ESQUEMA FATORIAL Lucas Santana da Cunha http://www.uel.br/pessoal/lscunha Universidade Estadual de Londrina Departamento de Estatística 22 de julho de 2017
Esquema Fatorial Nos experimentos mais simples comparamos níveis (tratamentos) de apenas um fator;
Esquema Fatorial Nos experimentos mais simples comparamos níveis (tratamentos) de apenas um fator; Entretanto, existem casos em que dois ou mais fatores devem ser estudados simultaneamente para que possam nos conduzir a resultados de interesse;
Esquema Fatorial Nos experimentos mais simples comparamos níveis (tratamentos) de apenas um fator; Entretanto, existem casos em que dois ou mais fatores devem ser estudados simultaneamente para que possam nos conduzir a resultados de interesse; Em geral, os experimentos fatoriais são mais eficientes para este tipo de experimento, pois estudam, ao mesmo tempo, os efeitos de dois ou mais fatores, cada um deles com dois ou mais níveis.
O fatorial é um tipo de esquema, ou seja, uma das maneiras de organizar os tratamentos e não um tipo de delineamento;
O fatorial é um tipo de esquema, ou seja, uma das maneiras de organizar os tratamentos e não um tipo de delineamento; Os experimentos fatoriais são montados segundo um tipo de delineamento experimental;
O fatorial é um tipo de esquema, ou seja, uma das maneiras de organizar os tratamentos e não um tipo de delineamento; Os experimentos fatoriais são montados segundo um tipo de delineamento experimental; Nos experimentos fatoriais, os tratamentos são obtidos pelas combinações dos níveis dos fatores.
Exemplo 1 Num experimento fatorial pode-se combinar 2 doses de um antibiótico com 2 diferentes níveis de vitamina B12. Neste caso tem-se um fatorial 2 2, com os fatores Antibióticos (A) e Vitamina (V ), que ocorrem em 2 níveis (A 1 e A 2 ) e 2 níveis (V 1, V 2 ), respectivamente, e os 2 2 = 4 tratamentos seriam: A 1 V 1 A 1 V 2 A 2 V 1 A 2 V 2.
Exemplo 2 Num experimento fatorial pode-se combinar 3 doses de uma droga com 2 idades distintas. Neste caso tem-se um fatorial 3 2 pode-se combinar 3 Doses de uma droga (D 1, D 2 e D 3 ), 2 Idades (I 1 e I 2 ) e tem-se 3 2 = 6 tratamentos, que seriam: D 1 I 1 D 1 I 2 D 2 I 1 D 2 I 2 D 3 I 1 D 3 I 2
Exemplo 3 Num experimento fatorial pode-se combinar 3 variedades, 2 adubações e 2 épocas de plantio. Neste caso tem-se um fatorial 3 2 2 pode-se combinar 3 variedades (V 1, V 2 e V 3 ), 2 Adubações (A 1 e A 2 ) e 2 épocas de plantio (E 1 e E 2 ) e tem-se 3 2 2 = 12 tratamentos, que seriam: V 1 A 1 E 1 V 1 A 1 E 2 V 1 A 2 E 2 V 2 A 1 E 1 V 2 A 1 E 2 V 2 A 2 E 2 V 3 A 1 E 1 V 3 A 1 E 2 V 3 A 2 E 2
Tipos de efeitos avaliados Efeito Principal: é o efeito de cada fator, independente do efeito dos outros fatores;
Tipos de efeitos avaliados Efeito Principal: é o efeito de cada fator, independente do efeito dos outros fatores; Efeito de Interação: é o efeito simultâneo dos fatores sobre a variável em estudo. Dizemos que ocorre interação entre os fatores quando os efeitos dos níveis de um fator são modificados pelos níveis do outro fator.
Exemplo 1 Consideremos um experimento fatorial 2 2, com os fatores, Antibiótico (H) e Vitamina B12 (V) nos níveis: H 1 (sem antibiótico) e H 2 (com antibiótico); V 1 (sem vitamina B12) e V 2 (com vitamina B12), adicionados a uma dieta básica. Suponha os seguintes resultados de ganho de peso (kg), para os 2 2 = 4 tratamentos, nas seguintes situações:
Não há interação entre os fatores Fator H Fator B Vitamina B12 Dose do antibiótico V 1 V 2 Totais H 1 20 40 50 H 2 30 52 92 Totais 60 82 142
Há interação entre os fatores Fator H Fator B Vitamina B12 Dose do antibiótico V 1 V 2 Totais H 1 20 50 70 H 2 40 10 50 Totais 60 60 120
Vantagens Esquema Fatorial As principais vantagens dos experimentos fatoriais em relação aos experimentos simples são: a) Pode-se estudar dois ou mais fatores num único experimento. b) Pode-se, por meio dos efeitos das interações, verificar se um fator é independente ou dependente do(s) outro(s).
Desvantagens Esquema Fatorial As principais desvantagens dos experimentos fatoriais são: a) O número de tratamentos ou combinações de níveis de fatores cresce, rapidamente, com o aumento do número de níveis, em cada fator, ou mesmo com o aumento do número de fatores. b) A interpretação dos resultados se torna mais difícil à medida que aumentamos o número de níveis e de fatores no experimento.
Tabulação com dois fatores Seja y ijk a resposta observada para o i-ésimo nível (i = 1, 2,..., a) do fator A e j-ésimo nível (j = 1, 2,..., b) do fator B, para a k-ésima repetição (k = 1, 2,..., n). Em geral, os dados serão apresentados na forma da Tabela 1. Tabela 1: Arranjo geral para um experimento fatorial. Fator B 1 2... b 1 y 111, y 112,..., y 11n y 121, y 122,..., y 12n... y 1b1, y 1b2,..., y 1bn Fator A 2 y 211, y 212,..., y 21n y 221, y 222,..., y 22n... y 2b1, y 2b2,..., y 2bn..... a y a11, y a12,..., y a1n y a21, y a22,..., y a2n... y ab1, y ab2,..., y abn
Modelo estatístico Esquema Fatorial As observações podem ser descritas pelo modelo estatístico linear: y ijk = µ + τ i + β j + (τβ) ij + ɛ ijk { i = 1, 2,..., a j = 1, 2,..., b k = 1, 2,..., n em que µ é o efeito da média geral; τ i é o efeito do i-ésimo nível do fator linha A; β j é o efeito do j-ésimo nível do fator coluna B; (τβ) ij é o efeito da interação entre τ i e β j ; ɛ ijk é o componente de erro aleatório.
No experimento fatorial com 2 fatores, deseja-se testar a significância de ambos os fatores. Há interesse em testar hipóteses sobre a igualdade dos efeitos de tratamentos nas linhas, isto é: H 0 : τ 1 = τ 2 =... τ a = 0 H 1 : Pelo menos um τ i 0 e a igualdade nos efeitos de tratamentos nas colunas, ou seja: H 0 : β 1 = β 2 =... β b = 0 H 1 : Pelo menos um β j 0 e, ainda, se há interação entre os fatores: H 0 : (τβ) ij = 0 para todo i, j H 1 : Pelo menos um (τβ) ij 0
Do modelo estatístico y ijk = µ + τ i + β j + (τβ) ij + ɛ ijk { i = 1, 2,..., a j = 1, 2,..., b k = 1, 2,..., n Tem-se que os estimadores de mínimos quadrados para µ, τ i, β j e (τβ) ij são ˆµ = ȳ; ˆτ i = ȳ i ȳ, i = 1, 2,..., a; ˆβ j = ȳ j ȳ, j = 1, 2,..., b; (τβ) ˆ ij = y ij ȳ i ȳ j ȳ, i = 1, 2,..., a j = 1, 2,..., b
ANAVA Esquema Fatorial Tabela 2: Análise de variância para um experimento fatorial com 2 fatores. C.V. G.L. S.Q. Q.M. F cal A a 1 SQ A QM A = SQ A a 1 B b 1 SQ B QM B = SQ A b 1 A B (a 1)(b 1) SQ A B QM A B = SQ A B (a 1)(b 1) F cal = QM A QM Res F cal = QM B QM Res F cal = QM A B QMRes Resíduo ab(n 1) SQ Res QM Res = SQ Res ab(n 1) Total abn 1 SQ Total
Soma de quadrados Esquema Fatorial Assim, tem-se: SQ Total = SQ A + SQ B + SQ A B }{{} +SQ Res, de forma que a soma de quadrados total é dada por: SQ Total = a b n i=1 j=1 k=1 y 2 ijk ( a i=1 b j=1 n k=1 y ijk abn As somas de quadrados para os efeitos principais são: SQ A = SQ B = a i=1 b j=1 T 2 A i bn T 2 B j an ( a ( a i=1 b j=1 n k=1 y ijk abn i=1 b j=1 n k=1 y ijk abn ) 2 ) 2 ) 2
Para o cálculo da soma de quadrados da interação, SQ AxB, deve-se, inicialmente, calcular a soma de quadrados do efeito conjunto de A e B, denotada por SQ A,B. Logo, SQ A,B = a b i=1 j=1 T 2 AiBj n ( a ) 2 b n i=1 j=1 k=1 y ijk abn Esta soma de quadrados contém SQ A e SQ B. Portanto, a soma de quadrados da interação é: SQ AxB = SQ A,B SQ A SQ B, e, a soma de quadrados de resíduos, obtém pela diferença: SQ Res = SQ Total SQ A SQ B SQ AxB. Obs.: Nos experimentos fatoriais com 2 fatores, a soma de quadrados do efeito conjunto é sempre igual à soma de quadrados de tratamentos.
Exemplo A Tabela 20 apresenta os dados do desenvolvimento das mudas de 2 espécies de eucaliptos (E 1 e E 2 ) plantados em 3 tipos de recipientes (R 1, R 2 e R 3 ). Tabela 3: Alturas médias das mudas, em centímetros, aos 80 dias de idade. Espécies Recipientes T Ri E 1 E 2 R 1 26,2 26,0 102,6 24,8 24,6 101,3 203, 9 25,0 25,4 26,7 25,2 R 2 25,7 26,3 103,5 19,6 21,1 25,1 26,4 19,0 18,6 R 3 22,8 19,4 80,2 19,8 21,4 18,8 19,2 22,8 21,3 78,3 181, 8 85,3 165, 5 T Ej 286,3 264,9 551,2 A um nível de significância de 5%, os fatores Espécies de eucaliptos e tipos de recipientes atuam de forma independente?
Exercício 1 Num experimento planejado para avaliar três detergentes, um laboratório lavou roupa três vezes em cada combinação de detergente e temperatura de água, obtendo porcentagens de roupas bem lavadas, dadas a seguir: Detergente A Detergente B Detergente C Água fria 45 39 46 43 46 41 55 48 53 Água morna 37 32 43 40 37 46 56 51 53 Água quente 42 42 46 44 45 38 46 49 42 A um nível de 0,01 de significância, pede-se: a) há efeito da interação entre o tipo de detergente e a temperatura da água? Justifique sua resposta. b) Há efeito de temperatura da água na porcentagem de roupas bem lavadas? Justifique sua resposta. Se sim, qual temperatura tem uma maior porcentagem? c) Há efeito de detergente na porcentagem de roupas bem lavadas? Justifique sua resposta. Se sim, qual detergente tem uma maior porcentagem?
Exercício 2 Em um experimento em blocos casualizados, no esquema fatorial 2 3, foi estudada a adubação da cultura do cafeeiro. As produções de café coco, em kg por parcela de 105m 2, foram: Tratamentos Blocos Totais I II III IV V VI N 0P 0K 0 31,8 40,5 25,7 25,7 37,2 45,3 206,2 N 0P 0K 1 25,6 32,4 39,6 48,9 20,6 33,7 200,8 N 0P 1K 0 36,2 37,8 40,9 44,8 32,4 38,4 230,5 N 0P 1K 1 37,1 53,0 36,4 43,0 19,7 30,4 219,6 N 1P 0K 0 35,3 39,0 36,0 33,5 28,2 42,4 214,4 N 1P 0K 1 51,5 66,1 51,7 52,0 56,5 58,2 336,0 N 1P 1K 0 43,8 32,7 43,3 41,8 31,9 37,7 231,2 N 1P 1K 1 47,0 49,9 50,9 49,1 71,7 39,6 308,2 Totais 308,3 351,4 324,5 338,8 298,2 325,7 1946,9 Faça a análise de variância para o esquema fatorial e conclua. Considere um nível de significância de 5%.