TE802 Processos Estocásticos em Engenharia Somas de Variáveis Aleatórias 27 de setembro de 2017 Valores Esperados de Somas de Variáveis Aleatórias Seja W n = X 1 + + X n, E[W n ] = E[X 1 ] + E[X 2 ] + + E[X n ] Var[W n ] = n i=1 n 1 Var[X i ] + 2 n i=1 j=i+1 Cov[X i,x j ] Exemplo 1: Num jogo de loteria a cada semana é sorteado um dos 100 possíveis números, sendo que cada apostador só pode escolher um número por aposta. O preço da aposta é de R$ 1,00 e o prêmio é de R$ 50,00 para cada aposta ganhadora. Se numa dada semana são feitas 10000 apostas, seja Y a V.A. que representa o valor arrecadado pela casa de apostas nessa semana. Determine o valor médio e a variância de Y.
PDF da Soma de Duas Variáveis Aleatórias A PDF de W = X + Y é, f W (w) = f X,Y (x,w x)dx = f X,Y (w y,y)dy Exemplo 2: Determine a PDF de W = X + Y sabendo que X e Y tem PDF conjunta dada por: { 2, 0 y 1, 0 x 1, x + y 1, f X,Y (x,y) = Quando X e Y são independentes, a PDF de W = X + Y é, f W (w) = f X (w y)f Y (y)dy = f X (x)f Y (w x)dx Exemplo 3: Sejam X e Y duas variáveis aleatórias exponenciais independentes com E[X] = 1/3 e E[Y ] = 1/2. Determine a PDF de W = X + Y. Funções Geradoras de Momentos Para uma variável aleatória X, a função geradora de momentos (MGF) de X é φ X (s) = E[e sx ] Uma variável aleatória X com MGF φ X (s) tem momento de ordem n dado por E[X n ] = dn φ X (s) ds n s=0 A MGF de Y = ax + b é φ Y (s) = e sb φ X (as) Exemplo 4: A variável aletória K tem PMF dada por: { 0,2, k = 0,..., 4, P K (k) = Utilize a MGF φ K (s) para encontrar os momentos de primeira, segunda terceira e quarta ordem de K.
MGF da Soma de Variáveis Aleatórias Independentes Para um conjunto de variáveis aleatórias independentes X 1,..., X n a função geradora de momentos de W = X 1 + X 2 + + X n é φ W (s) = φ X1 (s)φ X2 (s) φ Xn (s) Se K 1,..., K n são V.A.s independentes de Poisson, então W = K 1 + K 2 + + K n é uma V.A. de Poisson A soma de n V.A.s Gaussianas W = X 1 + X 2 + + X n é uma V.A. Gaussiana Se X 1,..., X n são V.A.s iid exponenciais (λ), então W = K 1 + K 2 + + K n tem PDF de Erlang dada por { λ n w n 1 e λw f W (w) = (n 1)!, w 0, A soma de n V.A.s de Bernoulli (p) é uma V.A. binomial (n,p) e a soma de k V.A.s geométricas é uma V.A. de Pascal (k,p)
Exercícios Exercício 1: Sejam K 1, K 2,..., K m variáveis aletórias discretas uniformes iid com PMF dada por: { 1/n, k = 1,2,..., n, P K (k) = Determine a MGF de J = K 1 + K 2 + + K m Exercício 2: Sejam X 1, X 2,..., X n variáveis aletórias Gaussianas independentes com E[X i ] = 0 e Var[X i ] = i. Determine a PDF de W = αx 1 + α 2 X 2 + + α n X n. Somas Aleatórias de Variáveis Aleatórias Independentes Exemplos: Num terminal de ônibus, contar o número de pessoas que desembarcam dos ônibus num determinado intervalo de tempo R = X 1 + X 2 + + X N. Transmissão de N pacotes através de um link de comunicação num determinado intervalo de tempo. Supor que cada pacote é corretamente decodificado com probabilidade p. O número de pacotes corretamente decodificados R = X 1 + X 2 + + X N. φ R (s) = φ N (ln φ X (s))
Somas Aleatórias de Variáveis Aleatórias Independentes Exemplo 5: O número de páginas N numa transmissão de fax é modelado por uma PMF geométrica com valor esperado 1/q = 4. O número de bits K numa página de fax também tem uma distribuição geométrica com valor esperado 1/p = 10 5 bits, independentemente do número de bits em qualquer outra página e do número de páginas. Determine a MGF e a PMF da variável aleatória B que representa o número total de bits na transmissão de um fax. Para a soma aleatória de variáveis aletórias iid R = X 1 + X 2 + + X N, E[R] = E[N]E[X], Var[R] = E[N]Var[X] + Var[N](E[X]) 2 Exemplo 6: Seja X 1,X 2,... uma sequência de variáveis aleatórias iid com PDF exponencial dada por: { e f X (x) = x, x 0, Seja N uma variável aleatória geométrica (1/5). Determine a MGF e a PDF de R = X 1 + X 2 + + X N. Teorema do Limite Central Problema: Estimar probabilidades associadas com a soma de V.A.s iid W n = X 1 + + X n Quando n, E[W n ] = nµ X e Var[W n ] = nvar[x] Convergência de f Wn (w)? Considerar a variável aleatória padronizada Z n = n i=1 X i nµ X nσ 2 X onde, E[Z n ] = 0 e Var[Z n ] = 1
Teorema do Limite Central Teorema do Limite Central Dada uma sequência de variáveis aleatórias iid X 1,X 2,..., com valor esperado µ X e variância σx 2, a CDF de Z n = ( n i=1 X i nµ X )/ tem a propriedade W n = X 1 + + X n = F Wn (w) = P nσ 2 X lim F Z n n (z) = Φ(z) nσ 2 X Z n + nµ X [ ] nσx 2 Z n + nµ X w = F Zn w nµ X nσx 2 Aproximação Gaussiana baseada no Teorema do Limite Central Seja W n = X 1 + + X n a soma de n variáveis aleatórias iid cada uma com E[X] = µ X e Var[X] = σx 2. A CDF de Wn pode ser aproximada por: F Wn (w) Φ w nµ X nσx 2 Exemplo: X 1,..., X n uniformes com E[X] = 0,5 e Var[X] = 1/12 E[W n] = n/2 e Var[W n] = n/12
Aproximação Gaussiana baseada no Teorema do Limite Central Exemplo: Supor que W n = X 1 + + X n é a soma de V.A.s iid de Bernoulli (p). Então, a PDF de W n é dada por: ( ) n P Wn (w) = p w (1 p) n w w Exemplo 7 A variável aleatória X milisegundos representa o tempo total de acesso (tempo de espera + tempo de leitura) para um bloco de dados de um disco rígido de computador. X é uniformemente distribuída entre 0 e 12 milisegundos. Antes de realizar una determinada tarefa, o computador deve acessar 12 blocos de dados diferentes no disco (os tempos de acesso para blocos diferentes são independentes uns dos outros). O tempo total de acesso para todos os dados é uma variável aleatória A milisegundos. Determine: (a) E[X]. (b) Var[X]. (c) E[A]. (d) σ A. (e) P[A > 75 ms], utilizando o teorema do limite central. (f) P[A < 48 ms], utilizando o teorema do limite central.
Aplicações do Teorema do Limite Central Teorema de De Moivre-Laplace: para uma variável aleatória K, binomial (n,p), ( ) ( ) k 2 + 0,5 np k P[k 1 K k 2 ] Φ 1 0,5 np Φ np(1 p) np(1 p) Exemplo 8: Seja K uma V.A. binomial (n = 20, p = 0,4). Determine P[K = 8]. Exemplo 9: Seja K o número de caras obtidas ao jogar uma moeda 100 vezes. Determine P[50 K 51]. Limitante de Chernoff Para uma variável aleatória X e uma constante c, P[X c] min s 0 e sc φ X (s) Exemplo 10: Com relação ao jogo de loteria do Exemplo 1, qual a probabilidade da casa lotérica ter prejuízo na semana em que 10.000 apostas foram feitas? Exercício 1: Numa estação de metrô há usuários esperando em quantidade suficiente para encher três trens. O tempo de chegada do n-ésimo trem é X 1 + X 2 + + X n, onde X 1, X 2,... são V.A.s iid exponenciais com E[X i ] = 2 minutos. Seja W o tempo transcurrido até que todos os usuários em espera consigam embarcar. (a) Estime P[W > 20] usando o teorema do limite central. (b) Encontre um limitante superior para P[W > 20] usando o limitante de Chernoff. (c) Determine o valor exato de P[W > 20].
Exemplo: Estimação de CDF Uniforme (0,1) Intervalo de Confiança Exemplo: Estimação da probabilidade de falha de um sistema com intervalo de confiança em nível de 90% (significa que 90% dos intervalos construídos conterão o valor verdadeiro da probabilidade).