TÉCNICAS PARA REDUÇÃO DO NÚMERO DE ITERAÇÕES NO MÉTODO DE PONTOS INTERIORES

Sepember 4-8, 0 Ro e Jnero, Brl TÉCNICAS PARA REDUÇÃO DO NÚMERO DE ITERAÇÕES NO MÉTODO DE PONTOS INTERIORES Lln F. Ber Depo e Memác Aplc - IMECC - UNICAMP 3083-859 - Cmpn - SP lln@me.uncmp.br Crl T. L. S. Ghn Depo e Memác Aplc - IMECC - UNICAMP 3083-859 - Cmpn - SP crl@me.uncmp.br Aurelo R. L. Olver Depo e Memác Aplc - IMECC - UNICAMP 3083-859 - Cmpn - SP urelo@me.uncmp.br RESUMO O méoo e pono nerore êm o mplmene ulo pr eermnr olução e problem e progrmção lner, prncplmene, o e grne pore. O méoo preorcorreor, enre o vrçõe e méoo e pono nerore, é um o que m e ec, evo à u efcênc e convergênc ráp. Nee rblho, com o obevo e reur o número ol e erçõe o méoo e pono nerore e e reolver problem e grne pore que n não form reolvo por our borgen, conermo u écnc n, qu preenrm bon reulo quno plc eprmene. Um el é ulr o lgormo e umeno ómo pr p cooren pr eermnr bon pono nc, vo que o pono ncl nfluênc remene no eempenho o méoo e pono nerore e our é relr erção connu pr mnur o número e operçõe rel o reolver o em lnere. A mplemençõe e écnc form ncorpor o PC e o reulo obo no epermeno compucon relo em um conuno verfco e problem e progrmção lner form fóro. PALAVRAS-CHAVE: Ierção connu. Algormo e umeno ómo. Méoo e pono nerore Progrmção Memác ABSTRACT The neror pon meho hve been wely ue o eermne he oluon of lner progrmmng problem, epeclly he lrge problem. The precor-correcor meho, mong ll neror pon meho one moly ue ue o effcency n convergence propere. In h work, he mn obecve o reuce he ol number of eron of he neror pon meho n o olve lrge problem h hve no been reolve by oher pproche. For h we coner wo fferen echnque, whch howe goo reul when pple eprely. One o ue he opml umen lgorhm for p coorne o eermne goo rng pon, nce he rng pon nfluence recly he performnce of he neror pon meho n he oher o ue connue ere o ecree he number of operon performe by olvng he lner yem. The mplemenon of hee echnque w ncorpore no he PC. The reul 3609

Sepember 4-8, 0 Ro e Jnero, Brl obne n compuonl epermen performe on vere e of lner progrmmng problem were fcory. KEYWORDS: Connue eron. Opml umen lgorhm. Ineror pon meho Mhemcl Progrmmng. Inroução O méoo e pono nerore relm um reór neror à regão e fcble form pel rerçõe o problem. No enno, pr que méoo em plco é neceáro eermnr um pono ncl neror e regão. Embor o pono ncl omene prece mner conçõe e não negve, o proceo e convergênc é enível ee pono e o eempenho o méoo e pono nerore poe melhorr e um bom pono ncl for ulo. O lgormo e umeno ómo pr p cooren propoo em Slv (009) é um generlção e preen em Gonçlve (004), pr eenvolver o lgormo e umeno pelo pr ómo, o qul, por u ve, é beo no lgormo e Von Neumnn. A prncp vngen ee lgormo ão o vnço ncl rápo e mplce, vo que em c erção é neceáro fer pen mulplcção e mr por veor e reolver um em lner com um mr efn pov e orem pequen. Aper e que, em ermo e convergênc, o lgormo e umeno ómo pr p cooren e uperor o e Von Neumnn, u convergênc mbém é len. Am, no propo é eplorr u crceríc e relr omene lgum erçõe enro heuríc e Mehror (Mehror, 99), qul eermn o pono ncl pr o méoo o pono nerore no ofwre PC pr que pono nc n melhore pom er obo. No méoo preor-correor, em c erção, é preco reolver o em lnere pr eermnr reção preor-correor. A reolução ee em correpone o po que requer m empo e procemeno, eveno m er rel e mner efcene. Pr reolvê-lo borgem m ul é forção e Choleky. No enno, relr forção e Choleky em o erção em um lo cuo compuconl. De form, n buc e reução e eforço fo eenvolv erção connu. A erção connu é con no fnl e c erção o méoo preor-correor, pó o cálculo reção preor-correor e, com o, um nov reção é ob. Pr eermnr e nov reção, lgum componene reção neror ão coner nul, quel que ão reponáve pelo bloqueo. A forção e Choleky, á clcul n erção o preor-correor é ul pr reolver o em lnere envolvo n eermnção nov reção, enomn reção preor-correor connu. Seu cálculo é feo mem form que reção preor-correor. Prmero, reção fm ecl connu é eermn, epo reção e cenrgem e, por fm, é clcul correção não lner connu. Am, o novo méoo é relo em o níve. No nível eerno é feo o cálculo forção e Choleky e reção preor-correor rconl. No nível nerno é plc erção connu com o obevo e reur o número ol e erçõe o méoo e pono nerore. N Seção ee rblho, ão ecro o lgormo e umeno ómo pr p cooren, form como é reolvo o ubproblem que urge c erção ee lgormo e heuríc e Mehror, que eermn o pono ncl o méoo e pono nerore e n qul o lgormo e umeno ómo é plco. N Seção 3, o méoo e pono nerore preorcorreor e erção connu ão ecro em elhe. N Seção 4, o epermeno compucon relo com problem elecono e ferene bbloec ão preeno. Fnlmene, n Seção 5, eão concluõe. 360

Sepember 4-8, 0 Ro e Jnero, Brl. Algormo e umeno ómo pr p cooren Conere o problem e enconrr um olução fcível pr o egune conuno e rerçõe lnere: A = 0, e =, () 0, em que A ϵ R mn, e e ϵ R n, e é um veor unáro e colun e A em norm um, o é, A =, pr =,..., n. Geomercmene, colun A poem er v como pono obre hperefer m- menonl com ro unáro e cenro n orgem. De form, o problem cm poe er ecro como e rbur ponerçõe não negv à colun A e moo que, epo e reeclo, eu cenro e grve e orgem. Ob.: Too problem e progrmção lner poe er reuo o problem () (ve Gonçlve, 004). O lgormo Von Neumnn, bcmene, cone em enconrr colun A e A que form o mor ângulo com o reíuo b k-, e enão o prómo reíuo é proeção orgem no egmeno e re lgno b k- A. Já o lgormo e umeno pelo pr ómo, eenvolvo por Gonçlve e l. (009) be-e n é e que o reíuo b k- poe er movo e l form promr-e orgem 0, umenno um peo e lgum colun A e reuno um peo e cer colun A. Eper-e que o reíuo b k ee m prómo orgem que o reíuo b k-. Slv (009) generlou é preen por Gonçlve e l. (009) o propor o lgormo e umeno pelo pr ómo e eenvolveu o lgormo e umeno ómo pr p cooren, em que p é lmo pel orem o problem. Ee lgormo mbém pou como prncp vngen mplce e convergênc ráp n erçõe nc. O lgormo e umeno ómo pr p cooren começ enfcno e colun que fem o mor e o menor ângulo com o veor b k-, repecvmene, em que + = p e p é o número e colun er pror. Depo, um ubproblem e omção é reolvo e, fnlmene, o reíuo e o pono correne ão ulo. Aqu, reolução o ubproblem é fe ulno méoo e pono nerore, um ve que o número e co er conero, que fem conçõe e KKT, crece eponenclmene com o vlor e p. Algormo : Do: 0 0, com e 0 =. Clculr b 0 = A 0. Pr k =,, 3,... ) Clculr: { A,..., } que formm o mor ângulo com b k-. A { A,..., } que formm o menor ângulo com b k- e l que k- > 0, A =,...,, em que + = p. v k = mn k =,.., + b. ) Se v k > 0, enão PARE. O problem () é nfcível. 3) Reolver o ubproblem: A 36

Sepember 4-8, 0 Ro e Jnero, Brl Mn b.. λ k k 0 + + λ + + λ = = = = = () λ 0, pr =,...,, + λ 0, pr =,...,. em que, b = k k λ b k 0 + A + A + λ + A + + λ A = = = = 4) Aulr: k k k k b = λ 0 b + A + A + λ + A + + λ A = = = = u k = b k k k = λ0 λ +, λ, k = k +. { = = +,..., ; =,..., ; =,...,,,...,. }. Solução o ubproblem Em c erção o lgormo e umeno ómo pr p cooren é neceáro reolver o ubproblem (). No co p =, que é o lgormo e umeno pelo pr ómo, o ubproblem é reolvo verfcno o poíve oluçõe fcíve conçõe e KKT, eno um ol e 7. No co gerl, que é o lgormo pr p cooren, o número e co poíve e oluçõe fcíve crece eponenclmene com o vlor e p. Ee número é, p+ emene, e o orn mplemenção o lgormo nvável pr vlore rovelmene grne e p. Pr conornr e fcule, o ubproblem () é boro e um form ferene e, enão, o méoo e pono nerore eguor e cmnho é uo pr reolvê-lo. A grne vngem borgem é que o cuo compuconl pr reolver um problem e grne pore não é gnfcvo. Pr m elhe obre como reolver o ubproblem () ve Slv (009)... Heuríc e Mehror A heuríc e Mehror, ul pr eermnr um pono ncl pr o méoo e pono nerore no cógo o PC, cone no egune po: Algormo : ) Reolver mínmo quro pr clculr o pono: y = AA Ac, = A AA b, = c A y ) Enconrr o vlore δ e δ que + δ e + δ em não-negvo: δ = m(.5mn{ }, 0), δ = m(.5mn{ }, 0).. 36

Sepember 4-8, 0 Ro e Jnero, Brl 3) Deermnr δ e δ que o pono 0 e 0 em cenrlo: δ = δ + +δ e +δ e n = +δ, δ = δ + +δ e +δ e n = +δ. 4) Clculr o pono nc: y 0 = y, 0 = +δ e, = +δ e 0. Algum erçõe o lgormo e umeno ómo pr p cooren ão rel ne ep e cenrlção (Po ). Io porque, e o lgormo for ulo epo e cenrlr o pono, ee ão melhoro, porém cenrle, que é mporne pr o méoo e pono nerore, poe er per. O pono ncl pr o lgormo e umeno ómo pr p cooren é o pono eermno o reolver mínmo quro no Po. Pr m elhe obre heuríc e Mehror ve Mehror (99) e Cyyk e l. (999) e obre o lgormo e umeno ómo pr p cooren e u mplemenção ve Ghn e l. (0). 3. Méoo preor-correor e erção connu Conere o problem e progrmção lner n form prão prml: em que A ϵ R mn, poo(a) = m, e c ϵ R n, e b ϵ R m. O problem ul oco n form prão é o egune: Mn c.. A = b (3) 0 M b y.. A y + = c (4) 0 em que y ϵ R m repreen o veor vráve u lvre e ϵ R n repreen vráve e folg u. A conçõe e omle e prmer orem (KKT) o problem (3) e (4) ão: A b 0 A y c 0 XZe 0, 0 (5) eno X = g(), Z = g() e e ϵ R n veor unáro. 3. Méoo Preor-Correor O méoo e pono nerore o po prml-ul conem em plcr o méoo e Newon à conçõe e omle (5) o PPL, prno e um pono neror e mneno neror c erção. O méoo preor correor eenvolvo por Mehror (99) cone em ulr um reção compo por rê componene: reção fm-ecl (reção e 363

Sepember 4-8, 0 Ro e Jnero, Brl Newon), reção e cenrgem e reção e correção não lner. (Monero, Aler, e Reene, 990). Enão, plcno o méoo e Newon à conçõe e omle obém-e: em que A p Z r A y X r r r r r p b A c A y XZe Elmnno vráve poemo reolver o em egune form: y DA y r X X r Z ADA r p ADr X r r (6) (7) (8) em que D = XZ -, mr ADA é mérc e efn pov, po A em poo compleo e D é um mr gonl efn pov. Como 0, 0, 0, 0, enão p mn, mn 0, p e p mn, mn 0 pr 0, (9) No méoo prml ul fm ecl (Monero e l. 990) o prouo poem convergr pr ero com veloce ferene, m o méoo poe flhr ou progrer lenmene. Pr evr o, o prâmero é cro n conçõe e omle e form que =. Ee prâmero é ulo c erção e ene ero à me que o méoo prom olução (méoo eguor e cmnho). No méoo preor-correor, é eermno e coro com progreo reção fm ecl, e moo que e ocorrer melhor ufcene, enão é pequeno, co conráro é um perurbção mor. Sem: e (0) repreenno o gp e ule (Wrgh, 997). Defnmo, Quno p = p / n / n, / / n e () co conráro. =, emo um pono que f equçõe e gule r D D e, fcble prml e ul, r p = r = 0 e n rerção e complemenre, eno D = g( ) e D = g( ). Feno correção não lner cm e nrouno perurbção, emo o em, 364

Sepember 4-8, 0 Ro e Jnero, Brl A 0 A y 0 Z X e D D e. () Dee moo, reção preor-correor é por = + e eermn reolveno o em: A rp A y r (3) Z X r em que r r e D D e. (4) A olução e (3), ob e form mlr o em (6) é egune: y ADA r p ADr X r DA y r X r X r Z (5) 3. Ierção connu No méoo preor-correor, ep críc e eforço compuconl cone no cálculo forção e Choleky mr ADA preene no o em lnere que evem er reolvo c erção. De mner, com o obevo e reur eforço, m epecfcmene o número ol e forçõe, fo eenvolv erção connu, qul é plc pó o cálculo reção obo por (5). N erção connu, é fe um buc pel componene reponáve pelo bloqueo n reçõe (, ), ou e, e form enconrr e, que: rgmn / 0, (6) rgmn / 0. Como poe não er vrável e bloqueo em lgum ou em mb reçõe, o egune co ão conero: () componene e bloquem, () omene componene bloque, () omene componene bloque e (v) nenhum componene bloque. Co (): A componene e bloquem Com componene que bloquem eermn, n reção fm ecl connu ˆ er clcul, eve-e er ˆ 0 e ˆ 0. Além o, reção ˆ, prommene, eve fer o em: A ˆ rp A y ˆ ˆ r Z ˆ X ˆ r (7) De form mlr e e Dkn (967) o eenvolver o méoo prml fm ecl, pr enconrr olução ee em, um problem ulr é uo pr eermnr ˆ, e form mnmr lerção n reção. Conere = olução o em (5). Am, o problem ulr é o egune: 365

Sepember 4-8, 0 Ro e Jnero, Brl Mn.. em que 0 e b e cu olução é: / / D ˆ D A ˆ rp ˆ ˆ b (8) ˆ DA v e eno v ADA A ADA A, A ADA A, A ADA A A ADA A A ADA A Pelo em (7) obém-e: b ADA A A ADA A A ADA A ˆ X y ˆ r Z ˆ, ADA ADr ˆ. Pr eermnr reção preor-correor connu, femo o cálculo e, correção não lner e, lém o, eve-e er = 0 e = 0. Am, reção eve fer prommene o em (3), o qul é reolvo e form mlr o em (7), eno ulo o problem ulr: e. A. Mn.. / / D D A rp b (9) em que 0 e ˆ b e cu olução é: A em reçõe ão por: DA v e X y r Z ADA ADr e. 366

Sepember 4-8, 0 Ro e Jnero, Brl Pr eermnr reção não é neceáro clculr novmene o em lnere que envolvem mr ADA no cálculo e v. Am, é neceáro reolver omene um em lner com mr ADA pr eermnr y. Ob: O co () e () ão uçõe prculre o co () e epreõe ão eermn e moo nálogo. Pr elhe, ve Ber (0). A erção connu não é rel e ocorre o co (v), po não ee componene e bloqueo, e quno componene e ão gu. Algormo 3: ) Clcule o mnho o po prml p e ul por (9). ) Aule o pono: = + p, y = y + y, = +. 3) Aule o reíuo. 4) Enconre componene e bloqueo por (6). 5) Se = ou não eem e, g pr próm erção. 6) Clcule ˆ. 7) Clcule ˆ y e ˆ. 8) Clcule por () e r por (4). 9) Clcule. 0) Clcule y e. ) Clcule o mnho o po: mn{ p, }. ) Aule o pono: = +, y = y + y, = +. 4. Epermeno Compucon O epermeno compucon form relo em um Inel Core 7,.93GH, 6GB RAM, HD TB, Lnu 64B, ulno o complore gcc e gforrn. O lgormo e umeno ómo pr p cooren e erção connu form mplemeno em lngugem C e ncorporo o cógo o ofwre PC. Pr nlr o eempenho o PC com borgem propo form reolvo 43 problem, lgun com ceo lvre n nerne (Nelb, Qplb e Kennngon) e ouro problem genlmene ceo por Gonçlve. Somene problem cuo número e colun é mor que cnco ml form conero. O créro e pr pr o lgormo e umeno ómo pr p cooren é o número mámo e erçõe (00) ou o erro relvo norm reul menor que 0-4. Aquele que ocorrer prmero. Pr ecolh o vlor e p fo ulo o egune créro: 0 < m 00 => p = 00 < m 000 => p = 4 000 < m 5000 => p = 8 5000 < m 30000 => p = 0 30000 < m 90000 => p = 0 90000 < m 50000 => p = 40 50000 < m => p = 60 N Tbel, comprmo o número ol e erçõe rel pelo PC orgnl (colun PC) e pel verão o PC com o lgormo e umeno ómo e erção connu ncorporo (colun PC_Mo). N colun e 3 e bel eão menõe (número e lnh e colun) o problem pó o pré-procemeno. N colun p e Iu eão o vlore 367

Sepember 4-8, 0 Ro e Jnero, Brl e p e o número e erçõe o lgormo e umeno ómo. A colun k r erçõe em que erção connu fo plc e úlm colun, mor orgem o problem. Problem Lnh Colun p Iu k PC PC_Mo Coleção 80bu3b 40 066 8 5 0 36 4 Nelb fl00 5984 43 4 0 5 0 56 45 Nelb f 5 054 5 0 Nelb fp 3000 355 4 0 5 0 0 9 Nelb mro-r7 5 7440 4 5 6 5 Nelb plo87 97 6373 4 5 0 33 3 Nelb ocfor3 536 8 0 5 30 30 Nelb woow 708 5364 4 0 5 0 30 8 Nelb cre- 994 669 8 5 0 3 3 Kennngon cre-b 5336 3638 8 5 0 4 39 Kennngon cre-c 375 54 8 5 0 5 3 Kennngon cre- 40 860 8 0 6 8 4 36 Kennngon ken 0085 6740 8 6 8 0 0 Kennngon ken3 534 3656 0 6 8 3 4 Kennngon ken8 7886 8434 0 6 8 9 8 Kennngon o-07 08 5030 4 6 8 0 Kennngon o-4 300 54760 8 5 5 0 Kennngon o-30 433 04337 8 4 5 0 4 3 Kennngon o-60 043 4309 8 5 5 33 3 Kennngon p-06 956 847 8 0 5 34 36 Kennngon p-0 5648 48780 0 0 6 8 39 40 Kennngon p-0 387 0680 0 6 8 55 55 Kennngon bl 579 46 8 6 8 3 3 Gonçlve bl 579 46 8 6 8 37 34 Gonçlve co5 4849 0787 8 5 0 47 47 Gonçlve co9 9090 9997 8 0 5 0 * 5 Gonçlve cq9 8004 937 8 5 0 49 47 Gonçlve e05 85 7797 0 5 3 3 Gonçlve e06 83 7895 4 5 63 59 Gonçlve e09 8 884 4 0 6 8 37 35 Gonçlve ge 950 4990 8 0 43 4 Gonçlve nl 6665 4680 8 6 8 37 36 Gonçlve el9 849 535 8 5 0 6 5 Qplb chr5 5587 047 4 0 6 8 8 5 Qplb chrb 4350 386 4 0 5 0 7 6 Qplb kr30 8059 8575 8 5 0 6 6 Qplb kr30b 8059 8575 8 6 8 7 9 Qplb rou0 7359 37640 8 5 6 7 Qplb cr5 34 60 8 6 8 0 Qplb cr0 5079 5980 8 5 0 0 9 Qplb e36 7683 3076 0 4 5 0 3 30 Qplb e36b 7683 3076 0 4 5 0 3 30 Qplb e36c 7683 3076 0 4 5 0 3 9 Qplb Tbel : Comprção o eempenho e PC e PCMo * gnfc que o méoo flhou 368

Sepember 4-8, 0 Ro e Jnero, Brl O uo erção connu e o lgormo e umeno ómo pr p cooren enro heuríc e Mehror ferm reur o número ol e erçõe o méoo e pono nerore em 70% o problem eo. No problem fl00 e chrb, nov verão o PC relou erçõe meno, o que é um vlor bem gnfcvo. Em prommene 4% o problem o número e erçõe umenou e em cerc e 6% não houve lerção. O mor umeno o número e erçõe fo e 6 erçõe. Um reulo mporne é que o problem co9 fo reolvo omene pelo Pc_Mo, morno que o cógo fcou m robuo com borgem propo. Vle relr que o empo ol neceáro pr ober um olução pr o lgormo e umeno ómo pr p cooren não é gnfcvo em relção o empo ol e reolução o problem e que o eforço e c erção connu é omno pel olução e no mámo quro em lnere com um mr á for. 5. Concluõe Nee rblho, o lgormo e umeno ómo pr p cooren e erção connu form ulo em conuno com o méoo e pono nerore com o obevo e reur o número ol e erçõe neceár pr reolver é omle o problem e progrmção lner. Ao ncorporr o lgormo e umeno ómo pr p cooren pó o Po heuríc e Mehror e relr lgum erçõe, pono nc melhore form eermno. Além o, houve um reução o eforço compuconl o plcr erção connu em lgum erçõe o méoo e pono nerore, um ve que melhore reçõe form eermn. O epermeno compucon em um conuno verfco e problem morrm uperore borgem propo, qul reuu o número ol e erçõe em orno e 70% o co, prncplmene, o e more menõe. Vle relr que nov verão o PC ornou-e m robu ee que um o problem eo fo reolvo omene por e verão. Agrecmeno Ao CNPq, CAPES e FAPESP pelo poo fnncero. Referênc Aler, I. Reene, M.G.C., Veg, G., Krmrkr, N. (989), An mplemenon of Krmrkr' lgorhm for lner progrmmng. Mhemcl Progrmmng, 44, 97-335. Ber, L., Ierção connu plc o méoo e pono nerore, Derção, IMECC UNICAMP, Cmpn SP, 0. Chvál, V.V., Lner Progrmmng, W. H. Freemn n Compny, New York, USA,983. Cyyk, J., Mehror, S., Wgner, M., Wrgh, S.J. (999), PC n neror pon coe for lner progrmmng. Opmon Meho & Sofwre, -, 397 430. Dng, G.B., Converng convergng lgorhm no polynomlly boune lgorhm. Tech. rep., Snfor Unvery, SOL 9-5, 99. Dng, G.B., An є-prece feble oluon o lner progrm wh convey conrn n /є eron nepenen of problem e. Tech. rep., Snfor Unvery, SOL 9-5, 99. Dkn, I.I. (967), Ierve oluon of problem of lner n qurc progrmmng, Sove Mh. Dokly,8, 674-675. 369

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