Revisões de análise odal e análise sísica por espectros de resposta Apontaentos da Disciplina de Dinâica e Engenharia Sísica Mestrado e Engenharia de Estruturas Instituto Superior Técnico Luís Guerreiro Março de 1999
Revisões de análise odal e análise sísica por espectros de resposta 1 Forulação das equações de equilíbrio dinâico As equações de oviento de u sistea de últiplos graus de liberdade pode ser estabelecidas a partir do equilíbrio das forças associadas a cada grau de liberdade. Dua fora geral pode-se considerar aplicadas no grau de liberdade genérico i, quatro tipos de forças: as forças aplicadas exteriorente p(t), as forças resultantes do oviento e que se divide e forças de inércia, f I, forças devidas ao aorteciento, f A, e forças de deforação elástica, f E. Assi, o sistea de equações de equilíbrio dinâico pode ser escrito na seguinte fora: {f I } + {f A } + {f E } = {p(t)} (1) Cada u destes vectores de forças resultantes do oviento depende das variáveis que descreve o oviento e que são o deslocaento, a velocidade e aceleração e cada grau de liberdade. Estas relações pode ser descritas a partir das seguintes expressões: {f E } = [ K ] q(t) (2) {f A } = [ C ] q. (t) (3) e que: {f I } = [ M ] q.. (t) (4) [ K ] - é a atriz de rigidez da estrutura relativa aos grau de liberdade considerados; [ C ] - é a atriz de aorteciento; [ M ] - é a atriz de assa. Introduzindo estas relações na equação (1) o sistea de equações de equilíbrio dinâico pode ser escrito na fora que se apresenta: [ M ] {q.. (t)} + [ C ] {q. (t)} + [ K ] {q(t)} = {p(t)} (5) 2 Cálculo das frequências e odos de vibração O problea da identificação das frequências de vibração de u deterinado sistea é resolvido co base na análise do oviento e regie livre e se aorteciento. Nestas condições as equações de equilíbrio dinâico toa ua fora ais siplificada: Dinâica e Engenharia Sísica 1
[ M ] {q.. (t)} + [ K ] {q(t)} = {0} (6) Adita-se que o oviento da estrutura quando vibra co ua dada frequência p é do tipo harónico traduzido por ua equação do tipo, {q(t)} = {v}cos(pt φ) (7) {v} vector que representa a configuração deforada da estrutura (não varia co o tepo); p frequência de vibração; φ - fase. Derivando duas vezes a equação (7) e orde ao tepo obte-se a expressão das acelerações ao longo do tepo: {q.. (t)} = - p 2 {v}cos(pt φ) (8) Substituindo as equações (7) e (8) na equação do oviento (6) obte-se: - p 2 [ M ] {v}cos(pt φ) + [ K ] {v}cos(pt φ) = {0} (9) - p 2 [ M ] {v}+ [ K ] {v} = {0} (10) [ K - p 2 M ] {v}= {0} (11) Para que o sistea de equações (11) tenha ua solução não trivial (esta seria {v} = {0}), é necessário que se anule o deterinante da atriz [K - p 2 M]. Logo a deterinação de frequências e odos de vibração resulta nu problea tradicional de deterinação de valores e vectores próprios, e que os valores próprios representa as frequências e os vectores próprios os odos de vibração. Assi, a cada frequência p n corresponde u odo de vibração {v n }. 3 Condições de ortogonalidade Os vectores que representa os odos de vibração apresenta u conjunto de propriedades designadas por condições de ortogonalidade e que são traduzidas nas seguintes equações: {v n } T [ M ] {v }= 0 n (12) que representa a ortogonalidade e relação à atriz de assa, e {v n } T [ K ] {v }= 0 n (13) que se refere à ortogonalidade e relação à atriz de rigidez. Para deonstrar a ortogonalidade e relação à atriz de assa considere-se a equação (11) escrita para os odos de vibração n e : [ K ] {v n }= p n 2 [ M ] {v n } (14) 2 Dinâica e Engenharia Sísica
[ K ] {v }= p 2 [ M ] {v } (15) Multiplicando a equação (14) por {v } T, obte-se: {v } T [ K ] {v n }= p n 2 {v } T [ M ] {v n } (16) Transpondo a equação (15) e tendo e conta que as atrizes [K] e [M] são siétricas, logo verificando-se as seguintes relações [K] T = [K] e [M] T = [M], obte-se a seguinte expressão: {v } T [ K ] = p 2 {v } T [ M ] (17) Multiplicando à direita por {v n } obte-se u expressão seelhante à equação (16): {v } T [ K ] {v n }= p 2 {v } T [ M ] {v n } (18) Se se subtrair a equação (18) da equação (16) é-se conduzido ao seguinte resultado: ( p n 2 - p 2 ){v } T [ M ] {v n }= 0 n (19) Este resultado deonstra o que se entende por ortogonalidade dos odos de vibração e relação à atriz de assa, já que p n e p são diferentes. De fora seelhante é possível deonstrar a propriedade de ortogonalidade dos odos de vibração e relação à atriz de rigidez. A partir das condições de ortogonalidade é possível estabelecer as seguintes relações: [ V ] T [ M ] [ V ] = [ M G ] (20) [ V ] T [ K ] [ V ] = [ K G ] (21) [ V ] atriz odal (cada coluna é u odo de vibração) Coo consequência das condições de ortogonalidade as atrizes [M G ] e [K G ] são atrizes diagonais. É tabé fácil de deonstrar que, se os odos de vibração são ortogonais às atrizes de assa e de rigidez, tabé o serão e relação a qualquer atriz que resulte da cobinação linear daquelas duas. 4 Noralização dos odos de vibração Os odos de vibração representa soente a configuração da estrutura quando esta vibra co deterinada frequência. Assi, o valor absoluto das coponentes que constitue o vector odo de vibração não te qualquer significado, sendo soente iportante a relação entre eles. Desta fora existe infinitas representações possíveis do eso odo de vibração. Face a esta situação é habitual representar os odos de vibração através dua deterinada nora que facilite a interpretação e a coparação entre eles. Dinâica e Engenharia Sísica 3
Ua das foras ais siples de noralizar os odos é considerar o aior valor do vector igual à unidade. Outra é considerar sepre igual à unidade o eso eleento dos vários vectores dos odos de vibração. Qualquer ua destas foras de noralização te vantagens e desvantagens que não iporta aqui referir. A fora de noralização dos odos de vibração ais usada, essencialente e virtude das siplificações na representação da equação de oviento, é a noralização e relação à atriz de assa. Esta noralização consiste e considerar os odos de vibração escritos de tal fora que perita obter a seguinte relação: {φ n } T [ M ] {φ n } = 1 (22) Recordando que cada u dos teros da atriz diagonal [M G ], apresentada na equação (20) é obtido através da relação, {v n } T [ M ] {v n } = M Gn (23) pode-se concluir que, para obter a noralização pretendida basta aplicar a seguinte relação ao vector que representa a configuração odal: {φ n } = {v n} M Gn = {v n } {v n } T [ M ] {v n } (24) Coo consequência desta noralização verifica-se a seguinte igualdade: [φ ] T [ M ] [φ ] = [ I ] (25) [φ ] - atriz de odal (atriz co os odos noralizados); [ I ] - atriz identidade. A partir desta noralização tabé é possível obter u outro resultado iportante, desta vez envolvendo a atriz de rigidez na fora [K G ], atriz que resulta da operação descrita e (21). Se se toar a equação (14) e ultiplicar abos os ebros pela transposta do odo de vibração, aditindo que este está na sua fora noralizada, obte-se a seguinte relação: {φ n } T [ K ] {φ n }= p n 2 {φ n } T [ M ] {φ n } (26) Considerando a condição apresentada e (22), e relebrando a designação indicada na equação (21), deonstra-se que, {φ n } T [ K ] {φ n }= p n 2 K Gn = p n 2 (27) ou seja, que cada eleento da atriz diagonal [K G ], representa o quadrado da frequência de vibração do odo de vibração correspondente, desde que os odos esteja noralizados à atriz de assa. 4 Dinâica e Engenharia Sísica
5 Definição de coordenadas odais O sistea de equações de equilíbrio dinâico traduzido pela expressão (5), é u sistea de equações diferenciais. Estas equações são dependentes entre si pois, dua fora geral, a atriz de rigidez [K] te teros fora da diagonal, e nada obriga a que a atriz de assa [M] seja ua atriz diagonal (recorde-se que a atriz de assa [M] é na aioria dos casos ua atriz diagonal porque noralente se opta por considerar u sistea co distribuição discreta de assas, ou seja assas concentradas). É possível, no entanto, através dua udança de referencial a após alguas transforações, representar o eso sistea de equações diferencias de fora a que estas seja independentes entre si, facilitando uito a resolução do problea. De seguida são apresentados, e justificados, os passos que leva à representação do sistea de equações nu novo referencial, o referencial das coordenadas odais. Se se ultiplicar abos os teros da equação (5) pela transposta da atriz odal, e se introduzir o produto indicado pela expressão (29), que constitui u eleento neutro do produto atricial, o sistea de equilíbrio dinâico pode ser descrito na fora representada pela expressão (30). [ M ] {q.. (t)} + [ C ] {q. (t)} + [ K ] {q(t)} = {p(t)} (5) [φ ] T [ M ] {q.. (t)} + [φ ] T [ C ] {q. (t)} + [φ ] T [ K ] {q(t)} = [φ ] T {p(t)} (28) [φ ] [φ ] -1 = [ I ] (29) [φ ] T [ M ][φ ] [φ ] -1 {q.. (t)} + [φ ] T [ C ][φ ] [φ ] -1 {q. (t)} + + [φ ] T [ K ][φ ] [φ ] -1 {q(t)} = [φ ] T {p(t)} (30) Substituindo os resultados expressos e (25) e (27), que resulta das propriedades de ortogonalidade dos odos de vibração e da noralização destes e relação à atriz de assa, obte-se a seguinte expressão: [ I ] [φ ] -1 {q.. (t)} + [φ ] T [ C ][φ ] [φ ] -1 {q. (t)} + [ p 2 ] [φ ] -1 {q(t)} = [φ ] T {p(t)} (31) [ I ] atriz identidade; [ p 2 ] atriz diagonal e que cada eleento representa o quadrado da frequência do odo correspondente à posição do eleento na atriz. Se se aditir a hipótese de que é possível obter a atriz de aorteciento nua fora tal que verifique as condições de ortogonalidade odal (32), à seelhança do que acontece co as atrizes de assa e de rigidez, a expressão (31) pode ser siplificada. À seelhança do que acontecia coa as atrizes [M G ] e [K G ], a atriz [C G ] é ua atriz diagonal. Cada u dos eleentos da atriz [C G ] representa o aorteciento do correspondente odo. Se os odos de vibração estivere noralizados à atriz de assa, então a atriz de aorteciento diagonal [C G ] toa a fora apresentada na equação (33). Dinâica e Engenharia Sísica 5
[ V ] T [ C ] [ V ] = [ C G ] (32) [φ ] T [ C ] [φ ]= [ 2 p ζ ] (atriz diagonal) (33) ζ p percentage do aorteciento crítico odal do odo correspondente à posição do eleento na atriz; - frequência do odo de vibração correspondente à posição do eleento na atriz. Introduzindo esta nova representação da atriz de aorteciento na equação (31), as equações de oviento dinâico toa o seguinte aspecto: [ I ] [φ ] -1 {q.. (t)} + [ 2 p ζ ] [φ ] -1 {q. (t)} + [ p 2 ] [φ ] -1 {q(t)} = [φ ] T {p(t)} (34) Este conjunto de equações está referido aos graus de liberdade dinâicos da estrutura representados pelo vector {q(t)}, envolvendo ainda as suas derivadas no tepo. Se se interpretar o produto da atriz [φ ] -1 pelo vector {q(t)} coo ua operação de transforação de coordenadas (ver figura 1), então pode iaginar-se u novo referencial que se designa por referencial das coordenadas odais ou generalizadas, {q G (t)}. Neste referencial, o sistea de equações de equilíbrio dinâico te u aspecto ais siples, que se descreve de seguida: [ I ]{q.. G(t)} + [ 2 p ζ ]{q. G(t)} + [ p 2 ]{q G (t)} = [φ ] T {p(t)} (35) {q G (t)} = [φ ] -1 {q(t)} (transforação para coordenadas odais) (36) {q(t)} = [φ ]{q G (t)} (transforação para as coordenadas da estrutura) (37) De acordo co o que foi exposto anteriorente, todas as atrizes envolvidas neste sistea de equações são atrizes diagonais. Deste odo o sistea de equações representado é u sistea de equações diferenciais independentes, podendo ser representado, para cada odo de vibração:.. qgn(t) + 2 p n ζ n q. Gn(t) + p 2 n q Gn (t) = {φ } T n {p(t)} para o odo n (38) A resolução deste sistea de equações perite obter a solução do problea dinâico expressa e teros das coordenadas odais. Se se pretender obter a solução referida ao referencial dos graus de liberdade dinâicos da estrutura é necessário fazer a transforação de coordenadas representada pela equação (37). A seelhança entre as equações (38) e a equação de equilíbrio dinâico de u sistea de u grau de liberdade, representada e (39), é evidente. É tirando partido desta seelhança que é possível obter a solução para u sistea de últiplos graus de liberdade a partir da solução para sisteas de u grau de liberdade.... q (t) + 2 p ζ q (t) + p 2 q(t) = p(t) (39) 6 Dinâica e Engenharia Sísica
[φ ] Matriz odal [φ ] = 0.1368 0.5743-0.8072 0.4650 0.6822 0.5642 0.8747-0.4525-0.1737 [φ ] -1 = 0.1368 0.4650 0.8747 0.5743 0.6822-0.4525-0.8072 0.5642-0.1737 Coordenadas Modais Coordenadas da Estrutura {q G } = [φ ] -1 {q} -0.5 0.0 0.5 1.0 1.5-0.5 0.0 0.5 1.0 1.5-0.5 0.0 0.5 1.0 1.5-1.0-0.5 0.0 0.5 1.0 q G (1) = 1 q(1) = 1 ( 0.1368) q(2) = 1 ( 0.4650) q(3) = 1 ( 0.8747) {q} = [φ ]{q G } -1.0-0.5 0.0 0.5 1.0-1.0-0.5 0.0 0.5 1.0-1.0-0.5 0.0 0.5 1.0 q G (1) = 1 ( 0.1368) q G (2) = 1 ( 0.5743) q G (3) = 1 ( -0.8072) -0.5 0.0 0.5 1.0 1.5 q(1) = 1 Figura 1 Transforação de coordenadas da estrutura para coordenadas odais e vice-versa. Exeplo co estrutura co 3 graus de liberdade. Neste texto optou-se por fazer a apresentação de toda a forulação referente à representação das equações de equilíbrio dinâico e coordenadas odais utilizando os vectores das configurações odais noralizados à atriz de assa. Convé referir que tal não é necessário, sendo no entanto preferível pois o sistea de equações fica ais siples e é ais fácil de interpretar o significado físico dos vários eleentos envolvidos. Se for utilizada qualquer outra noralização odal, se ser a noralização Dinâica e Engenharia Sísica 7
à atriz de assa, o sistea de equações de equilíbrio dinâico toa o seguinte aspecto: [ M G ]{q.. G(t)} + [ C G ]{q. G(t)} + [ K G ]{q G (t)} = [φ ] T {p(t)} (40) {q G (t)} = [ V ] -1 {q(t)} (transforação para coordenadas odais) (41) {q(t)} = [ V ]{q G (t)} (transforação para as coordenadas da estrutura) (42) 6 Análise da resposta dinâica por sobreposição odal 6.1 Resposta e regie livre As equações de oviento e regie livre de u sistea de últiplos graus de liberdade referida ao sistea de coordenadas odais, tê o seguinte aspecto:.. qgn(t) + 2 p n ζ n q. Gn(t) + p 2 n q Gn (t) = 0 para o odo n (43) A resposta de u sistea de u grau de liberdade, e regie livre e co aorteciento sub-crítico (ζ < 1), é traduzida por: co, q(t) = e -ζpt ( q. (0) + ζ p q(0) p d sen( p d t) + q(0) cos( p d t)) (44) p d = p 1-ζ 2 (45) p d q(0) q. (0) - frequência aortecida; - deslocaento inicial (no instante t=0); - velocidade inicial (no instante t=0). Por analogia, a resposta du sistea de últiplos graus de liberdade será a seguinte, para cada ua das coordenadas odais: q Gn (t) = e -ζp n t ( q. Gn(0) + ζ p n q Gn (0) p dn sen( p dn t) + q Gn (0) cos( p dn t)) (46) É preciso ter e atenção que as condições inicias do oviento indicadas na equação (46) estão referidas ao sistea de coordenadas odais. Coo uito provavelente o que se conhece são as condições iniciais do oviento relativaente aos graus de liberdade da estrutura, é necessário fazer a correspondente transforação de coordenadas para obter estas condições iniciais referidas ao sistea de coordenadas odais. {q G (0)} = [φ ] -1 {q(0)} (transforação para coordenadas odais) (47) 8 Dinâica e Engenharia Sísica
Após o calculo da resposta nas coordenadas odais é necessário fazer a transforação de coordenadas para obter a resposta expressa e teros das coordenadas da estrutura. 6.2 Resposta a ua força de excitação harónica Para a análise da resposta dinâica de u oscilador de últiplos graus de liberdade e regie forçado, pode-se considerar o sistea de equações representado e (38)... qgn(t) + 2 p n ζ n q. Gn(t) + p 2 n q Gn (t) = {φ } T n {p(t)} para o odo n (38) Se as forças de excitação que copõe o vector de forças {p(t)} fore excitações harónicas, a resposta pode ser calculada através das funções de aplificação dinâica β 1 definidas para osciladores de u grau de liberdade. Estas funções perite calcular a aplitude da resposta e regie forçado de u oscilador de u grau de liberdade, co assa unitária, sujeito a ua excitação harónica de frequência ω e a respectiva fase θ. q(t) = β P 1 2 p cos (ωt - θ) (48) β 1 = 1 (1 - ω _ 2 ) 2 + (2 ζ ω _ ) 2 (49) θ = arctg ( 2 ζ ω_ 1 - ω _ ) (50) 2 ω _ = ω p (51) P - aplitude da força de excitação [p(t) = P cos(ωt)]; Nu sistea de últiplos graus de liberdade te de considerar-se a hipótese ais geral de haver forças harónicas p i (t), aplicadas e todos os graus de liberdade da estrutura. Assi, o tero da direita da equação (38) pode toar a seguinte fora: {φ } T n {p(t)} = φ in P i cos(ω i t) (52) i = 1 φ in - coponente i do odo de vibração n; P i - aplitude da força harónica aplicada no grau de liberdade i da estrutura; ω i - frequência da força harónica aplicada no grau de liberdade i da estrutura; - núero total de odos de vibração (ou de graus de liberdade dinâicos da estrutura). A resposta no odo de vibração n de u sistea de graus de liberdade é traduzida pela seguinte equação: Dinâica e Engenharia Sísica 9
q Gn (t) = i = 1 φ in β 1in P i p n 2 cos(ω i t - θ in ) (53) β 1in = 1 (1 - ω _ in 2 ) 2 + (2 ζ n ω _ in) 2 (54) θ in = arctg ( 2 ζ n ω _ in 1 - ω _ 2) (55) in ω _ in = ω i p n (56) Após o calculo da resposta nas coordenadas odais é necessário fazer a transforação de coordenadas para obter a resposta expressa e teros das coordenadas da estrutura. 6.3 Resposta a ua força não periódica A análise de u sistea de últiplos graus de liberdade sujeito a u conjunto de forças não periódicas pode ser feita utilizando o integral de Duhael. A resposta de u oscilador de u grau de liberdade, co assa unitária, a ua força Q(t) qualquer, é traduzida através da seguinte equação: co, q(t) = e -ζpt ( q. (0) + ζ p q(0) p d sen( p d t) + q(0) cos( p d t)) + + e -ζpt t p d 0 e ζpτ Q(τ) sen (p d (t - τ)) dτ (57) p d = p 1-ζ 2 (45) p d q(0) q. (0) Q(t) - frequência aortecida; - deslocaento inicial (no instante t=0); - velocidade inicial (no instante t=0); - força aplicada. A equação (57) perite calcular a resposta de u oscilador de u grau de liberdade sujeito a ua força dinâica Q(t) considerando a influência de condições iniciais do oviento. Coo a análise da resposta de ua estrutura e regie livre sujeita a condições iniciais já foi abordada na secção 6.1, nesta secção será soente calculada a resposta à força aplicada Q(t). Assi a equação (57) pode siplificar-se: q(t) = e -ζpt t p d 0 e ζpτ Q(τ) sen (p d (t - τ)) dτ (58) 10 Dinâica e Engenharia Sísica
Coo já foi referido na secção anterior, a equação (38), que representa a equação de equilíbrio dinâico para u deterinado grau de liberdade, pode ser resolvida tirando partido da analogia desta equação co a equação de u sistea de u grau de liberdade. Se se assuir que existe forças Q i (t) aplicadas e todos os graus de liberdade, o tero da direita da equação (38) toa o seguinte aspecto: {φ } T n {p(t)} = φ in Q i (t) (59) i = 1 φ in - coponente i do odo de vibração n; Q i (t) - força aplicada no grau de liberdade i da estrutura; A resposta no odo de vibração n de u sistea de graus de liberdade é traduzida pela seguinte equação: q Gn (t) = exp(-ζ n p n t) p dn i = 1 t [ exp(ζ n p n τ ) φ in Q i (τ) sen(p dn (t - τ)) dτ] (60) 0 Após o calculo da resposta nas coordenadas odais é necessário fazer a transforação de coordenadas para obter a resposta expressa e teros das coordenadas da estrutura. 6.4 Resposta a u conjunto de acelerações na base A forulação que perite o cálculo da resposta de u sistea de últiplos graus de liberdade a u conjunto de acelerações no solo é seelhante à forulação utilizada para o cálculo da resposta a u conjunto de forças de excitação, desde que se escreva as equações e coordenadas relativas. Neste contexto entende-se coo coordenadas relativas aquelas que perite descrever o oviento da estrutura e relação ao oviento do solo. q r (t) = q(t) q s (t) (61) q r (t) q(t) q s (t) - deslocaento relativo; - deslocaento absoluto; - deslocaento do solo. Coo só a parcela correspondente às forças de inércia {f I } depende das coordenadas absolutas, para u sistea de últiplos graus de liberdade o sistea de equações de equilíbrio dinâico toa o seguinte aspecto, quando escrito e coordenadas relativas: [ M ] {q.. r(t)} + [ C ] {q. r(t)} + [ K ] {q r (t)} = - [ M ] {q.. s(t)} (62) É habitual oitir na representação das equações o facto de se tratare de coordenadas relativas, representando as equações na seguinte fora: [ M ] {q.. (t)} + [ C ] {q. (t)} + [ K ] {q(t)} = - [ M ] {q.. s(t)} (63) Dinâica e Engenharia Sísica 11
Para que a forulação apresentada fique clara é necessário definir o que representa o vector das acelerações do solo {q s(t)}. Dua fora geral todos os pontos de ligação da estrutura ao exterior pode ter deslocaentos independentes uns dos outros. Coo esta situação é pouco provável que aconteça e estruturas de diensões correntes, adite-se a hipótese de haver soente três deslocaentos independentes da base, u e cada direcção (q sx (t), q sy (t) e q sz (t)). Ao introduzir estes deslocaentos do solo na equação (63) só faz sentido considerar cada u deles nas posições do vector {q s(t)} correspondentes às respectivas direcções. Assi, se se pretende considerar u oviento no solo segundo a direcção X, deverá ser considerado u vector {q s(t)}, co valor diferente de zero soente nos graus de liberdade segundo X. Ua fora prática de construir u vector de acelerações no solo co estas características, e que seja válida se se aditir que, e cada direcção, todos os pontos da base da estrutura tê o eso deslocaento, é criar para cada direcção u vector co valor unitário nas posições correspondentes à direcção desejada e zero nas restantes. Serão assi construídos três vectores, sendo u para cada ua das direcções. {1 x } - vector co valores unitários nas posições correspondentes à direcção X e zero nas restantes; {1 y } - vector co valores unitários nas posições correspondentes à direcção Y e zero nas restantes; {1 z } - vector co valores unitários nas posições correspondentes à direcção Z e zero nas restantes; Desta fora, para construir o vector de acelerações no solo para, por exeplo a direcção X, basta ultiplicar o vector {1 x } pela aceleração no solo segundo X, q sx (t). Co base nestes pressupostos a equação (63) poderá ser alterada e, na hipótese de se considerare ovientos no solo e todas as direcções, toará a seguinte fora: [M]{q.. (t)} + [C]{q. (t)} + [K]{q(t)} = = -[M]({1 x }q.. sx(t) + {1 y }q.. sy(t) + {1 z }q.. sz(t)) (64) Particularizando a equação soente para o caso de ovientos no solo segundo a direcção X, e referindo a equação às coordenadas odais, aditindo configurações odais noralizados à atriz de assa, a equação (64) transfora-se na seguinte: [ I ]{q.. G(t)} + [ 2 p ζ ]{q. G(t)} + [ p 2 ]{q G (t)} = - [φ ] T [M]{1 x }q.. sx(t) (65) Esta equação é seelhante à equação (35) definida anteriorente. Coo o sistea de equações representado e (65) é u sistea de equações diferenciais independentes, pode ser representada, para cada odo de vibração, pela seguinte equação:.. qgn(t) + 2 p n ζ n q. Gn(t) + p 2 n q Gn (t) = -{φ } T n [M]{1 x }q.. sx(t) para o odo n (66) No tero da direita da equação (66), o factor que ultiplica a aceleração do solo é habitualente designado por Factor de Participação Modal, para a direcção e que actua essa aceleração. 12 Dinâica e Engenharia Sísica
{φ } n T [M]{1 x } = P nx (Factor de participação do odo n segundo x) (67) A seelhança entre a equação (66) e a equação (38) revela que a resolução do problea dinâico de iposição de acelerações na base pode ser resolvido da esa fora que o problea da iposição de forças dinâicas nos graus de liberdade da estrutura. As soluções indicadas nas secções anteriores para o problea das forças ipostas pode ser utilizadas no cálculo da resposta a acelerações na base, desde que se faça a seguinte substituição: {p(t)} = - [M]{1 x }q.. sx(t) (para acelerações no solo segundo X) (68) Esta substituição é válida para qualquer direcção da aceleração iposta na base, e se houver oviento iposto e ais do que ua direcção a resposta total pode ser calculada por sobreposição da resposta e cada ua das direcções, tal coo é sugerido na expressão (64). Nesta secção assuiu-se que o oviento do solo era representado através du conjunto de acelerações ao longo do tepo. Todo este problea pode no entanto ser reforulado para resolver o eso problea as co o oviento do solo descrito através da evolução dos deslocaentos ao longo do tepo. 7 Análise sísica por espectros de resposta Designa-se por análise sísica dua estrutura a análise da resposta dessa estrutura quando solicitada por u oviento na base representativo dua acção sísica. Na secção 6.4 foi apresentada a etodologia necessária para a resolução deste problea quando a acção sísica é representada através dua série de acelerações ao longo do tepo. No entanto, na aioria dos casos e que se pretende fazer a análise sísica de estruturas co coportaento linear, o objectivo não é conhecer a evolução da resposta ao longo do tepo, as apenas calcular os valores extreos desta resposta. Nestes casos é ais prático recorrer a ua análise sísica por espectros de resposta. Espectro de resposta pode ser definido coo a representação gráfica do valor áxio da resposta (edida e teros de deslocaento, aceleração, esforços, etc.) de u conjunto de osciladores de u grau de liberdade, quando solicitados por ua deterinada acção sísica. Estes valores áxios são representados e função da frequência própria dos osciladores (ou do seu período) e do valor do coeficiente de aorteciento considerado. Recorde-se a equação de equilíbrio dinâico para u oscilador de u grau de liberdade sujeito a u oviento na base,... q (t) + 2 p ζ q (t) + p 2 q(t) = - q.. s(t) (69) Se se conhecer, por exeplo, o espectro de resposta de acelerações copatível co a série de acelerações iposta na base (q s(t)), então o valor áxio da resposta do oscilador pode ser obtida directaente a partir do espectro. O valor pretendido será a Dinâica e Engenharia Sísica 13
ordenada do espectro correspondente à frequência própria p do oscilador e ao seu aorteciento traduzido através de ζ... qax = S a ( p, ζ) (70) S a ( p, ζ) - valor do espectro de resposta de acelerações, para a frequência p e coeficiente de aorteciento ζ. Se se coparar a equação (69) co a equação (66), que traduz o equilíbrio dinâico para u deterinado odo de vibração, verifica-se que, a enos de u factor de escala que ultiplica as acelerações na base, estas duas equações são iguais. Este factor de escala corresponde ao Factor de Participação Modal atrás referido... qgn(t) + 2 p n ζ n q. Gn(t) + p 2 n q Gn (t) = -{φ } T n [M]{1 x }q.. sx(t) (66) {φ } n T [M]{1 x } = P nx (67).. qgn(t) + 2 p n ζ n q. Gn(t) + p 2 n q Gn (t) = - P nx q.. sx(t) para o odo n (71) Se as duas equações só difere du factor de escala que afecta a solicitação, então, visto estaros a trabalhar e regie linear, a solução tabé corresponderá à solução obtida para u sistea de u grau de liberdade afectada do eso factor de escala, ou seja: (q.. Gn) ax = P nx S ax ( p n, ζ n) (72) S ax ( p, ζ) - espectro de resposta de acelerações para a direcção X. O valor (q.. Gn) ax corresponde ao valor áxio da aceleração na coordenada generalizada correspondente ao odo de vibração n. Desta fora é possível calcular os valores áxios de aceleração correspondentes a todos os odos de vibração. De fora idêntica se poderia calcular a resposta e teros de deslocaentos ou velocidades, para isso bastando ter acesso aos espectros de resposta correspondentes. (q. Gn) ax = P nx S vx ( p n, ζ n) (73) (q Gn ) ax = P nx S dx ( p n, ζ n) (74) S vx ( p, ζ) - espectro de resposta de velocidades para a direcção X. S dx ( p, ζ) - espectro de resposta de deslocaentos para a direcção X. Os valores representados nas equações (72), (73) e (74), corresponde à resposta e coordenadas odais. Para obter a resposta de cada odo nas coordenadas da estrutura é necessário proceder à respectiva transforação de coordenadas traduzida pela a equação (37): {q n } ax = {φ n }(q Gn ) ax = {φ n }P nx S dx ( p, ζ) (75) 14 Dinâica e Engenharia Sísica
{q. n} ax = {φ n }(q. Gn) ax = {φ n }P nx S vx ( p, ζ) (76) {q.. n} ax = {φ n }(q.. Gn) ax = {φ n }P nx S ax ( p, ζ) (77) Para cada odo de vibração, os valores áxios da resposta da estrutura relativos a ua grandeza qualquer, pode ser calculados a partir dos vectores de deslocaento, velocidade ou acelerações obtidos através das três equações anteriores. Seguidaente coloca-se o problea de coo obter u valor aceitável da resposta global da estrutura ou seja, coo é que deve ser cobinados os resultados obtidos para cada u dos odos. A hipótese de soar os valores áxios de cada ua das respostas odais corresponde de certeza a u liite superior da resposta global e co baixa probabilidade de ocorrência, pois é uito pouco provável que os valores áxios da resposta e cada odo ocorra siultaneaente. Ua das regras de cobinação odal ais utilizadas é a Raiz Quadrada da Soa dos Quadrados (RQSQ). De acordo co esta regra o valor áxio da resposta de ua deterinada grandeza pode ser estiado através da raiz quadrada da soa dos quadrados da resposta dessa grandeza e cada odo: G (Gn ) 2 (78) n = 1 Esta regra de cobinação odal dá bons resultados desde que as frequências dos vários odos esteja suficienteente afastadas. Se tal não acontecer, isto é, se houver odos co frequências próxias então é ais adequado utilizar a regra designada por Cobinação Quadrática Copleta (CQC), traduzida pela seguinte equação: G n = 1 i = 1 ρ in G i G n (79) ρ in = 8ζ 2 (1 + β in ) β in 3/2 (1- β in 2 ) 2 + 4ζ 2 β in (1+ β in ) 2 (coeficiente de correlação) (80) β in = p i p n (81) Na figura 2 está representada e evolução do coeficiente de correlação ρ in e função da relação entre frequências β in. Pode-se verificar que, para u aorteciento de 5%, se a relação entre frequências for superior a 1.5 (ou inferior a 0.67, se se toar a relação inversa), os valores do coeficiente de correlação entre odos diferentes são inferiores a 6%. Para esta gaa de valores de β in é irrelevante o uso do CQC, sendo suficiente considerar a regra de cobinação pela raiz quadrada da soa dos quadrados (78). Dinâica e Engenharia Sísica 15
1.2 1.0 Coeficiente de Correlação in 0.8 0.6 0.4 0.2 5% 2% 10% 0.0 0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 b in = p i / p n Figura 2 Variação do coeficiente de correlação ρ in (CQC), co a relação entre frequências β in, para vários valores do coeficiente de aorteciento (2%, 5% e 10%). A razão pela qual o étodo CQC garante elhores resultados quando os odos tê frequências próprias próxias, te a ver co o facto de considerar na cobinação o efeito da correlação entre as respostas dos vários odos, enquanto que o étodo RQSQ assue que estas respostas são independentes. Na realidade se dois odos de vibração tivere frequências próprias próxias a resposta deles não é independente. É necessário no entanto realçar que o facto do CQC considerar a correlação entre os odos de vibração não significa que todos os valores resultantes deste tipo de cobinação seja superiores aos que se obteria co outros étodos de cobinação, noeadaente o RQSQ. Situações e que o CQC conduz a valores inferiores ao RQSQ ocorre, por exeplo, quando nu deterinado grau de liberdade, os deslocaentos odais dos odos e cobinação tê sinais contrários, o que torna o tero cruzado ρ ij G i G j (i j) negativo. Este tipo de resultado não é afectado de algu odo pela ultiplicação da configuração de u dos odos intervenientes por (-1). Esta ultiplicação tabé afectaria necessariaente o Factor de Participação Modal, pelo que o resultado e teros de deslocaentos na estrutura devido ao referido odo de vibração teria exactaente o valor obtido antes da ultiplicação por (-1). Coo foi atrás referido, quer o CQC quer o RQSQ perite calcular o valor áxio da resposta de ua deterinada variável. Infelizente existe uitas situações onde o que se pretende é avaliar a resposta e teros de duas ou ais variáveis siultaneaente coo por exeplo, quando se pretende fazer a verificação dos pilares à flexão coposta. Neste caso o que se pretende não é conhecer os valores áxios do esforço axial (N) e do oento flector (M), as si conhecer a cobinação ais desfavorável do par (N,M), sob a condição de que N e M seja siultâneos. 16 Dinâica e Engenharia Sísica
De acordo co Gupta (Gupta, 1990), o valor provável da variável Y siultâneo co o valor áxio da variável X pode ser calculado através da seguinte relação: Y = R YX exx (82) co, R YX = n = 1 i = 1 ρ in X i Y n (83) exx = n = 1 i = 1 ρ in X i X n (84) X i e Y i valores odais das variáveis X e Y Nas equações (83) e (84) pressupõe-se a aplicação do étodo de cobinação odal CQC. Para obter as correspondentes equações para o étodo de cobinação RQSQ basta considerar unitário o valor do coeficiente de correlação ρ in. O eso autor conclui que os valores siultâneos da resposta de u conjunto de variáveis reunidas nu vector {A} deve obedecer à seguinte condição: {A} T [G] -1 {A} = 1 (85) e que a atriz [G] te o seguinte aspecto: [G] = (exx 1 ) 2 R Xi X 2. R Xi X n R X2 X 1 (exx 2 ) 2. R Xi X n.... R Xn X 1 R Xn X 2. (exx n ) 2 8 Referências bibliográficas Gupta, A.K. Response Spectru Method in Seisic Analysis and Design of Structures, CRC Press, Inc., 1992. Dinâica e Engenharia Sísica 17