Esmerindo Bernardes 1, As dimensões do momentum linear são

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1 Apêndices Esmeindo Benades, L.I.A. Laboatóio de Instumentação Algébica Instituto de Física de São Calos Univesidade de São Paulo São Calos, SP, Bazil Dated: 2 de Outubo de 25) CONTENTS I. Análise Dimensonal II. Sistemas de Coodenadas 2 II.. Coodenadas polaes 2 II... Volumes elementaes 3 II..2. Gadiente, divegente e otacional 4 II..3. Cinemática 6 II.2. Coodenadas cilíndicas 6 II.2.. Volumes elementaes 6 II.2.2. Gadiente, divegente e otacional 7 II.2.3. Cinemática 7 II.3. Coodenadas esféicas 7 II.3.. Volumes elementaes 8 II.3.2. Gadiente, divegente e otacional 8 II.3.3. Cinemática 9 III. Séie de Taylo 9 I. ANÁLISE DIMENSONAL Unidades de medida são impotantes e indispensáveis em Mecânica. De foma geal, pocuaemos expessa todas as nossas quantidades mecânicas em unidades deivadas de quato gandezas fundamentais: compimento L), tempo T), massa M) e caga elética Q). Em pocessos de medidas, estas gandezas são conhecidas também po dimensões. Em geal, falaemos da análise dimensional de uma deteminada quantidade mecânica. Váios sistemas de medidas foam ciados paa expessa a intensidade de cada uma destas quato dimenões fundamentais. Usaemos com mais fequência o sistema intenacional MKS, onde compimento é medido em metos m), tempo em segundos s), massa em kilogamas kg) e caga elética em Coulombs C). Existe um pocedimento padão paa analisamos as dimensões de uma deteminada quantidade de inteesse: uma equação com o lado esquedo expessando a quantidade B a se analisada, via a notação [B, e um lado dieito contendo apenas as opeações de multiplicação e potenciação envolvendo as dimensões L, T, M e Q. Vejamos alguns exemplos. O veto posição tem dimensão de compimento L). Então escevemos matematicamente esta infomação como [ L. ) O veto velocidade tem dimensões de compimento po tempo, então [ v [ d L dt T LT. 2) O veto aceleação tem dimensões de compimento po tempo ao quadado, então [ a As dimensões do momentum linea são [ d 2 dt 2 L T 2 LT 2. 3) [ p [ m v ML T MLT. 4) Seguindo estes exemplos, a análise dimensional do veto foça na segunda lei de Newton massa constante) nos fonece [ F [ m a ML T 2 MLT 2 Newton). 5) Newton é a unidade de foça no sistema MKS. Duas foças impotantes em mecânica são: a lei de Hooke, F d k, 6) a qual desceve o compotamento de um copo elástico de constante caacteística k) com uma defomação do tamanho do compimento do veto posição, e lei de Newton paa a gavitação, F g G Mm ˆ, 7) 2 a qual desceve a inteação ente dois copos de massas M e m, sepaadas pela distância. Usando análise dimensional, encontamos as dimensões da constante de mola k, e da constante univesal da gavitação G, [k MT 2, 8) [G M L 3 T 2. 9) sousa@ifsc.usp.b O valo desta constante no sistema MKS é G m 2 /kg s 2.

2 2 Quais são as dimensões da constante C e apaecendo na expessão paa a foça elética lei de Coulomb) Qq F e C e ˆ ) 2 II. SISTEMAS DE COORDENADAS II.. Coodenadas polaes ente duas cagas eléticas Q e q sepaadas pela distância? Seguindo o modelo anteio, temos ê ê [C e NL 2 Q 2 ML 3 T 2 Q 2. ) Po completeza, devemos menciona que cagas magnéticas nunca foam obsevadas. No entanto quando dois fios conduzindo coentes eléticas I e I 2 estão a uma distância ρ, podemos medi uma foça po unidade de compimento ente eles, y P f m 2C m I I 2 ρ ˆρ. 2) Esta foça é conhecida como lei de Biot-Savat. definição de coente, caga po tempo, temos [I Assim, as dimensões da constante C m são Usando a [ dq QT. 3) dt [C m NT 2 Q 2 MLQ 2. 4) Podemos nota também então que a azão C e /C m tem a mesma dimensão de velocidade ao quadado. De fato, Maxwell mostou que no vácuo, a velocidade da luz onda eletomagnética) é Ce c. 5) C m Os valoes destas constantes no vácuo) são: C e N m 2 /C 2 e C m 7 N s 2 /C 2. Potanto, medindo as constantes C e e C m podemos calcula a velocidade da luz. Este esultado está ente os mais supeendentes aceca da nossa natueza. As supesas não paam aqui, há ainda um fato ainda mais macante sobe o compotamento da luz: ela é um limite supeio paa a velocidade de qualque quantidade em movimento. No pesente tempo, conseguimos da uma velocidade póxima à da luz 98%) apenas paa patículas subatômicas como o eléton. A foça de Loentz, F q v B, 6) poduzida po uma caga q em movimento com uma velocidade v em um campo magnético B, é esponsável po tajetóias helicoidais. As dimensões do campo magnético B são [ B [ F MQ T Tesla). 7) q v ê y O ê x Figua. O sistema de coodenadas polaes, ), e 2π, elativo ao sistema catesiano x, y). Em cada sistema de coodenadas, os vesoes são mutuamente otogonais. As dieções dos vesoes ê e ê são denominadas de adial e tangencial, espectivamente. A Figua mosta o sistema de coodenadas polaes, ), e 2π, elativo ao sistema catesiano x, y). Ambos são sistemas de coodenadas otonomais. Assim como os vesoes ê x, ê y ) são otogonais no sistema catesiano, os vesoes ê, ê ) no sistema pola também são otogonais. Note que o veso ê é tangente à cicunfeência de aio centada na oigem. Po isso se diz que este veso está sobe a dieção tangencial ou tangente). O veso ê está sobe a dieção adial. Da geometia mostada na Figua, o veto posição que localiza o ponto P é x x ê x + y ê y cos ê x + sen ê y ), 8) o que nos possibilita expessa o veso adial ê em temos dos vesoes catesianos, ê cos ê x + sen ê y, 9) onde é o módulo do veto posição. Note que este veso adial vaia somente quando o ponto P movimenta-se na dieção tangencial, dê d sen ê x + cos ê y ê. 2) A última igualdade em 2) é possível poque i) a taxa de vaiação de um veto de módulo constante é pependicula a este veto veifique), ii) a taxa de vaiação do veso adial com elação à coodenada angula mostada na Figua

3 3 cescendo no sentido anti-hoáio) está ao longo da dieção tangente e no mesmo sentido do veso tangente ê e iii) o módulo da taxa de vaiação é unitáio, igual ao módulo do veso tangente. Note que o veso tangente também não muda quando caminhamos apenas na dieção adial. Consequentemente, dê d cos ê x + sen ê y ) ê. 2) II... Volumes elementaes Ainda consideando o veto posição em coodenadaes polaes, ê, suas deivadas paciais podem se escitas como veifique) onde h ê, h ê, 22) h, h, 23) são conhecidos como fatoes de escala, os quais são muito úteis paa eescevemos elementos de volume e o opeado gadiente em outos sistemas de coodenadas otonomais. Vejamos como isto acontece. Inicialmente vamos calcula a difeencial do veto posição em coodenadas polaes veifique), d d+ d h d ê +h d ê d ê + d ê, 24) cujo compimento é veifique) dl 2 d d h 2 d 2 + h 2 d2 d d 2, 25) o qual epesenta um compimento infinitesimal sobe uma deteminada tajetóia. A segunda igualdade em 24) e em 25) é um padão obseve esta expessão atentamente e desceva vebalmente este padão). Veifique que, no caso de uma cicunfeência de aio R constante) o compimento da mesma peímeto) é C dl R 2π d 2πR. 26) Do cômputo de compimentos devemos passa paa o cálculo de áeas volumes em duas dimensões). A Figua 2 mosta como uma áea elementa de foma quasi-)etangula em coodenadas polaes. Este elemento de áea mostado na Figua 2 está exageadamente ampliado, po isso a apaente foma não-etangula, poém as difeenças nos compimentos dos dois acos envolvem o poduto de duas difeenciais, o qual é infinitamente meno que qualque temo contendo uma única difeencial. Note que esta é uma áea infinitesimalmente pequena localizada pelo ponto, ) e que, a pati deste ponto, caminhamos d no sentido positivo da dieção adial até o ponto + d, ), infinitesimalmente póximo. Depois caminhamos apoximadamente) d na dieção tangente, a outa dieção independente. Caminhando sempe nas dieções independentes altenadamente, etonamos ao ponto de patida. Desta foma, o elemento de áea inteno a este cicuito está oientado no semtido da mão-dieita, ou seja, podemos imagina um veso pependicula a ela e sainda do plano da figua. Então, este elemento de áea pode se calculado via geometia plano poduto dos lados), da d d, 27) o qual pode se eescito em temos dos fatoes de escala 23) da d d h d h d. 28) Isto é novamente um padão obseve esta expessão atentamente e desceva vebalmente este padão). O d d + d)d d + d Figua 2. Uma áea elementa oientada no sistema de coodenadas polaes, localizada no ponto, ). Note que a segunda igualdade em 28) evita o uso do tal Jacobiano. Mas antes de apesenta o Jacobiano, vamos ecalcula o mesmo elemento de áea 27) de outa foma. Da Geometia Plana, podemos esceve as coodenadas catesianas do veto posição x ê x +y ê y em temos das coodenadas polaes, cujas difeenciais são veifique) x cos, y sen, 29) dx cos d sen d, dy sen d + cos d. 3) Assim, epetindo o mesmo pocedimento mostado na Figua 2, mas desta vez paa o sistema catesiano de coodenadas, a áea infinitesimal é da dx dy. 3) Richad Feynman, físico nobelista em 865, que adoava visita o Basil, pincipalmente o Rio de Janeio ), costumava dize que devemos sabe calcula um deteminado esultado po meios difeentes.

4 4 Aqui temos um pobleminha: simplesmente substituindo as difeenciais dx e dy po suas expessões em coodenadas polaes, não e-obteemos a áea elementa calculada coetamente) em 28) via geometia plana veifique). A única saída é adimiti que difeenciais usam um poduto especial, denominado de cunha ). Então, o elemento de áea pode se ecalculado pelo pocedimento veifique) da dx dy d d, 32) onde o poduto ente as difeenciais é antisimético, dx dy dy dx. 33) Note que este poduto especial ente difeenciais, denominado de cunha, tem as mesmas popiedades do poduto vetoial e do deteminante em elação à toca ente duas linhas ou ente duas colunas) e que, po isso, ele é nulo ente difeenciais idênticas, dx dx. Note também que o elemento de áea dado pela Eq. 32) é oientado, no mesmo sentido mostado na Figua 2, pois o sinal muda se tocamos as difeenciais de luga. Nos cusos elementaes de Cálculo, usa-se o Jacobiano isto também é um padão; obseve esta expessão atentamente e desceva vebalmente este padão) x x J, ) y y, 34) no luga do poduto especial 33), da dx dy J, ) d d d d. 35) É aqui que apaece o tal Jacobiano. Note que este esultado é idêntico àquele obtido acima via geometia plana, como pode se visto na Eq. 27), uma consequência da Figua 2. De qualque foma, veifique explicitamente que estes tês pocedimentos geomético, fomas difeenciais e o Jacobiano) fonecem os mesmos esultados. Matemática é bonita. Que tal calcula a áea do inteio de uma cicunfeência de aio R? Pocedimento usual veifique), A da R d 2π d πr 2. 36) O compimento dl em 25) e a áea da em 28) são os únicos volumes elementaes que podemos calcula num espaço bidimensional. Note que todos estes volumes podem se escitos em temos dos fatoes de escala definidos em 23). Apenas po comodidade, vamos epeti aqui estes elementos de volume, incluindo o deslocamento infinitesimal, expessos em temos dos fatoes de escala paa os dois sistemas de coodenadas otonomais que estamos usando, d h x dx ê x + h y dy ê y h d ê + h d ê, 37) dl 2 h 2 x dx 2 + h 2 y dy 2 h 2 d 2 + h 2 d2, 38) da h x h y dxdy h h d d. 39) Isto facilita enxegamos os padões mencionados anteiomente. Aposto que você consegue adivinha a expessão paa o elemento de volume em coodenadas catesianas paa o caso tidimensional. 2 Uma vez que os fatoes de escala são calculados, é muito fácil calcula os volumes elementaes. Paa o pesente caso, espaço euclidiano bidimensional, eles são h x, h y, h e h. 4) Note que os fatoes de escala podem se vistos geometicamente) como a azão ente o deslocamento infinitesimal numa dada dieção pela difeencial da coodenada naquela mesma dieção. Po exemplo, na Figua 2, podemos ve que o deslocamento infinitesimal na dieção tangente é d e a difeencial da coodenada é d. Assim, h d/d. II..2. Gadiente, divegente e otacional Outa paticidade popocionada pelos fatoes de escala é no cálculo dos opeadoes gadiente, divegente e otacional em dteminado sistema de coodenadas otonomal. Considee uma função escala da posição, f f x, y). Como esta função é em geal uma ega paa pegamos númeos escalaes) numa deteminada posição do espaço, desta foma uma função escala é um exemplo de um campo escala. Do teoema de Taylo, apendemos que os deslocamentos infinitesimais dx e dy nas vaiáveis independentes catesianas poduzem um deslocamento infinitesimal d f na vaiável dependente, d f f x dx + f y dy h x f x h xdx + h y f y h ydy, 4) no qual intoduzimos os fatoes de escala po pua conveniência de foma um padão). Este esultado pode se eescito na foma vetoial d f f d, 42) via o poduto escala, onde usamos o deslocamento infinitesimal d do veto posição e intoduzimos o opeado gadiente como o veto 3 êx h x x + êy h y y ê x x + ê y y. 43) Isto é outo padão obseve esta expessão atentamente e desceva vebalmente este padão). Adivinhe qual seá a expessão do gadiente em coodenadas polaes. Paa pova que você está coeto, imagine o mesmo campo escala f em temos das coodenadas polaes, f f, ). Então, d f f d + f d h f h d + h f h d f d, 44) 2 Isto mesmo, dv h x h y h z dxdydz em coodenadas catesianas. 3 O símbolo que epesenta o gadiente, um tiângulo invetido, é conhecido po nabla, uma palava gega paa epesenta um instumento musical com esta mesma foma.

5 5 onde o gadiente ê h + ê h ê + ê 45) agoa está em coodenadas polaes, como você adivinhou coetamente. É paa isto que seve padões; e é po isso que sempe buscamos po eles. Eles nos polpam de muitos cálculos, mas devem se usados com muito cuidado. Aqui nos estamos usando sempe sistemas de coodenadas otonomais. As Eqs. 43) e 45) indicam que sabemos calcula o opeado gadiente em um sistema de coodenadas otonomal qualque. No entanto ainda pecisamos conhece seu significado geomético ou físico). Paa isto basta eesceve a definição 42) do opeado gadiente atuando num campo escala qualque numa foma onde o poduto escala no lado dieito possa se efetuado conhecendo o ângulo α ente os vetoes f e d, d f f d f d cos α. 46) Podemos ve que α maximiza o valo de d f. Acontece que d f mede a vaiação do campo escala f na dieção do deslocamento infinitesimal d. Isto significa que a vaiação do campo escala f é máxima na dieção do gadiente f. Potanto o gadiente f é um campo vetoial que sempe aponta paa a dieção de maio cescimento do campo escala f. Este é o significado geomético do gadiente e é muito útil na deteminação de máximos e mínimos em supefícies. Como o opeado gadiente é um veto que atua em campos escalaes, então há pelos menos duas situações em que podemos empegá-lo quando dispomos de uma campo vetoial: via um poduto escala ou via um poduto vetoial. Um campo vetoial é um veto onde cada componente é um campo escala. É mais instutivo iniciamos com um campo vetoial em coodenadas polaes, F F, ) ê + F, ) ê. 47) Não podemos esquece que os vesoes do sistema pola, ao contáio dos vesoes catesianos, dependem da posição, o que vale elembamos aqui: ê + cos ê x + sen ê y, ê sen ê x + cos ê y, ê +ê ê,, 48) ê ê ê,. 49) Assim, podemos usa o poduto escala base otonomal) paa enconta a ação do gadiente 45) no campo vetoial 47) veifique), F ) ê + ê [F, ) ê + F, ) ê F + F + F. 5) Esta ação do gadiente num campo vetoial via o poduto escala é denominada de divegente, cujo significado geomético ainda deve se investigado. Este esultado pode se eescito numa foma mais adequada paa descobimos como o divegente pode se calculado num deteminado sistema de coodenadas otonomal foma padão). Paa isto, note que os dois pimeios temos na última igualdade deste divegente povêm de uma única deivada, F ), dividida po veifique). Aqui estamos usando paa denota a deivada pacial com elação a. Potanto, o divegente em coodenadas polaes pode se eescito como veifique) F F + F + F h h [ F ) [ h F ) + F + h F ). 5) Esta última igualdade é um padão obseve esta expessão atentamente e desceva vebalmente este padão). Isto significa que o divegente de um campo vetoial em coodenadas catesianas, po exemplo, é F [ hy F x ) + h xf y ) F x h x h y x y x + F y y. 52) Apoveite o embalo paa esceve a expessão do divegente em coodenadas catesianas paa o caso tidimensional. Outa ação do veto gadiente num campo vetoial é via o poduto vetoial base otonomal), F ê + ê F + F ) [F, ) ê + F, ) ê ) [ F ) F ê z F ê z, 53) onde fizemos ê z ê ê veifique, tudo). Esta foma de atua com o gadiente num campo vetoial é denominada de otacional devemos estuda seu significado geomético posteiomente). Pocedendo como no caso anteio, podemos eesceve este otacional em temos dos fatoes de escala veifique), F [ F ) F ê z [ h F ) h h h z h F ) h z ê z, 54) onde intoduzimos o fato de escala h z do veso ê z, pependicula ao nosso espaço bidimensional consideado plano). Emboa o otacional 54) tenha apenas uma componente, pependicula ao plano onde vive o nosso campo vetoial, este esultado nos pemite identifica como calcula uma componente qualque numa situação mais geal. Pimeio note que a última igualdade em 54) tem a caa de um poduto vetoial, pincipalmente quando eescito na foma F [ h F ) h F ) h z ê z, 55) h h h z onde as deivadas estão numa foma mais compacta e se pecebemos que os vesoes {ê, ê, ê z }, nesta odem, obedecem

6 6 a ega da mão dieita paa o poduto vetoial veifique). Assim, a componente z do otacional de um campo vetoial tidimensional) em coodenadas catesianas deve se II.2. Coodenadas cilíndicas F) [ ê z x h y F y ) y h x F x ) h z ê z z h x h y h z Fy x F ) x ê z. 56) y z ê z ê z Desta foma, usando um deteminante, podemos esceve o otacional po inteio: h x ê x h y ê y h z ê z F h x h y h z x y z. 57) h x F x h y F y h z F z As deivadas paciais na segunda linha devem atua somente nas funções contidads na teceia linha. Veifique que o esultado 56) pode se obtido dietamente de 57). Também eesceva a foma padão paa o sistema pola 2D) consideando z e F z, bem como a identificação x e y, e veifique que o esultado 55) é ecupeado. II..3. Cinemática Quando o ponto P está em movimento e expessamos as coodenadas polaes em função do tempo t, teemos veifique usando a ega da deivada de uma função composta) ê ê, ê ê, 58) onde o ponto sobe quantidades epesenta a deivada total em elação ao tempo. Usando estas deivadas, podemos calcula apidamente as coodenadas polaes dos vetoes velocidade e aceleação: ê, 59) v ṙ ê + ê, 6) a v 2 ) ê + + 2ṙ ) ê. 6) Note que o veto velocidade é a azão ente a difeencial do veto posição, dada pela Eq. 37), e a difeencial do tempo. Assim, podemos pecebe imediatamente que no movimento cicula ṙ ) com velocidade angula ω ) constante ), o veto aceleação tem apenas a componente adial a ω 2 aceleação centípeta). Outo caso de estudo: o pêndulo simples. No movimento de um pêndulo ideal de compimento fixo) e massa m, a foça esultante, F F ê + F ê, tem as suas duas componentes não-nulas: F mg cos T e F mg sen veifique). Desta foma, aplicando a segunda lei de Newton na dieção tangente ê ), temos + g/) sen, como espeado e ápido; não esqueça que ṙ ). ê x x O P Figua 3. O sistema de coodenadas cilíndico ρ,, z), ρ e 2π, elativo ao sistema catesiano x, y, z). Em cada sistema de coodenadas, os vesoes são mutuamente otogonais. A sequência {ê ρ, ê, ê z } obedece a ega da mão dieita. A Figua 3 mosta o sistema de coodenadas cilíndico ρ,, z), ρ e 2π, elativo ao sistema catesiano x, y, z). Ambos são sistemas de coodenadas otonomais tidimensionais. Os vesoes no sistema cilíndico na sequência {ê ρ, ê, ê z } obedecem a ega da mão dieita com elação ao poduto vetoial. Note que o sistema cilíndico é o sistema pola bidimensional) no plano XY acescido do eixo Z. Aqui, po comodidade, usamos ρ paa epesenta a coodenada adial no plano XY. Isto significa que podemos faze uso das popiedades 48) 49) das coodenadas polaes tocando po ρ e mantendo em mente que o veso ê z é independente da posição. Além disso, podemos apoveita todos os padões estabelecidos na seção anteio. Note também que o veto posição na Figua 3, de acodo com a geometia plana, pode se escito na foma II.2.. ρ P ê ρ ρ + z ρ ê ρ + z ê z. 62) Volumes elementaes Paa calculamos os elementos de compimento, áea e volume, pecisaemos calcula os fatoes de escala, h ρ ρ, h ρ, h z, 63) z onde usamos o veto posição na foma 62). Agoa podemos genealiza os padões encontados nas Eqs. 37) 39) paa calcula o deslocamento infinitesimal veifique), d h ρ dρ ê ρ + h d e + h z dz ê z dρ ê ρ + ρ d e + dz ê z, 64) ê y ê y

7 7 o compimento elementa, dl 2 d h 2 ρ dρ 2 + h 2 d2 + h 2 z dz 2 dρ 2 + ρ 2 d 2 + dz 2, 65) as áeas elementaes na base plano XY) e na lateal ρ constante) ao longo do eixo Z veifique), da xy h ρ h dρ d ρ dρ d, 66) da z h z h dz d ρ dz d, 67) espectivamente, e o volume elementa popiamente dito veifique), dv h ρ h h z dρ d dz ρ dρ dz d. 68) II.2.2. Gadiente, divegente e otacional De acodo com o padão estabelecido em 45), o gadiente em coodenadas cilíndicas é êρ h ρ ρ + ê h + êz h z z ê ρ ρ + ê + ê z z. 69) Genealizando o padão 5), o divegente de um campo vetoial em coodenadas cilíndicas é veifique) [ h h z F ρ ) F + h zh ρ F ) h ρ h h z ρ ρf ρ ) ρ ρ + h ρh F z ) z + F ρ + F z z. 7) escala veifique)): 2 h 2 ρ {[ ) } ρ ln h h z h ρ ρ + 2 ρ 2 + {[ ) h 2 ln hz h ρ h + {[ h 2 z z ln h z } hρ h ) z + 2 z 2 }. 73) Usando os fatoes de escala dados em 63), o Laplaciano em coodenadas cilíndicas pode se escito como veifique) 2 ρ ρ ρ ) + ρ 2 ρ z. 74) 2 O Laplaciano atua em campos escalaes, poduzindo novos campos escalaes. Quando este novo campo escala é nulo, 2 f, se diz que o campo escala f é hamônico. A equação difeencial 2 f é conhecida como equação de Laplace. II.2.3. A pati do veto posição, aceleação veifique), Cinemática calculamos velocidade e ρ ê ρ + z ˆk, 75) v ρ ê ρ + ρ ê + ż ˆk, 76) a v ρ ρ 2 ) ê ρ + ρ + 2 ρ ) ê + z ˆk. 77) Similamente, o otacional de um campo vetoial em coodenadas cilíndicas é calculado adaptando o padão 57) paa o sistema cilíndico veifique), II.3. Coodenadas esféicas h ρ ê ρ h ê h z ê z F h ρ h h z ρ z ê ρ ρê ê z h ρ F ρ h F h z F ρ ρ z z F ρ ρf F z F z ρ F ) Fρ ê ρ + z z F ) z ê ρ + ρf ) F ) ρ ê z. 7) ρ ρ Uma outa opeação impotante é o divegente de um gadiente. A ação do gadiente num campo escala f ρ,, z) cia um campo vetoial F f. Agoa podemos calcula o divegente deste campo vetoial, uma opeação conhecida po Laplaciano, ê x x z O φ ê z P ρ ê ê ê φ y ê y 2 f f F. 72) Usando as pescições 69) paa o gadiente e 7) paa o divegente, após um pouco de álgeba e muita paciência, podemos esceve a ação do Laplaciano em temos dos fatoes de Figua 4. O sistema de coodenadas esféico,, φ), com, π e φ 2π, elativo ao sistema catesiano x, y, z). Em cada sistema de coodenadas, os vesoes são mutuamente otogonais. A sequência {ê, ê, ê φ } obedece a ega da mão dieita. P

8 8 A Figua 4 mosta o sistema de coodenadas esféico,, φ), com, π e φ 2π, elativo ao sistema catesiano x, y, z). Ambos são sistemas de coodenadas otonomais tidimensionais. Os vesoes no sistema esféico na sequência {ê, ê, ê φ } obedecem a ega da mão dieita com elação ao poduto vetoial. Note que o veto posição na Figua 4, de acodo com a geometia plana, pode se escito na foma ρ+ z ρ cos φ ê x +ρ sen φ ê y + cos ê z, ρ sen. 78) Quando compaamos este esultado com a foma catesiana, x ê x +y ê y +z ê z, descobimos como as componentes catesianas do veto posição dependem das coodenadas esféicas, x sen cos φ, y sen sen φ, z cos. 79) Assim uma casca esféica de aio R é descita em coodenadas esféicas fazendo R constante e vaiando as coodenadas angulaes. Neste caso teemos x 2 + y 2 + z 2 2. Natualmente, o veto posição também pode se escito em temos dos vesoes do sistema esféico, ê, 8) o que nos pemite esceve o veso adial ê em coodenadas esféicas, ê sen cos φ ê x + sen sen φ ê y + cos ê z. 8) Sabemos que a taxa de vaiação de um veso é sempe pependicula e ele. Assim, ê ê / ê cos cos φ ê x + cos sen φ ê y sin ê z, 82) ê φ ê φ / ê φ sen φ ê x + cos φ ê y. 83) Como mosta a Figua 4, o veso ê é tangente ao gande cículo de aio e centado na oigem) contendo o ponto P e o veso ê φ é tangente ao cículo meno de aio ρ sen centado em z, também contendo o ponto P. No ponto P estes dois cículos são otogonais. Note que este pequeno cículo tem sua face pependicula ao eixo Z e que, potanto, o veso ê φ está inteiamente no plano XY, como podemos ve em 83). Podemos usa o veto posição na foma 78) paa calcula os fatoes de escala, h, h, h φ sen. 84) φ Uma vez que os fatoes de escala são conhecidos, podemos genealiza os esultados anteioes paa calculamos elementos de volumes, gadiente, divegente, otacional, etc. II.3.. Volumes elementaes Genealizando paa 3D a foma padão encontada na Eq. 37), o deslocamento infinitesimal em coodenadas esféicas é veifique) d h d ê + h d e + h φ dφ ê φ d ê + d e + sen dφ ê φ, 85) cujo compimento é dl 2 d d h 2 d 2 + h 2 d2 + h 2 φ dφ 2 d d sen 2 dφ 2. 86) Obseve em 85) que os fatoes de escala podem se intepetados como a pojeção do veto deslocamento infinitesimal em cada dieção independente dividida pela difeencial da espectiva coodenada naquela dieção veifique). A áea elementa numa supefície esféica de aio constante) é obtida genealizando a Eq. 39) paa o caso 3D veifique), da h h φ d dφ 2 sen d dφ. 87) Similamente, o volume elementa é veifique), dv h h h φ d d dφ 2 sen d d dφ. 88) Note que a áea e o volume de uma esfea de aio são π A da 2 e V dv espectivamente, como espeávamos. II π sen d dφ 4π 2, 89) π 2π 2 d sen d dφ 4π 3 3, 9) Gadiente, divegente e otacional De acodo com o padão estabelecido em 45), o gadiente em coodenadas esféicas é veifique) ê h + ê h + êφ h φ φ ê + ê + êφ sen φ. 9) Genealizando paa 3D o padão 5), o divegente de um campo vetoial em coodenadas esféicas é veifique) [ h h φ F ) F h h h φ 2 2 F ) + + h φh F ) + h h F φ ) φ sen F ) F φ + sen sen φ. 92)

9 9 Similamente, o otacional de um campo vetoial em coodenadas esféicas é calculado adaptando o padão 57) paa 3D veifique), h ê h ê h φ ê φ F h h h φ φ h F h F h φ F φ ê ê sen ê φ 2 sen φ F F sen F φ sen Fφ ) F sen φ + F sen φ F ) φ) ê + F ) ) ê F ) ê φ. 93) Podemos eesceve também em coodenadas esféicas o Laplaciano dada na Eq. 73), 2 h 2 {[ ln h h φ h + {[ h 2 ) } ) } ln hφ h h {[ φ ln h h + h 2 φ h φ ) φ + 2 φ 2 }. 94) Usando os fatoes de escala dados em 84), então o Laplaciano em coodenadas esféicas é veifique) 2 2 ) 2 + [ sen ) + 2 sen sen 2. 95) φ 2 Vale obseva que o potencial gavitacional, bem como o elético basta toca a massa po caga), ϕ) MG QG, 96) satisfaz a equação de Laplace veifique), 2 ϕ). Potanto, os potenciais gavitacional e elético são hamônicos. II.3.3. Cinemática Como mostado na Figua 4, quando t) desceve a posição P de um objeto em sua tajetóia paametizada pelo tempo t), os vesoes ê, ê, ê φ ) também seão dependentes do tempo, confome indicado nas Eqs. 8) 83). Assim veifique), dê ê + φ sen ê φ, dt 97) dê ê + φ cos ê φ, dt 98) dê φ φ sen ê + cos ê ), dt 99) onde o ponto sobe as coodenadas angulaes significa uma deivada total em elação ao tempo. Usando estas taxas de vaiação tempoal, podemos expessa velocidade e aceleação em coodenadas esféicas veifique): ê, ) v d dt ṙ ê + ê + sen φ ê φ, ) a v faça você! 2) III. SÉRIE DE TAYLOR Como calculamos senos, cossenos, exponenciais, funções tanscendentais em geal? Mesmo quando estamos usando uma calculadoa, qual é o pocedimento utilizado? Ou então, suponha que conhecemos o valo de uma função f x) e de suas deivadas em um deteminado ponto x, f k) f k) x ) dk dx f x) k, k,, 2,... 3) xx com f ) f f x ). Suponha também que seja muito difícil calcula o valo desta mesma função em um outo ponto x, vizinho a x, x x + x, mesmo que x x x seja muito pequeno. Bem, nesta situação seia muito conveniente se pudéssemos calcula f x), mesmo que de foma apoximada, em temos de uma séie de potências em x e com coeficientes dependentes apenas dos valoes conhecidos de f e suas deivadas no ponto x, ou seja, conhecendo apenas f k) x ). Quando a função f x) é analítica contínua e com todas as deivadas contínuas em x ), esta séie existe, f x) k f k) x ) k! x x ) k f x ) + f ) x ) x x ) + 2 f 2) x ) x x ) 2 + 4) e é denominada de séie de Taylo. Este é um dos esultados mais úteis em Matemática. É atavés de séies de Taylo que as funções tanscendentais são calculadas. Em geal, na pática, temos de paa ou tunca) a soma pesente na séie de Taylo 4) após um númeo finito N de temos. O valo de N é deteminado pela pecisão que desejamos obte, que dependená do quão pequeno é a difeença x x x. Como exemplo, vamos calcula a séie de Taylo paa as funções tigonométicas sin e cos em tono de. Pimeio, pecisamos calcula as deivadas destas duas funções.

10 Não é difícil pecebe que estas deivadas podem se escitas na foma geal veifique) e d 2k+ d 2k+ sin )k cos, d 2k+ d 2k+ cos )k sin ; d 2k d 2k sin )k sin, 5) d 2k d 2k cos )k cos. 6) De acodo com a pescição 4), pecisamos calcula os valoes destas deivadas em, e d 2k+ sin d2k+ ) k, d 2k+ cos d2k+, d 2k sin d2k, 7) d 2k cos d2k ) k. 8) Assim, a séie de Taylo paa a função seno cosseno) teá somente potências ímpaes paes) em veifique), sin 6 3 +, cos ) Faça você algumas compaações numéicas usando pequenos valoes paa em adianos). Como outo exemplo impotante, vamos calcula a séie de Taylo paa a função exponencial e ax em tono de x, onde a é uma constante. As deivadas podem se facilmente escitas na foma d k d k eax a k e ax, d k d k eax a k. ) x Desta foma, a séie de Taylo coespondente, segundo a pescição 4), seá e ax + ax + a2 2 x2 + a3 3! x3 + k a k k! xk. ) Em paticula, vamos toma a i, onde i é a unidade imagináia i 2 ), e faze x medido em adianos). Devido ãs popiedades da unidade imagináia, a séie de Taylo ) pode se eoganizada na foma e i ) 4! i ) 3! 3 +, 2) onde pecebemos a pesença das séies de Taylo em 9) paa as funções tigonométicas. Potanto, e i cos + i sin 3) e, consequentemente, substituindo po n, e in cos + i sin ) n cosn) + i sinn). 4) Estas elações seão muito úteis quando estivemos estudando oscilações e o efeito de essonância. Note que a última igualdade em 4) é a famosa fómula de Moive muito usada em tigonometia). Execício Detemine a expessão paa um temo genéico da séie de Taylo em tono de x e esceva explicitamente os quato pimeios temos não-nulos paa cada uma das seguintes funções: f x) e x, gx) cosx), hx) sinx). 5) Execício 2 Moste que qualque númeo complexo z x + i y, de módulo zz x 2 + y 2, com z x i y conjugado), pode se epesentado po com Use o Execício paa mosta que z cos + i sin ), 6) x 2 + y 2, tan y x. 7) e i cos + i sin ). 8) Execício 3 ) Esceva uma otina computacional use computação algébica) paa calcula a séie de Taylo 4) de uma função abitáia. 2) Teste sua otina com as pincipais funções tigonométicas seno, cosseno, etc.) e com a função exponencial. 4) Nestes testes, moste no mesmo gáfico a função oiginalmente pé-definida dento do ambiente computacional que estive usando e pelo menos quato séies de Taylo paa cada função coespondentes a difeentes númeos N de temos usado na soma 4). 5) Faça uma animação mostando como é o compotamento da séie de Taylo em função da quantidade de temos N na séie paa cada caso. Lembe-se: o tabalho dignifica e faz bem ao caáte.