ESTTÍSTIC rof. ri ntonio, Me Ciências Econômicas Unemat Sinop 2012
1. robabilidades Diz respeito a experiências aleatórias: - Lançamento de uma moeda - Lançamento de um par de dados - Retirada de uma carta do baralho. Serve para modelar fenômenos de resultados imprevisíveis mas com certo tipo de regularidade. - Ex: peças com ou sem defeito; estados de funcionamento de sistemas; qualidade de alimentos; etc. Experiências leatórias e Espaços mostrais: - Resultados positivos ocorridos em um experimento de n - Conjunto de todos os resultados possíveis para Espaço mostral S robabilidade de ocorrência de um evento simples : = n/s
1.1. ropriedades a Se é um evento, então: 0 1; b Se dois eventos e forem mutuamente exclusivos, c Se dois eventos e não forem mutuamente exclusivos, d Se os eventos e forem independentes, então e Se ; ; x
1.1. ropriedades f Se for evento impossível, então Ǿ = 0. Não há casos favoráveis g Se todos os casos favoráveis evento certo: = 1 h Se é a probabilidade de um evento ocorrer, então a probabilidade de não ocorrer é i 1 C C C C C
1.2. Exemplos a No lançamento de um dado, qual a probabilidade de sair o nº 5? Sair um nº par? Dar um resultado menor que 5? b Calcule a probabilidade de se retirar uma bola preta em uma urna que tem 20 bolas brancas e 10 bolas pretas. c Qual a probabilidade de se obter uma única cara em um lançamento de 3 moedas? K = cara e C = coroa d Qual a probabilidade de se obter o total de 6 pontos na jogada de dois dados honestos? e Qual a probabilidade de se retirar uma carta de um baralho comum de 52 cartas e ser um ás ou ser do naipe espadas?
1.2. Exemplos f Em uma disputa final de torneio de tiro ao alvo, a probabilidade de Dino acertar o alvo é de ½ e a de art acertar o mesmo alvo é de 3/5. Qual a probabilidade do alvo ser atingido, se ambos atiram ao mesmo tempo g probabilidade de que edro resolva um problema é de 1/3 e de que aulo o resolva é de 1/4. Se ambos tentarem resolver independentemente o problema, qual a probabilidade do problema ser resolvido. h Um empresa importadora tem 25% de chance de vender com sucesso um produto e tem 40% de chance de vender com sucesso um produto. Se essa empresa importar os dois produtos e, qual a probabilidade de ela ter sucesso na venda ou do produto ou do produto? i Jogando-se uma única vez quatro moedas honestas, qual a probabilidade de se obter coroa, em três das moeda e cara na quarta moeda?
1.3 robabilidade Condicional Se e são dois eventos, a probabilidade de ocorrer, depois de ter acontecido, é definida por: /, a ocorrência de um evento está vinculada à ocorrência de outro, daí o nome probabilidade condicionada. Sejam e eventos quaisquer, sendo > 0, então
1.3 robabilidade Total Teorema de ayes ou Teorema da robabilidade Total Sabemos que então substituindo teremos: que é a fórmula de ayes......log o... / i Ex1:Certo professor 4/5 das vezes vai trabalhar usando um fusca e usando um carro importado nas demais vezes. Quando ele usa o fusca, 75 % das vezes ele chega em casa antes das 23 horas e quando usa o carro importado só chega em casa antes das 23 horas em 60% das vezes. Ontem o professor chegou em casa após às 23 horas. Qual a probabilidade de que ele, no dia de ontem, tenha usado o fusca? Ex2: Em um lote de 12 peças, 4 são defeituosas. Sendo retirada uma peça, calcule: a a probabilidade de essa peça ser defeituosa. b a probabilidade de essa peça não ser defeituosa. i /. /. i i i i i i i i
Exercicios 1 Um número é sorteado ao acaso entre os inteiros de 1 a 15. Se o número sorteado for par, qual a probabilidade de que seja o numero 6? 2 Uma pessoa tem dois automóveis velhos. Nas manhãs frias, há 20% de chance de um deles não pagar e 30% de chance do outro não pegar. Qual a probabilidade de, em uma manhã fria apenas um pegar. 3 Três máquinas, e C produzem respectivamente 30%, 40% e 30% do total de peças de uma fábrica. s percentagens de produção defeituosa dessa máquinas são respectivamente, 2%, 3% e 4%. Uma peça selecionada aleatoriamente é defeituosas. Encontra a probabilidade de a peça ter sido produzida pela máquina C.
TIOS DE VRIÁVEIS LETÓRIS Discretas este tipo de variável ocorre quando o número de valores assumidos por X FINITO ou INFINITO é constituído apenas por NÚMEROS INTEIROS. Continua O número de valores assumidos por X é formado pelos números de pontos de um SEGMENTO DE RET. Quais são DISCRETS e quais são CONTÍNUS? - Número de dias chuvosos em um mês - recipitação diária medida no pluviômetro - Número de alunos presentes na sala de aula - Vazão em uma dada seção do rio - Idade dos alunos de uma sala - eso dos alunos desta sala - Número de disciplinas cursadas por aluno - Evaporação mensal de um açude - Velocidade do vento
CONCEITO DE VRIÁVEL LETÓRI DISCRET - VD Ex: Um empresário pretende estabelecer uma firma para montagem de um produto composto de uma esfera e um cilindro. s partes são adquiridas em fábrica diferentes e, e a montagem consistirá em juntar as duas partes e pintá-las. O produto acabado deve ter o comprimento definido pelo cilindro e a espessura definida pela esfera dentro de certos limites, e isso só poderá ser verificado após a montagem. ara estudar a viabilidade de seu empreendimento, o empresário quer ter uma ideia da distribuição do lucro por peça montada. Sabe-se que cada componente pode ser classificado como bom, longo ou curto, conforme sua medida esteja dentro da especificação, maior ou menor que a especificada, respectivamente. Foram obtidos dos fabricantes o preço de cada componente $ 5,00 e as probabilidades de produção de cada componente com as características om, Longo L e Curto C. Se o produto final apresentar algum componente com característica C curto ele será irrecuperável, e o conjunto será vendido como sucata a preço de $ 5,00; e a cada componente L longo poderá ser recuperado a um custo adicional de $ 5,00. Se o preço de venda de cada unidade for de $ 25,00, como seria a distribuição de frequências da variável X: lucro por conjunto montado.
Distribuição da produção das fábricas e, de acordo com as medidas das peças produzidas roduto Dentro das Especificações Fábrica Cilindro Fábrica Esfera 0,80 0,70 Maior que as Especificações L 0,10 0,20 Menor que as especificações C 0,10 0,10 Como os componentes vêm de fábricas diferentes, supõem-se que a classificação dos cilindros e esferas, segundo suas características sejam eventos independentes.
Distribuição de robabilidade das possíveis composições das montagens Cilindro Esfera robabilidade 0,80 0,10 L 0,10 C Lucro por Montagem X 0,70 0,56 15 0,20 L 0,16 10 0,10 C 0,08-5 0,70 0,07 10 0,20 L 0,02 5 0,10 C 0,01-5 0,70 0,07-5 0,20 L 0,02-5 0,10 C 0,01-5
Distribuição da v.a. X: robabilidade ssociada de cada um dos eventos. x px Vemos que X pode assumir um dos seguintes valores: 15, para o evento 1 = {,}; 10, para 2 = {L, L}; 5, se 3 = {LL}; -5, para o evento 4 = {C, LC C, CL, CC} 15 0,56 10 0,23 5 0,02-5 0,19 Total 1,00 função x, px é a Função de robabilidade da v.a, X.
Função distribuição de robabilidade Definição: chama-se função distribuição de probabilidade fdp da v.a. discreta X, que assume os valores x1, x2,..., xn,... a função {x, px, i = 1, 2,...}, que a cada valor de xi associa a sua probabilidade de ocorrência, isto é, pxi = X = xi, i = 1, 2,...
Exercícios 1 inda do problema anterior, se considerarmos Y como sendo a variável custo de recuperação de cada conjunto produzido, como ficará a distribuição? 2 - Uma urna contém duas bolas brancas e três vermelhasv. Suponha que sejam sorteadas duas bolas ao acaso, sem reposição. Qual a probabilidade dos resultados conjuntos? Defina a v.a. X: nº de bolas vermelhas obtidas nas duas extrações.