CONTEÚDO AOS LEITORES XXVI OLIMPÍADA BRASILEIRA DE MATEMÁTICA 3 Problemas e Soluções da Primeira Fase XXVI OLIMPÍADA BRASILEIRA DE MATEMÁTICA 7 Problemas e Soluções da Seguda Fase XXVI OLIMPÍADA BRASILEIRA DE MATEMÁTICA 9 Problemas e Soluções da Terceira Fase XXVI OLIMPÍADA BRASILEIRA DE MATEMÁTICA 49 Problemas e Soluções da Primeira Fase - Nível Uiversitário XXVI OLIMPÍADA BRASILEIRA DE MATEMÁTICA 55 Problemas e Soluções da Seguda Fase - Nível Uiversitário XXVI OLIMPÍADA BRASILEIRA DE MATEMÁTICA 64 Premiados AGENDA OLÍMPICA 68 COORDENADORES REGIONAIS 69
AOS LEITORES O Programa Nacioal de Olimpíadas de Matemática tem crescido muito os últimos aos, cotado, atualmete, com a adesão ao Programa de mais de 5.000 escolas públicas e privadas de todo o Brasil, o que implica em uma participação a Olimpíada Brasileira de Matemática de cerca de 50.000 joves estudates e seus professores. Além disso, o Programa Nacioal de Olimpíadas de Matemática cota com a colaboração de professores do esio básico de todo o Brasil e de professores uiversitários de mais de 80 istituições de esio superior. Eles participam de todas as atividades da Olimpíada Brasileira de Matemática, em atividades de coordeação, divulgação, treiameto de aluos, aperfeiçoameto de professores e aplicação das distitas fases da Olimpíada Brasileira de Matemática. Em relação à promoção do esio da Matemática em ível regioal, temos alcaçado resultados extremamete positivos: através do apoio a Olimpíadas Regioais coseguimos atigir um uiverso de cerca de 50.000 estudates e seus professores, os quais são desafiados à resolução de problemas que estimulam o raciocíio e a criatividade. No que se refere à participação em competições iteracioais, o Programa Nacioal de Olimpíadas também tem muito a comemorar. Em 005 os resultados são excepcioais: Excelete resultado a Olimpíada de Matemática do Coe Sul ( medalhas de Ouro, medalhas de Prata); o primeiro estudate Latio-Americao premiado com Medalha de Ouro Especial (Grad First Prize) e duas outras medalhas de Ouro a Olimpíada Iteracioal para Estudates Uiversitários (IMC), mais uma Medalha de Ouro a Olimpíada Iteracioal de Matemática (IMO) e ovamete quatro medalhas de ouro a Olimpíada Ibero-americaa de Matemática. Todos estes resultados acioais e iteracioais demostram que, além de iflueciar positivamete o esio da Matemática em istituições de esio fudametal, médio e superior de todo o país, coseguimos detectar joves muito taletosos que são estimulados a seguir uma carreira cietífica, o que é fudametal para o crescimeto da Ciêcia e Tecologia o Brasil. Os editores EUREKA! N, 005
XXVI OLIMPÍADA BRASILEIRA DE MATEMÁTICA Problemas e Soluções da Primeira Fase PROBLEMAS NÍVEL. Calcule o valor de 997 + 004 + 996 + 4003. A) 0000 B) 000 C) 0900 D) 000 E) 3000. Qual dos úmeros a seguir é ímpar? A) 7 8 B) 37 3 C) 9 36 D) 44 : 36 E) 7 6 3. Quato é 6 + 6 + 6 + 6 4 4? A) 0 B) C) 4 D) 4 E) 4 4 4. O 0% de 40 é igual a A) 5 B) 8 C) 0 D) E) 0 004 + 004 5. Simplificado a fração, obtemos: 004 + 004 + 004 A) 004 B) 3 C) D) 355 004 3 E) 7 6. Os aluos de uma escola participaram de uma excursão, para a qual dois ôibus foram cotratados. Quado os ôibus chegaram, 57 aluos etraram o primeiro ôibus e apeas 3 o segudo. Quatos aluos devem passar do primeiro para o segudo ôibus para que a mesma quatidade de aluos seja trasportada os dois ôibus? A) 8 B) 3 C) 6 D) 6 E) 3 7. Uma professora tem 37 balas para dar a seus 3 aluos. Qual é o úmero míimo de balas a mais que ela precisa coseguir para que todos os aluos recebam a mesma quatidade de balas, sem sobrar ehuma para ela? A) B) 0 C) D) 3 E) 4 EUREKA! N, 005 3
8. Dezoito quadrados iguais são costruídos e sombreados como mostra a figura. Qual fração da área total é sombreada? A) 7 8 B) 4 9 C) 3 D) 5 9 E) 9. O preço de uma corrida de táxi é igual a R$,50 ("badeirada"), mais R$0,0 por cada 00 metros rodados. Teho apeas R$0,00 o bolso. Logo teho diheiro para uma corrida de até: A),5 km B) 5,0 km C) 7,5 km D) 0,0 km E),5 km 0. Um arquiteto apreseta ao seu cliete cico platas diferetes para o projeto de ajardiameto de um terreo retagular, ode as lihas cheias represetam a cerca que deve ser costruída para proteger as flores. As regiões claras são todas retagulares e o tipo de cerca é o mesmo em todos os casos. Em qual dos projetos o custo da costrução da cerca será maior? A) B) C) D) E). 08 criaças da 5ª e 6ª séries vão fazer um passeio uma cavera. São formados grupos iguais com mais de 5 porém meos de 0 aluos. Com relação ao úmero de estudates por grupo, de quatas formas diferetes eles podem ser feitos? A) B) 8 C) 5 D) 4 E) 3. deseho ao lado mostra o mapa de um país (imagiário) costituído por cico estados. Desejase colorir esse mapa com as cores verde, azul e amarela, de modo que dois estados vizihos ão possuam a mesma cor. De quatas maeiras diferetes o mapa pode ser pitado? A) B) 6 C) 0 D) 4 E) 0 EUREKA! N, 005 4
3. Um artesão começa a trabalhar às 8h e produz 6 braceletes a cada vite miutos; seu auxiliar começa a trabalhar uma hora depois e produz 8 braceletes do mesmo tipo a cada meia hora. O artesão pára de trabalhar às h mas avisa ao seu auxiliar que este deverá cotiuar trabalhado até produzir o mesmo que ele. A que horas o auxiliar irá parar? A) h B) h30mi C) 3h D) 3h30mi E) 4h30mi 4. algarismo das uidades do úmero 3 5 97 99 é A) B) 3 C) 5 D) 7 E) 9 5. Dois quadrados, cada um com área 5cm, são colocados lado a lado para formar um retâgulo. Qual é o perímetro do retâgulo? A) 30 cm B) 5 cm C) 50 cm D) 0 cm E) 5 cm 6. Se girarmos o petágoo regular, ao lado, de um âgulo de 5, em toro do seu cetro, o setido horário, qual figura será obtida? A) B) C) D) E) 7. Os resultados de uma pesquisa das cores de cabelo de 00 pessoas são mostrados o gráfico abaixo. castaho 30% preto 4% ruivo 6% loiro Quatas dessas pessoas possuem o cabelo loiro? A) 60 B) 30 C) 360 D) 400 B E) 840 EUREKA! N, 005 5
8. Um cubo pode ser costruído, a partir dos dois pedaços de papelão apresetados em uma das alterativas a seguir, bastado apeas dobrar as lihas tracejadas e uir as lihas cotíuas. Esses dois pedaços são: A) B) C) D) E) 9. Ao somar cico úmeros cosecutivos em sua calculadora, Esmeralda ecotrou um úmero de 4 algarismos: 0 0 *. O último algarismo ão está ítido, pois o visor da calculadora está arrahado, mas ela sabe que ele ão é zero. Este algarismo só pode ser: A) 5 B) 4 C) 3 D) E) 9 0. Sobre uma mesa estão três caixas e três objetos, cada um em uma caixa diferete: uma moeda, um grampo e uma borracha. Sabe-se que A caixa verde está à esquerda da caixa azul; A moeda está à esquerda da borracha; A caixa vermelha está à direita do grampo; A borracha está à direita da caixa vermelha. Em que caixa está a moeda? A) Na caixa vermelha. B) Na caixa verde. C) Na caixa azul. D) As iformações forecidas são isuficietes para se dar uma resposta. E) As iformações forecidas são cotraditórias. EUREKA! N, 005 6
. Um feirate vede batatas e, para pesar, utiliza uma balaça de dois pratos, um peso de kg, um peso de 3 kg e um peso de 0 kg. Cosidere a seguite afirmação: Este feirate cosegue pesar (com uma pesagem) quilogramas de batatas. Quatos valores positivos de toram essa afirmação verdadeira, supodo que ele pode colocar pesos os dois pratos? A) 7 B) 0 C) D)3 E)4. O mapa ao lado mostra um cojuto residecial ode as casas, umeradas, são iterligadas por 3 ruelas. O vededor Zé Ruela, que mora a casa 8, plaeja passar por todas as outras casas e retorar à sua, percorredo o meor úmero possível de ruelas. Ele deixará de camihar por quatas ruelas? A) 5 B) 0 C) 3 D) E) 5 9 3 4 6 7 8 0 3. O arrajo a seguir, composto por 3 hexágoos, foi motado com varetas, todas com comprimeto igual ao lado do hexágoo. Quatas varetas, o míimo, são ecessárias para motar o arrajo? A) 3 B) 3 C) D) 3 E) 5 4. Observe a figura: Duas das figuras abaixo represetam o objeto acima colocado em outras posições. I) II) EUREKA! N, 005 7
III) IV) Elas são: A) I e II B) I e IV C) II e IV D) I e III E) II e III 5. Etre 986 e 989, época em que vocês aida ão tiham ascido, a moeda do país era o cruzado (Cz$). Com a imesa iflação que tivemos, a moeda foi mudada algumas vezes: tivemos o cruzado ovo, o cruzeiro, o cruzeiro real e, fialmete, o real. A coversão etre o cruzado e o real é: real =.750.000.000 cruzados Imagie que a moeda ão tivesse mudado e que João, que gaha hoje 640 reais por mês, tivesse que receber seu salário em otas ovas de cruzado. Se uma pilha de 00 otas ovas tem,5 cm de altura, o salário em cruzados de João faria uma pilha de altura: A) 6,4 km B) 64 km C) 6 400 km D) 64 000 km E) 640 000 km PROBLEMAS NÍVEL. Veja o problema No. 3 do Nível. Se m e são iteiros ão egativos com m <, defiimos m como a soma dos iteiros etre m e, icluido m e. Por exemplo, 5 8 = 5 + 6 + 7 + 8 = 6. 6 O valor umérico de é: 4 6 A) 4 B) 6 C) 8 D) 0 E) 3. Etre 986 e 989, época em que vocês aida ão tiham ascido, a moeda do país era o cruzado (Cz$). Com a imesa iflação que tivemos, a moeda foi mudada algumas vezes: tivemos o cruzado ovo, o cruzeiro, o cruzeiro real e, fialmete, o real. A coversão etre o cruzado e o real é: EUREKA! N, 005 8
real =.750.000.000 cruzados Imagie que a moeda ão tivesse mudado e que João, que gaha hoje 640 reais por mês, tivesse que receber seu salário em otas ovas de cruzado. Se uma pilha de 00 otas ovas tem,5 cm de altura, o salário em cruzados de João faria uma pilha de altura: A) 6,4km B) 64km C) 6400km D) 64000km E) 640000km 4. Veja o problema No. 3 do Nível. 5. Veja o problema No. 4 do Nível. 6. Veja o problema No. 6 do Nível. 7. Há 00 balas de baaa e 00 balas de maçã uma caixa. Lara tira, sem olhar o sabor, duas balas da caixa. Seja p a probabilidade de as duas balas serem do mesmo sabor e seja q a probabilidade de as duas balas serem de sabores diferetes. Quato vale a difereça etre p e q? A) 0 B) C) D) E) 004 003 003 00 8. O perímetro de um retâgulo é 00 e a diagoal mede x. Qual é a área do retâgulo? x A) 65 x B) 65 x C) 50 x D) 50 x E) 500 9. Veja o problema No. 9 do Nível. 004 0. Para quatos iteiros positivos m o úmero é um iteiro positivo? m A) um B) dois C) três D) quatro E) mais do que quatro. Se x + y = 8 e xy = 5, qual é o valor de x + 6xy + y? A) 64 B) 09 C) 0 D) 4 E) 54 EUREKA! N, 005 9
. Dois espelhos formam um âgulo de 30 o o poto V. Um raio de luz, vido de uma fote S, é emitido paralelamete a um dos espelhos e é refletido pelo outro espelho o poto A, como mostra a figura. Depois de uma certa quatidade de reflexões, o raio retora a S. Se AS e AV têm metro de comprimeto, a distâcia percorrida pelo raio de luz, em metros, é S A A) B) + 3 C) 3 E) 5 3 30 V + + D) ( + 3) 3. Na figura, quato vale x? A) 6 B) C) 8 D) 0 E) 4 5x 3x 6x x 4x 4. Se ( x ) = 4 x + 64, etão x é igual a: A) B) C) D) E) 3 5. Qual é o maior valor da soma dos algarismos da soma dos algarismos de um úmero de três algarismos? A) 7 B) 8 C) 9 D) 0 E) 6. Veja o problema No. 0 do Nível. 7. Um poto P pertece ao iterior de um quadrado com 0 cm de lado. No máximo, quatos potos da borda do quadrado podem estar a uma distâcia de 6 cm do poto P? A) B) C) 4 D) 6 E) 8 EUREKA! N, 005 0
8. Veja o problema No. 8 do Nível. Sociedade Brasileira de Matemática 9. No triâgulo PQR, a altura PF divide o lado QR em dois segmetos de medidas QF = 9 e RF = 5. Se PR = 3, qual é a medida de PQ? A) 5 B) 0 C) 5 D) 0 E) 5 0. Veja o problema No. 0 do Nível.. No deseho ao lado, o quadrilátero ABCD é um quadrado de lado 3 cm e os triâgulos ABF e AED são ambos equiláteros. Qual é a área da região destacada? A) cm B),5 cm A) 3 cm D) 4,5 cm E),5 cm B C F A D E. Uma folha quadrada foi cortada em 4 quadrados meores, dos quais um tem área maior do que cm e os demais têm área de cm. Qual é a medida do lado da folha? A) 6 cm B) cm C) cm D) 9 cm E) 0 cm 3. Eu plaejava fazer um curral quadrado, com uma certa área, usado uma certa quatidade de cerca de arame farpado. Descobri, porém, que teho 0% a meos de cerca do que esperava. Por esta razão, a área cercada será: A) 5% meor B) 0% meor C) 9% meor D) 0% meor E) 5% meor 4. Veja o problema No. 3 do Nível. 0. Esmeralda, a digitadora, tetou digitar um úmero de seis algarismos, mas os dois algarismos ão apareceram (a tecla devia estar com defeito). O que apareceu foi 004. Quatos são os úmeros de seis algarismos que ela pode ter tetado digitar? A) 4 B) 8 C) 0 D) 5 E) 0 EUREKA! N, 005
PROBLEMAS NÍVEL 3. A fução f é dada pela tabela a seguir. 3 4 5 f(x) 4 3 5 Por exemplo, f() =. Quato vale f( f(...( f( f (4))...))? 004 vezes A) B) C) 3 D) 4 E) 5. Seja AB um segmeto de comprimeto 6, e sejam C e D potos sobre o segmeto AB tais que AC = e AD = 8. Sejam E e F potos sobre uma semicircuferêcia de diâmetro AB, sedo EC e FD perpediculares a AB. Quato mede o segmeto EF? A) 5 B) 5 C) 7 D) 7 E) 3. As alturas de um triâgulo medem, 5 e 0. O maior âgulo itero do triâgulo mede A) 7 o B) 75 o C) 90 o D) 08 o E) 0 o 4. Esmeralda, a digitadora, tetou digitar um úmero de seis algarismos, mas os dois algarismos ão apareceram (a tecla devia estar com defeito). O que apareceu foi 004. Quatos são os úmeros de seis algarismos que ela pode ter tetado digitar? A) 4 B) 8 C) 0 D) 5 E) 0 5. O produto dos úmeros que aparecem as alterativas icorretas dessa questão é um cubo perfeito. Assiale a alterativa correta. A) 4 B) 8 C) 8 D) 54 E) 9 6. Qual é o meor iteiro positivo para o qual qualquer subcojuto de elemetos de {,,3,,0} cotém dois úmeros cuja difereça é 8? A) B) 8 C) D) 3 E) 5 EUREKA! N, 005
7. Sejam e 3 00 a = + + + + 3 5 00 3 00 b = + + + +. 3 5 7 003 Qual é o iteiro mais próximo de a b? A) 500 B) 50 C) 999 D) 000 E) 00 8. Uma ampulheta é formada por dois coes idêticos. Iicialmete, o coe superior está cheio de areia e o coe iferior está vazio. A areia flui do coe superior para o iferior com vazão costate. O coe superior se esvazia em exatamete uma hora e meia. Quato tempo demora até que a altura da areia o coe iferior seja metade da altura da areia o coe superior? A) 30mi B) 0h C) h03mi0s D) h0mis E) h4mi30s 9. A fução real f, defiida os iteiros, satisfaz f() ( + )f( ) = ( + 3), para todo iteiro. Quato vale f(0)? A) 7 B) 0 C) D) E) 9 0. Com três algarismos distitos a, b e c, é possível formar 6 úmeros de dois algarismos distitos. Quatos cojutos {a, b, c} são tais que a soma dos 6 úmeros formados é 484? A) Um B) Dois C) Três D) Quatro E) Mais que quatro. Dois cubos têm faces pitadas de ocre ou mageta. O primeiro cubo tem cico faces ocres e uma face mageta. Quado os dois cubos são laçados, a probabilidade de as faces viradas para cima dos dois cubos serem da mesma cor (sim, ocre e mageta são cores!) é /. Quatas faces ocres tem o segudo cubo? A) B) C) 3 D) 4 E) 5. Veja o problema No. 0 do Nível. 3. Veja o problema No. do Nível. EUREKA! N, 005 3
4. Para iteiro positivo, defiimos! (lê-se fatorial ) o produto de todos os iteiros positivos meores ou iguais a. Por exemplo, 6! = 3 4 5 6. Se! = 5 3 6 5 3 7 3, etão é igual a A) 3 B) 4 C) 5 D) 6 E) 7 5. Costrói-se o quadrado ABXY sobre o lado AB do heptágoo regular ABCDEFG, exteriormete ao heptágoo. Determie a medida do âgulo BXC ˆ, em radiaos. π A) B) 3 π 7 7 π C) 4 D) 3 π 4 E) 3 π 8 6. O cojuto das raízes reais da equação x+ x + x x = é A) {} B) {, } C) [, ] D) ], [ E) {} 7. No deseho ao lado, os segmetos AB e CD são perpediculares ao segmeto BC. Sabedo que o poto M pertece ao segmeto AD e que o triâgulo BMC é retâgulo ão isósceles, qual é a área do triâgulo ABM? A M D 4 A) B) 6 5 C) 7 5 D) 8 5 E) 9 5 B 6 C 8. Veja o problema No. 3 do Nível 9. O doo de uma loja empilhou vários blocos medido 0,8m x 0,8m x 0,8m o cato da loja e ecostados uma parede de vidro que dá para a rua, coforme mostra a figura abaixo. Quatos blocos o máximo, uma pessoa de,80m de altura que está do lado de fora da loja pode exergar? Obs. Cosideramos que uma pessoa pode exergar uma caixa se cosegue ver uma pequea região de área positiva de sua superfície. EUREKA! N, 005 4
A) 3 B) 4 C) 5 D) 6 E) 7 0. Veja o problema No. 4 do Nível.. Numa prova para uma sala com 30 aluos, a média aritmética das 0 piores otas é 3 e a média aritmética das 0 melhores otas é 9. O meor valor possível e o maior valor possível para a média da sala são, respectivamete: A) 6 e 7 B) 5 e 7 C) 4 e 6 D) 3 e 9 E) 4 e 8. Veja o problema No. 0 do Nível. 3. Veja o Problema No. 5 do Nível. 4. Esmeralda escreveu (corretamete!) todos os úmeros de a 999, um atrás do outro: 345678903 997998999. Quatas vezes aparece o agrupameto, esta ordem? A) B) C) 3 D) 4 E) 5 5. Um feirate vede batatas e, para pesar, utiliza uma balaça de dois pratos, um peso de kg, um peso de 3 kg e um peso de 0 kg. Cosidere a seguite afirmação: Este feirate cosegue pesar (com uma pesagem) quilogramas de batatas. Quatos valores positivos de toram essa afirmação verdadeira, supodo que ele pode colocar pesos os dois pratos? A) 7 B) 0 C) D)3 E)4 EUREKA! N, 005 5
GABARITO NÍVEL (5 a. e 6 a. séries) ) B 6) B ) D 6) B ) D ) E 7) A ) B 7) C ) E 3) A 8) B 3) D 8) E 3) B 4) B 9) C 4) C 9) A 4) C 5) D 0) C 5) A 0) A 5) D NÍVEL (7 a. e 8 a. séries) ) A 6) B ) D 6) C ) D ) C 7) C ) B 7) E ) C 3) D 8) C 3) C 8) E 3) C 4) B 9) A 4) E 9) C 4) D 5) C 0) B 5) D 0) A 5) D NÍVEL 3 (Esio Médio) ) D 6) D ) C 6) C ) B ) D 7) B ) B 7) B ) A 3) C 8) C 3) B 8) E 3) D 4) D 9) A 4) D 9) B 4) C 5) D 0) B 5) E 0) B 5) D EUREKA! N, 005 6
XXVI OLIMPÍADA BRASILEIRA DE MATEMÁTICA Problemas e Soluções da Seguda Fase PROBLEMAS NÍVEL PARTE A (Cada problema vale 3 potos) 0. O úmero 000 0 tem 0 zeros. Qual é a soma dos algarismos do úmero que obtemos como quociete quado dividimos esse úmero por 3? 0. A soma de dois úmeros primos a e b é 34 e a soma dos primos a e c é 33. Quato vale a + b + c? 03. No deseho, os quadriláteros ABCD, EFAG e IAJH são retâgulos e H é poto médio de AE. Calcule a razão etre a área do retâgulo ABCD e o triâgulo AHI. A I J H G F B E D C 04. Dizemos que um úmero atural é teimoso se, ao ser elevado a qualquer expoete iteiro positivo, termia com o mesmo algarismo. Por exemplo, 0 é 3 4 teimoso, pois 0,0,0,..., são úmeros que também termiam em zero. Quatos úmeros aturais teimosos de três algarismos existem? 05. Qual é o maior úmero atural meor que 00 cuja soma dos divisores positivos é ímpar? 06. Na multiplicação a seguir, a, b e c são algarismos: Calcule a + b + c. a b b 3 * * * * * * c c 0 EUREKA! N, 005 7
07. Esmeralda, de olhos vedados, retira cartões de uma ura cotedo iicialmete 00 cartões umerados de a 00, cada um com um úmero diferete. Qual é o úmero míimo de cartões que Esmeralda deve retirar para ter certeza de que o úmero do cartão seja um múltiplo de 4? 08. De quatos modos podemos sombrear quatro casas do tabuleiro 4 4abaixo de modo que em cada liha e em cada colua exista uma úica casa sombreada? 09. Jutado cubihos de mesmo volume mas feitos de materiais diferetes - cada cubo braco pesado grama e cada cubo ciza pesado gramas - formou-se um bloco retagular, coforme mostrado a figura abaixo. Qual é a massa, em gramas, desse bloco? 0. Na população de uma espécie rara de 000 aves da floresta amazôica, 98% tiham cauda de cor verde. Após uma misteriosa epidemia que matou parte das aves com cauda verde, esta porcetagem caiu para 95%. Quatas aves foram elimiadas com a epidemia? EUREKA! N, 005 8
PROBLEMAS NÍVEL PARTE B (Cada problema vale 0 potos) PROBLEMA : No deseho abaixo, o triâgulo ABC é retâgulo e os lados do polígoo (região escura) são paralelos ou coicidem com algum dos catetos do triâgulo. A 5 0 x B Calcule x de modo que a área do polígoo seja igual à do triâgulo. PROBLEMA : Esmeralda, a digitadora, costruiu uma tabela com 00 lihas e 00 coluas, preechedo uma casa com, se o úmero da liha da casa divide o úmero da colua e com 0, caso cotrário. Assim, por exemplo, a casa da liha e da colua 4 foi preechida com, porque divide 4 e a casa a liha 3 e da colua 7 foi preechida com 0. C 3 4 3 4 5 6 99 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 a) Qual a soma dos úmeros escritos a liha 5? b) Qual a soma dos úmeros da colua 60? PROBLEMA 3: a) É possível dividir o cojuto {,,,7 } em dois grupos A e B de modo que a soma dos elemetos de A seja igual à soma dos elemetos de B? Justifique. b) É possível dividir o cojuto {,, 3,,9 } em dois grupos C e D de modo que a soma dos elemetos de C seja igual à soma dos elemetos de D? Justifique. EUREKA! N, 005 9
0. Veja o problema No. 6 do Nível. 0. Veja o problema No. 8 do Nível. Sociedade Brasileira de Matemática PROBLEMAS NÍVEL PARTE A (Cada problema vale 3 potos) 03. Qual é a soma dos algarismos do úmero 004 00 998 996 + 36? 04. Veja o problema No. da Parte B do Nível. 05. Um polígoo com 0 lados é chamado icoságoo. Uido-se três dos vértices de um icoságoo regular obtemos triâgulos. Quatos são triâgulos retâgulos? PROBLEMAS NÍVEL PARTE B (Cada problema vale 0 potos) PROBLEMA : (a) É possível dividir o cojuto {,,,7 } em dois grupos A e B de modo que a soma dos elemetos de A seja igual à soma dos elemetos de B? Justifique. (b) É possível dividir o cojuto {,, 3,,9 } em dois grupos C e D de modo que a soma dos elemetos de C seja igual à soma dos elemetos de D? Justifique. PROBLEMA : (a) Simplifique a expressão (b) Certa calculadora tem duas teclas especiais: A e B. A tecla A trasforma o úmero x que está o visor em. A tecla B trasforma o úmero x que está o x visor em x. Pedro tem um úmero o visor e aperta sucessivamete, de forma alterada, as duas teclas: A, B, A, B,. Após 000 operações, o visor mostrava o úmero 004. Que úmero Pedro tiha iicialmete o visor? EUREKA! N, 005 0
PROBLEMA 3: Uma folha de papel retagular ABCD foi dobrada de modo que o vértice B foi levado o poto B sobre o lado AD. A dobra é EF, com E sobre AB e F sobre CD. Sabe-se que AE = 8, BE = 7 e C F = 3. (a) Calcule a medida do segmeto AB. (b) Calcule a medida do lado AD. PROBLEMA 4: Um úmero de 4 algarismos a b c d é chamado de legal quado a soma dos úmeros formados pelos dois primeiros e pelos dois últimos algarismos é igual ao úmero formado pelos algarismos cetrais (ou seja, ab + cd = bc). Por exemplo, 307 é um úmero legal pois 3 + 07 = 30. (a) Qual é o meor úmero legal maior do que 307? (b) Quatos são os úmeros legais de 4 algarismos? PROBLEMAS NÍVEL 3 PROBLEMA : Cada um dos úmeros x, x,..., x 004 pode ser igual a ou a +. Quatos valores iteiros distitos a soma 004 xk xk = xx + x3x4 + x5x6 +... + x003x004 pode assumir? k = PROBLEMA Seja ABCD um trapézio retâgulo de bases AB e CD, com âgulos retos em A e D. Dado que a diagoal meor BD é perpedicular ao lado BC, determie o meor valor possível para a razão CD. AD EUREKA! N, 005
PROBLEMA 3: Os doze aluos de uma turma de olimpíada saíam para jogar futebol todos os dias após a aula de matemática, formado dois times de 6 jogadores cada e jogado etre si. A cada dia eles formavam dois times diferetes dos times formados em dias ateriores. Ao fial do ao, eles verificaram que cada 5 aluos haviam jogado jutos um mesmo time exatamete uma vez. Quatos times diferetes foram formados ao logo do ao? PROBLEMA 4: Determie todas as soluções da equação + =, com e m aturais. PROBLEMA 5: Dizemos que um úmero iteiro positivo é siistro quado a soma de seus fatores primos é igual à soma dos expoetes de sua decomposição em fatores primos. Ecotre todos os úmeros siistros de quatro algarismos. PROBLEMA 6: Sejam H, I e O o ortocetro, o icetro e o circucetro do triâgulo ABC, respectivamete. A reta CI corta o circucírculo de ABC o poto L, distito de C. Sabe-se que AB = IL e AH = OH. Determie os âgulos do triâgulo ABC. m EUREKA! N, 005
SOLUÇÕES SEGUNDA FASE NÍVEL PARTE A Problema 0 0 03 04 05 06 07 08 09 0 Resposta 064 036 03 360 098 00 076 04 6 600 SOLUÇÕES SEGUNDA FASE NÍVEL PARTE B SOLUÇÃO DO PROBLEMA : O polígoo cosiste a reuião de dois retâgulos: um deles tem largura 0 e altura e o outro tem largura 5 e altura x + ; o triâgulo tem catetos de medidas 5 e x +. Como a área do polígoo é igual à área do triâgulo, temos 5( x + ) 0 + 5( x + ) = 40 + 0x + 0 = 5x + 30 5x = 30 x = 6 SOLUÇÃO DO PROBLEMA : a) Cada liha apreseta as coluas cujos úmeros são múltiplos do úmero da liha. Assim, a liha 5 tem as coluas 5, 0, 5, etc. Até 00, existem 0 múltiplos de 5, logo a soma dos úmeros a liha 5 é igual a 0. b) Cada colua apreseta o cruzameto com as lihas cujos úmeros são divisores do úmero da colua. Assim, a soma dos úmeros da colua 60 é igual ao úmero de divisores de 60. Como 60 = 3 5, cocluímos que 60 tem 3.. = divisores. Logo, a soma dos úmeros da colua 60 é. SOLUÇÃO DO PROBLEMA 3: a) A soma total dos elemetos é + + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 = + 4+ 9+ 6+ 5+ 36+ 49= 40. Logo, cada um dos grupos deve coter elemetos que somem 70. Examiado as parcelas, vemos que 49 + + 4 +6 = 70. Assim podemos escrever, por exemplo, A = {,, 4, 7 } e B = {3, 5, 6 }. b) Como + + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 = 40 + 64 + 8 = 85 é ímpar, é impossível dividir em dois grupos de mesma soma. SOLUÇÕES SEGUNDA FASE NÍVEL PARTE A Problema 0 0 03 04 05 Resposta 00 04 048 006 80 EUREKA! N, 005 3
SOLUÇÕES SEGUNDA FASE NÍVEL PARTE B SOLUÇÃO DO PROBLEMA :Ver o problema 3 Parte B do Nível SOLUÇÃO DO PROBLEMA : x a) = = = = = + x = x x x x x x x x x x x 003 = 004 = 004 004x 004 = x= x x 004 SOLUÇÃO DO PROBLEMA 3: a) A partir da dobra da folha podemos ver que B'E = BE = 7, e como AE = 8, aplicado o teorema de Pitágoras temos AB = B E AE = 7 8 = 5. SOLUÇÃO DO PROBLEMA 4: Como ab + cd = bc 0a + b + 0c + d = 0b + c 0a + d = 9( b c), ou seja, 0a + d é o úmero de dois algarismo a d, e é um múltiplo de 9. a) Matedo a =, temos d = 7. Além disso, 0 + 7= 9( b c) b c= 3. O meor valor de b que podemos escolher, após 3, é 4, e esse caso, c =. O úmero procurado é, etão, 47. b) Uma vez que escolhemos b c, a e d estão determiados: a é o algarismo das dezeas de 9( b c), e d, o das uidades. Além disso, 9( b c) 0 b c. Se b c =, ( bc, ) {(,0 );( 3, );( 4, );...;( 9,0) }, um total de 8 possibilidades. Da mesma forma, vemos que se b c 3 bc, 3,0 ; 4, ; 5, ;...; 9,6, há um =, ( ) {( ) ( ) ( ) ( )} b c =, (,) {( 4,0;5,;6,;...;9,5 ) ( ) ( ) ( )} total de 7 possibilidades. Para 4 bc, 6 possibilidades, b c = 5, bc, 5,0;6,;7,;...;9,4, 5 possibilidades, b c = 6, ( ) {( ) ( ) ( ) ( )} ( bc,) {( 6,0;7,;8,;9,3 ) ( ) ( ) ( )}, 4 possibilidades, b c = 7, ( bc, ) {( 7,0;8,;9, ) ( ) ( )}, 3 possibilidades, b c = 8, (, ) {( 8,0 );( 9,) } possibilidades e, fialmete, para b c = 9, ( bc, ) = ( 9,0), possibilidade. bc, Há, portato, um total de 8 + 7+ 6+ 5+ 4+ 3+ + = 36 úmeros legais. EUREKA! N, 005 4
SOLUÇÕES SEGUNDA FASE NÍVEL 3 SOLUÇÃO DO PROBLEMA : Os possíveis produtos xk xk são ( )( ) = 3, ( + )( + ) = 3+ e ( )( + ) =. Supoha que a produtos são iguais a 3, b produtos são iguais a 3 + e 00 a b produtos são iguais a. A soma é igual a a(3 ) + b(3 + ) + 00 a b= 00 + a+ b+ ( b a). Assim, para que a soma seja iteira, devemos ter a = b. Logo a soma é igual a 00 + 4 a. Como a varia de 0 a 50 (pois a + b ão pode ser maior que 00), a soma pode assumir 50 valores iteiros. SOLUÇÃO DO PROBLEMA : Seja ABD l = BDC = α. Etão DC AD BD DC = e AD = BD se α, dode cosα BD cos = α = =. BD se α seαcosα seα A igualdade ocorre quado se α =, ou seja, quado α = 45. EUREKA! N, 005 5
SEGUNDA SOLUÇÃO DO PROBLEMA : Sociedade Brasileira de Matemática Sejam H a projeção de B sobre DC, DH = m, HC = e BH = h. ABDH é etão um retâgulo, dode AD = BH = h. Como o triâgulo CBD é retâgulo, temos h = m. Logo, DC DC m + m + = = =. AD BH h m Mas sabemos que quado m =. Segue que m dode m+ m. A igualdade ocorre ( ) 0, DC m + =. AD m SOLUÇÃO DO PROBLEMA 3: Para cada grupo de 5 aluos, existe um úico time formado que os cotém. Logo, 0 9 8 cotamos = = 79 5 times para cada 5 aluos escolhidos. Por 5! outro lado, em cada time de 6 jogadores, temos 6 = 6 5 modos de escolhermos cico jogadores, ou seja, existem 6 grupos de 5 jogadores que geram o mesmo time 79 a ossa primeira cotagem. Logo, o total de times formados é igual a = 3. 6 SEGUNDA SOLUÇÃO DO PROBLEMA 3: Há maeiras de escolher 6 detre aluos. Além disso, fixados 5 aluos, há 7 6 maeiras de motar um time com esses 5 aluos mais outro aluo. Assim, cosiderado que cada 5 aluos jogaram jutos um mesmo time exatamete uma vez, o total de maeiras de escolher 6 detre aluos é igual a 7 vezes o úmero de EUREKA! N, 005 6
maeiras de formar os times ao logo do ao. Logo o úmero de maeiras de formar 0 9 8 7 os times ao logo do ao é = = 3. 7 6 7 6 5 4 3 SOLUÇÃO DO PROBLEMA 4: A equação é equivalete a = ( m )( m+ ). Supoha > 3. Temos m ímpar, 3 3 digamos m = k +. A equação fica etão = k( k + ). Portato, divide k 3 ou k +, pois k ou k + (o que for ímpar) divide. Assim, k + e 3 k, dode +. 3 Mostremos, por idução, que + < para > 5. Para = 6 (base de idução), temos 6 + = 7 e 6 3 = 8. Supodo que a desigualdade é válida para = k, provemos que a mesma é válida para = k + (passo idutivo). De fato, temos k + < k 3 (k + ) < k. Como k + < (k + ), temos k + < k, completado a demostração. Assim, basta testar 0 5. Portato as soluções são (m; ) = (;0) e (m; ) = (9;5). SOLUÇÃO DO PROBLEMA 5: Seja... k = p α, p α p α k (com p < p <... < pk primos) um úmero siistro. Como α+ α +... + αk p i para todo i,. α+ α +... + α Como tem 4 algarismos, < 0000, dode k < 0000, e logo α + α +... + α k 3. Se um dos fatores primos fosse maior ou igual a, a soma dos fatores primos seria 0, dode α + α +... + α k e > 0000, absurdo. 5 Assim, os úicos fatores primos possíveis são, 3, 5 e 7. Como 3 < 000, se a soma 5 dos expoetes for 5, o úmero deve ser 5 = 35. A soma pode ser também igual 4 3 3 4 a 7, dode o úmero pode ser 5 = 000, ou 5 = 5000 (ote que 7 7 > 0000 ). Não pode ser igual a 8 = 3 + 5, pois 7 3 5 > 0000. Pode ser igual a 9 = 7 +, podedo o úmero ser igual a 7 7 = 67. 8 7 = 79 ou EUREKA! N, 005 7
Pode ser igual a 0 = + 3 + 5, podedo o úmero ser igual a 8 7 7 6 3 3 5 = 3840, 3 5= 5760, 3 5 = 9600 ou 3 5= 8640 (ote que os 9 fatores primos ão podem ser 3 e 7, pois 3 7 > 0000). 0 A soma ão pode ser, em (pois 3 7 e 5 7 são maiores que 0000) 5 em 3. Assim os úmeros siistros de quatro algarismos são 5 = 35, 4 3 3 4 8 7 5 = 000, 5 = 5000, 7 = 79, 7 = 67, 8 3 5 = 3840, 7 3 5= 5760, 7 3 5 = 9600 e 6 3 3 5= 8640. SOLUÇÃO DO PROBLEMA 6: Sedo α, β e γ as medidas dos âgulos iteros os vértices A, B e C, α+β respectivamete, temos m( IBL) = m( BIL) =. Logo BL = IL, e como BL = ΑL e IL = AB, cocluímos que o triâgulo ABL é equilátero, logo o arco AB mede 60 o e, portato, m( ACB) = 0 o. O quadrilátero CXHY é iscritível, ode X e Y são os pés das alturas traçadas de A e B. Logo AHB mede 80 o 0 o = 60 o. Como m( AOB) = 0 o, cocluímos que o quadrilátero OAHB é iscritível. (Isto também pode ser provado, por exemplo, utilizado-se a propriedade de que o simétrico de H em relação a AB pertece ao circucírculo de ABC). Isto implica que m( AHO) = m( ABO) = 30 o, e como OH = AH, temos m( AOH) = m( OAH) = 75 o. Fialmete, temos m( BAC) = m( OAH) m( OAB) m( XAH) = 75 o 30 o 30 o = 5 o ; e m( ABC) = 80 o 0 o 5 o = 45 o. L O A B C X Y H EUREKA! N, 005 8
PROBLEMAS NÍVEL Sociedade Brasileira de Matemática XXVI OLIMPÍADA BRASILEIRA DE MATEMÁTICA Problemas e Soluções da Terceira Fase PROBLEMA : Ecotre todos os úmeros aturais de três algarismos que possuem todas as propriedades abaixo: é ímpar; é um quadrado perfeito; A soma dos quadrados dos algarismos de é um quadrado perfeito. PROBLEMA : Com quatro triâgulos eqüiláteros de lado é possível formar uma peça, o formato de um triâgulo eqüilátero de lado, como mostra a figura ao lado. Imagie que você teha muitos triâgulos eqüiláteros de lado de três tipos: bracos, pretos e cizas para formar peças como o exemplo acima. Duas peças assim formadas são cosideradas iguais quado podemos obter uma delas girado a outra, coforme ilustrado abaixo, à esquerda. Par de peças iguais Par de peças diferetes Quatas peças diferetes podem ser formadas as codições apresetadas? PROBLEMA 3: Dizemos que um úmero atural é composto quado pode ser escrito como produto de dois úmeros aturais maiores que. Assim, por exemplo, 9 é composto porque podemos escrever 9 = 7 3. Mostre que o úmero EUREKA! N, 005 9
é composto. 004 + + PROBLEMA 4: Araldo e Beraldo disputam um jogo um tabuleiro : As peças do jogo são domiós. Iicialmete Araldo coloca um domió cobrido exatamete duas casas do tabuleiro, a horizotal ou a vertical. Os jogadores se revezam colocado uma peça o tabuleiro, a horizotal ou a vertical, sempre cobrido exatamete duas casas do tabuleiro. Não é permitido colocar uma peça sobre outra já colocada ateriormete. Quem ão coseguir colocar uma peça o tabuleiro perde. Qual dos dois jogadores tem uma estratégia vecedora, ou seja, uma estratégia que o leva à vitória quaisquer que sejam as jogadas de seu adversário, para: (a) = 004? (b) = 005? PROBLEMA 5: Cosidere o polígoo P de 6 lados. EUREKA! N, 005 30
Com cópias de P, podemos cobrir todo o plao, sem sobreposições, como mostrado a seguir. Existe um polígoo de 3 lados com o qual é possível cobrir todo o plao com suas cópias, sem sobreposições? Caso seja possível, apresete um polígoo. Caso ão seja, diga o porquê. PROBLEMAS NÍVEL PROBLEMA : Na figura, ABC e DAE são triâgulos isósceles (AB = AC = AD = DE) e os âgulos BAC e ADE medem 36. a) Utilizado propriedades geométricas, calcule a medida do âgulo DC b) Sabedo que BC =, calcule a medida do segmeto DC. c) Calcule a medida do segmeto AC. E ˆ. EUREKA! N, 005 3
PROBLEMA : A seqüêcia de algarismos,, 3, 4, 0, 9, 6, 9, 4, 8, 7, é costruída da seguite maeira: cada elemeto, a partir do quito, é igual ao último algarismo da soma dos quatro ateriores. a) Os algarismos, 0, 0, 4, jutos e esta ordem, aparecem a seqüêcia? b) Os algarismos iiciais,, 3, 4, jutos e esta ordem, aparecem ovamete a seqüêcia? PROBLEMA 3: Esmeralda tem uma pilha com 00 pedras. Ela divide essa pilha em duas ovas pilhas e em seguida multiplica as quatidades de pedras essas duas ovas pilhas e escreve o produto em um quadro. Ela etão escolhe uma pilha com mais de uma pedra e repete esse procedimeto: a pilha é dividida em duas, as quatidades de pedras essas duas pilhas são multiplicadas e o produto escrito o quadro. Esta operação é realizada até se obter apeas pilhas com pedra cada. Quais são os possíveis valores da soma de todos os produtos escritos o quadro? PROBLEMA 4: Em um jogo para dois participates, Araldo e Beraldo alteradamete escolhem um úmero iteiro positivo. A cada jogada, deve-se escolher um úmero maior que o último úmero escolhido e meor que o dobro do último úmero escolhido. Nesse jogo, vece o jogador que coseguir escolher o úmero 004. Araldo joga primeiro e iicia com o úmero. Qual dos dois tem estratégia vecedora, ou seja, cosegue escolher o úmero 004 idepedetemete das jogadas do adversário? PROBLEMA 5: Seja D o poto médio da hipoteusa AB de um triâgulo retâgulo ABC. Sejam O e O os circucetros dos triâgulos ADC e DBC, respectivamete. a) Mostre que O ˆ DO é reto. b) Mostre que AB é tagete ao círculo de diâmetro OO. PROBLEMA 6: Cosidere todas as maeiras de colocarmos as casas de um tabuleiro 0 0 exatamete dez vezes cada um dos algarismos 0,,,, 9. Ecotre o maior iteiro com a propriedade de que, em cada tabuleiro, alguma liha ou alguma colua coteha pelo meos algarismos diferetes. EUREKA! N, 005 3
PROBLEMAS NÍVEL 3 PROBLEMA : Seja ABCD um quadrilátero covexo. Prove que os icírculos de ABC, BCD, CDA e DAB têm um poto em comum se, e somete se, ABCD é um losago. PROBLEMA : Determie todos os valores de tais que é possível dividir um triâgulo em triâgulos de modo que ão haja três vértices alihados e em cada vértice icida o mesmo úmero de segmetos. Mostramos a seguir tal divisão para = 7. Observe que em cada um dos seis vértices icidem quatro segmetos. PROBLEMA 3: x, x,! x uma seqüêcia de úmeros iteiros satisfazedo Seja, 004 xk+ 3 xk + + xk + xk =, k 00. É possível que mais da metade de seus termos sejam egativos? PROBLEMA 4: Cosidere todas as maeiras de colocarmos as casas de um tabuleiro 0 0 exatamete dez vezes cada um dos algarismos 0,,,, 9. Ecotre o maior iteiro com a propriedade de que, em cada tabuleiro, alguma liha ou alguma colua coteha pelo meos algarismos diferetes. EUREKA! N, 005 33
PROBLEMA 5: Cosidere a seqüêcia ( a ) com a = a = a = a e N 0 3 = a a a a a. 4 = 3 + Mostre que todos os termos dessa seqüêcia são úmeros iteiros. PROBLEMA 6: Sejam a e b úmeros reais. Cosidere a fução ( x; y) = ( a by x ; ). Sedo f a, b x k + k f a, b ( P) = f a, b ( f a, b ( P)) P, para k iteiro ão egativo. f a, b : R R defiida por 0 = ( x; y) R, defiimos f a, b ( P) = P e O cojuto per(a; b) dos potos periódicos da fução f a, b é o cojutos dos potos P de R para os quais existe um iteiro positivo tal que ( P) P f a, b =. Fixado o real b, prove que o cojuto A b = { a R per( a, b) 0/ } tem um meor elemeto. Calcule esse meor elemeto. SOLUÇÕES NÍVEL PROBLEMA : SOLUÇÃO DE DIANA VAISMAN (RIO DE JANEIRO - RJ) Números ímpares que são quadrados perfeitos Soma dos quadrados dos algarismos + 4 + = 6 69 + 36 + 8 = 8 5 4 + 4 + 5 = 33 89 4 + 64 +8 = 49 36 9 + 36 + = 46 44 6 + 6 + = 33 59 5 + 4 + 8 = 0 65 36 + 4 + 5 = 65 79 49 + 4 + 8 = 34 84 64 + 6 + = 8 96 8 + 36 + = 8 Resposta: 84 EUREKA! N, 005 34
PROBLEMA : SOLUÇÃO DE HUGO FONSECA ARAÚJO (JUIZ DE FORA - MG): Posso pitar de 33 modos. Com cor o deseho é este: z z z z sedo z uma das três cores. Com cores teho estes desehos: x x x x x z x z z x z x Sedo x uma das três cores e z também. Com 3 cores teho estes desehos z z Sedo x uma das três cores e y e z também. Com cor teho 3 possibilidades. Com cores teho 3 3 = 8 possibilidades. Com 3 cores teho 3 = possibilidades. No total teho + 8 + 3 = 33 possibilidades. y x y y y x PROBLEMA 3: SOLUÇÃO DE ILLAN FEIMAN HALPERN (ITATIAIA - RJ): 004 003 ( + ) ( + ) O úmero + é equivalete a 4 +. 003 Como toda potêcia de é par etão + será ímpar. Como 4 elevado a um úmero ímpar dá um úmero cujo último algarismo é 4, etão 003 ( + ) 4 + terá 5 como último algarismo. Como todo úmero que termia com 5 é múltiplo de 5 etão o úmero 004 ( + ) + será múltiplo de 5 e poderá ser escrito como 5x, com x maior do que, o 004 ( + ) que prova que + é composto. EUREKA! N, 005 35
PROBLEMA 4: SOLUÇÃO DE JAMES JUN HONG (SÃO PAULO SP): Para ímpar, Araldo tem a estratégia vecedora. Para par, Beraldo tem a estratégia vecedora. Quado o úmero for ímpar, basta Araldo começar com um domió a vertical. Sejam quais forem as jogadas de Beraldo, Araldo vecerá. Se Beraldo puser um domió a vertical, Araldo deverá por a vertical também, em qualquer lugar do tabuleiro. Se Beraldo puser a horizotal, Araldo deverá por um exatamete acima ou abaixo da peça de Beraldo. Seguido as regras, Araldo vecerá porque ão sobrará ehum espaço e o úmero de jogadas será ímpar. Como Araldo começa, ele também termia e Beraldo ão poderá colocar uma peça o tabuleiro cheio. Se o úmero for par, Beraldo vece. As regras para preechimeto são as mesmas já citadas: se Araldo puser um domió a vertical, Beraldo deverá fazer o mesmo. Se Araldo puser a horizotal, Beraldo deverá colocar a horizotal, acima ou abaixo da peça de Araldo. Como o úmero de jogadas, seguido as regras, será par, Beraldo termiará de preecher o tabuleiro porque Araldo começa. Coseqüetemete, Araldo ão poderá colocar ehuma peça e perderá. Lembramos que sedo o tabuleiro, é o úmero máximo de jogadas pois o domió ocupa casas do tabuleiro. a) sedo 004 par, Beraldo vece. b) sedo 005 ímpar, Araldo vece. PROBLEMA 5: SOLUÇÕES DE WALLACE J. INOCÊNCIO e CAROLINE RIGOLON VEIGA (RIO DE JANEIRO - RJ) EUREKA! N, 005 36
SOLUÇÕES NÍVEL PROBLEMA : SOLUÇÃO DE VALTER BARBALHO LIMA FILHO : A D 36 36 C 7 7 F 7 36 36 7 7 E B 80 36 l l a) I) AD = DE DEA = DAE = = 7 DAF = 36 II) l 80 36 l AD = AC ADC = ACD = = 7 EDC = 36 b) I) ADE ACB( LAL) AE =. II) AFE = 7 AE = AF = III) l l ADF = F AD = 36 AF = FD = IV) l l DFC = DCF = 7 DC = FD = c) I) Seja AC = AB = x. AE FE FE 4 Temos AFE ~ ACD = = = x FE = 4 FE = AB CB x x 4 x 4 II) DE= x DF = DE FE DF = x DF = x x x 4 III) DF = AF = = x x 4= 0 x = + 5 x IV) AC = DE = x = + 5. PROBLEMA : SOLUÇÃO DE RÉGIS PRADO BARBOSA (FORTALEZA - CE): a) ote que se um atural é par ou ímpar, 0k terá mesma paridade pois par =t t 0k = ( t 5 k) par ímpar =t+ t+ 0k = ( t 5 k) + par EUREKA! N, 005 37
logo se a soma de quatro úmeros da seqüêcia tiver certa paridade o quito úmero terá a mesma. Seja agora: i = No. ímpar p = No. par,, 3, 4, 0, 9, 6, 9, 4, 8, 7, 8, 7, 0, i, p, i, p, p, i, p, i, p, p, i, p, i, p, p Note que as paridades se repetem de 5 em 5 úmeros. Provemos que de fato ela é sempre assim. Por idução:,, 3, 4, 0, 9, 6, 9, 4, 8 Caso iicial: i, pi,, p, pi,, pi,, p, p... a a Hipótese: supoha que dá certo até o ak ésimo período. Passo idutivo:... ipipp,,,, a, b, c, d, e a k a p+ i+ p+ p i( mod0), logo a é ímpar. b i+ p+ p+ a i+ p+ p+ i p( mod0), logo b é par. c p+ p+ a+ b p+ p+ i+ p i( mod0), logo c é ímpar. d p+ a+ b+ c p+ i+ p+ i p( mod0), logo d é par. e a+ b+ c+ d i+ p+ i+ p p( mod0), logo e é par. Assim, a, b, c, d, e = i, pi,, p, p, e logo uca poderemos chegar a, 0, 0, 4, pois ão a k + poderemos ter 4 p's seguidos. b) Veja que, para esta seqüêcia, a seqüêcia dos grupos de 4 termos cosecutivos dela ão poderá ter ifiitos termos diferetes, pois ão temos ifiitas possibilidades para a, b, c, d: serão o máximo 4 a, b, c, d = 0 possibilidades (aqui são cotadas possibilidades que, assim N N N N 0 0 0 0 como vimos o item a), ão podem aparecer, mas o que queremos com isso ão é achar um úmero exato mas sim um máximo e mostrar que as possibilidades são fiitas). Assim, um certo poto começarão a se repetir os úmeros formado um período, assim: EUREKA! N, 005 38
,, 3, 4 y x a, b, c, d Mas ote que se: y é o último úmero ates de começar a repetição, x é o último úmero do período e a, b, c, d são os 4 primeiros úmeros do período, teremos y + a + b + c d (mod 0) e x + a + b + c d (mod 0) logo y d a b c x (mod 0), e x y (mod 0), 0 x 9 e 0 y 9 x = y. Se fizermos isso várias vezes veremos que a verdade o período é:,, 3, 4 Logo ele aparecerá ovamete. PROBLEMA 3: SOLUÇÃO DE RÉGIS PRADO BARBOSA (FORTALEZA - CE): Note que se temos uma pilha com a pedras e fazemos o processo dividido-a em duas pilhas com b e e pedras o úmero escrito será b e, mas se a foi dividido em b e, temos: a b e b + e = a ( b + e) = a b + be + e = a be = a b e be =. Assim ote que a soma será: b b + b3 b4... + bi bi+ = S ( b i = No. de pedras a pilha i) 00 b b b b3 b4 bi bi bi+ +... + = S EUREKA! N, 005 39
veja só que se b t > ele aida será dividido em mais pilhas, ou seja quado ele bx bt by bt bz bw aparecer será: mas se é b t > aparecerá também. Assim, os b t terão soma 0, a ão ser quado b t = e, como a pilha iicial tem 00 pedras, o fim são 00 pilhas com pedra cada, e teremos: 00... 00 vezes 0000 00 9900 S = = =. 9900 S = S = 4950 e esta é a úica possibilidade. PROBLEMA 4: SOLUÇÃO DE HENRIQUE PONDÉ DE OLIVEIRA PINTO (SALVADOR - BA): Seja uma Rodada defiida como a jogada de cada jogador assim a ª Rodada Araldo escolheu o úmero e a ª Rodada Beraldo será obrigado a escolher um úmero maior que e meor que = 4 logo a ª Rodada será escolhido o úmero 3. Sejam os dois jogadores do euciado os jogadores X e Y.. Supoha que o jogador X escolhe 004 e gaha a Rodada.. Para isso Y teria que ter escolhido qualquer úmero etre 003 e 003 a Rodada e isso é visto facilmete. 3. A jogada de X a Rodada teria que ser 00, pois se fosse maior ou meor que 00 Y ão seria obrigado a escolher um úmero etre 003 e 003 a Rodada. 4. Para X ter escolhido 00 a Rodada Y teria que ter escolhido um úmero etre 50 e 00 a Rodada 3. 5. A jogada de X a Rodada 4 teria que ser 50, pois se fosse maior ou meor que 50, Y ão seria obrigado a escolher um úmero etre 50 e 00 a Rodada 3. 6. Para X ter escolhido 50 a Rodada 4, Y teria que ter escolhido um úmero etre 5 e 500 a Rodada 5. 7. A jogada de X a Rodada 6 teria que ser 50, pois se fosse maior ou meor que 50, Y ão seria obrigado a escolher um úmero etre 5 e 500 a Rodada 5. Agora que o raciocíio da questão já foi mostrado podemos cotiuar sem escrever tato. Rodada 6: (X): 50 (Como 7. mostrou) Rodada 7: (Y): Etre 6 e 49 Rodada 8: (X): 5 EUREKA! N, 005 40
Rodada 9: (Y): Etre 63 e 4 Rodada 0: (X): 6 Rodada : (Y): Etre 3 e 6 Rodada : (X): 3 Rodada 3: (Y): Etre 6 e 30 Rodada 4: (X): 5 Rodada 5: (Y): Etre 8 e 4 Rodada 6: (X): 7 Rodada 7: (Y): Etre 4 e 6 Rodada 8: (X): 3 Rodada 9: (Y): Sociedade Brasileira de Matemática Logo X = Beraldo e Y = Araldo, e como X gaha, Beraldo gaha. Obs: Quado falo úmeros etre r e s, r e s estão icluídos este itervalo. PS: Observe as jogadas de Beraldo: 3, 7, 5, 3, 6, 5, 50, 50, 00, 004. Se ele escolhe x a Rodada a escolhe x ou x + a Rodada a +. Isso os leva a uma observação que se Beraldo escolhe x a Rodada a, Araldo pode escolher etre x + e x a Rodada a +, o que implica que Beraldo pode escolher x ou x + a Rodada a +, SEMPRE. Isso os leva a pesar o sistema biário de umeração. Ou seja, se a Rodada a o Jogador escolheu o úmero A A...A 0, a Rodada a + pode escolher os úmeros A A...A 0 0 ou A A...A 0. Logo ele pode ir adicioado algarismos à direita da represetação biária do úmero. Veja que os dois algarismos à esquerda de um úmero o sistema biário são 0 ou e que o º úmero do º jogador é = (0) e o do º é 3 = (). Logo se K é o úmero a ser alcaçado, se K começar com 0 o sistema biário o º gaha e se K começar com, o sistema biário o º gaha. Como a represetação biária de 004 é 0000 que começa com temos que o º gaha. PROBLEMA 5: SOLUÇÃO DE LÚCIO EIJI ASSAOKA HOSSAKA (CURITIBA - PR): a) Primeiro, é ecessário dizer que ABC pode ser iscrito em uma circuferêcia l de raio AD, ode AB é o diâmetro, pois ACB e reto e deve estar compreededo um F arco AB = 80, que é uma semi-circuferêcia. Logo, por D ser cetro dessa circuferêcia, AD = BD = CD, e os triâgulos ACD e BCD são isósceles, tedo AC e BC como base, respectivamete. Logo, a mediatriz de AC cotém O assim como D (pois D está à mesma distâcia de A e C, assim como todos os potos da mediatriz). Da mesma maeira, a mediatriz EUREKA! N, 005 4
de CB cotém O e D (lembrado que o circucetro é o ecotro das mediatrizes dos lados do triâgulo). A mediatriz de AC é perpedicular a AC, e a mediatriz de CB é perpedicular a CB. Logo, ambas são perpediculares etre si, pois AC e BC também o são. Como ambas cotém D e são retas, elas se iterceptam em D, e além disso cada uma cotém um dos circucetros, o que mostra que O l DO é reto. b) Seja E o poto médio de AD, e F o poto médio de BD. A mediatriz de AD l cotém E e O, e portato O ED é um âgulo reto. Aalogamete, DFO l é reto também. Como E, D e F são colieares (AB cotém os três), etão EO e FO são segmetos paralelos etre si. Seja G o poto médio de O O. Como O O D é um triâgulo retâgulo G é o cetro do círculo que deveremos provar que é tagete a AB. Perceba que G é o poto médio de O O assim como D é o poto médio de EF (é ED OG óbvio que ED = DF, pois D é o poto médio de AB), e que portato =. DG DF GO é, portato, paralelo a EO e FO, pelo teorema de Tales. Assim, DG é perpedicular a AB, e como DG é raio do círculo de diâmetro O, O AB tagecia esse círculo. PROBLEMA 6: SOLUÇÃO DE LÚCIO EIJI ASSAOKA HOSSAKA (CURITIBA - PR): Se são 0 lihas e 0 coluas, etão há espaço para 0 "preseças" de algus dos 0 algarismos. "Preseça" sigifica que cada vez que um úmero aparece em alguma liha ou colua, sigifica uma "preseça". No caso das lihas, por exemplo. Se um algarismo estiver distribuído dez vezes em duas lihas, são duas "preseças". Assim como se algarismo aparecer apeas 3 vezes em 3 lihas, são 3 "preseças". é maior que 3. Como já disse, cada algarismo ocupa pelo meos 3 lihas ou 3 coluas. Se um algarismo ocupar, por exemplo, 3 lihas, ocupará 4 coluas, pois se fossem 3 lihas e 3 coluas, apareceria, o máximo, 9 vezes. E vice-versa. O melhor jeito de distribuir os algarismos é fazer com que cada um teha o míimo de preseças. A soma das preseças de cada algarismo é o míimo 7 (3 lihas e 4 coluas, e vice-versa, e lihas e 5 coluas, e vice-versa), sedo 7 0 = 70 preseças o total. Se são 60 dispoíveis (0 lihas e 0 coluas, cada uma podedo comportar 3 algarismos distitos), é impossível criar um tabuleiro com o máximo 3 algarismos diferetes em cada colua e cada liha. portato, é maior que 3. Assim, é 4, pois é possível distribuir os úmeros de forma e que cada liha e cada colua teha até 4 algarismos diferetes: EUREKA! N, 005 4
Assim, existe um arrajo que limita o valor de, e esse valor é 4. 9 0 9 0 9 0 9 0 9 0 9 0 9 0 9 0 9 0 9 0 6 6 5 5 5 7 7 7 8 8 6 6 5 5 5 7 7 7 8 8 6 6 5 5 6 8 7 7 8 8 6 6 5 5 6 8 7 7 8 8 3 3 3 3 4 3 3 3 4 4 3 3 4 4 4 3 4 4 4 4 SOLUÇÕES NÍVEL 3 PROBLEMA : SOLUÇÃO DE EDSON AUGUSTO BEZERRA LOPES (FORTALEZA - CE): Parte ) A B O D C Se ABCD é um losago, etão AB = BC = CD = DA, ou seja, os triâgulos ABC, BCD, CDA, DAB são todos isósceles. Veja também que AC BD. Seja AC BD = O. Como em um triâgulo isósceles a altura relativa à base é também bissetriz. AO, OB, OC, OD possam pelos icetros de DAB, ABC, BCD e CDA respectivamete. Como ao traçarmos uma perpedicular ao lado pelo icetro obtemos o poto de toque do icírculo a esse lado, O está cotido os 4 icirculos, já que é o poto de toque do icírculo a base dos 4 triâgulos. EUREKA! N, 005 43
Parte ) A B O D C Supohamos agora que os 4 círculos têm um poto em comum. Temos etão que os icírculos dos triâgulos ABC e ACD tocam AC o mesmo poto, pois do cotrário ão teriam ehum poto em comum. Seja O esse poto. Veja que se O estiver o iterior do triâgulo ABC o icírculo do triâgulo BDC ão o coterá, e seguido o mesmo raciocíio vemos que O ão está o iterior do triâgulo BDC. Logo O está sobre BD AC BD = O. Sejam O, O, O 3 e O 4 Os icetros dos triâgulos DAB, ABC, BCD e CDA, respectivamete. Supohamos que AC e BD ão são perpediculares. Supohamos l l l l agora, sem perda de geeralidade, que AOB e DOC são obtusos e BOC e AOD são agudos. Claramete O está o iterior do triâgulo AOB, pois já que l l OO AC, temos O OC > BOC. Com o mesmo raciocíio ecotramos que O e O estão o iterior do triâgulo AOB e que O 3 e O 4 estão o iterior do triâgulo COD. Seja G =. AO BO l l l l DAB ABC DAB + ABC l l l Claramete G AB = e G BA= = 80 AG B l l l l l l l 80 ( ) 80 (80 ) 80, = OAG + OBG + AOB < AOB DAB + ABC < AOB < l pois AOB > 90. De modo aálogo temos l l l l l BCD + CDA < 80 DAB + ABC + BCD+ CDA l < 360 360 < 360. Absurdo! Assim, AC BD, dode O AO, O BO, O 3 CO, O 4 DO AO, BO, CO e DO são, além de alturas, bissetrizes ABC, BCD, CDA, DAB são isósceles AB = BC = CD = DA ABCD é um losago. EUREKA! N, 005 44