T E X T O D E E V I S Ã O DE C Á L C U L O D I F E E N C I A L & I N T E G A L P A A A F Í S I C A JOSÉ ANALDO EDINZ (DPF/UFV) JULHO DE 4
PEFÁCIO Dunte o tempo em que ministmos disciplin Físic, voltd p os estudntes de divess engenhis, físic, químic e mtemátic, notmos que um gnde pte deles não possuí o domínio d mtemátic que se podei espe, tendo em vist os pé-equisitos dess disciplin. O conteúdo d Físic eige tipicmente, p seu desenvolvimento e complet compeensão, que o estudnte entend e si efetu opeções com vetoes, eliz deivds, integis definids simples, integis de linh, de supefície e de volume. No entnto não é esse o estágio de muitos lunos que ingessm ness disciplin. Podeímos mencion qui inumeáveis eemplos, etidos de noss epeiênci, que evelm flt de intimidde po pte de muitos estudntes, com os conceitos ásicos de cálculo e, em lguns csos, de tigonometi, geometi, ou out áe mis fundmentl d mtemátic. Além disso, notmos muits vezes, um completo despezo pelo igo mínimo que o uso d lingugem mtemátic eige. Sinis são simplesmente tocdos, um sinl + se tnsfom em um mgicmente, temos divegentes (1/) são despezdos, jogdos p deio do tpete, pâmetos constntes se tnsfomm em viáveis e viceves, tudo p que enfim se emit um espost p o polem poposto. Não devei se esse, o compotmento espedo de estudntes ds áes de ciêncis ets, ms enfim, não petendemos ent qui ness discussão. Apens ceditmos que o mesmo desconfoto que cusi em qulque pofesso ve um estudnte esceve fse nóis vi lá puque nóis qué, deve tmém cus ve um estudnte esceve equção 1 1 d. Tendo em vist ess elidde, estmos nos popondo qui ofeece um teto que uilie os estudntes, elemndo, enftizndo e efoçndo su se mtemátic. Nosso teto é totlmente voltdo p disciplin Físic, nos limitemos o conteúdo elevnte e um enfoque que ceditmos sej útil e, o mesmo tempo, minimmente igooso p ess disciplin. Ao longo do teto popomos lguns poucos eecícios, p que o estudnte inteessdo teste seu conhecimento no ssunto. O conteúdo eposto qui pode se encontdo em qulque livo de cálculo, e não estmos nos popondo sustitui disciplins ou livos tetos. Pelo contáio, tocemos p que os estudntes cusem cd vez com mis inteesse esss disciplins, eneguem elez que mtemátic muits vezes evel, ssimilem s lições de igo e etidão que ess ciênci nos tnsmite e pocuem se inspi nos utoes de livos tetos consgdos ness áe. Ao cheg n disciplin Físic, os estudntes já teão estuddo todos os conceitos qui discutidos, e já devem te tido opotunidde de eecit-los em divesos polems. Ms elidde é que, po lgum motivo que nos escp à elucidção, um sem-númeo de estudntes esquece quse tudo em um tempo muito cuto. Tlvez o despezo pelo igo mtemático, quiçá eveldo de um despezo pel pópi mtemátic, estej elciondo com esse fenômeno. Seá conceível um estudnte de medicin, ou um médico que despezem iologi? Não sejmos ingênuos, deve hve muitos, finl, ninguém pecis se o que é um mitocôndi p pesceve um emédio p gipe. Só nos est toce p que não nos depemos com eles no pecuso, ou nos peclços, de nosss vids. Como já se disse, ensin não é enche um lde vzio, ensin é cende um chm. Po lgum motivo, que não petendemos discuti qui, ess chm às vezes pemnece inete, fi como o gelo. Não possuímos fomção específic em um cuso foml de mtemátic, sej em nível de gdução ou pós-gdução. Po isso pesentemos um visão d mtemátic do ponto de vist de um físico, cientes de nosss limitções ness áe, ms cientes tmém de nosss esponsiliddes e devees cdêmicos. Não queemos, no entnto, que fique impessão de que somos simples leigos chutdoes. Aceditmos que possuímos fomção e epeiênci, n áe de mtemátic, suficientes p tef modest - que nos 1
popomos. N gdução cusmos váis disciplins ness áe, lém de outs que cusmos, po vontde pópi, no IMPA (Instituto de Mtemátic Pu e Aplicd), no io de Jneio. Acim de tudo dmimos mtemátic e temos espenç de tnsmiti, e quem se contgi, ess dmição no teto que se segue. Algums vezes somos questiondos n sl de ul, se o que estmos odndo tt-se de físic ou de mtemátic. N noss opinião, e de muits utoiddes no ssunto, não podemos sep um ciênci d out. Já se disse que físic é o estudo dos fenômenos ntuis pssíveis de descição mtemátic, o esto sei stologi. A ess popiedde d ntuez, que fz descitível tvés de fomulções mtemátics, P. A. M. Dic, pêmio Noel de físic, denominou qulidde mtemátic d ntuez. A físic e mtemátic evoluím e evoluem junts, como nos csos do cálculo com mecânic clássic, e d nálise vetoil com o eletomgnetismo. A físic tmém ge mtemátic, como no cso d teoi egódic, tod um áe moden de pesquis n mtemátic que teve oigem pós os tlhos de Boltzmnn n mecânic esttístic. Po esss zões, ceditmos que o incentiv o estudo d mtemátic estemos melhondo fomção dos estudntes em físic. P eloção desse teto nos semos pinciplmente n coleção de quto livos de títulos Cálculo 1, Cálculo e etc. de Geoge B. Thoms J., pofesso eméito de mtemátic do MIT/USA. Nossos eemples desses livos fom editdos pel LTC em 1978, e fom dquiidos, num golpe de sote, n Fei do Livo Usdo em Vitói, ES, nos tempos de fculdde. Segundo o uto desses livos, os estudntes devem se epostos desde cedo à idéi de que um deivd é um t de vição, e de que um integl é um som. Pocuemos enftiz qui ess visão pátic do cálculo. 1- FUNÇÕES, LIMITES E GÁFICOS DE FUNÇÕES: Um função é um eg que ssoci elementos de um conjunto (domínio) elementos de outo conjunto (imgem). A cd elemento do domínio eg ssoci pens um elemento d imgem. Nos limitemos qui pinciplmente funções definids em conjuntos de númeos. Se f é função, dizemos que f ssoci D f ( ) I. Po eemplo, função f : ssoci um númeo no conjunto dos eis ( ) um outo númeo no conjunto dos + eis positivos ( ). Escevemos simplesmente f ( ) 4 ou ind f ( ) 9. A função módulo f : + tmém ssoci númeos em númeos em f ( ) e f ( 5) 5. De mnei gel., po eemplo, Algums vezes um função não está nem definid em um ponto pticul, po eemplo, ms podemos est inteessdos no vlo dess função qundo nos poimmos infinitmente desse ponto. Se o ponto está pedido no meio do domínio de f, podemos nos poim dele tnto pel esqued qunto pel dieit. Chmmos ess opeção - de poimção infinit d viável do ponto - de tom o limite de tendendo, denotd po lim. Qundo nos poimmos pel esqued, ou sej, po vloes de menoes do que, denotmos o limite po lim. Qundo nos poimmos pel dieit, ou sej, po vloes de mioes do que, denotmos o limite po lim +. Se está no domínio de f, ou sej, se está definid imgem f (), então, função f é dit contínu em se lim f ( ) f ( ) lim f ( ). + Po eemplo, função f ( ) 1/( 1) não está definid em 1 e lim 1 f ( ). Ess notção signific que f (), nesse limite, é mio que qulque númeo positivo que você pude imgin. A função f ( ) sen ( ) / não está definid em, pois esult em /, ms pode-se demonst que nesse cso lim f ( ) 1. N figu (1) mostmos os gáficos de lgums funções stnte comuns:
) f ( ) + com e constntes, cujo gáfico é um et, que pss pelo ponto (, f () ) e que possui inclinção. ) f ) + + c c) d) e) (, cujo gáfico é um páol, com oc p cim se > <. f ( ), cujo gáfico é um hipéole, que não está definid em. p < f ( ), cujo gáfico pesent um descontinuidde em p ou p io se. Note nesse gáfico indicção de que em função ssume o vlo 4, mcdo com ol chei, e não, mcdo com ol vzd. k ( ) e, que tmém denotmos po ( ) ep( k ) f f) f ) ln f. (, o logitmo ntul, que só está definido p >. FIGUA 1: gáficos de lgums funções comuns. Podemos defini tmém funções de váis viáveis, como, po eemplo, f (, ) + e f (, θ, ϕ) cosθ senϕ. A áe A de um etângulo de ldos e, po eemplo, é dd pel função A, ) (. Os gáficos desss funções são epesentdos po supefícies ou outos ojetos mis complicdos e té mesmo impossíveis de seem desenhdos no plno. Eecício: Fç gáficos ds funções f ( ) e f ( ) 1/( 1) com 5 < < 5. Antes de vnçmos, é inteessnte fze qui um evisão ds popieddes de lgums funções que pecem feqüentemente em físic. f ( ) ep k e com k um constnte. A se e vle poimdmente k Função eponencil: ( ) e,7188. Note que f ( + ) ep( k ( + ) ) ep( k + k ) ep( k )ep( k ) f ( ) f ( ) Função logitmo ntul, ou nepeino: f ) ln eponencil, pois se (. A função logitmo ntul é inves d função e então ln ln e ep ln. O logitmo ntul é, ou ind, ( ) e ( ) o logitmo n se e, ou sej, o logitmo ntul de um númeo > é o númeo que temos que elev se e p que dê como esultdo, ou sej, e. Note que k k f ( ) ln ( ) ln + ln f ( ) + f ( ) e f ( ) ln ( ) k ln k f ( ) com k um númeo cionl. A popiedde ln ( ) ln + ln está ns ízes históics d oigem d função logitmo..
Antes d eistênci ds clculdos eletônics, tef de multiplic dois númeos gndes equei um ocdo de tempo e esfoço. John Npie (dí o nome nepeino) teve idéi de ci um função que pemitisse elizção de podutos tvés de soms. Assim, p clcul, pimeio se chv em um tel de logitmos os númeos ln e ln, se somv esses dois númeos e finlmente se ln + ln. Note ind que pocuv novmente n tel qul o númeo coespondente o logitmo ln. Já mencionmos que função logitmo só este definid no conjunto ln 1 e que ( ) dos númeos positivos. De fto, o logitmo de um númeo negtivo é um númeo imgináio, po eemplo, ln 1 i, com i 1. Podeímos nos pegunt po que s funções eponencil e logitmo estão ( ) π definids n se e, um númeo que vle poimdmente, 718 e que lém de icionl é tnscendentl. De fto, escolh dess se está n iz d pópi definição de logitmo, como áe io d hipéole e, po conseguinte, n função eponencil, como inves d função logitmo. Nd nos impede de defini funções eponencil e logitmo em ses difeentes, como po eemplo, o logitmo deciml ( 1 ). No entnto, se e se integ de um mnei únic às outs funções e pemite iθ iθ cos θ 1 e + e e ind e iπ +1. f ( ) sen. Tt-se de um função peiódic que ssume vloes no intevlo [,1] e de peíodo T π, pois f ( + T ) f ( ) p todo. Vle ind f ( ) sen e f ( π / ) senπ / 1. A inclusão de um constnte k, n fom f ( ) sen ( k ) define um função de peíodo T itáio, dependente do vlo de k. De fto, p stisfze iguldde f ( + T ) f ( ), ou sej, sen ( k( + T )) sen ( k ), deve vle: sen ( k + k T ) sen ( k ), ou sej, k T π e potnto T π / k. f ( ) cos. Possui popieddes nálogs às d função seno. Vle f ( ) cos 1 e f ( π / ) cos ( π / ). Vle lem ind que sen ( + ) sen cos + sen cos e cos( + ) cos cos sen sen. Aind: sen + cos 1 p todo. escevemos igulddes intigntes como, po eemplo: ( ) Função seno: Função co-seno: DEIVADAS DE FUNÇÕES: Consideemos tef de clcul inclinção de um et dd (vej figu ()). Assumindo que s escls nos eios veticl e hoizontl são s mesms, inclinção d et é simplesmente tngente do ângulo que et fz com o eio hoizontl. Ess inclinção pode se então medid com um tnsfeido ou simplesmente clculd tvés d constução de um tiângulo etângulo cuj hipotenus coincide com et. Assim, se m é inclinção d et, otemos: Δ m tn θ Δ Po eemplo, se um veículo vij com velocidde constnte V num estd et, então su posição o longo d estd cesceá linemente no tempo t, isto é, ( t) + V t. O gáfico de (t) vesus t seá um et e inclinção dess et seá velocidde V do veículo, ou sej: Δ ( t ) ( t1) + V t ( + V t1) V ( t t1) m V Δt t t t t t t 1 sendo t 1 e t tempos itáios. Consideemos go tef de clcul inclinção m de um cuv, dd po um função f () contínu (vej figu ()). É fácil not que ess inclinção, de fto inclinção d et tngente à cuv, mud em cd ponto. Assim, é mis coeto flmos d inclinção ) 4 1 1 m ( d cuv no ponto. Podemos simplesmente
desenh um cod que conect o ponto, ( )) ( f um ponto mis dinte ( Δ, f ( + Δ)) + soe cuv. A inclinção dess cod é: m cod f ( + Δ) f ( ) + Δ f ( + Δ) Δ f ( ) FIGUA : inclinção (deivd) de um et e de um cuv. Se imginmos go que o ponto Δ, ( + Δ )) ( + f se poim do ponto (, f ( )) ( f cod se poim d et tngente à cuv no ponto, ( )). Ou sej: f ( + Δ) f ( ) m( ) lim Δ (1) Δ Po eemplo, se f ( ), então f ( + Δ) ( + Δ) + Δ + ( Δ) e ssim:, podemos ve que + Δ + ( Δ) Δ( + Δ) m( ) lim Δ lim Δ lim Δ + Δ Δ Δ A nov função m (), otid d função f (), é chmd de deivd d função f (). Ess nov função é epesentd comumente de dus foms, dependendo d conveniênci. Podemos epesent função deivd po f '( ) ou ind: df () d Ness últim epessão os símolos difeenciis df e d epesentm novs viáveis, que, po definição, estão elcionds po: df f '( ) d (vej figu ()). um constnte: N tel que se segue eiimos lgums funções de uso feqüente e sus deivds. Considee que k é Função f () Deivd f '( ) n n 1 n sen ( k ) k cos( k ) cos( k ) k sen ( k ) k e k k e ln 1 / Podemos defini tmém deivds de odem supeio, como deivd segund de f () no ponto, epesentd po f ''( ) ( f '( )) ', ou ind d df d f d d d () Definimos tmém deivd tecei f '''( ) (ou f ( ) ) e etc. 5
Cso não tomemos o limite Δ, ms consideemos simplesmente Δ pequeno, otemos um epessão que poim função f em um ponto + Δ em temos dess mesm função em um outo ponto, ou sej: f ( + Δ) f ( ) + f '( ) Δ ( Δ ) A figu () ilust ess poimção. Note que epessão cim poim o veddeio slto em f (), Δ f de f ( + Δ) f ( ) Δ, mis df se poim de Po eemplo, se, pelo vlo de df, que é de fto o slto o longo d et tngente. Qunto meno o vlo Δ f. f ( ), então ( ) 9 f e (,1) 9, 61 podeímos estim o vlo de f (,1 ) pel epessão cim, esultndo em: A notção f etmente. Cso não souéssemos, f (,1) f ( +,1) f () + f '( ) (,1) 9 + (,1) 9 +,6 9,6 f ( ) usd cim denot função f () vlid em. Se quiséssemos um mio pecisão nos cálculos, podeímos fze uso do Teoem de Tlo, que define séie de Tlo como um epessão et p um função (infinitmente difeenciável) f em um ponto + Δ em temos dess mesm função e de sus deivds, em um outo ponto : f ''( ) f '''( ) f ( + Δ) f ( ) + f '( ) Δ + ( Δ) + ( Δ) +...!! sendo n! n( n 1)( n )... 1 função ftoil (! 1! 1). Esse teoem se plic um gnde conjunto de funções, como polinômios, sen, e, etc. Assim, voltndo o nosso eemplo, como f (,1) que é o vlo eto de f ( +,1) f () + ( > f ''( ), f '''( ) e f n ) ( ), otemos: f '( ) (,1) (,1) + f ''( ) 9 +,6 +,1 9,61 (,1). Cso nos depemos com um função cujs deivds são tods não nuls, podeemos ote vloes poimdos simplesmente tuncndo séi em lgum ponto. A posição em que tuncmos séie é itái, dependendo d pecisão lmejd. Eecício: Use séie de Tlo p estim o vlo de 7, com 5 css decimis. Confi seu esultdo usndo um clculdo (note que 7 ). Um out fom de poim funções po séies é que fz uso d Fómul Binomil de Newton. Todos semos desenvolve s séies ( + ) + + e ( + ) + + +. Qul seá epnsão de 15 ( + )? Isc Newton espondeu ess pegunt, mis ind, ele espondeu tods s pegunts, ou sej: N N N 1 N( N 1) N N( N 1)( N ) N ( + ) + N + + +... ()!! p N inteio positivo. Podemos compct ess epessão n fom: N N N! N n n ( + ) n n!( N n)! Um cso pticul dess epessão é, p 1 : N N N! n ( 1+ ) n n!( N n)! 15 15 Consideemos então função f ( ) (1 + ). Qunto vle ( 1,1)? A clculdo nos fonece imeditmente (1,1) 15 1.1696... Como eecício, vmos esquece esse esultdo po enqunto e vmos estim o vlo de 15 ( 1,1) usndo séie inomil de Newton. Note que p, vle: 6
Então: (1,1) Finlmente: 15 No cso d função (1 +,1) 15 f ( ) + 15 15 14 15 14 1 (1 + ) 1+ 15 + + 6 1+ 15 +... (,1) + 15(,1) + 455(,1) 1+,15 +,15 +, 455 (1,1) 15 1.16955 α (1 ) com α não sendo um inteio positivo, epnsão inomil se tnsfom num séie infinit, dd pel equção (). Voltndo às deivds, se f f () e (t), ou sej, se f é um função implícit de t, usmos eg d cdei p clcul df / dt : df df d (4) dt d dt Po eemplo, se f ( θ ) sen ( kθ ) com k um constnte, então, sej u kθ. Nesse cso f f (u) e u u(θ ), e potnto: df dθ df du du dθ d du d sen u kθ (cosu) k k cos( kθ ) dθ Um outo eemplo: considee um ci d águ que tem fom de um plelepípedo de se etngul de ldos e e ltu L. Um tonei está enchendo ess ci com um vsão de ϑ litos po segundo. Ptindo d ci vzi em t, qunto tempo lev p ci enche? Sej h (t) ltu do nível d águ no tempo t ( h ( ) ). Então, o volume de águ contido n ci no tempo t V ( t h t (em é ) ( ) etmente ϑ (em m ). Se não há vzmentos de águ, t de vição no tempo desse volume deve se m / s ), ou sej: dv dv dt dh dh dt dh dt ϑ então dh dt ϑ (em m / s ). Ess últim equção (difeencil) é fácil de se esolvid, otemos: ϑ ϑ h ( t ) h () + t * t e potnto, o instnte em que ci encheá seá quele t p o qul * L ou sej t (em segundos). ϑ h ( t * ) L, Eecício: use eg d cdei p clcul deivd de g ( g ( ) f ( ) e em elção à, sendo ) um função difeenciável. O fto de que deivd de f () clculd em é inclinção d et tngente à cuv de f () vesus no ponto sugee muits plicções pátics desse conceito. Po eemplo, se estive pedido no meio do domínio de f e se nesse ponto função contínu f pesent um máimo ou um mínimo, então, vle f '( ). Consideemos o seguinte eemplo: Um ficnte de lts de lumínio p efigentes desej fze um lt cilíndic que contenh um ddo volume ϑ ( cm ). Supondo que ess lt deveá te se cicul de io e ltu H, deteminemos s dimensões ideis d lt p que o gsto de mteil sej mínimo. Pimeimente podemos identific um elção ente e H dd po ϑ π H, sendo que ϑ seá considedo um constnte nesse polem. O gsto G de mteil, considendo que folh de lumínio tem um espessu dd, pode se medido pel áe d lt, dus tmps n fom de disco e um etângulo ltel, ou sej: G (, H ) π + π H π ( + H ) 7
À pimei vist pode pece que G é um função de dus viáveis, ms de fto eiste um vínculo que elcion H / e ssim: e H. Assim, podemos elimin, po eemplo, viável H usndo ϑ G( ) π ( + ) π Note que se quisemos economiz muito n áe d se d lt, fzendo, então G. Se, po outo ldo, economizmos n ltu d lt, fzendo H, então H / implic que e novmente G. Deve hve um vlo intemediáio de, ente e, p o qul o gsto é mínimo. De fto, n figu * () que most o gáfico de G () vesus, podemos identific um ponto de mínimo. ϑ π ϑ π FIGUA : gáfico do gsto de mteil em um lt de volume fio em função do io d se. P ch o vlo desse * ótimo st esolve equção: dg d * ϑ π * * ou sej, * ϑ π Usndo elção ente H e otemos ltu comptível com esse io, ou sej: * ϑ * H π Concluímos então, que lt mis econômic é quel que tem seção tnsvesl veticl qudd, de ldo * * H. Seá que no mundo el se oedece ess popoção? P test, medimos um lt comum de efigente, de 5 ml. Otivemos EAL, 5 cm e H EAL 1, 4 cm, coespondendo um volume d lt ϑ EAL 411 cm. P esse volume el, s dimensões ideis econômics seim: * 4 cm e H 8 cm Conclusão: s dimensões d lt el estão em distntes ds dimensões ideis. O gsto de mteil com lt * el é G( EAL ) 19, cm, enqunto que o gsto idel sei G( ) 6, cm. Há potnto um gsto em ecesso de poimdmente 1, cm de mteil, cec de 4,% mis do que o idel. Um hipótese p ess pente insenstez, é que tlvez s cinçs não conseguissem segu em um mão um lt que tivesse 8 cm de diâmeto. Dí els eeim menos efigentes e o que pecei to p o ficnte ci sindo co. P um função de um viável pens, f (), podemos intepet deivd d seguinte fom: se ptimos de um ponto e nos deslocmos um pouco p fente no eio, p + d ( d ), função f dá um slto do vlo f ( ) p o vlo f ( + d) f ( ) + f '( ) d. Ou sej, o tmnho do slto n função f é df f '( ) d. Consideemos go um função de dus viáveis f (, ). O gáfico dess função é um supefície. Se ptimos de um ponto (, ) e ndmos um pouco p fente, qul seá o slto n função f (, )? A espost ess pegunt depende d dieção em que ndmos. Ago podemos nos desloc soe um plno, o plno, e eistem infinits dieções que podem se tomds, ptindo de um ponto. Consideemos * 8
então que vmos nd o longo do eio, mntendo constnte ( ). Nesse cso, siemos do ponto, ) e vmos p o novo ponto + d, ). O slto em f seá: ( ( f df Consideemos go que vmos nd o longo do eio, mntendo constnte ( do ponto (, ) e vmos p o novo ponto (, + d). Nesse cso, o slto em f seá: f df,, d d ). Nesse cso, siemos f f As funções f (, ) e f (, ) são s deivds pciis d função f. No cso de nos d deslocmos simultnemente em e em, do ponto (, ) p o ponto ( + d, + d), o slto em f seá: df f f d +,, d (5) Po eemplo, considee um lão de och de fom cilíndic, com se cicul de io e ltu H. ϑ Suponh que estejmos enchendo esse lão de tl fom que seu io estej umentndo n t constnte ( m / s) e que su ltu estej umentndo n t constnte H volume V do lão? A elção ente s viáveis do polem é lt que odmos nteiomente, e H são dus viáveis independentes. A t que estmos pocundo é: com: d dt ϑ dh dt e H V V dv d + dh H V ϑ. Vle tmém, π H dv dt ϑ ( m / s ). Qul t de vição no tempo do V (, H ) π H. Note que nesse cso, difeentemente do cso d dv dt V V H e H d dt V + H π dh dt. Assim: π ( t) H ( t) ϑ + π ( t) ϑ (em m / s) Ness epessão cim, deimos po sustitui s funções: ( t) () +ϑ t e H ( t) H () +ϑ t. Podemos us ess mesm idéi cim p deduzi um epessão p deivd d zão ente dus funções ) / ( ) (, ), então: f ( g. Sej U f g f / g H d d f ( ) g( ) du d U f df d U + g dg d 1 g f f '( ) g g '( ) g( ) f '( ) f ( ) g '( ) [ g( )] Eecício: Detemine númeos eis positivos cuj som sej um númeo fio M e cujo poduto P sej máimo. Dic: Defin função P (,, z) z, elimine ness função um ds viáveis, digmos z M e che os vloes de e p os quis P / e / P. - VETOES: N físic encontmos gndezs que ficm em definids tvés d simples tiuição de seu vlo numéico, s chmds gndezs escles. Um eemplo é tempetu. Po outo ldo, eistem gndezs que gudm mis infomções que um simples mgnitude. Um eemplo é velocidde instntâne de um veículo. A 9
velocidde é um gndez vetoil, ou sej, um gndez que, p est completmente definid, deve te especificds su mgnitude (digmos 1 ), su dieção (digmos, o longo do eio note-sul) e seu Km / h sentido (do note p o sul, po eemplo). Outos eemplos de gndezs vetoiis são foç, celeção e o toque. Podemos epesent os vetoes tvés de sets, com um tmnho ( mgnitude d gndez físic), um dieção e um sentido em definidos. Um veto é denotdo comumente po A e mgnitude, ou módulo, do veto po A A. Podemos defini tês opeções ásics ente dois vetoes A e B. P defini o veto som S A + B, desenhmos A e B com sus etemiddes iniciis no mesmo ponto. Completmos figu de um plelogm. O veto S é então o que está o longo d digonl do plelogm, ptindo d oigem comum de A e B. Um out mnei de defini S A + B é desenh o veto A, desenh o veto B com su etemidde inicil n pont do veto A, então, S é o veto que si do início de A e tem pont n pont de B (vej figu (4)). Ao fze esss opeções, só devemos tom o cuiddo de desloc (tnsld) os vetoes mntendo sus popieddes ásics intcts, quis sejm: módulo, dieção e sentido. Se B é um veto, então veto de mesmo módulo, mesm dieção ms sentido contáio o de B ( B + ( B) ). B é um outo FIGUA 4: definição geométic d som de dois vetoes. denotdo po Podemos defini dus opeções de poduto ente vetoes. O poduto escl ente dois vetoes A e B, A B, dá como esultdo um escl: A B A B cosθ (6) em que θ é o meno ângulo ente os vetoes A e B (desenhdos com sus etemiddes iniciis no mesmo ponto). N figu (5), é fácil ve que pojeção de A soe B, que denotemos po A B é A B A cosθ e d mesm fom, pojeção de B soe A é B A B cosθ. Potnto, podemos esceve o poduto escl como: A B AB B A B A Se dois vetoes A e B são otogonis ente si ( θ π / ), ou sej, se um veto não tem pojeção (som) soe o outo, então A B. Po eemplo, n físic, o tlho de um foç F constnte, que tu em um ojeto o longo de um deslocmento d é ddo po: W F F d Fd d F d F Potnto, se ess foç não tem componente o longo do deslocmento, W. F 1
FIGUA 5: poduto escl e poduto vetoil ente dois vetoes. eg d mão dieit. O poduto vetoil ente dois vetoes A e B, denotdo po A B, dá como esultdo um teceio veto V A B. Esse veto é definido pels seguintes popieddes: - O módulo de V A B é V A B A Bsenθ, sendo θ o meno ângulo ente os vetoes A e É fácil ve que B (desenhdos com sus etemiddes iniciis no mesmo ponto). - A dieção de V A B é otogonl o plno definido pelos vetoes A e B. - O sentido de V A B é definido pel eg d mão dieit: pssndo os dedos d mão dieit no sentido que vi de A p B, tvés do meno ângulo (θ ), o dedo poleg pontá no sentido de V A B (vej figu (5)). A B B A e que A B se A e B possuem mesm dieção ( θ ou θ π ). N físic, o toque de um foç F que tu num ponto de posição em elção um ponto de efeênci é: τ F F Assim, se e F foem colinees, não hveá toque. Podemos defini funções vetoiis, como A () ou B (, t). As deivds desss funções oedecem egs stnte simples, quis sejm: d da db A( ) B( ) B + A e d d d d d da db A( ) B( ) B + A d d N póim seção odemos epesentção lgéic (não geométic) de vetoes, tvés de sus componentes em sistems de coodends. Um conceito que nos seá útil é o de veto unitáio, que denotemos po Â, o invés de A, e que é simplesmente um veto de módulo 1. Esses vetoes são então úteis p epesent dieções e sentidos em definidos no espço. 4 SISTEMAS DE COODENADAS: Um sistem de coodends é um mnei de nos efeimos os pontos do espço em temos lgéicos. Um ponto no espço é um ojeto geomético e eistem infinits mneis de nos efeimos ele. Em gel um sistem de coodends é definido tvés de um estutu de eios de efeênci, em elção os quis s coodends são medids. No espço el, tidimensionl, pecismos sempe de tês coodends p nos efeimos um único ponto. 4.A COODENADAS CATESIANAS No sistem de coodends ctesins, cd ponto do espço é ssocido tês númeos eis que epesentm s pojeções desse ponto em tês eios otogonis ente si, os eios, e z (vej figu (6)). As pojeções de 11
um veto são de fto segmentos oientdos, ou sej, que possuem um sinl. As pojeções que ficm de ceç p io, ou sej, o longo ds poções negtivs dos eios, são negtivs. Então, no sistem ctesino os pontos do espço são epesentdos po,, ) +. ( z com, e z númeos que vim de FIGUA 6: sistems de coodends ctesins, cilíndics e esféics. Um veto desenhdo no espço, n pesenç de um efeencil ctesino, pode se decomposto em tês componentes A, A e A z, que são s pojeções (positivs ou negtivs) do veto o longo de cd um dos eios coodendos. Podemos então epesent o veto A lgeicmente po (, ). Um mnei mis A A A, A pátic de epesent os vetoes é tvés dos vetoes unitáios ˆ, ŷ e ẑ. O veto ˆ, po eemplo, pont n dieção e no sentido do cescimento d coodend. Dess fom, como já semos som vetoes, é fácil z constt que: A A ˆ + A ˆ + A zˆ z As opeções com vetoes que definimos nteiomente ficm stnte fáceis de seem elizds usndo s componentes ctesins. Pimeimente notmos que ˆ ˆ 1, ˆ ˆ 1, z ˆ zˆ 1 e que ˆ ˆ, ˆ zˆ, z ˆ ˆ, e ind ˆ ˆ, ˆ ˆ, z ˆ zˆ e mis ind ˆ ˆ zˆ, ˆ zˆ ˆ, zˆ ˆ ˆ. Usndo então popiedde distiutiv d som e do poduto, otemos: A A A A + A + Az A + B ( A + B ) ˆ + ( A + B ) ˆ + ( Az + Bz ) zˆ A B A B + A B + Az Bz ( ) ˆ + ( ) ˆ + ( ) ˆ A B A B z A B z A B z A B z A B Consideemos tef de clcul distânci d ente dois pontos, que p simplific, supoemos ( 1, 1 e (, ) esses dois pontos. Constuímos os dois vetoes A ˆ ˆ 1 + 1 ˆ ˆ +. N figu (7), é fácil ve que distânci pocud é o módulo do veto D A B, ssim: d D A B ( ) ˆ + ( ) ˆ ( ) + ( contidos no plno. Sejm ) e B A 1 1 1 1 ) B z 1
Eecício: Sejm FIGUA 7: distânci ente dois pontos, vist como o módulo de um veto difeenç. A ˆ + 6 ˆ zˆ e B ˆ + 9 ˆ zˆ A B. ) Clcule o meno ângulo ente A e B. Fç desenhos desses vetoes.. ) Detemine: A B +, A B, A B e 4.B COODENADAS CILÍNDICAS No sistem de coodends cilíndics, os pontos do espço são indedos po tês númeos eis, distânci em elção um eio ( z ), que chmmos de, um pojeção o longo desse eio, mesm coodend z definid nteiomente, e um ângulo ente pojeção do io no plno e o eio, chmdo de ϕ (vej figu (6)). Então, no sistem cilíndico os pontos do espço são epesentdos po (, z, ϕ) com vindo de +, z de +, e ϕ de π. Anlogmente o que fizemos p o sistem de coodends ctesins, podemos qui defini tês vetoes unitáios: ˆ que pont n dieção e no sentido do cescimento do io, ẑ (o mesmo ds coodends ctesins) e ϕˆ que pont n dieção e no sentido do cescimento do ângulo ϕ. Assim, qulque veto pode se escito em temos ds sus componentes cilíndics: A A ˆ + A zˆ z + Note que, difeentemente dos vetoes unitáios ˆ, ŷ e ẑ, os vetoes ˆ e ϕˆ não são constntes, ou sej, dependendo do ponto do espço, esses vetoes podem te dieções e sentidos em divesos. É fácil not que ˆ ˆ. Podemos not tmém que dieção de ˆ( ϕ) (ou sej, ˆ é função do ângulo ϕ ) e que tmém ϕ ˆ( ϕ ϕ) ϕˆ é dieção tngente às cicunfeêncis plels o plno e centds no eio z. O sentido de ϕˆ é ddo pel eg d mão dieit: pontndo o dedo poleg n dieção e sentido do eio z, os outos dedos pontm no sentido de ϕˆ. Como eemplo, suponh que um ped fi num nte, de compimento, estej sendo gid no plno constnte do nte com velocidde ngul constnte ω. Deteminemos o veto velocidde line V dess ped. Adotndo um sistem cilíndico com oigem no cento d óit d ped e eio z otogonl o seu plno de gio, o veto posição d ped seá então ( t) ˆ( t). Note que ˆ depende do tempo t. Então, sendo que de fto ˆ ˆ( ϕ( )) 1 A ϕ ϕ ˆ t e que d ϕ / dt ω (estmos dmitindo que ϕ está umentndo com o tempo, ou sej, estmos fzendo um hipótese soe o sentido de gio d ped), otemos: d d dˆ dϕ dˆ ˆ ( ( )) V ϕ t ω dt dt dϕ dt dϕ P teminmos o polem, flt encont então deivd d ˆ / dϕ ente ˆ e ϕ, ou sej, pecismos conhece função ˆ ˆ( ϕ). P isso pecismos conhece elção. Não entemos nesse nível de detlhe qui. Ms podemos temin nosso eemplo econhecendo o fto de que velocidde line d ped deveá se tngente à
óit d ped, ou sej, tngente um cículo centdo no eio z. Ess dieção é simplesmente ϕˆ. Assim, mesmo sem pov, podemos fim que: Potnto, velocidde line d ped é V ω ˆ ϕ. dˆ ˆ ϕ dϕ Eecício: Escev o veto em coodends ctesins. 4.C COODENADAS ESFÉICAS No sistem de coodends esféics, os pontos do espço são indedos po tês númeos eis, distânci em elção um oigem, que chmmos de (note que esse tem um significdo em difeente do ds coodends cilíndics), um ângulo ente esse io e um eio veticl ( z ), chmdo de θ e um ângulo ente pojeção do io no plno e o eio, chmdo de ϕ (vej figu (6c)). Assim, no sistem esféico os pontos do espço são epesentdos po (, θ, ϕ) com vindo de +, θ de π, e ϕ de π (note que não é necessáio que θ vie de té π ). Anlogmente o que fizemos p os outos sistems de coodends, podemos qui defini tês vetoes unitáios: ˆ que pont n dieção e no sentido do cescimento do io, θˆ que pont n dieção e no sentido do cescimento do ângulo θ e ϕˆ que pont n dieção e no sentido do cescimento do ângulo ϕ. Qulque veto pode se escito em temos ds sus componentes esféics: ˆ + ˆ A A A θ Aϕϕˆ + θ Note que, qui tmém, difeentemente dos vetoes unitáios ˆ, ŷ e ẑ, os vetoes ˆ, θˆ e ϕˆ não são constntes, ou sej, dependendo do ponto do espço, esses vetoes podem te dieções e sentidos em divesos. É fácil not que ˆ ˆ( θ, ϕ) ˆ θ ˆ( θ θ, ϕ e ˆ ϕ ˆ( ϕ θ, ϕ). (ou sej, ˆ é função dos ângulos θ e ϕ ) e que tmém ) Suponhmos que um stélite de mss m estej gindo em tono d te, so ção d gvidde. Podemos most que óit desse stélite está contid em um plno. P isso, só pecismos se que foç gvitcionl é centl, ou sej, está sempe dieciond n linh que pss pelo stélite e pelo cento d te. Consideemos um efeencil esféico fio com oigem no cento d te. Se F é foç gvitcionl que tu no stélite, então F F ˆ (F é centl). Pel Lei de Newton, celeção do stélite tmém é dil, ou sej, ˆ. Assim, sej L o momento ngul do stélite, em elção à oigem, L mv, sendo posição e V d / dt velocidde do stélite. Então: dl d d dv ( mv ) m V + m mv V + m dt dt dt dt Ms, semos que V V e que, pelo mesmo motivo, ˆ ˆ ˆ. Conclusão: o stélite se move com momento ngul mntido constnte, ou sej ( t) V ( t) C, C não dependendo do tempo. Como C é otogonl e V, então, ecipocmente, e V são otogonis um veto constnte. Dí, e V se mntém no plno otogonl o veto C, ou sej, óit está confind um plno. Eecício: Escev o veto em coodends ctesins. 14
5 INTEGAIS INDEFINIDAS E DEFINIDAS: Consideemos go tef de, dd um função (deivd) f (), encont um função (pimitiv) F () tl que F '( ) f ( ). A ess opeção, inves d deivção, dmos o nome de integção (indefinid). A notção p ess opeção é: Se F '( ) f ( ) então F ( ) f ( ) d Dizemos que F é pimitiv de f. Po eemplo, pimitiv de f ( ) sen ( k ), com k um constnte, é F ( ) cos( k ) / k + C, em que C é um constnte itái. Ess constnte C sempe pece n integção indefinid pois deivd de um constnte é nul. D mesm fom, pimitiv de f ( ) 1/ é F ( ) ln + C. Nem tod função possui pimitiv. Po eemplo, integl I ep( ) d não eiste pois não há nenhum função F () que, se deivd, esult em f ( ) ep( ). Qundo discutimos s funções eponencil e logitmo vimos que um é inves d out, ou sej, ep( ln ) e ln ( e ). Dess fom, o que opeção ep fz, opeção ln desfz e vice-ves. Podeímos epesent, simolicmente, esse fz-desfz d seguinte fom: ep ln 1 e ln ep 1. Com isso queemos dize que, simolicmente: ep (ln ) 1 e ln ( e ) 1. D mesm fom, s opeções de integção e deivção são um inves d out. De fto, se F '( ) f ( ), então: f ( ) d F '( ) d df F( ) Assim, n notção que intoduzimos nteiomente, podeímos dize que, simolicmente: d 1 e tmém d 1 O ojetivo pincipl d integl indefinid é solução de equções difeenciis, ou sej, encont solução p um equção que envolve funções e deivds de funções. As equções difeenciis pecem em pofusão n físic, n químic, n iologi teóic e ns engenhis mis fundmentis. Pensndo ns deivds como ts de vição, s equções difeenciis elcionm então funções com sus ts de vição, com s ts de vição de sus ts de vição (deivds segunds) e etc. Eecício: Considee um ptícul sumetid um foç constnte F F ˆ. Segundo Newton, t de vição d t de vição no tempo d posição dess ptícul é popocionl F, ou sej: d F, sendo m mss d ptícul. Enconte tjetói (t) dess ptícul. Fç desenhos dt m desss tjetóis p váis condições iniciis difeentes. Aqui estemos mis inteessdos no conceito de integl definid. Sej f () um função contínu e positiv, então, o Teoem Fundmentl do Cálculo fim que áe A delimitd supeiomente pel cuv de f (), infeiomente pelo pópio eio, e ns lteis pels ets e > é dd po (vej figu (8)): sendo função F pimitiv de f. A f ( ) d F( ) F( ) F( ) 15
FIGUA 8: elemento infinitesiml de áe, que integdo, esult n áe io d cuv. Aqui começmos visuliz integl como um som. Pensmos n constução de pequens ftis, etângulos de ltus viáveis f () e de lgus d, que definem áes infinitesimis da f ( ) d, que somds, fonecem áe definid nteiomente. Assim: A da EGIÃO em que notção EGIÃO denot idéi de que integl é definid, ou sej, som é elizd pens dento de um egião específic. Consideemos tef, stnte simples, de clcul áe de um etângulo de ldos e usndo idéi epost cim. Começmos dotndo um efeencil, posicionndo um dos vétices do etângulo n oigem de um sistem ctesino (vej figu (9)). Um segundo psso é defini o elemento infinitesiml de áe da. Ess escolh é ditd sicmente pel fom ds ods d egião em que integl, ou sej, som, seá elizd. Nesse cso s ods são clmente ets, o que sugee escolh de elementos de áe tmém etos, ou sej, etngules. Há então tês opções. N pimei definimos da d e então: Um segund opção é escolhe A últim opção é escolhe A A da d d EGIÃO da d e então: A da d d EGIÃO da d d e otemos então um integl dupl: EGIÃO da d d d d ( ) ( ) ( )( ) FIGUA 9: difeentes elementos infinitesimis de áe p um egião de contonos etos. Suponh que um chp etngul de ldos e e de espessu despezível possu densidde de mss (po unidde de áe) ρ (kg/m ) não homogêne, ou sej, ρ ρ(, ). Vmos detemin mss M 16
dess chp usndo idéi d integl como um som. P podemos eliz os cálculos té o fim, odemos qui dois csos pticules. Suponhmos inicilmente um cso mis simples, em que ρ só depende de, ou sej, ρ ρ(). Nesse cso, podemos defini lâmins veticis, como fizemos nteiomente. A mss de um lâmin qulque, loclizd n coodend, seá dd po dm ρ ( ) da ρ( ) d, e ssim: M dm EGIÃO A egião nesse cso é delimitd pels ods d chp, ou sej, ρ ( ) α (kg/m ), po eemplo, com α constnte: M EGIÃO < < e < <. Potnto, se ρ ( ) d α d α d α α (kg) Suponhmos go que ρ só depende de, ou sej, ρ ρ(). Nesse cso, podemos defini lâmins hoizontis, mss de um lâmin qulque, loclizd n coodend, seá dd po dm ρ ( ) da ρ( ) d. Potnto, se ρ ( ) α (kg/m ), po eemplo, com α constnte: M EGIÃO ρ ( ) d α d α d α α (kg) Note que nos eemplos cim não tivemos escolh n definição do elemento infinitesiml de mss. Se constnte, ou sej, um lâmin veticl. Po ρ ρ(), então lâmin infinitesiml tem que se um egião outo ldo, se ρ ρ(), então lâmin infinitesiml tem que se um egião constnte, ou sej, um lâmin hoizontl. Cso s ods d egião de integção não sejm ets, como no cso de um cículo, é mis conveniente que usemos um sistem de coodends cuvs, como o cilíndico ou o esféico. Esses dois sistems, qundo z, no cso do sistem cilíndico e qundo θ π /, no cso do sistem esféico, se esumem o sistem de coodends poles, qul sej: (, ϕ). Esss dus coodends no plno pemitem constução de um elemento infinitesiml de áe que tem fom de um nel, de io e espessu d, ou sej, de áe π (vej figu (1)). da d FIGUA 1: elemento infinitesiml de áe, um nel, p um egião de contono cicul. Consideemos então tef de most que áe delimitd po um cículo de io é A. Bst pensmos no disco de io como um som de infinitos néis de áes infinitesimis π. Assim: A da π d π d π π EGIÃO DISCO Imginemos um disco, de espessu despezível, cuj densidde de mss ρ ( Kg 17 da / m π d ) sej não unifome, no cso ρ ρ(). Vmos detemin mss M desse disco. Ftindo o disco em néis infinitesimis, o nel de
io teá mss dm ρ( ) da ρ( ) π d (. Potnto, se ρ ( ) α ep k (kg/m ) ), po eemplo, com α e k constntes: M ( e k 1) k k e π α dm ρ ( ) da π α e d π α (kg) k k DISCO DISCO Continundo nossos eemplos que ilustm integl como um som, vmos conside go o cálculo do volume V de um plelepípedo eto de ldos, e c. Começmos dotndo um efeencil, posicionndo um dos vétices do plelepípedo n oigem de um sistem ctesino z (vej figu (11)). Um segundo psso é defini o elemento infinitesiml de volume dv. Discutiemos tês escolhs possíveis. Podemos escolhe que sejm ftis etngules plels o plno, de espessu dz, e então, de volume Assim: Podemos tmém escolhe de volume d, e de volume dv c d ( V dv c d ( dv EGIÃO z c dz z c c ( c ) dz z c dv dv dz ( S m ). S dv que sejm ftis etngules plels o plno z, de espessu d, e então, m ). Ou ind S dv que sejm ftis etngules plels o plno z, de espessu m ). Em qulque cso é fácil most que oteemos o mesmo esultdo cim. FIGUA 11: difeentes elementos infinitesimis de volume p um egião de contonos plnos. Consideemos tef de clcul mss M de um plelepípedo eto de ldos, e c cuj densidde de mss ρ sej não unifome. Consideemos pens o cso em que ρ ρ( ) α (kg/m ) com α um constnte. Nesse cso, não temos escolh, s ftis de volume devem se supefícies constnte (plels o plno z ), e de mss ρ ( ) ρ(. Potnto: M dm dv ) c d α c ρ d α c (kg) dm ( ) dv α c EGIÃO EGIÃO Podemos go od o cálculo de volumes e msss de ojetos que não possuem contonos etos, como e o cso do plelepípedo. Como eemplo, vmos us o cálculo integl p most que o volume de um esfe de io é V ( 4 / ) π. Podeímos ote esse esultdo utilizndo elementos infinitesimis de volume de foms etngules, ms o nível de dificuldde n álge sei muito mio do que se ptimos desde já p elementos de volume cuvos. Podemos fze isso usndo os dois sistems de coodends cuvs que já estudmos: ) Coodends cilíndics: Considee figu (1), em que mostmos pens metde d esfe, dividid em ftis n fom de discos de ios viáveis e de espessus dz. O volume de um fti itái é dv π dz. Podemos not que s viáveis e z não são independentes, de fto: + z, ou sej, 18 z. Assim:
V EGIÃO dv z z 4 π dz π ( z ) dz π z π z Note que o fto foi intoduzido cim poque integl em dz foi elizd pens p metde de um esfe. Eecício: Moste que o volume de um cone cicul eto, com se de io, e com ltu H é V π H /. Considee que o cone é ftido em lâmins n fom de discos plelos su se. ) Coodends esféics: N figu (1) mostmos um elemento de volume infinitesiml constuído com s coodends esféics. Tt-se de um csc esféic de io e espessu d e, potnto, de volume dv 4π d (leme-se que áe d supefície esféic de io é 4π ). A simplicidde do cálculo io evidenci o fto de que, p um ojeto de contono esféico, s coodends mis popids são s esféics. De fto: 4 V dv 4π d 4π d π EGIÃO Eecício: Detemine mss de um esfe de io, cuj densidde de mss po unidde de volume é dd po ρ ( ) α, sendo α um constnte e o io (viável) medido em elção o cento d esfe. FIGUA 1: difeentes elementos infinitesimis de volume p um egião de contono esféico. Qundo discutimos integl de um função f (), considemos que ests em elizds com os vloes d viável pecoendo um intevlo do pópio eio, ou sej, integl e elizd soe um segmento de linh eto. Podeímos geneliz ess idéi e conside um integl que fosse elizd em um viável que ssumisse vloes soe um linh cuv. Esss integis são chmds de integis de linh. P fic mis cl idéi, consideemos tef de most que o compimento de um cicunfeênci de io é C π. Podemos demonst esse esultdo pensndo n integl como um som de elementos infinitesimis de compimento, que não são os d, pois estes não estão soe o eio eto, e nem d, pois não estão tmém soe o eio eto. Pelo contáio, os pedcinhos de compimento infinitesimis estão definidos soe cuv d cicunfeênci. Vmos chmá-los geneicmente de ds. Assim: C ds CUVA N figu (1) mostmos definição de um ds o longo de um cicunfeênci. Os ds são de fto pequenos cos de cicunfeênci infinitesimis. Mostmos tmém ness figu que, qundo ds, os cos se tonm 19
ets, hipotenuss de tiângulos cujos ctetos são compimentos infinitesimis d e d. Dess fom, do teoem de Pitágos otemos ds + ( d) ( d), e potnto: C ( d) + ( d) CUVA FIGUA 1: elemento infinitesiml de deslocmento (compimento) o longo de um cicunfeênci. Consideemos então pens metde supeio d cicunfeênci. Ess cuv pode se descit pel função ( ) com. Potnto, o longo d cuv d cicunfeênci, como não podei dei de se, e não são viáveis independentes ente si, donde concluímos que d e d tmém não são. De fto, de () otemos: d d Conclusão, sustituindo ess equção n integl que fonece C otemos: C d d + 1+ d 1+ d CUVA d Note que o fto foi intoduzido cim poque integl fonece o compimento pens d metde supeio d cicunfeênci. Não entemos em detlhes qui soe como eliz ess últim integl. De fto tt-se de um integl stnte comum e que const ns tels de qulque livo de cálculo. Nos limitemos utiliz seu esultdo, qul sej: Potnto, chegmos finlmente : d csen + const. π π C csen { csen () 1 csen ( 1 )} ( ) π Ess mesm tef de clcul o compimento de um cicunfeênci, se elizd no sistem de coodends poles, ton-se muito mis simples. Consideemos figu (1), em que mostmos o compimento infinitesiml ds o longo d cicunfeênci pensdo como um co infinitesiml suentendido po um ângulo infinitesiml d ϕ. Assim, se (e somente se) d ϕ fo epesso em dinos (ou sej, como um númeo de fto dimensionl), vle elção ente o co, o ângulo e o io do cículo: C CUVA ds CUVA dϕ ϕ π ϕ ds dϕ π dϕ ϕ π. Potnto:
Como nosso último eemplo, de integl de linh, consideemos o seguinte polem, que mescl os conceitos de vetoes e integis: Um ptícul está descevendo um óit cicul de io, gindo no sentido hoáio. Eistem váis foçs tundo ness ptícul, poduzindo como esultdo ess óit, ms vmos nos concent pens em um. Sej F k ˆ (com k > um constnte) um foç tundo ness ptícul, sendo coodend definid com o efeencil ctesino no cento d óit cicul (vej figu (14)). Ess foç então é sempe hoizontl e possui módulo que ument com o umento de. No 1 o e no o qudntes foç tem o sentido do eio, enqunto que no o e no 4 o qudntes foç tem o sentido contáio o do eio. FIGUA 14: um cmpo vetoil de foçs definido no plno e um veto deslocmento o longo de um cicunfeênci. Vmos detemin o tlho W F elizdo pel foç F em um volt complet d ptícul. Já semos que tlho é F d, p um foç constnte e p um deslocmento d. No entnto, não é esse o cso W F qui pois foç F é viável (depende de ) e ind o deslocmento se dá o longo de um cuv. Potnto, vmos defini o tlho infinitesiml dw F elizdo em um deslocmento infinitesiml d s : dw F F ds. Ess epessão está coet pois, qundo ds, foç se ton constnte (pois ds se esume um ponto) e, lém disso, o deslocmento d s mesmo sendo cuvo, se ton eto (qulque cuv suve, vist com um micoscópio, se ton um sucessão de pequens ets). Assim, o tlho seá ddo pel som, ou sej, pel integl dos tlhos infinitesimis: WF dwf F ds CUVA 1 CUVA d s. Esses vetoes devem se tngentes o deslocmento d ptícul. Como ds dsϕˆ. Além disso, Flt então definimos os vetoes esse deslocmento se dá o longo de um cículo no plno, e no sentido hoáio, então o deslocmento ds é tngente à cicunfeênci, e potnto é um pequeno co (pelo fto de que ds se ton eto, qundo d s, podeímos tmém pens-lo como hipotenus de um pequeno tiângulo, como fizemos no eemplo nteio do cálculo do compimento d cicunfeênci), donde concluímos que ds dϕ (com d ϕ ) em dinos. Note que intoduzimos um sinl negtivo ness últim equção poque o ângulo ϕ ument no sentido nti-hoáio, enqunto que o deslocmento s d ptícul se dá no sentido hoáio, ssim, qundo d ϕ é positivo, o ds é negtivo. Potnto, segue que: WF F ( dϕ ˆ) ϕ k ( ˆ ˆ ϕ) dϕ CUVA Notmos que epessão cim mistu coodends de dois sistems difeentes: o sistem ctesino e o sistem pol. P eliz integl devemos homogeneiz s viáveis, tods num mesmo sistem de coodends. Sendo o contono d óit cicul, espemos que o sistem pol sej mis conveniente p esse polem. Assim, de codo com figu (14), notmos que: CUVA
senϕ e ˆ ˆ ϕ ˆ ˆ ϕ cos( π / ϕ ) senϕ Finlmente, chegmos : W F k ϕ π ϕ sen ϕ dϕ Ess últim integl pode se elizd tvés do uso de um identidde tigonométic: 1 cos(θ ) θ sen (θ ) sen θ dθ dθ + const. 4 Potnto, concluímos finlmente que: W F π k Note que o tlho é positivo poque foç F está sempe fvo do sentido de deslocmento d ptícul. Eecício: Clcule o tlho dess mesm foç definid cim, ms soe um ptícul que desceve um óit estit um quddo de ldo, centdo n oigem do plno, com ldos plelos os eios coodendos. Considee ptícul gindo no sentido hoáio.