Métodos de Resposta em Freqüência 1. Motivação 2. Gráficos de resposta em freqüência pag.1 Controle de Sistemas Lineares Aula 12
Métodos de Resposta em Freqüência Origem do termo? Entende-se por resposta em freqüência a resposta em estado estacionário de um sistema para uma entrada senoidal Motivação Uma vantagem da abordagem por resposta em freqüência surge do fato da simplicidade com que se pode, experimentalmente, realizar testes de resposta em freqüência de forma precisa usando-se geradores de sinais senoidais disponíveis e instrumentos precisos para medição Geralmente FTs de componentes complicados podem ser determinados experimentalmente por testes em respostas em freqüência Há ainda a vantagem que um sistema pode ser projetado, tal que os efeitos de ruídos indesejáveis possam ser negligenciado pag.2 Controle de Sistemas Lineares Aula 12
Análise de Resposta em Freqüência Saída em Estado Estacionário para entrada Senoidal linear e invariante no tempo G(s), tal que Considere um sistema Y (s) R(s) = G(s) A entrada r(t) é senoidal e descrita da forma r(t) = R sen(ωt) R(s) = R ω s 2 + ω 2 Logo Y (s) = G(s) R ω s 2 + ω 2 = a s + jω + a s jω + b 1 s + p 1 + + b n s + p n sendo a e b i, i = 1,..., n constantes e a o conjugado complexo de a pag.3 Controle de Sistemas Lineares Aula 12
Análise de Resposta em Freqüência Logo aplicando L 1 obtém-se a resposta temporal y(t) = ae jωt + ae jωt + b 1 e p 1t + + b n e p nt, t 0 Para um sistema estável, p 1,..., p n têm parte real negativa. Portanto, em regime, e p 1t + + e p nt tendem a zero, com exceção dos dois primeiros termos... Veja que se Y (s) envolve múltiplos pólos p j de multiplicade m j, então y(t) envolverá termos da forma t h j e p jt (h j = 0, 1,..., m j 1) no entanto, se o sistema é estável, t h j e p jt 0, t pag.4 Controle de Sistemas Lineares Aula 12
Análise de Resposta em Freqüência Portanto, a resposta em estado estacionário é da forma y ss (t) = ae jwt + ae jωt sendo que a constante a pode ser avaliada da resposta no domínio-s: ωr a = G(s) s 2 + ω2(s + jω) s= jω ωr = G(s) (s + jω) (s jω)(s + jω) = RG( jω) 2j s= jω Veja ainda que ωr a = G(s) s 2 + ω2(s jω) = RG(jω) s=jω 2j pag.5 Controle de Sistemas Lineares Aula 12
Análise de Resposta em Freqüência Como G(jω) é uma função de variável complexa, pode-se escrevê-la na forma: sendo Da mesma forma obtém-se G(jω) = G(jω) e jφ { } Im(G(jω)) φ = G(jω) = tan 1 Re (G(jω)) G( jω) = G( jω) e jφ = G(jω) e jφ pag.6 Controle de Sistemas Lineares Aula 12
Análise de Resposta em Freqüência y ss (t) = a e jwt + a e jωt R G(jω) e jφ = 2j e jωt + R G(jω) ejφ 2j e jωt = R G(jω) e j(wt+φ) e j(wt+φ) 2j = R G(jω) sen(ωt + φ) = Y sen(ωt + φ) sendo Y = R G(jω) pag.7 Controle de Sistemas Lineares Aula 12
Análise de Resposta em Freqüência Portanto, para um sistema estável LIT sujeito a uma entrada senoidal, em estado estacionário, a saída será também senoidal, tendo a mesma freqüência que a entrada, porém com amplitude e fase diferentes Nota Conseqüência evidente desta análise: simplesmente substitui-se s por jω pag.8 Controle de Sistemas Lineares Aula 12
Forma gráficas de apresentar resposta em freqüência 1. Diagrama de Bode ou diagrama logarítmico 2. Diagrama de Nyquist ou diagrama polar 3. Carta de Nichols ou Magnitude logarítmica versus diagrama de fase pag.9 Controle de Sistemas Lineares Aula 12
Exemplo Circuito RC com FT G(s) = 1 RCs + 1 G(jω) = 1 jω(rc) + 1 = 1 ( ) j ω ω 1 + 1, ω 1 = 1 RC = 1 τ O gráfico polar é traçado a partir da relação: G(jω) = R(ω)+jX(ω) = 1 j(ω/ω 1) (ω/ω 1 ) 2 + 1 = 1 1 + (ω/ω 1 ) 2 j (ω/ω 1 ) 1 + (ω/ω 1 ) 2 pag.10 Controle de Sistemas Lineares Aula 12
ou na forma polar: G(jω) = G(ω) φ(ω) G(ω) = ( ) 1 ω 1 + (ω/ω1 ), φ(ω) = 2 tan 1 ω 1 A construção de diagramas polares, como apresentados até agora, é relativamente tediosa e não indica o efeito individual de pólos e zeros. A introdução de gráficos logarítmicos, ou diagramas de Bode, simplificam bastante o traçado da resposta em freqüência pag.11 Controle de Sistemas Lineares Aula 12
Por que um diagrama logarítmico? propriedades do tipo: Veja que o logarítmico tem log [(ab)]n cd = n log a + nlog b log c log d ie, termos multiplicativos são convertidos em termos aditivos, e termos que dividem, são algebricamente adicionados com termos negativos... Alguma semelhança com FT descrita em termos de: ganho, zeros e pólos? O logarítmico do módulo da FT é normalmente expresso em decibéis, db, ie 20 log 10 G(ω) No diagrama de Bode, a magnitude (logarítmico do módulo) é traçado em um gráfico e o ângulo (argumento de G(jω)) em outro pag.12 Controle de Sistemas Lineares Aula 12
Exemplo Para o circuito RC obtém-se { [ ] } 1 1/2 20 log G = 20 log 1 + (ωrc) 2 = 10 log { 1 + (ωrc) 2} Para freqüências baixas, ie, ω 1/RC = 1/τ, o ganho logarítmico é 10 log 1 = 0dB Para freqüências altas, ie ω 1/RC, obtém-se 20 log G = 20 log ωrc Particularmente quando w = 1/RC, na chamada freqüência de corte (ou de canto), obtém-se 20 log G = 10 log(1 + 1) = 3.01dB pag.13 Controle de Sistemas Lineares Aula 12
Nota Veja que para freqüências mais altas, tomando-se ω 2 = 10ω 1, ou ω 1 = ω 2 /10 quando se aplica a análise obtém-se neste trecho uma informação de magnitude da forma 20 log ω 2 τ ( 20 log ω 1 τ) = 20 log ω 2τ ω 1 τ = 20 log 10 = 20dB/década pag.14 Controle de Sistemas Lineares Aula 12
Para ω 2 = 2ω 1, obtém-se 20 log ω 2 τ ( 20 log ω 1 τ) = 20 log ω 2 ω 1 = 20 log 2 = 6dB/oitava pag.15 Controle de Sistemas Lineares Aula 12
MASTER 101 10 0 10 20 0 45 90 0.1 Exact curve (a) Exact 10 Linear approximation 1 (b) Figure 8.9 Bode diagram for (1 + j ) 1 Asymptotic curve ( ), degrees db Copyright 1998 by Addison Wesley Longman. All rights reserved.
Para a FT genérica K b Q (1 + jωτ i ) G(jω) = (jω) N M m=1 (1 + jωτ m ) i=1 R k=1 [ 1 + ( ) 2ζk jω + ω nk ( jω ω nk ) 2 ] pag.17 Controle de Sistemas Lineares Aula 12
O módulo logarítmico de G(jω) é Q G(jω) = 20 log K b + 20 log 1 + jωτ i i=1 20 log M (jω) N 20 log 1 + jωτ m k=1 ω nk m=1 R ( ) ( 20 log 1 + 2ζk jω jω + ω nk ) 2 Nota Basta adicionar a parte de cada fator individualmente... pag.18 Controle de Sistemas Lineares Aula 12
O gráfico de fase corresponde à soma dos argumentos de cada fator da FT, ou: φ(ω) = Q tan 1 (ωτ i ) N(90 0 ) i=1 M m=1 R k=1 tan 1 (ωτ m ) ( ) tan 1 2ζk ω nk ω ωnk 2 ω2 pag.19 Controle de Sistemas Lineares Aula 12
Portanto, os quatro tipos de fatores que podem aparecer numa FT são: 1. Ganho constante K b 2. Pólos ou zeros na origem jω 3. Pólos ou zeros no eixo real jωτ + 1 4. Pólos ou zeros complexos conjugados 1 + ( ) 2ζ jω + ω n ( jω ω n ) 2 A curva da função completa é obtida somando-se graficamente as curvas de cada fator pag.20 Controle de Sistemas Lineares Aula 12
Ganho Constante K b 20 log K b = constante em db, φ(ω) = 0 Se K b < 0, o módulo continua sendo 20 log K b, porém a fase passa a ser 180 0 Pólos ou zeros na origem jω Para um pólo na origem 20 log 1 jω = 20 log ω db, φ(ω) = 900 Para um zero na origem 20 log jω = +20 log ω db, φ(ω) = +90 0 pag.21 Controle de Sistemas Lineares Aula 12
Pólos ou zeros no eixo real jωτ + 1 para um pólo em 1/τ, obtém-se 20 log 1 1 + jωτ = 10 log(1 + ω2 τ 2 ) db, φ(ω) = tan 1 ωτ pag.22 Controle de Sistemas Lineares Aula 12
Pólos ou zeros complexos conjugados 1 + ( ) 2ζ jω + ω n ( jω ω n ) 2 O fator quadrático correspondente a um par de pólos complexos conjugados pode ser escrito na forma normalizada 1 + j2ζu u 2, sendo u = ω ω n Portanto, para G(jω) = 1 + 1 ( 2ζ ω n ) jω + ( jω ω n ) 2 pag.23 Controle de Sistemas Lineares Aula 12
Obtém-se 20 log G(jω) = 10 log [ (1 u 2 ) 2 + 4ζ 2 u 2] ( ) 2ζu, φ(w) = tan 1 1 u 2 Quando u 1, 20 log G 10 log 1 = 0 db, φ(w) 0 0 Quando u 1, 20 log G 10 log u 4 = 40 log u db, φ(w) 180 0 resulta numa curva com inclinação de 40dB/década As duas assíntotas encontram-se na linha de 0dB, quando u = ω/ω n = 1 pag.24 Controle de Sistemas Lineares Aula 12
A aproximação é boa para raízes complexas? Veja que as duas assíntotas obtidas são independes do valor do fator de amortecimento, ie, não foi considerado na aproximação para o traçado da curva de magnitude... Próximo a freqüência ω = ω n, um pico ressonante acontece como pode ser esperado de 1 G(jω) = ( ) ( ) 2 1 + 2ζ ω n jω + jω ω n e o valor do fator de amortecimento, ζ, determina a magnitude deste pico ressonante. Para valores pequenos geram-se picos grandes... Isto é ilustrado na próxima figura pag.25 Controle de Sistemas Lineares Aula 12
MASTER 102 20 10 0.05 0.10 0.15 0.20 0.25 0 20 log G 10 0.3 0.4 0.5 0.6 0.8 1.0 20 30 40 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.8 1.0 2 3 4 5 6 8 10 u / n Frequency ratio (a) Phase angle, degrees 0 20 40 60 80 100 120 140 160 0.3 0.4 0.50.6 0.8 1.0 0.05 0.10 0.15 0.20 0.25 180 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.8 1.0 2 3 4 5 6 8 10 u / n Frequency ratio (b) Figure 8.10 Bode diagram for G(j ) = [1 + (2 / n )j + (j / n ) 2 ] 1 Copyright 1998 by Addison Wesley Longman. All rights reserved.
Freqüência de ressonância, ω r e pico ressonante, M ω Pela figura anterior nota-se que o valor máximo de G, denotado por M ω, ocorre na freqüência de ressonância, ω r w r é determinado no máximo de G(jω) = 1 ( ) 2 ( ) 2 1 ω2 + 2ζω ω n ω 2 n pag.27 Controle de Sistemas Lineares Aula 12
Como o numerador de G é constante, o valor de pico de G irá ocorrer quando o valor do denominador (1 ω2 ) 2 + ( ) 2ζω 2 = [ ω 2 ωn 2(1 ] 2 2ζ2 ) + 4ζ 2 (1 ζ 2 ) ω 2 n ω n ω 2 n for mínimo, o que acontece em ω r = ω = ω n 1 2ζ 2 Substituindo ω r em G, obtém-se o pico ressonante M ω = G(ω r ) = 1 2ζ 1 ζ 2 pag.28 Controle de Sistemas Lineares Aula 12
MASTER 103 3.25 1.0 3.0 0.90 2.75 r / n 0.80 2.5 0.70 2.25 0.60 M p r / n 2.0 0.50 1.75 0.40 1.5 M p 0.30 1.25 0.20 1.0 0.10 0.20 0.30 0.40 0.50 0.60 0.70 Figure 8.11 The maximum of the frequency response, M p, and the resonant frequency, r, versus for a pair of complex conjugate poles Copyright 1998 by Addison Wesley Longman. All rights reserved.
MASTER 104 TABLE 8.3 Asymptotic Curves for Basic Terms of a Transfer Function Term Magnitude 20 log G Phase, ( ) 1. Gain, G( j ) K 40 20 20 log K db 0 ( ) 90 45 0 20 45 40 90 2. Zero, G( j ) (1 j / 1 ) 40 20 90 45 db 0 ( ) 0 20 45 40 0.1 1 1 10 1 90 0.1 1 1 10 1 3. Pole, G( j ) (1 j / ) 1 1 40 20 90 45 db 0 ( ) 0 20 45 40 0.1 1 1 10 1 90 0.1 1 1 10 1 4. Pole at the origin, G( j ) 1/j 40 20 90 45 db 0 ( ) 0 20 45 40 0.01 0.1 1 10 100 90 0.01 0.1 1 10 100 5. Two complex poles, 0.1 1, G( j ) 2 1 (1 j2 u u ), u / n db 40 20 0 180 90 ( ) 0 20 90 40 0.01 0.1 1 10 100 u 180 0.01 0.1 1 10 100 u Table 8.3 Asymptotic curves for basic terms of a transfer function Copyright 1998 by Addison Wesley Longman. All rights reserved.