Teorema do Limite Central

Teorema do Limite Central Bacharelado em Economia - FEA - Noturno 1 o Semestre 2014 MAE0219 (IME-USP) Teorema do Limite Central 1 o Semestre 2014 1 / 47

Objetivos da Aula Sumário 1 Objetivos da Aula 2 Distribuição Binomial 3 Distribuição de Poisson 4 Distribuição Uniforme 5 Distribuição Exponencial 6 Teorema do Limite Central 7 Exemplos MAE0219 (IME-USP) Teorema do Limite Central 1 o Semestre 2014 2 / 47

Objetivos da Aula Objetivos da Aula Soma de Variáveis Aleatórias O objetivo principal desta aula é estudar empiricamente a distribuição da soma de variáveis aleatórias quantitativas e enunciar o principal teorema da Estatística Teorema do Limite Central. MAE0219 (IME-USP) Teorema do Limite Central 1 o Semestre 2014 3 / 47

Objetivos da Aula Notação Soma de Variáveis Aleatórias Vamos supor X 1,...,X n variáveis aleatórias independentes com mesma distribuição de média µ e variância σ 2 finitas. Vamos estudar a distribuição da soma X = X 1 + +X n à medida que n cresce. Ou seja, vamos construir histogramas para a distribuição de X para diferentes valores de n. MAE0219 (IME-USP) Teorema do Limite Central 1 o Semestre 2014 4 / 47

Distribuição Binomial Sumário 1 Objetivos da Aula 2 Distribuição Binomial 3 Distribuição de Poisson 4 Distribuição Uniforme 5 Distribuição Exponencial 6 Teorema do Limite Central 7 Exemplos MAE0219 (IME-USP) Teorema do Limite Central 1 o Semestre 2014 5 / 47

Distribuição Binomial Distribuição Binomial Distribuição Binomial A distribuição binomial pode ser obtida através de n ensaios independentes de Bernoulli. Isto é, se X i Be(p) (i = 1,...,n), então X = X 1 + +X n B(n, p). Temos ainda que E(X) = np e Var(X) = np(1 p). MAE0219 (IME-USP) Teorema do Limite Central 1 o Semestre 2014 6 / 47

Distribuição Binomial Histogramas Distribuição Binomial Descrição A seguir serão construídos histogramas para a distribuição de X B(n, p) variando-se o número de ensaios n e também a probabilidade de sucesso p. MAE0219 (IME-USP) Teorema do Limite Central 1 o Semestre 2014 7 / 47

Distribuição Binomial Histogramas B(n, p) para n = 10 p=0,10 p=0,30 0.0 0.1 0.2 0.3 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0.00 0.05 0.10 0.15 0.20 0.25 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0.00 0.05 0.10 0.15 0.20 p=0,50 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0.00 0.05 0.10 0.15 0.20 0.25 0.30 p=0,80 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 MAE0219 (IME-USP) Teorema do Limite Central 1 o Semestre 2014 8 / 47

Distribuição Binomial Histogramas B(n, p) para n = 30 p=0,10 p=0,30 0.00 0.05 0.10 0.15 0.20 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 11 13 0.00 0.05 0.10 0.15 0 2 4 6 8 10 13 16 19 22 p=0,50 p=0,80 0.00 0.04 0.08 0.12 0 3 6 9 12 15 18 21 24 27 30 0.00 0.05 0.10 0.15 0 3 6 9 12 16 20 24 28 MAE0219 (IME-USP) Teorema do Limite Central 1 o Semestre 2014 9 / 47

Distribuição Binomial Histogramas B(n, p) para n = 50 0.00 0.05 0.10 0.15 p=0,10 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 0.00 0.02 0.04 0.06 0.08 0.10 0.12 p=0,30 0 3 6 9 12 15 18 21 24 27 30 p=0,50 p=0,80 0.00 0.02 0.04 0.06 0.08 0.10 0 3 6 9 13 18 23 28 33 38 43 0.00 0.04 0.08 0.12 0 4 8 13 19 25 31 37 43 49 MAE0219 (IME-USP) Teorema do Limite Central 1 o Semestre 2014 10 / 47

Distribuição Binomial Conclusões Conclusões Nota-se pelos gráficos que à medida que n cresce a distribuição de X B(n, p) se aproxima da distribuição de Y N(µ X,σX 2 ) em que µ x = np e σx 2 = np(1 p). MAE0219 (IME-USP) Teorema do Limite Central 1 o Semestre 2014 11 / 47

Distribuição de Poisson Sumário 1 Objetivos da Aula 2 Distribuição Binomial 3 Distribuição de Poisson 4 Distribuição Uniforme 5 Distribuição Exponencial 6 Teorema do Limite Central 7 Exemplos MAE0219 (IME-USP) Teorema do Limite Central 1 o Semestre 2014 12 / 47

Distribuição de Poisson Distribuição de Poisson Definição Se X segue distribuição de Poisson de parâmetro λ. Isto é, se X P(λ), então a função de probabilidade de X fica dada por P(X = x) = e λ λ x, x! em que x = 0, 1,... Temos ainda que E(X) = λ e Var(X) = λ. MAE0219 (IME-USP) Teorema do Limite Central 1 o Semestre 2014 13 / 47

Distribuição de Poisson Histogramas Distribuição de Poisson Descrição A seguir serão construídos histogramas para a distribuição de X = X 1 + +X n P(nλ), variando-se m = nλ, em que X i P(λ) independentes (i = 1,...,n). MAE0219 (IME-USP) Teorema do Limite Central 1 o Semestre 2014 14 / 47

Distribuição de Poisson Histogramas P(m) m=1 m=5 Densidade 0.0 0.2 0.4 0.6 Densidade 0.00 0.05 0.10 0.15 0 1 2 3 4 5 x 0 2 4 6 8 10 12 14 x m=10 m=30 Densidade 0.00 0.04 0.08 0.12 Densidade 0.00 0.02 0.04 0.06 5 10 15 20 x 15 20 25 30 35 40 45 50 x MAE0219 (IME-USP) Teorema do Limite Central 1 o Semestre 2014 15 / 47

Distribuição de Poisson Conclusões Conclusões Nota-se pelos gráficos que à medida que m cresce a distribuição de X P(m) se aproxima da distribuição de Y N(µ X,σX 2 ) em que µ x = m e σx 2 = m. MAE0219 (IME-USP) Teorema do Limite Central 1 o Semestre 2014 16 / 47

Distribuição Uniforme Sumário 1 Objetivos da Aula 2 Distribuição Binomial 3 Distribuição de Poisson 4 Distribuição Uniforme 5 Distribuição Exponencial 6 Teorema do Limite Central 7 Exemplos MAE0219 (IME-USP) Teorema do Limite Central 1 o Semestre 2014 17 / 47

Distribuição Uniforme Distribuição Uniforme Definição Vamos supor que X é uma variável aleatória com distribuição uniforme no intervalo [a,b] (X U[a, b]), então f(x) = e f(x) = 0 em caso contrário. 1 (b a), a x b, MAE0219 (IME-USP) Teorema do Limite Central 1 o Semestre 2014 18 / 47

Distribuição Uniforme Distribuição Uniforme Definição Vamos supor que X é uma variável aleatória com distribuição uniforme no intervalo [a,b] (X U[a, b]), então f(x) = e f(x) = 0 em caso contrário. 1 (b a), a x b, Esperança e Variância Temos que E(X) = a+b 2 e Var(X) = (b a)2. 12 MAE0219 (IME-USP) Teorema do Limite Central 1 o Semestre 2014 18 / 47

Distribuição Uniforme Distribuição Uniforme U[1, 5] f(x) 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0 1 2 3 4 5 6 x MAE0219 (IME-USP) Teorema do Limite Central 1 o Semestre 2014 19 / 47

Distribuição Uniforme Histogramas Distribuição Uniforme Descrição Vamos supor que X i U[1, 5] independentes (i = 1,...,n). A seguir serão construídos histogramas para a distribuição de X = X 1 +...+X n variando-se o tamanho amostral n. MAE0219 (IME-USP) Teorema do Limite Central 1 o Semestre 2014 20 / 47

Distribuição Uniforme Histogramas Soma de Uniformes n=10 n=30 Densidade 0.00 0.02 0.04 0.06 0.08 0.10 0.12 Densidade 0.00 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 20 25 30 35 40 Soma 70 80 90 100 110 Soma n=50 n=100 Densidade 0.00 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 Densidade 0.000 0.010 0.020 0.030 120 130 140 150 160 170 180 Soma 270 280 290 300 310 320 330 Soma MAE0219 (IME-USP) Teorema do Limite Central 1 o Semestre 2014 21 / 47

Distribuição Uniforme Conclusões Conclusões Nota-se pelos gráficos que à medida que n cresce a distribuição de X = X 1 + +X n, se aproxima da distribuição de Y N(µ X,σX 2 ) em que µ x = n(1+4) 2 = 5n 2 σ 2 X = n(4 1)2 12 = 9n 12 MAE0219 (IME-USP) Teorema do Limite Central 1 o Semestre 2014 22 / 47

Distribuição Exponencial Sumário 1 Objetivos da Aula 2 Distribuição Binomial 3 Distribuição de Poisson 4 Distribuição Uniforme 5 Distribuição Exponencial 6 Teorema do Limite Central 7 Exemplos MAE0219 (IME-USP) Teorema do Limite Central 1 o Semestre 2014 23 / 47

Distribuição Exponencial Distribuição Exponencial Definição Se X é uma variável aleatória com distribuição exponencial de parâmetro λ > 0, a função densidade de probabilidade de X é definida por f(x) = λe λx, em que x > 0. Notação X Exp(λ). MAE0219 (IME-USP) Teorema do Limite Central 1 o Semestre 2014 24 / 47

Distribuição Exponencial Distribuição Exponencial Definição Se X é uma variável aleatória com distribuição exponencial de parâmetro λ > 0, a função densidade de probabilidade de X é definida por f(x) = λe λx, em que x > 0. Notação X Exp(λ). Esperança e Variância Temos que E(X) = 1 λ e Var(X) = 1 λ 2. MAE0219 (IME-USP) Teorema do Limite Central 1 o Semestre 2014 24 / 47

Distribuição Exponencial Histogramas Distribuição Exponencial Definição Vamos supor que X i Exp(λ) independentes (i = 1,...,n). A seguir serão construídos histogramas para a distribuição de X = X 1 +...+X n variando-se λ e o tamanho amostral n. MAE0219 (IME-USP) Teorema do Limite Central 1 o Semestre 2014 25 / 47

Distribuição Exponencial Distribuição Exponencail λ = 1 f(x) 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 0 1 2 3 4 5 6 x MAE0219 (IME-USP) Teorema do Limite Central 1 o Semestre 2014 26 / 47

Distribuição Exponencial Histogramas Soma de Exponenciais com λ = 1 n=10 n=30 Densidade 0.00 0.02 0.04 0.06 0.08 0.10 0.12 Densidade 0.00 0.02 0.04 0.06 5 10 15 20 25 Soma 20 30 40 50 Soma n=50 n=100 Densidade 0.00 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 Densidade 0.00 0.01 0.02 0.03 0.04 30 40 50 60 70 80 Soma 80 100 120 140 Soma MAE0219 (IME-USP) Teorema do Limite Central 1 o Semestre 2014 27 / 47

Distribuição Exponencial Distribuição Exponencial λ = 3 f(x) 0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 x MAE0219 (IME-USP) Teorema do Limite Central 1 o Semestre 2014 28 / 47

Distribuição Exponencial Histogramas Soma de Exponenciais com λ = 3 n=10 n=30 Densidade 0.00 0.10 0.20 0.30 Densidade 0.00 0.05 0.10 0.15 0.20 0 2 4 6 8 Soma 6 8 10 12 14 16 Soma n=50 n=100 Densidade 0.00 0.05 0.10 0.15 Densidade 0.00 0.04 0.08 0.12 10 15 20 25 Soma 25 30 35 40 45 Soma MAE0219 (IME-USP) Teorema do Limite Central 1 o Semestre 2014 29 / 47

Distribuição Exponencial Conclusões Conclusões Nota-se pelos gráficos que à medida que n cresce a distribuição de X = X 1 + +X n, se aproxima da distribuição de Y N(µ X,σX 2 ) em que µ x = n 1 λ = n λ σ 2 X = n 1 λ 2 = n λ 2 MAE0219 (IME-USP) Teorema do Limite Central 1 o Semestre 2014 30 / 47

Teorema do Limite Central Sumário 1 Objetivos da Aula 2 Distribuição Binomial 3 Distribuição de Poisson 4 Distribuição Uniforme 5 Distribuição Exponencial 6 Teorema do Limite Central 7 Exemplos MAE0219 (IME-USP) Teorema do Limite Central 1 o Semestre 2014 31 / 47

Teorema do Limite Central Teorema do Limite Central Enunciado para a Soma Amostral Para variáveis aleatórias X 1,...,X n independentes e com mesma distribuição de média µ e variância σ 2 finitas, a distribuição da soma X = X 1 + +X n se aproxima à medida que n cresce da distribuição de Y N(µ X,σ 2 X ), em que µ x = nµ e σ 2 X = nσ2. MAE0219 (IME-USP) Teorema do Limite Central 1 o Semestre 2014 32 / 47

Teorema do Limite Central Teorema do Limite Central Aproximação para n Grande em que Z N(0, 1). P(a X b) = P(a Y b) ( a nµ = P σ n Z b nµ ) σ, n MAE0219 (IME-USP) Teorema do Limite Central 1 o Semestre 2014 33 / 47

Teorema do Limite Central Teorema do Limite Central Média Amostral Para a média amostral X = X 1+ +X n n temos que E( X) = E(X 1)+ +E(X n ) n = nµ n = µ e Var( X) = Var(X 1)+ +Var(X n ) n 2 = nσ2 n 2 = σ2 n. MAE0219 (IME-USP) Teorema do Limite Central 1 o Semestre 2014 34 / 47

Teorema do Limite Central Teorema do Limite Central Enunciado para a Média Amostral Para variáveis aleatórias X 1,...,X n independentes e com mesma distribuição de média µ e variância σ 2 finitas, a distribuição da média amostral X = X 1 + +X n n se aproxima à medida que n cresce da distribuição de Y N(µ X,σ 2 X), em que µ X = µ e σ 2 X = σ2 n. MAE0219 (IME-USP) Teorema do Limite Central 1 o Semestre 2014 35 / 47

Teorema do Limite Central Teorema do Limite Central Aproximação para n Grande em que Z N(0, 1). P(a X b) = P(a Y b) ( a µ = P σ/ n Z b µ ) σ/, n MAE0219 (IME-USP) Teorema do Limite Central 1 o Semestre 2014 36 / 47

Exemplos Sumário 1 Objetivos da Aula 2 Distribuição Binomial 3 Distribuição de Poisson 4 Distribuição Uniforme 5 Distribuição Exponencial 6 Teorema do Limite Central 7 Exemplos MAE0219 (IME-USP) Teorema do Limite Central 1 o Semestre 2014 37 / 47

Exemplos Exemplo 1 Exemplo 1 Uma loja recebe em média 16 clientes por dia com desvio padrão de 4 clientes. Calcule aproximadamente a probabilidade de num período de 30 dias a loja receber mais do que 500 clientes. Calcule também a probabilidade aproximada de nesse mesmo período a média de clientes ultrapassar a 18 clientes. MAE0219 (IME-USP) Teorema do Limite Central 1 o Semestre 2014 38 / 47

Exemplos Exemplo 1 Dados do Problema Seja U:número de clientes que a loja recebe num dia. Temos que E(U) = µ = 16 Var(U) = σ 2 = 4 2 = 16. MAE0219 (IME-USP) Teorema do Limite Central 1 o Semestre 2014 39 / 47

Exemplos Exemplo 1 Dados do Problema Seja U:número de clientes que a loja recebe num dia. Temos que E(U) = µ = 16 Var(U) = σ 2 = 4 2 = 16. Soma Amostral Seja X:número de clientes que a loja recebe em 30 dias. Temos que µ X = n µ = 30 16 = 480 σx 2 = n σ 2 = 30 16 = 480 σ X = 480 = 21, 91. MAE0219 (IME-USP) Teorema do Limite Central 1 o Semestre 2014 39 / 47

Exemplos Exemplo 1 Média Amostral Seja X:número médio de clientes que a loja recebe em 30 dias. Temos que µ X = µ = 16 σ 2 X = σ2 n = 16 30 = 0, 533 σ X = 0, 533 = 0, 73. MAE0219 (IME-USP) Teorema do Limite Central 1 o Semestre 2014 40 / 47

Exemplos Exemplo 1 A probabilidade da loja receber mais do que 500 clientes em 30 dias fica dada por ( P(X 500) = P Z 500 µ ) X σ X ( = P Z 500 480 ) 21, 91 = P(Z 0, 91) = 1 P(Z 0, 91) = 1 A(0, 91) = 1 0, 8186 = 0, 1814(18, 14%). MAE0219 (IME-USP) Teorema do Limite Central 1 o Semestre 2014 41 / 47

Exemplos Exemplo 1 A probabilidade da média de clientes ultrapassar 18 clientes em 30 fica dada por ) P( X 18) = P (Z 18 µ X σ X ( = P Z 18 16 ) 0, 73 = P(Z 2, 74) = 1 P(Z 2, 74) = 1 A(2, 74) = 1 0.9969 = 0, 0031(0, 31%). MAE0219 (IME-USP) Teorema do Limite Central 1 o Semestre 2014 42 / 47

Exemplos Exemplo 2 Exemplo 2 Sabe-se que numa corrida de revesamento de 42 km com 8 atletas (cada um correndo 5,25 km) o tempo que cada atleta demora para completar o percurso tem distribuição aproximadamente normal de média 30 minutos e desvio padrão de 8 minutos. Se 8 atletas são escolhidos ao acaso para um prova, qual a probabilidade da equipe completar o percurso em menos de 3 horas? E em mais de 4 horas? Qual é tempo que apenas 5% das equipes farão abaixo dele? MAE0219 (IME-USP) Teorema do Limite Central 1 o Semestre 2014 43 / 47

Exemplos Exemplo 2 Dados do Problema Seja T :tempo que um atleta demora para completar o percurso. Temos que E(T) = µ = 30 Var(T) = σ 2 = 8 2 = 64. MAE0219 (IME-USP) Teorema do Limite Central 1 o Semestre 2014 44 / 47

Exemplos Exemplo 2 Dados do Problema Seja T :tempo que um atleta demora para completar o percurso. Temos que E(T) = µ = 30 Var(T) = σ 2 = 8 2 = 64. Soma Amostral Seja X:tempo que a equipe (de 8 atletas) demora para completar o percurso. Temos que µ X = n µ = 8 30 = 240 σ 2 X = n σ 2 = 8 64 = 512 σ X = 512 = 22, 63. MAE0219 (IME-USP) Teorema do Limite Central 1 o Semestre 2014 44 / 47

Exemplos Exemplo 2 A probabilidade da equipe completar o percurso em menos de 3 horas (180 minutos) fica dada por ( P(X < 180) = P Z < 180 µ ) X σ ( X = P Z < 180 240 ) 22, 63 = P(Z < 2, 65) = P(Z > 2, 65) = 1 P(z 2, 65) = 1 0, 996 = 0, 004(0, 4%). MAE0219 (IME-USP) Teorema do Limite Central 1 o Semestre 2014 45 / 47

Exemplos Exemplo 2 A probabilidade da equipe completar o percurso em mais de 4 horas (240 minutos) fica dada por ( P(X > 240) = P Z > 240 µ ) X σ ( X = P Z > 240 240 ) 22, 63 = P(Z > 0) = 0, 5(50%). MAE0219 (IME-USP) Teorema do Limite Central 1 o Semestre 2014 46 / 47

Exemplos Exemplo 2 Seja t 0 o tempo superado por 95% das equipes (apenas 5% das equipes fazem abaixo desse tempo). Temos que ( P(X < t 0 ) = P Z < t ) 0 µ X σ ( X = P Z < t ) 0 240 22, 63 = P(Z < a) = 0, 05, em que a = (t 0 240)/22, 63. Pela tabela normal a = 1, 64. Assim, obtemos t 0 = 240 1, 64 22, 63 = 203 minutos. MAE0219 (IME-USP) Teorema do Limite Central 1 o Semestre 2014 47 / 47