13 CAPÍTULO 2 DINÂMICA DA PATÍCULA: OÇA E ACELEAÇÃO Nese capíulo seá aalsada a le de Newo a sua foma dfeecal, aplcada ao movmeo de paículas. Nesa foma a foça esulae das foças aplcadas uma paícula esá elacoada com a sua aceleação. 2.1 LEIS DE NEWTON PAA MOVIMENTOS A mecâca veoal esá aseada a eoa de Newo, apeseada ogalmee em 1687. Newo ulou paa o desevolvmeo de sua eoa os aalhos de ouos cesas que o pecedeam, especalmee de Galleo e de Keple. Aavés de epemeos pácos, Galleo demosou algus pcípos do movmeo dos copos. Eeao Newo fo o pmeo a esaelece de uma foma ssemáca um cojuo de les geas paa o esudo desses movmeos. Esas les foam fomuladas calmee paa paículas smples, assumdo a esêca de ssemas de efeêca, em elação aos quas são váldas. Eses ssemas de efeêca, chamados ssemas ecas ou galleaos, fomam um cojuo especal de ssemas de efeêca que esão em epouso ou em movmeo elíeo ufome, um em elação ao ouo. Na mecâca ewoaa um ssema ecal é defdo como aquele que esá em epouso ou em movmeo ufome em elação a uma suposa posção méda de eselas fas e dsaes. Eeao, paa muos ojevos pácos é possível adoa como ecal um ssema fo ao ssema sola. Em muas aplcações da egehaa é possível adoa como ecal um ssema de efeêca fo à supefíce da ea. Newo eucou suas les como aomas do movmeo, hoje apeseadas da segue foma:
14 Pmea le: Uma paícula se move em lha ea com velocdade cosae quado ão há foças auado soe ela. Uma paícula é a dealação de um copo maeal cujas dmesões são muo pequeas quado compaadas com as dsâcas a ouos copos e cujo movmeo elavo ee seus poos ão é elevae paa o movmeo do copo. Maemacamee eses copos são epeseados po massas pouas. Sedo a foça esulae uma paícula e v a sua velocdade em elação a um efeecal ecal, a pmea le pode se esaelecda po: dv 0 0 ou v = cosae (2.1) d Seguda le: Uma paícula se move de maea al que a foça esulae a ela aplcada é gual à devada em elação ao empo da quadade de movmeo lea. A quadade de movmeo lea, ou smplesmee quadade de movmeo, é defda como o poduo da massa pela velocdade, ou seja, gual a mv. Assm a seguda le pode se dada po: d( mv) (2.2) d como: Sedo cosae a massa da paícula, eão a equação (2.2) pode se esca d( mv) d ma (2.3) Tecea le: Quado duas paículas auam uma soe a oua, as foças de eação coespodees suam-se soe a lha que ue esas paículas; são guas em módulo e de sedos coáos. Esa le amém é cohecda como le de ação e eação. Idcado po AB a foça eecda pela paícula A soe a paícula B e BA a foça que a paícula B eece em A, a ecea le pode se esaelecda maemacamee po:
15 AB BA (2.4) Newo amém popôs uma le paa ege a aação múua ee duas paículas, deomada Le de Newo da Aação Gavacoal, dada po ode m1m2 G G (2.5) 2 G é foça de aação ee as duas paículas G = 66,73 (10-12 ) m 3 /(kg.s 2 ) é uma cosae uvesal de gavação m 1, m 2 são as massas de cada uma das paículas é a dsâca ee as paículas Aalsado a le dada po (2.5) podeemos cosdea como despeível esa foça quado se aa da aação ee dos copos soe a ea. Se cosdeamos, po ouo lado, a aação que a ea eece soe um copo em sua supefíce, pode-se mosa que esa foça é dada po ode Mm W G mg (2.6) 2 W é a foça de aação ee a ea e o copo, deomada peso M é a massa da ea é gual ao ao da ea m é a massa copo a supefíce da ea M g G é deomada aceleação da gavdade 2 Esa cosae de fao vaa ao logo da supefíce da ea, mas esas vaações são cosdeadas pequeas a maoa das aplcações em egehaa. Os valoes de efeêca adoados uvesalmee são: g = 9,81 m/s 2 ou 32,2 f/s 2.
16 2.2 EQUAÇÃO DE MOVIMENTO PAA PATÍCULA esca como Quado váas foças auam soe uma paícula, a equação (2.3) pode se ma (2.7) ode é a foça esulae do ssema de foças que aua a paícula de massa m. A gua 2.1 lusa o dagama do copo lve de uma paícula P ode auam duas foças. 1 P = P = ma 2 gua 2.1 - Dagama do copo lve de uma paícula P. 2.3 EQUAÇÃO DE MOVIMENTO PAA UM SISTEMA DE PATÍCULAS Seja um ssema de váas paículas e sejam as foças eeas ao ssema dcada po e as eas dcadas po f. Aplcado a le de Newo paa cada paícula dese ssema podemos esceve f m a (2.8) j ode é a foça esulae eea a paícula f j é a foça da paícula j soe a paícula m é a massa da paícula Podemos agoa soma a equação (2.8) aplcada a odas as paículas eas ao ssema, cujo esulado é
17 f m a (2.9) j Sedo as f j foças eas ao ssema dado, sempe ocoeão em paes de ação e eação, esulado uma soma ula. Assm (2.9) é gual a m a (2.10) Agoa vamos lema que a posção G do ceo de massa de um ssema de paículas de massas m é dada po ode m (2.11) G m m m é a massa oal do ssema Devado (2.11) duas vees o empo, oemos ma a (2.12) G m Susudo (2.12) em (2.10), esula ma G (2.13) que é uma foma paecda com a equação de movmeo paa uma paícula, mas cujos emos devem se epeados de foma dfeee. A foça é a foça esulae de odas as foças eeas que auam o ssema de paículas; a massa m é a soma de odas as massas das paículas e a aceleação a G é a aceleação do ceo de massa do ssema. O ceo de massa do ssema esá localado uma posção que vaa com o empo, em geal ão cocdee com ehuma paícula do ssema.
18 2.4 EQUAÇÃO DE MOVIMENTO: COODENADAS ETANGULAES Vamos oma um ssema ecal de efeêca as coodeadas. A foça esulae aplcada a uma paícula de massa m pode se esca como j k (2.14) e a equação do movmeo j k m( a a j a k) (2.15) Logo, esa equação veoal pode se susuída po ês equações escalaes ma ma (2.16) ma A gua 2.2 mosa as compoees eagulaes de uma dada foça aplcada a uma paícula P de massa m. m gua 2.2 - Compoees eagulaes.
19 2.5 EQUAÇÃO DE MOVIMENTO: COODENADAS TANGENCIAL E NOMAL Em muos movmeos que ocoem em ajeóas cuvlíeas cohecdas, foças aplcadas podem se escas em fução das coodeadas agecal, omal e omal (esa complea o ssema de efeêca uma deção omal ao plao do movmeo) como u u u (2.17) e a equação do movmeo u u u m( a u a u) (2.18) Logo, esa equação veoal pode se susuída po ês equações escalaes ma ma (2.19) 0 A gua 2.3 mosa os vesoes das deções agecal, omal e omal um dado sae do movmeo de uma paícula P. O u u P u gua 2.3 - Deções agecal, omal e omal.
20 2.6 EQUAÇÃO DE MOVIMENTO: COODENADAS CILÍNDICAS Algus movmeos são mas faclmee escos em fução de coodeadas clídcas. Neses casos as foças aplcadas podem se escas como u u u (2.20) e a equação do movmeo u u u m( a u a u a u) (2.21) Logo, esa equação veoal pode se susuída po ês equações escalaes ma ma (2.22) ma A gua 2.4 mosa os vesoes das deções agecal, omal e omal um dado sae do movmeo de uma paícula P. u u P u u u gua 2.4 - Coodeadas clídcas.