TENHO ESTE TRABALHO FEITO - NOTA 10. Contado WhatsApp: (11)

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1 TENHO ESTE TRABALHO FEITO - NOTA 10 Contado WhatsApp: (11) PRODUÇÃO TEXTUAL INTERDISCIPLINAR EM GRUPO TEMÁTICA INTERDISCIPLINAR: ESTUDO DA QUEDA DE CORPOS Curso Engenharias Semestre:2 \ 3 Disciplinas integradoras Geometria Analítica e Algebra Vetorial. Cálculo Diferencial Integral II. Física Geral e Experimental: Mecânica. Algoritmos e Lógica de Programação. Ciências dos Materiais. Seminário Interdisciplinar III. Conteúdos interdisciplinares Competência Habilidades Objetivos de aprendizagem Conceitos de derivada e integral. Movimento de queda de corpos. Análise vetorial. Algoritmo. Ciência dos materiais. - Entender, interpretar e utilizar metodologia de modelagem. - Estudar e compreender o movimento de queda de corpos; - Aplicar corretamente técnicas de integração; - Desenvolver um algoritmo; - Aplicar conceito de análise vetorial; - Entender como diferentes materiais influenciam na queda de corpos. Os estudantes deverão ser capazes de: - Analisar e Interpretar conteúdos textuais e gráficos; - Liderar; - Ser criativo; - Trabalhar em equipe; - Tomar decisão; - Raciocinar de forma lógica; - Raciocinar de forma crítica e analítica Estudar e construir um modelo matemático que modele a queda de corpos. Prezados alunos, Sejam bem-vindos a este semestre! A proposta de Produção Textual Interdisciplinar em Grupo (PTG) terá como temática "Estudo da queda de corpos. Com essa temática objetivamos possibilitar a vocês, estudantes, a aprendizagem interdisciplinar de conteúdos contemplados nas disciplinas desse semestre. Neste trabalho vocês desenvolverão a atitude de investigação e prática, sistematizando julgamentos baseados em critérios e padrões qualitativos e quantitativos relacionados a uma situação geradora de aprendizagem (SGA) e embasados em conhecimentos construídos em cada disciplina.

2 A seguir apresentamos as orientações. ORIENTAÇÕES DA PRODUÇÃO TEXTUAL O que devemos fazer? 1- Formação dos grupos O trabalho deve ser realizado em grupos com no mínimo 2 e, no máximo, 7 integrantes. Todos os alunos deverão participar da apresentação dos trabalhos e serão avaliados individualmente pelo tutor de sala. Tempo de apresentação: cada grupo terá no mínimo 10 e no máximo 20 minutos para apresentar os trabalhos. 2- Leitura e interpretação da SGA Na Produção Textual em Grupo (PTG) vocês deverão, num primeiro momento, conhecer a Situação Geradora de Aprendizagem (SGA) "Estudo da queda de corpos. Num segundo momento, vocês deverão se envolver com a Situação Geradora de Aprendizagem (SGA), inserindo-se nesse contexto para realizar as tarefas previstas. Para realizar essas tarefas, sigam as orientações fornecidas nesse material e embasemse em fundamentações teóricas diversas (livros das disciplinas, teleaulas, web aulas e outros materiais complementares, sejam estes indicados pelos professores ou pesquisados por vocês). Situação Geradora de Aprendizagem (SGA) Situação-problema: Todo engenheiro, independente da área que mais o agrade, precisa desenvolver algumas competências e habilidades. Algumas dessas são

3 essenciais: aptidão para cálculos, comunicação e trabalho em equipe, observação e visão de mercado. Pensando nisto, o Conselho Regional de Engenharia e Agronomia (CREA) do seu estado pretende oferecer um curso de capacitação para futuros engenheiros. Esta capacitação tem como objetivo desenvolver as competências tão necessárias para a formação de bons profissionais. O primeiro módulo desse curso visa qualificar um grupo de engenheiros na resolução de problemas através da modelagem matemática. Suponham que vocês façam parte desse grupo de engenheiros que serão capacitados para a resolução de problemas reais através da modelagem matemática. Nessa capacitação, serão estabelecidas diversas tarefas, as quais são apresentadas na sequência, na forma de situações-problemas. Contextualização - Modelagem nas Engenharias Seria um tanto quanto injusto escolher uma definição única para Engenharia, mas, para esse trabalho, uma "definição apropriada é que a Engenharia é uma ciência que utiliza o conhecimento das Ciências Matemáticas e das Ciências Naturais para desenvolver recursos e utilizar de forma rigorosa aquilo que é obtido na natureza. Um engenheiro também experimenta, abstrai ideias, formula hipóteses, resolve problemas, valida, modifica e, por fim, faz aplicações a partir de suas conclusões finais. Como dito anteriormente, um engenheiro deve ser capaz de solucionar problemas. Não podemos falar em solução de problema sem mencionar a modelagem matemática. A modelagem matemática tem como objetivo encontrar equações matemáticas que descrevam adequadamente um fenômeno real e que possibilitem encontrar uma solução para este. Ao tentarmos solucionar um problema, necessitamos de dados e de um ponto de partida. Temos um objetivo, mas não sabemos como chegar a ele, afinal, temos um problema. É necessário que comecemos a explorar possibilidades,

4 experimentar hipóteses, buscar novas ideias, rejeitar as que não se ajustam e nos organizarmos. Modelagem e Solução de Problemas A modelagem matemática consiste em transformar problemas da realidade em problemas matemáticos e, a partir de sua resolução, interpretar suas soluções na linguagem do mundo real. Neste sentido, a Física pode ser caracterizada e entendida como um conjunto de habilidades de modelagem, uma vez que trata de modelos interligados por um sistema de princípios teóricos. Logo, podemos dizer que o ensino de Física pode ser utilizado para desenvolver habilidades. Algumas etapas são necessárias para se obter um modelo (BASSANEZI, 2014/2015): Figura 1: Etapas da Modelagem Matemática. (1) Experimentação Para a compreensão do problema, levantam-se dados a partir de experimentos. Esses dados são bastante relevantes na estruturação, formulação e possíveis modificações que possam vir a ser necessárias nos modelos e na sua consequente validação. (2) Abstração Nessa fase de estudo são levantadas hipóteses para serem testadas no modelo e, assim, verificar as variáveis essenciais para sua evolução. (3) Formulação e Resolução do Modelo

5 Nesta fase, a linguagem matemática entra em ação substituindo a linguagem usual para a formulação das hipóteses. (4) Validação A comparação é feita por intermédio dos resultados (obtidos com a solução do modelo) e com os dados reais (obtidos experimentalmente). Uma das partes consideradas de maior dificuldade de um modelo é o teste, pois é nesse momento que podem aparecer os possíveis erros. É importante ter em mente as previsões de erros no modelo considerado e nos dados obtidos experimentalmente. (5) Modificação Esta etapa depende da anterior, pois, se a proximidade dos dados não está de acordo com o que foi "projetado inicialmente, então novas variáveis/hipóteses devem ser inseridas no modelo, reiniciando, assim, o processo. (6) Aplicação A aplicação do modelo permitirá um estudo da situação de acordo com as variáveis selecionadas, permitindo, assim, o entendimento, a tomada de decisões e as previsões, fornecendo "ferramentas para criar estratégias de trabalho para determinar melhoras em diversas situações modeladas. Vocês, como parte deste grupo de engenheiros que estão participando da capacitação oferecida pelo CREA de seu estado, deverão realizar as tarefas descritas no que segue. Tarefa 1: Física Geral e Experimental: Mecânica O tema "Queda de Corpos possibilita um estudo do movimento retilíneo uniformemente variado (MRUV) utilizando as equações de movimento de Newton e, também, uma discussão sobre a aplicabilidade destas no mundo real. Chamamos de queda livre a queda dos corpos quando a resistência do ar é desprezada, caso contrário, não será queda livre. Portanto, com respeito a esse tema, podemos analisar várias questões de grande importância:

6 s Considerando as forças que atuam sobre um corpo em queda, o que distingue o movimento em queda livre do movimento real? s As equações do MRUV modelam a queda de corpos? Ou seja, suponha que um engenheiro queira determinar a altura de um edifício e que para isso disponha apenas de uma bolinha de metal, um cronômetro e um pouco de conhecimento de Física. Ele sobe ao topo de um edifício e mede o tempo que a bolinha gasta para tocar o solo e, desta forma, calcula a altura do prédio utilizando as equações do MRUV. Este resultado é confiável? s Qual a interferência da massa do corpo em seu tempo de queda? E a sua forma e composição? s A aceleração da gravidade é uma constante? Como é possível calcula-la teoricamente? s Qual o valor da aceleração da gravidade na sua região? As respostas a estas questões deverão estar presentes na conclusão do trabalho. Para responder às questões acima, vocês deverão seguir os procedimentos abaixo. Parte I: Modelagem matemática do movimento de um corpo em queda livre. Para a etapa "Experimentação, vocês deverão realizar um experimento com o objetivo de analisar a queda de 3 corpos com massa, composições e formatos diferentes. Utilizar como exemplo: uma esfera de metal, uma bola de ping pong, um cubo de isopor, ou qualquer outro material. Eles devem ser deixados para cair de uma mesma altura, com velocidade inicial zero. A altura deverá ser de, no mínimo, 4 metros. É importante mencionar que, quanto maior a altura de onde o objeto será largado para cair, maior será o tempo de queda e, portanto, maior será o tempo em que a resistência do ar atuará no movimento. Isto ajudará muito na validação do modelo. Logo, se vocês tiverem a possibilidade de trabalhar em uma altura maior, assegurando-se da segurança envolvida no processo, "melhores" serão os seus dados. Os dados que deverão ser coletados são: posição e tempo. Tempo t (s) Posição y (m)

7 t_total_queda y_máx (chão) Procure coletar mais do que 10 dados (t,y). Tendo os dados experimentais em mão, vocês deverão percorrer as próximas fases da modelagem matemática: abstração, formulação e resolução do modelo e validação. Na formulação do modelo, vocês precisarão realizar a Tarefa 2 sobre Geometria Analítica e Análise Vetorial, descrita a seguir, que trata da análise vetorial do problema e a Tarefa 3 sobre Cálculo Diferencial Integral II, que trata da obtenção das equações do deslocamento e da velocidade. Para a comparação entre os resultados do modelo e os dados obtidos experimentalmente (fase de validação), vocês poderão fazer uso de um gráfico, apresentando os dados experimentais (representados por pontos num diagrama de dispersão) e os dados obtidos pelo modelo (representados por uma linha contínua). Observação: S Para fazer o gráfico dos dados teóricos, utilizem muitos pontos, pois, caso contrário, a linha representativa dos dados teóricos ficará com quebras (descontínua). Este gráfico deve mostrar uma linha contínua e suave. S A experiência deverá ser gravada, o vídeo postado no youtube e o link disponibilizado no trabalho. S Os dados coletados deverão constar no trabalho. Parte II: Modelagem matemática do movimento de um corpo em queda sob ação da resistência do ar. Com base nas conclusões obtidas na Parte I, vocês passarão para a fase de modificação do modelo e deverão acrescentar a resistência do ar. Desta forma,

8 vocês entrarão em um novo ciclo de modelagem, não sendo necessário realizar novamente a parte experimental. Vocês deverão considerar o movimento de queda de corpos para velocidades inferiores e superiores a 86 km/h. Para a formulação do modelo, vocês precisarão realizar, novamente, a Tarefa 2, que trata da análise vetorial do problema. Lembrem-se que agora o problema inclui uma nova força. Nesta segunda fase do trabalho não será feita a validação. A última etapa da modelagem matemática (Aplicação) será discutida somente após terem sido compridas as Parte I e II (descritas acima). Nesta fase vocês deverão apresentar uma discussão sobre o movimento de queda dos corpos, com e sem influência da resistência do ar. Deverá ser incluída uma discussão sobre o movimento de queda de um paraquedista com o seu paraquedas fechado e com ele aberto. Parte III: Cálculo da aceleração da gravidade. Com base nos seus dados experimentais, vocês deverão desenvolver um método para calcular a aceleração da gravidade. Esse valor deverá ser comparado com o valor que geralmente é utilizado: 9,8 m/s 2. Tarefa 2: Geometria Analítica e Álgebra Vetorial Para a formulação do modelo matemático descrito na parte 1 da tarefa 1, vocês precisarão considerar a figura abaixo: Figura 2: Queda Livre

9 h O referencial y deve estar no sentido do movimento do corpo. A partir da figura 2, responda: (a) Quais as forças que estão envolvidas no movimento de queda livre? (b) Faça o diagrama das forças. O diagrama de forças mostra quais as forças vetoriais (vetores) que estão agindo no movimento. Ele deve ser feito na figura e, depois, num eixo xy. (c) Escreva os vetores nas bases canônicas (1,0,0), (0,1,0) e (0,0,1). (d) Calcule resultante vetorial das forças. Para a formulação do modelo matemático descrito na parte II da tarefa 1, vocês precisarão considerar a figura abaixo: Figura 3: Queda com Resistência do Ar h O referencial y deve estar no sentido do movimento do corpo.

10 A partir da figura 3, responda: (a) Quais as forças que estão envolvidas no movimento real de queda de corpos? (b) Faça o diagrama das forças. (c) Escreva os vetores nas bases canônicas (1,0,0), (0,1,0) e (0,0,1). (d) Calcule a resultante vetorial das forças. Tarefa 3: Cálculo Diferencial e Integral II Considere a figura abaixo: Figura 4: Queda livre it I I O referencial y deve estar no sentido do movimento do corpo. Vocês deverão, através das técnicas aprendidas na disciplina de Cálculo, encontrar as equações do Movimento Retilíneo Uniformemente Variado (que descrevem o movimento de queda livre), v(t) e y(t). Para tanto, lembrem-se que: (a) a aceleração é a taxa de variação instantânea da velocidade em relação ao tempo; (b) a velocidade é a taxa de variação instantânea da posição (no caso, a altura) em relação ao tempo;

11 (c) no início do movimento (t = 0), a velocidade é zero (a pedra deve ser largada, não jogada) e a altura é zero. Tarefa 4: Ciências dos Materiais A Ciência dos Materiais consiste em estudar, classificar e utilizar da melhor forma os materiais. O desempenho/custo, síntese/processamento, o estudo das propriedades, estrutura e composição são utilizados para conhecer o material, função esta, que pode ser desempenhada por um engenheiro a partir de experimentações, quais formulam novas situações. A atividade proposta por esta tarefa vai ser muito legal e bem fácil! Você deve escolher três tipos de materiais distintos para realizar o experimento sobre a "queda de corpos". Também deve realizar uma pesquisa sobre os três materiais que serão utilizados, apresentar as principais características, classificação destes e fazer uma boa apresentação sobre cada um deles. Para a realização do experimento não se preocupe com a forma do material, procure utilizar algo do seu dia a dia, pense em coisas simples, mas que por muitas vezes retratam a realidade de muitas indústrias. Seja sempre criativo! Tarefa 5: Algoritmo Tendo como base o movimento de queda livre modelado na tarefa 1 da disciplina de Física (parte 1), faça um algoritmo que permita o cálculo da aceleração da gravidade local. Como é um movimento de queda livre, a resistência do ar deverá ser desprezada. (a) Dados de entrada: altura máxima e tempo total de queda livre. Observação: A velocidade inicial do corpo deve ser igual a zero! (b) Dados de saída: aceleração da gravidade e velocidade com que o corpo chega ao chão. Observação: Para o cálculo da velocidade final, deverá ser utilizado o valor calculado da aceleração da gravidade (parte a)!

12 Agora, é com vocês! Orientações A experiência consiste na observação do movimento real de um corpo em queda. Por isto, saber distinguir o movimento real do movimento ideal, que chamamos de queda livre, é importante para se tomar todos os cuidados experimentais que tornarão os dois casos os mais próximos possíveis. Antes de iniciar o experimento é importante revisar os principais conceitos envolvidos neste fenômeno, bem como as equações de movimento de um corpo em queda. Um dos objetivos é medir a aceleração da gravidade local, sendo necessário o conhecimento sobre construção e linearização de gráficos. Como já mencionado, um engenheiro que deseja se destacar no mercado de trabalho como um profissional de sucesso deve, além de todas as características citadas, ser inovador e criativo. Este trabalho de Produção Textual pode ser encarado como o primeiro desafio de suas carreiras, logo, utilizem a criatividade para a montagem do dispositivo que será utilizado na coleta dos dados, bem como para uma metodologia para este fim. É bem óbvio que vocês poderiam simplesmente soltar os materiais escolhidos da altura determinada e, ao mesmo tempo, acionarem um cronômetro no momento que os soltam, travando-o no instante em que os objetos tocam o solo, simples assim! Mas... vamos pensar um pouco! Algumas dúvidas podem surgir quando tratamos de coleta de dados: S Será que a contagem do tempo foi iniciada "exatamente no momento em que foram soltos os objetos? S Será que o cronômetro foi parado no exato momento em que os objetos tocaram o solo? S Será que a altura da qual os objetos foram soltos foi medida com precisão?

13 Estas dúvidas podem ser respondidas com um sim, um não ou um talvez, certo? Então é hora de mostrar suas habilidades. Que tal iniciarem esse primeiro projeto como engenheiros desenvolvendo um sistema mais preciso para a coleta destes dados? Pensem que vocês podem desenvolver um primeiro equipamento. Para tanto, busquem conhecer/compreender os processos/métodos de coleta de dados, os instrumentos mais precisos que podem ser utilizados, os erros envolvidos e como minimizá-los através de análises estatísticas. É importante ter em mente que a solução para um problema nem sempre fornece valores que se encaixa dentro de limites razoáveis! Nos problemas reais, os dados com que se trabalha são medidas e, como tais, não são exatos. Erros são inerentes ao processo, não podendo, em muitos casos, serem evitados! Portanto, uma medida física não é um número, mas, sim, um intervalo devido à própria imprecisão das medidas. Para minimizar erros, geralmente fazemos a experiência várias vezes (cerca de 5), tendo os mesmos parâmetros de entrada. No final, tiramos a média (x) das observações e o desvio (a) da média com relação às medidas obtidas. Nesse sentido é que falamos que uma medida é um intervalo: x ± a. É de extrema importância ter noções sobre erros para podermos: identificar suas fontes, controlá-los, evitá-los, estimá-los. Pesquisem sobre os tipos de erros que podem estar mascarando os dados coletados. Isto será importante na validação de seu modelo e consequente modificação. Um outro ponto: Qual o número de casas decimais que devo utilizar na coleta de dados? O fato de uma medida ter muitas casas decimais é um indício de maior precisão? E maior exatidão? Estas perguntas também estão relacionadas com o arredondamento das medidas: aritmética de precisão finita. Um exemplo: uma régua escolar é precisa até a unidade dos milímetros, logo, qualquer medição feita deve ser registrada com esta informação: duas casas decimais! Trabalhe com materiais que estão disponíveis com facilidade para vocês, quem sabe utilizar algo mais sofisticado como sensores, use da sua criatividade e saia na frente.

14 NORMAS PARA ELABORAÇÃO E ENTREGA DA PRODUÇÃO TEXTUAL A resolução da situação-problema deverá ser registrada em forma de um texto que deverá ser postado em seu ambiente virtual. Neste texto você deverá obedecer às seguintes normas: a) Abra um documento no Word seguindo as normas da ABNT. Para maiores informações acesse a Biblioteca virtual disponível em seu ambiente. b) A Produção Textual Interdisciplinar em grupo deverá, obrigatoriamente, ser apresentada à turma no momento da aula atividade da disciplina de Seminário Integrador. c) Ao definir quem serão os participantes do grupo, informe seu tutor de sala. Isto é importante para ele acompanhar e saber quem são os grupos que já estão formados. d) Em caso de dúvida para elaboração do trabalho, você deverá buscar orientações na sala do tutor. e) Atenção aos prazos de postagens! ESTRUTURA DO TRABALHO I. Objetivos (objetivo geral e objetivos específicos) s Lembrem-se que um objetivo sempre começa com um verbo! II. Introdução A introdução teórica do trabalho deverá conter alguns pontos que são de extrema importância: s Descrição do MRUV (toda a teoria). s Atuação da resistência do ar no movimento de queda de corpos. s Dependência da resistência do ar com a velocidade, área do corpo, massa, tipo de material (densidade), forma, etc. s Diferença entre a atuação da resistência do ar para baixas e altas velocidades.

15 S Discussão sobre o valor da aceleração da gravidade: dependência com a altitude. III. Modelagem Matemática Introdução teórica sobre modelagem matemática identificando o que será feito em cada uma das etapas. Pesquisem o assunto nos livros abaixo (nestas referências vocês encontrarão exemplos de modelagem matemática para alguns casos reais): S BASSANEZI, R.C. Modelagem Matemática: Teoria e Prática. São Paulo: Contexto, (Disponível na Biblioteca Digital) S BASSANEZI, R.C. Ensino-Aprendizagem com Modelagem Matemática: Uma Nova Estratégia. São Paulo: Contexto, (Disponível na Biblioteca Digital) S SILVA, M.A. Modelatem Matemática: Equações Diferenciais em Cursos de Graduação Trabalho de Conclusão do Curso Superior de Licenciatura em Matemática. IFSP. São Paulo. III.1 Experimentação Façam uma descrição de todo o procedimento utilizado para a coleta de dados, com material utilizado, esquemas e/ou diagramas dos aparelhos usados e método de coleta de dados. Abram uma subseção só para descrever o material ("Material, Ferramentas e Equipamentos Utilizados ). Forneçam os dados coletados durante a experiência em forma de tabelas. Façam uma explanação sobre os erros que podem ter sido cometidos durante a coleta dos dados. Devem sempre ser considerados apenas os algarismos significativos nos resultados finais. Pesquisem o assunto nos livros: S SPERANDIO, D., MENDES, J.T., SILVA, L.H.M. Cálculo Numérico. São Paulo: Pearson Education (Disponível na Biblioteca Digital) S VARGAS, J.V.C., ARAKI, L.K. Cálculo Numérico Aplicado. São Paulo: Manole (Disponível na Biblioteca Digital) Observações:

16 s Identifiquem os instrumentos no esquema do equipamento utilizado. Isto pode ser feito utilizando fotos do equipamento. s Coloquem o link do vídeo gravado (youtube) durante o procedimento experimental Abstração Identifiquem as hipóteses necessárias para a montagem do problema de queda livre. A resolução da tarefa 2 referente à disciplina de Geometria Analítica e Análise Vetorial (parte I) deverá ser apresentada nesta seção Formulação e Resolução do Modelo Matemático A partir das hipóteses levantadas no item III.2., apresentem as fórmulas matemáticas necessárias para a resolução do movimento de queda livre. A resolução da tarefa 3 referente à disciplina de Cálculo 2 deverá ser apresentada nesta seção. Com base nestas fórmulas, calculem os valores teóricos das posições e tempos de queda. Estes dados serão necessários para a validação do modelo Validação Em um mesmo gráfico, apresentem os valores medidos (representados por pontos - gráfico de dispersão) e os valores teóricos (representados por uma linha). Vocês poderão fazer este gráfico utilizando um software específico para a construção de gráficos ou o software Excel. Os dados experimentais e a linha de tendência teórica devem ser apresentados num mesmo gráfico. Observação: Para fazer o gráfico dos dados teóricos, utilizem muitos pontos, pois, caso contrário, a linha do seu gráfico ficará quebrado. Ele deve mostrar uma linha contínua e suave. Com base no gráfico, concluam se os dados experimentais estão de acordo com a previsão teórica Modificação

17 Façam uma explanação sobre o movimento real da queda de corpos e apresentem as modificações que serão feitas nas fases de Abstração e Modelo Matemático. III.6. Aplicação Apresentem exemplos de aplicação de queda de corpos. IV. Aceleração da Gravidade Local Descrevam o método que deverá ser utilizado para o cálculo da aceleração da gravidade local. Calculem o valor da aceleração da gravidade e compararem esse valor com o valor de 9,8m/s 2. Calculem o erro relativo percentual entre o valor calculado e o valor geralmente adotado. Apresentem a solução da tarefa 5 da disciplina Algoritmos e Lógica de Programação. V. Conclusão Façam uma explanação (um texto corrido) que leve em consideração as questões levantadas: S Considerando as forças que atuam sobre um corpo em queda, o que distingue o movimento em queda livre do movimento real? S As equações do MRUV modelam a queda de corpos? Ou seja, suponha que um engenheiro queira determinar a altura de um edifício e que para isso disponha apenas de uma bolinha de metal, um cronômetro e um pouco de conhecimento de Física. Ele sobe ao topo de um edifício e mede o tempo que a bolinha gasta para tocar o solo e, desta forma, calcula a altura do prédio utilizando as equações do MRUV. Este resultado é confiável?

18 s Qual a interferência da massa do corpo em seu tempo de queda? E a sua forma e composição? s A aceleração da gravidade é uma constante? Como é possível calcula-la teoricamente? s Qual o valor da aceleração da gravidade na sua região? É interessante descrever as principais dificuldades encontradas no procedimento experimental e na validação do modelo matemático. VI. Referências VII. Anexos Os anexos são utilizados para colocar alguma dedução que seja importante e tenha sido utilizada nos cálculos das grandezas físicas da experiência, fotos do experimento, etc. REFERÊNCIAS BASSANEZI, R.C. Modelagem Matemática: Teoria e Prática. São Paulo: Contexto, (Disponível na Biblioteca Digital) BASSANEZI, R.C. Ensino-Aprendizagem com Modelagem Matemática: Uma Nova Estratégia. São Paulo: Contexto, (Disponível na Biblioteca Digital) SILVA, M.A. Modelatem Matemática: Equações Diferenciais em Cursos de Graduação Trabalho de Conclusão do Curso Superior de Licenciatura em Matemática. IFSP. São Paulo. SPERANDIO, D., MENDES, J.T., SILVA, L.H.M. Cálculo Numérico. São Paulo: Pearson Education (Disponível na Biblioteca Digital) VARGAS, J.V.C., ARAKI, L.K. Cálculo Numérico Aplicado. São Paulo: Manole (Disponível na Biblioteca Digital) Um ótimo trabalho! Equipe de professores!