MÉTODO DOS ELEMENTOS FINITOS E TÉCNICAS DE ENRIQUECIMENTO DA APROXIMAÇÃO APLICADOS À ANÁLISE DE TUBOS CILÍNDRICOS E CASCAS ESFÉRICAS

ISSN 809-5860 MÉTODO DOS ELEMENTOS FINITOS E TÉCNICAS DE ENRIQUECIMENTO DA APROXIMAÇÃO APLICADOS À ANÁLISE DE TUBOS CILÍNDRICOS E CASCAS ESFÉRICAS Gstavo Cabrlli Nirschl & Srgio Prsival Baroncini Pronça Rsmo Sab-s q o Métoo os Elmntos Finitos MEF m sa forma convncional é ma frramnta porosa no cálclo strtral morno. Porém, s o problma aprsnta singlarias, como os fitos bora tipicamnt introzios plos vínclos nas strtras m casca, a anális po xigir gran rfinamnto a malha. Procrano rsolvr mais ficintmnt ss tipo problma, rstringino o sto às strtras m casca com simtria rvolção como os tbos cilínricos as cúplas sféricas, sgr-s nst trabalho o mprgo formas não-convncionais o Métoo os Elmntos Finitos. Daas às simtrias forma carrgamnto, a aboragm po sr fita m campo niimnsional. Inicialmnt rsmm-s as rspostas analíticas, m trmos slocamntos sforços, para as strtras citaas, partino-s sas qaçõs ifrnciais govrnants. Em sgia, solçõs aproximativas para as formas fracas corrsponnts são propostas, aplicano-s o Métoo os Elmntos Finitos incorporano-s algns tipos nriqcimnto q caractrizam ma aboragm não-convncional para st métoo. Por fim, miant xmplos aplicação, confrontam-s os rsltaos aproximaos ntr si, tno-s por bas solçõs analíticas, comprovano o bom smpnho gran potncial as altrnativas sgrias. Palavras-chav: tbo cilínrico; casca sférica; métoo os lmntos finitos; técnicas nriqcimnto. INTRODUÇÃO O Métoo os Elmntos Finitos é, sm úvia, ma frramnta bastant porosa ficint para a solção nmérica problmas no âmbito a anális strtral. Qalia rprsntativia a solção são garantias na mia m q a solção xata é sficintmnt sav, MELENK BABUŠKA 996. Boas proprias aproximação as solçõs polinomiais graas por lmntos finitos corrm aina o mprgo técnicas rfinamnto, como os rfinamntos h Mstr m Engnharia Estrtras - EESC-USP, nirschl@bol.com.br Profssor o Dpartamnto Engnharia Estrtras a EESC-USP, prsival@sc.sp.br Carnos Engnharia Estrtras, São Carlos, v. 0, n. 7, p. 7-5, 008

8 Gstavo Cabrlli Nirschl & Srgio Prsival Baroncini Pronça gra fixo o polinômio rfinamnto progrssivo a malha p malha fixa amnto progrssivo o gra polinomial. Porém, pnno a tipologia a strtra particlarias rlacionaas à sa gomtria carrgamnto, a boa qalia os rsltaos forncios plo MEF po xigir m rfinamnto consirávl a malha, o a tilização polinômios alta orm, ncarcno os cstos comptacionais a anális. Nss contxto, as técnicas não-convncionais nriqcimnto a aproximação constría com o MEF obtivam obtr solçõs satisfatórias, msmo mprgano-s malhas poco rfinaas nriqcimntos a aproximação inicial finia por fnçõs forma polinomiais baixo gra. O nriqcimnto miant fnçõs spciais, por xmplo, constiti-s m altrnativa q po sr xploraa com vantagns m problmas ca solção xata tnha variaçõs fortmnt localizaas. Nst trabalho, sta otras possibilias são mprgaas na anális cascas cilínricas sféricas fig.., particlarmnt porq ssas strtras aprsntam fitos flxão q s concntram nas rgiõs vinclação imposta são ifícil rproção nmérica. Figra. - Estrtras staas. CASCAS DE REVOLUÇÃO A toria linar as cascas lgaas, o finas, GRAVINA 957, tm por bas as sgints hipótss fnamntais: O matrial a strtra é homogêno, isótropo obc à Li Hook. A spssra é pqna m rlação às otras imnsõs. As tnsõs normais à sprfíci méia são sprzívis m rlação às mais componnts tnsão. Os pontos prtncnts, ants a formação, a rtas normais à sprfíci méia, ncontram-s sobr rtas prpniclars à sprfíci méia formaa. 5 - Os slocamntos são mito pqnos m rlação à spssra. Obsrva-s q, no caso strtra sprfíci com spssra mito pqna, a hipóts 5 pr valia, sno ncssário consirar ma aboragm Carnos Engnharia Estrtras, São Carlos, v. 0, n. 7, p. 7-5, 008

Métoo os lmntos finitos técnicas nriqcimnto a aproximação aplicaos à... 9 gomtricamnt não-linar. Est trabalho s rstring à aboragm linar, q prsrva, m particlar, a sobrposição fitos.. Casca o tbo cilínrico A formlação analítica para o tbo cilínrico m rgim linar sbmtio a solicitação xtrna com simtria rvolção é clássica ncontra-s scrita m vários livros, ntr ls: BELLUZZI 967 BILLINGTON 965. Obsrva-s q o tbo cilínrico sbmtio intrnamnt à prssão linarmnt istribía, fig.., rcb nst txto a nominação: rsrvatório cilínrico. Figra. - Rsrvatório cilínrico. Aotam-s, portanto, as hipótss grais simtria axial m gomtria carrgamnto, além spssra lgaa. Essa última hipóts é garantia s a rlação ntr a spssra a par o raio o rsrvatório for mnor o igal a /0. Em rgim linar, o chamao problma os rsrvatórios m rgim flxão, formlao m trmos slocamntos axiais raiais, rslta sacoplao, ma vz q as qaçõs ifrnciais q nvolvm tais componnts são inpnnts. A qação q nvolv os slocamntos raiais é claramnt aqla maior intrss. Tno-s m vista os comntários antriors, po-s mostrar q a combinação as rlaçõs qilíbrio, compatibilia constittiva lva à sgint qação ifrncial, BILLINGTON 965: y w E * hy Dy * y + * wy = py y r. m q: y é ma coornaa posição vrtical, com origm na bas o rsrvatório; Carnos Engnharia Estrtras, São Carlos, v. 0, n. 7, p. 7-5, 008

0 Gstavo Cabrlli Nirschl & Srgio Prsival Baroncini Pronça wy é a fnção q scrv o slocamnto horizontal ao longo a par o rsrvatório, com valors positivos apontano para o cntro a casca; E * hy Dy é a rigiz à flxão a casca, igal a: ; * ν r é o raio méio o rsrvatório; ν é o coficint Poisson; hy é a spssra a par o rsrvatório na posição y; E é o mólo lasticia; py é a fnção q scrv a solicitação xtrna, na forma prssão intrna linarmnt istribía. Acrscntam-s aina os sgints aos: γ P é o pso spcífico o matrial a par o rsrvatório; H é a altra total o tbo. Para o caso particlar spssra constant hy=h, a q.. passa a sr scrita como: w py y + * β * wy =. y D O coficint β q aparc na rlação antrior tm, por finição: * ν β =. r * h Tm-s, m gral, para a solção a forma homogêna a q..: wy h = β*y * C * cos β * y + C + β*y * sn β * y + * C * cos β * y + C * sn β * y. sno C a C constants a trminar. Para o caso prssão intrna linarmnt istribía, tm-s a sgint solção particlar: py * r wy p =.5 E * h Dv-s obsrvar q a solção aa pla q..5 tm por corrsponência o rgim mmbrana o rsrvatório, ma vz q la corrm sforços flxão nlos. A solção gral para os slocamntos horizontais a par o rsrvatório compõ-s a soma as qs...5 solção a homogêna mais solção particlar. Em boa part os txtos clássicos no tma, as constants C C são impostas como nlas para fitos simplificação os cálclos. Ds q o Carnos Engnharia Estrtras, São Carlos, v. 0, n. 7, p. 7-5, 008

Métoo os lmntos finitos técnicas nriqcimnto a aproximação aplicaos à... rsrvatório sa longo, ssa simplificação rproz bm o fato q fitos flxão ma bora não s propagam até a otra bora. Nst trabalho, ntrtanto, prtn-s rsolvr o problma sm rcorrr à tal simplificação. As constants C a C pnm, portanto, os vínclos aotaos m caa caso consirao. D moo mais frqünt stão as coniçõs contorno para rsrvatórios bas ngastaa o articlaa fixa, com topo livr. Por otro lao, inpnnt as coniçõs contorno consiraas, os sforços solicitants sforço normal tangncial N θ, momntos fltors M y M θ sforço cortant Q y rlacionam-s com os slocamntos raiais miant as sgints qaçõs: E * h Nθ y = * wy.6 r w Myy = D * y.7 y Mθ y = ν * M y.8 w Qyy = D * y.9 y Na fig.., po-s visalizar a convnção sinais positivos para os sforços inicaos nas qs..6 a.9. N y M y Q y N θ N θ M θ M θ y M y N y Q y wy wy Figra. - Convnçõs sinal para sforços m rsrvatório cilínrico. A rlação para o sforço N y y rslta ma anális qilíbrio inpnnt. Qano s consira o pso próprio a par, a rlação rsltant é a sgint: Carnos Engnharia Estrtras, São Carlos, v. 0, n. 7, p. 7-5, 008

Gstavo Cabrlli Nirschl & Srgio Prsival Baroncini Pronça N y = γ * H y * h.0 y p. Casca sférica Uma casca sférica o, cúpla sférica é ma strtra laminar pla crvatra vr fig.. salmnt mprgaa como cobrtra. Os aspctos principais a toria clássica, GRAVINA 957, para formlação rsolção o problma a cúpla com carrgamnto rvolção são rsmios a sgir. Inicialmnt, consira-s ma casca sférica sita ao pso próprio, conform ilstra a fig... Entr os lmntos q lá aparcm inicaos stão: g: a fnção rprsntativa o pso próprio a cúpla por nia ára; t: a spssra constant a cúpla; R: o raio cúpla; C : o ânglo cntral abrtra a cúpla. Figra. - Casca sférica sita a pso próprio. Explorano as simtrias rvolção m forma carrgamnto, sgno m sistma coornaas sféricas, os sforços intrnos solicitants sas variaçõs pom sr rprsntaos como inicao na fig... Figra. - Esforços atants na casca sférica. Carnos Engnharia Estrtras, São Carlos, v. 0, n. 7, p. 7-5, 008

Métoo os lmntos finitos técnicas nriqcimnto a aproximação aplicaos à... Combinano-s as rlaçõs qilíbrio, compatibilia ntr slocamntos formaçõs constittiva, é possívl rzir o connto variávis incógnitas à apnas as, Q Φ, xprimir o qilíbrio miant as sgints rlaçõs: Q Q + * cot g Q * cot g + ν E C * t * C * Q = Φ + R * g * sn * ν C. Φ Φ + * cot g Φ * cot g + ν C R * Φ = D C * Q. m q: é a posição anglar mia a partir o topo a cúpla sférica fig..5; Φ é o giro sofrio pla tangnt m ao mriiano, após a formação a cúpla, como ilstrao na fig..5; EC * t D C é a rigiz à flxão a cúpla, igal a: ; * νc E C é o mólo lasticia o matrial a cúpla; ν C é o coficint Poisson o matrial a cúpla. Φ ξ ants a formação após a formação Figra.5 - Dslocamnto horizontal ξ giro Φ, m fnção o ânglo, para casca sférica. As qaçõs ifrnciais.. possm solção gral composta plas parclas solção homogêna particlar. Aqi, como no caso a casca cilínrica, a solção mmbrana constiti boa aproximação para a solção particlar o sistma, s q, BELLUZZI 967, a spssra a casca sa sficintmnt pqna m rlação ao raio. Para o rgim mmbrana m q Q = M = M θ = 0, rprozm-s m sgia as rlaçõs rprsntativas o slocamnto horizontal ξ o giro Φ, além os sforços N N θ, toos m fnção o ânglo vr figs...5. Carnos Engnharia Estrtras, São Carlos, v. 0, n. 7, p. 7-5, 008

Gstavo Cabrlli Nirschl & Srgio Prsival Baroncini Pronça g * R + νc ξ = * sn * cos EC * t + cos. g * R Φ = * + νc * sn. E * t C g * R Ν =.5 + cos Ν θ = g * R * cos.6 + cos O problma flxão rún os fitos os vínclos nas boras o aina, forma qivalnt, os fitos a aplicação xtrna ma força horizontal H C momnto xtrno M C istribíos na bora a cúpla sférica fig..6. Figra.6 - Cúpla sférica sita a força horizontal H C momnto M C istribío na bora. A solção rigorosa o problma flxão é talhaa na litratra, nvolvno séris hiprgométricas, mas aprsnta-s mito trabalhosa, spcialmnt nos casos strtras lgaas, o sa, com valors lvaos a constant λ q..0. Além isso, nsss casos, a convrgência as séris s á com razão mito pqna, BELLUZZI 967. Uma solção analítica simplificaa, vália para coficints λ mais lvaos, q xplora o amortcimnto os fitos as singlarias bora, como ocorr nos tbos, é forncia plo Métoo Gcklr, GRAVINA 957. A solção Gcklr é vália também para cascas abatias C pqno, s q a rlação R/t sa gran. Amitino-s sitaçõs m q as hipótss o Métoo Gcklr sam satisfitas, os trmos orm rivação mais baixa a part homogêna o sistma.. pom sr sprzaos m rlação aos trmos orns mais altas, obtno-s: Carnos Engnharia Estrtras, São Carlos, v. 0, n. 7, p. 7-5, 008

Métoo os lmntos finitos técnicas nriqcimnto a aproximação aplicaos à... 5 Q = E C * t * Φ F.7 ΦF R = D C * Q.8 m q Φ F é a parcla flxão Φ. Combinano-s.8.7, moo a liminar o giro Φ F, tm-s finalmnt a qação ifrncial q rprsnta o rgim flxão a casca sférica: Q + * λ * Q = 0.9 m q: R λ = * νc *.0 t A solção a q..9 é smlhant àqla aprsntaa para a flxão o tbo cilínrico q..5. Sno assim: Q = λ* * L * cos λ * + L + λ* * L * sn λ * + * cos λ * + L * sn λ *. m q: = C vr fig..5; L a L são constants a trminar. A imposição as coniçõs contorno m caa caso prmit intificar os valors as constants L a L. Em fnção a solção acima, os sforços solicitants as variávis cinmáticas, para o rgim flxão, pom sr trminaas plas sgints qaçõs: R * sn Q C ξf = * + νc * Q * cot g C E * t C. Q ΦF = * E * t. C N = Q * cot g. F C Carnos Engnharia Estrtras, São Carlos, v. 0, n. 7, p. 7-5, 008

6 Gstavo Cabrlli Nirschl & Srgio Prsival Baroncini Pronça Q N θf =.5 D Q C M = * R * E * t.6 C M = νc * M.7 θ MÉTODO DOS ELEMENTOS FINITOS MEF. MEF aplicao a cascas cilínricas D início, a qação ifrncial a casca cilínrica q.. é rscrita moo a prmitir lvar m conta, convnintmnt, a possibilia variação a spssra. Nss sntio, consir-s q a spssra o rsrvatório sa trminaa por: h 0 y = h * fy. m q h 0 é a spssra na bas o rsrvatório. Para o caso variação linar a spssra ao longo a altra, po-s finir fy como: fy γ = * y H. m q γ é m coficint aimnsional finio pla razão ntr a spssra no topo a spssra na bas o rsrvatório. Dst moo, a q.. passa a aprsntar a sgint forma: y fy w * y + * β y 0 * fy * wy = py D 0. m q: D 0 E * h0 =. * ν E * h 0 β 0 =.5 * r * D0 Carnos Engnharia Estrtras, São Carlos, v. 0, n. 7, p. 7-5, 008

Métoo os lmntos finitos técnicas nriqcimnto a aproximação aplicaos à... 7 Consirano-s ma fnção aproximativa w y, com boas proprias rprsntativia a solção, po-s scrvr, inicialmnt, a sgint forma m rsíos ponraos: H + β = w py v y* fy * y * 0 0 * * w y * y 0 fy.6 y y D0 m q: vy é ma fnção ponração; w y v aprsntar, plo mnos, continia até a orm. Aota-s, m sgia, ma iscrtização para o omínio a solção miant m connto nós lmntos. Nst trabalho, caa lmnto contém nós nas sas xtrmias. Na fig.., os gras libra associaos à caa nó são inicaos sobr m lmnto gnérico. RESERVATÓRIO CILÍNDRICO DISCRETIZAÇÃO EM ELEMENTOS FINITOS ELEMENTO GENÉRICO ELEMENTO N w w py ELEMENTO ELEMENTO py w w h y y Figra. - Discrtização m rsrvatório cilínrico para aplicação o MEF. Consirano a ivisão o omínio, a intgral q aparc na q..6 passa a sr composta pla soma as intgrais sobr os lmntos. Po-s ntão rprsntar a forma fraca para m lmnto gnérico rivano-s as vzs por parts a primira parcla a q..6: + = y y + v fy * y * y fy y+ y py D 0 w * y * vy y y w * vy * y y y + y y * fy y + w * y y + y *β y * 0 v y y y+ y + * fy*w y * vy * y =.7 Carnos Engnharia Estrtras, São Carlos, v. 0, n. 7, p. 7-5, 008

8 Gstavo Cabrlli Nirschl & Srgio Prsival Baroncini Pronça m q y y + são, rspctivamnt, as coornaas os nós inicial final o lmnto. Not-s q na q..7 as rivaas sobr vy w y são a msma orm, proporcionano simtria à formlação. D moo a garantir a xistência solção ntro os limits o lmnto, as intgrais nvolvno as fnçõs aproximativa ponraora formas bilinars somaas vm aprsntar valor finito; nss sntio, aota-s ma fnção aproximativa polinomial gra, q é o mnor gra q garant aqla conição. Nssas coniçõs, a aproximação passa a sr rprsntaa por: w y = w * y.8 = m q w são os gras libra primários slocamnto giro nos nós coornaas locais 0 h. As qatro fnçõs forma o lmnto, inicaas m.8, são aas por: = y * y h + * y y = y * h y y y = * * h h = y y y y * h h y h.9 As fnçõs forma.9 constitm ma bas aproximativa hrmitiana cúbica para o MEF. Otra bas intrss é a linar, inicaa abaixo: N y = N y = y h y h.0 Utilizano-s a msma bas aproximação para vy w y Galrkin, a sa sbstitição na q..7 lva ao sgint connto qaçõs para o lmnto finito gnérico: = [ K * w ] i, Fi = 0 i =,...,. m q: Carnos Engnharia Estrtras, São Carlos, v. 0, n. 7, p. 7-5, 008

Métoo os lmntos finitos técnicas nriqcimnto a aproximação aplicaos à... 9 h i K = * * * * * i, f y + y y y + * β f y + y * y y y 0 0 i y y py + y F y y Q h i = * * 0 i + i D0.. Os trmos. compõm os componnts a chamaa matriz rigiz o lmnto q, nst caso, é simétrica; á a q.. fornc os componnts o chamao vtor forças noais o lmnto, isto é: as forças noais corrsponnts às forças irtamnt aplicaas às forças noais prscritas nas xtrmias o lmnto. A gração m forma matricial o sistma global rsolvnt a partir as contribiçõs os lmntos é inicaa na fig.., sno N o númro lmntos. Obsrva-s q, na asência forças noais concntraas, os trmos Q i vr q.. anlam-s na sobrposição. Figra. - Matriz rigiz K vtor forças noais F obtios na formlação o MEF. Na simbologia aotaa para a matriz global K, inicaa na fig.., caa qarao prnchio rprsnta a matriz rigiz m lmnto, cos valors são calclaos pla q... No vtor global F, caa rtânglo prnchio rprsnta o vtor forças noais m lmnto, com ss valors calclaos pla q... Carnos Engnharia Estrtras, São Carlos, v. 0, n. 7, p. 7-5, 008

0 Gstavo Cabrlli Nirschl & Srgio Prsival Baroncini Pronça A strtra a matriz rigiz global K tm ma forma m bana, porq os nós o problma stão, por hipóts, nmraos sqüncialmnt no sntio crscnt y,, além isso, é simétrica. As coniçõs contorno ssnciais vm sr impostas irtamnt no sistma global rprsntao na fig... Para o connto problmas analisaos, consira-s q o contorno sprior é livr o infrior po sr ngastao o articlao fixo. Uma vz ncontrao o vtor incógnito, é possívl novamnt consirar o arrano lmntos ncontrar a istribição sforços ao longo caa lmnto finito: E * hy y N y * w θ = y. r + M y D * fy y * w y = 0 + = * y y.5 M Q y y y = y.6 y M y * M θ = ν y.7 y. MEF aplicao a cascas sféricas A rsolção nmérica o problma a casca sférica miant aplicação o MEF, poria partir analogamnt ao caso os tbos, a ponração o sistma qaçõs ifrnciais scrito plas... Entrtanto, trata-s m sistma misto nvolvno as variávis istintas a srm aproximaas. Tal procimnto srá aqi simplificao, consirano-s apnas os fitos ma força horizontal H C m momnto xtrno M C istribíos ao longo a bora a casca sférica fig... Dss moo, po-s rzir o sistma a ma única qação na variávl rprsntativa o sforço cortant, além o q são para sts casos q xist solção analítica confronto. Carnos Engnharia Estrtras, São Carlos, v. 0, n. 7, p. 7-5, 008

Métoo os lmntos finitos técnicas nriqcimnto a aproximação aplicaos à... Carnos Engnharia Estrtras, São Carlos, v. 0, n. 7, p. 7-5, 008 ELEMENTOS FINITOS CASCA ESFÉRICA ELEMENTO GENÉRICO E Q Q Q Q c ELEMENTO N ELEMENTO H c M c Figra. - Discrtização ma casca sférica para aplicação o MEF. Uma vz obtia a forma fraca.9, consirano-s ma solção aproximaa Q aotaa ma iscrtização formaa por lmntos finitos finios m fnção o ânglo abrtra a casca, fig.., a rlação para m lmnto rslta: 0 * v * * * * v * v * v * = λ + + + + + + + Q Q Q Q.8 m q: v é ma fnção ponração; + são as coornaas anglars o nó inicial final o lmnto. Aotano-s ma fnção aproximaora polinomial gra máximo, como fito para os tbos, m coornaas sféricas locais o lmnto os parâmtros noais assmm os sgints significaos: 0 0 E E = = = = Q Q Q Q Q Q Q Q.9 Rslta, para o lmnto finito gnérico a sgint aproximação: * = = Q Q.0

Gstavo Cabrlli Nirschl & Srgio Prsival Baroncini Pronça Carnos Engnharia Estrtras, São Carlos, v. 0, n. 7, p. 7-5, 008 sno as fnçõs forma aas por: = = = + = E E E E E E E * * * * * *. Nas rlaçõs antriors: E é o ânglo abrtra o lmnto E ; é a coornaa anglar local, inicaa na fig... Sbstitino-s.0 m.8 consirano-s para v ma aproximação aa plas msmas fnçõs forma Q, rslta: [ ] 0 * K, i = = Q. m q: 0, * * * E i i i K * * λ = +. As contribiçõs as matrizs rigiz os vtors forças noais os lmntos gram m sistma global q sg sistmática iêntica àqla aprsntaa para casca cilínrica inicaa na fig... As coniçõs contorno q vm sr impostas irtamnt ao sistma global corrsponm à força H C momnto M C aplicaos na bora infrior a casca. Dpois ncontrao o vtor incógnito, é possívl voltar ao arrano lmntos ncontrar as otras variávis intrss slocamnto horizontal ξ, giro Φ, sforço normal N,sforço tangncial θ N momntos M θ M, acoro com as figs...5: + + ν + = ξ g cot * * * t * E sn R * C C Q Q.

Métoo os lmntos finitos técnicas nriqcimnto a aproximação aplicaos à... Φ = E C * t Q *.5 N = Q * cot g +.6 Q N θ =.7 D Q C M = * R * E * t.8 C M = ν * M.9 θ C ENRIQUECIMENTO DAS APROXIMAÇÕES DO MEF. Métoo os Elmntos Finitos Gnralizaos MEFG O Métoo os Elmntos Finitos Gnralizaos MEFG, DUARTE, BABUŠKA ODEN 000, TORRES 00, incorpora na strtra básica o MEF técnicas rcrsos os chamaos Métoos sm Malha, com o propósito mlhorar a aproximação no omínio o problma. O MEFG tm como principal caractrística o nriqcimnto sobr aproximaçõs q s caractrizam como partição a nia, PU, o connto fnçõs co somatório os valors nm ponto o omínio é igal à nia. No MEF clássico, mbora sa possívl constrir spaços fnçõs nãopolinomiais q forncm boas proprias aproximação local, tal procimnto não garant a continia ntr lmntos a fnção aproximação global, MELENK BABUŠKA 996. Já o MEFG, ao xplorar a PU, garant a constrção spaços aproximação conforms, msmo tilizano fnçõs não-polinomiais. No MEFG, o númro fnçõs forma é composto plas fnçõs forma originais o MEF, q constitm ma PU, mais ma combinação las com otras fnçõs, chamaas nriqcoras. Porém, s form nriqcias também otras fnçõs a bas aproximativa q não constitam ma PU, o nriqcimnto não é, a rigor, m MEFG, sim m MEF hirárqico. Gnricamnt, a fnção aproximativa o MEFG para m campo, nm omínio govrnao pla variávl x, tm a sgint forma: n n I ûx = ϕ x * û + ϕ x FEx * b. = = α= α α m q α b são parâmtros noais acrscntaos plo nriqcimnto. Carnos Engnharia Estrtras, São Carlos, v. 0, n. 7, p. 7-5, 008

Gstavo Cabrlli Nirschl & Srgio Prsival Baroncini Pronça Acrscnta-s q o nriqcimnto po sr sltivo, isto é, fito apnas m ma rgião spcífica o omínio, sno a part rstant aproximaa sm nriqcimnto com a strtra convncional o MEF. Como xmplo o procimnto nriqcimnto, consir-s ma bas aproximativa o MEF aa por fnçõs forma, ϕ, fnção nriqcora. Amita-s q, ssa bas, apnas ϕ, ϕ ϕ ϕ, sa FE ma ϕ formm ma PU. D acoro com o MEFG, para a rgião nriqcia, havrá 6 fnçõs forma: ϕ, ϕ, ϕ, ϕ *FE ϕ *FE. Na fig.. stá rprsntao o sistma corrsponnt ao xmplo, para o caso lmntos, com os três nós nriqcios. ϕ, b b b b K = F = b b b b nriqcimnto Figra. - Esqma nriqcimnto plo MEFG.. Altrnativas nriqcimnto O procimnto chamao aqi MEFH caractriza-s por contr fnçõs na bas aproximativa q apsar não formarm ma PU pom sr mltiplicaas por fnçõs nriqcimnto. Na fig.. stá inicao m sistma gnérico montao acoro com o MEFH, para lmntos fnção nriqcora aicionaa à msma bas polinomial scrita no itm.. No procimnto nominao nriqcimnto por bas xpania, MEFBA, a bas inicial é ampliaa miant aição fnçõs forma spciais intrss. Obviamnt, à caa fnção aicionaa s associa m gra libra primário, não-atrlao à nó sm qalqr significao físico. Nst caso, o sistma global trá m amnto m sa orm igal ao númro fnçõs nriqcoras. Encontra-s na fig.. ma visalização m sistma gnérico o MEFBA com lmntos fnção nriqcora aicionaa à msma bas polinomial scrita no itm.. A fnção aproximaora m campo, nm omínio govrnao pla variávl x global, no caso o MEFBA, tm a sgint forma: Carnos Engnharia Estrtras, São Carlos, v. 0, n. 7, p. 7-5, 008

Métoo os lmntos finitos técnicas nriqcimnto a aproximação aplicaos à... 5 n I FEx * b ûx = ϕ x * û +. = α= α α b b b b b b b 5 b 6 b b K = F = b b nriqcimnto b b b 5 b 6 Figra. - Esqma nriqcimnto MEFH. b K = F = nriqcimnto b Figra. - Esqma nriqcimnto MEFBA.. Enriqcimntos o MEF aplicaos aos tbos No caso os tbos, mprgam-s nas altrnativas nriqcimnto comntaas no itm antrior, fnçõs q fazm part a solção analítica para spssra constant. Assim, aotam-s: β*y fy = * cos β * y. β*y fy = * sn β * y. Carnos Engnharia Estrtras, São Carlos, v. 0, n. 7, p. 7-5, 008

6 Gstavo Cabrlli Nirschl & Srgio Prsival Baroncini Pronça As possibilias mprgo o MEF tstaas, q inclm as altrnativas nriqcimnto, stão scritas abaixo com as siglas a las associaas. RMEFL: Caso particlar o MEF tilizano as fnçõs forma linars aas m.0. Aplica-s ssa aproximação xclsivamnt para anális o rgim mmbrana bas slizant o rsrvatório com spssra constant. RMEF: Caso particlar o MEF convncional sm nriqcimnto tilizano como bas aproximativa as fnçõs forma aas m.9. RMEFH: MEFH tilizano as fnçõs.. para nriqcr toas as fnçõs a bas.9. RMEFG: MEFG tilizano as fnçõs.. para nriqcr as fnçõs a bas.9 q constitm ma PU. 5 RMEFBA: MEFBA tilizano como bas aproximativa as fnçõs forma aas m.9, sno ralizao nriqcimnto com as fnçõs... 5 PROGRAMA Elaboro-s m programa m lingagm FORTRAN, ca aprsntação ncontra-s scrita no q sg. Uma anla aprsntação fig. 5. aparc qano o aplicativo é xctao. Figra 5. - Janla aprsntação o aplicativo. Acionano-s o botão INICIAR, aparc a anla para as scolhas a strtra a sr calclaa a bas aproximativa fnçõs o MEF fig. 5.. Nota-s q, inpnntmnt a scolha o métoo aproximao, os gráficos rspostas xibm smpr a solção analítica a strtra. Carnos Engnharia Estrtras, São Carlos, v. 0, n. 7, p. 7-5, 008

Métoo os lmntos finitos técnicas nriqcimnto a aproximação aplicaos à... 7 O rsrvatório cilínrico po sr analisao somnt com forças linarmnt istribías na par a cúpla amit anális os fitos pso próprio solção analítica o forças momntos istribíos niformmnt m sa xtrmia. Figra 5. - Janla para scolha a strtra métoo cálclo aproximao. Aciona-s o botão AVANÇAR, pnno a scolha strtral, ma anla aparc para a ntraa aos rfrnts à gomtria, às forças xtrnas ao métoo nriqcimnto s sao. Na fig. 5. é mostraa a anla ntraa aos para rsrvatório cilínrico, na fig. 5., a anla ntraa aos para cúpla sférica sita a força horizontal Hc momnto concntrao na xtrmia Mc. Carnos Engnharia Estrtras, São Carlos, v. 0, n. 7, p. 7-5, 008

8 Gstavo Cabrlli Nirschl & Srgio Prsival Baroncini Pronça Figra 5. - Janla ntraa aos rfrnt a rsrvatório cilínrico. Figra 5. - Janla ntraa aos rfrnt a cúpla sférica sita a Hc Mc. Carnos Engnharia Estrtras, São Carlos, v. 0, n. 7, p. 7-5, 008

Métoo os lmntos finitos técnicas nriqcimnto a aproximação aplicaos à... 9 Os aos rfrnts ao númro lmntos finitos, sgino a convnção aa na figra q aparc na anla ntraa aos, vm sr prnchios no grpo DADOS SOBRE O MEF. Para s tilizar lmntos comprimntos igais m too o omínio, vs informar o númro lmntos na caixa ição o grpo TODOS OS ELEMENTOS COM O MESMO COMPRIMENTO acionar, m sgia, o botão INCLUIR ELEMENTOS. Fazno isso, os comprimntos os lmntos são xibios na lista o grpo COMPRIMENTO DOS ELEMENTOS, bm como são xibios o somatório os comprimntos os lmntos o númro lmntos nas caixas státicas o canto infrior irito o grpo DADOS SOBRE O MEF. Para s tilizar comprimntos ifrnts os lmntos, ss valors vm sr caastraos m a m, na caixa ição o grpo ELEMENTOS COM COMPRIMENTOS DIFERENTES, acionano-s o botão INCLUIR ELEMENTO para inclir m lmnto na lista o grpo COMPRIMENTO DOS ELEMENTOS. Caastraos os lmntos, vm sr forncios os aos sobr o nriqcimnto, no grpo DADOS SOBRE O ENRIQUECIMENTO. Dv-s scolhr o tipo nriqcimnto por mio a caixa lista no grpo ESCOLHA O TIPO DE ENRIQUECIMENTO, sno q as fnçõs nriqcoras pom sr visalizaas acionano-s o botão VER FUNÇÕES DISPONÍVEIS. Fito isso, inclm-s os nós a srm nriqcios por mio os botõs no grpo NÓS A SEREM ENRIQUECIDOS. Tais nós pom sr caastraos m a m, no grpo INCLUSÃO INDIVIDUAL, o toos ma vz, plo botão TODOS. Na lista NÓS ENRIQUECIDOS aparcm os nós a srm nriqcios. Na fig. 5.5 aparc a anla ntraa aos para cúpla sférica sita a pso próprio, m q apnas é possívl a anális a solção analítica. Figra 5.5 - Janla ntraa aos rfrnt a cúpla sférica sita a pso próprio. Carnos Engnharia Estrtras, São Carlos, v. 0, n. 7, p. 7-5, 008

0 Gstavo Cabrlli Nirschl & Srgio Prsival Baroncini Pronça Prnchios os aos ntraa, po-s confrir visalmnt os aos forncios, para os casos rprsntaos nas figs. 5. 5., acionano-s o botão VERIFICAR DADOS. Aparc ma anla gráfica inpnnt, como a as figs. 5.6 rsrvatório cilínrico 5.7 cúpla sférica, cos snhos são apnas para vrificação, não aprsntano ma scala finia. Figra 5.6 - Janla vrificação gráfica os aos ntraa - rsrvatório cilínrico. 5 Prnchios vrificaos os aos ntraa, nas anlas as figs. 5., 5. o 5.5, aciona-s o botão CALCULAR, aparcno ma anla confirmação fig. 5.8 pois conclío o procssamnto. Figra 5.7 - Janla vrificação gráfica os aos ntraa para cúpla sférica sita a força horizontal momnto concntrao na bas. Carnos Engnharia Estrtras, São Carlos, v. 0, n. 7, p. 7-5, 008

Métoo os lmntos finitos técnicas nriqcimnto a aproximação aplicaos à... Figra 5.8 - Janla confirmação o scsso os cálclos. Acionano-s o botão CONTINUAR na anla a fig. 5.8, aparc a anla rfrnt aos rsltaos. Nas figs. 5.9, 5.0 5. são mostraas as anlas rsltaos para os três casos rprsntaos nas figs. 5., 5. 5.5, rspctivamnt. Figra 5.9 - Janla rsltaos rfrnt a rsrvatório cilínrico. Carnos Engnharia Estrtras, São Carlos, v. 0, n. 7, p. 7-5, 008

Gstavo Cabrlli Nirschl & Srgio Prsival Baroncini Pronça Figra 5.0 - Janla rsltaos rfrnt a cúpla sférica sita a Hc Mc. Figra 5. - Janla rsltaos rfrnt a cúpla sférica sita a pso próprio. Nas anlas as figs. 5.9, 5.0 5., aparc ma figra rfrnt à convnção para os sntios positivos os parâmtros saía. Tal ilstração também não ofrc intrativia nm obc a ma scala gométrica. Os aos saía têm ss valors imprssos m listas organizaas sgno os valors noais caso haa métoo cálclo aproximao após pós- Carnos Engnharia Estrtras, São Carlos, v. 0, n. 7, p. 7-5, 008

Métoo os lmntos finitos técnicas nriqcimnto a aproximação aplicaos à... procssamnto colna sqra sgno 00 pontos igalmnt spaçaos sobr o omínio colna irita. Além as anlas os aos saía no programa, os aos nméricos saía são imprssos no arqivo RESULTADOS.TXT. Nas anlas as figs. 5.9, 5.0 5., xistm aina botõs na part sprior q, pois acionaos, xibm, m ma anla gráfica inpnnt, os gráficos corrsponnts aos parâmtros ao longo o omínio. Na fig. 5. é xibio m xmplo gráfico saía slocamnto para rsrvatório cilínrico. Uma última consiração é q a aplicação criaa não é rstrita a m sistma fixo nias. Estão inicaas, ao lao as caixas ição ntraa aos ao lao os valors saía, as imnsõs caa variávl, sno las: L imnsão comprimnto F imnsão força. Figra 5. - Exmplo anla gráfico slocamnto rfrnt a rsrvatório cilínrico. 6 EXEMPLOS NUMÉRICOS 6. Rsltaos para rsrvatório cilínrico A tabla 6. aprsnta os aos ntraa scolhios para o xmplo nmérico rsrvatório cilínrico. Carnos Engnharia Estrtras, São Carlos, v. 0, n. 7, p. 7-5, 008

Gstavo Cabrlli Nirschl & Srgio Prsival Baroncini Pronça Tabla 6. - Daos ntraa tilizaos para o cálclo rsrvatório cilínrico. PARÂMETRO VALOR Altra m 0,00 Raio m 8,00 Espssra constant m 0,05 Coficint Poisson 0,0 Mólo lasticia kn/m,0*0 9 Pso spcífico o líqio prnchimnto kn/m 000,00 Colocam-s m confronto os valors slocamnto horizontal w, sforço cortant Q y momnto fltor M y, com sas convnçõs sinal irção visalizaas nas fig... Os valors N θ M θ não são aqi xibios, á q são proporcionais a w M y, rspctivamnt vr q...7. O primiro rsltao rfr-s ao rgim mmbrana o rsrvatório bas slizant, co único procimnto aproximao aplicao foi o RMEFL. No gráfico 6. são aprsntaas as solçõs aproximaa analítica os slocamntos para 0 lmntos igalmnt spaçaos. Natralmnt, o sforço cortant Q y o momnto fltor M y são nlos, acoro com as hipótss o rgim mmbrana. 0.0 9.0 8.0 altra o rsrvatório m 7.0 6.0 5.0.0.0.0.0 0.0-7.00E-0-6.00E-0-5.00E-0 -.00E-0 -.00E-0 -.00E-0 -.00E-0 0.00E+00 slocamnto horizontal w m - bas slizant Solção analítica RMEFL Posiçõs os nós Gráfico 6. - Crva slocamnto w para o caso RMEFL. Acrscnta-s q com apnas m lmnto os slocamntos obtios com o procimnto RMEFL são xatos, pois a solção analítica é rgia por ma fnção linar. Para ma comparação ntr os procimntos scritos no caso bas articlaa fixa, consira-s ma iscrtização como a mostraa na fig. 6.. Lmbras q, no caso RMEFBA, o nriqcimnto não é mais sltivo. Carnos Engnharia Estrtras, São Carlos, v. 0, n. 7, p. 7-5, 008

Métoo os lmntos finitos técnicas nriqcimnto a aproximação aplicaos à... 5 Figra 6. - Discrtização aotaa para rsrvatório cilínrico com bas articlaa fixa. Nos gráficos 6. a 6. mostram-s crvas obtias para slocamnto horizontal w, momnto fltor M y sforço cortant Q y, plos procimntos RMEF, RMEFH, RMEFG RMEFBA, além a solção analítica. 0.0 9.0 8.0 altra o rsrvatório m 7.0 6.0 5.0.0.0.0.0 0.0-7.00E-0-6.00E-0-5.00E-0 -.00E-0 -.00E-0 -.00E-0 -.00E-0 0.00E+00 slocamnto horizontal w m - bas articlaa fixa Solção analítica RMEF RMEFH RMEFG RMEFBA Nós nriqcios Nós não nriqcios Gráfico 6. - Dslocamnto horizontal - bas articlaa fixa. Carnos Engnharia Estrtras, São Carlos, v. 0, n. 7, p. 7-5, 008

6 Gstavo Cabrlli Nirschl & Srgio Prsival Baroncini Pronça 0.0 9.0 8.0 altra o rsrvatório m 7.0 6.0 5.0.0.0.0.0-50 -50-50 -50-50 50 0.0 momnto fltor M y kn*m/m - bas articlaa fixa Solção analítica RMEF RMEFH RMEFG RMEFBA Nós nriqcios Nós não nriqcios Gráfico 6. - Momnto fltor - bas articlaa fixa. 0.0 9.0 8.0 altra o rsrvatório m 7.0 6.0 5.0.0.0.0.0-500 -000-500 -000-500 0 500 0.0 sforço cortant Q y kn/m - bas articlaa fixa Solção analítica RMEF RMEFH RMEFG RMEFBA Nós nriqcios Nós não nriqcios Gráfico 6. - Esforço cortant - bas articlaa fixa. As ifrnças ntr o RMEF os procimntos nriqcios são mais marcants qano s analisam os sforços gráficos 6. 6., á q nos procimntos nriqcios as rivaas as fnçõs nriqcoras xponnciais rsltam aina m fnçõs xponnciais, o q não acontc no RMEF. Po-s afirmar q o RMEFH o RMEFBA aprsntam os mlhors rsltaos. Obsrva-s q o RMEFH tm csto comptacional bm maior o q o RMEF o o RMEFBA. Est fato, q é sprzívl para o caso niimnsional, po vir a sr important nm qacionamnto m as o três imnsõs. Acrscnta-s q o RMEFBA, com apnas lmnto, aprsnta solçõs xatas para slocamnto sforços. Para rsrvatório com bas ngastaa é ncssário m númro maior lmntos para aproximar bm os rsltaos, m comparação com a bas articlaa Carnos Engnharia Estrtras, São Carlos, v. 0, n. 7, p. 7-5, 008

Métoo os lmntos finitos técnicas nriqcimnto a aproximação aplicaos à... 7 fixa. Os rsltaos comparativos são, ntrtanto, qalitativamnt igais aos aprsntaos para ssa última bas. 6. Rsltaos para cúpla sférica Nst xmplo, os rsltaos nméricos obtios com o MEF, aplicao sgno o procimnto scrito no itm., para o problma a cúpla sférica são comparaos com as rspostas analíticas. Os aos a cúpla stão inicaos na tabla 6. a iscrtização aotaa rprsntaa na fig. 6.. Tabla 6. - Daos ntraa tilizaos para a anális a cúpla sférica. PARÂMETRO VALOR Ânglo abrtra gras 60 Raio m 8,00 Espssra constant m 0,05 Coficint Poisson 0,0 Mólo lasticia kn/m,0*0 9 Hc kn/m,00 Mc KN*m/m,00 Figra 6. - Discrtização aotaa para cúpla sférica. Nos gráficos 6.5 a 6.9 stão as crvas para sforço cortant Q, momnto fltor M, sforço tangncial N θ, giro Φ slocamnto horizontal ξ, obtios com o MEF confrontaos com a solção analítica. Carnos Engnharia Estrtras, São Carlos, v. 0, n. 7, p. 7-5, 008

8 Gstavo Cabrlli Nirschl & Srgio Prsival Baroncini Pronça 60.0 ânglo - bas para topo gras 50.0 0.0 0.0 0.0 0.0 -. -0.6-0. 0. 0.9. sforço cortant Q kn/m 0.0 Solção analítica CMEF Posiçõs os nós Gráfico 6.5 - Crva sforço cortant Q para o caso MEF. 60.0 ânglo - bas para topo gras 50.0 0.0 0.0 0.0 0.0-0. 0. 0. 0.7 momnto M kn*m/m 0.0 Solção analítica CMEF Posiçõs os nós Gráfico 6.6 - Crva momnto fltor M para o caso MEF. Carnos Engnharia Estrtras, São Carlos, v. 0, n. 7, p. 7-5, 008

Métoo os lmntos finitos técnicas nriqcimnto a aproximação aplicaos à... 9 60.0 ânglo - bas para topo gras 50.0 0.0 0.0 0.0 0.0-5 -5 5 5 55 75 95 sforço tangncial N θ kn/m 0.0 Solção analítica CMEF Posiçõs os nós Gráfico 6.7 - Crva sforço tangncial N θ para o caso MEF. 60.0 ânglo - bas para topo gras 50.0 0.0 0.0 0.0 0.0-6.00E-06.00E-06.0E-05.0E-05 giro Φ raianos 0.0 Solção analítica CMEF Posiçõs os nós Gráfico 6.8 - Crva giro Φ para o caso MEF. Carnos Engnharia Estrtras, São Carlos, v. 0, n. 7, p. 7-5, 008

50 Gstavo Cabrlli Nirschl & Srgio Prsival Baroncini Pronça 60.0 ânglo - bas para topo gras 50.0 0.0 0.0 0.0 0.0 -.70E-06.00E-07.0E-06.0E-06 6.0E-06 slocamnto ξ m 0.0 Solção analítica CMEF Posiçõs os nós Gráfico 6.9 - Crva slocamnto horizontal ξ para o caso MEF. Os valors N M θ não stão aqi xibios porq são proporcionais a Q M, rspctivamnt vr qs..6.9. Nota-s q as rspostas, xcto momnto fltor M gráfico 6.6, são bm próximas as xatas. Para M a fnção aproximativa rslta ma composição polinômios linars trcira rivaa o sforço cortant, o q xplica a mnor prcisão a ncssia por ma iscrtização mais rfinaa. 7 CONCLUSÕES Nota-s o gran potncial o nriqcimnto com fnçõs spciais para a solção nmérica o problma o rsrvatório cilínrico, principalmnt m rlação à scrição os sforços. A aplicação convncional o MEF, q mprga bas aproximativa hrmitiana é limitaa, particlarmnt no q s rfr à scrição os sforços intrnos gnralizaos. D fato, os gráficos os sforços aprsntam scontinias ntr os lmntos, m razão a mnor orm continia as rivaas a bas aproximativa, irtamnt mprgaas na scrição o momnto fltor a força cortant. As scontinias nos sforços são rzias com os procimntos nriqcimnto propostos, qas saparcno para o RMEFH para o RMEFBA. Cab obsrvar, ntrtanto, q a continia ntr lmntos a bas aproximativa trmina também a continia a aproximação nriqcia, inpnnt o gra nriqcimnto atingio no intrior o lmnto. Portanto, a ficácia os procimntos nriqcimnto pn fortmnt a continia a bas aproximativa tilizaa. D fato, consirano-s bass mito simpls, apsar os sforços srm mais bm rprsntaos plos procimntos nriqcios m comparação com o MEF convncional, a continia ntr os lmntos, para as rivaas, não é ncssariamnt garantia. Nss aspcto o nriqcimnto por bas stnia mostra-s mais ficint, prmitino contornar a qstão Carnos Engnharia Estrtras, São Carlos, v. 0, n. 7, p. 7-5, 008

Métoo os lmntos finitos técnicas nriqcimnto a aproximação aplicaos à... 5 continia, ispnsano a altrnativa m amnto o gra continia a aproximação bas. Em rlação às cúplas sféricas, a variávl aproximaa plas fnçõs bas foi irtamnt m sforço solicitant, moo q a forma convncional o MEF, rcorrno apnas ao rfinamnto a malha mostro-s ficint. 8 AGRADECIMENTOS Agracmos a CAPES, plo apoio financiro, aos fncionários o Dpartamnto Estrtras a USP São Carlos, q forncram toa a strtra ncssária para a ralização as psqisas. 9 REFERÊNCIAS BARROS, F. B. 00. Métoos sm Malha Métoo os Elmntos Finitos Gnralizaos m Anális Não-Linar Estrtras. p. Ts Dotorao - Escola Engnharia São Carlos Univrsia São Palo. BELLUZZI, O. 967. Ciência la Contrccion. v.. Mari: Agilar. BILLINGTON, D. P. 965. Thin shll concrt strctrs. McGraw Hill Book Company, Inc. DUARTE, C. A.; BABUŠKA, I.; ODEN, J. 000. Gnraliz finit lmnt mthos for thr-imnsional strctral mchanics problms. Comptrs & Strctrs, v. 77, n., p. 5. GRAVINA, P. B. J. 957. Toria cálclo as cascas. São Palo. MELENK, J. M.; BABUŠKA, I. 996. Th partition of nity finit lmnt mtho: Basic thory an applications. Comptr Mthos in Appli Mchanics an Enginring, v. 9, p. 89. NIRSCHL, G. C. 005. Métoo os lmntos finitos técnicas nriqcimnto a aproximação aplicaos à anális tbos cilínricos cascas sféricas. São Carlos. Dissrtação Mstrao - Escola Engnharia São Carlos Univrsia São Palo. REDDY, J. N. 99. An introction to th Finit Elmnt Mtho. Nw York. McGraw-Hill. TORRES, I. F. R. 00. Dsnvolvimnto aplicação o métoo os lmntos finitos Gnralizaos m anális triimnsional não-linar sólios. São Carlos. Ts Dotorao - Escola Engnharia São Carlos Univrsia São Palo. ZIENKIEWICZ, O. C. 986. Th Finit lmnt mtho. Lonon; Nw-York. McGraw-Hill. Carnos Engnharia Estrtras, São Carlos, v. 0, n. 7, p. 7-5, 008