UFRG INTITUTO DE MATEMÁTICA Depatamento de Matemática Pua e Aplicada MAT1168 - Tuma C - 14/1 Pimeia avaliação - Gupo 1 1 3 4 Total Nome: Catão: Regas a obseva: eja sucinto, completo e clao. Justifique todo pocedimento usado. Indique identidades matemáticas usadas, em especial, itens da tabela. Use notação matemática consistente. Ao usa sistemas de coodenadas cuvilíneascilíndicas, esféicas etc), indique a coespondência paa o sistema de coodenadas catesianas x,y,z). Tabalhe individualmente e sem uso de mateial de consulta além do fonecido. Devolva o cadeno de questões peenchido ao final da pova. Não é pemitido destaca folhas nem usa folhas adicionais. Não é pemitido o uso de calculadoas, telefones, computadoes ou qualque outo ecuso computacional. Fomuláio: 1. coshx) = ex +e x. senhx) = ex e x 3. cost) = eit +e it 4. sent) = eit e it i 5. cost) = cos t) sen t) 6. sent) = sent)cost) n n 7. a+b) n = j j= ) a n j b j, ) n = j n! n j)!j!
Questão 1 3. pontos): Considee a elipse sobe o plano xy cujos pontos satisfazem a equação dada po x a + y b = 1 oientada no sentido hoáio. Aqui a e b são constantes positivas. Item a.75) Esboce o gáfico desta cuva oientada paa a = 1 e b =. em a necessidade de calculá-los algebicamente, desenhe os vetoes T, N e B no ponto do pimeio quadante em que y = x. Item b 1.5) Atavés de uma paametização adequada, enconte uma expessão paa a cuvatua em função das constantes a, b e das coodenadas x e y. Item c.75) abendo que o aio de cuvatua em um vétices vale 8 e a distância deste vétice até a oigem vale, calcule os compimentos dos semieixos da elipse. Resposta do item a y B N T x Resposta do item b Paametizamos a cuva confome a segui: xt) = acost) yt) = bsent) onde a e b indicam os compimentos dos semi-eixos da elipse e t π. A fim de obte o aio de cuvatua, calculamos a cuvatua atavés da fómula onde é o veto posição dado po as deivadas de t) são, potanto, dadas po: κt) = t) t) t) 3. t) = acost) i+bsent) j t) = asent) i+bcost) j Assim, temos: t) t) = t) = acost) i bsent) j ) ) asent) i+bcost) j acost) i bsent) j = absen t) k +abcos t) k = ab k Onde usamos a identidade tigonomética sen t)+cos t) = 1 e as identidades vetoiais i j = k, j i = k e i i = j j =. Agoa calculamos t) : t) = [ a sen t)+b cos t) ] 1/ Desta foma, temos: κt) = t) t) t) 3 = ab [a sen t)+b cos t)] 3/
ubstituindo as vaiáveis oiginais, temos: κt) = ab [ a y b + b x ] 3/ a Resposta do item c Consideemos que estamos no vétice a,) com a =, pelo que temos temos b = 8a = 16, o que implica b = 4. κ = a b = 1 ρ = 1 8
Questão. pontos) eja = x i+y j +z k, =, pove as seguintes identidades: Item a 1.) f) = f ), Item b 1.) f) = f ) +f ), Resposta do item a Pimeio obsevamos que f) é uma função de e é uma função de x, y e z e aplicamos a ega da cadeia: f) = i x f)+ j y f)+ k z f) = i df) d x + j df) d y + k df) d z = df) [ i d x + j y + k ] z Agoa calculamos as deivadas de em elação às vaiáveis x, y e z: x = x +y x +z = 1 x +y +z ) 1/ x) = y = x +y y +z = 1 x +y +z ) 1/ y) = z = x +y z +z = 1 x +y +z ) 1/ z) = Retonando à expessão anteio, obtemos: df) d [ i x + j y + k z = f ] ) Resposta do item b Pimeio aplicamos os itens 7 e 5 da tabe]a: ) f) = f) = f ) ) = f ) + f ) ) Agoa usamos o esultado do item a) paa calcula o gadiente envolvido: x x +y +z = x y x +y +z = y z x +y +z = z onde usamos: f) = = = f ) ) +3 f ) ) f ) f ) = f ) f )) = f ) +f ) +3 f ) +3 f ) x i+y j +z ) k = 1+1+1 = 3
Questão 3. pontos): Use o teoema de tokes paa calcula o tabalho ealizado pelo campo de foça F = yx cosz) i z j +senxz) k ao desloca uma patícula ao longo da cicunfeência de aio 1, centada na oigem sobe o plano xy. oientada no sentido hoáio. Como a cuva está sobe o plano xy, o veto nomal deve se ± k, pela oientação da cuva, vemos pela ega da mão dieita que n = k Calculamos: W = F d = F kda C Paametizamos em coodenadas polaes: k F F = x F 1 y = x cosz) = x, z = x = ρcosφ), y = ρsenφ) π π W = F kda = x ρdρdφ = ρ 3 cos φdρdφ ) π ) = ρ 3 dρ cos φdφ = 1 π ) 1+cost) φdφ = π 4 4
Questão 4 3. pontos): Calcule o fluxo do campo F = +z ) k atáves da fonteia da egião limitada supeiomente pela supefície x +y = 1 z e infeiomente pelo plano z = oientada paa foa. Item a 1.5) Usando o Teoema da Divegência. Item b 1.5) Integando o fluxo dietamente sobe a supefícies usando paametizações adequadas e sem usa o Teoema da Divegência. Resposta do item a Calculamos o divegente: F = z Pelo teoema da divegência, temos: Φ = F nd = V Usando coodenadas polaes, integamos no cone: FdV x = ρcosφ, x = ρsenφ, z = z Assim, Φ = = π = π π z z zρdρdzdφ zρdρdz z1 z) dz = π = 1 π u du = 1 6 π 1 zz 1) dz Resposta do item b Escevemos o fluxo atavés da supefície como a soma de dois fluxos: Φ = Φ c +Φ b onde Φ c é o fluxo atavés da supefície cônica e Φ b é o fluxo atavés da supefície plana. Φ b = F nd = F k)d = 1 +z )d 1 = d = π áea do cículo). 1 Paa calcula Φ c, pojetamos a supeífice cônica,, no plano xy: Gx,y,z) = z x +y 1 x G = i x +y y j x +y + k G Vemos que n = G, pelo que Φ c = F Gd
e F G = +z ) = + 1 x +y ) = +1 ρ) = ρ ρ+3 Onde se usa o sistema de coodenadas polaes: x = ρcosφ, x = ρsenφ Φ c = = π π Finalmente, calculamos o fluxo total: ρ +ρ+3 ) ρdρdφ ρ 3 ρ +3ρ ) dρ = π 1 4 3 + 3 ) Φ = Φ c +Φ b = 13 6 π π = 1 6 π = π 3 8+18 1 = 13 6 π