UFPR - Universidade Federal do Paraná Setor de Ciências Eatas Departamento de Matemática Prof. José Carlos Eidam PROFMAT - MA - Fundamentos de Cálculo Integrais definidas e indefinidas. Calcule as integrais definidas abaio: () (4) (7) () () (6) (9) () (5) (8) π/4 π ( e )d () + cos θ cos θ dθ (5) sen(n), n N (8) π/4 π/4 e d () (sen( 5 ) 7 7 cos + )d (4) tg θdθ (7) secθdθ () e d () + d (6) d (9) 4 + 6 a. Lista de Eercícios π ( + ) d () + d (6) cos(n)d, n N (9) π/ π/ π / cos θdθ () ( cos( + ) + )d (5) sen 4 θdθ (8) + d () π ( + 5)( + )d π/ senθ dθ e d π/ / + cos d (4) d (7) 4 + d () sen θdθ e d cos 4 θdθ d e + e d sen( + )d (ln ) d. Calcule as integrais indefinidas abaio: 7 + +. d. e d. cos7 d 4. tg d 7 sen 5. d 6. tg sec d 7. d 8. tg d cos 9. tg d. d. d. + + 4 + d. d d 4. sec d 5. 6. 5 + d + ln 4 + 8 ln d 7. d 8. d 9. + 8 + (arcsen ) e. + e d sen. + cos d. e d. e sen + e d 4. d e arctg 5. d 6. ( + ) d 7. sen d 8. e cos d + 9. r ln d,r R. (ln ) d. e d. arctg d
. 7. 4. 45. 49. 5. 57. 6. 65. 69. 7. 77. arcsen d 4. sec d 5. cos d 6. sen cos d sen sen cos + 4 + 5 d d 8. d 9. d 4. cos ( )( )( ) + 8 + + 4 + 5 5 + + ( ) d 4. ( ) d 4. 8 d 44. d e d 46. ln( + + d )d 47. 48. ln d 5 + + 5 + 4 sen(ln )d 5. d 5. 4 + d 5. a + b d + d 54. + d 55. d d 56. a + b ( + ) cos cos d 58. sen 5 5 ( d 59. sen d 6. sen ) ( cos 5 ) d d sen 5 cos 6. sen 4 d 6. sen cos 5 d 64. sen cos 4 d cos cos 6 d ()d 66. sen 6 d 67. sen cos 4 68. + d d + arctg d 7. ( d 7. + 4) d 7. d 4 + d ln( + ) ( d 74. + )( + ) + e 75. d 76. 5 e d + ( d 78. arctg + d 79. + 4) d 8. cos ( + sen )d + + Volumes, áreas e comprimentos. Determine o volume de uma pirâmide cuja base é o quadrado de lado L e cuja altura é h. 4. Calcule o volume do sólido cuja base é a astróide de equação + y = a e tal que as seções transversais por planos paralelos ao plano Oz são quadrados. 5. Seja A a região do plano delimitada pelas desigualdades y e a + y. Calcule o volume do sólido b de rotação obtido girando-se A em torno do eio. 6. Calcule o comprimento do gráfico de f () = ln(cos ), para π 4. 7. Calcule o comprimento da astróide + y = a. 8. Calcule a área da região interna ao laço formado pela curva y = ( + ). 9. Calcule a área da região do plano limitada pela elipse a + y b =.. Determine o volume do sólido obtido pela rotação do conjunto A em torno do eio : (a) A = {(, y) R : y, + y 5 e > } (b) A = {(, y) R : y e ( ) + y }. (c) A = {(, y) R : e e y e } (d) A = {(, y) R : >, y e / y 4/ }
(e) A = {(, y) R : y, + y } (f) A = {(, y) R : y, + y 4}. Calcule o volume do sólido obtido pela rotação em torno da reta y = da região delimitada pelas parábolas y = e y =.. Seja A = {(, y) R : e ln( + ) + y e + 4}. Determine o volume do sólido obtido pela rotação de A em torno da reta y =.. O disco + y a é girado em torno da reta = b, com b > a, para gerar um sólido, com a forma de um pneu. Esse sólido é chamado toro. Calcule seu volume. 4. Calcule o volume de uma calota esférica de altura h, h a, de uma esfera de raio a. 5. Determine o comprimento da curva y = cosh, 4. 6. Um anel esférico é o sólido que permanece após a perfuração de um buraco cilíndrico através do centro de uma esfera sólida. Se a esfera tem raio R e o anel esférico tem altura h, prove o fato notável de que o volume do anel depende de h, mas não de R. 7. Calcule o volume do sólido obtido pela rotação de A em torno do eio y: (a) A = {(, y) :, y + ( /), y } (b) A = {(, y) : y 4, } (c) A = {(, y) : e, y ln } (d) A = {(, y) : 8, y } (e) A = {(, y) :, y, y } 8. Calcule o volume da região delimitada pelas curvas abaio: (a) y = 6 e y = (b) y = e y = (c) y = e, y = e = (d) + y = e = y + y (e) y =, y = e =
Respostas () () e ; () 5; () /; (4) 4πab /; (5) + 6 6 5 ; (6) 4; (7) se n = e () n+ π/n se n > ; (8) se n é par e /n se n é ímpar; (9) e + /e; () e /e; () π/4; () π/4; () 6; (4) ; (5) (e 4 )/; (6) π/4; (7) π/8; (8) π/8; (9) ln( + ); () 6/5; () π/6; () ; () 4 ; (4) ( + e ); (5) ln( +)+ ; (6) arcsen(/4) ; (7) ; (8) arctg(/) ; (9) ; () ln ln. () () 6 6 + e +C () +C () 7sen7 +C (4) tg +C (5) 7ln +C (6) 4 tg 4 +C (7) cos ( 5 cos ) +C (8) ln cos +C (9) tg + ln cos +C () ln( + ) +C () arctg +C () arctg +C () ( ) +C (4) ln sec + tg +C (5) + ln +C (6) 5 5 8 ( + ) 6 +C (7) ln( + 8 + ) +C (8) (ln ) +C (9) ln arcsen +C () ln( + e ) +C () ln( + cos ) +C () e +C () 4 ( + e ) 4 +C (4) cos +C (5) e arctg +C (6) ( + ) ( + ) +C (7) cos + sen +C { r + + r (8) ln +C, se r e r + (sen + cos ) +C (9) (r +) (ln () (ln ) ( ln ) +C ) +C, se r = () ( )e +C () arctg + arctg +C () arcsen + +C (4) sec tg + lnsec + tg +C (5) ( + sen cos ) +C (6) sen 5 sen5 +C (7) 8 ( sen4) +C (8) ln + sen +C 4 (9) 6ln 5ln + ln +C (4) 6 + arctg( ) +C 6 (4) ln + + 5ln +C (4) + 5 6 + ln + ln( + ( ) ) + + arctg( ) +C 4 (4) arcsen +C (44) 8 ( ) + 8 arcsen +C (45) ( )e +C (46) ln( + + ) + +C (47) ln 5 + + +C (48) (ln ) +C (49) (sen(ln ) cos(ln )) +C (5) ln 4 +C (5) ln + ln( + + ) + arctg( + (5) a + b + a b ln( b a + a +b ) +C a (5) b ln( b a + a +b (55) + ) +C ) +C (54) a + + ln( + + ) +C + arcsen( + ) +C (56) arctg( (57) sen sen +C (58) cos + cos 5 cos5 +C (6) 4 cos8 ( ) cos6 ( ) +C (59) sen ln sen +C sen tg + ln tg tg 4tg 4 +C (6) 8 4 sen() + sen(4) +C (6) sen 5 sen5 + 7 sen7 +C (64) 6 64 sen(4) + 48 sen () +C (65) 5 6 + sen(6) + 64 sen() 44 sen (6) +C (66) cotg 5 cotg5 +C (67) tg + tg cotg() +C (68) arcsen + +C (69) + + 6 6 + 6ln 6 +C (7) 6 ln 6 ln( + 4) 64 arctg + 4 ( +4) +C (7) arctg + ln ln + +C (7) arcsen( ) ( ) + +C (7) ln + + ln( + ) + arctg( ) +C 4
(74) ln( + e ) +C (75) ln(+) + ln ln( + ) +C (76) ( + )e +C (77) 4 ln 4 8 ln( + 4) 6 arctg( ) +C (78) ( + )arctg (79) ln( + + ) arctg( + ) +C (8) sen + sen sen sen 5 5 +C () l h 8 ; () 5 a ; (4) ; (5) ln( + ); (6) 6a; (7) 4 5 ; (8) πab; (9) (a) 5 5 π; (b) π 6 ; (c) π (e e ) ; (d) 5π 6 ; (e) π /; (f) 8π/; () π; () π ( e + 4e (ln) + 4ln () (πb)(πa ); () πh (a h ); (4) sinh4 + sinh. (7) (a) 7π/; (b) 8π; (c) π(e + )/; (d) 768π/7; (e) 88π/5; (8) 5/6 ) 5