Construção e Análise de Figuras Regulares: elementos e características

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1 II Simpósio Ibero-Americano de Tecnologias Educacionais - SITED2018 Universidade Federal de Santa Catarina - UFSC Araranguá, SC, Brasil 11 a 13 de abril de 2018 Construção e Análise de Figuras Regulares: elementos e características Rafael dos Reis Paulo 1, André Luis Andrejew Ferreira 2, Margarete Farias Medeiros 3 Universidade Federal de Pelotas 1,2, Instituto Federal Catarinense Campus Avançado Sombrio 3 rafael.drp@hotmail.com 1, andrejew.ferreira@gmail.com 2, margarete.medeiros@ifc.edu.br 3 Resumo. Este trabalho é resultado de uma oficina aplicada na disciplina de Laboratório de Práticas de Ensino- Aprendizagem I, na qual os participantes foram os acadêmicos da 5ª fase do curso de Licenciatura em Matemática do Instituto Federal Catarinense Campus Avançando Sombrio no primeiro semestre de Apresenta-se um conjunto de atividades desenvolvidas as quais objetivaram a construção das figuras regulares com instrumentos de medidas tais como: régua, transferidor, esquadro e compasso. Após a construção das figuras com instrumentos físicos, realizouse a construção das mesmas utilizando-se o GeoGebra. Por meio do software permitiu-se destacar alguns aspectos relevantes sobre a utilização da Geometria Dinâmica em sala de aula: (a) o professor pode explorar o assunto estudado com maior profundidade; (b) detalhar as características e propriedades de forma rápida, instantânea e dinâmica, tendo maior proximidade e exatidão na construção das figuras regulares e (c) permite que o aluno, mesmo sem a presença do professor, consiga construir as figuras por meio do Protocolo de Construção de sequências já realizadas. Por fim, a utilização da Tecnologia Digital para representar e comparar figuras regulares se mostrou válida, pois os futuros professores, participantes dessa oficina constataram um melhor entendimento sobre os elementos e características das figuras regulares. Palavras-chaves: Figuras regulares, GeoGebra, Tecnologias Digitais; Educação Matemática. Introdução A Educação Matemática vem se mostrando nas últimas décadas um campo fértil de experimentação e pesquisa nos mais diversos eixos que a compõe, a saber, o currículo, a formação de professores, os estudos socioculturais, as metodologias, as tendências, entre outros. Dentre os citados, as tendências em Educação Matemática têm cumprido um papel importante na discussão e reflexão sobre o novo panorama educacional. Panorama esse que busca remodelar o ensino e a aprendizagem não apenas como requisito formal de todo estudante, mas sim, com vistas a uma formação profissional, social e moral. E, remetendo-se internamente às Tendências estudadas nessa área tem-se às Tecnologias Digitais (TD), que evocaram premissas de que a escola já não é a primeira fonte de conhecimento para os alunos e, às vezes, nem mesmo a principal, em muitos âmbitos (TORNAGHI, PRADO e ALMEIDA 2010, p.61). Isso provocou um crescimento notável de pesquisas e trabalho que objetivam a inserção dessas tecnologias em sala e, por conseguinte no ensino de Matemática. Gadanidis, Borba e Silva (2016) perceberam que a entrada desses novos artefatos tecnológicos modificara até mesmo a visão de mundo das pessoas, levando metaforicamente a relação seres-humanoscom-mídias como forma de explicar o impacto do avanço tecnológico. Todavia é necessário implementar efetivamente essas TDs como uma ferramenta (não como suporte) importante no processo de ensino e aprendizagem e, com a mesma magnitude que estão sendo utilizadas para o entretenimento. No âmbito da Matemática a criação e a inovação por meio de softwares, programação, mídias digitais e jogos ganham cada vez mais adeptos, pois a: tecnologia digital coloca à nossa disposição ferramentas interativas que incorporam sistemas dinâmicos de representação na forma de objetos concreto abstratos. São concretos porque existem na tela do computador e podem ser manipulados e são abstratos porque respondem às nossas elaborações e construções mentais (BÚRIGO et 370

2 al., 2012 p. 14). Entre várias TDs utilizadas para o ensino de matemática, destaca-se a importância dos softwares e applets que permitem que o professor tenha uma aproximação real com o objeto na qual pretende ensinar. Um software que se sobressai pela sua interface simples e dinâmica é o GeoGebra que compila as plataformas de geometria dinâmica e dos sistemas de computação algébrica, o que nos leva a revisitar perspectivas importantes da segunda fase como a experimentação com tecnologias e a visualização (GADANIDIS, BORBA e SILVA, 2016, p.14), permitindo assim, mobilizar diferentes representações de um objeto matemático. Paralelamente a isso, aponta ainda os mesmos autores que o surgimento de novas tecnologias, em especial as TDs, permitem que novos tipos de problemas matemáticos sejam investigados (2016), condicionando a resolução de certos problemas matemáticos à tecnologia em uso, procurando sempre levar em consideração para a implantação dessas tecnologias dois aspectos: Primeiro, o domínio do técnico e do pedagógico não deve acontecer de modo estanque, um separado do outro. É errôneo pensar ser, primeiramente, um especialista em informática ou em mídia digital para depois tirar proveito desse conhecimento nas atividades pedagógicas. [...]O segundo aspecto diz respeito à especificidade de cada tecnologia com relação às aplicações pedagógicas. O educador deve conhecer o que cada uma destas facilidades tecnológicas tem a oferecer e como pode ser explorada em diferentes situações educacionais. (VALENTE, 2003, p. 1-2) Nessa perspectiva de não subutilizar as tecnologias (digitais ou não) e explorar diferentes maneiras de implantá-las no meio educacional é que apresentar-se-á uma oficina realizada no Instituto Federal Catarinense Campus Avançado Sombrio (IFC-CAS) acerca de diferentes tecnologias para construção e análise de figuras regulares. Nesta oficina a construção das figuras regulares se fez de duas maneiras, a primeira utilizando instrumentos de medidas como régua, esquadro, compasso e transferidos e, a segunda com a utilização do software de matemática dinâmica (GeoGebra). Metodologia A oficina sobre a construção de figuras regulares foi realizada no IFC-CAS nas aulas de Laboratório de Práticas de Ensino-Aprendizagem I no primeiro semestre de 2015, os participantes foram os acadêmicos da 5ª fase do curso de Licenciatura em Matemática. Realizou-se um sorteio com vários conteúdos abordados no ensino fundamental séries finais e, a presente oficina relatada tratou da construção e análise de figuras regulares: elementos e características. O conjunto de atividades desenvolvidas objetivou a construção de figuras regulares com instrumentos de medidas, como por exemplo: régua, transferidor, esquadro e compasso. Após a construção das figuras foi realizado uma comparação com a construção das mesmas figuras regulares utilizando o GeoGebra. Assim, em seu desenvolvimento foram consideradas as seguintes etapas: sequência didática contendo passo a passo da construção das figuras, bem como seus elementos e características; aplicação em sala; discussão e análises das figuras construídas. Durante a execução das sequências didáticas foram registadas e anotadas as conversas que os participantes discorriam sobre a oficina, seguido de uma conversa informal com alguns deles, apenas questionando como a utilização de TDs se faz necessária na construção de figuras regulares na Educação Básica. Finalizada a escrita dos procedimentos metodológicos se apresenta na próxima seção a implementação, análise e discussão das atividades aplicadas nesta oficina. Implementação, resultados e discussão A utilização de figuras regulares não é recente, povos antigos utilizavam-na para a construção e decoração de pisos, tetos, painéis e templos. Hoje comumente chamando de mosaicos (é uma forma de 371

3 arte decorativa milenar), egípcios, persas, bizantinos, árabes, mouros, hindus e chineses já usavam esta técnica. Até mesmo as abelhas utilizam-se do hexágono regular nas construções de suas colmeias. Nas bolas de futebol também aparecem figuras baseadas em polígonos regulares (pentágonos e hexágonos). Com isso, o estudo dessas figuras se torna necessário, pois as mesmas trazem consigo características e elementos que serão construídos e analisados no nas atividades que seguem. Para o desenvolvimento da oficina sobre a construção de figuras regulares, fez-se inicialmente uma sequência didática contendo: justificativa, para enaltecer a importância da geometria e suas formas no cotidiano e; objetivos, os quais foram: Identificar e classificar formas planas por meio de suas representações em desenhos; Analisar seus elementos e características; Construir figuras regulares tais como triângulos, quadrados e pentágonos a partir de segmentos de reta, retas e circunferências, a partir de suas propriedades. Na operacionalização da aula foi relatado os fatos históricos acerca do conteúdo, mostrando imagens de figuras regulares encontradas em obras de arte, monumentos históricos e na natureza. Tendo em vista os objetivos a serem alcançados se iniciou as atividades práticas de construção de figuras regulares. A construção das figuras se realizou da seguinte maneira, enquanto um acadêmico instruía o protocolo para a construção das figuras o outro executava o passo a passo na lousa, utilizando também os instrumentos de medidas: compasso e régua. E, após a construção com os instrumentos de medidas físicos foi solicitado a construção no GeoGebra. A primeira figura a ser construída foi o triângulo equilátero, para a sua construção fez-se necessário o cumprimento dos seguintes passos: Traçar um segmento de reta (AB) utilizando a régua; Com o auxílio do compasso construa uma circunferência com o centro em A passando pelo ponto B. Em seguida construa uma outra circunferência cujo centro é o ponto B passando pelo ponto A; Observe que as duas circunferências construídas a partir do segmento se interceptam no ponto C; Traçando um segmento de reta (AC), (AB) e (BC) forma-se o triângulo equilátero (Figura 1). Figura 1 - Triângulo equilátero construído com o auxílio de régua e compasso de madeira. Fonte: Autores (2015). Como podemos visualizar na Figura 1, os segmentos criados, ou seja, (AC), (AB) e (BC) são raios das circunferências, sendo assim possuem a mesma medida caracterizando um triângulo equilátero. Tendo assim as seguintes características e elementos: três vértices (A, B e C); três lados de mesma medida ((AC), 372

4 (AB) e (BC)); soma dos ângulos internos 180º, medindo 60º cada ângulo interno; 360º é a soma dos ângulos externos e medindo 120º cada ângulo externo (as medidas de ângulos foram verificadas utilizando o transferidor como instrumento de medida). Após a construção do triângulo usando os materiais manipulativos, fez-se a necessidade de comparálo com a construção a partir do GeoGebra (Figura 2) elencando algumas características do mesmo. Figura 02 Triângulo equilátero construído com o auxílio Do GeoGebra. Fonte: Autores (2015). A construção do triângulo equilátero por meio do software permitiu destacar algumas facilidades segundo os participantes da oficina: A utilização de instrumentos de medidas é necessária no ambiente escolar, porém alguns destes instrumentos são pontiagudos e podem ser utilizados como ferramenta de perfuração, sendo de responsabilidade do professor a vigilância sobre a utilização desses materiais. Já utilizando o software, os alunos não têm contato com estes tipos de ferramentas permitindo ao professor explorar mais intensamente o assunto estudado; Durante as aulas comumente escritas na lousa, o professor se preocupa em desenhar ou representar figuras (regulares, em perspectiva ou figuras curvilíneas) o mais próximo das características conceitualmente definidas. No entanto, é notável a dificuldade de representá-las, necessitando de um maior tempo para construir, bem como, a utilização de vários instrumentos como régua, compasso, entre outros. Com a utilização do GeoGebra o professor consegue trabalhar as mesmas características e propriedades de forma rápida, instantânea e dinâmica, tendo maior proximidade e exatidão na construção das figuras; O software permite que o aluno mesmo sem a presença do professor consiga construir as figuras por meio do Protocolo de Construção (ferramenta do GeoGebra), visto que em sala de aula o aluno teria que escrever a sequência passo a passo de como o professor construiu a figura na lousa; Dentre esses aspectos levantados pelos estudantes é importante ressaltar a ferramenta Protocolo de Construção, pois permite ao professor verificar de que forma o aluno representou a figura que aparece na janela de visualização, veja na Figura 3 abaixo a construção do mesmo triângulo equilátero da Figura

5 Figura 3 Protocolo de construção do triângulo equilátero. Fonte: Autores (2015). Na oficina ministrada, fez-se também a construção do quadrado (Figura 4) na lousa e no software. Para a construção de um quadrado segue a sequência: Traçar um segmento de reta AB; Com um auxílio de um compasso construa uma circunferência com o centro A passando pelo ponto B. Em seguida, construa uma outra circunferência cujo centro é o ponto B passando pelo ponto A; Utilizando o esquadro trace uma reta perpendicular ao segmento AB, com origem no ponto B, em seguida trace outra reta perpendicular com segmento AB, com origem no ponto A; Em seguida, marque os pontos em que as retas perpendiculares interceptam as circunferências, chamando-os de ponto C e D; Através de um segmento de reta una os pontos C e D Figura 4 Comparação da construção do quadrado na lousa e no GeoGebra respectivamente. Fonte: Autores (2015). Observe no quadrado ABCD que seus lados correspondem aos segmentos que são raios das circunferências e, os ângulos internos são retos, pois utilizamos o esquadro (no software retas perpendiculares). As características e elementos são: quatro vértices; quatro lados; soma dos ângulos internos 360º, medindo 90º cada ângulo interno e; soma dos ângulos externos 360º, medindo 90º cada ângulo externo. E, para enaltecer a importância da utilização da TD na construção das figuras regulares foi construído o pentágono regular (Figura 5). Para a construção de um pentágono regular, devem seguir os passos abaixo: Com auxílio de um compasso desenhe uma circunferência centro em O; Trace dois seguimentos de retas perpendiculares entre si, interceptando-se no centro O da circunferência. Nas intersecções com a circunferência, marque os pontos E, F e G; Trace a mediatriz H do segmento OF; Com centro em H, descreva uma circunferência de raio HE e marque a intersecção com o segmento OG como I; 374

6 Abra o compasso e posicione a ponta seca em E. Descreva uma nova circunferência com raio EI e marque a intersecção com a primeira circunferência como A; Analogamente, faça novas circunferências de raio EI marcando os pontos de intersecção como B, C e D; Unindo os pontos A, B, C, D e E, formamos o pentágono ABCDE. Da mesma forma, as características e elementos são: cinco vértices; cinco lados; soma dos ângulos internos 540º, medindo 108º cada ângulo interno e; soma dos ângulos externos 360º, medindo 72º cada ângulo externo. Figura 5 Comparação da construção do pentágono regular na lousa e no GeoGebra respectivamente. Fonte: Autores (2015). As discussões sobre a construção do quadrado e do pentágono regular foram semelhantes àquelas apresentadas na construção do triângulo equilátero, salva a exceção em que os licenciandos apontaram que o pentágono regular teve maior discrepância nos valores de ângulo interno e externo comparando os que foram construídos no ambiente lápis e papel em relação ao GeoGebra. Dessa forma considera-se as palavras de Medeiros (2017, p.81): O software GeoGebra oportuniza a realização de atividades educativas, as quais seriam impossíveis, sem o apoio do computador criação de atividades de movimentação e dinamismo nas construções geométricas. Além de permitir ao estudante ir além do que o professor está propondo em sala de aula. Propicia ao estudante adentrar em caminhos até então desconhecidos pelo mesmo e, talvez pelo professor; oportuniza conjecturar, refletir sobre sua ação, abstrair e generalizar. Para tanto, uma maneira de implementar a utilização dessas duas tecnologias é a partir do quadrado realizar as construções somente no software, pois além de avançar nos demais polígonos (hexágono, heptágono) tem-se uma representação muito próxima do objeto real, ou seja, polígonos regulares. Também oportunizando ao aluno a possibilidade já comentada na citação anterior. Conclusão Ao concluir a oficina sobre a construção de figuras regulares envolvendo a utilização de instrumentos de medidas juntamente com o GeoGebra, podem-se estabelecer alguns aspectos conclusivos em relação a inserção das TDs em sala de aula. A utilização do software de matemática dinâmica para representar e comparar figuras regulares, se mostrou válida nos seguintes aspectos: na visualização dos elementos e análise das características das figuras regulares; nas construções das figuras a partir de suas propriedades; na economia de tempo e de materiais escolares; na utilização correta dos instrumentos de medidas e; garantiu maior proximidade e exatidão na construção das figuras regulares. Além disso, analisou-se a dinamicidade das figuras construídas no GeoGebra, a partir de suas 375

7 propriedades, em relação às construídas na lousa. O software possui o recurso da Geometria Dinâmica, sob a ação da ferramenta mover, tanto o professor quanto o aluno, poderão movimentar suas construções sem que a mesma se deforme, ou seja, poderá mudar de tamanho, mas continuará sendo uma figura semelhante à figura original não perdendo suas propriedades iniciais. E, também, o professor que utiliza recursos tecnológicos digitais não necessita possuir formação específica na área para utilizar softwares ou applets, é necessário que o mesmo saiba manipular as ferramentas do aplicativo tendo o domínio dos conceitos e suas definições, bem como ser um mediador entre o objeto m estudo e o aluno. Agradecimentos À Fundação de Amparo à pesquisa do Estado do Rio Grande do Sul (FAPERGS) e Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior (CAPES) pelo apoio financeiro. Referências BÚRIGO, E. Z.; BASSO, M. V.; GARCIA, V. C. V.; GRAVINA, M. A. Matemática, mídias digitais e didática: tripé para formação do professor de matemática. Porto Alegre: EVANGRAF, GADANIDIS, D.; BORBA, M. C.; SILVA, R. S. R. Fases das tecnologias digitais em educação matemática: sala de aula e internet em movimento. Belo Horizonte: Autêntica, MEDEIROS, M.F. et al. A Atenção Voluntária na Construção de Conceitos Trigonométricos em Ambientes de Geometria Dinâmica. Brazilian Journal of Computers in Education (Revista Brasileira de Informática na Educação -RBIE), 25(1), 77-93, Disponível em: Acesso em: 29 mar.2018 TORNAGHI, A. J. C.; PRADO, M. E. B. B.; ALMEIDA, M. E. B. Tecnologias na educação: ensinando e aprendendo com as TIC: guia do cursista. Brasília: MEC/SED, VALENTE, J. A. Pesquisa, comunicação e aprendizagem com o computador. Série Pedagogia de Projetos e Integração de Mídias - Programa Salto para o Futuro, set., 2003.CESED. Portal CESED. Disponível em: < Acesso em: 16 ago