ESCOL SECUNDÁRI COM º CICLO D. DINIS COIMR 11º NO DE ESCOLRIDDE MTEMÁTIC FICH DE VLIÇÃO Nº 4 Grupo I s cinco questões deste grupo são de escolha múltipla. Para cada uma delas são indicadas quatro alternativas, das quais só uma está correcta. Escreva na sua folha de respostas a letra correspondente à alternativa que seleccionar para cada questão. Se apresentar mais do que uma resposta, a questão será anulada, o mesmo acontecendo se a letra transcrita for ilegível. Não apresente cálculos ou justificações. Cada resposta certa vale 9 pontos, cada resposta errada vale - pontos, cada pergunta não respondida, ou anulada, vale 0 (zero) pontos. Um total negativo neste grupo vale 0 (zero) pontos. 1. cos + α é igual a:. senα. cosα C. cosα D. senα. Qual das seguintes equações tem uma única solução sendo 0º < x < 60º?. cos x = 0. se nx = 1 C. tg x = 0 D. tg x = 1. figura representa um hexágono regular de lado 4 cm e centro O. O produto escalar O OC é: D C. 8. 8 C. 8 D. - 4. E O 4. Num referencial o. n. Oxyz, considere o plano α : x - y + z = 1 e a recta r : 1- x = z - y =. Qual a posição relativa da recta r e do planoα? F. r é perpendicular a α. r é estritamente paralela a α C. r e α são concorrentes, não perpendiculares D. r está contida em α. PROFESSOR: Rosa Canelas 1
x y = 5. Qual das situações seguintes pode traduzir o sistema 4x + y = 1 y + z = 4.. C. D. Grupo II Nas questões deste grupo apresente o seu raciocínio de forma clara, indicando todos os cálculos que tiver que efectuar e todas as justificações necessárias. tenção: quando não é indicada a aproximação que se pede para um resultado, pretende-se sempre o valor exacto. 1. Na figura está representado o círculo trigonométrico e um trapézio isósceles [CD] Sabe-se que: EOC = α e α 0, ; CE e DF são perpendiculares a OE e tangentes ao círculo trigonométrico; 1.1. Calcule a medida da área do trapézio, supondo que α =. 1.. Determine, em função de α, uma expressão da área do trapézio. 1.. Determine, em função de α, as coordenadas dos vértices do trapézio. D F y α O C E x + b NOT: área de um trapézio é dada por = h, onde designa a medida da base maior, b a medida da base menor e h a altura do trapézio. PROFESSOR: Rosa Canelas
. Num referencial o.n. ( O,i, j,k ), os pontos (,-1,0) e (0,1,-) são os extremos de uma aresta dum cubo. O plano mediador de [] é designado por θ.1. Mostre que o plano θ pode ser definido pela equação x y + z = 0... O ponto C de coordenadas (,,1) pode ser o centro do cubo?.. Defina a recta por uma equação vectorial e por equações cartesianas..4. Escreva equações cartesianas dos planos que contêm as faces do cubo que são perpendiculares à aresta []..5. dmita que o centro do cubo é a origem do referencial. Escreva uma equação cartesiana do plano β tangente no ponto à superfície esférica circunscrita ao cubo.. dmita que uma determinada raça de cães tem um desenvolvimento que obedece ao seguinte modelo matemático: () P t 1t + 5 = t+ Sendo P(t) o peso médio (em kg) de um animal em função do tempo t (em meses) de vida desde o seu nascimento..1. Qual é o peso médio de um animal recém-nascido?.. Com que idade um cão desta raça atinge os 9 kg?.. Determine, usando processos analíticos, o conjunto solução P(t) < 5 e apresente-o no contexto do problema..4. Considere a tabela abaixo, que permite conhecer a dose diária de um suplemento vitamínico a dar a cães adultos. Tipo de cão Peso (exemplar adulto) Dose diária Pequeno té 6 kg 1 medida Médio De 6kg a 1 kg medidas Grande Superior a 1 kg medidas Para um cão adulto da raça referida no problema, qual a dose diária que indicaria? Explicite num pequeno texto as razões da tua opção. PROFESSOR: Rosa Canelas
COTÇÕES Grupo I... 45 Cada resposta certa... +9 Cada resposta errada... - Cada questão não respondida ou anulada... 0 Nota: um total negativo neste grupo vale 0 (zero) pontos. Grupo II...155 1.... 50 1.1.... 14 1..... 0 1..... 16.... 55.1.... 10..... 10..... 15.4.... 10.5.... 10.... 50.1.... 10..... 10..... 15.4.... 15 TOTL... 00 PROFESSOR: Rosa Canelas 4
ESCOL SECUNDÁRI COM º CICLO D. DINIS COIMR 11º NO DE ESCOLRIDDE MTEMÁTIC FICH DE VLIÇÃO Nº 4 proposta de resolução Grupo I. cos + α = senα porque 1. + α é um ângulo do 4º P quadrante quando α está no primeiro e no 4º quadrante o co-seno (a azul) é positivo e igual ao seno de α (a vermelho) positivo por α estar no 1º quadrante. Estas relações mantêm-se para α em todos os quadrantes... equação senx = 1 tem uma única solução sendo 0º < x < 60º que é 70º. a D C.. figura representa um hexágono regular de lado 4 cm e centro 1 O. O produto escalar O OC é 4 4 cos60º = 16 = 8, porque num hexágono regular o lado é igual ao raio da circunferência E O circunscrita. F 4.. Num referencial o. n. Oxyz, considere o plano α : x - y + z = 1 e a recta r : 1- x = z - y =. Porque o vector normal ao plano tem coordenadas (,-,) e o vector director da recta tem coordenadas (-1,0,1). Estes vectores não são paralelos porque as suas coordenadas não são proporcionais e são perpendiculares porque ( ) ( ),,. 1,0,1 = + 0 + = 0. Como o ponto (1,,) não pertence ao plano porque 1 + 1, r é estritamente paralela a α. x y = 5. C. O sistema 4x + y = 1 traduz a posição dos planos seguintes y + z = 4 porque as duas primeiras equações representam dois planos paralelos e a terceira representa um que é concorrente com os outros dois. PROFESSOR: Rosa Canelas 5
Grupo II 1. Na figura está representado o círculo trigonométrico e um trapézio isósceles [CD] Sabe-se que: EOC = α e α 0, ; CE e DF são perpendiculares a OE e tangentes ao círculo trigonométrico; 1.1. Para calcularmos a medida da área do trapézio, supondo que α =, precisamos de calcular as medidas de: D F y α O C E x DC = porque é igual ao diâmetro do circulo trigonométrico 1 = O = cos = =1 porque [O] é o cateto adjacente no triângulo em que a hipotenusa mede 1 (raio do círculo trigonométrico) CE = tg = porque [CE] é o cateto oposto de um triângulo que tem o cateto área será então adjacente a medir 1 (raio do círculo trigonométrico) + 1 = = 1.. Em função de α, uma expressão da área do trapézio será + cosα = tgα = ( 1+ cosα) tgα 1.. Em função de α, as coordenadas dos vértices do trapézio são: = ( cos α, 0 ) = ( cos α,0) C= ( 1,tgα ) D= ( 1,tgα ). Num referencial o.n. ( O,i, j,k ), os pontos (,-1,0) e (0,1,-) são os extremos de uma aresta dum cubo. O plano mediador de [] é designado por θ.1. O plano θ pode ser definido pela equação PROFESSOR: Rosa Canelas 6
x y+ z = 0, porque: O ponto médio de [] tem coordenadas,, = ( 1,0, 1) O vector tem coordenadas (,, ) =. + 0 1+ 1 0 O plano mediador passa no ponto médio de [] e é normal ao vector. Uma equação satisfaz + ( ) ( ) x y z = D x,y,z = 1,0, 1 + = D D = 0 equação será x + y z = 0 x y + z = 0.. O ponto C de coordenadas (,,1) não pode ser o centro do cubo porque não pertence ao plano mediador de [], pois + 1 0... Equação vectorial da recta : ( x, y, z) = (, 1,0 ) + k (,, ),k. Equações cartesianas da recta : x y 1 z = + =.4. Os planos que contêm as faces do cubo que são perpendiculares à aresta [] são da forma x + y - z = D e um passa em e o outro passa em O que passa em tem : + ( 1) + 0= D D= 6 então a equação é x + y z = - 6 O que passa em tem : 0+ 1 ( ) = D D= 6 então a equação é x + y z = 6.5. Se o centro do cubo é a origem do referencial o plano β tangente no ponto à superfície O =, 1,0. Se P(x,y,z) for um esférica circunscrita ao cubo é perpendicular ao vector ( ) ponto qualquer do plano então O.P = 0, 1,0. x,y+ 1,z = 0 x 4 y 1= 0 x y = 5 ( ) ( ) x y = 5 é então a equação do plano β.. dmita que uma determinada raça de cães tem um desenvolvimento que obedece ao seguinte modelo matemático: () P t 1t + 5 = t+ Sendo P(t) o peso médio (em kg) de um animal em função do tempo t (em meses) de vida desde o seu nascimento..1. O peso médio de um animal recém-nascido é dado por 5 P( 0) = 1,7kg PROFESSOR: Rosa Canelas 7
.. Um cão desta raça atinge os 9 kg com aproximadamente 7 meses... Determine, usando processos analíticos, o conjunto solução P(t) < 5 e apresente-o no contexto do problema. 1t + 5 1t + 5 1t + 5 5t 15 7t 10 P(t) < 5 < 5 5< 0 < 0 < 0 t+ t+ t+ t+ Como 7t 10 se anula em 10 t = e t + em t = - e se multiplicássemos os dois polinómios 7 obtínhamos uma função quadrática representável por um parábola com a concavidade voltada para cima negativa entre os zeros, a solução da inequação seria, em, o 10 intervalo, 7. No contexto do problema a solução é 10 0, 7 e significa que durante um mês e cerca de 1 dias o peso do cão é inferior a 5 kg..4. tabela abaixo permite conhecer a dose diária de um suplemento vitamínico a dar a cães adultos. Tipo de cão Peso (exemplar adulto) Dose diária Pequeno té 6 kg 1 medida Médio De 6kg a 1 kg medidas Grande Superior a 1 kg medidas Para um cão adulto da raça referida no problema, a dose diária indicada é medidas porque ao fim de pouco mais de meses o nosso cão já pesa 6 kg e como o gráfico da função admite uma assímptota horizontal de equação y = 1, isso significa que ele nunca ultrapassará os 1 kg. Deve, por isso, ser considerado um cão de tipo médio. PROFESSOR: Rosa Canelas 8