temporal da superfície livre na sonda 6 para o Ensaio 13 num intervalo entre os 50 s e os 100 s Figura Perfil das velocidades médias horizontais na sonda 6 para o Ensaio Figura Perfil da amplitude das velocidades médias horizontais na sonda 6 para o Ensaio Figura Série temporal da superfície livre na sonda 6 para o Ensaio 16 num intervalo entre os 50 s e os 100 s Figura Série temporal da superfície livre na sonda 6 para o Ensaio 17 num intervalo entre os 50 s e os 100 s Figura Perfil das velocidades médias horizontais na sonda 6 para o Ensaio Figura Perfil da amplitude das velocidades horizontais na sonda 6 para o Ensaio Figura Perfil das velocidades médias horizontais na sonda 6 para o Ensaio Figura Perfil da amplitude das velocidades horizontais na sonda 6 para o Ensaio Figura 8.1- Perfil das velocidades médias horizontais na sonda 6 para o Ensaio Figura Perfil das velocidades médias horizontais na sonda 6 para o Ensaio Figura Perfil das velocidades médias horizontais na sonda 6 para o Ensaio Figura Perfil das velocidades médias horizontais na sonda 6 para o Ensaio Figura Perfil das velocidades médias horizontais na sonda 6 para o Ensaio Figura Perfil das velocidades médias horizontais na sonda 6 para o Ensaio VI

8 Figura Perfil das velocidades médias horizontais na sonda 6 para o Ensaio Figura Perfil das velocidades médias horizontais na sonda 6 para o Ensaio Figura Perfil da amplitude das velocidades médias horizontais na sonda 6 para o Ensaio Figura Perfil da amplitude das velocidades médias horizontais na sonda 6 para o Ensaio Figura Perfil da amplitude das velocidades médias horizontais na sonda 6 para o Ensaio Figura Perfil da amplitude das velocidades médias horizontais na sonda 6 para o Ensaio VII

9 Índice de tabelas Tabela Resumo dos resultados de Kemp e Simons (1982, 1983) Tabela Condições dos ensaios Tabela Tipo de ensaios efetuados Tabela Coordenadas horizontais das sondas nos diferentes tipos de teste (em m) Tabela 5.1- Descrição das dimensões da malha grosseira Tabela Descrição das dimensões da malha fina Tabela Posição das sondas no modelo numérico e no modelo físico Tabela Resultados relativos ao Ensaio Tabela Resultados relativos ao Ensaio Tabela Resultados relativos ao Ensaio Tabela Resultados relativos ao Ensaio Tabela Resultados relativos ao Ensaio Tabela Resumo das características dos ensaios #SP Tabela Resumo das características dos ensaios #WMN Tabela Resumo das características dos ensaios #CMP e #CMN VIII

10 Simbologia Amplitude de onda média; Série temporal de velocidades; Média no tempo dos valores da média em fase da série temporal de velocidades; Parcela devido às ondas da série temporal de velocidades; Parcela devido à turbulência da série temporal de velocidades; Duração da média em fase; Diâmetro mediano das partículas; Dimensão da célula da malha de cálculo segundo o eixo x; Dimensão da célula da malha de cálculo segundo o eixo y; Função VOF; Aceleração da gravidade; Altura de onda; Altura de onda máxima; Altura de onda média; Profundidade relativa ao nível de repouso; Constante de Von Karman; Número de onda; Energia cinética turbulenta; Rugosidade de Nikuradse; Comprimento de onda; Profundidade média característica; Número de repetições no sinal de controlo do batedor; Número de células segundo o eixo y; Pressão; Caudal; Rugosidade; Tempo; Período de onda; Período de onda dominante; Período de onda médio; Grandeza temporal característica da turbulência; Velocidade média horizontal do escoamento; Velocidade média horizontal do escoamento devido às ondas; Velocidade instantânea do escoamento segundo o eixo x; Velocidade média horizontal do escoamento devida à corrente uniforme; Velocidade horizontal relacionada com a tensão tangencial do fundo; Velocidade instantânea do escoamento; IX

11 Velocidade instantânea média do escoamento; Flutuação em relação à velocidade instantânea do escoamento; Velocidade característica da turbulência; Velocidade instantânea do escoamento segundo o eixo x; Velocidade instantânea do escoamento segundo o eixo y; Velocidade instantânea do escoamento segundo o eixo y; Velocidade instantânea do escoamento segundo o eixo z; Par ordenado de um sistema de eixos cartesiano; Coordenada do limite de montante da função fonte segundo o eixo x; Coordenada do limite de jusante da função fonte segundo o eixo x; Coordenada do limite inferior da função fonte segundo o eixo y; Coordenada do limite superior da função fonte segundo o eixo y; Coordenada vertical; Parâmetro de rugosidade; Parâmetro de comprimento de Stokes; Parâmetro de turbulência; Espessura da camada limite; Taxa de dissipação de energia cinética; Coeficiente de viscosidade cinemática; Viscosidade turbulenta; Correção da viscosidade turbulenta; Massa volúmica da água; Densidade da célula; Tensor das tensões; Função potencial de velocidades; Velocidade angular; X

12 1. Introdução O perfil vertical do campo da velocidade média horizontal resultante da presença de ondas de superfície e corrente é fortemente influenciado pela interação das ondas de superfície com a corrente. A compreensão destes efeitos pode ser muito importante para uma correta previsão do transporte de sedimentos e matéria dissolvida fora da zona de rebentação, para a otimização de dispositivos de extração de energia de correntes e para o dimensionamento de estruturas costeiras ou offshore. Para compreender melhor os fenómenos e possibilitar a verificação de modelos numéricos que os pudessem reproduzir, eram necessários dados experimentais, principalmente com informação relativa ao perfil vertical de velocidades ao longo de toda a coluna líquida e às tensões de Reynolds. Para tal, Klopman (1994) conduziu uma série de ensaios experimentais para estudar a cinemática do escoamento da propagação de ondas de superfície com a presença de uma corrente no mesmo sentido e o no sentido oposto, para profundidades intermédias e fora da zona de rebentação. Estes ensaios foram realizados com ondas monocromáticas, bicromáticas e irregulares. Este trabalho é constituído por quatro partes: Análise teórica dos fenómenos físicos consequentes da interação entre ondas e correntes; breve descrição do modelo IH-2VOF e dos seus conceitos base com foco na sua aplicação e nos aspetos particulares do trabalho como a introdução de corrente no modelo; a breve descrição dos ensaios em modelo físico de Klopman (1994); e a aplicação do modelo matemático. A aplicação do modelo matemático ao problema em estudo consistiu na simulação dos escoamentos ensaiados por Klopman (1994), usando o modelo numérico IH-2VOF. Este modelo é baseado nas equações RANS (Reynolds-Averaged Navier-Stokes) e tem a capacidade de descrever o escoamento no interior de estruturas permeáveis. Este modelo foi já aplicado a diversos casos de estudo de interação de ondas com estruturas, à escala do modelo e do protótipo, com bons resultados (Lara et al. 2006). O modelo numérico foi ensaiado com ondas monocromáticas obtidas por Klopman (1994) em laboratório, introduzindo no modelo as correntes e as ondas, o que até então não tinha sido testado sistematicamente. O modelo foi calibrado e os resultados foram comparados com os obtidos por Klopman (1994). 1

13 2. Aspetos da interação ondas corrente 2.1. Introdução O perfil vertical da velocidade média horizontal difere quando existem apenas ondas, apenas corrente ou quando ocorrem simultaneamente ondas e correntes. Quando as ondas se propagam na presença de correntes, estas irão afetar as características das ondas que por sua vez afetam o perfil de velocidades da corrente. Estes efeitos são mais significativos no caso de ondas que se propagam no sentido contrário à corrente, influenciando a declividade das ondas, podendo provocar mesmo a sua rebentação. No caso de a corrente ter o mesmo sentido da propagação das ondas, poderá alterar o comprimento de onda e reduzir a altura de onda (Brevik e Aas, 1980) Ondas Quando as ondas se propagam fora da zona de grandes profundidades, na ausência de rebentação e considerando válida a teoria linear das ondas, a velocidade média horizontal devida às ondas, é dada por: (2.1) em que: é a altura de onda (m); é o período de onda (s); é o número de onda (m -1 ); é o comprimento de onda (m); é a profundidade relativa ao nível de repouso (m). No entanto, na fronteira sólida inferior a velocidade é nula. Assim, existe uma camada limite junto ao fundo na qual o escoamento é alterado pela presença do fundo, sendo fortemente influenciada pelas forças de atrito. Nesta camada o perfil de velocidades varia desde zero, no fundo, até à velocidade de escoamento potencial, a uma distância do fundo. Assim, a camada limite é uma fina camada formada pela transição entre o fundo e a camada superior de escoamento oscilatório. A espessura desta camada limite pode ser definida 2

14 como a distância mínima entre o fundo e o nível onde a velocidade é igual à velocidade do escoamento (Figura 2.1). Figura Perfil de velocidade horizontal e camada limite da onda [Adaptado de Van Rijn 1993]. Diversos autores sugeriram valores para a espessura da camada limite. Para o caso de este escoamento ser laminar: Jonsson (1980), propôs que, (2.2) Já Manohar (1955) propôs uma expressão semelhante dada por (2.3) em que: é o parâmetro de comprimento de Stokes (m); é o coeficiente de viscosidade cinemática (m 2 /s). 3

15 Para o caso de o escoamento turbulento, Jonsson e Carlsen (1976) propuseram a seguinte expressão: (2.4) em que: ; rugosidade de Nikuradse. A Equação (2.4) é válida para:. Fora da camada limite, isto é, na zona onde o efeito da viscosidade é desprezável, a velocidade horizontal aumenta com a distância ao fundo (Figura 2.1), até que atinge a velocidade devida às ondas. As partículas líquidas descrevem órbitas fechadas, quando da passagem da crista a velocidade das partículas e a celeridade são concordantes, na cava são opostas. Em consequência, numa onda deste tipo não há transporte de massa. Segundo a teoria linear da onda, a função potencial de velocidades é dada pela seguinte expressão: (2.5) em que: é o número de onda (m -1 ) é a velocidade angular (s -1 ) é a aceleração da gravidade (9,8 m/s 2 ) A velocidade orbital horizontal, para profundidades intermédias será: (2.6) Válida para:. Segundo Stokes (1847), as partículas sofrem um efeito de 2ª ordem na direção da propagação da onda e não descrevem uma trajetória orbital fechada. Este efeito é denominado por deriva de Stokes : a partícula sob a crista da onda move-se, no sentido da propagação da onda, mais depressa do que quando está sob da cava a onda e se move no sentido contrário ao da propagação da onda. 4

16 2.3. Corrente Na presença de uma corrente uniforme, o perfil de velocidades seria uniforme na profundidade. No entanto, o fundo influencia em grande parte o perfil vertical de velocidades. No caso de fundo rugoso, os elementos rugosos geram vórtices que afetam a estrutura da turbulência e consequentemente as velocidades junto ao fundo. Assim, tal como no caso do perfil de velocidades devido às ondas, o perfil de velocidades de um escoamento deste tipo possui uma camada limite viscosa junto ao fundo, cuja espessura e velocidade varia com o tipo de escoamento. No caso de um escoamento turbulento liso, a dimensão dos elementos rugosos do fundo é muito inferior à espessura da camada limite viscosa laminar e estes não afetam a distribuição de velocidades (Figura 2.2). No caso de escoamentos turbulentos rugosos, a camada limite viscosa laminar praticamente não existe e a distribuição de velocidades não depende da viscosidade cinemática do fluido (Figura 2.2). No caso de escoamentos entre estes dois, a distribuição de velocidades depende quer da viscosidade cinemática, quer da rugosidade do fundo. A expressão geral que define a distribuição vertical das velocidades médias horizontais é dada por: ( ) (2.7) em que: é a velocidade horizontal relacionada com a tensão tangencial do fundo (m/s); é a constante de VonKarman (0,4); é o parâmetro de rugosidade ( para ) (m); é a coordenada vertical (m). Para um escoamento liso, para (2.8) 5

17 Para um escoamento turbulento rugoso, para (2.9) Para um regime transitório, para (2.10) A velocidade a uma altura porque a Equação (2.7) não é válida junto ao fundo. deve ser interpretada como um parâmetro sem significado físico, Figura Distribuição de velocidades para escoamentos lisos e rugosos Ondas e corrente Numa aproximação estritamente linear, o campo de velocidades na presença de ondas e de uma corrente uniforme deveria ser igual à soma da velocidade devido à onda (Equação (2.1)) com a corrente (Equação (2.7)). No entanto, na determinação do campo de velocidades horizontais resultante da interação de ondas e corrente é necessário ter em conta: O facto de existir um transporte de massa entre a sua crista e a sua cava induzido pela onda na direção da sua propagação que tem que ser compensado por uma corrente de retorno. O facto de existir um escoamento devido à corrente, que vai alterar a corrente de retorno. 6

18 Kemp e Simons (1982, 1983), dos primeiros a estender as observações a toda a coluna líquida, efetuaram ensaios de laboratório para estudar a distinta influência das ondas no perfil de velocidades da corrente, em particular para medir as velocidades médias num campo de ondas regulares, propagando-se no mesmo sentido e no sentido contrário à corrente, no caso de fundos horizontais lisos e rugosos. O nível de repouso da água era de 0,2 m acima do fundo e o período de onda de 1 s. As alturas de onda relativas H/h estavam num intervalo de 0,1 a 0,25. Os resultados obtidos estão representados na Figura 2.3 e na Figura 2.4. Figura Influência das ondas no perfil de velocidades da corrente, para o caso de ondas no sentido da corrente (Kemp e Simons, 1982, 1983) [Adaptado de Van Rijn, 1993]. 7

19 Figura Influência das ondas no perfil de velocidades da corrente, para o caso de ondas no sentido contrário da corrente (Kemp e Simons, 1982, 1983) [Adaptado de Van Rijn, 1993]. Kemp e Simons (1982, 1983) observaram diferenças no perfil de velocidades para escoamentos sobre fundos lisos e rugosos e para ondas a propagarem-se no sentido da corrente e no sentido oposto, como que se descreve na Tabela 2.1. Tipo de ensaios Fundo suave Fundo rugoso Aumento das velocidades junto ao fundo; Redução das velocidades junto do No sentido da Redução das velocidades junto à fundo e da superfície; corrente superfície; Aumento das velocidades em Os efeitos são mais significativos com o aumento da altura de onda. profundidades intermédias. No sentido Redução das velocidades junto ao fundo; contrário da Aumento das velocidades junto da superfície; corrente Os efeitos mais significativos com o aumento da altura de onda. Tabela Resumo dos resultados de Kemp e Simons (1982, 1983). 8

20 3. Modelo IH-2VOF 3.1. Introdução O modelo IH-2VOF foi desenvolvido na Universidade de Cantabria, Espanha, com base no modelo Cornell BReaking waves And Structures da Universidade de Cornell (COBRAS-UC) e consiste num modelo numérico, bidimensional, baseado em equações RANS (Reynolds Averaged Navier-Stokes), complementado com um modelo de turbulência (modelo κ-ε) e um método de definição da superfície livre (Volume Of Fluid) (Lara et al. 2006). Como referido por Liu e Losada (2002), o modelo foi validado por comparação dos resultados numéricos com resultados experimentais, dados de campo e soluções analíticas, tendo sido utilizado em diversos trabalhos, como por exemplo para: estudar a interação de ondas com estrutura, nomeadamente espraiamento e galgamento; descrever escoamentos em superfície livre e em meios porosos; estudar o processo de rebentação Conceitos base Admitindo que, num escoamento turbulento, o campo de velocidades instantâneas u pode ser decomposto num termo médio e respetivas flutuações em torno deste (decomposição de Reynolds), ou seja: (3.1) Podem obter-se as equações de Reynolds a partir das equações de Navier-Stokes: As equações de base do modelo são a equação de continuidade, dada por: (3.2) E a equação de quantidade de movimento, dada por: (3.3) em que: representa cada uma das dimensões num escoamento bidimensional; 9

21 é a componente i-esima do vetor velocidade; a pressão; é a componente i-esima do vetor aceleração da gravidade; é a tensor das tensões. O modelo de turbulência usado é o modelo k-ε descrito pelas seguintes equações: [( ) ] (3.4) [( ) ] (3.5) em que: é a energia cinética turbulenta; é a taxa de dissipação de energia turbulenta; é a viscosidade turbulenta; ; ; ; ;. O modelo IH-2VOF define a superfície livre sem limitações geométricas com base numa técnica VOF, descrita pela seguinte equação: (3.6) 10

22 em que: é a densidade na célula; é a densidade do fluído. Isto quer dizer que é capaz de reproduzir a variação da superfície livre, induzida por todos os processos de transformação da onda, como a rebentação e o galgamento. Para além da posição da superfície livre, o modelo é capaz de calcular o campo das velocidades e o campo das pressões em regime transitório em qualquer ponto do domínio. O modelo pode funcionar como um canal virtual que simula as experiências de laboratório. O modelo pode apresentar pontos de controlo que atuam como sensores de laboratório, obtendo informação da evolução temporal das variáveis calculadas pelo modelo (pressão, velocidade e superfície livre), ao longo da coluna de água. Permite também a definição espacial destas variáveis, para obter funções derivadas, tais como tensões tangenciais, entre outras (Marife Versión 1.01). O modelo IH-2VOF tem implementados diversos métodos para gerar um sinal no seu domínio. Neste trabalho utilizou-se um método baseado num batedor numérico. Este método consiste em introduzir na fronteira do domínio de cálculo o campo de velocidades e a posição da superfície livre, gerando assim um sistema de ondas unidirecional. Deste modo, o domínio de cálculo do modelo pode ser equiparado a um canal de ensaios em modelo físico equipado com um batedor, como acima referido Domínio computacional e dados de entrada O domínio computacional do modelo IH-2VOF é bidimensional, com uma dimensão longitudinal na direção de propagação da agitação e uma dimensão vertical que engloba toda a coluna de água. Este domínio é constituído por uma malha de cálculo retangular que, por sua vez, é constituída por sub-malhas em cada eixo ordenado podendo assim conter células de tamanho variável, como se pode ver na Figura 3.1 e na Figura 3.2. É possível refinar a malha nas zonas de estudo de maior interesse, melhorando assim a qualidade dos resultados e diminuindo o tempo necessário para o cálculo. Assim, cada célula da malha de cálculo é definida pelas suas dimensões e em relação aos eixos e, respetivamente. 11

23 Figura Representação esquemática de montante do domínio e malha do IH-2VOF. Figura Representação esquemática de jusante do domínio e malha do IH-2VOF. Em cada célula da malha são calculadas as grandezas que caracterizam o escoamento. As grandezas escalares como a pressão p, a energia cinética turbulenta k ε, a taxa de dissipação ε e a função VOF F são definidas em relação ao centro das células. As componentes das grandezas vetoriais como a velocidade, u x e u y são definidas nas faces esquerda e superior, respetivamente. Figura Esquema do domínio de cálculo com as variáveis representadas. 12

24 O modelo IH-2VOF necessita de alguns ficheiros de dados, que serão utilizados pelo programa para realizar os cálculos. Neste trabalho foram usados os seguintes ficheiros: malha1.dat; Mesh.mesh; Eta_ext.dat, v_ext.dat e u_ext.dat; input. Os ficheiros malha1.dat e Mesh.mesh são gerados por uma ferramenta computacional denominada CORAL. Estes contêm informações sobre o domínio, a malha de cálculo e as características das estruturas nesse mesmo domínio. Os ficheiros Eta_ext.dat, v_ext.dat e u_ext.dat contêm as séries temporais da elevação da superfície livre e das componentes, vertical e horizontal, do campo de velocidades, respetivamente na fronteira de geração de ondas, normalmente a fronteira esquerda do domínio. Estes valores são relativos à condição de onda definida na fronteira de entrada, que neste caso corresponde a um batedor numérico. O ficheiro input contém as opções de cálculo do modelo. Inclui os valores de parâmetros numéricos e variáveis de controlo, tempo de simulação, características da onda, características do fluido e opções de escrita dos resultados, entre outros. É também necessário definir as condições de fronteira, o método para gerar as condições de agitação, a posição das sondas numéricas, o tempo de cálculo e outros parâmetros numéricos. Estas informações estão presentes no ficheiro input e nos ficheiros Eta_ext.dat, v_ext.dat e u_ext.dat Definição e construção da malha de cálculo Para a construção da malha de cálculo foram seguidas algumas recomendações indicadas no manual do modelo numérico (Marife Versión 1.01), recomendações essas que se destinam a evitar e minimizar erros, tais como: O valor de deve ser ~H/10; A relação entre os lados das células ( ) deve estar compreendida entre 0,5 e 2. Devem ser evitadas diferenças significativas de discretização entre sub-malhas e dentro de cada sub-malha. Como regra geral as dimensões, e, de células adjacentes não devem diferir mais do que 10 a 20%; Numa sub-malha variável a diferença de dimensões entre células adjacentes tem que ser menor do que 5%. Esta condição é satisfeita se <0,05 cm e <0,05 cm; 13

25 O domínio não deve ser representado verticalmente por mais de 250 células, ou seja, <250. Para isso as dimensões das células devem ser de tal ordem que não comprometam a qualidade dos resultados e que não deem origem a um tempo de cálculo demasiado longo, sendo que quanto mais fina for a malha, menores serão os erros de cálculo, mas maior será o tempo do mesmo Dados de saída do modelo Os valores das grandezas calculados pelo modelo podem ser registados em cada instante do tempo de cálculo para toda a malha ou só em algumas zonas previamente definidas no ficheiro input. Assim é possível retirar toda a informação necessária para a análise dos resultados e visualizar em cada instante o estado de todo o domínio. O modelo IH-2VOF permite incluir sondas numéricas, cujas posições são definidas no ficheiro input. Os resultados de saída destas sondas são séries temporais da superfície livre e das grandezas características do escoamento em toda a coluna de água. Deste modo, a análise de resultados do modelo numérico pode ser semelhante ao realizado em ensaios de modelo físico com dados obtidos através de sensores de condutância ou sensores de pressão, entre outros Introdução de corrente no modelo IH-2VOF Para este caso específico de aplicação, foi realizada uma alteração no código do modelo pela Universidade de Cantábria. Na versão atual é possível introduzir uma corrente constante em cada fronteira do modelo. De forma a introduzir uma corrente na fronteira inferior do modelo que variasse em diferentes pontos desta fronteira, o programa foi alterado para permitir introduzir um ponto da fronteira inferior no qual se altera o sinal da corrente, sendo positivo a montante e negativo a jusante. Desta forma é possível reproduzir a entrada de um caudal numa zona da fronteira e retirá-lo noutra zona do modelo, tal e qual como ocorria nos ensaios que se reproduziram e que serão descritos no Capítulo 4. Assim, o fundo do canal do modelo numérico foi reproduzido como impermeável exceto em duas zonas onde se colocaram pequenos orifícios, de dimensão semelhante aos existentes no modelo físico, onde, a montante, se introduzia uma corrente que simulava o caudal introduzido no modelo físico, e a jusante se retirava uma corrente de igual valor, que simulava o caudal escoado a jusante no modelo físico. O valor dessa corrente e da posição de alteração do seu valor são definidos na secção fluid parameters do ficheiro input. 14

26 4. Ensaios em modelo físico de Klopman (1994) 4.1. Âmbito dos ensaios Klopman (1994) realizou uma série de ensaios em modelo físico num canal de Delft Hydraulics, com o objetivo de avaliar a deformação do campo médio da corrente na presença de ondas fora da zona de rebentação. Foram realizados ensaios quer para ondas na presença de uma corrente, quer para ondas sem corrente, quer para corrente sem ondas. O objetivo dos ensaios foi: Fornecer dados precisos acerca da cinemática do escoamento, adequados para a determinação da distribuição das tensões de Reynolds provocadas quer pela agitação, quer pela turbulência, em função da fase da onda e da distância ao fundo; Fornecer informação acerca da influência do tipo de agitação na cinemática do escoamento, através da realização de ensaios não só com ondas monocromáticas, mas também com ondas bicromáticas e irregulares. Neste trabalho apenas nos iremos centrar nos resultados relativos aos ensaios com ondas monocromáticas, uma vez que se considerou que os resultados relativos a ondas bicromáticas e irregulares estavam fora do âmbito deste trabalho Configuração experimental e equipamentos A instalação utilizada para efetuar os ensaios foi um canal com um comprimento de 46m, largura de 1m e uma profundidade total de 1,2 m. As paredes do canal eram constituídas por vidro transparente. Em cada uma das extremidades do canal existia um batedor, acionado por um sistema hidráulico e equipado com um sistema de absorção. Nos ensaios realizados um dos batedores era utilizado para gerar ondas e absorver as ondas refletidas, enquanto o batedor na extremidade oposta apenas absorvia as ondas. A geração era feita de acordo com os parâmetros da onda de Stokes de 2ª ordem, que incluía correções para evitar a formação de ondas curtas e longas indesejadas. O sistema de absorção era baseado na teoria de ondas curtas de 1ª ordem. Para gerar uma corrente constante em todo o canal, este foi equipado de um circuito fechado onde se dava a circulação de um determinado caudal. O equipamento era constituído por duas caixas no fundo do canal, cada uma delas localizada perto de um dos batedores. As caixas eram idênticas e destinavam-se, uma à entrada e outra à saída de caudal no canal, e ambas 15

27 eram constituídas por uma chapa perfurada e preenchidas por berlindes. Os berlindes redistribuíam os jatos provenientes dos buracos da chapa, reduzindo a turbulência. Isto permitiu que o escoamento fosse mais suave e uniforme e que existisse o mínimo de perturbação no campo de ondas. A saída do fluido do canal era feita pela caixa de saída usando uma bomba que restituía o caudal por uma tubagem de volta à caixa de entrada. O escoamento era controlado por uma válvula de borboleta manual, o que permitia a existência de uma corrente constante ao longo do tempo, independentemente da presença ou ausência de um campo de ondas. Figura Estrutura de entrada e saída de caudal (dimensões em mm) [Adaptado de Klopman, 1994]. No fundo do canal estava colocado um leito falso com cobertura de betão. Este leito iniciava-se a 0,3 m das caixas de entrada e saída, tendo um declive de 1:20 ao longo de um comprimento de 1,2 m, a partir do qual se tornava horizontal com uma espessura de 0,06 m. Para lhe conferir rugosidade, foi colada no leito areia vulgar com um tamanho característico de grão de 2 mm o que lhe conferiu uma rugosidade de Nikuradse (k s ) de 1,2 mm Geometria do canal Para a localização dos instrumentos de medição foi adotado o seguinte sistema de coordenadas (ver Figura 4.2): A direção é paralela ao eixo do canal, com o sentido positivo do batedor 1 (WB-1) para o batedor 2 (WB-2) e com =0 a corresponder à posição intermédia de WB-1; A direção é paralela ao fundo do canal e perpendicular à direção, com a direção positiva de para a direita (de WB-1 para a WB-2) e com =0 localizado na parede de vidro próxima de WB-1; A direção é vertical, com o sentido positivo de baixo para cima e com =0 localizado no fundo do canal. 16

28 Figura Esquema da configuração experimental de Klopman (dimensões em m) [Adaptado de Klopman, 1994] Características dos ensaios e procedimento experimental Os ensaios foram escolhidos de forma a que pudessem simular, tipicamente, as condições que ocorrem na costa holandesa (Protótipo), fora da zona de rebentação. Para isso, considerou-se um modelo à escala geométrica de 1:20, de acordo com a semelhança de Froude. Um dos critérios seguidos para a escolha da altura e do período de onda está relacionado com o aparecimento de ondas longas no canal: a altura das ondas devia ser a maior possível para que se pudessem quantificar os efeitos de 2ª ordem e as condições das ondas e das correntes deviam ser escolhidas de maneira a evitar o aparecimento de ondas cruzadas transversais. Assim, as condições escolhidas foram as que se apresentam na Tabela 4.1. Grandeza Protótipo Modelo Profundidade média 10 m 0,5 m Período de onda dominante 7 s 1,44 s Amplitude de onda média 2,4 m 0,060 m Velocidade média da corrente 0,7 m/s 0,16 m/s Caudal - 80 l/s Rugosidade - 2 mm Tabela Condições dos ensaios. Foram realizados ensaios com ondas monocromáticas sem corrente, com corrente no sentido da propagação das ondas e com sentido contrário à da propagação e com corrente sem ondas. Os nomes dos ensaios foram construídos a partir de 3 ou 4 caracteres: 17

29 O primeiro caracter é um # ; O segundo caracter é W, C ou S consoante sejam respetivamente testes de ondas sem corrente, ondas com corrente ou de corrente sem ondas; O terceiro caracter é M ou P consoante sejam respetivamente testes de ondas monocromáticas ou corrente sem ondas; O quarto caracter é um P ou N consoante sejam respetivamente testes de ondas que se propagam no sentido da corrente ou para ondas que se propagam no sentido contrário da corrente. Para o caso de ondas sem corrente é um N para ondas que se propagam no sentido negativo de. Os ensaios efetuados foram os que se apresentam na Tabela 4.2. Tipo de teste Descrição Direção da Direção das corrente ondas #WMN Sem corrente - #CMP Na direção da corrente + + #CMN Na direção contrária da corrente + - #SP Sem ondas + Tabela Tipo de ensaios efetuados. A duração dos testes foi estimada com base na ordem de grandeza temporal característica dos maiores vórtices, a duração teria que ser grande quando comparada com esta ordem de grandeza temporal para que se pudessem produzir resultados viáveis. A ordem de grandeza temporal característica dos vórtices maiores foi estimada usando uma análise dimensional. A profundidade média da água foi considerada como uma grandeza de comprimento característica e a velocidade característica da turbulência u t, foi considerada como sendo 10% da velocidade média. Isto resultou na seguinte estimativa para a ordem de grandeza temporal característica da turbulência : A duração dos testes teria que ser grande quando comparada com, logo a duração escolhida foi de 600 s (20 vezes superior a ), o que corresponde a 420 períodos de onda para o caso de ondas monocromáticas. 18

30 4.5. Equipamento utilizado A instalação estava equipada por um conjunto de instrumentos de medição composto por 6 sondas para medir a elevação da superfície livre (WHM), 2 medidores de velocidade laser Doopler (LDV), um medidor de caudal electromagnético (EMF). Os medidores de velocidade encontravam-se localizados em =22,50m e =0,50 m (a meio do canal). As componentes da velocidade segundo, e foram denominadas respetivamente como, e. As elevações da superfície livre foram medidas relativamente ao nível de repouso, e foram definidas como positivas quando acima deste nível. As sondas de nível foram colocadas nas posições apresentadas na Tabela 4.3. Tipo de teste Medidor de elevação da superfície livre WHM 1 WHM 2 WHM 3 WHM 4 WHM 5 WHM 6 #WMN 10,50 16,50 22,15 22,85 28,50 34,50 #CMP 10,50 16,50 22,15 22,85 28,50 34,50 #CMN 10,50 16,50 22,15 22,85 28,50 34,50 #SP 12,50 18,50 22,15 22,85 26,32 34,50 Tabela Coordenadas horizontais das sondas nos diferentes tipos de teste (em m) Dados obtidos e análise efetuada Com base nos ensaios, Klopman (1994) obteve as séries temporais da elevação da superfície livre e da velocidade em diversos pontos do canal. Para analisar a componente do campo de velocidades devido às ondas e devido à turbulência, Klopman (1994) usou o método da média em fase. Este método consiste na determinação de uma média em fase através da média de pontos cuja fase se repete consecutivamente a partir de uma certa duração, igual ao período da onda. Uma vez que a ordem de grandeza temporal da turbulência pode ser superior à duração, as partes sucessivas do sinal não são necessariamente realizações independentes. Definiu-se a média em fase como e é dada por: (4.1) com. Assumindo que existem repetições no sinal de controlo do batedor durante o teste, o valor médio de é definido como uma média no tempo dos valores da média em fase: 19

31 (4.2) Assim, o valor de pode-se separar na sua média, numa parcela devida ás ondas, e numa parcela devida à turbulência : (4.3) onde a parcela devida ás ondas é dada por: (4.4) e a parcela devida à turbulência é dada por: (4.5) Os valores médios da parcela devida à onda, devida à turbulência bem como a média em fase relativa à turbulência, são zero: (4.6) 20

32 5. Aplicação do modelo IH-2VOF O problema em estudo consiste na aplicação do modelo numérico IH-2VOF ao estudo da interação de ondas e corrente, reproduzindo-se os ensaios em modelo físico realizados por Klopman (1994). Na utilização do modelo numérico, fez-se uma transposição das características dos ensaios em modelo físico para os ensaios bidimensionais no modelo numérico. O primeiro passo para proceder a essa adaptação foi a definição das condições geométricas do canal, das condições de geração da agitação bem como das condições de geração da corrente estacionária. O último passo foi a calibração do modelo recorrendo à alteração de vários parâmetros relacionados com a geração das ondas, a turbulência, a absorção, a geometria e a velocidade da corrente Geometria do modelo Para a definir a malha a utilizar no modelo usou-se a interface gráfica CORAL, a qual permite gerar todo o tipo de geometrias, obstáculos, meios porosos e condições iniciais da superfície livre. Os domínios de cálculo e as respetivas malhas para a aplicação deste caso de estudo foram definidas com base nas recomendações do manual do modelo IH-2VOF, descritas no Capítulo 3. Procurou-se que a malha permitisse representar o melhor possível a estrutura do modelo físico e permitisse obter os dados relativos ao escoamento nas mesmas zonas e com o mesmo detalhe, de forma a permitir uma comparação dos resultados obtidos dos modelos físico e numérico. Para o efeito, foram criadas duas malhas diferentes: uma malha grosseira (com menos células), de modo a que o tempo de cálculo não fosse excessivo, com o objetivo de proceder à calibração dos parâmetros do modelo numérico e outra malha fina (com mais células), com o objetivo de obter resultados com detalhe suficiente na parte inferior da coluna de água para que fossem comparados com os do modelo físico. O domínio computacional da malha grosseira foi dividido em três zonas, optando-se por uma malha com uma dimensão de células variável segundo a direção mas uniforme na direção. Esta malha tem no total 1753 células segundo a direção e 73 células segundo a direção e as suas dimensões estão representadas na Tabela 5.1. A Figura 5.1 apresenta um aspeto da malha na sua extremidade de montante. 21

33 Zona 1 0 m 4 m 2 cm 5,5 cm 2 4 m 35 m = 2 cm 0 m 0,71 m = 1 cm 3 35 m 39 m 2 cm 5,5 cm Tabela 5.1- Descrição das dimensões da malha grosseira. Figura Aspeto da malha grosseira na sua extremidade de montante. O domínio computacional da malha fina foi dividido em nove zonas, com zonas onde a dimensão das células é variável e zonas onde é uniforme, quer segundo, quer segundo. A malha fina tem no total 1998 células segundo a direção e 196 células segundo a direção e as suas dimensões estão representadas na Tabela 5.2. A Figura 5.2 apresenta um aspeto da malha na sua extremidade de montante. Zona 1 1 cm 3 cm 0 m 0,44 m = 5 mm 2 0 m 16 m 1 cm 3 cm 0,440 m 0,70 m 1mm 5mm 3 1 cm 3 cm 0,70 m 0,72 m = 1 mm 4 = 1 cm 0 m 0,44 m = 5 mm 5 16 m 21 m = 1 cm 0,440 m 0,71 m 1mm 5mm 6 = 1 cm 0,70 m 0,72 m = 1 mm 7 1 cm 4 cm 0 m 0,44 m = 5 mm 8 21 m 39 m 1 cm 4 cm 0,440 m 0,71 m 1mm 5mm 9 1 cm 4 cm 0,70 m 0,72 m = 1 mm Tabela Descrição das dimensões da malha fina. 22

34 Figura Aspeto da malha fina na sua extremidade de montante. A definição da malha fina foi escolhida e testada de maneira a que tivesse o detalhe suficiente em algumas zonas do escoamento, nomeadamente na zona do centro do canal junto ao fundo onde são medidos com mais detalhe os perfis de velocidade, mas tentando não aumentar em demasia o tempo de cálculo. Foram definidas dez sondas numéricas, seis correspondentes às sondas de nível presentes na instalação experimental de Klopman (1994) e mais quatro em posições intermédias. As sondas numéricas registam a variação no tempo da elevação da superfície livre e da velocidade do escoamento nos pontos da malha de toda a coluna de água, e as suas posições estão representadas na Tabela 5.3. Sonda no modelo numérico Distância ao batedor (m) Sonda no modelo físico 1 5,00-2 7,50 GHM1 3 13,50 GHM2 4 15, ,15 GHM3 6 19,50 LDV1 e ,85 GHM4 8 23, ,50 GHM ,50 GHM6 Tabela Posição das sondas no modelo numérico e no modelo físico. Tal como referido, para se poder introduzir uma corrente estacionária foi necessário fazer uma adaptação ao modelo. Esta adaptação consiste na introdução de corrente em duas zonas da fronteira inferior da malha do modelo, onde se localizavam duas aberturas (orifícios) que pretendem simular as caixas de entrada e saída de caudal do modelo físico. Tal como nas caixas do modelo físico, um dos orifícios permite a entrada de caudal no canal e o outro a saída. A velocidade do caudal é controlada através dos parâmetros uinf e vinf da secção fluid parameters do ficheiro input. 23

35 5.2. Geração da agitação Para gerar as condições de agitação foi utilizado o método do batedor numérico, que consiste em introduzir, na fronteira de entrada do domínio de cálculo, o campo de velocidades horizontais e verticais e de elevação da superfície livre em cada instante de tempo e gerando assim um sistema de ondas unidirecional. Deste modo, o domínio de cálculo do modelo pode ser equiparado à instalação experimental de Klopman (1994), mais propriamente ao canal de ensaios em modelo físico equipado com um batedor. As condições de agitação no canal foram definidas através de um programa no software MATLAB, no qual são introduzidas as características das ondas a simular: a altura, o período, a teoria de onda (linear, Stokes, etc.) e a existência ou não de deriva de Stokes, e onde são gerados alguns ficheiros de dados, utilizados pelo IH-2VOF Calibração do modelo O primeiro aspeto a ser calibrado no modelo foi a geração da agitação. Anteriormente à adoção do método do batedor numérico foi utilizada uma função fonte situada em diferentes posições da malha e acompanhada de uma superfície de esponja situada na extremidade esquerda do canal. A função fonte gera um sistema de ondas que se propaga em duas direções. O limite superior da fonte deve estar submerso, o seu comprimento vertical deve ser inferior a metade da profundidade na zona de geração. A fonte deve estar localizada a uma distância de aproximadamente do limite esquerdo, sendo o comprimento de onda, e a distância ao fundo não superior a. A sua espessura horizontal deve ser menor que quatro células ou e a sua espessura vertical aproximadamente. A superfície de esponja é uma área do domínio computacional onde se procede à absorção da energia da onda que se propaga desde a função fonte até ao limite esquerdo. A espessura da mesma deve ser, no mínimo,. A esponja pode começar na célula imediatamente anterior à da função fonte. As características de geração da agitação são determinadas na secção wave parameters do ficheiro input. Nessas características incluem-se a amplitude de onda,, o período de onda,, a posição da função fonte (,, e ) e a teoria da onda. As características da esponja são determinadas na secção sponge layer do ficheiro input. Nessas características incluem-se a célula onde começa a esponja. Na Tabela 5.4, Tabela 5.5, Tabela 5.6, Tabela 5.7, e Tabela 5.8 estão representados os valores das alturas de onda máxima e média, respetivamente e assim como o período 24

36 médio da onda, obtidos em diferentes sondas numéricas, relativos aos ensaios realizados com diferentes alturas de onda, =0,12 m e =0,14 m, e posições da função fonte. =0,12 m =1,4 s =78 =82 =17 =41 Ensaio 1 Sonda (m) (m) (m) (s) 2 7,50 0,114 0,108 1, ,50 0,118 0,112 1, ,15 0,116 0,104 1, ,85 0,117 0,108 1, ,50 0,114 0,098 1, ,50 0,114 0,097 1,451 Tabela Resultados relativos ao Ensaio 1. =0,12 m =1,4 s =78 =82 =16 =30 Ensaio 2 Sonda (m) (m) (m) (s) 2 7,50 0,118 0,111 1, ,50 0,110 0,105 1, ,15 0,115 0,105 1, ,85 0,111 0,100 1, ,50 0,115 0,099 1, ,50 0,108 0,092 1,451 Tabela Resultados relativos ao Ensaio 2. =0,12 m =1,4 s =78 =82 =17 =30 Ensaio 3 Sonda (m) (m) (m) (s) 2 7,50 0,119 0,112 1, ,50 0,110 0,106 1, ,15 0,116 0,105 1, ,85 0,111 0,100 1, ,50 0,116 0,100 1, ,50 0,108 0,093 1,451 Tabela Resultados relativos ao Ensaio 3. 25

37 =0,12 m =1,4 s =78 =82 =22 =35 Ensaio 4 Sonda (m) (m) (m) (s) 2 7,50 0,114 0,110 1, ,50 0,114 0,110 1, ,15 0,116 0,106 1, ,85 0,117 0,105 1, ,50 0,116 0,100 1, ,50 0,114 0,096 1,450 Tabela Resultados relativos ao Ensaio 4. =0,14 m =1,4 s =78 =82 =17 =41 Ensaio 5 Sonda (m) (m) (m) (s) 2 7,50 0,141 0,132 1, ,50 0,133 0,126 1, ,15 0,136 0,122 1, ,85 0,136 0,120 1, ,50 0,131 0,113 1, ,50 0,131 0,107 1,450 Tabela Resultados relativos ao Ensaio 5. Os resultados apresentados nas tabelas acima referidas mostram que a utilização da função fonte produzia uma agitação ao longo do canal com uma amplitude menor à que seria desejável, pelo que foi preterida em relação ao método do batedor numérico. O segundo aspeto a ser calibrado foi a rugosidade do fundo. Para que uma das fronteiras do modelo numérico, neste caso a do fundo, seja dotada de rugosidade introduziu-se na seção boundary type do ficheiro input as características da mesma. No parâmetro nrough introduziram-se as características da rugosidade sendo estas o diâmetro dos sedimentos em metros e coeficiente de rugosidade de Nikuradse expresso como uma percentagem do valor anterior. Foram realizados ensaios com diferentes características de rugosidade, mas estes não apresentavam quaisquer diferenças quer nos valores de,, e, bem como nos valores do campo de velocidades. Como tal, este método de simular a rugosidade do fundo presente no modelo físico para o modelo numérico foi abandonado. Foi adotado outro método para simular a rugosidade do fundo. Para isso introduziu-se no fundo do canal um meio poroso com 0,02 m de espessura no qual se definem os valores da porosidade e do diâmetro mediano das partículas, D 50. O terceiro aspeto a ser calibrado foi o modelo de turbulência. Como já foi referido o modelo de turbulência usado foi o modelo κ-ε. A resolução do modelo é feita segundo o método de diferenças finitas centradas. A metodologia para calcular os termos convectivos é a mesma que 26