Introdução aos Métodos Numéricos

Introdução aos Métodos Numéricos Instituto de Computação UFF Departamento de Ciência da Computação Otton Teixeira da Silveira Filho

Conteúdo Erros e Aproximações Numéricas Sistemas de Equações Lineares. Métodos diretos Interpolação Ajuste de Curvas Zeros de Função Sistemas de Equações Lineares. Métodos Iterativos Integração Numérica Introdução à Resolução de Equações Diferenciais Ordinárias

Conteúdo Integração Numérica

Aqui veremos alguns métodos para resolver o problema da integral definida, ou seja, b a f (x)dx

Aqui veremos alguns métodos para resolver o problema da integral definida, ou seja, b a f (x)dx mas para que isto?

i) Quando o integrando não tem primitiva elementar como em ou nas funções b a b e x 2 dx; a x tan x dx x Si(x)= 0 sent t dt ; Γ(z)= 0 x z 1 e x dx

ii) Quando o integrando for muito complicado b a sen x e x cos 2 x e x +ch x sh 3 x sen x ch x+ x e x sh x cos x dx

ii) Quando a função for dada por pontos x f(x) 0,12358 12,45678 0,14567 13,47893 0,15678 15,55678 0,21001 15,21145 0,27113 14,31268 0,31897 13,11387....

Aviso Na maioria dos casos é uma péssima ideia interpolar pontos e depois integrar o polinômio interpolador

Para facilitar o entendimento tenhamos em mente a interpretação geométrica da integral, ou seja, b I= a f (x)dx é equivalente a

Temos ainda o Teorema do Valor Médio para Integrais que garante que sendo f(x) integrável no intervalo [a,b] então existe pelo menos um ponto c dentro deste intervalo tal que b I= f (x)dx=(b a ) f (c) a ou seja, se soubermos qual é este ponto c então a integral é igual à área do retângulo de base b-a e altura f(c)

Geometricamente é algo assim b I= a f (x)dx=(b a ) f (c) no exemplo temos dois pontos que satisfazem o teorema

Como você deve estar suspeitando, encontrar este ponto c não é nada fácil.

Temos também a definição da Integral de Riemann b I = a f (x)dx=lim h 0 h f (a+i h) i é equivalente a

Claro que esta definição não é útil numericamente com estes limites de h tendendo a zero e o número de retângulos tendendo ao infinito. Mas a definição da integral de Riemann nos sugere duas coisas interessantes...

Fatiarmos o intervalo em subintervalos

Fatiarmos o intervalo em subintervalos Integrarmos cada subintervalo com alguma regra simples

Fatiarmos o intervalo em subintervalos Integrarmos cada subintervalo com alguma regra simples Somamos as áreas obtidas Chamaremos a fórmula obtida de Regra Composta pois será feita pela composição das áreas de cada subintervalo

Trabalharemos inicialmente sobre a regra de integração em cada subintervalo inicialmente inspirada na definição da integral de Riemann

Aqui trabalharemos com uma subdivisão igual em todo intervalo de integração

Aqui trabalharemos com uma subdivisão igual em todo intervalo de integração Isto simplifica os algoritmos mas é bom observar que é uma limitação artificial que impomos

Regra dos Retângulos Valor calcular uma aproximação da integral usando um retângulo

A área aproximada é R 1 =(b a) f (a) Observe que a precisão visualmente é bem ruim mas facilita pensarmos um pouco

Regra dos Retângulos Agora usemos dois retângulos dividindo igualmente o intervalo de integração

A área aproximada é ou R 2 = b a 2 b a f (a)+ 2 f ( b a a+ ) 2 R 2 = b a 2 [ f (a)+f ( a+ b a 2 ) ] A precisão continua não sendo boa visualmente

Regra dos Retângulos Agora usemos três retângulos dividindo igualmente o intervalo de integração

A área aproximada é ou R 3 = b a 3 b a f (a)+ 3 f ( b a a+ ) 3 + b a 3 f ( b a a+2 ) 3 R 3 = b a 3 [ f (a)+f ( a+ b a 3 ) +f ( a+2 b a 3 ) ] As coisas estão visualmente melhorando embora lentamente

Façamos uma releitura do que fizemos: Integramos cada subintervalo como se a função fosse constante, ou seja, um polinômio de grau 0 Somamos as áreas de cada subintervalo para obtermos uma aproximação da integral original

Continuando este processo obteríamos para n retângulos n 1 R n =h n [f (a)+f (a+h n )+f (a+2h n )+ +f (a+(n 1)h n ) ]=h n i=0 uma versão finita da fórmula de Riemann f (a+i h n ); h n = b a n

Do estudo de interpolação sabemos que nossa precisão aumenta com o aumento do grau do polinômio

Do estudo de interpolação sabemos que nossa precisão aumenta com o aumento do grau do polinômio Torna-se natural pensarmos em criar um método similar ao dos retângulos mas usando polinômios de grau mais alto

Regra dos Trapézios Vamos calcular uma aproximação da integral usando um polinômio de primeiro grau que interpola f(x) dentro do intervalo

Repare que não precisamos saber qual é o polinômio interpolador. Queremos a sua integral. Mas aqui temos uma facilidade.

Repare que não precisamos saber qual é o polinômio interpolador. Queremos a sua integral. Mas aqui temos uma facilidade. Observe que a área que queremos calcular é a área de um trapézio. Assim teremos T 1 = f (a)+f (b) 2 (b a)= b a 2 [f (a)+f (b)]

Regra dos Trapézios Agora vamos calcular uma aproximação da integral com dois trapézios

Teremos aqui para a soma das áreas T 2 = f (a)+f (a+(b a)/2) 2 b a 2 + f (a+(b a)/2)+f (b) 2 b a 2

Teremos aqui para a soma das áreas T 2 = ou f (a)+f (a+(b a)/2) 2 T 2 = 1 2 b a 2 + f (a+(b a)/2)+f (b) 2 b a 2 [ f (a)+f (b)+2 f ( a+ b a 2 ) ] b a 2

Para simplificar escreveremos T 2 = h 2 2 [ f (a)+f (b)+2 f (a+h 2 ) ];h 2 = b a 2

Regra dos Trapézios Continuemos o procedimento agora com três subintervalos

Teremos aqui para a soma das áreas T 3 = f (a)+f (a+h 3) 2 h 3 + f (a+h 3)+f (a+2h 3 ) 2 h 3 + f (a+2 h 3)+f (b) 2 h 3 ;h 3 = b a 3

Teremos aqui para a soma das áreas T 3 = f (a)+f (a+h 3) 2 ou h 3 + f (a+h 3)+f (a+2h 3 ) 2 h 3 + f (a+2 h 3)+f (b) 2 T 3 = h 3 2 [ f (a)+f (b)+2 f (a+h 3 )+2 f (a+2 h 3 ) ] h 3 ;h 3 = b a 3

Não fica difícil verificar que se continuarmos este procedimento teremos T n = h n n 1 2 [ f (a)+f (b)+2 i=1 f (a+i h n ) ] ;h n =b a n

Não fica difícil verificar que se continuarmos este procedimento teremos T n = h n n 1 2 [ f (a)+f (b)+2 i=1 f (a+i h n ) ] ;h n =b a n Vamos a um exercício

Calcule numericamente o valores aproximados para a integral abaixo usando 1, 2, 3 e 4 retângulos e também 1, 2, 3 e 4 trapézios 2 dx 1 x

Calcule numericamente o valores aproximados para a integral abaixo usando 1, 2, 3 e 4 retângulos e também 1, 2, 3 e 4 trapézios 2 dx 1 x Aqui a = 1, b = 2 e f (x)= 1 x

Façamos por retângulos Um retângulo n 1 R n =h n i=0 f (a+i h n );h n = b a n ; f (x)= 1 x R 1 =h 1 f (a);h 1 = b a 1 = 2 1 1 =1 R 1 =1 f (1)=1 1 1 =1

Façamos por retângulos Dois retângulos n 1 R n =h n i=0 f (a+i h n );h n = b a n ; f (x)= 1 x R 2 =h 2 [ f (a)+f (a+h 2 ) ];h 2 = b a 2 = 2 1 2 =1 2 R 2 = 1 2 [ f (1)+f (1+ 1 2 ) ] = 1 2 [ 1 1 + 1 3/2 ] =1 2 [ 1+ 2 3 ] = 5 6 =0,833

Façamos por retângulos Três retângulos n 1 R n =h n i=0 f (a+i h n );h n = b a n ; f (x)= 1 x R 3 =h 3 [f (a)+f (a+h 3 )+f (a+2h 3 ) ];h 3 = b a 3 =2 1 3 =1 3 R 3 = 1 [ 3 f (1)+f (1+ 1 3 )+f (1+ 2 3 ) ] = 1 [ 1 3 1 + 1 4/3 + 1 ] 5/3 = 1 [ 3 1+ 3 4 + 3 ] 5 = 47 =0,78 33 60

Façamos por retângulos Quatro retângulos n 1 R n =h n i=0 f (a+i h n );h n = b a n ; f (x)= 1 x R 4 =h 4 [f (a)+f (a+h 4 )+f (a+2h 4 )+f (a+3h 4 ) ];h 4 = b a 4 =2 1 4 = 1 4 R 4 = 1 4 [ f (1)+f (1+ 1 4 )+ f (1+ 2 4 )+f (1+ 3 4 ) ] = 1 4 [ 1 1 + 1 5 /4 + 1 6/ 4 + 1 7/ 4 ] = 1 3 [ 1+ 4 5 + 4 6 + 4 7 ] =0,759523

Observemos os valores obtidos R 1 =1; R 2 =0,8 33 ; R 3 =0,78 33 ; R 4 =0,759523

Observemos os valores obtidos R 1 =1; R 2 =0,8 33 ; R 3 =0,78 33 ; R 4 =0,759523 Há uma evolução nos valores mas é lenta... Partamos para o método dos Trapézios

Trapézios Um trapézio T n = h n n 1 2 [ f (a)+f (b)+2 i=1 f (a+i h n ) ] ;h n= b a n ;f (x)= 1 x T 1 = h 1 2 [ f (a)+f (b)];h 1 = b a 1 = 2 1 1 =1

Trapézios Um trapézio T n = h n n 1 2 [ f (a)+f (b)+2 i=1 f (a+i h n ) ] ;h n= b a n ;f (x)= 1 x T 1 = h 1 2 [ f (a)+f (b)];h 1 = b a 1 = 2 1 1 =1 T 1 = 1 2 [ f (1)+f (2)]= 1 2 ( 1 1 + 1 2 ) = 3 4 =0,75

Trapézios Dois trapézios T n = h n n 1 2 [ f (a)+f (b)+2 i=1 f (a+i h n ) ] ;h n= b a n ;f (x)= 1 x T 2 = h 2 2 [ f (a)+f (b)+2 f (a+h 2 ) ];h 2 = b a 2 = 2 1 2 =1 2

Trapézios Dois trapézios T n = h n n 1 2 [ f (a)+f (b)+2 i=1 f (a+i h n ) ] ;h n= b a n ;f (x)= 1 x T 2 = h 2 2 [ f (a)+f (b)+2 f (a+h 2 ) ];h 2 = b a 2 = 2 1 2 =1 2 T 2 = 1 2 1 2 [ f (1)+f (2)+2 f (1+1/2) ]= 1 4 ( 1 1 + 1 2 + 2 3/2 ) = 1 4 ( 1+ 1 2 + 4 3 ) =17 24 =0,70833

Trapézios Três trapézios T n = h n n 1 2 [ f (a)+f (b)+2 i=1 f (a+i h n ) ] ;h n= b a n ;f (x)= 1 x T 3 = h 3 2 [ f (a)+f (b)+2 f (a+h 3 )+2 f (a+2 h 3 ) ]; h 3 = b a 3 = 2 1 3 = 1 3

Trapézios Três trapézios T n = h n n 1 2 [ f (a)+f (b)+2 i=1 f (a+i h n ) ] ;h n= b a n ;f (x)= 1 x T 3 = h 3 2 [ f (a)+f (b)+2 f (a+h 3 )+2 f (a+2 h 3 ) ]; h 3 = b a 3 = 2 1 3 = 1 3 T 3 = 1 2 1 3 [ f (1)+ f (2)+2 f (1+1/3)+2 f (1+2/3)]= 1 4 ( 1 1 + 1 2 + 2 4/3 + 2 5/3 ) = 1 6 ( 1+ 1 2 + 6 4 + 6 5 ) = 7 10 =0,7

Trapézios T n = h n Quatro trapézios n 1 2 [ f (a)+f (b)+2 i=1 f (a+i h n ) ] ;h n= b a n ;f (x)= 1 x T 4 = h 4 2 [ f (a)+f (b)+2f (a+h 4 )+2f (a+2h 4 )+2 f (a+3 h 4 )];h 4 = b a 4 = 2 1 4 = 1 4

Trapézios T n = h n Quatro trapézios n 1 2 [ f (a)+f (b)+2 i=1 f (a+i h n ) ] ;h n= b a n ;f (x)= 1 x T 4 = h 4 2 [ f (a)+f (b)+2f (a+h 4 )+2f (a+2h 4 )+2 f (a+3 h 4 )];h 4 = b a 4 = 2 1 4 = 1 4 T 4 = 1 2 1 4 [ f (1)+f (2)+2 f (1+1/ 4)+2 f (1+2/4)+2 f (1+3/4)]

Trapézios T n = h n Quatro trapézios n 1 2 [ f (a)+f (b)+2 i=1 f (a+i h n ) ] ;h n= b a n ;f (x)= 1 x T 4 = h 4 2 [ f (a)+f (b)+2f (a+h 4 )+2f (a+2h 4 )+2 f (a+3 h 4 )];h 4 = b a 4 = 2 1 4 = 1 4 T 4 = 1 2 1 4 [ f (1)+f (2)+2 f (1+1/ 4)+2 f (1+2/4)+2 f (1+3/4)] T 4 = 1 8 ( 1 1 + 1 2 + 2 5/4 + 2 6/ 4 + 2 7/ 4 ) = 1 8 ( 1+ 1 2 + 8 5 + 8 6 + 8 7 ) =0,697023

Observemos os valores obtidos T 1 =0,75 ;T 2 =0,70833 ;T 3 =0,7 ;T 4 =0,697023 Há uma evolução nos valores aparentemente mais rápida. Mas sabemos que o valor exato da integral é

Observemos os valores obtidos T 1 =0,75 ;T 2 =0,70833 ;T 3 =0,7 ;T 4 =0,697023 Há uma evolução nos valores aparentemente mais rápida. Mas sabemos que o valor da integral é 2 dx 1 x =ln(2) 0,693147

Regra dos Trapézios não Regular Não somos obrigados a criar um método de integração apenas para subintervalos regulares. Veja a figura

Regra dos Trapézios não Regular Vamos somar a área de cada trapézio I h 1 f (a)+f (x 1 ) 2 ou f (x +h 1 )+f ( x 2 ) f ( x 2 +h 2 )+f (x 3 ) 2 3 2 h i =x i+1 x i +h n f (x n 1 )+f (b) 2 I h 1 2 f (a)+ h 1+h 2 2 f ( x 1 )+ h 2+h 3 2 f (x 2 ) + h n 1+h n 2 f (x n 1 )+ h n 2 f (b)

Regra de Simpson Vamos aumentar o grau do polinômio interpolador para 2. Sabemos que agora teremos que ter três pontos para que haja um único polinômio interpolador de grau 2.

Regra de Simpson Vamos aumentar o grau do polinômio interpolador para 2. Sabemos que agora teremos que ter três pontos para que haja um único polinômio interpolador de grau 2. Escolheremos o ponto médio do intervalo

Regra de Simpson Nossa figura será algo como abaixo e a área demarcada a área da parábola interpoladora

Regra de Simpson Para facilitar o cálculo da área da parábola interpoladora, faremos uma transformação de coordenadas ilustrada na figura

Regra de Simpson Com esta translação não afetamos a área, integraremos o polinômio p 2 (x)=a 0 +a 1 x+a 2 x 2 neste sistema de coordenadas sabendo que a corresponde a h 2 ; a+ h 2 corresponde a 0; b corresponde a h 2

Regra de Simpson Integrando o polinômio teremos h 2 h 2 h 2 p 2 (x)dx= h 2 (a 0 +a 1 x+a 2 x 2 )dx=a 0 x h2 h 2 +a 1 x 2 2 h 2 h 2 +a 2 x 3 h 2 3 h 2

Regra de Simpson Integrando o polinômio teremos h 2 h 2 ou h 2 p 2 (x)dx= h 2 (a 0 +a 1 x+a 2 x 2 )dx=a 0 x h2 h 2 +a 1 x 2 h 2 3 h p 2 (x)dx=2 h 2 a 0 +2 a 2 2 h 2 3 = h 2 3 [ 2 6 a 0 +2 a 2 h ] 2 2 h 2 h 2 +a 2 x 3 h 2 3 h 2

Regra de Simpson Observe que o polinômio, por ser interpolador, tem as seguintes propriedades p 2 ( h 2 )=a 0 a 1 h 2 +a 2 h 2 2 =f ( h 2 )

Regra de Simpson Observe que o polinômio, por ser interpolador, tem as seguintes propriedades p 2 ( h 2 )=a 0 a 1 h 2 +a 2 h 2 2 =f ( h 2 ) p 2 (0)=a 0 =f (0)

Regra de Simpson Observe que o polinômio, por ser interpolador, tem as seguintes propriedades p 2 ( h 2 )=a 0 a 1 h 2 +a 2 h 2 2 =f ( h 2 ) p 2 (0)=a 0 =f (0) p 2 (h 2 )=a 0 +a 1 h 2 +a 2 h 2 2 =f (h 2 )

Regra de Simpson Observe ainda que a soma p 2 ( h 2 )+4 p 2 (0)+ p 2 (h 2 )=a 0 a 1 h 2 +a 2 h 2 2 +4 0 +a 0 +a 1 h 2 +a 2 h 2 2 =6 a 0 +2 a 2 h 2 2

Regra de Simpson Observe ainda que a soma p 2 ( h 2 )+4 p 2 (0)+ p 2 (h 2 )=a 0 a 1 h 2 +a 2 h 2 2 +4 0 +a 0 +a 1 h 2 +a 2 h 2 2 =6 a 0 +2 a 2 h 2 2 que comparando com h 2 p 2 (x)dx= h 2 h 2 3 [ 2 6 a 0 +2 a 2 h ] 2

Regra de Simpson nos dá o resultado h 2 p 2 (x)dx= h 2 h 2 3 [ 2 6 a 0 +2 a 2 h 2 ]= h 2 3 [ p 2 ( h 2 )+4 p 2 (0)+ p 2 (h 2 ) ] e como temos um polinômio interpolador, obtemos

Regra de Simpson nos dá o resultado h 2 p 2 (x)dx= h 2 h 2 3 [ 2 6 a 0 +2 a 2 h 2 ]= h 2 3 [ p 2 ( h 2 )+4 p 2 (0)+ p 2 (h 2 ) ] e como temos um polinômio interpolador, obtemos h 2 p 2 (x)dx= h 2 h 2 3 [ f ( h 2 )+4 f (0)+f (h 2 ) ]

Regra de Simpson Retornando ao sistemas de coordenadas original teremos b I a p 2 (x)dx= h 2 3 [ f (a)+4 f (a+h 2 )+f (b)]=s 2 ;h 2 = b a 2

Regra de Simpson Vamos agora integrar o intervalo usando suas parábolas com o intervalo dividido exatamente ao meio, ou seja,

Regra de Simpson Aplicaremos a fórmula para uma parábola em cada subintervalo S 4 = h 4 3 [ f (a)+4 f (a+h 4 )+f (a+2 h 4 )]+ h 4 3 [ f (a+2 h 4 )+4 f (a+3 h 4 )+f (b)]

Regra de Simpson Aplicaremos a fórmula para uma parábola em cada subintervalo S 4 = h 4 3 [ f (a)+4 f (a+h 4 )+f (a+2 h 4 )]+ h 4 3 [ f (a+2 h 4 )+4 f (a+3 h 4 )+f (b)] ou S 4 = h 4 3 [ f (a)+f (b)+4 f (a+h 4 )+4 f (a+3 h 4 )+2 f (a+2h 4 ) ]

Regra de Simpson Continuando o processo teremos S n = h n n 1 3 [ f (a)+f (b)+4 i=1,2 n 2 f (a+i h n )+2 i=2,2 f (a+ih n ) ] ;h n =b a n ;n par

Façamos a mesma integração já solicitada, ou seja, 2 dx 1 x mas agora pela regra de Simpson.

Façamos a mesma integração já solicitada, ou seja, 2 dx 1 x mas agora pela regra de Simpson. Temos aqui o impedimento de só podermos usar um número par de subintervalos

n 1 Simpson S n = h [ n 3 f (a)+ f (b)+4 Dois subintervalos i=1,2 n 2 f (a+i h n )+2 i=2,2 )] f (a+ih ; h = b a n n n ; n par S 2 = h 2 3 [ f (a)+f (b)+4 f (a+h 2 ) ];h 2 = b a 2 = 2 1 2 =1 2

n 1 Simpson S n = h [ n 3 f (a)+ f (b)+4 Dois subintervalos i=1,2 n 2 f (a+i h n )+2 i=2,2 )] f (a+ih ; h = b a n n n ; n par S 2 = h 2 3 [ f (a)+f (b)+4 f (a+h 2 ) ];h 2 = b a 2 = 2 1 2 =1 2 S 2 = h 2 3 [ f (1)+f (2)+4 f (1+ 1 2 ) ] =1 3 1 [ 1 2 1 + 1 2 +4 1 ] 3/2 =25 =0,69 44 36

n 1 Simpson S n = h [ n 3 f (a)+ f (b)+4 Quatro subintervalos i=1,2 n 2 f (a+i h n )+2 i=2,2 )] f (a+ih ; h = b a n n n ; n par S 4 = h 4 3 [ f (a)+f (b)+4 f (a+h 4 )+4 f (a+3 h 4 )+2 f (a+2h 4 ) ];h 4 = b a 4 = 2 1 4 = 1 4

n 1 Simpson S n = h [ n 3 f (a)+ f (b)+4 Quatro subintervalos i=1,2 n 2 f (a+i h n )+2 i=2,2 )] f (a+ih ; h = b a n n n ; n par S 4 = h 4 3 [ f (a)+f (b)+4 f (a+h 4 )+4 f (a+3 h 4 )+2 f (a+2h 4 ) ];h 4 = b a 4 = 2 1 4 = 1 4 S 4 = h 4 3 [ f (1)+f (2)+4 f (1+ 1 4 )+4 f (1+3 1 4 )+2 f (1+2 1 4 ) ]

n 1 Simpson S n = h [ n 3 f (a)+ f (b)+4 Quatro subintervalos i=1,2 n 2 f (a+i h n )+2 i=2,2 )] f (a+ih ; h = b a n n n ; n par S 4 = h 4 3 [ f (a)+f (b)+4 f (a+h 4 )+4 f (a+3 h 4 )+2 f (a+2h 4 ) ];h 4 = b a 4 = 2 1 4 = 1 4 S 4 = h 4 3 [ f (1)+f (2)+4 f (1+ 1 4 )+4 f (1+3 1 4 )+2 f (1+2 1 4 ) ] S 4 = 1 3 1 4 [ 1 1 + 1 2 +4 1 5/ 4 +4 1 7/ 4 +2 1 6/ 4 ] =0,693253

Observemos os valores obtidos S 2 =0,69 44 ; S 4 =0,693253 Agora temos algo ainda mais preciso pois

Observemos os valores obtidos S 2 =0,69 44 ; S 4 =0,693253 Agora temos algo ainda mais preciso pois 2 dx 1 x =ln(2) 0,693147

Vamos a outro exercício um pouco mais focado

Calcule numericamente o valores aproximados para a integral abaixo de forma que o erro relativo entre as estimativas contíguas seja menor que 0,001. Use a Regra dos Trapézios e a Regra de Simpson. 4 x e 3 x dx

Usaremos números pares de subintervalos para Trapézios para facilitar as comparações

Trapézios T n = h n Dois subintervalos n 1 2 [ f (a)+f (b)+2 i=1 f (a+i h n ) ] ;h n= b a n ex ;f (x)= x T 2 = h 2 2 [ f (a)+f (b)+2 f (a+h 2 ) ];h 2 = b a 2 = 4 3 2 =1 2

Trapézios T n = h n Dois subintervalos n 1 2 [ f (a)+f (b)+2 i=1 f (a+i h n ) ] ;h n= b a n ex ;f (x)= x T 2 = 1 2 T 2 = h 2 2 [ f (a)+f (b)+2 f (a+h 2 ) ];h 2 = b a 2 = 4 3 2 =1 2 1 2 [ f (3)+f (4)+2 f (3+1/2)]= 1 4 [6,695178+13,649537+2 9,461557 ]=9,816957

Trapézios T n = h n Quatro subintervalos n 1 2 [ f (a)+f (b)+2 i=1 f (a+i h n ) ] ;h n= b a n ex ;f (x)= x T 4 = h 4 2 [ f (a)+f (b)+2f (a+h 4 )+2f (a+2h 4 )+2 f (a+3 h 4 )];h 4 = b a 4 = 4 3 4 = 1 4

Trapézios T n = h n Quatro subintervalos n 1 2 [ f (a)+f (b)+2 i=1 f (a+i h n ) ] ;h n= b a n ex ;f (x)= x T 4 = h 4 2 [ f (a)+f (b)+2f (a+h 4 )+2f (a+2h 4 )+2 f (a+3 h 4 )];h 4 = b a 4 = 4 3 4 = 1 4 T 4 = 1 2 1 4 [ f (3)+f (4)+2 f (13/4)+2 f (14 /4)+2 f (15 /4)]

Trapézios T n = h n Quatro subintervalos n 1 2 [ f (a)+f (b)+2 i=1 f (a+i h n ) ] ;h n= b a n ex ;f (x)= x T 4 = h 4 2 [ f (a)+f (b)+2f (a+h 4 )+2f (a+2h 4 )+2 f (a+3 h 4 )];h 4 = b a 4 = 4 3 4 = 1 4 T 4 = 1 2 1 4 [ f (3)+f (4)+2 f (13/4)+2 f (14 /4)+2 f (15 /4)] T 4 = 1 [6,695178+13,649537+2 7,935489+2 9,461557+2 11,338955 ]=9,727090 8

Vejamos como nossas estimativas evoluem T 4 T 2 T 2 = 9,727090 9,816957 = 0,089866 9,816957 9,816957 0,009154

Trapézios T n = h n Seis subintervalos n 1 2 [ f (a)+f (b)+2 i=1 f (a+i h n ) ] ;h n= b a n ex ;f (x)= x T 6 = h 6 2 { f (a)+f (b)+2 [ f (a+h 6 )+f (a+2 h 6 )+f (a+3 h 6 )+ f (a+ 4 h 6 )+f (a+5 h 6 ) ] }; h 6 = b a 4 = 4 3 6 = 1 6

Trapézios T n = h n Seis subintervalos n 1 2 [ f (a)+f (b)+2 i=1 f (a+i h n ) ] ;h n= b a n ex ;f (x)= x T 6 = h 6 2 { f (a)+f (b)+2 [ f (a+h 6 )+f (a+2 h 6 )+f (a+3 h 6 )+ f (a+ 4 h 6 )+f (a+5 h 6 ) ] }; h 6 = b a 4 = 4 3 6 = 1 6 T 6 = 1 2 1 6 { f (3)+f (4)+2 [f (19/6)+f (20/6)+ f (21/6)+f (22/6)+f (23/6) ] }

Trapézios T n = h n Seis subintervalos n 1 2 [ f (a)+f (b)+2 i=1 f (a+i h n ) ] ;h n= b a n ex ;f (x)= x T 6 = h 6 2 { f (a)+f (b)+2 [ f (a+h 6 )+f (a+2 h 6 )+f (a+3 h 6 )+ f (a+ 4 h 6 )+f (a+5 h 6 ) ] }; h 6 = b a 4 = 4 3 6 = 1 6 T 6 = 1 2 1 6 { f (3)+f (4)+2 [f (19/6)+f (20/6)+ f (21/6)+f (22/6)+f (23/6) ] } T 6 = 1 {6,695178+13,649537 +2 [7,493134+8,409487+9,461557+10,669441+12,056435 ] }=9,710402 12

Trapézios T n = h n Oito subintervalos n 1 2 [ f (a)+f (b)+2 i=1 f (a+i h n ) ] ;h n= b a n ex ;f (x)= x T 8 = h 8 2 { f (a)+f (b)+2 [f (a+h 8 )+ f (a+2h 8 )+f (a+3 h 8 )+f (a+4 h 8 )+ f (a+5h 8 )+f (a+6 h 8 )+f (a+7h 8 )] }; h 8 = 1 8

Trapézios T n = h n Oito subintervalos n 1 2 [ f (a)+f (b)+2 i=1 f (a+i h n ) ] ;h n= b a n ex ;f (x)= x T 8 = h 8 2 { f (a)+f (b)+2 [f (a+h 8 )+ f (a+2h 8 )+f (a+3 h 8 )+f (a+4 h 8 )+ f (a+5h 8 )+f (a+6 h 8 )+f (a+7h 8 )] }; h 8 = 1 8 T 8 = 1 2 1 8 { f (3)+f (4)+2[ f (25/8)+f (26/8)+ f (27 /8)+f (28/8)+f (29/8)+ f (30/8)+ f (31/8) ]}

Trapézios T n = h n Oito subintervalos n 1 2 [ f (a)+f (b)+2 i=1 f (a+i h n ) ] ;h n= b a n ex ;f (x)= x T 8 = h 8 2 { f (a)+f (b)+2 [f (a+h 8 )+ f (a+2h 8 )+f (a+3 h 8 )+f (a+4 h 8 )+ f (a+5h 8 )+f (a+6 h 8 )+f (a+7h 8 )] }; h 8 = 1 8 T 8 = 1 2 1 8 { f (3)+f (4)+2[ f (25/8)+f (26/8)+ f (27 /8)+f (28/8)+f (29/8)+ f (30/8)+ f (31/8) ]} T 8 = 1 16 {6,695178+13,649537 +2 [7,283166+7,935489+8,659047+9,461557+10,351647 +11,338955 +12,434244 ] } T 8 =9,704557

Vejamos como nossas estimativas evoluem T 8 T 6 T 6 = 9,704557 9,710402 = 0,005845 9,710402 9,710402 0,0006010 Atingimos o valor solicitado

f (x)= ex x n 1 Simpson S n = h [ n 3 f (a)+ f (b)+4 Dois subintervalos i=1,2 n 2 f (a+i h n )+2 i=2,2 )] f (a+i h ;h = b a n n n ;n par S 2 = h 2 3 [ f (a)+f (b)+4 f (a+h 2 ) ];h 2 = b a 2 = 4 3 2 =1 2

f (x)= ex x n 1 Simpson S n = h [ n 3 f (a)+ f (b)+4 Dois subintervalos i=1,2 n 2 f (a+i h n )+2 i=2,2 )] f (a+i h ;h = b a n n n ;n par S 2 = 1 3 S 2 = h 2 3 [ f (a)+f (b)+4 f (a+h 2 ) ];h 2 = b a 2 = 4 3 2 =1 2 1 2 [ f (3)+f (4)+4 f (3+1/2)]= 1 [6,695178+13,649537+4 9,461557 ]=9,698491 6

f (x)= ex x n 1 Simpson S n = h [ n 3 f (a)+ f (b)+4 Quatro subintervalos i=1,2 n 2 f (a+i h n )+2 i=2,2 )] f (a+i h ;h = b a n n n ;n par S 4 = h 4 3 [ f (a)+f (b)+4 f (a+h 4 )+4 f (a+3h 4 )+2f (a+2h 4 )];h 4 = b a 4 = 4 3 4 = 1 4

f (x)= ex x n 1 Simpson S n = h [ n 3 f (a)+ f (b)+4 Quatro subintervalos i=1,2 n 2 f (a+i h n )+2 i=2,2 )] f (a+i h ;h = b a n n n ;n par S 4 = h 4 3 [ f (a)+f (b)+4 f (a+h 4 )+4 f (a+3h 4 )+2f (a+2h 4 )];h 4 = b a 4 = 4 3 4 = 1 4 S 4 = 1 3 1 4 [ f (3)+f (4)+4 f (13/ 4)+ 4 f (15 /4)+2 f (14 /4)]

f (x)= ex x n 1 Simpson S n = h [ n 3 f (a)+ f (b)+4 Quatro subintervalos i=1,2 n 2 f (a+i h n )+2 i=2,2 )] f (a+i h ;h = b a n n n ;n par S 4 = h 4 3 [ f (a)+f (b)+4 f (a+h 4 )+4 f (a+3h 4 )+2f (a+2h 4 )];h 4 = b a 4 = 4 3 4 = 1 4 S 4 = 1 12 S 4 = 1 3 1 4 [ f (3)+f (4)+4 f (13/ 4)+ 4 f (15 /4)+2 f (14 /4)] [6,695178+13,649537+ 4 7,935489+4 11,338955+2 9,461557 ]=9,697133

Vejamos como nossas estimativas evoluem S 4 S 2 S 2 = 9,697133 9,698491 = 0,001357 9,698491 9,710402 0,000139

Vejamos como nossas estimativas evoluem S 4 S 2 S 2 = 9,697133 9,698491 = 0,001357 9,698491 9,710402 0,000139 Atingimos o valor solicitado

Dados tirados dos programas apresentados na página da disciplina T 2 =9,816957 ;T 4 =9,727090;T 6 =9,710402;T 8 =9,704557 S 2 =9,698491 ; S 4 =9,697134 ; S 6 =9,697061; S 8 =9,697048 Enquanto a integral tem o valor 4 e x 3 x dx=γ(0, 3) Γ(0, 4) 9,697041899430811

Os resultados de Simpson indicam este método ser mais preciso

Os resultados de Simpson indicam este método ser mais preciso Mas é só pelo aumento no grau do polinômio?

Os resultados de Simpson indicam este método ser mais preciso Mas é só pelo aumento no grau do polinômio? É também pela escolha do ponto médio

Os resultados de Simpson indicam este método ser mais preciso Mas é só pelo aumento no grau do polinômio? É também pela escolha do ponto médio E isto gera uma surpresa

Um exemplo simples...

Determine o valor da integral dada abaixo analiticamente e numericamente por Simpson 5 (3 2 x+5 x 2 +x 3 )dx 2

Determine o valor da integral dada abaixo analiticamente e numericamente por Simpson 5 (3 2 x+5 x 2 +x 3 )dx 2 o polinômio acima poderia ser qualquer outro do terceiro grau

Analiticamente 5 (3 2 x+5 x 2 + x 3 )dx=(3 x x 2 + 5 2 3 x3 + x 4 4 ) 5 2=3 (5 2) (5 2 2 2 )+ 5 3 (53 2 3 )+ 54 2 4 4

Analiticamente 5 (3 2 x+5 x 2 + x 3 )dx=(3 x x 2 + 5 2 3 x3 + x 4 4 ) 5 2=3 (5 2) (5 2 2 2 )+ 5 3 (53 2 3 )+ 54 2 4 4 ou 5 (3 2 x+5 x 2 + x 3 )dx=335,25 2

Simpson com dois subintervalos f (x)=3 2 x+5 x 2 + x 3 S 2 = h 2 3 [ f (a)+f (b)+4 f (a+h 2 ) ];h 2 = b a 2 = 5 2 2 =3 2

Simpson com dois subintervalos f (x)=3 2 x+5 x 2 + x 3 ou S 2 = h 2 3 [ f (a)+f (b)+4 f (a+h 2 ) ];h 2 = b a 2 = 5 2 2 =3 2 S 2 = h 2 3 [ f (2)+f (5)+4 f (2+ 3 2 ) ] = 1 3 3 [ 801 ] 27+243+4 2 8 = 1 2 1341 2 =335,25

Analiticamente Numericamente 5 (3 2 x+5 x 2 + x 3 ) dx=335,25 2 S 2 =335,25

A pergunta é porque deu exato?

A pergunta é porque deu exato? Ninguém se espantaria se integrássemos um polinômio de primeiro grau por Trapézios e desse exato

A pergunta é porque deu exato? Ninguém se espantaria se integrássemos um polinômio de primeiro grau por Trapézios e desse exato Ninguém se espantaria se integrássemos um polinômio de segundo grau por Simpson e desse exato

A pergunta é porque deu exato? Ninguém se espantaria se integrássemos um polinômio de primeiro grau por Trapézios e desse exato Ninguém se espantaria se integrássemos um polinômio de segundo grau por Simpson e desse exato No entanto, a escolha do ponto médio em Simpson permite que ele seja exato para um polinômio de terceiro grau

Uma análise do erro para as fórmulas compostas de Trapézios e Simpson nos daria E T h2 12 (b a) f ' ' (ξ)

Uma análise do erro para as fórmulas compostas de Trapézios e Simpson nos daria E T h2 12 (b a) f ' ' (ξ); E S h4 180 (b a)f (IV ) (ξ); h= b a n

Uma análise do erro para as fórmulas compostas de Trapézios e Simpson nos daria E T h2 12 (b a) f ' ' (ξ); E S h4 180 (b a)f (IV ) (ξ); h= b a n Temos erro zero se o integrando for um polinômio de até primeiro grau para Trapézios e até terceiro grau para Simpson

Ampliando as possibilidades da integração numérica

Observe que as fórmulas de Trapézios e Simpson T 1 = b a 2 [ f (a)+f (b)] S 2 = (b a)/2 [ b a f (a)+4 f (a+ 3 2 )+f (b) ]

Observe que as fórmulas de Trapézios e Simpson T 1 = b a 2 [ f (a)+f (b)] podem ser escritas no formato S 2 = (b a)/2 [ b a f (a)+4 f (a+ 3 2 )+f (b) ] w 1 f (x 1 )+w 2 f (x 2 )+w 3 f (x 3 )+ +w n f (x n ) onde n o número de pontos usados para a integração

w 1 f (x 1 )+w 2 f (x 2 )+w 3 f (x 3 )+ +w n f (x n ) Trapézios (n=2) T 1 = b a 2 [ f (a)+f (b)] w 1 =w 2 = b a 2 ; x 1 =a, x 2 =b

w 1 f (x 1 )+w 2 f (x 2 )+w 3 f (x 3 )+ +w n f (x n ) Trapézios (n=2) T 1 = b a 2 [ f (a)+f (b)] w 1 =w 2 = b a 2 ; x 1 =a, x 2 =b Simpson (n=3) w 1 =w 3 = b a 6, S 2 = (b a)/2 [ b a f (a)+4 f (a+ 3 2 )+f (b) ] w 2 =2 b a 3 ; x 1=a, x 2 =a+ b a 2, x 3=b

Trabalharemos agora com métodos de integração com a forma w 1 f (x 1 )+w 2 f (x 2 )+w 3 f (x 3 )+ +w n f (x n ) deixando mais livres os valores w i e x i

Integração Gaussiana Aqui criaremos um método de integração com a forma w 1 f (x 1 )+w 2 f (x 2 )+w 3 f (x 3 )+ +w n f (x n ) onde nos proporemos obter a maior precisão possível com um determinado número de pontos.

Integração Gaussiana Para simplificar os cálculos trabalharemos inicialmente com a integral 1 1 f (x)dx

Integração Gaussiana n=1 w 1 f (x 1 ) Temos aqui dois parâmetros livres w 1 e x 1 Vamos impor que a fórmula seja exata as funções 1, x. Se assim for, será também para a combinação linear delas, ou seja, o polinômio de primeiro grau f (x)=a 0 +a 1 x

Integração Gaussiana n=1 Assim teremos w 1 f (x 1 ) 1 1 dx=w 1 x 1 1 =w 1 2=w 1 1 1 1 x dx=w 1 x 1 x2 2 1 1=w 1 x 1 0=w 1 x 1 x 1 =0

Integração Gaussiana n=1 w 1 f (x 1 ) Assim a fórmula gaussiana exata para integrandos iguais a um polinômio do primeiro grau é dada por 1 1 f (x)dx 2 f (0)

Integração Gaussiana n=1 Assim a fórmula gaussiana exata para integrandos iguais a um polinômio do primeiro grau é dada por 1 1 f (x)dx 2 f (0) w 1 f (x 1 ) Repare que temos uma fórmula equivalente ao método de trapézios mas que usa só um ponto

Integração Gaussiana n=2 w 1 f (x 1 )+w 2 f (x 2 ) Temos aqui quatro parâmetros livres w 1, w 2, x 1, x 2 Vamos impor que a fórmula seja exata para as funções 1, x, x 2, x 3. Se assim for também o será para a combinação linear destas funções: f (x)=a 0 +a 1 x+a 2 x 2 +a 3 x 3

Integração Gaussiana n=2 w 1 f (x 1 )+w 2 f (x 2 ) Assim teremos 1 1 1 1 1 1 1 1 dx=w 1 + w 2 x 1 1 =w 1 +w 2 2=w 1 + w 2 1 x dx=w 1 x 1 +w 2 x 2 x2 2 1 1=w 1 x 1 +w 2 x 2 0=w 1 x 1 +w 2 x 2 x 2 dx=w 1 x 2 1 +w 2 x 2 2 x3 3 1 1=w 1 x 2 1 +w 2 x 2 2 2 3 =w 1 x 2 2 1 +w 2 x 2 x 3 dx=w 1 x 3 1 +w 2 x 3 2 x4 4 1 1=w 1 x 3 1 +w 2 x 3 2 0=w 1 x 3 3 1 +w 2 x 2

Integração Gaussiana n=2 Caimos no seguinte sistema de equações não lineares w 1 +w 2 =2 w 1 x 1 +w 2 x 2 =0 w 1 x 2 1 +w 2 x 2 2 = 2 3 w 1 x 3 1 +w 2 x 3 2 =0 w 1 f (x 1 )+w 2 f (x 2 )

Usemos o Maxima para achar a solução...

Integração Gaussiana n=2 Temos a solução o que nos dá a fórmula w 1 =w 2 =1; x 1 = 1 3, x 2= 1 3 1 1 w 1 f (x 1 )+w 2 f (x 2 ) f (x)dx f ( 1 3 )+f ( 1 3 ) exata se o integrando for um polinômio de grau 3

Integração Gaussiana n=3 w 1 f (x 1 )+w 2 f (x 2 )+w 3 f (x 3 ) Temos aqui seis parâmetros livres w 1, w 2,w 3, x 1, x 2, x 3 Vamos impor que a fórmula seja exata as funções o que faz com que a fórmula que será elaborada seja exata até polinômios de grau 5 1, x, x 2, x 3, x 4, x 5 f (x)=a 0 +a 1 x+a 2 x 2 +a 3 x 3 +a 4 x 4 +a 5 x 5

Integração Gaussiana n=3 w 1 f (x 1 )+w 2 f (x 2 )+w 3 f (x 3 ) Repetindo o mesmo processo que antes, obteremos as equações 1 1 1dx=w 1 +w 2 +w 3 x 1 1 =w 1 +w 2 +w 3 2=w 1 +w 2 +w 3 ; 1 1 1 1 1 1 x dx=w 1 x 1 +w 2 x 2 +w 3 x 3 0=w 1 x 1 + w 2 x 2 +w 3 x 3 x 2 dx=w 1 x 2 1 +w 2 x 2 2 +w 3 x 2 3 2 1 3 =w 1 x 2 1 +w 2 x 2 2 +w 3 x 2 3 ; x 3 dx=w 1 x 3 1 +w 2 x 3 2 w 3 x 3 3 0=w 1 x 3 1 +w 2 x 3 3 2 +w 3 x 3 1 x 4 dx=w 1 x 4 1 +w 2 x 4 2 w 3 x 4 3 2 1 5 =w 1 x 4 1 +w 2 x 4 2 +w 3 x 4 3 ; x 4 dx=w 1 x 5 1 +w 2 x 5 2 w 3 x 5 3 0=w 1 x 5 1 +w 2 x 5 5 2 +w 3 x 3 1

Integração Gaussiana n=3 que resulta no sistema w 1 f (x 1 )+w 2 f (x 2 )+w 3 f (x 3 ) w 1 +w 2 +w 3 =2 w 1 x 1 +w 2 x 2 +w 3 x 3 =0 w 1 x 1 2 +w 2 x 2 2 +w 3 x 3 2 = 2 3 w 1 x 1 3 +w 2 x 2 3 +w 3 x 3 3 =0 w 1 x 1 4 +w 2 x 2 4 +w 3 x 3 4 = 2 5 w 1 x 1 5 + w 2 x 2 5 + w 3 x 3 5 =0

Integração Gaussiana n=3 que tem a solução o que nos dá a fórmula w 1 f (x 1 )+w 2 f (x 2 )+w 3 f (x 3 ) w 1 =w 3 = 5 9, w =8 2 9 ; x = 3 1 5, x =0, x = 3 2 3 5 1 1 f (x)dx 5 9 f ( 3 5 )+ 8 9 f (0)+ 5 9 f ( 3 5 ) exata se o integrando for um polinômio de até grau 5

Integração Gaussiana Existe uma maneira mais sofisticada de obter os valores para a integração gaussiana. Não a trabalharemos aqui mas apresentaremos alguns coeficientes para a integração.

Integração Gaussiana Existe uma maneira mais sofisticada de obter os valores para a integração gaussiana. Não a trabalharemos aqui mas apresentaremos alguns coeficientes para a integração. Para ser exato, aqui foi apresentada uma integração gaussiana chamada Integração de Gauss-Legendre

Integração Gaussiana (Gauss-Legendre) 1 1 f (x)dx N pontos x i x i aproximado w i w i aproximado 1 0 0 2 2 2 1 1 ±1/ 3 ±0,577350269 3 0 0 8/9 0,8888888 ± 3/ 5 ±0,774596669 5/9 0,5555555 4 ± 1 2 6/5/ 7 ±0,339981043 (18+ 30)/ 36 ±0,652145154 ± 1+2 6/5/ 7 ±0,861136311 (18 30)/ 36 ±0,345854845 5 0 0 128/255 0,56888888 ±1/3 5 2 10 /7 ±0,538469310 (322+13 70)/ 900 ±0,478628670 ±1/3 5+2 10 /7 ±0,906179845 (322 13 70)/ 900 ±0,236926885

Integração Gaussiana Basta fazermos uma transformação de coordenadas para integrarmos uma função no intervalo [a,b] b a f (x)dx= b a 1 2 1 f ( b a 2 b+a x+ ) b a dx n 2 2 1 w i f ( b a 2 x i + b+a 2 )

Integração Gaussiana: Um exemplo. Integre a função abaixo usando 1, 2 e 3 pontos 4 x e 3 x dx

b a f (x)dx b a n 2 1 w i f ( b a 2 x i + b+a 2 ) Integração Gaussiana: Um exemplo. Integre a função abaixo usando 1, 2 e 3 pontos Calculemos b a 2 = 4 3 2 4 x e 3 x dx

b a f (x)dx b a n 2 1 w i f ( b a 2 x i + b+a 2 ) Integração Gaussiana: Um exemplo. Integre a função abaixo usando 1, 2 e 3 pontos Calculemos 4 x e 3 x dx b a 2 = 4 3 2 =1 2

b a f (x)dx b a n 2 1 w i f ( b a 2 x i + b+a 2 ) Integração Gaussiana: Um exemplo. Integre a função abaixo usando 1, 2 e 3 pontos Calculemos 4 x e 3 x dx b a 2 = 4 3 2 =1 2 ; b+a 2 = 4+3 2

b a f (x)dx b a n 2 1 w i f ( b a 2 x i + b+a 2 ) Integração Gaussiana: Um exemplo. Integre a função abaixo usando 1, 2 e 3 pontos Calculemos 4 x e 3 x dx b a 2 = 4 3 2 =1 2 ; b+a 2 = 4+3 2 =7 2

b a f (x)dx b a n 2 1 w i f ( b a 2 x i + b+a 2 ) Integração Gaussiana Um ponto f (x)= ex x b a 1 f (x)dx= 1 2 1 f ( 1 2 x+7 2 ) dx

b a f (x)dx b a n 2 1 w i f ( b a 2 x i + b+a 2 ) Integração Gaussiana Um ponto f (x)= ex x b a 1 f (x)dx= 1 2 1 f ( 1 2 x+7 2 ) dx 1 2 w 1 f ( 1 2 x i+ 7 2 )

b a f (x)dx b a n 2 1 w i f ( b a 2 x i + b+a 2 ) Integração Gaussiana Um ponto f (x)= ex x b a 1 f (x)dx= 1 2 1 f ( 1 2 x+7 2 ) dx 1 2 w 1 f ( 1 2 x i+ 7 2 ) =2 2 f ( 0+ 7 2 ) =9,461557

b a f (x)dx b a n 2 1 w i f ( b a 2 x i + b+a 2 ) Integração Gaussiana Dois pontos f (x)= ex x b a 1 f (x)dx= 1 2 1 f ( 1 2 x+ 7 2 ) dx 1 2 [ w 1 f ( 1 2 x 1+ 7 2 ) +w 2f ( 1 2 x 2+ 7 2 ) ]

b a f (x)dx b a n 2 1 w i f ( b a 2 x i + b+a 2 ) Integração Gaussiana Dois pontos f (x)= ex x b a 1 f (x)dx= 1 2 1 f ( 1 2 x+ 7 2 ) dx 1 2 [ w 1 f ( 1 2 x 1+ 7 2 ) +w 2f ( 1 2 x 2+ 7 2 ) ] b a f (x)dx 1 2 [ f ( 1 2 1 3 + 7 2 ) +f ( 1 2 1 3 + 7 ) ] 2 = 9,461557+11,665768 =9,696077 2

b a f (x)dx b a n 2 1 w i f ( b a 2 x i + b+a 2 ) Integração Gaussiana Três pontos f (x)= ex x b a f (x)dx 1 2 [ w 1 f ( 1 2 x 1+ 7 2 ) +w 2 f ( 1 2 x 2+ 7 2 ) +w 3 f ( 1 2 x 3+ 7 2 )]

b a f (x)dx b a n 2 1 w i f ( b a 2 x i + b+a 2 ) Integração Gaussiana Três pontos f (x)= ex x b a f (x)dx 1 2 [ w 1 f ( 1 2 x 1+ 7 2 ) +w 2 f ( 1 2 x 2+ 7 2 ) +w 3 f ( 1 2 x 3+ 7 2 )] b a f (x)dx 1 2 [ 5 9 f ( 1 2 3 5 + 7 2 ) + 8 9 f (0+ 7 2 )+ 5 9 f ( 1 2 3 5 + 7 ) ] 2

b a f (x)dx b a n 2 1 w i f ( b a 2 x i + b+a 2 ) Integração Gaussiana Três pontos f (x)= ex x b a b a b a f (x)dx 1 2 [ w 1 f ( 1 2 x 1+ 7 2 ) +w 2 f ( 1 2 x 2+ 7 2 ) +w 3 f ( 1 2 x 3+ 7 2 )] f (x)dx 1 2 [ 5 9 f ( 1 2 3 5 + 7 2 ) + 8 9 f (0+ 7 2 )+ 5 9 f ( 1 2 3 5 + 7 ) ] 2 f (x)dx 1 2 ( 5 9 7,222568+ 8 9 9,461557+ 5 9 12,548284 ) =9,697040

Integração Gaussiana Os valores obtidos com 1, 2 e 3 pontos foram 9,461557 ; 9,696077 ; 9,697040 enquanto o valor da integral é 4 x e 3 x dx 9,697041899430811

A integração gaussiana tem alguns inconvenientes no cálculo manual mas observe que a precisão é muito alta e no computador não fará diferença os números nos quais o computador avaliará a função.

A integração gaussiana tem alguns inconvenientes no cálculo manual mas observe que a precisão é muito alta e no computador não fará diferença os números nos quais o computador avaliará a função. Não é adequada se você tiver a função dada por pontos.

A integração gaussiana tem alguns inconvenientes no cálculo manual mas observe que a precisão é muito alta e no computador não fará diferença os números nos quais o computador avaliará a função. Não é adequada se você tiver a função dada por pontos. É possível criar fórmulas compostas

Observemos que sempre haverão problemas os quais exigirá cuidados ao tentarmos a integração. Daremos um exemplo

A integral abaixo será de cálculo numérico difícil 4 0 cos(e x )dx Apresentamos um gráfico para enfatizar a origem do problema

Observe que a função oscila fortemente no intervalo de integração

Em geral funções oscilantes devem ser analizadas cuidadosamente quando trabalharmos numericamente

É possível elaborar fórmulas análogas à Regra dos Trapézios e à Regra de Simpson para integrais duplas

Baseados nos algoritmos que vimos, podem ser elaborados esquemas adaptativos que selecionam de forma automática o tamanho dos subintervalos de forma a otimizar a execução dos algoritmos

Algumas funções úteis do Maxima para integração numérica:

Algumas funções úteis do Maxima para integração numérica: quad_qag(f(x), x, a, b, chave) Integração usando Gauss-Kronrod e recursos de adaptatividade. chave é um inteiro entre 1 e 6 que corresponde à ordem da regra de Gauss-Kronrod. Ordens maiores são mais adequadas a funções muito oscilantes

Algumas funções úteis do Maxima para integração numérica: romberg(f(x),x,a,b) Integra f(x) pelo método de Romberg Obs: a forma apresentada não é de execução eficiente. Veja o manual do Maxima.

Algumas funções úteis do Maxima para integração numérica: dblint(f,x,s,a,b) Calcula a integral b a Simpson para x e y. Veja o exemplo. s(x) r (x) f (x, y)dy dx usando a regra de

Os métodos solicitados nas listas e provas serão Trapézios Simpson Gauss-Legendre