Emprego dos métodos Utlté Addtve e Utlté Addtve CRtera a avalação de móves: um estudo de caso Resumo Luís Alberto Duca Ragel Luz Flávo Autra Motero Gomes Este artgo apreseta uma aplcação do método Utlté Addtve UTA e de sua varate Utlté Addtve CRtera UTA-CR à determação das fuções de utldade para se abordar o problema da avalação de móves resdecas. Ambos os métodos pertecem à Escola Amercaa de Apoo Multcrtéro à Decsão e vsam determar fuções de utldades dos crtéros presetes a aálse, baseado-se em formações a pror dos decsores. Pelo emprego dos modelos matemátcos referetes a cada uma das metodologas, verfcam-se as vatages do método UTA-CR. Observa-se ada que o método UTA-CR faz uso das preferêcas dos decsores em relação ao couto de crtéros, obtedo fuções de utldades o mas próxmo possível das preferêcas dos decsores. Palavras-chave: Método UTA. Método UTA-CR. Método TODIM. Apoo multcrtéro à decsão. Fução de utldade multatrbuto. Mercado mobláro resdecal. Itrodução O método UTA (Utlté Addtve) (JACQUET-LAGRÈZE; SISKOS, 982) e sua varate UTA-CR (Utlté Addtve CRtera) (RANGEL, 2002) foram empregados esta pesqusa com a faldade de avalar um subcouto selecoado de móves resdecas que estão dspoíves para serem alugados o mucípo de Volta Redodo, localzado ao sul do Estado do Ro de Jaero. O emprego desses dos métodos a pesqusa obetvou prcpalmete a obteção de fuções de utldades dos crtéros utlzados a aálse dos móves resdecas. As mobláras, empregado em uma aálse de móves com preços de alugués á defdos, sto é, á em cartera, com móves com preços de alugués a serem estmados, determam os valores de referêca dos alugués dos móves sem preços defdos. Este valor de referêca pode ser obtdo pela ordeação de todos os móves, com preços á defdos e a defr, utlzado as fuções de utldades dos crtéros determadas pelo método UTA. O método UTA, para ser empregado, ecessta de uma formação a pror dos decsores: a ordeação das alteratvas ou de um subcouto destas presetes o processo. Utlza-se esta ordeação forecda pelos decsores como restrção de um problema de programação lear (PPL). Este PPL tem por obetvo mmzar o somatóro dos erros assocados à ordeação de cada alteratva, sto é, o valor da utldade global de cada alteratva proposta pelos decsores. O método UTA-CR, uma varate do método UTA, vsa obter as fuções de utldades o mas próxmo possível das preferêcas dos decsores. Para obter essas ovas fuções de utldades dos crtéros, solcta-se aos decsores que expressem as suas preferêcas em relação ao couto de crtéros e ão em relação às alteratvas, como ocorre quado se usa o método UTA orgal. Emprega-se etão um método de ordeação do Apoo Multcrtéro à Decsão da problemátca Pδ, de ordeação das alteratvas. Esta formação é utlzada a mplemetação do método UTA-CR, do mesmo modo que fo feto o método UTA orgal. Para obter fuções de utldades o mas próxmo possível das preferêcas dos decsores, desevolveu-se um ovo modelo matemátco que apreseta uma ova fução obetvo e ovas restrções. No estudo apresetado este artgo, ao vés de se solctar a um especalsta uma ordeação subetva dos móves presetes o processo para servr como dado de etrada a mplemetação do método UTA e da sua varate UTA-CR, empregou-se a ordeação dos móves obtda com o emprego do método TODIM (GOMES et al., 2004; GOMES; Gest. Prod., São Carlos, v. 6,. 2, p. 222-23, abr.-u. 2009
Emprego dos métodos Utlté Addtve e Utlté Addtve CRtera a avalação de móves: um estudo de caso 223 LIMA, 992a; GOMES; LIMA, 992b; GOMES, 2007), dvulgada o artgo de Ragel et al., 2006. A avalação de móves é um assuto amplo e este estudo de caso realzado só fo possível com a colaboração de algumas mobláras que operam em Volta Redoda, além da partcpação de um especalsta que emte parecer para Perícas Judcas. Exstem ormas da Assocação Braslera de Normas Téccas abordado a área de avalações de móves (ABNT, 2004). Este estudo de caso fo realzado tomado-se como base as formações forecdas pelos decsores que, este caso, são as mobláras e o especalsta. Os métodos de cálculo de aluguel de móves ormalmete utlzados são (GUIMARÃES NETO, 992; PESSOA, 992): Correção Moetára, que cosste a aplcação de ídces moetáros ofcas ao aluguel cal do cotrato. O resultado assm obtdo deve ser ecarado apeas como um elemeto afrmatvo a avalação, uma vez que o seu cálculo ão evolve qualquer cosderação quato a característcas específcas do móvel e cosderações de mercado, bem como ão corrge alguma evetual falha que haa ocorrdo a fxação do aluguel cal. Método Comparatvo, que cosste a obteção do aluguel por meo da aálse estatístca de uma amostra de valores locatvos de íves assemelháves e localzados a mesma regão geoecoômca, obtdos por pesqusa e devdamete homogeezados. A precsão do resultado é fução dreta da qualdade e da cofabldade da amostra selecoada, cabedo ao avalador a aálse préva dessa cofabldade para decdr sobre a coveêca da utlzação do método. Método da Retabldade, que cosste a obteção do aluguel por meo da aplcação de uma taxa de retabldade ao captal represetado pelo valor do móvel. Este estudo de caso buscou determar um método alteratvo para estabelecer uma ordeação dos móves resdecas para serem alugados em termos de preço de aluguel, baseado esta avalação em ses crtéros selecoados pelos decsores que aqu são as mobláras e um especalsta da área. Além da ordeação das alteratvas de decsão, os métodos empregados este estudo de caso, métodos UTA e UTA-CR, determam as fuções de utldades dos crtéros presetes a aálse. As fuções de utldades empregadas estes dos métodos de Apoo Multcrtéro à Decsão são fuções que descrevem as preferêcas do decsor ou de um grupo de decsores, em relação aos crtéros de decsão presetes a aálse. Desta forma, as curvas destas fuções de utldade podem ser utlzadas como referêca pelos decsores para avalar, por exemplo, algum outro móvel que ão estava prevamete a aálse, cosderado os mesmos crtéros do problema de decsão. Realzaram-se as mplemetações dos dos métodos com a faldade de verfcar as dfereças etre as fuções de utldades obtdas com o método UTA orgal e com a sua varate UTA-CR. Apresetam-se e dscutem-se os resultados das duas mplemetações a seção três deste artgo. 2 Apresetação dos métodos Utlté Addtve e Utlté Addtve CRtera 2. Método Utlté Addtve O método UTA (JACQUET-LAGRÈZE; SISKOS, 982) possu as mesmas bases axomátcas subacetes à Teora da Utldade Multatrbuto (MAUT) e é empregado para determar as fuções de utldades dos crtéros (KEENEY; RAIFFA, 993; BELTON; STEWART, 2002). Este método emprega a programação lear para determar os valores das varáves e, assm, serem obtdas as fuções de utldades. A fução obetvo deste modelo busca mmzar o somatóro dos erros assocados ao valor global das alteratvas, de modo a respetar as preferêcas propostas a pror. Assm, o problema de regressão ordal que é tratado pelo método UTA é o segute: Tedo uma estrutura de preferêca de pré-ordem R, (, ~) com sgfcado preferêca estrta e ~ a dfereça em um couto de alteratvas ou ações, o auste da fução de utldade adtva baseado em crtéros múltplos é obtdo de tal modo que a estrutura de preferêca resultate sea tão cosstete quato possível com a estrutura cal (JACQUET-LAGRÈZE; SISKOS, 982), proposta a pror pelos decsores. Os dados para mplemetar este método são a ordeação a pror dos decsores e a matrz de avalação, sto é, o desempeho das alteratvas em relação aos crtéros. Em um problema de Apoo Multcrtéro à Decsão, o couto de alteratvas váves é avalado por um couto de crtéros defdos pelos avaladores, com a faldade de aalsar as característcas das alteratvas. No modelo adtvo, quado se emprega somete um crtéro, a preferêca etre as alteratvas, detre o couto de alteratvas A, pode ser explctada como segue (Equações e 2); a b g(a) > g(b), para =,...,, () a~b g(a) = g(b), para =,...,, (2) que sgfca que este crtéro defe o couto A uma relação de ordem (, ~) das alteratvas. Cosdere-se o couto de alteratvas A, que é avalado por um couto de crtéros g = (g, g 2, g 3,..., g ) sedo o úmero de crtéros e g o desempeho o crtéro. Gest. Prod., São Carlos, v. 6,. 2, p. 222-23, abr.-u. 2009
224 Ragel e Gomes Deoma-se a agregação de todos os crtéros em um úco crtéro de fução de utldade multatrbuto e é represetada como U(g) = U (g, g 2, g 3,... g ). Chama-se de P a relação de preferêca estrta e de I a relação de dfereça (ROY; BOUYSSOU, 993; VINCKE, 989) etre duas alteratvas, respectvamete. Se g(a) = [g (a), g 2 (a), g 3 (a),..., g (a)] é a avalação multcrtéro de uma alteratva a, etão se observam as segutes propredades da fução de utldade multatrbuto U, em relação ao couto de alteratvas A: U[g(a)] > U[g(b)] apb (3) U[g(a)] = U[g(b)] aib (4) e a relação R = P I defe uma pré-ordem das alteratvas. A fução de utldade é adtva quado tem a forma abaxo (Equação 5): = U[g] = u (g ) (5) em que cada u (g ) é a utldade margal do desempeho g o crtéro. Uma hpótese fudametal que é precso respetar quado se aplca uma fução de utldade adtva é a codção de depedêca mútua dos crtéros em fução das preferêcas (KEENEY; RAIFFA, 993; ZOPOUNIDIS; DIMITRAS, 998). Cosdere g e g o lmte feror e superor de cada crtéro presete um problema decsóro. Assumdo um ão decréscmo das preferêcas em cada crtéro, etão as utldades margas u são fuções moótoas crescetes ou decrescetes. Portato, podem-se ormalzar as fuções de utldade detro do tervalo [0,], obtedo-se: u (g ) = = (6) e u (g ) = 0 para todo =, 2,...,. (7) Empregam-se as Equações (6) e (7) a ormalzação das fuções de utldade. Faz-se uso da Equação (6) a ormalzação dos valores máxmos de cada crtéro, lmtado que este somatóro dos valores máxmos de cada crtéro sea gual a uma udade. Já a Equação (7) por sua vez atrbu o valor zero ao valor cal de cada crtéro. Desta forma, as fuções de utldade que serão determadas para cada crtéro apresetam um valor cal gual a zero e o valor máxmo a ser determado por meo de programação lear. O método UTA emprega a programação lear para determar os valores das varáves de decsão e, desta forma, as fuções de utldade de cada crtéro. Para fazer a mplemetação do método UTA, é ecessára à matrz uma avalação multcrtéro, sto é, a avalação das alteratvas em relação aos crtéros. Para a pré-ordem R defda em A ou A, em que A é um subcouto das alteratvas represetatvas presetes em A, o agete decsor expressa sua preferêca ou sua dfereça global para cada par (a,b) A'. Para cada alteratva de A, a fução de utldade calculada U'[g(a)] dfere da verdadera U[g(a)] em um erro σ(a): = U'[g(a)] = u [g (a)] +σ(a), para todo a A' (8) Cosderado-se as relações de preferêca (3) e de dfereça (4), além da fução de utldade (8), tem-se: U'[g(a)] U'[g(b)] δ se o decsor dca apb U'[g(a)] U'[g(b)] = 0 se o decsor dca aib (9) (0) sedo δ > 0 um úmero real pequeo empregado a fm de separar sgfcatvamete duas classes da pré-ordem R. Os autores do método UTA sugerem, a sua cocepção orgal do método, que o valor de δ deve pertecer ao tervalo [/0Q, /Q], sedo Q o úmero de classes de dfereça. Assumdo a exstêca de trastvdade, o agete decsor só precsará fazer (m ) comparações etre alteratvas, a quas m correspode ao úmero de alteratvas de A. Substtudo (8) em (9) e (0), tem-se: {u [g (a)] u [g (b)]} +σ(a) σ(b) δ apb () = {u [g (a)] u [g (b)]} +σ(a) σ (b) = 0 aib (2) = Cosderam-se as fuções u como sedo leares por tervalos. Para defr tas tervalos, o agete de decsão escolhe a potos do tervalo [g, g ] em que a fução u está defda. Determa-se cada poto g pela segute fórmula (Equação 3): g g (g g ) = + α (3) e varado de até a. Esses potos vão defr (a ) tervalos equdstates de [g, g ] (Equação 4). g (a) g + = + + g g u [g (a)] u (g ) [u (g u (g )] (4) Satsfaz-se a hpótese da mootocdade das preferêcas das utldades margas u (g ) requerda por este método pelo segute couto de restrções: + u (g ) u (g ) s, =, 2, 3,..., (α - ), =, 2, 3,...,. (5) Gest. Prod., São Carlos, v. 6,. 2, p. 222-23, abr.-u. 2009
Emprego dos métodos Utlté Addtve e Utlté Addtve CRtera a avalação de móves: um estudo de caso 225 em que S 0 é o lmte de dfereça defdo para cada crtéro. Estmam-se as varáves de decsão que represetam as utldades margas u (g ) e os erros σ(a) por meo do programa lear [PPL] (6) cosderado as segutes restrções: restrções devdo às preferêcas () e às dfereças (2) etre as alteratvas a A'; restrções devdo aos lmtes superores (6) e ferores (7) de cada crtéro; restrções que garatam a hpótese da mootocdade das utldades margas (5); e restrções devdo à ão egatvdade das varáves de decsão do modelo, apresetadas as equações (7) e (8). A fução obetvo do prmero programa lear [PPL] (6) correspode à mmzação do somatóro dos erros σ(a) assocados às utldades de cada alteratva a A', para respetar a ordeação a pror forecda pelos decsores. Sueto a: m [PPL] M F = σ(a) (6) = {u [g (a)] u [g (b)]} +σ(a) σ(b) δ apb () = {u [g (a)] u [g (b)]} +σ(a) σ (b) = 0 aib (2) = + u (g ) u (g ) s, =, 2, 3,..., (α - ), =, 2, 3,...,. u (g ) = = (5) (6) e u (g ) = 0 para todo (7) u (g ) 0, para todo e (7) σ(a) 0, para todo a A' (8) A solução ótma do prmero programa lear [PPL] (6) será aquela (ou aquelas) que obteha o melhor valor para a fução obetva. Sea F o valor ótmo obtdo por meo do prmero programa lear. O método UTA ão para a obteção de uma solução ótma do PPL (6), outras soluções são pesqusadas, cludo-se, F F + k(f ) (9) como uma ova restrção, em que k é um valor real pequeo. Os vértces deste ovo poledro correspodem às fuções de utldade, em que um ou mas crtéros atgem um peso extremo (ou máxmo ou mímo). Assm, a exploração do ovo poledro é feta resolvedo dos ovos problemas de programação lear: [PPL2] M u (g ), para =, 2, 3,..., (20) [PPL3] Max u (g ), para =, 2, 3,..., (2) para cada crtéro. Esta etapa é chamada de aálse pós-otmzação. Apresetam-se a segur estes dos ovos problemas de programação lear: [PPL2] M u (g ), para =, 2, 3,..., (20) Sueto a: F F + k(f ) (9) {u [g (a)] u [g (b)]} +σ(a) σ(b) δ apb () = {u [g (a)] u [g (b)]} +σ(a) σ (b) = 0 aib (2) = + u (g ) u (g ) s, =, 2, 3,..., (α - ), =, 2, 3,..., u (g ) = = (5) (6) u (g ) = 0 para todo (7) u (g ) 0, para todo e (7) σ(a) 0, para todo a A' (8) [PPL3] Max u (g ), para =, 2, 3,..., (2) Sueto a: F F + k(f ) (9) {u [g (a)] u [g (b)]} +σ(a) σ(b) δ apb () = {u [g (a)] u [g (b)]} +σ(a) σ (b) = 0 aib (2) = + u (g ) u (g ) s, =, 2, 3,..., (α - ), =, 2, 3,..., u (g ) = = (5) (6) u (g ) = 0 para todo (7) Gest. Prod., São Carlos, v. 6,. 2, p. 222-23, abr.-u. 2009
226 Ragel e Gomes u (g ) 0, para todo e (7) σ(a) 0, para todo a A' (8) O [PPL2] (20) pesqusa os valores mímos que as varáves que represetam os valores máxmos de cada crtéro podem assumr respetado além das restrções do [PPL] (6), a restrção (9) e a restrção referete à folga da solução do [PPL] (6). Já o [PPL3] (2) pesqusa os valores máxmos que as varáves que represetam os valores máxmos de cada crtéro podem assumr respetado as mesmas restrções do [PPL2] (20). As varáves de decsão deste modelo são as fuções de utldades margas u (g ) dos crtéros e o erro assocado à ordeação das alteratvas σ(a). Falmete, pelo método UTA calcula-se as médas das varáves que represetam as fuções de utldades margas u (g ) obtdas pela aálse de pós-otmzação [PPL2] e [PPL3]. Assm, por exemplo, em uma aálse com ses crtéros, doze mplemetações são ecessáras, ses empregado o [PPL2] e ses empregado o [PPL3]. Com estas médas, pode-se avalar a U(g(a)) de todas as alteratvas a A, seam ou ão estas alteratvas do couto de referêca A. 2.2 O Método Utlté Addtve CRtera O método UTA-CR (RANGEL, 2002) busca obter fuções de utldades dos crtéros que represetem melhor as preferêcas dos decsores. Assm, partdo deste prcípo, faz-se o emprego das preferêcas dos decsores ão em relação ao couto das alteratvas, mas sm em relação ao couto de crtéros presetes a aálse decsóra. Deste modo, a ordeação a ser empregada como dado de etrada esta varate UTA-CR será a ordeação das alteratvas obtda com o auxílo de um outro método de agregação do Apoo Multcrtéro à Decsão. Em um problema de Apoo Multcrtéro à Decsão, um couto de alteratvas, que se apresetam como soluções deste problema, são avaladas por um couto de crtéros defdos por decsores. Normalmete, o úmero de alteratvas é muto varável, um problema de decsão pode apresetar poucas alteratvas váves ou úmeras e, desta forma, fca dfícl para os decsores expressarem suas preferêcas em relação ao couto, ou mesmo, a um subcouto dessas alteratvas (GOMES, 2007; GOMES; GOMES; ALMEIDA, 2006). Já com relação ao couto de crtéros de ulgametos das alteratvas, busca-se sempre evtar um úmero de crtéros superor a ove, partdo-se do estudo poero de Mller (956). A obedêca a esse prcípo tora mas fácl para os decsores a expressão das suas preferêcas em relação ao couto de crtéros do que em relação ao couto de alteratvas. A varate UTA-CR, portato, vsa obter as fuções de utldades dos crtéros tedo como referêca às preferêcas dos decsores em relação ao couto de crtéros, e ão em relação ao couto de alteratvas, como faz o método UTA. Desta forma, o método UTA-CR faz o uso de uma ova fução obetvo com ovos termos e ovas restrções, além das utlzadas o [PPL] (6). As fuções de utldade dos crtéros presetes a aálse obtdas por meo de método buscam expressar as preferêcas a pror forecdas pelos decsores. A Equação (22) apreseta a ova fução obetvo do método UTA-CR. Como se vê, a varate UTA-CR dfere do método UTA em város aspectos. O prcpal é que as fuções de utldade obtdas estão o mas próxmo possível das preferêcas dos decsores. Um outro cosste a ão ecessdade de se fazer a aálse pós-otmzação quado se usa o método UTA-CR, uma vez que, em uma úca mplemetação, obtêm-se os valores das varáves de decsão. MIN MAX a A' = = M F = σ (a) + ξ (u ) + ξ(u ) (22) A fução obetvo do problema de programação lear da varate UTA-CR (22) apreseta dos ovos termos, além do termo que represeta o somatóro dos erros assocados à utldade global das alteratvas: um represetado o somatóro do afastameto superor do peso sugerdo pelos decsores e outro represetado o somatóro do afastameto feror do peso sugerdo pelos decsores, em que ξ é um valor real muto pequeo. O modelo busca determar os valores mímos das varáves de decsão u e MIN u, que estão assocados MAX aos pesos dos crtéros. Vsado restrgr ada mas o couto de soluções váves, em relação ao método UTA, o método UTA-CR troduz duas ovas restrções para as varáves que represetam o valor máxmo de cada crtéro, uma buscado restrgr este valor para mas (23) e outra para meos (24). Nas restrções (23) e (24), w represeta o peso atrbuído ao crtéro pelos decsores. MIN u (g ) (u ) w + MAX u (g ) (u ) w (23) (24) Portato, o resultado desta varate do método UTA forece fuções de utldade mas próxmas das preferêcas dos decsores, pos os valores obtdos estão bem próxmos dos pesos forecdos aos crtéros pelos decsores. O problema de programação lear apresetado abaxo [PPL4] (25) represeta o modelo matemátco do método UTA-CR, fazedo referêca às preferêcas dos decsores em relação ao couto de crtéros. Gest. Prod., São Carlos, v. 6,. 2, p. 222-23, abr.-u. 2009
Emprego dos métodos Utlté Addtve e Utlté Addtve CRtera a avalação de móves: um estudo de caso 227 Sueto a: [PPL4] M F = σ (a) + a A' MIN MAX = = + ξ (u ) + ξ(u ) (25) {u [g (a)] u [g (b)]} +σ(a) σ(b) δ apb () = {u [g (a)] u [g (b)]} +σ(a) σ (b) = 0 aib (2) = + u (g ) u (g ) s, =, 2, 3,..., (α - ), =, 2, 3,...,. u (g ) = = (5) (6) u (g ) = 0 para todo (7) u (g ) 0, para todo e (7) σ(a) 0, para todo a A' (8) MIN u (g ) (u ) w + MAX u (g ) (u ) w (23) (24) Dversas aplcações do método UTA-CR têm sdo dvulgadas por artgos (Araya et al., 2002; Ragel, 2006; Ragel et al., 2006; Ragel et al., 2003). 3. Defção dos crtéros A partr dos potos de vsta explctados as etrevstas com profssoas do ramo mobláro, detfcaram-se os crtéros mas relevates para esta aálse, descrtos a segur: ) C localzação: É o mas mportate crtéro de avalação dos móves para aluguel. É um crtéro qualtatvo que busca defr se o móvel está ou ão em uma localzação bem valorzada. Para avalar o desempeho das alteratvas em relação a este crtéro, defu-se a escala apresetada a Tabela. Desta forma, um móvel com boa localzação, esta avalação, recebe uma potuação gual a 4. 2) C 2 área de costrução: Crtéro quattatvo que retrata o tamaho da costrução do móvel. Neste estudo, a udade de medda utlzada fo o metro quadrado (m 2 ). 3) C 3 qualdade da costrução: Crtéro qualtatvo que determa o padrão de acabameto do móvel. Foram defdos três íves de acabameto e suas respectvas potuações, que são apresetados a Tabela 2. Cosderado uma resdêca que teha sdo costruída com um alto padrão de acabameto, este móvel recebe a potuação gual a 3, valor máxmo para este crtéro de avalação. 4) C 4 estado de coservação: Crtéro qualtatvo utlzado para avalar o estado geral do móvel. Este crtéro cosdera se houve ou ão reforma do móvel e, também, suas codções de morada. A Tabela 3, a segur, apreseta a potuação assocada ao estado de coservação do móvel. Por exemplo, um apartameto em codções de morada, ecesstado de pequeos reparos, ou sea, com médo estado de coservação, recebe uma potuação gual a 2. Este crtéro ão está dretamete relacoado ao crtéro C 3, pos o estado de coservação depede do padrão de acabameto do móvel. Um móvel pode ter um alto padrão de acabameto, com materal 3 Estudo de caso Os dos métodos, UTA e UTA-CR, foram empregados para avalar um couto de dez móves que estão dspoíves para serem alugados o mucípo de Volta Redoda, o sul do Estado do Ro de Jaero. Para realzar esta avalação fez-se uma pesqusa uto às mobláras e especalstas do ramo, com a faldade de detfcar os crtéros que deveram ser cosderados esta aálse e qual a mportâca de cada um desses crtéros. Não houve uamdade as formações coletadas das mobláras e do especalsta. Trabalhou-se com um valor aproxmado da méda dos valores obtdos essa coleta de dados. No total foram etrevstadas oze pessoas de ses dferetes mobláras, além do especalsta. Tabela. Valoração do crtéro C localzação. Localzação Potuação Assocada Perfera Perfera/méda localzação 2 Méda localzação 3 Boa localzação 4 Excelete localzação 5 Tabela 2. Valoração do crtéro C 3 qualdade da costrução. Qualdade da costrução Potuação assocada Baxo padrão de acabameto Médo padrão de acabameto 2 Alto padrão de acabameto 3 Gest. Prod., São Carlos, v. 6,. 2, p. 222-23, abr.-u. 2009
228 Ragel e Gomes de grade qualdade, mas estar precsado de reformas, devdo à sua dade. 5) C 5 úmero de vagas a garagem: Crtéro quattatvo e muto valorzado por pessoas que ecesstam alugar um móvel e possuem um ou mas veículos. 6) C 6 úmero de cômodos: Crtéro quattatvo que cosdera para a valoração a quatdade dos segutes cômodos exstetes o móvel: salas, quartos, copa/cozha e baheros. Destaca-se aqu a dfereça etre este crtéro e o crtéro C 2, que retrata a área de costrução. É teressate avalar o móvel também pelo úmero de cômodos, pos podem estar em questão dos móves com o mesmo tamaho total, mas um deles pode ter poucos cômodos grades, e o outro, com maor úmero de cômodos meores. Os pesos atrbuídos aos ses crtéros, de acordo com as preferêcas dos decsores, são apresetados a Tabela 4. Estes valores dos pesos são apresetados a tercera colua da Tabela 4 (Peso Atrbuído) e represetam a méda aproxmada dos valores forecdos pelos decsores, que este estudo de caso são as mobláras e o especalsta. Todos os crtéros acma defdos são crtéros de maxmzação, ou sea, quato maor for a potuação obtda a avalação das alteratvas em relação a cada crtéro, melhor será o seu desempeho. 3.2 Defção das alteratvas Detre os móves dspoíves para serem alugados, os dez móves selecoados e os seus desempehos em relação aos crtéros presetes a aálse são apresetados a Tabela 5 abaxo. A ordeação das alteratvas solctada como dado de etrada, além da matrz de decsão apresetadas a Tabela 5, a mplemetação dos métodos UTA e UTA-CR, fo obtda com o emprego do método TODIM, e publcada por Ragel et al. (2006).Tal ordeação fo a segute: A 5, A, A 4, A 8, A 3, A 2, A 6, A 0, A 9 e A 7. 3.3 Implemetação Os métodos UTA e UTA-CR foram mplemetados pelo software LINDO (LINDO, 2007) e os resultados são apresetados por ses gráfcos, um para cada crtéro, os quas é possível verfcar as dfereças dos resultados forecdos pelos dos métodos, apresetados a Fgura. Os pesos dos crtéros cosderados as mplemetações dos dos métodos são os pesos ormalzados dos crtéros apresetados a últma colua da Tabela 4. Os parâmetros defdos pelos decsores para realzar a mplemetação foram os segutes: δ gual a 0,0 e s gual a zero. Desta forma o parâmetro δ está detro do lmte sugerdo por Jacquet-Lagrèze e Sskos (982). Já o parâmetro s assumdo um valor ulo, sgfca que as fuções de utldades podem ser represetadas por uma reta, se os resultados do modelo assm o permtrem. Por termédo das mplemetações dos dos métodos obtêm-se as fuções de utldades dos crtéros pelo método UTA, represetado por uma lha potlhada, e pelo método UTA-CR, este represetado por uma lha cotíua. Os ses gráfcos a segur, apresetados a Fgura, detfcados para cada crtéro por meo de seus títulos, mostram as fuções de utldades determadas pelos dos métodos para cada crtéro presete a aálse. 3.4 Aálse de sesbldade Depos de obtdos os resultados com a mplemetação dos dos métodos, fo realzada a aálse de sesbldade varado os valores dos parâmetros que são empregados o método UTA-CR para verfcar a sua cosstêca. O valor de δ empregado a prmera mplemetação fo de 0,0. Na prmera aálse esse valor fo alterado para 0,00 e a mplemetação do [PPL4] (22) obteve como solução, o valor Tabela 3. Valoração do crtéro C 4 estado de coservação. Estado de coservação Potuação assocada Rum Médo 2 Bom 3 Ótmo 4 Tabela 4. Atrbução de pesos para os crtéros. Crtéro Descrção Peso atrbuído Peso ormalzado C Localzação 5 0,294 C 2 Área costruída 3 0,76 C 3 Qualdade da costrução 2 0,7 C 4 Estado de coservação 4 0,235 C 5 Número de vagas a garagem 0,058 C 6 Número de cômodos 2 0,7 Tabela 5. Desempeho e ordeação das alteratvas. C C 2 C 3 C 4 C 5 C 6 A 3 290 3 3 6 A 2 4 80 2 2 4 A 3 3 347 2 2 5 A 4 3 24 2 3 2 5 A 5 5 360 3 4 4 9 A 6 2 89 2 3 5 A 7 85 4 A 8 5 80 2 3 6 A 9 2 2 2 3 0 6 A 0 2 20 3 5 Gest. Prod., São Carlos, v. 6,. 2, p. 222-23, abr.-u. 2009
Emprego dos métodos Utlté Addtve e Utlté Addtve CRtera a avalação de móves: um estudo de caso 229 0,400 Crtéro C 0,200 Crtéro C 2 Utldade 0,300 0,200 0,00 Utldade 0,50 0,00 0,050 UG UG2 UG3 UG4 UG5 Poto U2G2 U2G22 U2G23 U2G24 U2G25 Poto 0,400 Crtéro C 3 0,300 Crtéro C 4 Utldade 0,300 0,200 0,00 Utldade 0,200 0,00 U3G3 U3G32 U3G33 U3G34 U3G35 Poto U4G4 U4G42 U4G43 U4G44 U4G45 Poto 0,50 Crtéro C 5 0,300 Crtéro C 6 Utldade 0,00 0,050 Utldade 0,200 0,00 U5G5 U5G52 U5G53 U5G54 U5G55 Poto U6G6 U6G62 U6G63 U6G64 U6G65 Poto Fgura. Fuções de Utldades dos Crtéros C ( =, 2,..., 6). ulo. Isto quer dzer que o somatóro dos erros adcoados às utldades globas das alteratvas para represetar as preferêcas dos decsores fo ulo, dcado que o modelo coseguu represetar as preferêcas sugerdas pelos decsores. Numa seguda aálse o valor de δ fo alterado para e o resultado obtdo fo o mesmo da mplemetação ateror, mostrado a cosstêca do método UTA-CR. 4 Coclusão Verfca-se pelo exemplo mplemetado que os dos métodos apresetam valores bem dferetes para as fuções de utldades dos ses crtéros empregados esta aálse. Os valores dos pesos dos crtéros determados pela varate UTA-CR estão bem mas próxmos dos pesos forecdos pelos decsores do que os determados pelo método UTA. Verfcou-se também que a solução do [PPL] (6) do método UTA apresetou um valor ulo. Isto que dzer que o modelo matemátco coseguu obter a mesma ordeação proposta pelos decsores, mas este resultado pode ão represetar perfetamete as preferêcas dos decsores, uma vez que a solução deste PPL é degeerada. Já o método UTA-CR mpõe restrções aos pesos dos crtéros, restrgdo a regão de busca das soluções ótmas. Um outro fato mportate é que a fução obetvo do método UTA-CR [PPL4] (25) busca obter valores para os pesos dos crtéros com o meor afastameto possível dos valores dos pesos forecdos pelos decsores, para mas ou para meos. O método UTA-CR, por trabalhar com as preferêcas dos decsores em relação ao couto de crtéros para, a partr daí, determar uma ordeação das alteratvas, obtém melhores formas das fuções de utldades. Vale ressaltar que estes resultados são obtdos por meo de uma úca mplemetação do modelo matemátco que represeta este método, o que comprova a sua relevâca detre os poucos métodos do Apoo Multcrtéro à Decsão empregada a determação das fuções de utldades. Gest. Prod., São Carlos, v. 6,. 2, p. 222-23, abr.-u. 2009
230 Ragel e Gomes Referêcas bblográfcas ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS ABNT. NBR 4653-2. Norma braslera para avalação de móves urbaos. Ro de Jaero, 2004. ARAYA, M. C. G. et al. Buldg the addtve utlty fuctos for CAD-UFRJ. Aals of Operatoal Research, v. 6,. -4, p. 27-288, 2002. BELTON, V.; STEWART, T. J. Multple CRtera decso aalyss: a tegrated approach. Massachusetts: Kluwer Academc Publshers, 2002. GOMES, L. F. A. M. Teora da decsão. São Paulo: Poera Thomso Learg, 2007. GOMES, L. F. A. M.; ARAYA, M. C. G.; CARIGNANO, C. Tomada de decsão em ceáros complexos. São Paulo: Poera Thomso Learg, 2004. GOMES, L. F. A. M.; LIMA, M. M. P. P. From modelg dvdual prefe reces to multcrtera rakg of dscrete alteratves: a look at prospect theory ad the addtve dfferece model. Foudatos of Computg ad Decso Sceces, v. 7,. 3, p. 7-84, 992a. GOMES, L. F. A. M.; LIMA, M. M. P. P. TODIM: bascs ad applcato to multcrtera rakg of proects wth evrometal mpacts. Foudatos of Computg ad Decso Sceces, v. 6,. 4, p. 3-27, 992b. GOMES, L. F. A. M.; GOMES, C. F. S.; ALMEIDA, A. T. Tomada de decsão gerecal: efoque multcrtéro. 2 ed. São Paulo: Atlas, 2006. Gumarães Neto, C. A. Crtéros de avalação e NB502-89. I: Itrodução a egehara de avalações e perícas udcas. São Paulo: Ed. Isttuto de Egehara Legal, 992. p. 45-60. JACQUET-LAGREZE, E.; SISKOS, J. Assessg a set of addtve utlty fuctos for multcrtera decso-makg the UTA method. Europea Joural of Operatoal Research, v. 0,. 2, p. 5-64, 982. KEENEY, R. L.; RAIFFA, H. Decsos wth multple obectves: prefereces ad value tradeoffs. Cambrdge: Cambrdge Uversty Press, 993. LINEAR INTERACTIVE AND DISCRETE OPTIMIZER LINDO. Ilos: Systems Ic. de Chcago, [200-]. Dspoível em: <http:// www.ldo.com>. Acesso em: Março de 2007. MILLER, G. A. The magcal umber seve, plus or mus two: some lmts o our capacty for processg formato. The Psychologcal Revew, v. 63,. 2, p. 8-97, 956. Pessôa, M. Laudos téccos, cocetos báscos e defções. I: Itrodução a egehara de avalações e perícas udcas. São Paulo: Ed. Isttuto de Egehara Legal, 992. p. -26. RANGEL, L. A. D. et al. A varat of the UTA method. I: INTERNATIONAL SYMPOSIUM ON MATHEMATICAL PROGRAMMING, 9, 2006, Ro de Jaero. Aas Ro de Jaero: UFRJ, 2006. p. 9. RANGEL, L. A. D. et al. Avalação da terorzação dos cursos da UFF com o uso cougado dos métodos UTA e MACBETH. Ivestgação Operacoal, v. 23,., p. 49-69, 2003. RANGEL, L. A. D.; SILVA, S. S.; SILVERIO, L. B. Ordeação de móves resdecas empregado o método TODIM. I: SIMPÓSIO BRASILEIRO DE PESQUISA OPERACIONAL, 38, 2006, Goás. Aas... Goâa: SOBRAPO, 2006. RANGEL, L. A. D. Determações de fuções de utldade através das preferêcas dos decsores sobre o couto de crtéros empregado o Método UTA. 2002. 54 f. Tese (Doutorado em Egehara de Produção) Uversdade Federal do Ro de Jaero, Ro de Jaero. RANGEL, L. A. D. Determação de fuções de utldade dos crtéros empregados a avalação de móves resdecas. I: CONGRESO IBERO-LATINO AMERICANO DE INVESTIGACIÓN OPERATIVA, 3, 2006, Motevdeo, Urugua. Aas... Motevdéu: ALIO, 2006. ROY, B.; BOUYSSOU, D. Ade multcrtère à la décso: mèthodes et Cas. Pars: Ed. Ecoomca, 993. VINCKE, Ph. L ade multcrtère à la décso. Bruxelas: Ed. de l Uversté de Bruxelles; Ed. Ellpses, 989. ZOPOUNIDIS, C.; DIMITRAS, A. I. Multcrtera decso ad methods for the predcto of busess falure. Dordrecht: Kluwer Academc Publshers, 998. Employg the Utlté Addtve e Utlté Addtve CRtera methods real estate evaluato: a case study Abstract Ths artcle presets a applcato of the UTA method ad ts varat UTA-CR to the determato of the utlty fuctos for tacklg the problem of evaluatg resdetal real estate. Both methods belog to the Amerca School of Multcrtera Decso Adg. By usg these methods, t s possble to determe the utlty fucto of the CRtera preset the evaluato aalyss makg use of prevous formato from the decso makers. The advatages of UTA-CR method over UTA are detfed through the employmet of the mathematcal models embedded each method. It ca be observed that UTA-CR method makes use of decso-makers prefereces wth respect to the CRtera that lead to utlty fuctos whch are as close as possble to ther prefereces. Keywords: UTA method. UTA-CR method. TODIM method. Multcrtera decso adg. Multattrbute utlty fucto. Resdetal real estate market. Gest. Prod., São Carlos, v. 6,. 2, p. 222-23, abr.-u. 2009
Emprego dos métodos Utlté Addtve e Utlté Addtve CRtera a avalação de móves: um estudo de caso 23 Sobre os autores Luís Alberto Duca Ragel Escola de Egehara Idustral Metalúrgca de Volta Redoda UFF Av. dos Trabalhadores 420, Vla Sata Cecíla, CEP 27255-25, Volta Redoda, RJ e-mal: duca@metal.eemvr.uff.br Luz Flávo Autra Motero Gomes Ibmec/RJ Av. Presdete Wlso, 8, Cetro, CEP 20030-020, Ro de Jaero, RJ e-mal: autra@bmecr.br Agradecmetos. Os autores gostaram de expressar sua gratdão aos revsores da versão orgal deste artgo. Graças aos seus cometáros e sugestões aquela versão pode ser substacalmete melhorada. Os autores agradecem ada ao CNPq a vablzação do Proeto de Pesqusa N.306658/2004-6. Recebdo: 4/3/2007 Aceto: 0/4/2009 Gest. Prod., São Carlos, v. 6,. 2, p. 222-23, abr.-u. 2009