DINÂMICA VIBRAÇÕES DE SISTEMAS COM 1 GRAU DE LIBERDADE. António Araújo Correia

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1 DINÂMICA VIBRAÇÕES DE SISTEMAS COM GRAU DE IBERDADE Atóo Araújo Correa Jaero de 007

2 VIBRAÇÕES DE SISTEMAS COM GRAU DE IBERDADE. INTRODUÇÃO Esta publcação desta-se ao apoo das aulas da dscpla seestral de Dâca do prero seestre do segudo ao do estrado tegrado e Egehara Cvl do Isttuto Superor Técco. O tea abordado é o das vbrações de ssteas dscretos e que o oveto pode ser descrto por apeas u parâetro, ou seja, de ssteas co grau de lberdade... VIBRAÇÕES MECÂNICAS Ua vbração ecâca é o oveto osclatóro de ua partícula ou de u corpo e toro de ua posção de equlíbro. Este oveto osclatóro é geralete provocado quado o sstea é deslocado da sua posção de equlíbro estável devdo, por exeplo, à actuação de orças exterores, de deslocaetos da sua base ou de choques co outros corpos. As orças actuates o corpo quado essa solctação cessa tê a tedêca de restaurar a coguração cal, sedo deoadas de orças de resttução (orça elástca o caso de ua assa lgada a ua ola ou orça gravítca o caso de u pêdulo. Quado o corpo atge de ovo a sua posção cal a sua velocdade ão será ula pelo que o oveto se prologará o tepo coo ua osclação haróca. O tervalo de tepo ecessáro para o oveto copletar u cclo é o período de vbração (T. A requêca de vbração ( é o seu verso e correspode ao úero de cclos por udade de tepo: / T (. Sedo que u cclo u oveto crcular correspode a u âgulo de π radaos, dee-se a requêca agular (ω coo sedo: ω π (. O deslocaeto áxo do sstea eddo a partr da sua posção de equlíbro é a apltude do oveto. Ua vbração pode ser classcada coo lvre, quado o oveto se até apeas devdo às orças de resttução, ou orçada, quado se aplca ua orça varável o tepo. Pode ada ser aortecda, quado os eetos do atrto ão são desprezáves, ou ão aortecda, quado esses eetos pode ser desprezados... FENÓMENOS DINÂMICOS E SOICITAÇÕES U eóeo de orge dâca caracterza-se por ua solctação varável o tepo, e porvetura tabé o espaço, o qual as orças de érca, produto da assa pela aceleração, tê ua luêca sgcatva a resposta do sstea. Por abuso de lguage, o tero carregaeto dâco é requeteete atrbuído de ora errada a eóeos cuja úca característca é sere varáves o tepo. De acto, se a velocdade de carregaeto or suceteete leta, a aceleração é desprezável e as orças de érca ão tê ua luêca sgcatva a resposta. Tas eóeos são classcados de cíclcos, se o setdo do carregaeto é alterado, ou quas-estátcos ootócos. A título de exeplo cta-se:

3 - eóeo quas-estátco ootóco: aplcação de ua carga crescete a ua estrutura (Fgura.a, a qual a carga P(t vara letaete; as úcas orças aplcadas à vga alé da carga P(t são as reacções de apoo R(t, tabé elas varáves o tepo; - eóeo dâco: pacto a estrutura produzdo ua orça P(t; as orças aplcadas são esse caso a orça P(t, as reacções de apoo R(t e as orças de érca (t depedetes da dstrbução de assa e das acelerações a estrutura (Fgura.b; - carregaeto cíclco: solctação da estrutura da Fgura.a por ua orça letaete crescete e de seguda decrescete, coo é o caso da acção das odas sobre as plataoras o-shore; - carregaeto dâco alterado: a orça P(t vara rapdaete de ora crescete e de seguda decrescete, coo é o caso das vbrações de ua áqua colocada sobre a estrutura da Fgura.a. Este tpo de carregaeto é gualete o duzdo por ua solctação sísca posta à estrutura. a b Fgura.: Carregaeto de ua vga. Forças de érca Os tpos de solctações pode der-se coo sedo deterístcos ou aleatóros cosoate a sua varação teporal e espacal é peretaete deda ou ão. De etre as solctações deterístcas pode dstgur-se as peródcas (harócas ou ão e ão peródcas (pulsvas ou de loga duração. As Fguras. a.6 represeta os város tpos de solctações e a respectva varação teporal. Fgura.: Carregaeto peródco haróco vbração de áqua rotatva. Fgura.3: Carregaeto peródco ão haróco propulsor de avo.

4 Fgura.4: Carregaeto pulsvo oda de choque de ua explosão. Fgura.5: Solctação de loga duração acção sísca. Fgura.6: Carregaeto aleatóro vbração abete.. FORMUAÇÃO DAS EQUAÇÕES DO MOVIMENTO A orulação das equações do oveto de u problea dâco é ua das étapas as delcadas a aálse da resposta de ua estrutura. São apresetadas aqu váras téccas para as obter, que estão a base de étodos uércos que perte o estudo das stuações as coplexas. As téccas reerdas apreseta coo grade dereça a utlzação de quatdades vectoras ou de gradezas escalares... FORMUAÇÃO DIRECTA Esta orulação cosste e detcar as orças e oetos que se exerce sobre a estrutura e estudo e a escrever que a sua resultate é gual à varação da quatdade de oveto do sstea, baseado-se portato a seguda le de Newto ou le udaetal da dâca. E geral o sstea de orças actuates é equvalete a ua orça resultate e a u oeto resultate, co três copoetes cada. 3

5 Desgado por R (t a orça resultate aplcada a ua assa M aada de ua velocdade v, a quatdade de oveto é gual a M v e o teorea da quatdade de oveto perte escrever: d d du d u R ( M v M M M u (. dt dt dt dt A quatdade ( M u represeta a orça de érca que actua sobre o sstea. Esta equação pode ser escrta ua ora alteratva, coo dcado a expressão segute, que correspode ao prcípo de D Alebert: a equação do oveto do sstea satsaz a equação de equlíbro estátco do sstea solctado pelas orças aplcadas e pelas orças de érca. O coportaeto dâco do sstea é etão descrto por ua equação aáloga a u problea estátco: R M u 0 (. A equação (4 é de acto u sstea de N equações, cada ua assocada a u grau de lberdade da assa M. E geral para u corpo rígdo N6, correspodedo a três traslacções e três rotações. Cosoate o grau de lberdade M desga a assa ou ua érca de rotação, sedo que esse caso a equação do oveto sera lgeraete derete as co teros slares. O étodo drecto é partcularete útl para a orulação das equações do oveto de ssteas dscretos os quas as assas estão cocetradas e algus potos da estrutura, sedo que a dculdade resde a correcta deteração das orças e oetos resultates que resulta das lgações e das teracções etre as váras assas do sstea... PRINCÍPIO DOS TRABAHOS VIRTUAIS Quado o sstea estrutural é relatvaete coplexo e evolve váras assas terlgadas ou corpos rígdos, o étodo drecto pode revelar-se bastate dícl de utlzar. Frequeteete as váras orças evolvdas pode ser expressas aclete e ução dos graus de lberdade as as suas relações de equlíbro sere coplexas. Neste caso o Prcípo dos Trabalhos Vrtuas pode ser utlzado para orular as equações do oveto e detreto do étodo drecto. O Prcípo dos Trabalhos Vrtuas expre que se u sstea e equlíbro sob a acção de u cojuto de orças aplcadas or sujeto a deslocaetos vrtuas, copatíves co as lgações do sstea, o trabalho total realzado por essas orças é ulo. Naturalete, a aulação do trabalho realzado durate u deslocaeto vrtual é equvalete a ua equação de equlíbro. A resposta dâca de u sstea pode etão ser estabelecda detcado prero todas as orças actuates as assas do sstea, cludo as orças de érca de acordo co o Prcípo de D Alebert. De seguda as equações do oveto são obtdas troduzdo capos de deslocaetos vrtuas correspodetes a cada u dos N graus de lberdade e gualado o trabalho vrtual a zero. Para u capo de deslocaetos vrtual a copoete da orça geeralzada segudo o grau de lberdade q é Q e ve: N ( Q δ q q δ q (.3 0 Ua das grades vatages desta abordage é que os trabalhos vrtuas são gradezas escalares, podedo ser adcoadas algebrcaete, equato que as orças actuates são gradezas vectoras e só pode ser sobrepostas vectoralete..3. MÉTODOS ENERGÉTICOS - PRINCÍPIO DE HAMITON E EQUAÇÕES DE AGRANGE Esta orulação, ao cotráro do étodo drecto, basea-se apeas e gradezas escalares, dado 4

6 orge à Mecâca Aalítca por oposção à Mecâca Vectoral de Newto. Essas gradezas escalares estão relacoadas co a eerga ecâca do sstea e co o trabalho das orças ele aplcadas. O Prcípo Varacoal de Halto é ua le geral da Físca que, sedo u prcípo, ão pode ser provado. Apesar de ão poder ser provado, alás tal coo os prcípos de Newto, assudo a sua valdade pode deostrar-se o Prcípo dos Trabalhos Vrtuas ou as es de Newto através deste prcípo e vce-versa. Itroduz-se a ução de agrage, ( q, q, t, coo sedo ua ução que coté toda a oração sobre a evolução ecâca do sstea, cohecdas as posções e velocdades dos eleetos do sstea u deterado state. Dee-se ada a Acção, S, de u sstea coo sedo o tegral da ução de agrage o período de tepo e estudo: t S ( q, q, t dt (.4 t O Prcípo Varacoal de Halto postula etão que de todas as trajectóras possíves para r de u poto a outro, ou de todas as cogurações de equlíbro possíves, a real correspode à que za a Acção, ou seja, aquela à qual correspode ua varação ula da Acção: δ S 0 (.5 Note-se que a oção de varação cosste ua trajectóra derete as co os esos potos extreos, ou ua coguração de equlíbro derete as co as esas lgações ao exteror e etre as copoetes do sstea. Na Mecâca Clássca a ução de agrage para u sstea coservatvo é gual à dereça etre a eerga cétca e potecal ( T V. Quado actua orças ão coservatvas o seu trabalho é deoado aqu por τ c e o Prcípo de Halto escreve-se: t t t δ ( T V dt δ τ dt 0 (.6 As Equações de agrage costtue ua outra ora de orular as equações do oveto de u sstea e pode ser deduzdas do Prcípo de Halto. Na orulação de agrage as eergas cétca e potecal e o trabalho das orças ão coservatvas expre-se e ução das coordeadas geeralzadas: O Prcípo de Halto escreve-se etão: t c c T T ( q, q V V ( q δτ Q δ q (.7 t N t Itegrado por partes o segudo tero: T T V δq δq δq Q q q q t t t t T δq q T dt q δq t t c d dt c N δq dt 0 T δq dt q e recohecedo que o prero tero do ebro da dreta esta expressão é ulo, porque a varação δq é ula e t e e t, ve: (.8 (.9 5

7 6 0 t t N c dt q Q q V q T q T dt d δ (.0 Este resultado deve ser váldo qualquer que seja a varação arbtrára δq, pelo que se obtê as Equações de agrage do sstea: c q V q T q T dt d Q (. Exeplo de aplcação Cosdere-se o pêdulo da Fgura. costtuído por assas e lgadas por barras rígdas de copreto e. A descrção ceátca do sstea é obtda aclete cosderado coo coordeadas geeralzadas os âgulos e que as barras ora co a vertcal. Fgura.: Pêdulo. No reerecal dcado a gura as coordeadas (x, y das duas assas expre-se por: cos( cos( s( s( cos( s( y x y x (. As suas dervadas teporas são: s( s( cos( cos( s( cos( y x y x (.3 As eergas cétca e potecal são dadas por: ( ( ( ( ( y g y g V y x y x T (.4 Jutado as equações (., (.3 e (.4 cosegue exprr-se as eergas cétca e potecal e ução das coordeadas geeralzadas q e q. Após dervação as equações de agrage coduze às duas equações derecas que rege o equlíbro dâco do sstea: y x

8 ( ( cos( g s( 0 cos( g s( 0 s( s( (.5a (.5b Este exeplo lustra a relatva acldade dos étodos eergétcos para obter as equações do oveto de ssteas coplexos. O étodo drecto aplcado ao eso sstea é de aplcação bastate as dícl..4. CONCUSÃO Os város étodos aqu expostos são equvaletes e coduze às esas equações do oveto. A escolha do étodo as aproprado depede do problea cocreto e aálse. O étodo drecto é as tutvo as revela-se de aplcação as dícl para os ssteas coplexos devdo ao acto de utlzar gradezas vectoras. Os étodos eergétcos, vsto que utlza apeas gradezas escalares, ou os baseados os trabalhos vrtuas são as robustos e sples de aplcar. Estes étodos costtue o udaeto dos étodos uércos de resolução de probleas coplexos. 3. SISTEMAS COM GRAU DE IBERDADE O osclador lear co u grau de lberdade costtuído por u bloco rígdo de assa M lgado a u apoo e co oveto a horzotal se atrto é o sstea ecâco as sples para o estudo das vbrações de u sstea co u grau de lberdade. A Fgura 3. represeta u tal osclador, solctado por ua orça P(t varável o tepo. O úco oveto possível do osclador é o deslocaeto horzotal, u(t, da assa. O osclador ecotra-se lgado ao apoo por u eleeto que desevolve ua orça F( u, u, ução do deslocaeto e da velocdade da assa M. A ução F( u, u caracterza o coportaeto do osclador; a orça P(t caracterza a solctação. F( u,u M u P(t Fgura 3.: Osclador co grau de lberdade. Algus esqueas estruturas sples pode ser asslados a oscladores co grau de lberdade para eetos prátcos: 7

9 Fgura 3.: Estruturas assláves a oscladores co grau de lberdade. e de coportaeto do osclador Esta le de coportaeto depede e geral do deslocaeto u(t da assa e da sua velocdade u (t e relação ao apoo. Se a orça de resttução F só depeder do deslocaeto u(t e se houver proporcoaldade etre a orça e o deslocaeto etão o osclador é elástco lear. Esse é o caso típco de ua ola, as represeta tabé o coportaeto de qualquer estrutura quado os deslocaetos são erores a u deterado lte do coportaeto elástco lear. A relação etre a orça o eleeto de lgação e o deslocaeto relatvo u(t das duas extredades desse eleeto escreve-se splesete: F s K u (3. Nesta equação K é a costate de rgdez da ola e o ídce s correspode à deoação aglo-saxóca para a ola ( sprg. Nestes apotaetos apeas se aalsará o caso do osclador lear caracterzado por ua le de coportaeto coo a dada pela equação 3.. Nesta equação o tepo ão tervé, sedo a relação válda quer o carregaeto se eectue de ora leta ou rápda. Desta ora, se or posto u deslocaeto cal u 0 à assa M ates de a lbertar, esta osclará dedaete co ua apltude do oveto u 0. Na realdade costata-se que a apltude do oveto decresce ao logo do tepo e que a assa se oblza ao de algu tepo a sua posção de equlíbro estátco. De acto, ua parte da eerga elástca arazeada a ola dsspa-se ao logo do tepo, sedo este eóeo deoado de aorteceto. O aorteceto de u oveto pode ser o resultado de deretes causas. Pode tratar-se de u aortecedor ísco (por exeplo u aortecedor hdráulco o qual é utlzado e autoóves ou e probleas de solaeto das vbrações ua estrutura. A dsspação da eerga pode tabé ser orgada por eetos tércos relacoados co carregaetos repetdos dos eleetos estruturas, por atrto tero os ateras ou por deorações plástcas dos ateras e eleetos estruturas. E geral, e salvo e casos excepcoas, o aorteceto e costruções de Egehara Cvl ão pode ser calculado a partr das propredades íscas do sstea. Por exeplo, o caso de u edíco e betão arado subetdo a ua solctação sísca sgcatva, as otes de dsspação de eerga são últplas: ssuração do betão, plastcação das araduras, daos e eleetos secudáros (paredes de alveara, evdraçados, etc.. Na prátca os eóeos de dsspação de eerga são etão caracterzados de ora bastate splcada cosderado que prové de u aortecedor vscoso lear. U aortecedor vscoso lear é caracterzado por ua relação lear etre a orça desevolvda o aortecedor e a velocdade relatva das suas extredades: F d C u (3. 8

10 A costate de proporcoaldade C, característca do aortecedor, te udades de assa por udade de tepo. O ídce d correspode à deoação aglo-saxóca para o aortecedor ( daper. A descrção dos eóeos de dsspação de eerga co base u aortecedor equvalete é realzada gualado a eerga dsspada u cclo de vbração do sstea à eerga dsspada o aortecedor para u cclo de vbração co a esa apltude de deslocaeto. 3.. EQUAÇÃO DO MOVIMENTO De acordo co o exposto o capítulo, a equação de equlíbro dâco pode ser obtda a partr de três étodos: étodo drecto, prcípo dos trabalhos vrtuas e étodo eergétco MÉTODO DIRECTO As orças exercdas sobre o osclador da Fgura 3.3 são: - a orça exteror aplcada P(t; - a orça de lgação exercda pela ola F s, proporcoal ao deslocaeto u da assa M; - a orça de lgação exercda pelo aortecedor F d, proporcoal à velocdade u da assa M; - as orças de érca F exercdas sobre a assa M, guas ao produto desta pela aceleração da assa u. C u Fd Cu R(t K M P(t F s Ku P(t Fgura 3.3: Osclador lear co grau de lberdade. Escrevedo que a resultate de todas estas orças é ula: F F F P(t (3.3 d s Para u sstea vscoelástco lear a equação ateror trasora-se e: M u C u K u P(t ( PRINCÍPIO DOS TRABAHOS VIRTUAIS Cosdere-se u deslocaeto vrtual δu para a assa M. A aplcação do prcípo dos trabalhos vrtuas ao trabalho vrtual de todas as orças aplcadas, cludo as orças de érca, orece: F δ u F δ u F δ u P( t δ u 0 (3.5 d Coo esta expressão é válda para qualquer deslocaeto vrtual δu, obté-se aclete a equação do oveto ( MÉTODO ENERGÉTICO A eerga cétca do sstea é dada por: s 9

11 A eerga potecal da ola correspode a: T M u (3.6 V s K u (3.7 O potecal das orças exterores é calculado coo sedo o sétrco do seu trabalho: V e P( t u (3.8 E alete, o trabalho vrtual das orças ão coservatvas cosste o trabalho da orça de aorteceto, obtedo-se a orça geeralzada ão coservatva correspodete ao grau de lberdade u: δτ Q δ u C u δ u Q C u (3.9 c c Itroduzdo agora estas gradezas as equações de agrage (., obte-se edataete a equação do oveto ( EXEMPO DE UM OSCIADOR COM GRAU DE IBERDADE O ecaso da Fgura 3.4 é u osclador co grau de lberdade coposto por duas barras rígdas AB e BC co ua artculação e B, u apoo xo e A e u apoo deslzate e C que perte o oveto a horzotal. A solctação é costtuída pela orça dstrbuída trasversal p(t aplcada à barra AB. As barras estão apoadas ada e olas e aortecedores. A assa do sstea é costtuída por ua assa uoreete dstrbuída (x a barra AB e por ua assa potual M. Cosdera-se que as barras se ecotra a posção horzotal a coguração de equlíbro estátco, pelo que o peso ão será cosderado, de acordo co o que será dscutdo o parágrao 3.. c p(t u(t Fgura 3.4: Mecaso co corpos rígdos. Sedo as duas barras cosderadas coo rígdas, o sstea possu apeas grau de lberdade, sedo utlzado o deslocaeto vertcal u(t do poto B coo coordeada geeralzada. Devdo à coplexdade do sstea, a orulação das equações do oveto é eectuada as aclete utlzado o prcípo dos trabalhos vrtuas e vez do étodo drecto. Os trabalhos vrtuas assocados às orças actuates são: 0

12 - orças elástcas as olas: - orças de aorteceto: - orças de érca: 3 3 δτ s K u( t δu K u( t δu (3.0a δτ d C u ( t δu C u ( t δu (3.0b 4 4 AB (4a(4a u ( t δu δτ I A α AB δ AB M u ( t δu M u ( t δu (3.0c a 4a orças exterores: δτ O Prcípo dos Trabalhos Vrtuas escreve-se etão: 9 K u( t M u ( t 9 9 K e 5 p( t(a δu (3.0d u( t 6 a p( t δu 0 C u ( t C 4 u ( t a u ( t 3 (3. Tedo e cota que o deslocaeto vrtual δu é arbtráro, a equação ateror pode ser escrta sob a ora da equação (3.4 para o osclador sples: M u C u K u P (t (3. Nesta equação M, C, K e P represeta a assa geeralzada, o coecete de aorteceto geeralzado, a rgdez geeralzada e a solctação geeralzada do sstea, sedo dados por: M K 4 4 a M K K FORMA REDUZIDA DA EQUAÇÃO DO MOVIMENTO C C C 6 5 P ( t a p( t (3.3 A equação do oveto de u osclador lear co grau de lberdade ((3.4 ou as geercaete (3. pode ser escrta a sua ora reduzda dvddo os dos ebros da equação por M: / u ξω u ω u P( t M (3.4 Escrevedo a equação do oveto esta ora são troduzdas as duas gradezas que usualete são utlzadas para caracterzar o coportaeto dâco de u sstea co grau de lberdade: - requêca agular própra ou atural:

13 - actor de aorteceto: K ω (3.5 M C C C ξ (3.6 Mω KM C c Nesta equação C c é o coecete de aorteceto crítco cujo sgcado ísco será explcado o parágrao 3.4. A solução para a equação derecal do oveto do osclador lear co grau de lberdade va ser estudada os parágraos 3.4 e INFUÊNCIA DAS FORÇAS GRAVÍTICAS A luêca das orças gravítcas a equação do oveto, para eetos do estudo das osclações de ssteas, pode separar-se e dos casos, tal coo represetado a Fgura 3.5: a a orça geeralzada assocada às orças gravítcas é costate, ão depededo dos graus de lberdade do sstea; b a orça geeralzada assocada às orças gravítcas é varável e depedete dos graus de lberdade do sstea. K M P(t x M δ est F g / K K u a b Fgura 3.5: Iluêca das orças gravítcas. Força geeralzada costate No caso da orça geeralzada ser costate o eeto das orças gravítcas é o de por u deslocaeto estátco ao sstea estado o oveto de osclação cetrado essa posção de equlíbro estátco. Para o deostrar aalseos a equação do oveto da Fgura 3.5a, e ução do deslocaeto absoluto do sstea: M x K x (3.7 Podeos tabé edr o deslocaeto a partr da posção de equlíbro estátco através do deslocaeto relatvo do sstea ( u x δ est u x. Substtutdo esta relação a equação (3.7 obte-se: F g

14 M u K u K δ (3.8 est F g Vsto que o deslocaeto estátco correspode ao deslocaeto para o qual a orça desevolvda a ola equlbra o peso do corpo, etão a equação (3.8 reduz-se a: M u K u 0 (3.9 Ou seja, obte-se a esa equação do oveto que o obtda aterorete para o osclador lear co grau de lberdade, sto é, se cosderar o eeto das orças gravítcas, desde que o oveto seja eddo a partr da coguração de equlíbro estátco. Coclu-se que o eeto de ua orça geeralzada costate é apeas o de alterar a posção de equlíbro estátco do sstea, e toro da qual se dá a osclação. Força geeralzada varável Quado a orça geeralzada assocada às orças gravítcas é depedete dos graus de lberdade do sstea a equação do oveto clurá sepre ua parcela assocada às orças gravítcas, eso que seja escrta e relação à posção de equlíbro estátco. Aalsado o plar esqueatcaete represetado a Fgura 3.5b, as equações do oveto pode ser obtdas aclete através do equlíbro de oetos a sua base. Para s ddáctcos estas equações serão obtdas de seguda utlzado as equações de agrage. A eerga potecal (elástca, gravítca e das orças exterores é dada por: A eerga cétca da assa é: A equação do oveto que se obte é etão: V K Mg cos P( t s (3.0 T M (3. M K Mgs P( t cos (3. A equação do oveto (3. podera tabé ser obtda através do equlíbro de oetos e relação à base do plar a coguração deorada da estrutura. Esta equação derecal do oveto é ão lear e, sedo válda para qualquer valor desse âgulo. No estudo das vbrações de estruturas e egehara cvl o teresse cetra-se sobretudo as pequeas osclações e toro da posção de equlíbro estátco, para as quas 0. Pode etão realzar-se dos tpos de aálses aproxadas: Aálse geoetrcaete ão lear de ª orde: Neste caso vão reter-se as expressões da eerga potecal e cétca os teros até ao º grau e. Ass: cos M ( K Mg P( t (3.3 s Verca-se que o eeto das orças gravítcas a equação do oveto é o de reduzr a rgdez geeralzada da estrutura. 3

15 A equação do oveto (3.3 podera as ua vez ser obtda através do equlíbro de oetos e relação à base do plar a coguração deorada da estrutura, cosderado que para pequeas osclações o vector deslocaeto de u poto devdo a ua rotação é perpedcular ao vector que ue o cetro de rotação ao poto cosderado e te ua apltude gual ao valor da rotação ultplcado pela dstâca etre os dos potos (Fgura 3.6. Esta aproxação geoétrca é equvalete a cosderar u oveto devdo a ua rotação tesal ão coo u arco de crcuerêca as coo a tagete a essa crcuerêca. R R Aálse geoetrcaete lear: Fgura 3.6: Rotação tesal. Neste caso vão reter-se as expressões da eerga potecal e cétca apeas os teros leares e. Ass: cos M K P( t (3.4 s Verca-se agora que o eeto das orças gravítcas a equação do oveto desaparece ua aálse geoetrcaete lear, tal coo suceda quado a orça geeralzada era costate. Para obter a equação do oveto (3.4, correspodete a ua aálse geoetrcaete lear, através do equlíbro de oetos e relação à base do plar, essa equação de equlíbro é escrta a coguração deorada da estrutura INFUÊNCIA DO MOVIMENTO DA BASE U oveto osclatóro pode ser orçado ão por ua orça P(t, aplcada à assa e varável o tepo, as por u oveto dos apoos da estrutura. É o caso de solctações coo a vbração trastda às estruturas por áquas ou o oveto sísco da udação da estrutura e estudo. A Fgura 3.7 esqueatza o sstea e estudo. A assa M é subetda ao oveto do seu apoo ao logo do tepo, dedo pela ução y(t. Deoa-se o oveto absoluto da assa por x(t e o oveto relatvo etre a assa e o seu apoo por u(t. 4

16 C x(t R(t M K y(t x deslocaeto absoluto y deslocaeto da base ux-y deslocaeto relatvo Fgura 3.7: Osclador co grau de lberdade sujeto ao oveto da base. As orças exercdas sobre o osclador da Fgura 3.7 são: - a orça de lgação exercda pela ola F s, proporcoal ao deslocaeto relatvo u da assa M; - a orça de lgação exercda pelo aortecedor F d, proporcoal à velocdade relatva u da assa M; - as orças de érca F exercdas sobre a assa M, guas ao produto desta pela aceleração absoluta da assa ẋ. O deslocaeto absoluto da assa M correspode à soa do deslocaeto da sua base co o deslocaeto relatvo ( x y u x y u. Escrevedo que a resultate de todas as orças exercdas sobre o osclador é ula: F F F 0 M x C u K u 0 (3.5 d s Escrevedo esta equação co base o deslocaeto relatvo e o oveto da base ve: M u C u K u M y(t (3.6 Ou seja, o oveto do osclador solctado por u oveto do seu apoo é equvalete ao do eso osclador solctado por ua orça varável o tepo, correspodedo essa orça à orça de érca assocada ao oveto do seu apoo VIBRAÇÕES IVRES Quado u oveto osclatóro é provocado ucaete por u deslocaeto cal e relação à posção de equlíbro estátco ou por ua velocdade cal deoa-se de vbração lvre. As vbrações lvres são a solução da segute equação do oveto: u ξω u ω u 0 (3.7 A resposta do sstea será derete cosoate exsta ou ão aorteceto. A solução para esta equação derecal de ª orde hoogéea co coecetes costates será estudada os parágraos segutes VIBRAÇÕES IVRES NÃO AMORTECIDAS Quado o aorteceto é ulo a equação do oveto reduz-se a: u ω u 0 (3.8 As úcas uções para as quas a soa da seguda dervada co a própra ução pode ser ula são 5

17 uções trgooétrcas do tpo seo ou cosseo. Dessa ora a solução geral para esta equação do oveto é: ( ω t B s( ω t u( t Acos (3.9 Nesta expressão A e B são costates que depede das codções cas do oveto (deslocaeto cal u(0 e velocdade cal u (0. Para que essas codções cas seja satsetas te que ser: u( 0 A u (0 u( t u(0 cos u (0 Bω ω ( ω t s( ω t A solução da equação do oveto pode tabé ser escrta co ua úca ução susodal: ( ω ϕ (3.30 u( t U s t (3.3 Nesta solução U é a apltude do oveto osclatóro e ϕ é o âgulo de ase da resposta. A velocdade e aceleração do osclador são dados por: ( ω t ϕ ω U cos( ω ϕ u ( t V cos t (3.3 ( ω t ϕ ω U s( ω t ϕ ω u( t u ( t A s (3.33 ode V e A correspode às apltudes da velocdade e da aceleração. Itroduzdo as codções cas obte-se: u(0 u (0 u (0 U ( s ( cos ( (0 ϕ ϕ U U u ω ω (3.34 u(0 u(0 ω tg ϕ (3.35 ( ϕ arctg u (0 / ω u (0 O oveto correspodete a ua vbração lvre ão aortecda é etão u oveto haróco co apltude costate e período gual a T π / ω (Fgura 3.8. u(t u(0 u(0 U t T / 4 ϕ/ ω T Fgura 3.8: Vbração lvre ão aortecda. 6

18 3.4.. VIBRAÇÕES IVRES AMORTECIDAS A solução geral para a equação (3.7 é ua ução que soada à sua prera e seguda dervadas se aula. Va procurar-se ua solução do tpo: Itroduzdo esta ução a equação (3.7 obte-se: λ t u( t e (3.36 t ( ξω λ ω e λ 0 Para que esta expressão se aule para todo e qualquer state t: λ (3.37 λ ξω ± ω ξ (3.38 O valor crítco do coecete de aorteceto é o que aula a raz a expressão ateror, ou seja, é aquele para o qual o actor de aorteceto é utáro. Cosoate o valor do actor de aorteceto dstgue-se três casos dsttos: - sstea co aorteceto sobre-crítco (ξ >; - sstea co aorteceto crítco (ξ ; - sstea co aorteceto sub-crítco (ξ <; Para estruturas de egehara cvl o actor de aorteceto é e geral gual ou eror a 5%. Sstea co aorteceto sobre-crítco Neste caso as duas soluções ecotradas são expoecas egatvas, sedo a solução geral dada por: λ t λ t < u( t Ae Be, λ e λ 0 (3.39 Esta solução ão é osclatóra e tede para zero a tepo to, sedo o regresso à posção de equlíbro estátco tão as célere quato eor or o aorteceto. As costates A e B depede das codções cas e pode ser deteradas de ora seelhate ao exposto aterorete. Sstea co aorteceto crítco Quado o aorteceto é crítco as duas soluções são guas, deostrado-se que a solução geral da equação do oveto é da ora: ω t ( A Bt e u( t (3.40 Tal coo o caso do aorteceto sobre-crítco esta solução ão é osclatóra e tede para zero a tepo to. As costates A e B depede, as ua vez, das codções cas e pode ser deteradas de ora seelhate ao exposto aterorete. O valor crítco do coecete de aorteceto correspode ao eor valor que este pode apresetar para que o oveto ão seja osclatóro. 7

19 Sstea co aorteceto sub-crítco A u valor eror à udade do actor de aorteceto correspode soluções coplexas para a equação (3.38. Dedo a requêca agular aortecda por: As soluções da equação (3.38 são etão: λ ξω Tedo e cota as propredades da expoecal coplexa: A solução geral da equação do oveto é dada por: Itroduzdo as codções cas obte-se: ω d ω ξ (3.4 ω λ ξω d d (3.4 ω e cos s (3.43 ξ ω t [ Acos( ω t B ( ω t ] e u( t s (3.44 u( 0 A u (0 u(0 ξω u( t u(0 cos d u (0 Aξω Bωd ωd d d ξ ω t ( ω t s( ω t e Esta solução pode tabé escrever-se co ua úca ução susodal, cado: ξ ω t ( ω t ϕ d (3.45 u( t U e s (3.46 Nesta equação U é a apltude áxa do oveto osclatóro e ϕ é o âgulo de ase da resposta, sedo dados por: d U u(0 ωd u(0 u(0 ξω (3.47 u(0 ωd ϕ arctg u (0 u(0 ξω (3.48 O oveto correspodete a ua vbração lvre aortecda co deslocaeto cal u(0 ecotra-se represetado a Fgura 3.9. Coo pode ver-se essa gura os valores áxos do deslocaeto estão espaçados de u tervalo de tepo gual a T d π / ω d. A sua apltude decresce expoecalete ao logo do tepo e tede para zero a tepo to. O regresso à posção de equlíbro estátco é tato as leto, e co as cclos de osclação, quato eor or o aorteceto. Ua ora sples de estar o aorteceto e estruturas é através do chaado decreeto logarítco δ, que relacoa os valores das apltudes do deslocaeto e dos cclos sucessvos: U U,, e ξ ω U, π / ω l π ξ d δ π ξ ( se ξ << (3.46 U, ξ 8

20 u / u(0 ξ ξ > ξω t e t / T d ξ < 3.5. VIBRAÇÕES FORÇADAS Fgura 3.9: Vbração lvre aortecda. Neste parágrao são estudadas as vbrações orçadas devdo a ua solctação aplcada drectaete à assa ou devdo a u oveto dos apoos. Será cosderado o caso de u sstea co aorteceto sub-crítco, que é o úco caso co teresse prátco para estruturas de egehara cvl CARGA HARMÓNICA APICADA À MASSA Estuda-se este parágrao as vbrações orçadas devdo a ua solctação varável o tepo correspodete a ua carga haróca aplcada drectaete à assa co apltude P e requêca ω : P( t P s( ω t (3.47 O teresse de estudar o caso de ua solctação haróca prede-se co o acto de qualquer ução poder ser decoposta ua sére de uções harócas. Ass, o caso que é abordado este parágrao serve de base para a aálse de vbrações orçadas devdo a solctações as coplexas. A equação do oveto (3.4 passa a ter u tero depedete haróco (parcela do lado dreto da equação, que ão depede de u, trasorado-se etão e: P M u C u K u P s( ω t u ξω u ω u s( ω t (3.48 M Ua solução partcular desta equação derecal terá que ser tabé haróca co requêca ω, sedo procurada ua ução do tpo: ( ω t C s( ω t u p ( t C cos (3.49 Itroduzdo esta solução a equação (3.48 e detcado as costates tero a tero obte-se: u p P ω ( ω ( t ξ cos ω ( t K [ ( ] ( s ω t ω ω ω / ω ξ ω / ω (3.50 Ua solução da equação das vbrações orçadas (3.48 que cossta a soa desta solução partcular co as soluções da equação das vbrações lvres (3.7, que correspode à ora hoogéea (co tero depedete ulo da equação (3.48, é tabé solução para este 9

21 oveto osclatóro orçado. A solução geral da equação das vbrações orçadas é ass a soa da solução partcular co a solução da equação hoogéea: u( t u h P K ( t u p ( t [ Acos( ω t Bs( ω t ] [ ( ω / ω ] ( ξ ω / ω d d e ξ ω t ω ξ cos ω ( ω t s( ω t ω ω (3.5 O prero tero da equação ateror correspode ao rege lvre ou trastóro e o estudado o parágrao 3.4.., equato que o segudo tero correspode ao rege orçado ou peraete. As costates A e B da equação (3.5 são deteradas pelas codções cas de velocdade e deslocaeto da assa. O rege trastóro te essa desgação porque a sua apltude decresce ao logo do tepo, apeas tedo algua portâca a resposta total os states cas do oveto. À edda que esta parcela se desvaece o oveto passa a ser doado pela resposta e rege peraete (Fgura 3.0, pelo que de seguda se rá aproudar a aálse da solução partcular. u(t / U Resposta total Rege peraete t / T Fgura 3.0: Resposta total e vbração orçada. Estudo da solução partcular (rege peraete A resposta e rege peraete correspodete à equação (3.50 pode tabé escrever-se coo ua úca ução susodal, cado: A apltude U desta solução partcular é dada por: U u ( ω p ( t U s t ϕ (3.5 P P β (3.53 K K [ ( ω / ω ] ( ξ ω / ω ode β é o coecete de aplcação dâca do deslocaeto. De acto, o deslocaeto produzdo o sstea se a orça P(t osse aplcada estatcaete (co requêca ula e co valor P é: P U estátco K (3.54 0

22 pelo que a apltude do deslocaeto dâco correspodete à solução partcular é: β (3.55 U U estátco O coecete de aplcação dâca ecotra-se represetado a Fgura 3. e ução da relação etre a requêca de exctação e a requêca própra do sstea. Naturalete este coecete é utáro para u carregaeto estátco e tede para zero quado a requêca de exctação tede para to, qualquer que seja o valor de ξ. Para requêcas de exctação uto elevadas as orças de érca tora-se prepoderates e relação às orças elástca e de aorteceto. Essas orças de érca tede para to e, sedo cotráras ao oveto, a assa peraece pratcaete óvel. Fgura 3.: Coecete de aplcação dâca do deslocaeto. O valor áxo do coecete de aplcação dâca é dado por: ω ξ ξ ω ω < ξ 0 ω β β, áx, áx ξ ξ (3.56 Para eetos prátcos, e estruturas de egehara cvl, o valor áxo é atgdo quado a requêca de exctação guala a requêca própra do sstea (stuação de ressoâca: ξ 0, ω ω β, áx (3.57 ξ E stuação de ressoâca, quado o aorteceto é ulo o valor áxo do coecete de aplcação dâca tede para to. O âgulo de ase dcado a equação (3.5 etre a orça aplcada e o deslocaeto resultate é dado por:

23 ξ ω / ω ϕ arctg ( ω / (3.58 ω A Fgura 3. represeta o âgulo de ase e ução da relação etre a requêca de exctação e a requêca própra do sstea. Para requêcas baxas o desasaeto é ulo ou desprezável o que sgca que o sstea respode stataeaete à solctação. Quado se atge a ressoâca exste u desasaeto de 90º etre a orça aplcada e o deslocaeto resultate, sedo o deslocaeto ulo quado a orça é áxa e vce-versa. Para altas requêcas da exctação a orça aplcada e o deslocaeto estão e oposção de ase, sedo abos áxos e valor absoluto o eso state as co sas cotráros. Relebre-se que para altas requêcas, o etato, a apltude do deslocaeto tede para zero. ϕ ξ 0 ξ Fgura 3.: Âgulo de ase da resposta peraete. O valor da solctação que é trastda aos apoos do sstea (a reacção R(t é dada pela soa das orças a ola e o aortecedor: ( ω t ϕ Cω U cos( ω t ϕ R ( ω R( t K u( t C u ( t KU s t ϕ (3.59 s A apltude e a ase desta reacção são calculadas através das segutes equações: ω t ϕ 0 ω t ϕ π / De seguda calcula-se: R tg Cω U KU R R s ( KU ( Cω U β ( ξ ω / ω Cω s( ϕ ϕ ( π / ϕ ϕ R cos( ϕ ϕ ( ϕ ϕ ξ ω / ω ϕ ϕ arctg( ξ ω / ω K ω / ω P β P (3.60 (3.6 O coecete de aplcação dâca da reacção, β, que relacoa a apltude da orça trastda ao apoo co a apltude da orça aplcada, ecotra-se represetado a Fgura 3.3 e ução da relação etre a requêca de exctação e a requêca própra do sstea. Este coecete é utáro para u carregaeto estátco. Para valores da relação etre a requêca de exctação e a requêca própra do sstea erores a, o eeto de aplcação do deslocaeto az co que a orça a ola seja prepoderate e relação à orça o aortecedor, sedo a reacção tato

24 eor quato aor é o aorteceto devdo à dução da apltude do deslocaeto que este plca. Quado essa relação é superor a a orça o aortecedor passa a ser prepoderate ace à orça a ola, passado a reacção a ser tato aor quato aor é o aorteceto. Fgura 3.3: Coecete de aplcação dâca da reacção. Estudo da ressoâca Coo o reerdo, quado a requêca de exctação cocde co a requêca própra do sstea a resposta e deslocaeto apreseta u valor áxo, que pode ser to se o aorteceto or ulo. Para u osclador orçado co codções cas ulas e deslocaeto e e velocdade a equação (3.5 dca que a resposta e deslocaeto é: P A K ξ P B K ξ P u( t K cos ξ ( ( ξ ω t ω t s ω t e cos( ω t d ξ ξ d (3.6 Esta expressão pode splcar-se para valores baxos de ξ e para u state suceteete posteror ao state cal: P u( t K ξ ξ ω t ( e cos( t ω (3.63 Quado o sstea ão é aortecdo, a passage ao lte da solução (3.59 para ξ 0 leva à segute resposta e deslocaeto: P u( t [ s( ωt ωt cos( ωt ] (3.64 K A Fgura 3.4 represeta a evolução ao logo do tepo das respostas do sstea descrtas pelas equações (3.60 e (3.6. Para o sstea ão aortecdo a apltude da resposta cresce de u actor 3

25 π e cada cclo, relatvaete ao deslocaeto estátco, e tede para to o sstea é stável. Para o sstea aortecdo, eso que o aorteceto teha u valor reduzdo, a apltude da resposta cresce tabé ao logo do tepo as o coecete de aplcação dâco é ltado a u valor de / ξ, que é atgdo tão as rapdaete quato as elevado or o aorteceto. u(t Fgura 3.4: Evolução da apltude da resposta de u sstea e ressoâca MOVIMENTO HARMÓNICO DA BASE Estuda-se este parágrao as vbrações orçadas devdo a u oveto do apoo varável o tepo de ora haróca co apltude Y e requêca ω : y( t Y s( ω t (3.65 A equação (3.6 é a equação do oveto deste sstea, escrta co base o deslocaeto relatvo e o oveto da base, e trasora-se para esta solctação e: M u C u K u M y( t M u C u K u M ω Y s( ω t (3.66 Esta equação derecal do oveto é slar à equação (3.48 das vbrações orçadas devdo a ua carga susodal aplcada drectaete à assa do sstea. As duas equações são guas se se zer a equvalêca etre a apltude da orça de érca assocada ao oveto da base e a apltude de ua orça susodal equvalete: P M ω Y (3.67 Co esta equvalêca os resultados obtdos aterorete são drectaete aplcáves às vbrações orçadas por oveto da base. Aalsado a solução e rege peraete obte-se: co: u ( ω ( t U s t ϕ p (3.68 P M ω Y ω U β β β Y β 3 K K ω Y (3.69 O coecete de aplcação dâca β 3, que relacoa o oveto da base co o deslocaeto relatvo da assa, ecotra-se represetado a Fgura 3.5 e ução da relação etre a requêca de exctação e a requêca própra do sstea. Quado a requêca de exctação é ula 4

26 ou quado o osclador é uto rígdo (requêca própra uto elevada, o osclador acopaha o oveto da base e o deslocaeto relatvo é ulo. Quado o osclador é uto lexível (requêca própra uto baxa, este peraece óvel e a apltude do deslocaeto relatvo é gual à do oveto da base, sedo a sua ase oposta. Fgura 3.5: Coecete de aplcação dâca do deslocaeto relatvo ace ao oveto da base. A orça trastda ao apoo este caso é dada tabé pela equação (3.59 e a sua apltude é gual a: R P β M ω β Y (3.70 Esta reacção é aturalete ula quado o oveto da base é aplcado estatcaete (co requêca ula. Quato ao oveto absoluto, a equação (3.5 dca que a orça de érca é gual à orça trastda pela assa ao apoo: ( ω t M x C u K u R( t R s ϕ (3.7 Tedo e cota esta equação e a equação (3.70, que dee a apltude da orça trastda ao apoo, a aceleração absoluta ca: ( ω x ( t β ω Y s t ϕ (3.7 Itegrado esta expressão e relação ao tepo duas vezes e sabedo que a assa parte do repouso, co velocdade e deslocaeto absolutos ulos, obte-se: ( ω t ϕ X ( ω x( t β Y s t ϕ s (3.73 Ou seja, a apltude do deslocaeto absoluto relacoa-se co a apltude do oveto da base através do coecete de aplcação dâca β. Ass, quado o osclador é uto rígdo a apltude do deslocaeto absoluto é gual à do oveto da base e quado o osclador é uto lexível o deslocaeto absoluto tede para zero te ase cotrára ao oveto da base. 5