Notas de Aula de Álgebra 2 Segundo semestre de 2010 Prof. Juan Carlos

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1 Notas de Aula de Álgebra 2 Segundo semestre de 2010 Prof. Juan Carlos J.P. Kerr Catunda, aka Yoshi 17 de setembro de 2010 Sumário 1 Aula 1 - Introdução /08/2010 Aula 2 - Grupos Operação Binária (ou Lei de Composição Interna) Operações binárias e Tabelas (Tábuas???) Definição de Grupo Proposição Prova Proposição Prova /08/2010 Aula 3 - Grupos Revisão Exercício para próxima sexta feira proposição Exemplo Grupos finitos e Tábuas Subgrupos Exercício para próxima sexta feira Solução /08/2010 Aula 4 - Subgrupos Revisão Subgrupos Subgrupos triviais - 1 e G Teorema Problema Subgrupos cíclicos Grupo de permutações

2 4.5.1 História Permutações Interpretação geometrica A composição de funções /08/2010 Aula 5 - Grupo Diedral D Lista 1 disponível Revisão Grupo diedral D Órbitas, ciclos e grupo alternado /08/2010 Aula 6 - Decomposições /08/2010 Aula 7 - Paridade Revisão Paridade Grupos cíclicos /08/2010 Aula 8 -? Revisão Propriedades Exercício para dia continuando Classes laterais e o teorema de Lagrange /08/2010 Aula 9 - Classes laterais Lista Equivalências a esquerda e direita Exercício para próxima sexta feira 27/08 - Difícil Homomorfismos e grupos quocientes - Cap 3[1] /08/2010 Aula 10 - Homomorfismo Revisão Homomorfismo Exercício Kernel (Núcleo) /08/2010 Aula 11 - Grupos normais Revisão Grupos Normais Proposição Propriedade Isomorfismos e o Teorema de Cayley Quando dois grupos são isomorfos? Exercício para 03/09/

3 12 25/08/2010 Aula 12 - Teorema de Cayley Revisão Teoremade Cayley Grupo Quociente /08/2010 Aula 13 - Isomorfismos Revisão o teorema de isomorfia (isomorfismo?) Teorema o teorema de isomorfia (isomorfismo?) /09/2010 Aula 14 -? Informes Revisão Exercício para dia 13/09/ Exercício em classe Produto direto e grupos abelianos finitamente gerados Teorema de classificação de grupos abelianos /09/2010 Aula 15 - Revisão pré prova Definições /09/2010 Aula 16 - Teoria de anéis Anéis 31 3

4 1 Aula 1 - Introdução 2 05/08/2010 Aula 2 - Grupos 2.1 Operação Binária (ou Lei de Composição Interna) Uma operação binária em um conjunto A não vazio é simplesmente uma aplicação : A A A. Exemplo: (a, b) a b Ex.: Soma de racionais, reais, complexos,... Produto de racionais, reais, complexos,... Ex em N: mdc(a,b) Ex em Q + : Definimos * como a/b 2.2 Operações binárias e Tabelas (Tábuas???) Uma operação binária * sobre um conjunto finito A = {a 1, a 2,..., a n } é dada por uma tábua a 1 a 2 a 3... a n a 1. a 2. a a i a j. a n Tabela simétrica indica opetação comutativa 2.3 Definição de Grupo Parte do trabalho De Galoir e Abel. Um grupo é um par (G,*) onde G é um conjunto não vazio e * uma operação binária em G satisfazendo 1. Associatividade: (a b) c = a (b c), a, b, c G 2. Elemento neutro: Existe e G tal que a G, e a = a e = a 3. Elemento inverso: Existe a 1 G tal que a a 1 = a 1 a = e Alguns grupos também possuem a propriedade comutativa: a, b G, a b = b a. Estes chamamos de Grupos Abelianos. Ex.: Não abeliano: R numeros reais M n (R) são as matrizes n n sobre R Gl n (R) = A M n (R) deta 0 4

5 Se n 2, então Gl n (R) é um grupo não comutativo com a op. binária produto de matrizes. Ex. Importantes: 1. Soma de numeros inteiros (ou racionais, reais e complexos) 2. Produto de números racionais (ou reais e complexos) Por que os grupos são importantes? Se queremos resolver a equação dada em R: 2 x + 3 = 5 (2 x + 3) + ( 3) = 5 + ( 3) [G3 para +] (2 x + (3 + ( 3)) = 2 [G1 para +] 2 x + 0 = 2 2 x + 0 = 2 [G2 para +] [ 1 2 2] x = 3 2 [G3 para ] [1 x = 3 2 x = 3 2 [G2 para ] Proposição 1 Seja (G,*) um grupo, a, b, c G. 1. Se a b = a c então b = c (Cancelameno a esquerda) 2. Se a b = c b então a = c (Cancelameno a direita) Prova 1 Suponha que a b = a c, então: a 1 [a b] = a 1 [a c] [por G3] [a 1 a] b = [a 1 a] c [por G1] e b = e c [por G3] b = c [por G2] Proposição 2 Seja (G,*) um grupo. 1. O elemento e de G2 é único 2. O elemento a 1 de G3 é único 3. (a b) 1 = b 1 a 1 5

6 2.3.4 Prova 1: Se e 1 G fo também um elemento neutro em G, então e 1 x = x e 1 = x, x G Se olharmos e como elemento neutro e 1 e = e e 1 = e 1 Se olharmos e 1 como elemento neutro e 1 e = e e 1 = e Logo e 1 = e 2: Supor que a 1 1 a = a a 1 } 1 = e a 1 2 a = a a 1 a 1 2 = e 1 a = a 1 2 a Pela lei da cancelatividade a 1 1 = a /08/2010 Aula 3 - Grupos 3.1 Revisão (G, ) grupo se: G é conjunto não vazio : G G operação binária em G que satisfaz G1 (assossiativa), G2 (elemento neutro) e G3 (elemento simétrico (inverso?)) Prop. 1: Lei de cancelamento Prop. 2: e é único e a 1 é único. 3.2 Exercício para próxima sexta feira Seja (G, ) grupo. Definamos g 1... g k := g 1 (g 2... (g k 1 g k )) Provar por indução sobre k que para todo g 1... g k G e q um arranjo de parêntese (g 1,..., g k ) = g 1... g k Dem.: k = 1 : trivial k = 2 : trivial k = 3 : g 1 (g 2 g 3 ) = (g 1 g 2 ) g 3 k = 4 : g 1 (g 2 (g 3 g 4 )) = (g 1 g 2 ) (g 3 g 4 ) = ((g 1 g 2 ) g 3 ) g 4 Ou seja: Se temos a propriedade associativa para três elementos, temos a propriedade associativa para um número arbitríario de elementos. 3.3 proposição 3 A equação a x = b (ou x a = b) tem solução única, para cada a e b no grupo (G, ) Dem.: 6

7 Existência. x = a 1 b é solução a (a 1 b) aplica G1 = (a a 1 ) b = e b = b Unicidade: Se a x = b e a y = b a x = a y x = y Notação por convenção Temos duas notações pra grupos: notação aditiva e a notação multiplicativa. notação aditiva notação multiplicativa Op. binária + a+b a b ou ab El. Neutro zero 0 El. Unidade 1 El. simétrico oposto -a inverso a 1 grupo comutativo grupo comutativo Exemplo C n = {(cos( 2kπ 2kπ n ) + i sin( n )) k = 0, 1, 2,..., n 1} = {e 2kπ n i k = 1, 2,..., n} É um grupo em relação ao produto em C 1 C C n se z 1, z 2 C n (z 1, z 2 ) n = z1 n zn 2 = 1 1 = 1 Se z C n ( 1 2 )n = 1 z = 1 n 1 = 1, portanto 1 z C n C n grupo de n elementos Def. A ordem de um grupo G é o cardinal de G. G pode ser finito e infinito 3.4 Grupos finitos e Tábuas Problema: Quais são os grupos de ordem pequena? G = 1 : G = 1, 1 1 = G = 2 : G = 1, a, 1 1 = 1 e 1 a = a 1 = a 1 a 1 1 a a a 1 G = 3 : G = 1, a, b, 1 1 = 1 e 1 a = a 1 = a 1 a b 1 1 a b a a b 1 (C 3, ) = (Z 3, +) Pois só existe um grupo de ordem 3. b b 1 a G = 4 : 7

8 Grupo de Klein 1 a b c 1 1 a b c a a 1 c b b b c a 1 c c b a 1 Grupo cíclico de ordem 4 1 a b c 1 1 a b c a a b c 1 (C 4, ) b b c 1 a c c 1 a b Existem dois grupos de ordem 4 essencialmente distintos. É muito difícil catalogar todos os grupos. Em geral: Se G = {1, a 2,..., a n }, então 1 a 2... a i... a n 1 a 2... a j a i a j. a n 3.5 Subgrupos. G grupo S G é estável (ou fechado) se a b S para todo a, b S Ex.: (Z, +) S = sz = {pares} Dado um grupo G e S G, S estável, podemos considerar a op. binária em S induzida pela op. binária em G. S é um subgrupo de G se for estável e com a op. binária induzida, S for ele mesmo um grupo. Denotamos por S g Obs.: Todo grupo G possui 2 subgrupos triviais: H = 1 e H=G. Ex.: 2Z Z com a operação soma. 2Z pois 0 2Z 2Z é estável: 2m, 2n Z (2n) + (2m) = 2(n + m) 2Z e 0 2Z Se 2n 2Z, então 2( n) 2Z e 2n + 2( n) = 2(n n) = 2 0 = 0 Ex.: C n < S 1 C com S 1 = {z C z = 1} e C = {0} Ex.: Grupo de ordem 4 O grupo cíclico de ordem 4 tem apenas um subgrupo próprio (= não trivial) {1, b} Se H < G, a H a a = b H e 8

9 G a, b H = a b = c H H = G Grupo de Klein {1, a} < G, {1, b} < G, {1, c} < G são os únicos subgrupospróprios de desenhinho de reticulado a lá booleana G {1, a} {1, b} {1, c} {1} Exercício Sejam H, K G 1. É verdade que H K < G? 2. Provar que H K G 3.6 Exercício para próxima sexta feira Seja G um conjunto com uma op. binária que é associativa. São equivalentes: 1. G é grupo 2. G e para todo a, b G cada equação a x = b e x a = b tem solução em G 3. e G tal que x e = x x G e se fixarmos e então para cada x G existe x 1 tal que x x 1 = e 3.7 Solução Dem. (1) (2) Trivial (2) (3) Seja a G e e G tal que ae = a (e é solução da equação ax = a) Se b G arbitrário existe por (2) x G tal que b = xa Logo b = xa = x(ae) = (xa)e = be Por outro lado, para cada xßg existe por (2) x G tal que xx = e (3) (1) Seja x G Por (3) existe x G tal que xx = e Por (3) existe x G tal que x x = e Agora x x = x (xe) = (x x)e = (x x)(x x ) = [x (xx )] x = x x = e }{{} x Assim xx = x x = e Vejamos que e é o elemento neutro: x = xe = x(x x) = [xx ] x = ex }{{} e 9

10 4 09/08/2010 Aula 4 - Subgrupos 4.1 Revisão Prop. 3: (G,*) grupo, a, b G. Cada ima das equações a x = b (ou x a = b) tem solução (única) em G. Notação: notação aditiva notação multiplicativa Op. binária + a+b a b ou ab El. Neutro zero 0 El. Unidade 1 El. simétrico oposto -a inverso a 1 grupo comutativo grupo comutativo Ordem de G: G pode ser finita ou infinita Subgrupos (G, ) grupo. S G estável ou fechado se S S S Se S G fechado S consideremos a restrição de em S s : S S S (S 1, S 2 ) S 1 S 2 S subgrupo de G se (G, s ) é grupo. Denota-se por S G ou S G. Ex. (Z, +) grupo S = Z + estável em Z, mas S não é um subgrupo de Z Subgrupos triviais - 1 e G S subgrupo de G se S {1} e S G Ex.: Gl n (R) = {X M n (R) det(x) 0} Sl n (R) = {X M n (R) det(x) = 1} Sl n (R) < Gl n (R) 4.2 Teorema Um subconjunto H de um grupo G é subgrupo de G se e somente se: 1. H H H; (H é estável) 2. 1 H 3. Se a H, então a 1 H Exercício: demostrar as propriedades acima. 10

11 4.3 Problema Como determinar todos os subgrupos de um grupo G? Não existe algoritmo para criar todos os grupos. Entretanto coseguimos criar os grupos cíclicos, que são os mais simples. 4.4 Subgrupos cíclicos G grupo multiplicativo, a G. O suconjunto < a >= {a m m Z} onde a 0 := 1, a m := a} a {{... a} se m N m a m := } a 1 a 1 {{... a 1 } m é um subgrupo de G: Prova de 1: Se a m, a n < a >? a m a n = a m+n < a > m, n Z + a m a n = a }.{{.. a} a }.{{.. a} = a m+n m n Se m > n a m a n = a... a } {{ } m a 1... a 1 }{{} n = a m n Prova de 2: 1 = a 0 < a > Prova de 3: Se b = a m < a >, então b 1 = a 1 < a > O subgrupo ciclico de G gerado por a. Obs.: Posso ter a b mas < a >=< b > Def.: Se existir a G tal que G =< a > Então G chama-se grupo cíclico. Ex. C n = {z C z n = 1} é um grupo cíclico gerado por e 2π n i = cos( 2π n ) + i sin( 2π n ) C 3 é gerado por p 1 = i Colocar aqui circunferência complexa e pontos 1, p1 (120 o ) e p2 (240 o ) marcados Obs.: Para grupos aditivos (A,+) o subgrupo cíclico gerado por a A será < a >= {ma m Z} onde 0 a }{{} Z = 0 }{{} A m a = m {}}{ a a se n Z 1 ( m) a = ( a) ( a) }{{} m Ex.:Em (Z, +) temos < 5 >= {0, ±5, ±10, ±15, ±20,...} = 5 Z Z =< 1 >=< 1 > (Z, +) é cíclico infinito. Ex(Z 4, ) 11

12 Z 4 = {0, 1, 2, 3} Z 4 =< 1 >=< 3 > e 1 = {1 + k4 k Z} 4.5 Grupo de permutações História Levi ben Gershon (1321): Temos n! permutações de n coisas Vandermande (1771) e LAgrange (1771): a idéia de permutações é aplicada as raízes de um polinômio Rieggini (1799) e Abel (1826): Estudam S 5 = {f : {1,..., 5} {1, 2, 3, 4, 5}b ij } Galois (1831) e Cauchy (1844): Grupo de permutações Permutações Seja A um conjunto (finito ou infinito). Dá-se o nome de permutação de A a toda a aplicação σ : A A bijetora. S a = conjunto de todas as permutações de A. Se A finito A = {1, 2,..., n} escrevemos S a pors r Ex.: Z x x + 1 permutação em Z Ex: A={1,2,3,4,5} σ Ex. As permutações de A={1, 2, 3} σ 1 σ σ 3 σ

13 σ 5 σ Interpretação geometrica Colocar aqui um triangulo equilátero com indicação de rotações r1, r2, r3 em torno de seus vértices. σ 1 = Rotação de ângulo de 120 o σ 2 = Rotação de ângulo de 240 o S 1 = Simetria em relação a r S 2 = Simetria em relação a r2 S 3 = Simetria em relação a r3 De modo geral, representamos σ e S n por n = σ σ(3) σ(1) σ(2)... σ(n) S a pode ser munido de uma operação binária 4.7 A composição de funções Se σ, τ S a então στ é a função composta σ τ onde (σ τ)(x) = σ(τ(x)) x A (S a, ) é grupo 1. (σ τ) µ = σ (τ µ) σ, τ, µ S a 2. T d : x x S a e I d σ = σ I d = σ σ S a 3. Se σ S a então σ 1 S a onde σ 1 (x) = y σ(y) = x e σ 1 σ = σ σ 1 = I d 5 09/08/2010 Aula 5 - Grupo Diedral D Lista 1 disponível A primeira lista de exercícios está na pasta do Xerox. 13

14 5.2 Revisão Teorema qu era para provar, grupos cíclico e geradores. 5.3 Grupo diedral D s 2 s I = identidade ρ 1 = Rotação de 90 ρ 2 = Rotação de 180 ρ 3 = Rotação de 270 τ 1 = Rotação ao redor da diagonal S 1 τ 2 = Rotação ao redor da diagonal S 2 σ 1 = Espelhamento vertical σ 2 = Espelhamento horizontal D 4 = {I = ρ 4 1, ρ 1, ρ 2, ρ 3, τ 1, τ 2, τ 3, σ 1, σ 1 } Seus subgrupos cíclicos: {I} =< I > H 1 = {1, τ 1 } H 2 = {1, τ 2 } H 3 = {1, σ 1 } H 4 = {1, σ 2 } H 5 =< ρ 2 >= {1, ρ 2 } H 6 = D 4 não é cíclico. Figura do reticulado do D 4 Exercício: Tábua de D 4 determinar todos os subgrupos de ordem Órbitas, ciclos e grupo alternado S n = grupo simétrico de n elementos. Def.: Seja σ S a. Definimos em A a relação: a b n Z tal que σ n (a) = b. Obs.: Vejam que determina uma relação de equivalência. Reflexiva: a a, σ 0 (a) = I(a) = a Simétrica: Se a b então existe n mathbbz tal que σ n (a) = b Logo σ n (b) = a, n, mathbbz Assim b a Transitiva: Se a simb, b c então n, m Z σ n (a) = b, σ m (b) = c 14

15 σ n+m (a) = σ m (σ n (a)) = σ b (b) = c, m + n mathbbz. Logo a c Def.: As classes de equivalêncoa e,a determinadas por σ são órbitas de σ em A. Ex.: As órbitas da identidade contém exatamente 1 elemento. Ex.: ( ) σ S Determinar as órbitas de σ Solução: A órbita que contém e já que σ 1 é orbita revertendo o sentido das retas na cadeia, obtemos que a órbita que contém 1 e {1, 3, 6}. Agora escolho um inteiro de 1 a 8 que não esteja na órbita de 1: Por exemplo o 2: órbita de 2 {2, 8} Órbita de 4: órbita de 4 {4, 5, 7} Órbitas de σem{1, 2,.., 8} são {1, 3, 6} {2, 8} {4, 5, 7} Def.: Uma permutação σ de S n chama-se ciclo (de comprimento r ou r-ciclo) se existirem a 1, a 2,..., a n r números inteiros distintos entre 1 e n tal que σ(a 1 ) = a 2, σ(a 2 ) = a 3,..., σ(a r 1 ) = a r, σ(a r ) = a 1 E deixa fixos os possíveis outros inteiros entre 1 e n. Uma outra ( forma de representar ) um r-ciclo é σ = (a 1, a 2,..., a n ) (1, 2, 3) = (1524) = ( ) I S 3 I = (1) = (2) Obs.: Toos os 1-ciclos são identidades (1) = I d Def.: Dois ciclos σ = (i 1... i 5 ) e τ(j 1... j 5 ) são disjuntos se {i 1,..., i r } {j 1,..., j 5 } Proposição: Toda permutação em S n é produto de ciclos disjuntos. Dem.: Seja σ S n, σ I. Sejam B 1,..., B t as órbitas de σem{1,..., n} com ao menos 2 elementos. Definimos os ciclos } { sigmax se x Bi τ i = x se x B i Para i = 1, 2,..., t ( Temos que são disjuntos) e σ = τ 1 τ 2... τ t Ex.: Exprimir σ = c Como produto de ciclos disjuntos. Def.: Uma transposição é um 2-ciclo Ex.: 15

16 ( ) σ = = (34) Desenho de grupos (circulos) com m dentro do outro permutações ciclos transposições 6 13/08/2010 Aula 6 - Decomposições Teorema: Toda permutação de S n é produto de ciclos disjuntos. Def.: τ S n é uma transposição se for um 2-ciclo. Ex: τ = (23) S 5 σ = Teorema: Toda permutação de elementos se S n, n 2 é um produto de transposições. Dem.: Usando o teorema anterior é suficiente provar o teorema oara todo r-ciclo, isto é, provar que cada r-ciclo é produto de transposições. De fato ( r) = (1 r)(1 r-1)... (1 2) Ex.: (1 2 3) = (1 3)(1 2) (1 2 3): (1 3)(1 2): Exemplo: Decompor as permutações ( ) σ = ( ) a b c d e f τ = a e d f b a Em produto de ciclos e transposições Solução: Para σ calculamos suas órbitas Órbita de 1: Órbita de 2: Órbita de 3: σ = ( )(2 6 5)(3 9) Decomposição em ciclos disjuntos σ = (1 8)(1 7)(1 4) (2 5)(2 6)(3 9) (3 8)(3 8) Obs.: Perde a comuttividade e unicidade pois passo a acrescentar duas transposições iguais sem alterar valor. 16

17 Lema: Seja σ S n e τ uma transposição em S n. Então a deferença entre o número de órbitas de σ e τσ é ±1. Dem.: Seja τ = (ij) Caso 1: Se i e j estão em duas órbitas diferentes de σ. Podemos exprimir σ como produto de ciclos disjuntos σ = (u... a i... v)(x... b j... y)µ 3... µ k Desenhar dois ciclos correspondentes aos dois parênteses acima e fazer eles ligandos com a j e b i Se t a, b σ(t) i, j τσ(t) = σ(t) τσ(a) = τ(i) = j τ(b) = τ(j) = i Logo as órbitas de σ que contém i e j formam um única órbita para τσ Caso 2: i e j estão na mesma órbita de σ. Então a composição de σ em ciclos disjuntos é da forma σ = (x,..., a, i,..., b, j..., y)τ 2... τ k Temos τσ(t) = σ(t) t a ou b τσ(a) = σ(i) = j τσ(b) = σ(j) = i A órbita de σ que contém i e j está formadapor dus órbitas de τσ. Teorema: Dias decmposições devem ter um n o de fatores com a mesma prioridade. Dem.: Seja σ S r e σ = τ 1... τ k Uma decomposição em transposições, então: {}}{ I d = τ k... τ 2 τ 1 σ }{{} n n o de órbitas de σ que tem mesma prioridade de k. Def.: A sinal de σ S n, sgn(σ) e 1 se σ pode ser exprimido como um número par de transposições e é -1 em caso contrário. Chama-se de grupo alternado de grau n o conjunto de todas as permutações pares (com sinal 1) de S n. Ex.: ( Determinar p sinal de ) σ = Solução: As órbitas de σ {1 4 7} {2 5 8} {3 6} σ = (147)(258)(63) = (17)(14)(28)(25)(36) e sgn(σ) = /08/2010 Aula 7 - Paridade 7.1 Revisão Teorema: Cada σ S n é produto de transposições ( n) = (1 r)... (1 3) (1 2) 17

18 Lema: Se τ(ij) S n transposio, σ S n, ento Orbitas σ = orbitas de τσ ± 1 (a b c d... ) = (b c d... a) 1: i,j na mesma orbita de σ σ = (i... aj... b)µ 2... µ k decomposição em ciclos disjuntos. τσ = (i... a)(j... b)µ 2... µ k 2: Em caso contrário σ = (i... a)(j... b)µ 3... µ k σ = (i... aj... b)µ 3... µ k Decomposição em ciclos disjuntos Teorema: A paridade na decomposição de σ S n como produtos de transposições é invariante. σ = µ 1... µ k µ i transposições. σ = τ 1... τ k 1 τ k I }{{} d n+1 ou n 1 }{{} n+2 ou n ou n 1 paridade (n - orbitas σ ) = paridade de k. 7.2 Paridade Def. σ n Sinaldeσ = s(σ) = sgn(n) = -1casocontrrio σ par se s(σ) = 1 σ ímpar se s(σ) = -1 A n = grupo alternado de n elementos = {σ S n s(σ) = 1} A n subgrupo de S n e A n = n! 2 Obs.: Se σ S n é um r-ciclo, então s(σ) = ( 1) r+1 Ex. Determinar ( o sinal ) de σ = Órbitas de σ {1, 2, 3, 4, 5} 5 5 {5} σ = (1234) um 4-ciclo σ = (1 4) (1 3) (1 2) s(σ) = 1 Aqui: exemplo com determinante de matrizes Ex.: Decompor em produto de ciclos disjuntos σ = (123) }{{} µ 1 (124) }{{} µ 2 (5612) }{{} µ 3 em S 6 ( ) σ =

19 Órbitas de σ σ = ( ) 6-ciclo µ 1 µ 2 µ Grupos cíclicos Problema básico: Como são os grupos cíclicos? G grupo (multiplicativo) Se a G < a >= {a n n Z} subgrupo de G 1. 1 = a 0 < a > 2. x = a r, y = a 5 xy = a r a s = a r+s < a > 3. a = a r x 1 = a r < a > <a> o subgrupo acívlico gerado por a. Se G =< a > então G é grupo cíclico. Um grupo cíclico pode ser finito ou infinito. Ex.: 1. C n = {z C Z n = 1} gerado por e 2π n i 2. (mathbbz, +) gerado por 1 Teorema: Todo grupo cíclico é abeliano Dem.: Se G = <a>, x = a r e y = a s x y = a r a s = a r+s = a s+r = a s a r = y x Pergunta: Um subgrupo de um grupo cíclico é cíclico? A.E. (Algoritmo de Euclides) Se 0 n N, m Z, então existem q, r mathbbz únicos onde 0 < n e m = q n + r m n. q r Teorema: Todo subgrupo de um grupo cíclico é cíclico Dem.: Seja G=<a> grupo cíclico e H um subgrupo de G. Se H={1} então H é cíclico 19

20 Se H {1} então existe m N tal que a m H( x H, x 1 x = a r )paraalgumr Z, se r<0 então x 1 = a 1 H e r Z + ) Seja n p menor inteiro positivo tal que a n H Vejamos que < a n >= H < a n > H? Seja x = (a n ) r < a n >, r mathbbz Se r positivo a = a} n.{{.. a n } H r) Se r = 0 e x = 1 H Se r negativo x = (a n ) 1... (a n ) 1 H }{{} r) H < a n >? Seja x = a s H. Pelo A.D. existem q, r Z com 0 r < n tal que s = qn + r Então }{{} x = a s = a qn+r = a qn a r = H q (a n ) a r }{{} H a r = (a n ) q x H e pela minimalidade de n, r = 0. Assim x = (a n ) q =... Corolário: Os únicos subgrupos de (Z, +) são nz = {nk k mathbbz} Onde n inteiro não negativo ( n)z = nz Prpriedades: G=<a> cíclico 1. Se A r = a s com r s ibteiros, então existe m inteiro positivo tal que a m = 1 2. Se a m = 1, m N, então G = {1, a, a 2,..., a m 1 } Dem.: 1: Como r s temos que r<s ou s<r Podemo assumir que s<r a r = a s a r a s = a s a s a r s = 1 e r s inteiro positivo. 2: Seja x = a n G. Pelo A.D. existem q, r mathbbz com 0 r m tal que n = qm + r Então x = a n = a qm+r = a qm a r = a(a m ) q a r = 1 q a r {1, a, a 2,..., a m 1 } Teorema: G=<a> grupo cíclico infinito. Entnao 1. a n a m n m n, m mathbbz(p1) 2. a n 1 foralln Z, n 0 3. a e a 1 são os únicos geradores de G. (P2) 20

21 4. Todo subgrupo de G é cíclico da forma < a r >, r Z 5. G é abeliano Def.: G grupo, a G. A ordem de a, é o menor inteiro positivo r, e existir tal que a r = 1 Caso não exista falamos que a ordem de a é infinita. Denota-se a ou 0(a) Teorema: Seja G=<a> um grupo cíclico finito de ordem n. Então 1. a = n = G = < a > 2. G = {1, a, a 2,..., a n 1 } 3. a r = a s r s(mod n) 4. a r gera G mdc(r, n) = /08/2010 Aula 8 -? 8.1 Revisão Ordem e suas propriedades. Teorema sobre grupo cíclico de ordem n. 8.2 Propriedades a G, G grupo 1. Se a r = a s com r s (r, s Z) a r s = 1 ordem de a é finita r s 2. Se a m = 1 < a >= {a, a 2, a 3,..., a m 1,am } < a > m Teorema: Seja G =< a > grupo cíclico de ordem n. Então 1. a = n = G = < a > 2. G = {a, a 2, a 3,..., a n = 1} 3. a r = a s r smod n 4. a r gera G mdc(r, n) = 1 Dem.: Como 1 e 2. Como G é finito, existem r, s Z, r s tais que a r = a s. Por p1 a ordem de a é finita. Seja d a ordem de a. Por p2 temos n d. Se for maior do que n (n d), então existem r, s Z com 1 r < s d tal que a r = a s. Logo a r s = 1 e s r Z om 21

22 c1 < s 1 a em contradição com o fato de ser a ordem de a. Portanto d = n e G = {a, a 2, a 3,..., a n = 1}. 3: Se a r = a s então a r s = 1. Pela A.D. existem q, p Z com 0 p < n tal que r s = q n + p Então 1 = a r s = a qn+p = a qn a p = (a n ) q a p = 1 q a p = a p portanto p = 0. Assim r s = qn, logo r s(modn) 4: Suponha que G =< a r >. Então existe m mathbbz tal que (a r ) m = a a r m = a = a 1 Por (3) teremos que rm 1(mod n). Logo existe k Z tal que rm = 1 + kn ou rm + ( k)n = 1, logo mdc(r, n) = 1. Se mdc(r, n) = 1 então existem x, y mathbbz tais que rx + ny = 1 Assim a = a 1 = a rx+ny = a rx a ny = (a r ) x (a n ) y = (a r ) x 1 y = (a r ) x < a r >, portanto G =< a r > Ex. Z 10 grupo cíclico gerado por 1. Quais são os geradores de Z 10? x tal que mdc(x, 10) = 1 Ex: C c = {2 C z 6 = 1} =< 3 > onde ξ = e πi 3 = cos π 3 + isin π 3 = i desenho do circulo complexo com as raízes marcadas Teorema: Seja G =< a > grupo cíclico de ordem n. Então n < a > tem mdc(n,s) elementos d = mdc(n, s). Vejamos que < a s >=< a d >... Ex.: Determinar o subgrupo cíclico de Z 60 gerado por 35 Solução: < 35 >=< d > onde d = mdc(60, 35). 60 = 10 6 = = 2 2 } 3 5 d = 5 35 = 7 5 Assim < 35 > = 60 d = 60 5 = 12 < 35 >= {5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, 45, 50, 55, 60 = 0} Corolário: Seja G =< a > grupo cíclico de ordem finita n. Então todo subgrupo de G é cíclico e de ordem um divisor de n. Além do mais, se d é um divisor de G então G possui um único subgrupo de ordem d o subgrupo < a r > onde r = n d Pergunta: G grupo de ordem finita n. 1. Se d n H < Gcom H = d? Não. 2. Se H < G H G? Sim. 22

23 8.3 Exercício para dia 27 A 4 permutações pares em S 4. A 4 = 12 = 4! 2 Provar que A 4 não contém um subgrupo de 6 elementos. 8.4 continuando Ex. Determinar os subgrupos de Z 18 Solução: 18 = {0} =< 0 > Os divisores de 18 são 1, 2, 3, 6, 9, 18. Z tem exatamente 6 subgrupos. H 1 = H 1 =< 18 1 >=< 18 >= {0} H 2 = H 2 =< 18 2 >=< 9 >= {0, 9} H 3 = H 3 =< 18 3 >=< 6 >= {0, 6, 12} H 4 = H 6 =< 18 6 >=< 3 >= {0, 3, 6, 9, 12, 15} H 5 = 9 = H 5 =< 2 > H 6 = Z Classes laterais e o teorema de Lagrange Z = {0, ±1, ±2,...}, m N a b m (a b) Ex.: m = 5 0 = 5Z 1 = 1 + 5Z = {1, 6, 4, 11, 9,...}. 4 Problema: Podemos generalizar esta idéia para grupos? G grupo e H < G. Definimos as relações a e b a 1 b H a d b ab 1 H Temos que e é umarelação de equivalência 1. Reflexiva (ver livro) 2. Simétrica (ver livro) 3. Transitiva (ver livro) 9 19/08/2010 Aula 9 - Classes laterais 9.1 Lista Lista de exercícios estão no xerox 23

24 9.2 Equivalências a esquerda e direita E e E são equivalências a esquerda e direita. Como são as classes de G módulo H? Teorema de Lagrange (Fraleigh, pag 125) Se G é grupo de ordem finita e H subgrupo de G, então H divide G. Corolário: Se G é grupo de ordem prima, então G é cíclico e abeliano. Cada a G, a 1, gera G. Demonstração: Pág. 125[1] Obs.: O n o de classes (à esquerda) de G módulo H = n o de classes à direita de G módulo H (= G H se H finita) Definição: O n o de classes laterais determinado por H chama-se índice de H em G e denota-se (G : H) Exercício: Se K G e H K, então H G é (G : H) = (G : K)(K : H) Exercício: Seja g grupo e H subconjunto não vazio de G. Então H G x y 1 H x, y H Def.: H, K G. HK = {hk h H, k K}. Pergunta: HK é subgrupo de G? Em geral, não. Lema: HK G HK = KH 9.3 Exercício para próxima sexta feira 27/08 - Difícil H, K G, G finito. Provar que que HK H K = H K 9.4 Homomorfismos e grupos quocientes - Cap 3[1] Def.: Sejam G e G dois grupos e f: G G uma aplicação tal que f(x }{{} y) = Op.Bin.emG f(x) }{{} f(y) x, y G op.bin.emg Diremos que f é um homomorfismo em G. 4 propriedades de homomorfismo de grupos - pag165[1] Verificar elas no FDS /08/2010 Aula 10 - Homomorfismo 10.1 Revisão G é união disjunta das classes aha G. {a 1,..., a n } é um conjunto de representantes das classes de G móldulo H se ah = H Teorema de Lagrange: Se H subgrupo de G. H divide G? Se H for primo, H não possui subgrupos próprios. Em geral: ah Ha 24

25 10.2 Homomorfismo Propriedades: 1. f(1) = 1 2. f(x 1 ) = f(x) 1, x G 3. Se H G, então f(h) := {f(h) h H} G 4. Se H G, então f 1 (H ) := {x G f(x) H } G 10.3 Exercício Se H G, então H G xy 1 H x, y H Demostração de 3 e Kernel (Núcleo) Def.: Se f : G G homomorfismo, o kernel ou nucleo de f é Kerf = f 1 ({1 }) = {x G f(x) = 1 } e a imagem de f é Im(f) = f(g) = {f(x) x G} Obs.: Ker(f) G, Im(f) G Pergunta: f: G G homomorfismo, a G Como será f 1 (f(a)) =? Teorema: f: G G homomorfismo, a G. Então f 1 (f(a)) = an = Na onde N = Ker(f). Teorema: f: G G homomorfismo. Então F injetora Ker(f) = {1} Exemplo: Funções diferenciáveis. Seja D Homomorfismo de grupos: D(f + g) = (f + g) = f + g = D(f) + d(g) Seu núcleo é N = {as funções constantes} Agora uma antiderivada de f: R R, f(x) = x 2 é x3 3 Pelo teorema, o conjunto de todas as antiderivadas de f é D 1 = 3 3 +N = { x3 3 + c c constante } Se φ: S 3 S homomorfismo de grupos, então Ker(φ) < (1 2) > Def.: (Galois) Um subgrupo N de um grupo G é normal se an = Na a G 25

26 11 25/08/2010 Aula 11 - Grupos normais 11.1 Revisão Homomorfismo, Núcleo (Kernel) Grupos Normais Um grupo é N G é normal se an = Na, a G. Notação: N G. Obs.: Ker(f) G. Se a f 1 (a ) f 1 (a ) = a(ker(f)) = (Ker(f))a 11.3 Proposição Seja N G São equivalentes: 1. N G 2. g 1 Ng N g G 3. g 1 Ng = N g G Provas. Ver parte III[1] 11.4 Propriedade Seja H G. Se (G : H) = 2 então H G 11.5 Isomorfismos e o Teorema de Cayley Def.: f: G G homomorfismo é isomorfismo se f bijetora. Falamos que G é isomorfo a G se existir f: G G. Notacão: Isomorfismo denota-se G G Propriedades: 1. Reflexiva 2. Transitiva 3. Simétrica 11.6 Quando dois grupos são isomorfos? Exemplos: (Q, ) (R, ) para mais exemplos, Ver parteiii[1] 11.7 Exercício para 03/09/2010 Mostrar que f: Q R bijetora 26

27 12 25/08/2010 Aula 12 - Teorema de Cayley 12.1 Revisão isomorfismo Teoremade Cayley Cada grupo é isomorfo a um grupo de permutações. Agora podemos definir a aplicação ϕ: G S G a L a : G G x ax É ϕ homomorfismo de grupos? 12.3 Grupo Quociente G grupo e N G (Subgrupo normal de G). Assim an = Na a G e a 1 Na = N a G Definamos G/N = {an a G} = {Na a G} = conjunto das classes de G Módulo N. Teorema: Se N G então G/N é um grupo com a operação binária definida por (an) (bn) = (ab)n Dem.: Vejamos que está bem definida, isto é, não depende das representantes. an = a } N bn = b (ab)n = (a N b )N a a N = an a = an 1 para algum n 1 N b = b }{{} 1 b N = bn b = bn 2 para algum n 2 N N a b = (an 1 )(bn 2 ) = a (n 1 b) n }{{} 2 = a(b n 3 )n }{{} 2 (para algum n 3 N) Nb N É associativa? Testa Possui elemento neutro? Testa = 1N Possui inverso? Testa Assim (an) 1 = a 1 N Exemplo: G = R 2 com a operação soma (R 2, +) N = {(x, 2x) x R} R 2 R 2 /N = {{(a, b) + (x, 2x) x R} (a, b) R 2 } = {as retas paralelas a N}. Colocar gráfico de várias retas paralelas e a N passando pela origem Como somar as classes? r + s =? Através} de representantes. P (4, 2) r P + Q = (1, 0) Q( 3, 2) s 27

28 Logo r + s é a reta paralela a N que contém (1,0) Exemplo: G grupo, N G Definamos P : G G/N a an p é um homomorfismo /08/2010 Aula 13 - Isomorfismos 13.1 Revisão Grupos Quocientes: Se N subgrupo normal de G, isto é an = Na a G então podemos definir o grupo quociente de G por N onde G/N = {an a G} e o produto (an)(bn) = (ab)n C/N = {z, z} z C, z = 1} Obs.: Se G for finito e N G, então G/N = (G : N) =... Ex.: Seja G um grupo 1. Se N = {1}, então G/N = G/{1} G 2. Se N = G, então G/Gsimeq({1}, ) o teorema de isomorfia (isomorfismo?) Se f: G G é um homomofrfismo de grupos então N := Ker(f) G, Im(f) G G/Ker(f) = Im(f) Prova: verificar 1. é...? 2. é sobrejetora? 3. é injetora? Portanto é um isomorfismo: f: G G hom G/Ker(f) = Im(f) 13.3 Teorema Seja G um grupo cíclico. Se G é infinito, então o teorema de isomorfia (isomorfismo?) H e N subgrupos de G com N normal em G. Então HN G H N H e H/H HN/N 28

29 14 02/09/2010 Aula 14 -? 14.1 Informes Hoje devemos terminar a prte de grupos. Depois disso teremos a prova Revisão 1 o e 2 o teoremas de Isomorfia (Isomorfismo???) Exercício para dia 13/09/2010 Determinar exemplos de grupos N, K, G com N K, K G e N G 14.4 Exercício em classe Determinar os nomomorfismos de Z 6 em Z 5. Solução: Seja f: Z 6 Z 5 homomorfismo de grupos. Pelo 1 o teorema de Isomorfismo Z 6 /Ker(f) Im(f) Z 5 Z 6 Ker(f) = Im(f) divide Z 5 = 5 G Ker(f) divide 5 O único divisor de G que divide 5 é 1. G Ker(f) = 1 Ker(f) = G Ker(f) = Z Produto direto e grupos abelianos finitamente gerados Pergunta: Quando Z n Z m é cíclico? produtos: Sejam G 1,..., G k grupos (multiplicativa) elementos neutros e i. Então: G i... G k = {(a 1,..., a k ) a i G i } é grupo com a operação binária. G 1... G k abeliano G 1,..., G k abelianos Corolário: Z n Z m cíclico se e somente se mdc(n, m) = Teorema de classificação de grupos abelianos teorema: Se G abeliano finitamente gerado então existem p 1,..., p k primos r, r 1,..., r k inteiros positivos únicos tal que G Z p1 r 1... Z pk r k Z... Z }{{} r vezes Não vamos mostrar pois é complicado, entretanto é análogo a forma de se classificar modulos. 29

30 15 13/09/2010 Aula 15 - Revisão pré prova 15.1 Definições Algoritmo de Euclides: m, n Z m > 0 q, r Z com 0 r < m n = qm + r Assiciatividade: a(bc) = (ab)c a, b G Automorfismo: f: G Gisomorfismo Automorfismo interno: g G: C g : G Gdefinidox g g 1 Ciclo de comprimento r: σ S A permutação tal que existem a 1, a 2,..., a r A distintos. σ(a 1 ) = a 2, σ(a i ) = a i+1. Denota-se σ = (a 1,..., a r ) Ciclos disjuntos: Classes Laterais: Elemento neutro: Elemento simétrico (inverso): Endomorfismo: é um homomorfismo de G em G. Epimorfismo: f: G G homomorfismo sobejetor Estável: H G é estável se H H H Grupo: É um conjunto G com a operação binária cdot que satisfaz G2, G2 e G3. Grupo alternado: de n elementosm A n são as permutações pares de n elementos. Grupo cíclico: Se for gerado por um elemento G =< a > Grupo de permutações: um subgrupo des A onde A conjunto Grupo diedral: D 4 = S( ) Grupo finitamente gerado: Grupo quociente: Grupo simétrico: Grupo simples: Homomorfismo: Imagem: Índice 16 17/09/2010 Aula 16 - Teoria de anéis Capítulo 3 do Frahlei Introdução: Problemas centrais Equações Polinômios em uma variável sobre R ou C Teoria de Números Conceito de anel ou corpo. Fim do sec XIX Teoria de anéis: Emmy Neethes XVI Soluções das eq. de grau 4 Galois: Não existe solução geral paaa eq. de grau 5 1 o teorema de fermat: p primo, 1 n p p (n p 1 1) (n p 1 1mod(p)) ou n p nmod(p) 30

31 Último teorema de Fermat: Soluções inteiras da equação x n + y n = z n, (n > 2) Além das triviais (0,0,0), (1,0,1), (0,1,1) Andrew Wills 17 Anéis Definição e primeiras propriedades: Anel é uma terna (A, +, ) onde A conjunto não vazio, + e são operações binárias em A, tal que: 1. (A, +) é um grupo abeliano 2. a(bc) = (ab)c Multiplicação é associativa 3. Existe unidade 1 a = a 1 = a a A 4. Distributiva a(b + c) = ab + ac e (b + c)a = ba + ca a, b, c A Em geral, a b b a Se a b = b a então o anel chama-se comutativo. Ex. Z, Q, R, C com as operações usuais soma e multiplicação. 31

32 Referências [1] John B. Fraleigh. A First Course In Abstract Algebra, 7 th Edition. Addison Wesley Longman,