Atividade. Série SuperLogo Desafios Geométricos Nível: Ensino Médio. Secretaria de Educação a Distância. Ministério da Ciência e Tecnologia
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- Cláudio Mateus Brás Mirandela
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1 Atividade Desenvolvido por MDMat Mídias Digitais para Matemática Com o apoio da Universidade Federal do Rio Grande do Sul Série SuperLogo Desafios Geométricos Nível: Ensino Médio Em parceria com o Instituto de Matemática da UFRGS Este material está licenciado sob uma licença Creative Commons. Secretaria de Educação a Distância Ministério da Ciência e Tecnologia Ministério da Educação
2 2 FICHA TÉCNICA INTRODUÇÃO Nível de ensino Ensino Médio Descrição Esta atividade apresenta um método para a obtenção de uma fórmula para o cálculo da área de polígonos regulares e implementa essa fórmula no software SuperLogo. Conteúdos matemáticos envolvidos Geometria Plana e Trigonometria: Área de polígonos regulares, ângulos internos e externos de polígonos e funções trigonométricas. Objetivos Desenvolver o raciocínio geométrico e dedutivo. Relacionar diferentes propriedades dos polígonos regulares. Tempo necessário Duas aulas Alguns conceitos geométricos podem ser explorados no ambiente SuperLogo através de uma linguagem de programação simplificada capaz de desenvolver o raciocínio geométrico do aluno, tornando-o capaz de fazer deduções e estabelecer relações matemáticas de uma maneira divertida e desafiadora. Nesta atividade, o desafio consiste em criar um procedimento capaz de calcular a área de qualquer polígono regular. Para isso, dividiremos a atividade em duas partes: a primeira consiste na dedução de uma fórmula para o cálculo da área de qualquer polígono regular; a segunda consiste na implementação da fórmula obtida no software SuperLogo acrescentando um comando para que a tartaruga desenhe os polígonos regulares. Ao longo do texto utilizaremos alguns conceitos geométricos que, por esse motivo, precisam ser discutidos e trabalhados previamente ou ao longo da atividade.
3 3 Parte 1 Deduzindo a fórmula Observe os seguintes polígonos regulares: Para lembrar... Sabemos que polígonos regulares podem ser inscritos em circunferências de centro, tal que seja equidistante aos vértices do polígono. Podemos encontrar o centro das circunferências através da intersecção das bissetrizes dos ângulos internos dos polígonos, como na figura abaixo: Polígonos regulares são polígonos que possuem todos os seus lados congruentes e todos os seus ângulos internos congruentes. Bissetriz de um ângulo é uma semirreta interna ao ângulo, com origem no vértice do ângulo e que o divide em dois ângulos congruentes. Dessa forma, dividimos cada polígono regular em triângulos congruentes. Observe que o número de triângulos é exatamente o número de lados do polígono.
4 4 Assim, para calcularmos a área de cada polígono regular basta calcularmos a área de um dos triângulos que compõe o polígono e então, multiplicar o valor da área de um triângulo pela quantidade de triângulos. Para calcularmos a área de um triângulo, basta utilizarmos a fórmula, onde e são as medidas da base e da altura do triângulo, respectivamente. Note que, neste caso, descobrir a altura do triângulo. coincide com a medida do lado do polígono, sendo então necessário, apenas Descobrindo o valor de : Para obtermos a altura do triângulo, podemos utilizar a função tangente. Para isso, vamos considerar os triângulos retângulos de base, onde é a medida do lado do polígono, altura e ângulo que é oposto à, conforme a figura abaixo:
5 5 Pergunta Podemos utilizar as funções seno ou cosseno no lugar da função tangente para descobrir o valor de? Dessa forma, ( ) e, portanto, ( ). Contudo, ainda precisamos conhecer o valor do ângulo, pois a altura depende de. Observe que o ângulo externo de um polígono regular tem medida, onde é o número de lados do polígono e o ângulo interno de um polígono regular tem medida ângulo externo, isto é,. Por exemplo, observe as figuras abaixo: Resposta: Para usarmos as funções seno ou cosseno precisaríamos conhecer o valor da hipotenusa do triângulo retângulo que, neste caso é o raio da circunferência, o qual é desconhecido.
6 6 Note que o ângulo externo do triângulo equilátero mede. No quadrado o ângulo externo é que é exatamente igual a. que é exatamente igual a Um ângulo interno de um polígono é aquele formado entre dois lados consecutivos. Nos polígonos regulares, o ângulo externo é suplementar ao ângulo interno, isto é, somam O ângulo interno do triângulo equilátero é igual a que é igual a. O ângulo interno do quadrado é igual a Como isto ocorrerá com todos os polígonos regulares, podemos descobrir o valor do ângulo a partir do número de lados do polígono em questão.
7 7 Temos que o valor de é igual à metade da medida do ângulo interno do polígono, isto é, Neste momento, possuímos todos os dados necessários para o cálculo da área de polígonos regulares. Assim, obtemos a seguinte fórmula: ( ( ) ( )) ( ( ) ( )) ( ) A fórmula encontrada calcula a área de qualquer polígono regular. Basta escolhermos quantos lados o polígono terá (variável ) e o tamanho de cada lado (variável ). Observe A fórmula encontrada depende exclusivamente do número de lados do polígono regular e da medida de cada lado. Além disso, o valor n deve ser um número natural maior do que (lembre-se que não existe polígono com 1 ou 2 lados) e o valor L pode ser qualquer número real positivo.
8 8 Parte 2 Ensinando a tartaruga Agora, vamos criar um procedimento no software SuperLogo para calcular a área de um polígono regular qualquer, utilizando a fórmula encontrada. Nesse procedimento a tartaruga deverá desenhar o polígono regular e calcular a sua área. As entradas deverão ser o número de lados do polígono e o tamanho de cada lado. Para isso, precisaremos utilizar dois comandos básicos do SuperLogo: escreva e repita. O comando escreva será responsável por escrever na janela de comandos o valor da área do polígono regular em questão. O comando repita será necessário para que a tartaruga desenhe o polígono regular. Para desenhar o polígono regular, a tartaruga precisará andar para frente o tamanho do lado do polígono e após, girar para direita a medida do ângulo externo do polígono, e então, andar para frente e girar para direita a medida do ângulo externo do polígono novamente, e assim sucessivamente, até que todos os lados do polígono tenham sido desenhados. Por exemplo, para que a tartaruga desenhe um quadrado cuja medida do lado é 100, devemos dar os seguintes comandos: pf 100 pd 90 pf 100 pd 90 pf 100 pd 90 pf 100 pd 90
9 9 Observe que o número de vezes que a tartaruga executa os comandos pf e pd em sequência é exatamente o número de lados do polígono em questão. Por exemplo, para desenhar o quadrado devemos repetir 4 vezes os comandos pf e pd em sequência. Como o número de lados do polígono é, ela precisará repetir esses comandos vezes. Isto pode ser ensinado para tartaruga através do comando repita, da seguinte forma: repita :n[pf :L pd 360/:n] Onde :n é o número de lados do polígono e :L é o tamanho de cada lado. Lembre-se que pf significa andar para frente, pd significa girar para direita e 360/:n é o ângulo externo do polígono, como vimos anteriormente. Ainda precisamos ensinar para a tartaruga a fórmula que encontramos. Isso pode ser feito através do seguinte comando: escreva :n*(:l*(tan ( /:n)/2)*:L/2)/2 Observe que o comando acima é exatamente a fórmula encontrada na primeira parte da atividade Combinando os dois comandos acima, obtemos o seguinte procedimento, que chamaremos de polígono : aprenda polígono :n :L escreva [A área deste polígono é] escreva :n*(:l*(tan ( /:n)/2)*:L/2)/2 repita :n[pf :L pd 360/:n] fim
10 10 Utilizando o procedimento Na janela de comando, escrevemos o nome do procedimento (polígono) e os valores das variáveis :n e :L. Por exemplo, se escrevermos na janela de comandos polígono estaremos pedindo que a tartaruga desenhe um quadrado cujo lado mede 100 e calcule sua área. Caso desejemos saber a área de um pentágono regular cuja medida do lado é 30, bastará escrever na janela de comandos polígono É importante ressaltar que o SuperLogo utiliza um ponto no lugar da vírgula na notação decimal. Veja abaixo alguns polígonos regulares com lado medindo 100 u.c..
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