POSSIBILIDADES DO USO DO GEOGEBRA NAS AULAS DE GEOMETRIA DO ENSINO FUNDAMENTAL II
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1 POSSIBILIDADES DO USO DO GEOGEBRA NAS AULAS DE GEOMETRIA DO ENSINO FUNDAMENTAL II Lahis Braga Souza¹ Marcela Souza Silva² ¹ Universidade Estadual Paulista Júlio Mesquita Filho Rio Claro/ Departamento de Educação Matemática ²Universidade Estadual Paulista Júlio Mesquita Filho São José do Rio Preto/ Departamento de Matemática - marcela.bel@hotmail.com RESUMO Neste minicurso serão propostas algumas atividades a fim explorar conteúdos de Geometria do Ensino Fundamental II com o software GeoGebra. Dentre os temas que serão abordados, destacamos: aréa, perímetro, propriedades de quadriláteros e soma de ângulos internos, entre outros. No presente texto, pretendemos apresentar brevemente sobre as ações governamentais, o uso de Tecnologias Digitais e do software GeoGebra, bem como as atividades que serão abordadas neste minicurso. Com esta proposta esperamos contribuir na formação do professor de Matemática apresentando meios para o uso do GeoGebra em aulas de Geometria. Palavras-chave: Educação Matemática; Tecnologias Digitais; Atividades Exploratórias A PROPOSTA As Tecnologias Digitais (TD) estão cada vez mais presentes na sociedade e com o intuito de fomentar a inserção destas no meio educacional, alguns programas governamentais federais e estaduais foram desenvolvidos, tais como: o Educom 1, o Formar 2 e o Proninfo 3. Atualmente, um projeto do governo que lida com esta questão é o Proinfo, um programa federal criado, para promover o uso pedagógico das TD na rede pública da educação básica. O programa leva às escolas computadores, recursos digitais e conteúdos educacionais. Em contrapartida, estados, Distrito Federal e municípios devem garantir a estrutura adequada para receber os laboratórios e capacitar os educadores para uso das máquinas e tecnologias (BRASIL,1997). Entretanto, embora investimentos tenham sido feitos na área, muitas vezes os computadores não são utilizados para fins didáticos e pedagógicos. Segundo Borba e Penteado(2003, p.17): [...] o acesso à informática na educação deve ser visto não apenas como um direito, mas como parte de um projeto coletivo que prevê a democratização de acessos a tecnologias desenvolvidas por essa mesma sociedade. É dessas duas 1 Educação e Computadores. 2 Projeto Nacional de Formação de Recursos Humanos em Informática na Educação. 3 Programa Nacional de Informática na Educação, lançado em 1997 pela Seed/MEC.
2 formas que a informática na educação deve ser justificada: alfabetização tecnológica e direito ao acesso. E nesse sentido, Borba e Penteado (2003, p. 25) argumentam que.[...] é preciso que, além do equipamento, os programas do governo incentivem e fiscalizem a infra-estrutura oferecida pelas escolas. Se a atividade com informática não for reconhecida, valorizada e sustentada pela direção da escola, todos os esforços serão pulverizados sem provocar qualquer impacto dentro da sala de aula Notamos assim que tem ações para implementar as TD em sala de aula, e que estas estão cada vez mais presentes como meio de acesso ao conhecimento e favorecedor da troca de informações, portanto acreditamos que os professores podem buscar o apoio nessas visando possibilitar outros meios de ensino e aprendizagem. Sobre esse aspecto, os PCNs afirmam que: As tecnologias, em suas diferentes formas e usos, constituem um dos principais agentes de transformação da sociedade, pelas modificações que exercem nos meios de produção e por suas consequências no cotidiano das pessoas. [...] Além disso, tudo indica que pode ser um grande aliado do desenvolvimento cognitivo dos alunos [...] (BRASIL, 1998, p ). Entre estas TD encontra-se o software GeoGebra, um software livre e compatível com os sistemas operacionais Windows e Linux que foi criado em 2001 por Markus Hohenwarter na Universitat Salzburg. Um software educativo, dinâmico e gratuito que auxilia no ensino de Matemática e combina Geometria, Álgebra, Tabelas, Gráficos, Estatística e Cálculo. Este software tem sido utilizado no mundo todo, seja por educadores ou outros profissionais nas mais diversas áreas, principalmente em interesse didático e pedagógico. Por ser um sistema dinâmico de geometria este permite que ao movimentarmos seus elementos, as relações geométricas da figura sejam preservadas. Concordamos com Santos (2006, p. 33) que acredita que [...] com estes softwares é possível investigar diferentes variações de uma construção geométrica e, consequentemente, inferir propriedades, chegar a generalizações e verificar teoremas com isto tornar o estudo dos conteúdo mais dinâmico, favorecendo a compreensão dos conceitos e relações geométricas. O software é uma importante ferramenta que pode estimular o interesse pela matemática, além de permitir a abordagem de diversos conteúdos. Pintro (2009), ao utilizar o software nas aulas de matemática destaca que Através das próprias ferramentas do GeoGebra os alunos foram introduzindo em seu vocabulário, com mais naturalidade, os seguintes conceitos: reta paralela, reta perpendicular, bissetriz, segmento definido por dois pontos, ponto (par ordenado), ponto médio, ponto de interseção, polígono, polígono regular, área, distância, comprimento ou perímetro, ângulo e reflexão com relação a uma reta (simetria). [...] Eu percebi que meus alunos têm aprendido muitos conceitos matemáticos enquanto se familiarizam com as ferramentas do GeoGebra da mesma maneira que um dia aprenderam a caminhar, a falar, a se alimentar e a tomar banho (PINTRO, 2009, p.4-5). Entretanto vale ressaltar, que além das potencialidades oferecidas pelo software existem outros aspectos fundamentais a serem considerados com relação ao uso educacional de uma tecnologia como, por exemplo, o papel do professor, o design ou natureza proposta, dentre outros (BORBA; SCUCUGLIA; GANADINIS, 2014, p.
3 48).Em relação ao papel do professor, é necessário despertar a sua curiosidade e fomentar para o uso software em sala de aula pois muitos fatores estão em jogo quando se insere as TD no ambiente de ensino, como por exemplo o domínio da máquina e do software, o controle da turma, os imprevistos quanto às limitações do equipamento, etc, e tudo isso pode ser desmotivador de sua prática. Desta forma, para contribuir com a inserção das TD nas aulas e na formação do professor de Matemática, este minicurso visa a utilização deste software, o GeoGebra, onde o professor e o futuro professor, terá a oportunidade de experienciar o uso deste para o ensino de Geometria no Ensino Fundamental. METODOLOGIA E ATIVIDADES Caracterizamos as atividades desse minicurso como exploratórias e investigativas, como dito anteriormente e concordamos com Santos (2006, p. 38) que acredita que umas das consequências do uso de softwares de Geometria é que [...] um ambiente com características próprias é criado, no qual as construções podem ser submetidas à prova do arrastar, do dinamismo, do movimento, da animação, de modo que as propriedades e conjecturas formuladas poderão ser testadas para vários casos e validadas ou refutadas. Partindo disto as atividades aqui expostas foram elaboradas pensando na prática do professor de Ensino Fundamental II, que possuem alguma familiaridade com GeoGebra, entretanto daremos suporte para os participantes que não possuem esta familiariadade. Essas atividades tem destaque os conteúdos de Geometria Plana, as quais podem ser trabalhadas em sala de aula pelo professor. O minicurso ocorrerá de forma dinâmica, com resolução síncrona das atividades, análise de possibilidades de resolução, levando-se em consideração o que o participante do minicurso conhece sobre o tema e também apresentando aos participantes modo de solução para a atividade. Além disso, vamos expor modelos de atividades que o professor pode trabalhar em sala de aula baseado em livros didáticos. Na seção a seguir apresentamos as atividades que serão desenvolvidas neste minicurso. PARTE 1 - INTRODUÇÃO AO GEOGEBRA 1)Marcar dois pontos A e B. Determinar o ponto médio. Mover o ponto B. O que ocorre com o ponto médio? Porque isto ocorre? Movimente o ponto C. O que ocorre? Porque isto ocorre? 2)Criar dois pontos A e B. Use a ferramenta mover para movimentá-los. Construa uma reta r que passe pelos dois pontos. Em seguida, apague o ponto A (clique sobre o ponto com o botão direito do mouse em apagar). O que ocorreu? Porque isto ocorre? 3) Construir um segmento AB qualquer. Crie um novo segmento CD de mesmo tamanho de AB com a ferramenta segmento com comprimento fixo 4) Com segmento construído anteriormente, construa um de raio AB, marque um ponto C sobre o e esconder o círculo. Mover o ponto C. O que ocorre ao mover o ponto C? Porque isso ocorre? 5) Criar uma reta AB. Mova um dos pontos que a definiram. O que pode ser verificado? O que ocorre na Zona Algébrica? Marcar um ponto com a ferramento ponto em objeto sobre a reta tentar movê-lo. O que ocorre? Porque você acha que isso ocorre?
4 6) A ferramenta polígono e a ferramenta polígono regular, construa um quadrilátero, um pentágono e um hexágono com a ferramenta polígono. Com a ferramenta polígono regular, construa um polígono com número de lados 200. Altere o zoom para melhor visualização. O que pode observar. PARTE 2 GEOMETRIA 1) Construa um quadrilátero que tenha pelo menos dois ângulos retos e dois pares de lados paralelos e com mesma medida. Questões:i) Qual quadrilátero foi obtido nessa construção? Justifique sua resposta. ii) Use a ferramenta Mover e responda os itens a seguir:a) Os lados opostos deixaram de ser paralelos? O que acontece com as suas medidas? b) O que você pode observar nos ângulos? c) Com a ferramenta faça ângulo obtenha a medida dos ângulos internos desse quadrilátero. Quanto vale a soma de todos os ângulos internos? iii)o retângulo satisfaz todas as propriedades desse quadrilátero? 2) Construa um quadrilátero cujo os lados opostos sejam paralelos e os lados possuem mesma medida.questões i)qual quadrilátero foi obtido nessa construção? Justifique sua resposta. ii) Use a ferramenta Mover e responda os itens a seguir: a) Os lados opostos deixaram de ser paralelos? O que acontece com as suas medidas? b) O que você pode observar nos ângulos opostos?c) Use a ferramenta entrada e some os ângulos de vértice A e vértice E. O que podemos observar? Esses ângulos são complementares ou suplementares? d) Com a ferramenta faça ângulo obtenha a medida dos ângulos internos desse quadrilátero. Quanto vale a soma de todos os ângulos internos? e) Movimente os pontos da construção e transforme o quadrilátero construído em um quadrado. O que o diferencia do anterior? 3)Construa um quadrilátero cujo os lados opostos sejam paralelos. i) Qual quadrilátero foi obtido nessa construção? Justifique sua resposta. ii) Use a ferramenta Mover e responda os itens a seguir:a) Os lados opostos deixaram de ser paralelos? O que acontece com as suas medidas?b) O que você pode observar nos ângulos opostos?c) Use a ferramenta entrada e some os ângulos de vértice A e vértice B. O que podemos observar? Esses ângulos são complementares ou suplementares?d) Com a ferramenta faça ângulo obtenha a medida dos ângulos internos desse quadrilátero. Quanto vale a soma de todos os ângulos internos?e) Movimente os pontos da construção e transforme o quadrilátero construído em um quadrado. O que o diferencia do anterior?f) Movimente os pontos da construção e transforme o quadrilátero construído em um retângulo. O que o diferencia do anterior? iii) O retângulo satisfaz todas as propriedades desse quadrilátero? iv ) O retângulo pode ser um paralelogramo especial? v) O retângulo pode estar incluído em outro grupo? 4) Construa um quadrilátero que possui um par de lados paralelos. Qual quadrilátero foi obtido nessa construção? Justifique sua resposta. Com a ferramenta ângulo meça os ângulos internos desse quadrilátero. Quanto vale a soma de todos os ângulos internos? Use a ferramenta entrada. Ao mover os pontos da construção, o que acontece com a soma dos ângulos internos desse quadrilátero? Discussão: O retângulo satisfaz todas as propriedades desse quadrilátero? Paralelogramo satisfaz todas as propriedades desse quadrilátero? 5) Construa um retângulo de forma que possamos alterar tanto a base quanto sua altura. Construa um retângulo de forma que possamos alterar sua altura e tenha base de 5cm. Movimente o Controle Deslizante para que o primeiro retângulo tenha base de 12,5cm e altura de 8cm. O que é preciso fazer para que o segundo retângulo tenha a mesma área que
5 o primeiro? Vou comprar um terreno. Tenho duas opções com medidas do retângulos da questão 1. Após compra-lo terei que cerca-lo. Qual dos dois terrenos seria mais vantajoso comprar? Por quê? É possível ter dois retângulos com base e altura diferente com o mesmo perímetro? 6) Construa um reta r, usando a ferramenta reta definida por dois pontos. Construa com a ferramenta reta paralela uma reta s paralela a reta r. Marque os pontos D e E sobre a reta s. Com a ferramenta polígono construa os triângulos ABD e ABE. Com a ferramenta área calcule a área do triângulo ABD e ABE. O que você pode observar em relação as áreas desses triângulos? Você acha que isto acontece por que? Movimente os pontos D e E, e descreva o que acontece com as medidas das áreas desses triângulos e se possível justifique o por que acontece. Com a ferramenta ângulo meça os ângulos do triângulo ABE. Quanto vale a soma de todos os ângulos internos? Use a ferramenta entrada. Com a ferramenta mover, mova o ponto E. O que acontece com a soma dos ângulos internos do triângulo ABE? 7) Construa uma reta AB. Crie um ponto C tal que C não pertença a reta AB. Trace uma reta paralela a reta AB passando pelo ponto C. Trace uma reta que passe por A,C e uma reta que passe por B,C. Marque um ponto D na reta paralela a reta AB, a direita de C; e um ponto E a esquerda do ponto C. Marque um ponto F na reta AB a esquerda do ponto A e o ponto G a direita do ponto B. Com a ferramenta ângulo, meça os ângulos internos do triângulo ABC (Clique no sentido horário). Com a ferramenta ângulo, meça o ângulo BCD e ACE. O que pode observar? Como são chamados esses ângulos? Qual o valor da soma dos ângulo ECA, ACB e BCD? (Verifique sua resposta usando a ferramenta entrada) O que você pode dizer com relação a soma dos ângulos do triângulo ABC? (Verifique sua resposta usando a ferramenta entrada). 8) Vamos agora formalizar e compreender o conceito de Simetria da Reflexão. No GeoGebra foi fornecido uma imagem. Conforme abaixo: Em seguida, usando a ferramenta reflexão em relação a uma reta, gere um figura simétrica em relação ao eixo Y. Marque três pontos equivalentes em ambas figuras, A, B e C na figura original, e A', B', C' na figura refletida usando a ferramenta reflexão em relação a uma reta. Usando a ferramenta distância, comprimento ou perímetro determine a distância entre cada um dos pontos e o eixo Y. Qual a relação existente entre as distâncias entre cada um dos pontos com o eixo y? Movimente os pontos da figura inicial. O que ocorre com as distâncias? Movimente os pontos da figura inicial. O que ocorre com as distâncias? CONSIDERAÇÕES O objetivo deste mini curso é apresentar as possibilidades do GeoGebra no ensino de Geometria no Ensino Fundamental II. Este software e outras Tecnologias Digitais têm
6 se revelado importantes recursos para o ensino de Matemática e de conceitos que muitas vezes não podem ser explorados apenas com lousa e giz, e neste minicurso procura-se evidenciar as potencialidades em sala de aula no ensino de Geometria. Acredita-se que é importante oferecer ao professor a oportunidade de conhecer e experenciar recursos e metodologias que possam contribuir com sua prática e, assim, possibilitar mudanças em suas concepções. REFERÊNCIAS BORBA, M. C; PENTEADO, M. G., Pesquisas em Informática e Educação Matemática. Educação em Revista. Belo Horizonte, n. 36, p BORBA, M. C.; SCUCUGLIA, R. R.S., GADANIDIS, G. (2014) Fases das Tecnologias Digitais em Educação Matemática: sala de aula e internet em movimento. Belo Horizonte: Autêntica. BRASIL, Parâmetros Curriculares Nacionais: ensino médio. Brasília: Ministério da Educação, 1998 BRASIL. Ministério da Educação: Programa Nacional de Tecnologia Educacional (ProInfo) Disponível em < >. Acesso em 11 maio.2015 PINTRO,A.L. Uso do software GeoGebra nas aulas de matemática do ensino fundamental II. In: Conferência Latino Americana de GeoGebra, n.1, São Paulo, p.1-9. SANTOS, S. C. A Produção Matemática em um Ambiente Virtual de Aprendizagem: o caso da geometria euclidiana espacial. Dissertação (Mestrado em Educação Matemática) Instituto de Geociências e Ciências Exatas, Universidade Estadual Paulista, Rio Claro, 2006.
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