4 REPRESENTAÇÃO E/S NO DOMÍNIO TRANSFORMADO (fuções de trasferêa) 4. Trasforada de Laplae É u operador lear, que opera sobre fuções de varável otíua postva, defdo por: L f(t) = f(s) = f(t) e -st dt Nota: f(s) é ua fução dferete de f(t)!!!! No osso aso a varável otíua será o tepo. A operação versa é úa e te a fora L f(t) f(s) = st e f(s) ds Trata-se de ua tegral de lha o plao oplexo. Este tpo de tegras pode ser alulado usado resultados do teorea dos resíduos. De foras esqueáta a operação de trasforação pode ser dada da fora: Relação o a trasforada de Fourer Estudaos a Trasforada de Fourer para eotrar-os ua terpretação físa da trasforada de Laplae. Seja ua fução peróda de período T:
f p (t) f p (t + j T) j =,,... Ela pode ser desevolvda e sére de Fourer, p f (t) a a os tb se t ode é a freqüêa (e radaos por udade de tepo) o que se repete a T fora bása da fução. Os oefetes são alulados segudo a T T T p f (t) dt a b T T T T T T p f (t) os t dt p f (t) se t dt Observar que estes oefetes são fuções de últplos da freqüêa bása: a a ( ) ; b b ( ). Ua outra fora (a fora expoeal) pode ser obtda para a sére de Fourer se seos e oseos fore substtuídos usado as detdades de Euler dervadas da forula de Euler de aálse oplexa: e os se = e os e e = e s e - - p f (t) f e t. Co os oefetes, que são fuções oplexas de últplos da freqüêa bása, dados por:
T p -t f f (t) e dt T T Dada ua fução peróda f p (t), a fução f( ) é sua trasforação ao doío da freqüêa dsreta. É teressate observar que a fução trasforada represeta (o apo oplexo) as apltudes de teros oslatóros de dferetes freqüêas. Ua fução ão peróda é o lte de ua fução peróda, o o período tededo a fto; T. Podeos esrever a fução peróda ass: f (t) = T T p p - -T t ode - Ass f (t) = T f e d e =- T p p - t Etão =- f e d e * -T T T p - t l f (t) f(t) f e d e d T ou - - f(t) = - f e t d - t -t f( ) = f e dt Trasforada de Fourer A exstêa desta últa tegral está odoada a:
ft dt < Esta odção ão é satsfeta por utas fuções de teresse práto (por exeplo, o degrau). Se as fuções que ão satsfae a overgêa exgda fore ultpladas por ua expoeal egatva. f(t) e -at a overgêa estará satsfeta para algu valor do parâetro a e, etão, pode ser alulada a trasforada de Fourer: -at f(t) e e -t dt Cosderado só tepo postvo e defdo a varável oplexa s=a+, o resultado é a trasforada de Laplae de f(t): -st fs () = f(t) e dt O parâetro a é haado de absssa de overgêa. Exste tabelas uto opletas de trasforada de Laplae. Os pares trasforados de aor teresse, e teros da aálse de proessos, são: 4
fução f(t) f(s) pulso utáro t degrau A A s rapa rt r expoeal s e at t seo se t tepo orto ft e at s a! s a t d s t d s e fs Alguas propredades de teresse - trasforada de ua tegral de ovolução t L f g t - d = fs gs - teorea do valor al l f(t) = l s.f(s) t s - teorea do valor fal l f(t) = l s.f(s) t s - trasforada da tegral de ua fução (etre e t) t L f d = s f(s) - trasforada da dervada de orde de ua fução L d f(t) df t = s f(s) - s ft s s d - f t - - - d f t t= - t= dt... t dt dt dt - t= 5
Exeplo de solução de equações dfereas dx(t) dt dy(t) dt -t x(t ) + y(t) = e x() = y(t ) + 4x(t) = y() = Trasforado o a trasforada de Laplae: s x(s) x() x(s) y(s) s s y(s) y() y(s) 4 x(s) Nesta últa equação, usado y() =, 4 s s y s 4 x s y s x s Substtudo a ateror s x s 4 s s x s x s s 4 s s s s 4 s + s.s s + s 4 s + s 5 s 4.s s + s 5 s s 9 x x t L x s 4. Trasforada Z É u operador lear, que opera sobre seqüêas de varável dsreta postva, defdo por Zf f f sére de potêas egatvas de A operação versa é f Z f f - d 6
Relação o a trasforada de Laplae Seja ua fução otíua o tepo, aostrada a ada Ta udades de tepo (gera ua seqüêa) O proesso de aostrage é, por oveêa, represetado por ua operação evolvedo ua sére de fuções delta de Dra poderadas (ua dealação), seguda pelo trataeto desta sére o ua fução que até os valores da sére ostates etre dos tepos de aostrage. f t ftat Ta Ta Ta f tdt fta ( d ) Trasforado o a trasforada de Laplae f s f Ta e -Ta s Faedo e Tas e dexado plíto Ta f () s f( ) f() TaS e - A trasforada de ua seqüêa é obtda aostrado a fução otíua que gera a seqüêa, trasforado por Laplae e faedo e Tas. Coo sa é ua varável oplexa, tabé é: e e e a Ta +Ta Exste extesas tabelas de pares trasforados, sedo os prpas:
fução (seqüêa) f() f() pulso utáro degrau A A rapa expoeal rta rta e ata e potêa Ta e a e ata Ta at a osta ata e osta ata e os T e ata Alguas tabelas estão e potêas postvas de. A A Alguas propredades de teresse - Teorea da traslação real Z f f Substtudo (-) por teos se, etão - se = etão Etão a Z f f f f f f f f No aso e que os valores de f() são ero para <, 8
f Z f Por outro lado Z f f f - Teorea da traslação oplexa Z a..ta a.ta e f f e f a Ta - Teorea do valor al f lf - Teorea do valor fal - l f l f e Exeplo de solução de equações de dfereças ftas x x x x ; x Usado a trasforada - x x x.. xx.x x x - - - - - - 4. Iversão de Fuções Trasforadas Trasforada de Laplae Iversa Para a trasforada de Laplae, o étodo as popular para se deterar a fução versa é o da expasão e frações paras. E geral, para os asos de teresse, as fuções ujas trasforadas versas se deseja alular se apreseta a fora de u oete de polôos 9
fs b s b s +... + b s + b - s + a s... a sa - Ns D(s) Se as raíes de D(s)= fore p, p,..., p, o polôo deoador pode ser esrto a fora fatorada: D s s a s... a s + a s p s p... s - p Ass fs Ns sp sp... s-p Esta equação pode ser esrta a fora de ua expasão e frações paras que, o aso de raíes dsttas é: fs s p s p... + s-p Os oefetes deve ser deterados de tal fora que os dos lados da equação seja guas. Usado a propredade de leardade da trasforada de Laplae, a deteração da trasforada versa se redu à soa das trasforadas versas de fuções sples: ft fs s p s p +...+ L.L.L.L s p No aso e s p L pt Deteração dos Coefetes As "" raíes de u polôo de grau "" o oefetes reas pode ser todas dsttas, reas ou oplexas, ou repetdas. Toda ve que aparee ua ra oplexa, tabé aparee a orrespodete ojugada. Os város asos possíves são trodudos através de exeplos
Raíes reas e dsttas fs s s6 s s s p = p = - p = fs s s6 s s s s s s Para deterar s s6 sfs s s s s s s s s s s Faedo s= 6 - = Isto é, a deteração de fo feto s f s l s f s l sp f s s s sp Para e o proedeto é o eso s s 6 l s f s l s s s s s s 6 4 l s f s l Ass f s s s 4 s s s s s f t e t -t e 4 e t Raíes oplexas fs s s s
p p p Observaos que a ua ra oplexa orrespode ua ra ojugada. fs s s s Neste aso as raíes são dsttas e é usada a esa etodologa do aso ateror, para o álulo dos. Isto é: l s p f s s p Ass l s s s l s -+ s - -+ s -+ = s - -+ s - -- s--- fs = -- l s-- = * Na expasão e frações paras, os oefetes assoados a pares de raíes oplexas ojugadas são oplexos ojugados (basta alular u para oheer o outro). Ass fs s + s--+ s--- -+t ft e e Isto ão é real! -- t Vaos aprovetar este oeto para relebrar algus oetos de varáves oplexas que, o aso, serão útes para oloar a equação ateror e ua fora as lara. O úero oplexo a b, represeta u poto o plao oplexo
Alé das oordeadas artesaas "a" e "b", pode ser usadas as oordeadas polares "" e "" para loalar o eso. Isto odu à represetação polar do úero oplexo. a b e o a b artg b a Ass, o exeplo osderado: e o e - 4 4 artg - 4 Etão ft e 4 -+ t - 4 -- t -t e e e e e e t+ 4 - t+ 4 Para otuar o a splfação desta fução vaos lebrar ovos oetos observado a fgura ateror.
a os b se Etão ab os + se e e e os + se Fórula de Euler poré e os - se Soado, olu-se que: os = e e Subtrado, olu-se que: se = e e Usado a prera destas relações de Euler o osso problea t f() t e os t+ 4 É possível ostrar ada, usado a relação trgooétra os A B os A os B se A se B que f() t e t os t + se t Através das operações realadas hegaos a ua fução real, o que ão estava aparete a prera f(t) obtda. Coo sepre estareos trabalhado o ssteas reas, os sas assoados tê que ser reas. 4
Raíes últplas fs s s p p p p4 4 fs s s s s Neste aso há fuções a verter é da fora s p e a versa é L s p e! p t t Os oefetes e 4 são alulados oo os asos aterores l s fs s 4 l s + fs s Etretato l s + fs s Poré d d s fs s s s ds ds s s s s s s e, ass l d s fs ds s Da esa fora s 4 d ds d fs s s ds s s s 4 5
d s+ ss + s ds s e, ass l s d ds s+ fs = A fução o doío do tepo é ft s L L L L s s s t t ft e t O polôo e t é oseqüêa das raíes repetdas. Trasforada Z Iversa Ao verter a trasforada de ua dada fução, f(), é obtda ua seqüêa de valores que ada d respeto do tervalo de tepo que os separa (Ta) Z f f, f, f,..., f,... Tabé ada d respeto de ua evetual f(t) que possa ter gerado, por aostrage, essa seqüêa. Pelos valores resultates pode passar úeras fuções otíuas. Dvsão dreta f () Nf () Df () b a b a b a... b... a etão o... f 6
f f É u étodo sples, que pode ser otuado defdaete.é dado para deterar a trasforada versa os preros tervalos de tepo. Expasão e frações paras f b a b a... b... a r r r... - - Z f Z Z Z... r r r Raíes reas e dsttas f 4 4 - - l - - - l - - - f Na tabela Z Z f Z f
8 =... f() = 4... Raíes oplexas ojugadas 6 6 f 6 l 6 6 6 l f Lebrado Ta Ta Z, ve f Poré 4 e 4 e artg e 5
artg 5 e Substtudo e operado f 5 os artg 4 Raíes últplas f 5 + 6 4 5 5 + 6 - - - 5 6 f l l l - - - - - d l l d f 5 56-9 d l d l - = -9 l f f f f 9 u 9. 9. para =,,,... 4.4 Fução de Trasferêa A tegral de ovolução é dada pela equação 9
t yt gt ud Trasforado por Laplae ys Gs us ode Gs L gt é a fução de trasferêa. Pode, tabé, ser defda oo o oete etre as trasforadas de Laplae dos sas de saída e etrada. A dâa de u sstea oovarável (SISO), lear e varate é, geeraete, odelada por: a d y d y a a dy... ay b d u d u b b du... bu dt dt dt dt dt dt E teros de varáves desvo, o o sstea alete o estado estaoáro (odções as ulas), trasforado por Laplae ys us Gs b - s b s +...+ b s + b - a s +a s... a s+a - Para que orrespoda à fução de trasferêa de u sstea real é eessáro que Cosderado u exeplo e que < ayt b du t but dt esta equação plara que para u degrau utáro o sstea respodera o u pulso utáro, (t); sto é ua dealdade. A aturea ão derva, só tegra!!! Para u sstea ultvarável (MIMO) haverá tatas fuções de trasferêa oo dado pelo produto do úero de varáves de etrada pelo úero de varáves de saída.
Nu aso x. y y G G G G u u ou y Gu G s é a atr de fuções de trasferêa ou atr de trasferêa. É laro que ão haverá teração das varáves de etrada se G e G fore ulas. U exeplo deste aso x (que podera orrespoder ao str, ua ve learado, expresso e tero de varáves desvo e o a oelatura redefda) é o segute: dy dt dy dt a a y b u b u y a a y b u b u y Traforado por Laplae e resolvedo o sstea de equações algébras resultate ve y s y s b s a b a b b s a b a b u s Ps Ps b s a b a b b s a b a` b u s Ps Ps Ps s a a s a a a a u s u s O deoador de todas as fuções de trasferêa de u eso sstea é o eso. P(s)= é a equação araterísta e suas raíes são os pólos do odelo (sstea).
O uerador da fução de trasferêa é u polôo que quado gualado a ero te oo raíes os eros. Os pólos da atr de trasferêa são a soa de todos os pólos das fuções de trasferêa que a opõe. Para atres quadradas, os eros de G s são os eros de G s. E geral, para atres trasferêa de qualquer fora, os eros são os valores de "s" para os quas é redudo o "posto" da atr. 4.5 Fução de Trasferêa de Pulsos y ( ) h u - j j j Aplado a trasforada y y hj j u- j Para l - - j l = l j = l ; = l + j hju l -l+j y l j j Quado ul l, etão, y j y G u o G Z h -j hj () ul l= -l
A fução de trasferêa de pulsos (ou splesete pulso) é a trasforada da resposta pulso ou seqüêa poderada. Relaoa etrada dsreta e saída dsreta. Tabé pode ser defda oo G y u Para ssteas otíuos observados dsretaete (oo fa o oputador) a a u - j yt gjt T gj T a j a : Seqüêa de valores da resposta pulsoal G Z gta gt a - Cosdereos o sstea dsreto (ou dsretado) araterado por ua equação de dfereças ftas a ya y... a y a y b u... b u b u b u ou, para oefetes ostates (varâa o tepo), a ya y... a y a y b u... b u b u b u Usado a trasforada, para odções as ulas: a a... a a y b b... b b u G b b... b b a a... a a ou G b b... b b a a... a a Neste aso, para que a fução de trasferêa de pulsos represete u sstea real: se a etão b ; se a a etão b b
Exeplo: a, b a y... b u... ou ay... bu... Não Pode!!! Poré, se: G b b... b a a... a Para represetar u sstea real 4