ª Lista de Trigonometria no Triângulo Retângulo No triângulo retângulo determine as medidas e y indicadas (Use: sen65º 0,9; 65º 0, e tg65º,) Determine no triângulo retângulo ABC as medidas a e c indicadas Sabendo que sen0º 0,6; 0º 0,77 e tg0º 0,8 calcule as medidas e y indicadas no triângulo retângulo
Considerando o triângulo retângulo ABC, determine as medidas a e b indicadas 5 Em um triângulo retângulo isósceles, cada cateto mede 0cm Determine a medida da hipotenusa desse triângulo 6 A diagonal de um quadrado mede 6 cm, conforme nos mostra a figura Nessas condições, qual é o perímetro desse quadrado?
7 Uma pipa é presa a um fio esticado que forma um ângulo de 5º com o solo O comprimento do fio é 80m Determine a altura da pipa em relação ao solo Dado, 8 Qual é o comprimento da sombra de uma árvore de 5 m de altura quando o sol está 0º acima do horizonte? Dado 9 Determine a altura do prédio da figura seguinte:,7
0 Para determinar a altura de um edifício, um observador colocase a 0m de distância e assim o observa segundo um ângulo de 0º, conforme mostra a figura Calcule a altura do edifício medida a partir do solo horizontal Dado,7 Observe a figura e determine: a) Qual é o comprimento da rampa? b) Qual é a distância do inicio da rampa ao barranco? A uma distância de 0m, uma torre é vista sob um ângulo α, como mostra a figura Determine a altura h da torre se α 0º Em um triângulo ABC, retângulo em A, o ângulo B mede 0º e a hipotenusa mede 5cm Determine as medidas dos catetos AC e AB desse triângulo
) Determine as medidas dos catetos do triângulo retângulo abaio Use : Sen 7º 0,60 Cos 7º 0,80 tg 7º 0,75 A 50 cm B y 7º C ) Determine as medidas e y indicadas no triângulo retângulo abaio 6 cm 5º y ( dados sen 5º 0,57 5º 0,89 ) 0 0 ) Observe a figura seguinte e determine: tg 0 tg 60 C
a) a medida indicada b) a medida y indicada c) a medida do segmento AD ) Uma rampa lisa com 0 m de comprimento faz ângulo de 5º com o plano horizontal Uma pessoa que sobe a rampa inteira eleva-se verticalmente a quantos metros? ( use: sen5º 0,6, 5º 0,97 ) 0 m 5º 5 ) Determine as medidas dos catetos do triângulo retângulo abaio Sen 0º 0,50 Cos 0º 0,86 Tg 0º 0,57 A 50 cm
6 ) Usando as razões trigonométricas, determine as medidas e y indicadas na figura A seguir, determine a área do losango ABCD ( As medidas estão em cm ) Sen 0º Cos 0º B 0 A 0º y C D
7 ) Determine as medidas dos catetos do triângulo retângulo abaio Sen 0º 0,50 Cos 0º 0,86 tg 0º 0,57 A 80 cm B y 0º C 8 ) No triângulo ABC da figura seguinte, as medidas dos lados estão em cm Determine a medida da base BC ( 60º 0,5 ) A 60º 5 B C
9 ) Determine as medidas dos catetos do triângulo retângulo abaio Use : sen 0º 0,50 0º 0,86 A 00 cm B y 0º C 0 ) No triângulo retângulo abaio, determine o valor de y A
Use Sen 0º 0,6 Cos 0º 0,77 ) Calcule as medidas e y indicadas no triângulo retângulo isósceles da figura (tg 5º, tg 60º 0,86 ) C Y 5º X 60º B 9 cm A ) A uma distância de 0 m, uma torre é vista sob um ângulo de 0º, como nos mostra a figura Determine a altura h da torre ( sen 0º 0,, 0º 0, 9 tg 0º 0, 6 ) h
EXERCÍCIOS Redução ao º Quadrante - GABARITO ) Calcule a ª determinação de cada arco e indique em que quadrante está sua etremidade: a) -95º: ª determinação: 5º; º quadrante b) : ª determinação: /; está sobre o eio Solução Encontrando a ª determinação em cada caso, temos: a) 95 º 60 ; resto 5º ( 5º 60º 5º ) b) ) Calcule o seno, seno e a tangente dos ângulos abaio: Solução Encontrando as ª determinações em cada caso e reduzindo ao º quadrante, temos: a) 05 º 60 ; resto 5º b) 80 º 60 ; resto 0º c) 90 º 60 ; resto 0º d) 70 º 60 ; resto 00º e) Já é a ª determinação f) Já é a ª determinação g) Já é a ª determinação h) 6 5 6 6 6 sen5º a) 05º: 5º tg5º sen0º 0º tg0º b) 80º: sen0º 0º tg0º c) 90º:
d) 70º: sen tg sen00º 00º tg00º e) rad : sen tg f) rad: 7 g) rad: sen 7 7 tg 7 h) rad : 6 sen 5 6 5 6 tg 5 6 5 ) Se senβ e < β <, calcule β e tg β 7 Solução Aplicando a relação fundamental, temos: sen β β 5 5 β senβ 7 7 8 β (positivo) : º quadrante 7 5 senβ 5 7 5 tgβ 7 β 8 7 8 8 7 89 5 89 6 89 ) Sabendo que sen e, calcule sen ( ) ( ) 5 5 Solução Repare que adicionando uma volta completa, encontramos um arco côngruo na mesma posição e adicionando meia volta, a etremidade se posicionará simétrica em relação ao centro da circunferência trigonométrica sen ( ) ( ) sen sen ( ) ( ) sen 5 5 5 7 5 5 5) Resolva as equações indicando a solução completa (incluindo os ar côngruos) a) sen b) tg Solução Identificando os ar cujos senos são iguais, (º e º quadrantes) e (º e º quadrantes), e cujas tangentes são iguais (múltiplos de 80º), temos:
k sen ou a) 5 k 0 60ºk Em graus : ou 00º 60ºk ; k ; k Z Z b) tg k; k Z Em graus : 5º 80º k; k Z 5 6) Determine tg sabendo que e sen - Solução O valor corresponde ao arco no º quadrante sen β β 5 5 β senβ β (positivo) : º quadrante 5 senβ 5 5 tgβ β 69 5 69 69 7) Calcule o valor de Y 50º sen00º tg585º 90º Solução Substituindo os ar pelas suas primeiras determinações, temos: 50º 50º Y 50º sen00º tg5º 90º 585º 5º () 0 8) Se e tg, qual o valor de sen? 5 6 Solução Aplicando a relação trigonométrica envolvendo seno, seno e tangente, temos: sen sen 8 7 tg sen 6 6 5 0 0 5 7 5 9) Calcule o valor das epressões Solução Calculando os valores das primeiras determinações, temos: 0º sen0º a) E b) 80º a) 0º sen0º E 80º 80º 900º E sen60º sen080º
b) 0 0 sen0º sen70º 80º 90º sen080º sen60º 900º 80º E c) 9 6 7 sen 500º E d) sen765º º sen6 80º E 0 c) 6 sen 60º 9 6 7 sen 500º E d) 0 sen5º º sen8 00º sen765º º sen6 80º E 0 0 e) º tg0 50º sen0º E f) 6 6 tg E e) tg0º 50º sen0º E f) ( ) 0 6 6 tg E g) 6 5 sen 8 tg 6 7 sen 6 7 sen E g) 6 5 sen 8 tg 6 7 sen 6 7 sen E
Lista de Trigonometria Medidas de Ar e Ângulos 0 - GABARITO (PUC-MG) Na figura, o raio da circunferência mede r A função f que epressa a medida da área do triângulo de vértices A, B e C em função de r é: a) f (r) r b) f (r) r c) f (r) r d) f (r) r e) f (r) r Solução O triângulo ABC é retângulo e a área é: rr r A (UEPB) Calcule o menor ângulo formado pelos ponteiros de um relógio que marca 6hmin Solução O relógio representa a circunferência dividida em partes iguais Logo os números estão distantes entre si de ar de 0º O único momento em que os ponteiros estão sobre os números é na hora eata A partir desse momento, somente o ponteiro grande está nessa situação Temos as relações: i) O ponteiro pequeno (horas) leva 60 minutos para percorrer os 0º Enquanto isso, o grande (minutos) dá uma volta completa, 60º 60min 0º ()(0) º min 60 ii) Cinco minutos correspondem aos 0º para o ponteiro grande 5min 0º ()(0) º min 5 Entre o número (6h) e o 8 (0min), há um arco de 0º Os minutos correspondem a º Logo, o ângulo total seria 0º º º Mas, em minutos o ponteiro pequeno percorreu º no mesmo sentido Logo o ângulo pedido â º - º º
(UF-AM) Um setor circular de raio 5cm tem arco de comprimento 8cm Calcule sua área em cm Solução O comprimento do arco de uma circunferência é calculado pela fórmula C αr, onde α é o ângulo central em radianos e r, o raio Logo, 8 C αr 8 α(5) α,6rad Um ângulo central de rad corresponde a 5 circunferência completa com área A r Fazendo a correspondência, vem: (5),6 (,6)(5) (0,8)(5) 0cm Solução Fazendo a regra de três com as informações sobre o comprimento da circunferência, temos: r r αr (5) (5) 8 0 5 (8)(5) 00 0cm 8 0 0 (Unimontes-MG) Quando os ponteiros de um relógio marcam h50min, qual a medida do menor ângulo central formado por eles? Solução Se os ponteiros estivessem sobre os números e 0, o ângulo menor entre eles seria de 90º Mas, em 50 minutos o ponteiro pequeno deslocou-se de 60min 0º (50)(0) graus: 5º 50min 60 Logo, o menor ângulo será 90º 5º 5º 5 (UFMT) Um relógio analógico marca, num certo instante, h5min Admita que o ponteiro dos minutos se movimente 6º Nessas condições, calcule o novo horário apresentado por esse relógio Solução O ponteiro dos minutos (grande) percorre 60º em 60 minutos Logo, 6º serão percorridos em 6 minutos A hora será, então, h5min 6min hmin 6 (PUC PR) Sendo O centro da circunferência de raio unitário calcule a área do triângulo retângulo ABC que tem o cateto AC no diâmetro, sabendo que α 0º
Solução O ângulo de 0º é inscrito e vale a metade do ângulo central Logo o ângulo BOC 60º Neste triângulo retângulo h é o cateto oposto e o adjacente: h sen60º h 60º A área do triângulo ABC é: (AC)(BC) A 8 7 Epresse: a) 60º em radianos b) 0 rad em graus c) 0º em 9 radianos Solução Em cada caso, usa-se a regra de três para as representações: rad 80º (60)( rad) a) rad 60º 80 rad 80º (0)( rad) 7 c) rad 0º 80 6 0 rad 80º (80º ) rad 0 rad 9 b) 9 (0º ) ( 0rad) rad 00º 8 Numa circunferência de cm de diâmetro, marca-se um arco AB de 8cm de comprimento Qual a medida desse arco em radianos? Solução O raio da circunferência mede 6cm O comprimento do arco C, é calculado pelo produto (αr), onde α é o ângulo central em radianos e r o raio Temos: 8 C αr 8 α(6) α 0,5rad 6 OBS: Repare que se o arco correspondesse a um ângulo central de radiano, mediria 6cm (o raio)
9 Epresse em graus e radianos a medida do arco que corresponde a circunferência da medida da 5 Solução A medida da circunferência em graus corresponde a 60º e em radianos, O valor (60º ) ()(7º ) º pedido corresponde a: 5 (rad) rad 5 5 0 (UFOP-MG) Um ciclista de uma prova de resistência deve percorrer 500km em torno de uma pista circular de raio 00m Calcule o número aproimado de voltas que ele deve dar (Use, ) Solução O comprimento da pista é C (00)() 00(,) 56m O ciclista percorrerá 500km 500000m Isto corresponde a: 500000 Nº de voltas : 98 voltas 56 Encontre a medida do comprimento do arco AB, indicado na figura (Use, ) Solução O ângulo 50º epresso em radianos vale: rad 80º (50)( rad) 5 rad 50º 80 Logo, o comprimento do arco AB vale: ( ) ( 0) (5)(,)(5) (5)(,) 78,5cm 5 5, m (AB) ( 0) 6 6 Solução Pela regra de três: 60º (0) (50º )(60) 50º 60º 05(,) 6 (5)(,) 78,5cm
Quantas voltas completas um móvel dá e em que quadrante pára, partindo da origem dos ar, na circunferência trigonométrica, percorrendo um arco de: a) 80º? b) 50º? c) -00º? d) 7 rad? 8 Solução Voltas completas em graus são múltiplos de 60º e em radianos, múltiplos de Dividindo os valores pelas respectivas voltas completas e observando os restos, temos: a) 80 º 60º 5 e resto : 0º Logo são 5 voltas e pára no º quadrante b) 50 º 60º 6 e resto : 90º Logo são 6 voltas e pára no º quadrante c) 00º 60º e resto : 0º Logo são voltas no sentido horário e pára no º quadrante d) 7 6 6 Logo é volta e pára no º quadrante 8 8 8 8 8 Quantos centímetros percorre um corpo de descreve um arco de 600º numa circunferência de raio 0cm? (Use, ) Solução O arco de 600º corresponde a volta completa e um arco de 0º Temos: i) volta : C r (,)(0) (,)(0) 6,8 cm ii) 60º (0) (0º )(0) 0(,) 5,6 0º 0º 60º,87cm Logo, o total percorrido é (6,8,87) 0,67cm Determine o quadrante onde está a ª determinação positiva dos seguintes ar: a) -60º b) 60º c) 87 rad d) 550º e) rad f) -65º Solução A ª determinação positiva corresponde ao arco entre 0º < 60º com orientação anti-horária Significa encontrar os restos nas divisões por 60º ou
a) 60º 60º e resto : 00º A ª determinação positiva é 60º Fica no º quadrante b) 60 º 60º 7 e resto : 0º A ª determinação positiva é 0º Fica no º quadrante c) 87 80 7 7 60 quadrante A ª determinação positiva é 7 rad Fica no º d) 550 º 60º e resto : 0º A ª determinação positiva é 0º Fica no º quadrante e) 6 7 7 A ª determinação positiva é 7 rad Fica no º quadrante f) 65º 60º 6 e resto : 5º A ª determinação positiva é 55º Fica no º quadrante 5 Represente, no ciclo trigonométrico, as etremidades dos ar cujas medidas são dadas pela epressão: a) k k, k Z b), k Z c) 90º k90º, k Z d) 8 0º k60º, k Z Solução As etremidades dos ar podem diferir entre si de várias formas Só serão coincidentes se os ar forem côngruos
6 (MACK-SP) O segmento AO descreve um ângulo de 0º em torno da origem, como indica a figura Adotando, calcule a distância percorrida pelo ponto A
Solução O segmento OA é a hipotenusa, r, do triângulo de catetos e Essa hipotenusa é o raio de uma circunferência centrada em O e o ponto A descreveu um arco correspondente ao ângulo central de 0º r r 9 6 5 5 60º r 60º ()(5) 0º 0º (0º )(0) 60º 0,5 7 (UFRJ) Na figura a seguir, os círculos de centros O e O são tangentes em B e têm raios cm e cm Determine o comprimento da curva ABC Solução Traçando uma paralela a AC pelo centro da circunferência menor, determina-se os ângulo a e b no triângulo retângulo de cateto cm e hipotenusa cm Logo, a Neste caso a 60º e b 0º A curva ABC terá comprimento a medida da soma das curvas BC e AB A curva AB é calculada pelo ângulo central de 90º 0º 0º 60º ( )() (60º )(6) BC : 60º 60º 5 ABC cm 60º ( )() (0º )() AB : 0º 60º 8 (UNESP) Em um jogo eletrônico, o monstro tem a forma de um setor circular de raio cm, como mostra a figura A parte que falta no círculo é a boca do monstro, e o ângulo de abertura mede radiano Calcule o perímetro do monstro em cm Solução Pela definição do radiano, o comprimento da boca do monstro mede o valor do raio, isto é, cm Isto devido ao fato do ângulo central medir radiano O perímetro do monstro será a soma dos comprimentos S S S i) S cm ii) S cm iii) S C r C (,)() 6,8 S 6,8 5,8cm r
Logo, o perímetro do monstro será: ( 5,8) 7,8cm ou 9 (COL NAVAL) As quatro circunferências da figura abaio têm raios r 0,5 O comprimento da linha que as envolve é aproimadamente igual a: a) 6,96 b) 7,96 c) 8,96 d) 9,96 e) 0,96 Solução O comprimento da linha será a soma das curvas C, C e C, com as retas R, R e R Observando os valores dos ângulos calcula-se os comprimentos das curvas: C r 8 C C,8 C r, (,) 8 0,78,8 As retas R e R são hipotenusas dos triângulos isósceles e R vale r: R (r) (r) R R, R r 8r 8 8, Total: (,8) (,) 0,78 7,96 0 (UEL) Considere o sistema de roldanas circulares, de centros A e B, respectivamente, e as medidas dadas no esquema a seguir As roldanas estão envolvidas pela correia CDEFC, bem ajustada, que transmite o movimento de uma roldana para outra Calcule o comprimento dessa correia em centímetros Solução O comprimento da correia será calculado pela soma dos segmentos DC EF com os comprimentos dos ar DE e CF, eternos, cujos ângulos centrais são, respectivamente, 0º e 0º
Arco DE r Arco CF r DC (0) EF DC 0 (0) ( ) ( ) 5 00 00 00 0 5 58 Logo, o comprimento será: 0 ( ) 0 cm (UFF) A figura mostrada, representa duas circunferências C e C' de mesmo raio r Se MN é o lado comum de heágonos regulares inscritos em C e C', calcule o perímetro da região sombreada: Solução Serão retirados dois comprimentos de ar determinados pelos ângulos centrais de 60º, referente ao heágono regular 60º rad r Arco MN r Circunferência : r r r Perímetro : (r) r r r 0r (PUC-PR) Dois diâmetros AB e CD são perpendiculares em um círculo de raio dm Calcule a área da superfície comum a esse círculo e ao círculo de centro A e raio AC em dm Solução O raio AC é a hipotenusa do triângulo retângulo isósceles de catetos dm: AC dm A área determinada por esse raio AC é a quarta parte da área desta circunferência, pois subtende um ângulo central de 90º Logo, essa área vale ( ) A dm
As áreas S são segmentos circulares Valem a diferença entre a quarta parte da área circunferência de raio dm e a área do triângulo isósceles de catetos dm: S ( ) ()() dm dm A área pedida é: A S ( ) ARCOS E ÂNGULOS (TRIGONOMETRIA BÁSICA) QUESTÕES - GABARITO ) Verifique em que quadrante estão as etremidades dos ar abaio: a) 0 o b) o 6 c) 678 o d) 86 o e) 7 Solução Encontrando a ª determinação positiva, se necessário, temos: a) 0 é um arco maior que 80 e menor que 70 Logo, se situa no quadrante b) o 6 é um arco maior que 90 e menor que 80 Logo, se situa no quadrante c) 678 60 0 (voltas), resto 78 A primeira determinação positiva é 78 Se situa no quadrante d) 86 60 (voltas), resto 06 A primeira determinação positiva é 06 Se situa no quadrante 7 6 e) ( voltas ) A primeira determinação positiva é quadrante Se situa no ) Escreva as epressões gerais de cada arco definido no eercício anterior
Solução A epressão geral será de acordo com a primeira determinação indicada em cada item a) 0 60 k, k Z ; b) 6'" 60 k, k Z ; c) 78 60 k, k Z ; d) 06 60 k, k Z ; e) k, k Z ; ) Em um círculo da raio 8 cm, um arco de rad mede quantos centímetros? Solução O comprimento do arco de uma circunferência é produto do raio pela medida do arco em radianos: 5 0 C (8) cm ) Qual a epressão geral dos ar tais que: A) sen D) - G) tg 0 J) sen B) sen 0 E) H) tg K) - C) sen - F) 0 I) tg - L) tg - Solução Encontrando os ar da primeira determinação que satisfazem às equações, temos: A) sen k, k Z ; B) sen 0 k, k Z ; C) sen k, k Z ; ; E) k, k Z ; F) 0 k, k Z ; D) ( k ), k Z G) tg 0 k, k Z ; H) tg k, k Z ; I) tg k, k Z ; J) sen 5 tg k, k Z ; 6 k, k Z 6 ; K) ou 5 k, k Z 6 5 k, k Z 6 ; L) 7 k, k Z 6 5) Um arco mede 50 o em uma circunferência de raio 8 cm Qual o comprimento deste arco, em centímetros? Solução Estabelecendo a regra de três associando graus e radianos, temos: 60 50 (50 )( 8) 5 cm r 60 6) A roda de uma bicicleta tem 80 cm de diâmetro Qual o número aproimado de voltas que cada roda deve dar para completar km? Solução O raio da roda é de 0 cm Calculando o comprimento de uma volta e o número de voltas pedidas, temos: i) volta ( roda) (0) 80 80(,) 5, cm km 00 000 cm ii) Total ( voltas ) 98 voltas 5, cm 5, cm
7) Os ar a 90 o e b 0 o são côngruos Determine o menor valor positivo de Solução Ar côngruos diferem de múltiplos de 60 Como queremos o menor valor, temos: a b 60 90 ( 0 ) 60 90 0 60 60 60 00 50 8) Sabendo que sen ( º ), determine a epressão geral de Solução Resolvendo a equação, temos: 57 60 k º 5 60 k 5 60 k sen ( º ) ou 7 60 k º 5 60 k 5 60 k 0º sen80 sen75º 9) Epressão Calcule o : valor 9 da epressão: 0 k ou, 9 0 k, k Z 5 sen67 0 7 sen70 5 Solução Observando a propriedade dos ângulos complementares, temos: i) sen 80 0 ; 0 sen70 ; sen75 5 ; º sen67 0º sen80 sen75º sen70 0 5º sen 67 ii) 5 sen 67 0 7 sen70 5 5 sen 67 0 7 sen70 5 5 7 5 0) Sabendo que sen k determine quantos valores inteiros k pode assumir Solução Os valores do seno de um ângulo variam entre e Temos: i) sen k k k k k ii) k 5 k k k Re sposta : k Z e k [ 7, 8] Total : 8 ( 7) 6 números k 7 ) (UERJ) Um ciclista pedala uma bicicleta em trajetória circular de modo que as direções dos deslocamentos das rodas mantêm sempre um ângulo de 60 O diâmetro da roda traseira dessa bicicleta é igual à metade do diâmetro de sua roda dianteira O esquema a seguir mostra a bicicleta vista de cima em um dado instante do percurso Admita que, para uma volta completa da bicicleta, N é o número de voltas dadas pela roda traseira e N o número de voltas dadas pela roda dianteira em torno de seus respectivos eios de rotação
N A razão é igual a: N a) b) c) d) Solução Considere r, R os raios da menor e maior trajetória de volta das rodas Considere ainda, R T e R D os raios das rodas traseiras e dianteiras i) Uma volta da roda traseira possui comprimento CT R O comprimento da trajetória T T r efetuada pela roda traseira será menor: T r T N R Mas esse valor é comprimento da trajetória r r Temos: r r N R T r N R R T T T ii) A roda dianteira completa uma volta em seu eio de comprimento da roda dianteira será T d R T d D C D R A trajetória T d N R Mas esse valor é comprimento da trajetória maior: D Temos: R R N R D R N R R D D Observando o triângulo retângulo (0º, 60º e 90º), temos: O problema informa que R D R T r R 60º r R R r r Substituindo e calculando a razão, temos: N R t r R d r R t N R R t R R t r R d ) (UERJ) Uma máquina possui duas engrenagens circulares, sendo a distância entre seus centros A e B igual a cm, como mostra o esquema Sabe-se que a engrenagem menor dá 000 voltas no mesmo tempo em que a maior dá 75 voltas, e que os comprimentos dos dentes de ambas têm valores desprezíveis A medida, em centímetros, do raio da engrenagem menor equivale a:
a),5 b),0 c),5 d),0 Solução Considere r o raio da engrenagem menor e R o raio da engrenagem maior No mesmo tempo, temos: (r )(000) (R)(75) 000r 75R r R r R R r 000r 75( r) 000r 5 75r 000r 75r 5 r 5 75 ) Seja um ângulo do segundo quadrante tal que trigonométricas do ângulo sen α Determine as demais linhas 5 Solução No º quadrante, seno, tangente, cotangente e secante são negativos Utilizando as relações trigonométricas, temos: sen α α i) α α sen α 5 5 sen α 5 sen α 5 5 ii) tgα α 5 α 5 5 iii) cot gα tgα α 5 iv) secα α 5 5 ) v) sec Sabe-se α cot g α e que pertence ao quarto quadrante Determine todas as demais senα linhas trigonométricas do ângulo 9 5 5 9 5 6 5 5
Solução No º quadrante, seno, tangente, cotangente e secante são negativos Utilizando as relações trigonométricas, temos: cot g α sec α i) 5 cot g α ii) secα senα senα sec α secα iii) cot gα tgα tgα 5 sen α iv) tgα α α 5 α 5 5) A epressão com k é igual a: v) secα α 5 5 5 5 5 69 a) senα b) senα c) d) tg α α e) 0 Solução Substituindo, temos: sen α α sen α senα ( senα )( senα ) senα senα 6) A epressão é equivalente a: a) sen b) cotg c) sec α d) tg α e) sec Solução Desenvolvendo, temos:
α senα senα α α α senα senα α senα α α senα α senα senα senα tgα α Unidades de medidas de ângulos Eistem algumas unidades conhecidas com as quais podemos medir um ângulo A mais conhecida é o grau, mas há também o radiano Grau: Dividindo uma circunferência em 60 partes iguais, ligamos o centro a cada um desses pontos marcados nessa circunferência Com essa operação conseguimos determinar 60 ângulos centrais Cada um desses ângulos é chamado de grau Radiano: Outra unidade é chamada de radiano Essa é uma das mais importantes e é a que mais faremos uso no nosso curso de trigonometria Sejamos práti: Desenhamos no chão uma circunferência de raio r Agora fazemos uma formiga andar sobre essa circunferência (sobre a curva) o equivalente à r Marcamos o lugar que ela pára Agora marcamos o ângulo central que corresponde à esse arco que a formiga andou Esse ângulo central formado mede radiano ( rd) A Conversão entre os sistemas é feita por meio de uma regra de três 80º rad Comprimento de um arco Da circunferência da figura, obtemos a relação: α S αr, com α em radianos
Eercícios: ) Transforme os ângulos abaio para radianos a) 0º b) 70º c) 5º d) 60º ) Transforme os ângulos abaio para graus a) rad b) rad c) rad d) rad ) Quantos radianos percorre o ponteiro dos minutos de um relógio em 50 minutos? ) Um veículo percorre uma pista circular de raio 00 m, com velocidade constante de 0 m/s, durante um minuto Dentre os valores abaio, o mais próimo da medida, em graus, do arco percorrido é: a) 90 b) 5 c) 5 d) 75 e) 70 5) Qual o comprimento de um arco de 50º numa circunferência de raio 0 cm? 6) Dentre os desenhos abaio, aquele que representa o ângulo que tem medida mais próima de radiano é: 7) Em um jogo eletrônico, o "monstro" tem a forma de um setor circular de raio cm, como mostra a
figura A parte que falta no círculo é a boca do "monstro", e o ângulo de abertura mede radiano Determine o perímetro do "monstro" 8) Na figura, tem-se duas circunferências coplanares e concêntricas Sendo OA cm, CD 6 cm e o comprimento do arco AC 6 cm, o comprimento do arco BD, em cm, é: a) 8 b) c) 5 d) 8 Círculo Trigonométrico ou Ciclo Trigonométrico A circunferência trigonométrica ou ciclo trigonométrico é de etrema importância para o nosso estudo da Trigonometria, pois é baseado nela que todos os teoremas serão deduzidos Trata-se de uma circunferência com centro na origem do sistema de eios coordenados e de raio, como é mostrado na figura abaio:
Os eios dividem a circunferência em partes iguais denominados quadrantes Convenciona-se que o sentido anti-horário é o sentido positivo na circunferência trigonométrica Epressão geral dos ar Imagine a seguinte situação: estamos caminhando sobre uma pista circular, logo, sairemos de um marco zero e vamos prosseguindo de tal forma que num determinado momento chegamos ao mesmo ponto de partida A posição (sobre a pista circular) é a mesma daquela que começamos a caminhada, porém os ar são diferentes, pois no início não tínhamos andado nada e agora temos um segundo arco que vale Veja a figura: Quando acontecem de termos dois ar diferentes que terminam na mesma posição da circunferência, dizemos que esses ar são ar côngruos Eemplos: i) e são côngruos ii) e são côngruos Assim, podemos ver que qualquer arco β é côngruo com outros infinitos ar definidos pela soma de β com múltiplos de, ou seja, se estamos sobre o arco β e andamos mais sobre a circunferência voltamos para a mesma posição e se andarmos mais voltamos novamente para a mesma posição original e se formos andando mais múltiplos de estaremos sempre voltando para a mesma posição assim, podemos escrever que qualquer arco côngruo de β é da forma:
OBS: k é o número de voltas e o sinal de k indica o sentido (horário-negativo ou anti-horáriopositivo) do giro Apresentamos abaio a figura da circunferência trigonométrica em que são evidenciados os ângulos mais notáveis epressos em radianos e em graus Eercícios ) Encontre a menor determinação positiva e o quadrante dos ar abaio: a) 0º b) 870º c) 60º d) -00º e) - 580º f) rad g) rad h) rad i) rad
) Encontre o menor ângulo entre os ponteiros de um relógio nas horas abaio; a) h0min b) 0h0min c) h5min ) Um relógio analógico marca, num certo instante, 0h5min Admita que o ponteiro dos minutos se movimente 7º Nessas condições, calcule o novo horário apresentado por esse relógio ) Represente, no ciclo trigonométrico, as etremidades dos ar cujas medidas são dadas pela epressão: b) k, k Z 8 a) k, k Z 6 c) 0 º k90º, k Z d) 50 º k60º, k Z
Lista de Trigonometria Ar e Ângulos - GABARITO Complete a tabela Solução Em cada caso, basta efetuar uma regra de três simples da forma: rad 80º ângulo( graus) Observe os resolvidos Os demais seguem o mesmo procedimento i) 0º: rad 80º (0º )( rad) rad 0º 80º 6 ii) 0º: rad 80º (0º )( rad) rad 0º 80º iii) 5º: rad 80º (5º )( rad) 5rad 7rad 5º 80º 0 0 Epresse em graus: a) rad 9 b) rad 8 c) rad 9 d) rad 0 e) rad Solução Esse cálculo também poderia ser realizado pela regra de três, mas outra forma é substituir rad pelo seu correspondente em graus, 80º, e simplificar a fração 0 0(80º ) 800º 9 9 (80º ) (5º ) rad 7º0' 8 8 a) rad 00º b)
(80º ) 9 9 (80º ) rad c) rad 0º 70º 0º 0 (80º ) 0 d) rad 9º e) Determine em radianos a medida do ângulo formado pelos ponteiros de um relógio às horas Solução Os ponteiros de um relógio estão ambos na direção dos números somente na hora eata Após esse momento, o único a ficar na direção é o ponteiro dos minutos (grande) O relógio representa uma circunferência dividida em partes iguais Logo, cada número dista de um arco que mede 0º Às h o menor ângulo central formado pelos ponteiros corresponde a 0º rad O maior corresponde a rad 0º (UFRGS) Se o ponteiro menor de um relógio percorre um arco de radianos, que arco ponteiro maior percorre? Solução Em graus a medida percorrida pelo menor corresponde a 5º Esse valor corresponde à metade da distância entre dois números consecutivos O tempo para percorrer essa distância pelo menor é de meia hora Enquanto isso o ponteiro maior dá meia volta completa, isto é, 80º Logo, o ponteiro maior percorre relação ao ponteiro grande 80 º rad Resultado também obtido pela regra de três simples em rad 60 min (0)(rad) min 0 min 60 min (60)( rad) min 60 min rad 5 (UNICAMP) Um relógio foi acertado eatamente ao meio-dia Determine as horas e os minutos que estará marcando esse relógio após o ponteiro menor ter percorrido um ângulo de º Solução Sabendo que ele percorre 0º em 60 minutos, aplicando a regra de três, temos: 0º º 60 min (º )(60) min 0º ()() min 8 min
Logo se passaram 8 minutos após o meio-dia, que corresponde às hmin Que é a hora marcada Observe que este horário é vespertino Logo, pode ser indicado como hmin 6 (CEFET MG) Qual a medida, em graus, do menor ângulo central formado pelos ponteiros de um relógio que está marcando 9h 0min? Solução Ao marcar 9h em ponto, os ponteiros estavam na direção dos números como indicado na linha pontilhada Mas às 9h0min o ponteiro pequeno deslocou-se de um ângulo Aplicando a regra de três descobrimos quantos graus ele se afastou da direção do número 9 em 0 minutos 0º 60 min 0 min (0º )(0) min 60 min 0º 5º Entre os números 6 e 9 forma-se um ângulo de 90º O ponteiro pequeno está distante mais 5º Logo o menor ângulo central entre os ponteiros é de 90º 5º 05º 7 (PUC) Um relógio foi acertado eatamente às 6h Que horas o relógio estará marcando após o ponteiro menor (das horas) ter percorrido um ângulo de 7º? Solução Às 6h os ponteiros menor e maior estavam, respectivamente, sobre os número 6 e no relógio O ponteiro menor percorreu um ângulo de 7º Sabendo que ele percorre 0º em 60 minutos, aplicando a regra de três, temos: 0º 7º 60 min (7º )(60) min 0º (7)() min min Logo se passaram minutos que corresponde às hmin Logo, o relógio marca 6h hmin 8hmin 8 (CESGRANRIO) Um mecanismo liga o velocímetro (marcador de velocidade) a uma das rodas dianteiras de um automóvel, de tal maneira que, quando essa roda gira velocímetro gira 8 rad Quando a roda gira rad 5 Solução Aplicando a regra de três simples, temos: 7 rad, uma engrenagem que compõe o, essa engrenagem gira quantos graus?
7rad 8rad 5 8rad rad (rad) 5 7rad 6rad 5 7 rad 0 80º 0 8º 9 Um engenheiro civil precisa fazer uma planilha de custos para uma obra e um dos itens a ser resolvido é quantos metros de cerca de arame farpado devem ser comprados para cercar o terreno Sabe-se que o terreno tem a geometria da figura O preço por metro de cerca é de R$,00 Quanto será gasto nessa cerca? Dados:,,, 7, 5, e Solução Calculando cada dimensão do terreno marcado na figura, temos: i) Arco C: C r α rad (5) (5) 5m ii) Arco C: C r α rad (5) (5) 5(,5) 7, 5m iii) C: m 5m 7m iv) C (diagonal do quadrado de lado 0): C l 0(,) m Gasto na cerca: Perímetro (R$,00) (5 7,5 7 )m R$,00,5m R$,00 R$00,50 0 Determine Solução O comprimento do arco S será o produto da medida do ângulo central em radianos pelo raio a) o comprimento de um arco de circunferência (em cm), sabendo que ela tem cm de raio e o ângulo central correspondente mede 0 a) rad 80º 0º S r α ( 0(,) 80 rad cm )( 0,), cm rad 08 (,) 9 rad 0,rad b) o ângulo central (em radianos) correspondente a um arco de 5cm de comprimento, sabendo que ela tem raio de 0cm r 0cm 5cm b) S r α rad 5cm (0cm)( α rad ) α rad 0, 75rad 0cm S 5cm c) a medida do raio de uma circunferência (em cm), sabendo que nela um ângulo central de 5 corresponde a um arco de 0cm
c) rad 80º 5º S r α rad 0cm ( r) S 0cm 5(,) 80 rad (,) 0 0,6 rad 0,6rad ( 0,6) r 5,cm A roda dianteira de uma bicicleta tem 0cm de raio Quantos metros ela percorre ao dar 5000 voltas? Quantas voltas ela deve dar para percorrer 90m? Solução O comprimento total da circunferência é de 6,8r Logo, a roda possui 6,8 (0cm) 5,0cm Uma volta desta roda percorre 5,0cm Então 5000 voltas percorrerão ( 5000)(5,) 56000cm 560m Se em volta ela percorre 5,0cm,5m, então para percorrer 90m ela dará 90 m 750( voltas ),50m As rodas de um automóvel têm 70cm de diâmetro Determine o número de voltas efetuadas pelas rodas quando o automóvel percorre 989km Adote, Solução O raio da roda vale 5cm Logo o comprimento da roda é de 6,8r 6,8(5cm) 9,8cm 98900000cm 9,8cm correspondendo a volta completa Logo em 989km ela dará 500000( voltas ) Obtenha as menores determinações não negativas dos ar a) 00º b) 0º c) 70º d) rad e) rad 5 f) 00º Solução Encontra-se o número de voltas completas que é múltiplo de 60º ou de п As menores determinações não negativas serão os ar encontrados nos restos percorridos no sentido positivo São chamadas ª determinações a) 00º 60º ( voltas ) resto(0º ) Logo a ª determinação de 00º é 0º b) 0º 60º ( voltas ) resto(0º ) Logo a ª determinação de 0º é 0º c) 70º < 60º não completando uma volta Logo a ª determinação é o próprio 70º 8 d) rad rad rad ( voltas ) rad Logo a ª determinação de 0º é rad 0 e) rad rad rad 8( voltas ) rad Logo a ª determinação de 0º é rad 5 5 5 5 5
f) 00º 60º ( voltas ) resto( 0º ) Logo a ª determinação de -00º é 0º (sentido positivo) Dê as epressões gerais dos ar côngruos a: 9 a) 700º b) 700º c) rad d) rad e) rad 8 Solução A epressão geral será determinada pela ª determinação dos ângulos adicionadas por múltiplos de 60º ou п positivos ou negativos a) 700º 60º ( voltas ) resto(60º ) Logo a epressão geral é 60 º k(60º ), k Z b) 700º 60º ( ) resto( 0º ) voltas Logo a epressão geral é 0 º k(60º, k Z 9 8 c) rad rad rad ( voltas ) rad rad k, k Z Logo a epressão geral é d) rad 0rad rad 5( voltas ) rad Logo a epressão geral é rad k, k Z e) rad rad rad ( voltas ) rad 8 8 8 8 A ª determinação será 5 5 rad rad rad Logo a epressão geral é rad k, k Z 8 8 8 5 Marque um X nos pares que representam ar côngruos 8 ( ) 70º e 60º ( ) 00º e 90º ( ) rad e 9 rad 5 6 rad 7 ( ) rad 5 e Solução Para que representem ar côngruos, as etremidades deverão ser as mesmas Isto pode ser verificado comparando as as determinações de cada par:
i) 70º 60º ( voltas ) resto(0º ) 60º 60º ( voltas ) resto(0º ) ii) 00º 60º ( voltas ) resto(0º ) 90º 60º ( voltas ) resto(0º ) iii) 8 6 rad rad rad rad rad 6( voltas ) rad 6 rad rad rad 8rad rad ( voltas ) rad iv) 7 70 rad rad rad rad rad 7( voltas ) rad 5 5 5 5 5 9 0 9 9 9 rad rad rad rad rad ( volta) rad 5 5 5 5 5 k 6 Os ar da forma k80º ( ) 0, k Z, têm etremidades em que quadrantes? Solução Atribuindo alguns valores para k, observa-se a regularidade dos quadrantes: k k k k k k k ( )80º ( ) ( )80º ( ) ( )80º ( ) 0º 50º 0º 570º 0º 50º (º Q) 0º 60º 0º 0º 0º (º Q) 0º 80º 0º 0º 50º (º Q) 0 0 ( 0)80º ( ) 0º 0º (º Q) º ouº Q ()80º ( ) 0º 80º 0º 50º (º Q) ()80º ( ) 0º 60º 0º 90º 0º (º Q) ()80º ( ) 0º 50º 0º 50º 50º (º Q) 7 Determine os valores de: a) y 50º sen90º tg80º b) y sen900º 60º sec70º Solução Encontram-se os ar côngruos, reduzindo ao º quadrante para determinações dos valores das funções e atribuindo seus respectivos sinais de acordo com os quadrantes
50º 80º tg80º 0 a) sen 90º y ( ) () 0 5 sen900º sen80º 0 sec70º sec60º sec0º b) 60º 70º 0 y (0) (0) 0 0 8 Determine os valores máimos e mínimos das epressões: a) y b) 5sen y c) y sen 5 Solução As funções seno e seno variam de no intervalo [ ] onde ( ) é mínimo e () o máimo No caso das funções estarem ao quadrado, o valor mínimo passa a ser (0), pois nenhum número ao quadrado pode ser negativo Atenção: Se sen sen e se a) y () 5 máimo : y ( ) mínimo : y b) y 5( ) _ 7 máimo : y 5sen 5 5 5 5() _ mínimo : y 5 5 c) y sen máimo : y (0) mínimo : y () 9 Que valores de m satisfarão a ambas as condições: sen m e m Solução Aplicando a relação fundamental relacionando senos e senos, temos:
sen (m) ( m ) 9m m m 0 m(5m ) 0 5m 0 5m m 5 m 0m m 0 0 Determine o valor positivo de m que satisfaz simultaneamente às condições: sec m e tg m Solução Aplicando a relação fundamental relacionando secante e tangente, buscando m positivo, temos: tg sec ( ) ± m ( ) () ( m ) ()( ) (m ) ± m 6 8 6 m ± 6 6 m m m 0 8 m > 0 ok 6 8 m < 0 6 6 Sendo um arco do º quadrante e sen, determine: a) b) tg c) sec 5 Solução No º quadrante o seno é negativo, tangente é negativa e a secante negativa (inverso do seno) Aplicando as relações fundamentais, temos: a) 9 sen 5 5 5 9 5 6 5 5 b) sen tg 5 5 5 5 c) sec 5 5 (U F VIÇOSA-MG) Sabendo que sen e < <, o valor de sec sec cot g é: ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
Solução O arco está localizado no º quadrante Cossecante positiva (inverso do seno), cotangente negativa (inversa da tangente) e secante negativa (inverso do seno) sen sec sen sen sec cot g sen sec sec ( Logo : cot g ( ) ( ) ( sec sec cot g (8 ) 9 8 9 9 8 9 ) ) OBS: Outra solução seria desenvolver a epressão antes da substituição sec sec cot g sen sen sen sen sen sen sen sen sen sen Calculando o seno pela relação fundamental, basta invertê-lo e encontrar a secante (F M Triângulo Mineiro MG) Se < 0 e sen, pode-se afirmar que: ( ) tg < ( ) tg < ( ) tg < ( ) tg < Solução Dividindo toda a equação por () encontramos um valor para a tangente
sen ( ) tg 9 6tg tg OBS : tg 9 6tg tg 9sec sec 9( tg ) 9tg tg tg 0 tg(tg ) 0 tg 0 tg tg tg sec ( tg) 6tg 9 9 0 8tg 6tg 0 (sec ) A tangente não assume valores negativos Logo das alternativas mostradas, só a última satisfaz Relacione (a) 50º (b) sen 00º (c) sen (0º ) (d) tg 50º sen0º 0º ( c ) ( a ) 0º ( d ) 6 ( b ) 0º Solução Encontrando o arco côngruo correspondente, avalia-se o sinal da função a) 50º 00º Este arco está no º quadrante na mesma direção do arco de 0º O seno é módulo é o mesmo Mas o seno no º quadrante é negativo b) sen 00 º sen0º sen60º 0º c) sen ( 0º ) sen50º sen0º d) sen50º tg50º sen0º 0º 50º tg50º sen0º 0º 6 6 0º 6 sen0º 0º
5 (UF-AL) A epressão sen00º tg50º ( 0º ) é igual a: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Solução Encontrando o arco côngruo correspondente, avalia-se o sinal da função sen00º sen60º sen00º tg50º tg80º 0 tg50º ( 0º ) ( 0º ) 0º 0 ( ) Eercícios de Trigonometria º A medida de um ângulo é 5º Em radianos, a medida do mesmo ângulo é: a) 5 5 b) c) 7 d) e) º) O valor de sen a) b) c) d) e) nra é:
º O domínio e o conjunto imagem da função definida por y tg, sendo D o domínio e I o conjunto imagem, são representados por: a) D { IR / } e I IR* b) D { IR / e } c) D IR e I IR d) D { IR / e) D IR* e I IR K, K Z} e I IR* 5 º O valor de log tg é: a) - b) c) 0 d) e) 5º Seja a função f, de IR em IR definida por f() sen O conjunto imagem dessa função é o intervalo: a),5 b),5 c), d), e), 6º O conjunto imagem da função f : IR è IR, definida por f() sen, é o intervalo: a) [-, ] b) [-5, 5] c) [-5, ] d) [-, 5] e) [-5, -] 7º O período da função dada por y sen é: a) b) c) d)
e) 8 8º O período da função: f() é: a) 8 b) 7 c) 6 d) e) 9º Calcular os valores de k que verificam simultaneamente as igualdades: sen k e k a) b) 0 c) d) e) 0º O domínio da função f() sec X é: a) IR b) k c) { k, k Z} d) { - ou } e) nra sen º O valor da epressão tg é: a) - b) c) d) e) 0 º A função trigonométrica equivalente a sec sen é: sec a) sen
b) cotg c) sec d) sec e) tg º No círculo trigonométrico um ângulo é tal que seu seno vale 5 e encontra-se no segundo quadrante A tangente deste ângulo vale: a) b) c) d) e) º Se sec e tg < 0, então sem vale: a) b) c) d) e) 5º O valor da epressão tgθ tg θ quando θ e tg θ < 0 é: 7 a) b) c) 0 0 0 5 0 d) 7 e) nra
6º A epressão: a) - b) c) 0 d) e) sen ( ) ( ) tg( ) vale: 7º Simplificando a epressão y ( ) ( ), temos: sen( ) sen a) y tg b) y cotg c) y sen d) y - sen e) y - 8º Simplificando-se a epressão a) cotg a b) tg a c) tg b d) cotg (a b) e) nra sen( a b) sen( a b) ( a b) ( a b) resulta: 9º (75º) é igual a: a) b) c) d) e) 6 6 0º Sendo α β γ, então ( α γ ) vale: a) sen β
b) β c) sen β d) β e) nra GABARITO DE TRIGONOMETRIA 0 B 0 B 0 D 0 C 05 A 06 E 07 A 08 A 09 C 0 C C E A C 5 B 6 E 7 B 8 B 9 E 0 D
COLÉGIO PEDRO II - CAMPUS SÃO CRISTÓVÃO III APROFUNDAMENTO DE MATEMÁTICA 06 PROFESSORES: GODINHO / MARCOS AULA : Trigonometria TRIÂNGULO RETÂNGULO Tendo como base o triângulo retângulo da figura acima, podemos definir algumas relações que envolvem os ângulos do triângulo retângulo São elas: o seno, o seno e a tangente Definimos essas linhas (ou razões) trigonométricas da seguinte forma: seno cateto oposto hipotenusa
seno cateto adjacente hipotenusa tangente cateto oposto cateto adjacente ÂNGULOS NOTÁVEIS 0 5 60 SENO COSSENO TANGENTE sen² ² tg sen RELAÇÕES ENTRE SENO, COSSENO E TANGENTE FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS Definições Do ciclo trigonométrico da figura, definimos:
sen tg Observação: seno seno tangente Paridade e periodicidade Função Par ou ímpar Período Sinais Domínio Imagem Ímpar sen sen (-) - sen IR [-, ]
Par (-) IR [-, ] tg Ímpar tg(-) - tg K IR SENO, COSSENO E TANGENTE NO CICLO TRIGONOMÉTRICO
GRÁFICOS DAS FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS ) FUNÇÃO SENO ) FUNÇÃO COSSENO
) FUNÇÃO TANGENTE FÓRMULAS DE ADIÇÃO DE ARCOS ) SENO DA SOMA ) SENO DA DIFERENÇA ) COSSENO DA SOMA
) COSSENO DA DIFERENÇA 5) TANGENTE DA SOMA 6) TANGENTE DA DIFERENÇA ARCOS DUPLOS ) SENO ARCO DUPLO ) COSSENO DO ARCO DUPLO
) TANGENTE DO ARCO DUPLO Lei dos senos Em qualquer triângulo, o quadrado de um dos lados é igual à soma dos quadrados dos outros dois lados, menos o dobro do produto desses dois lados pelo seno do ângulo formado entre eles A saber: Lei dos senos Seja um triângulo qualquer, com lados a, b e c, que são os lados opostos aos ângulos A, B e C, respectivamente O quociente entre a medida de cada lado e o seno do ângulo oposto a este lado é uma constante igual a r, em que r é o raio da circunferência circunscrita ao triângulo, isto é:
QUESTÕES RESOLVIDAS ) (UERJ) Um modelo de macaco, ferramenta utilizada para levantar carros, consiste em uma estrutura composta por dois triângulos isósceles congruentes, AMN e BMN, e por um parafuso acionado por uma manivela, de modo que o comprimento da base MN possa ser alterado pelo acionamento desse parafuso Observe a figura: Considere as seguintes medidas: AM AN BM BN dm; MN dm; AB y dm O valor, em decímetros, de y em função de corresponde a: (A) 6 (B) 6 (C) 6 (D) 6 Gabarito: B
y y 6 y 6 y 6 y 6 ) (UERJ) Observe a bicicleta e a tabela trigonométrica Os centros das rodas estão a uma distância PQ igual a 0 cm e os raios PA e QB medem respectivamente 5 cm e 5 cm De acordo com a tabela, qual o valor do ângulo AO P? (A) 0º (B) º (C) º (D) º Gabarito: C Traçando uma paralela ao segmento AB, conforme 7 9 sen 0,5 0 0 De acordo com a tabela, º figura acima,temos : ) (UERJ) Um atleta faz seu treinamento de corrida em uma pista circular que tem 00 metros de diâmetro Nessa pista, há seis cones de marcação indicados pelas letras A, B, C, D, E e F, que dividem a circunferência em seis ar, cada um medindo 60 graus Observe o esquema mostrado O atleta partiu do ponto correspondente ao cone A em direção a cada um dos outros cones, sempre correndo em linha reta e retornando ao cone A Assim, seu percurso correspondeu a ABACADAEAFA Considerando, 7, o total de metros percorridos pelo atleta nesse treino foi igual a:
(A) 80 (B) 960 (C) 080 (D) 0 Gabarito: B Os triângulos ABD e ACD são retângulos, pois Logo : AB (ABD) : sen0º AB (00) 00m AD AC (ACD) : sen60º AC (00) 00(,7) 0m AD Por tan to, a distância total será : (AB) (AC) (AD) (AE) (AF) 00 680 800 680 00 960 m estão inscritos na circunferência eum de seus lados é o diâmetro ) (UERJ) Observe a matriz a seguir Resolvendo seu determinante, será obtido o seguinte resultado:
(A) (B) sen (C) sen (D) sen Gabarito: D sen sen sen sen 0 sen sen ( sen 0 sen) ( sen 0 sen ²) sen 0 sen sen 0 sen ² sen ( ²) sen( sen²) sen 5) (UERJ) Um holofote está situado no ponto A, a 0 metros de altura, no alto de uma torre perpendicular ao plano do chão Ele ilumina, em movimento de vaivém, uma parte desse chão, do ponto C ao ponto D, alinhados à base B, conforme demonstra a figura a seguir Se o ponto B dista 0 metros de C e 50 metros de D, a medida do ângulo CÂD corresponde a: (A) 60 (B) 5 (C) 0 (D) 5 Gabarito: B
BC 0 T(ABC) : tg tg tgy AB 0 tg( y) tgtgy BD 50 T(ABD) : tg( y) 5 tg( y) 5 AB 0 tgy 0 5 5 5 tgy tgy tgy tgy 5 tgy 0tgy tgy 5 tgy tgy y 5º 6) (UERJ) Um esqueitista treina em três rampas planas de mesmo comprimento a, mas com inclinações diferentes As figuras abaio representam as trajetórias retilíneas AB CD EF, contidas nas retas de maior declive de cada rampa Sabendo que as alturas, em metros, dos pontos de partida A, C e E são, respectivamente, h, h e h, conclui-se que h h é igual a: (A) h (B) h (C) h (D) h Gabarito: D
( ) ( ) h h h 6 a h 6 a 6 a 6 a 6 a h h 6 sen0º 5º sen5º 0º sen0º sen 5º sen75º a h sen5º a h 6 sen0º 5º sen5º 0º sen0º sen 5º sen5º a h 7) (UERJ) Um piso plano é revestido de heágonos regulares congruentes cujo lado mede 0 cm Na ilustração de parte desse piso, T, M e F são vértices comuns a três heágonos e representam os pontos nos quais se encontram, respectivamente, um torrão de açúcar, uma mosca e uma formiga Ao perceber o açúcar, os dois insetos partem no mesmo instante, com velocidades constantes, para alcançá-lo Admita que a mosca leve 0 segundos para atingir o ponto T Despreze o espaçamento entre os heágonos e as dimensões dos animais A menor velocidade, em centímetros por segundo, necessária para que a formiga chegue ao ponto T no mesmo instante em que a mosca, é igual a: (A),5 (B) 5,0 (C) 5,5 (D) 7,0 Gabarito: D
( d) ( 0) ( 50) (0) ( 50) (0º ) ( d) ( d) 00 500 d Distância 70cm v Tempo 0s D T 900 70 70cm 0s 7cm / s 900 500 000 8) (UERJ) Considere uma placa retangular ABCD de acrílico, cuja diagonal AC mede 0 cm Um estudante, para construir um par de esquadros, fez dois cortes retos nessa placa nas direções AE e AC, de modo que DÂE 5º e BÂC 0º, conforme ilustrado a seguir: Após isso, o estudante descartou a parte triangular CAE, restando os dois esquadros Admitindo que a espessura do acrílico seja desprezível e que CAE equivale a:,7, a área, em cm², do triângulo (A) 80 (B) 00 (C) 0 (D) 80 Gabarito: C
i) y 0cm,pois é cateto oposto ao ângulo de 0º no triângulo retângulo Também será o valor da altura do triângulo AEC ii) 0 0(,7) cm,pois é oposto ao ângulo de 60º do triângulo ABC Vale a metade da hipotenusa multiplicado pela raizde iii) DE y 0cm, pois é cateto do triângulo retângulo isósceles Logo z EC - 0 cm A área do triângulo CAE vale : A EC AD 0 0cm ADE ABC 9) (UERJ) Considere o ângulo segundo o qual um observador vê uma torre Esse ângulo duplica quando ele se aproima 60 m e quadruplica quando ele se aproima mais 00 m, como mostra o esquema: A altura da torre, em metros, equivale a: (A) 96 (B) 98 (C) 00 (D) 0 Gabarito: A
Os triângulos ABC e ABD na figura acima são retângulos Logo : 00² ² h²(i) h² 0000 ²(III) 60² (00 )² h²(ii) Substituindo (III) em (II), temos : 5600 0000 00 ² 0000 ² 5600 00 8 Substituindo em (III) vem : h² 0000 8² h² 0000 78 h² 96 h 96 m Respostas: ) B; ) C; ) B; ) D; 5) B; 6) D; 7) D; 8) C; 9) A LISTA DE EXERCÍCIOS DE IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS - GABARITO ab ) Calcular sec, sabendo que sen, com a > b > 0 a b Solução Sabendo que a secante vale o inverso do seno, basta calcular o valor do seno utilizando a relação fundamental e inverter o resultado: i) sen ( a b ) ( a b ) a a a ab b b b ( positivo ) ( a b ) a b a a b ( a b ) ( a b ) b
ii) sec b a b a b a b a ) Demonstre as seguintes identidades trigonométricas: a) sec sec sen b) ) cot (sec c) a b b a b a ) )sen( sen( d) tg sen sen ) )cot(5 (5 Solução a) sec sec sen sen sen sen b) ( )( ) ( )( ) ) cot (sec g sen sen sen sen sen sen sen c) ) ( ) ( ) )( ( ) ( ) ( a b b a a b a b a b b a a b sen b a sen a senb b sena a senb b sena b a sen b a sen
d) sen sen tg ) )cot(5 (5 i) ) (5 ) )( ( ) )( ( ) ( ) ( 5º 5º 5º 5º ) (5 sen sen sen sen tg sen sen sen sen sen sen sen sen sen sen tg ii) cot ) (5 ) )( ( ) )( ( ) ( ) ( 5º 5º 5º 5º ) (5 sen g sen sen sen sen tg sen sen sen sen sen sen sen sen sen sen tg iii) ) )cot(5 (5 sen sen sen sen tg ) Simplificar as epressões: a) ) )( ( ) )( sen( tg b) ) sen(7 5 9 sen Solução a) Temos: sen sen ) ( ; sen ) ( ; tg tg ) ( e ) (
sen )( ) ( )( ) Logo, sen sen tg( )( ) ( tg)( ) ( sen sen sen sen sen 9 5 b) Temos: sen sen( ) ; sen e sen ( 7 ) sen Logo, 5 sen sen(7 ) ( sen)( sen) sen 9 ) Usando somas e diferenças, calcular: a) 5 b) cot 65 c) sec 5 Solução a)escrevendo 5º 60º - 5º, vem: 5º (60º 5º ) 60º 5º sen60º 5º 5º 6 b) Escrevendo 65º 0º 5º, vem: (0º 5º) 0º 5º sen0º sen5º cot g65º sen(0º 5º) sen0º5º sen5º 0º 65º 6 6 ( 6 )( 6 ( 6 )( 6 ) ) (6 ) ( 6 6 6 ) c) Escrevendo 5º 60º - 5º, vem:
sec5º sen 5º 6 5º sen(60º 5º ) sen60º 5º sen5º 60º ( 6 ) ( 6 )( 6 ) ( 6 ) 6 6 5) Sendo Solução α sen α, com 0 < α < /, calcule: a) sen α b) 9 5 a) Temos: sen α α Desenvolvendo o 9 9 seno pedido e substituindo, vem: sen α sen α senα α 5 sen α α sen α 9 9 9 b) Temos: α α sen α (α senα ) Substituindo os 5 0 valores, vem: α 6 6) Se e < <, calcular sen() 5 Solução Temos: 9 sen - - 5 5 5 9 6 7 sen 5 5 5 sen sen 5 5 5 5 9 5 6 5 ( positivo ) 5
Escrevendo sen() sen( ) sen sen e substituindo, vem: 7 7 8 sen ( ) 5 5 5 5 5 5 5 7) Resolva as equações trigonométricas em R : a) sen b) sen 5 sen c) d) tg() Solução a) O ângulo cujo seno vale é 5º ou 5º e seus côngruos Logo, é da forma k ou k, com Z Logo a solução será: k sen k ou k sen k b) Para que sen5 sen, temos que 5 e estarão sobre a mesma linha horizontal 5 k k k ou 5 ( ) k 8 k (k ) 8 c) O ângulo cujo seno vale Em ambos os casos, k Z 5 é epressa da forma: ± k k Z 6 é 50º ou 0º e seus côngruos A solução, então d) O ângulo cuja tangente vale é 5º e seus côngruos A solução, então é epressa k da forma: tg k k Z
8) Se M sen60º 0º, calcule M tg05º Solução Encontrando as etremidades dos ângulos com a divisão por 60º, temos: i) 60º ~ 00º ii) 0º ~ 0º iii) 05º ~ 5º Substituindo, vem: M sen60º 0º sen00º 0º tg05º tg5º 9) Se sen, com º quadranteentão qual o valor de tg? 5 Solução Calculando o sseno pela relação fundamentel, temos: 9 6 sen Utilizando a fórmula da tangente, 5 5 5 5 vem: sen tg tg 5 5 5 5 0) Qual é o valor de: sec 60º sec 5º sec0º sec 5º? Solução Substituindo as funções por senos e senos e calculando, temos: 60º 5º sen0º sen5º 0 ) Se e y são dois ar complementares, calcule A ( - y) (sen seny) Solução Desenvolvendo os produtos e lembrando que y 90º, vem:
A y y sen senseny sen y A ( sen ) ( sen A ( y) A 90º A (0) A y y) ( y senseny) ) Calcule sen sabendo-se que tg cotg Solução A cotangente é o inverso da tangente E podemos escrever sen sen tg ctg sen sen sen Temos: sen sen sen sen sen
Índice PREÂMBULO 79 ÂNGULOS 80 Ângulo trigonométrico 80 Classificação de ângulos 8 Ar de circunferência 8 TRIÂNGULOS 8 Semelhança de triângulos 8 Classificação de triângulos 8 TRIGONOMETRIA E RELAÇÕES TRIGONOMÉTRICAS 85 Teorema de Pitágoras 85 Relações trigonométricas de ângulos 87 Fórmula fundamental da trigonometria 88 Um problema de trigonometria 89 SENO, COSENO E TANGENTE COMO FUNÇÕES REAIS DE VARIÁVEL REAL 9 5 PROPRIEDADES IMPORTANTES DAS FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS 9 5 Valores das funções trigonométricas para alguns ângulos-chave 9 Paridade das funções trigonométricas 95 Sinal das funções trigonométricas 96 Monotonia das funções trigonométricas 97 5 Redução ao primeiro quadrante 00 6 Periodicidade das funções trigonométricas 0 7 Resumo das propriedades das principais funções trigonométricas 0 6 RELAÇÕES IMPORTANTES DE FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS 07 Fórmulas de adição e subtracção 07 Fórmulas de duplicação 08 Fórmulas de bissecção 08 Fórmulas de transformação 09 7 FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS INVERSAS Arco seno: arcsen(a) Arco eno: arc(a) Arco tangente: arctg(a) Arco co-tangente: arccotg(a) 5 Resumo: domínio e contradomínio das funções trigonométricas inversas 8 RESOLUÇÃO DE ALGUMAS EQUAÇÕES TRIGONOMÉTRICAS 8 Resolução de equações de funções trigonométricas do tipo f() y Eemplo 5 Funções trigonométricas inversas 5 9 DERIVADAS DE FUNÇÕES CIRCULARES E RESPECTIVAS INVERSAS 7 sen 9 Estudo do lim 7 0 9 Derivadas de funções trigonométricas 8 Derivadas de funções trigonométricas inversas 9 Resumo das derivadas de funções trigonométricas e trigonométricas inversas 0 0 EXERCÍCIOS RESOLVIDOS BIBLIOGRAFIA ERROR! BOOKMARK NOT DEFINED 78