APÊNDICE A CADENO DE ATIVIDADES PONTIFÍCIA UNIVESIDADE CATÓLICA DE MINAS GEAIS Mestado em Ensino de Ciências e Matemática COMPOSIÇÃO E/OU DECOMPOSIÇÃO DE FIGUAS PLANAS NO ENSINO MÉDIO: VAN HIELE, UMA OPÇÃO enato Fade Eliane Scheid Gazie
INTODUÇÃO O pesente tabalho, esultado decoente de um pocesso de pesquisa no Mestado de Ensino de Ciências e Matemática da PUC-Minas, foi oientado e sugeido pela pofessoa Eliane Scheid Gazie e tem como objetivo apesenta ao educado uma possibilidade de intevenção pedagógica no ensino da Matemática, mais especificamente na composição e/ou decomposição de figuas planas na esolução de poblemas geométicos. Neste módulo são apesentadas sugestões de vinte questões envolvendo o tema, com a sua esolução, oientações e comentáios paa o pofesso tabalhá-las em sala de aula. As atividades foam pepaadas dento de uma linha metodológica voltada paa a esolução de poblemas, definidas e testadas duante o pocesso da pesquisa. Após o contato com essas questões, muitas outas podem se pepaadas pelo pópio usuáio que tenha inteesse docente. Acompanha este módulo um CD com os poblemas paa seem aplicados na sala de aula. A intenção é que este mateial, como modelo didático-metodológico, contibua paa o desenvolvimento de habilidades e de conceitos geométicos, de aciocínio lógico e, em suma, de compeensão do pocesso de composição e/ou decomposição de figuas planas. Neste Cadeno de Atividades, apesentaemos sugestões de questões paa que os pofessoes de Matemática tabalhem com os alunos do Ensino Médio. Emboa tenha sido feita uma tentativa de colocá-las em odem cescente de dificuldade, o pofesso, conhecendo as potencialidades dos seus alunos, é que deveá decidi se apesentaá esse ou aquele poblema ao seu educando ou, ainda, a odem a se disponibilizada. Aceditamos que, após a leitua deste tabalho, pofessoes e estudantes de Matemática estaão mais bem pepaados paa desenvolve atividades que envolvam a composição e/ou decomposição de figuas planas. Os autoes.
PEFÁCIO Pezado (a) leito (a): Um dos pincipais objetivos do ensino de Matemática é faze o aluno a pensa podutivamente e, paa isso, nada melho que apesenta-lhe situações-poblema que o envolvam, o desafiem e o motivem a quee esolvê-las. (DANTE, 00, p.11). Sugeimos, como poposta de tabalho pedagógico, atividades pautadas no modelo Van Hiele de desenvolvimento do pensamento geomético, uma vez que sugee uma oganização do tabalho de modo a popicia uma apendizagem significativa das habilidades geométicas, possibilitando ao aluno da ª séie do Ensino Médio a competência necessáia à esolução de poblemas po meio da composição e/ou decomposição de figuas planas. O modelo consiste em cinco níveis ascendentes de compeensão, descevendo caacteísticas do pocesso de pensamento. O pogesso de um nível paa o seguinte se dá aceca da vivência de atividades adequadas, não dependendo da idade ou matuação do aluno (LOPES; NASSE, 1997). O modelo Van Hiele é fundamentado numa visão que valoiza a apendizagem da Geometia ao longo de todos os anos de Ensino Básico, uma vez que se move sequencialmente a pati do nível inicial (visualização), até o nível mais elevado (igo), sendo cada nível caacteizado po elações ente os objetos de estudo e linguagens pópias. Po isso, duante o estudo, é necessáio um acompanhamento sistemático po pate do educado, no sentido de gaanti ao educando atividades po meio das quais ele possa vivencia cada nível de aciocínio a pati do domínio dos níveis anteioes. Assim, deve-se esta atendo aos cinco níveis de compeensão, a sabe: Visualização: Apenas a foma de uma figua é pecebida. Análise: A figua é analisada e seus componentes e popiedades são descobetos.
Dedução infomal: Pecebe-se que uma figua pode te mais do que um nome (inclusão de classes). Exemplo: um quadado também é um etângulo (e um paalelogamo!). Dedução: Constói-se demonstações e não apenas as memoiza; enxega a possibilidade de desenvolve uma demonstação de mais de uma maneia; compeende a inteação das condições necessáias e suficientes; distingue uma afimação e sua ecípoca. igo: A Geometia é vista no plano abstato. Este nível ecebe pouca atenção dos pesquisadoes, po isso é menos desenvolvido. Até mesmo Van Hiele, fundamentado do modelo que leva seu nome, se dedicava mais aos quato pimeios níveis do que a este. Vale essalta, ainda, que, são os desafios popostos pelo pofesso que vão oienta o tabalho do discente, tonando-o capaz de ealiza quaisque atividades que envolvam as habilidades adquiidas. Essas consideações mostam que o pofesso inteessado na evolução cognitiva de seus alunos não pode apenas estingi-se ao conhecimento do conteúdo a se desenvolvido em sala de aula. É necessáio busca estatégias de ensino que favoeçam o inteesse e a motivação dos alunos. Po fim, este tabalho tem como objetivo auxilia o docente no execício de seu ofício, a desenvolve habilidades geométicas baseando-se no modelo Van Hiele.
SUGESTÕES DE ATIVIDADES
ATIVIDADE 1 Consideando como unidade de medida o a quantos quadinhos? A) 10 B) 1 C) 17 D), a áea destacada da figua coesponde esolução Altenativa C Pelo fato da figua esta sobe a malha quadiculada espea-se que os alunos optem po contaem quadadinho po quadadinho, uma vez que a efeência dada epesenta a áea de um quadadinho. Logo, conta-se quantos quadadinhos a figua tem e obtém a esposta. Potanto, altenativa C. Nesse caso, sugee-se o empego do modelo Van Hiele que exploe a visualização e a analise da figua.
ATIVIDADE Na figua, o lado de cada quadadinho mede 1 cm. Qual é a áea da egião cinza? A) 10 cm B) 1,5 cm C) 1,5 cm D) 16 cm esolução Altenativa B Uma solução é obseva que é possível sobepo a egião banca do quadado à egião cinza, bastando paa isso giá-la 180º ao edo do cento do quadado. Logo elas têm a mesma áea, que é igual á metade da áea do quadado, ou seja, 5 1,5 cm. Outa solução é calcula a áea da egião cinza po pates, como na figua ao lado. Paa isso, usamos epetidamente o fato de que a diagonal de um etângulo divide esse etângulo em dois tiângulos de mesma áea. Na figua, decompomos a egião cinza em tiângulos e etângulos, indicando em cada um sua áea. Logo a áea da egião cinza é 1 1 0,5,5 1 0,5 1,5 cm. Nessa atividade sugee-se uma visualização cuidadosa das figuas inseidas na malha, seguida de uma análise citeiosa e da aplicação da dedução.
ATIVIDADE Na malha etangula ao lado, o peímeto da figua A é 156 cm e o da figua B é 1 cm. Qual é o peímeto da figua C? A) 15 cm B) 1 cm C) 160 cm D) 17 cm esolução Altenativa B Sejam b, h e d, espectivamente, os compimentos da base, altua e diagonal dos etângulos da malha. O peímeto da figua A é igual a 1 d, donde 156 concluímos que d 1. O 1 peímeto da figua B é igual a 1 8d h 5. O teoema de Pitágoas diz que 8 8h 8d, donde concluímos que 1 8h 8d d b h e segue que b 1 5 1 1. Finalmente o peímeto da figua C é igual a 6b h d, ou seja, 61 5 1 1 cm. Já nessa atividade faz-se necessáio o empego do modelo de van Hiele pesente na esolução de poblemas que tabalhe com a visualização, a análise e a dedução infomal. e
ATIVIDADE Uma egião a se cultivada está epesentada na malha quadiculada seguinte. Se a malha é quadiculada com quadados de lados iguais a 1 km, então, a áea, em km, da egião a se cultivada, é: A) 9 B) 1 C) D) 0 esolução Altenativa B Essa é uma questão que veifica a capacidade de os alunos decompoem a figua em polígonos tiangulaes e quadangulaes. Sendo assim, os pé equisitos são básicos (áea do tiângulo, áea do etângulo, áea do quadado, áea do tapézio etc). Paa essa questão são apesentadas duas soluções, a segui. Obseve que paa esolve essa atividade é possível uma intevenção que tabalhe a visualização, a análise e a dedução infomal, confome o modelo Van Hiele.
Pimeia solução Mediante esses conhecimentos, uma possível solução é inicia a esolução decompondo a figua em um tapézio e em um tiângulo. Consideando A, como a áea da egião a se cultivada, tem-se: A Áea Tapézio Áea Tiângulo A A ( 10 6) 7 7 A 1 km esposta. Utilizando essa estatégia de decomposição, têm-se outas maneias de se chega à Segunda solução Pelo fato de a figua esta sobe a malha quadiculada, espeava-se um alto índice de aceto, pois muitos alunos, ao se depaaem com esse tipo de questão, optam po contaem quadadinho po quadadinho, uma vez que a efeência dada (1x1) epesenta a sua áea. Logo, conta-se quantos quadadinhos a figua tem e, po apoximações, obtém-se a esposta.
ATIVIDADE 5 O tangam é um conhecido queba-cabeça que consiste em um quadado composto po sete polígonos: cinco tiângulos etângulos isósceles, um quadado e um paalelogamo. Com um tangam, em que AB = 10 cm, constuímos este matelo : A áea do matelo mede: A) 100 cm B) 50 cm C) 100( 1) cm D) 50( 1) cm esolução Altenativa A Ao constuimos qualque figua com todas as peças do tangam as áeas seão iguais, potanto paa descobi a áea do matelo basta sabe a áea do quadado ( 10 10 100). Potanto, altenativa A. Na esolução do poblema apesentado, deve-se segui o modelo Van Hiele quanto à visualização, à analise, à dedução infomal e à dedução.
ATIVIDADE 6 No etângulo a segui, A, B e C são pontos médios de seus lados e O é o ponto de enconto de suas diagonais. A áea da egião sombeada é: 1 A) da áea do etângulo. 1 B) da áea do etângulo. 1 C) da áea do etângulo. D) da áea do etângulo. 5 esolução Altenativa C O aluno econhece que a figua pode se dividida em quato pates, pecebendo que a egião sombeada possui áea igual a da egião banca, logo, a áea sombeada é metade da áea do etângulo. Paa a solução do poblema pode-se utiliza os níveis de visualização e análise. do modelo Van Hiele.
ATIVIDADE 7 Na figua está epesentado o etângulo ABCD cuja diagonal AC foi dividida em tês pates iguais pelos pontos P e Q: Consideando-se que BC 1 e CD 9 é COETO afima que a áea do tiângulo CDQ é A) 18. B) 18,75. C),50. D) 5. esolução Altenativa A Consideem-se as seguintes constuções na figua inicial:
Tata-se de um item de nível elevado, pois o aluno pecisa te uma abstação capaz de visualiza uma eta, passando po D, paalela ao segmento AC. Entende-se, assim, que todo segmento pependicula às duas etas é a altua. Infei essa definição não é fácil. Além disso, o aluno deve te o domínio de que a áea de um tiângulo não se altea quando sua base pemanece fixa e o teceio vétice pecoe uma eta paalela à base. Finalmente, quando duas figuas possuem mesma áea, dizemos que elas são equivalentes. A questão apesenta como habilidades cognitivas pimodiais a compeensão, intepetação e extapolação. A decomposição da figua se faz pesente, uma vez que, pimeiamente, decompõese o etângulo em duas pates iguais, atavés da diagonal AC e, posteiomente, uma nova decomposição em tês pates iguais, pois os tiângulos ADP, PDQ e QDC possuem mesma base e mesma altua, logo, são conguentes e possuem áea igual a 18, potanto altenativa coeta é a A. Potanto, nessa atividade, a visualização, a análise e a dedução infomal é de suma impotância paa a solução da questão apesentada.
ATIVIDADE 8 Obsevando a figua a segui, na qual ABCD é um quadado, detemine a distância pecoida po uma pessoa que sai do vétice A e pecoe os contonos das semicicunfeências, etonando ao ponto A. ( Obsevação: Considea,1). A) 6 unidades de compimento. B) 7 unidades de compimento. C) 7,68 unidades de compimento. D) 8,68 unidades de compimento. esolução Altenativa C Devemos pecebe que o que se pede é o peímeto de quato semicicunfeências. A segui, econhecemos que o lado do quadado é 6, uma vez que a diagonal do quadado é 6. Logo, o aio das cicunfeências é, metade do lado do quadado. Esta questão exige pimeiamente, visualização além do econhecimento da fómula do compimento de uma cicunfeência, C. Sendo assim, calcula-se C,1 C 18, 8. Como são duas semicicunfeências, a distância pecoida é 18,8 7,68. Potanto, altenativa C. Nesta atividade, pecebem-se os níveis visualização, análise, dedução infomal e dedução do modelo Van Hiele.
ATIVIDADE 9 A cicunfeência cicunscita ao hexágono egula possui aio de cm. em cm: A pati dessa infomação, é COETO afima que o caminho em negito mede A) 0 B) 8 0 C) 8 D) esolução Altenativa A Obseva-se que o caminho em negito da figua epesenta o seu peímeto. Paa a esolução da mesma, é necessáio que o aluno visualize as codas CD e AF sendo essas os diâmetos das semicicunfeências, e tenha conhecimento da fómula esolutiva do compimento de uma cicunfeência e da popiedade de polígonos inscitíveis. Paa tanto, o caminho em negito é calculado da seguinte maneia: Peímeto Peímeto 5 0 Peímeto 0 Nesta atividade pecebem-se os níveis visualização, análise e dedução infomal e dedução.
ATIVIDADE 10 Na figua, vê-se uma semicicunfeência de diâmeto AC, no qual foam constuídas as semicicunfeências de diâmeto AB e BC, cujas medidas são 6 cm e cm, espectivamente. O peímeto da egião destacada, em cm, é: A) 5. B) 10. C) 19. D) 0. esolução Altenativa B Paa esolve essa questão, os alunos pecisam se capazes de visualiza e analisa as infomações do texto com a figua, devendo pecebe a decomposição da figua, econhecendo que o que se pede é a somatóia do peímeto de cada uma das tês semicicunfeências e não a áea, apesa de a figua o induzi a pensa dessa foma. Uma vez memoizado que o compimento C de uma cicunfeência é dado pela fómula C =, o peímeto (P) da egião sombeada é dado po: P = 5 + + P = 10 Nesta atividade pecebem-se os níveis visualização, análise e dedução infomal e dedução.
ATIVIDADE 11 Na figua, o etângulo ABCD tem dimensões 15m e 6m e os acos CE e AF têm centos nos vétices B e D, espectivamente. A áea da egião sombeada, em m², consideando, é igual a A) 81 B) 6 C) 6 D) 18 esolução Altenativa C Nessa questão, espea-se que os alunos sejam capazes de visualiza e analisa as infomações do texto com a figua. Eles devem, potanto, pecebe a decomposição e composição da figua, econhecendo que o que se pede é a áea do etângulo menos a metade da áea do cículo (composição de duas pates). Uma vez que a áea do etângulo é o poduto da base pela altua e que a do cículo é., a esolução da questão é imediata: 90-5 = 6. Aconselha-se etoma as definições de cículo, cicunfeência, quadiláteos, paalelogamos e etângulos, aplicando o modelo Van Hiele quanto à visualização e à análise das figuas apesentadas.
ATIVIDADE 1 Considee que os ângulos de todos os cantos da figua abaixo são etos e que todos os acos são acos de cicunfeências de aio, com centos sobe os pontos em destaque: Nesse caso, a áea da egião sombeada é igual a: A). B). C) 16. D) 16. esolução Altenativa C Consideando as seguintes constuções na figua inicial e indicando po AS a áea sombeada, tem-se duas opções de eagupamento da egião sombeada mencionada no texto, que sejam: a) b) A S l A S A S 16 infomal. Nesta atividade, estão pesentes os níveis Van Hiele, visualização, análise e dedução
ATIVIDADE 1 Obseve a figua: Nela, a cicunfeência de cento O tem aio e acos AB, BC, CD, DE, EF, FG, GH e HA conguentes. O valo da áea sombeada, em função de, é A) ( ). B) ( 1). C). D) ( 1). esolução Altenativa A Dado que os acos são todos conguentes, então, podemos calcula os ângulos centais: A cicunfeência completa mede 60º, ou seja, 60º equivale a 8 acos, logo, 1 aco equivale a 60º/8, que dá 5º. Potanto, 5º é a medida de cada um dos ângulos de cada tiângulo etângulo. Isso indica que cada tiângulo etângulo é isósceles (tem catetos iguais). Então, paa cada tiângulo:
hipotenusa ( aio do cículo) cateto a a a a a a a Pecebe-se que na composição de dois tiângulos obtém-se um quadado. A áea sombeada, po sua vez, é obtida pela difeença ente a áea do cículo e quato vezes a áea do quadado, logo: A s Áea Sombeada Áea do Cículo Áea do Quadado Seja A s atividade. As a áea sombeada. A s A s Os níveis visualização, análise, dedução infomal e dedução estão pesentes nesta
ATIVIDADE 1 Nessa figua, o tiângulo equiláteo ABC está inscito numa cicunfeência de aio : Então, a áea da egião hachuada é: A). B). C). D). esolução Altenativa A Considee as seguintes constuções na figua inicial:
A áea da egião hachuada é igual a um teço da difeença ente a áea do cículo e a áea do tiângulo ABC. Como a única medida fonecida é o valo do aio, deve-se esceve o lado CB do tiângulo, de medida igual a l, e sua altua AH, de medida igual a h, necessáios paa o cálculo de sua áea, em função do aio da cicunfeência. A altua do tiângulo é igual à soma de seu apótema, a = OH, com o aio, = AO, da cicunfeência. Assim, deve-se esceve o apótema em função do aio. O tiângulo ABC é equiláteo e está inscito na cicunfeência. O segmento OH= a = 1 1, pois epesenta da altua. Como o segmento AO = =, tem-se que h =. Utilizando-se do Teoema de Pitágoas, chega-se a: OB OH HB 1 HB 1 HB HB, logo, o lado do tiângulo é l = 1 Áea hachuada 1 Áea hachuada Áea do Cículo l 1 Áea hachuada 1 1 Áea hachuada 1 Áea hachuada Áea hachuada Áea do Tiângulo Os níveis de Van Hiele pesentes na esolução são: visualização, análise e dedução infomal e dedução.
ATIVIDADE 15 Obseve a figua: Nessa figua, ABCD epesenta um quadado de lado 11 e AP = AS = C = CQ. O peímeto do quadiláteo PQS é A) 11. B). C) 11. D). esolução Altenativa D Consideando-se as seguintes constuções na figua inicial e indicando po P o peímeto do quadiláteo PQS, tem-se: P x 11 x x 11 x P x 11 x x 11 x P Os níveis de Van Hiele pesentes na esoluçã são: visualização, análise e dedução infomal e dedução.
ATIVIDADE 16 Na figua abaixo, os cículos menoes são tangentes ente si e aos cículos concênticos de aio e. A áea da egião sombeada é: A) ). ( B) ). ( C) ). ( D) ). ( E) ). ( esolução Altenativa C Paa esolve a questão é necessáio que o aluno peceba a áea sombeada como sendo a difeença ente o Cículo maio e a somatóia do cículo intemediáio com os 1 menoes: 1 A 1 A ] 6 [ A A 6 A. Potanto, altenativa C. É impotante essalta que pelo fato de os dados da questão apesentada acima não seem numéicos, dificulta a esolução da questão. Como sugestão de atividades de intevenção pedagógica é inteessante discuti questões que facilitem a passagem de dados aitméticos paa algébicos. Os níveis Van Hiele pesentes na esolução são: visualização, análise e dedução infomal e dedução.
ATIVIDADE 17 A figua mosta um etângulo de áea cm com os pontos médios dos lados em destaque. Qual é a áea, em cm, da egião cinza? i. 8 ii. 10 iii. 1 iv. 1 esolução Altenativa D Considee a decomposição do etângulo indicada na figua, e seja a a áea do etângulo. As áeas B1 e B são iguais, pois coespondem a áeas de tiângulos com mesma medida de base e altua; o mesmo ocoe com B e B. O tiângulo etângulo fomado po B 1, B e B tem como catetos um lado do etângulo e metade do outo lado; sua áea é então B a e temos 1 B B B B B que a B1 B B ; o mesmo ocoe com B B B. Logo, o que implica em B1 B. Logo B1 B B B e segue a a B 1 B 1 B 1 B 1, donde B1. Po simetia, todas essas conclusões se 1 a a aplicam a C 1, C, C e C. Logo A a 8 1cm. 1 Os níveis Van Hiele pesentes na esolução são: visualização, análise e dedução infomal e dedução.
ATIVIDADE 18 Obseve a figua: Nela, a cicunfeência maio C tem aio, e cada uma das cicunfeências menoes, C 1, C, C e C, é tangente a C e a um lado do quadado inscito. Os centos de C 1, C, C e C estão em diâmetos de C pependiculaes a lados do quadado. A soma das áeas limitadas po essas quato cicunfeências menoes é A) 8 ( ). B) ( ). C) ( ). D) ( ). esolução Altenativa D Consideando as seguintes constuções na figua inicial e, posteiomente, aplicando o Teoema de Pitágoas, tem-se:
x x x x A A A 6 A A 6 A Como sugestão, desenvolve atividades que envolvam figuas inscitíveis e cicunscitíveis em difeentes níveis de dificuldade, confome os níveis Van Hiele: visualização, análise e dedução infomal e dedução.
ATIVIDADE 19 Obseve esta figua: Nessa figua, o quadado ABCD tem áea igual a 1; o tiângulo BPQ é equiláteo; e os pontos P e Q petencem, espectivamente, aos lados AD e CD. Assim sendo, a áea do tiângulo BCQ é: A) 1. B) C) D).. esolução Altenativa C Paa a esolução desta questão, é necessáio que o aluno tenha conhecimentos sobe os seguintes conteúdos: elações méticas no tiângulo etângulo e áea de tiângulos e quadiláteos.
Na figua abaixo, ABCD é um quadado de lado 1 e BPQ é um tiângulo eqüiláteo, cujo lado é equivalente à hipotenusa do tiângulo etângulo BCQ, de altua 1 e base x: A pati do Teoema de Pitágoas, conclui-se que equivalente a PB e PQ. A pati do tiângulo etângulo DPQ, tem-se que: 1 x x 1 0 ( 1 x) (1 x) x As aízes da equação acima são BQ 1 x. Esse valo é Paa essa situação, tem-se como condição de existência x < 1. No entanto, a solução da equação é dada po x =, consequentemente, a áea do tiângulo BCQ é igual a. Potanto, a altenativa coeta é a leta C. Sugeimos, como atividade de intevenção pedagógica, questões envolvendo a decomposição de figuas planas, enfatizando o Teoema de Pitágoas, a áea de polígonos associadas à condição de existência de um dado poblema, em que os níveis Van Hiele visualização, análise e dedução infomal e dedução estejam pesentes.
ATIVIDADE 0 O tapézio isósceles da figua tem um ângulo agudo de 60 e áea. A áea do cículo inscito nesse tapézio é: A) B) C) D) esolução Altenativa D Consideando-se as seguintes constuções na figua inicial, obseva-se que, paa se obte a áea do cículo, é necessáio detemina o aio do mesmo:
Sendo assim, utiliza-se a tigonometia básica paa obte: cateto oposto tg 0 x x cateto adjacente x tg 0 y y y Dado que a áea do tapézio é de, e mediante a figua inicial (metade da figua, uma vez que a figua é simética), tem-se: ( Base Maio Base meno) altua 6 6 6 6 1 6 Sabendo-se que a áea do cículo é dada pela fómula: A, conclui-se que A. Sugeimos como atividade de intevenção pedagógica, questões envolvendo a decomposição de figuas planas, enfatizando o Teoema de Pitágoas, as áeas dos quadiláteos e do cículo e a tigonometia básica, focadas nos níveis Van Hiele: visualização, análise e dedução infomal e dedução.