Processo Seletivo Estendido 07 Professor: Fernando de Ávila Silva Departamento de Matemática - UFPR. Converta de graus para radianos: a 0 b 0 c 5 d 5 e 70 f 70 g 5 h 700 i 080 j. Converta de radianos para graus: a 5 b c d e 0 f. Considere um triângulo com lados a, b e c, onde os ângulos opostos a estes lados são Â, B e Ĉ, respectivamente. Prove a lei dos senos onde: sen  sen B = = sen Ĉ. a b c Dica: Calcule a área deste triângulo considerando cada um dos lados como a base. Estas serão todas iguais.. Considere um triângulo ABC, com lados a, b e c e ângulo θ como mostra a figura. Com base nele, prove a lei dos cossenos: Dica: use o Teorema de Pitágoras. 5. Deduza fórmulas em termos de sen θ e cos θ de: a sen θ b cos θ c cos θ d sen θ. Prove as seguintes identidades trigonométricas a + tg t = sec t b + cotg t = cossec t c sena ± b = sen a cos b ± sen b cos a d cosa ± b = cos a cos b sen a sen b a = b + c bc cos θ, tg a + tg b e tga + b = tg a tg b f cos θ = cos θ sen θ = cos θ = sen θ g sen cos θ θ = h cos + cos θ θ =
7. Utilize o que foi verificado no eercício anterior para mostrar que: a sen θ sen φ = [cosθ φ cosθ + φ] b cos θ cos φ = [cosθ φ + cosθ + φ] c sen θ cos φ = [senθ + φ + senθ φ] d sen θ + sen φ = sen θ+φ cos θ φ e sen θ sen φ = cos θ+φ sen θ φ f cos θ + cos φ = cos θ+φ cos θ φ g cos θ cos φ = sen θ+φ sen 8. Mostre que sen + sen 9 = sen 89. 9. Resolva: a cos + = 5 cos θ φ b cos 7 = cos c sen + cos = 0 d sen sen + sen = 0 0. Sem utilizar calculadora, complete a seguinte tabela, marcando quando a função não estiver definida. θ 0 sen θ 5 0 cos θ tan θ sec θ cotg θ cossec θ. Qual é a diferença entre sen, sen e sensen? Epresse cada uma das três funções em forma de composição.. Epresse as seguintes funções em termos de sen θ e cos θ a tg θ b cos θ c sen θ d cossec θ e cotg θ. Se os ângulos de um triângulo medem, + e + em radianos, encontre.. A seguir temos o triângulo ABC, onde AB = BC = CA = e AM = MC. Com base nele, encontre: a O comprimento BM c sen θ, cos θ, sen β, cos β, tg θ e tg β. b θ e β em radianos.
5. Dado um triângulo ABC, se Ĉ = / e  = B, encontre  em radianos e calcule cos Â, sen  e tg Â. Dica: Aqui  representa o ângulo no vértice A, B o ângulo no vértice B, e Ĉ representa o ângulo no vértice C. Faça um desenho.. Calcule os seguintes valores das funções em cada ângulo. Dica: Use identidades trigonométricas. a sen + b cos + c cos + d sen + cos e sen 7. Em t = 0 dois carros se encontram na intersecção de duas estradas retas, com velocidades constantes v e v, que formam um ângulo θ. a Qual é a distância entre os carros t horas depois deles passarem pelo cruzamento? b Calcule a distância entre os carros hora após passarem pelo cruzamento se: i v = v e θ = ii v = v e θ = iii v = v e θ = 0 iv v = v e θ = 8. Dadas as funções f e g a seguir, obtenha f g e g f e seus respectivos domínios de definição: a f = 9 9 e g = cotg. b f = cos e g = 9. Encontre funções f e g de modo que a função h possa ser escrita como h = f g. Nem f nem g devem ser a função identidade. a h = sen b h = sen c h = sen dh = sencos e h = sen f h = sen g h = cos h h = tan + i h = sen j h = cossec k h = sen + sen + l h = sencos 0. Dizer como as funções f =, g = e h = tg devem ser compostas para que se obtenha a função h = tg.. Calcular o período das funções a tg b sen c tg. d cos e cossec 7 f cotg7b onde B > 0.. Esboce o gráfico das seguintes funções, identificando cuidadosamente as amplitudes e períodos. Não use calculadora gráfica ou computador. a y = sen b y = sen c y = sen θ. d y = cos e y = cos t f y = 5 sen t. Relacione as funções abaio com os gráficos da figura, eplicando os por quês. a y = cost b y = cos t c y = cost +.
. Nos itens a seguir, encontre uma possível fórmula para cada gráfico 5. a Usando uma calculadora gráfica, ou um computador, encontre o período de sen t + cos t. b Qual é o período de sen t? E de cos t? c Use a resposta da parte b para justificar sua resposta da parte a.. a Usando uma calculadora gráfica, ou um computador, encontre o período de sen + cos. b Determine o 7. Se m e n são dois números naturais, obtenha o período da função cosm + senn. 8. Defina e trace o gráfico das inversas das seguintes restrições principais de funções trigonométricas não dê resultados aproimados: a cos : [0, ] [, ] b cotg :]0, [ IR c sec : [0, [ ], ] [, + [ ], ] d cossec : [, 0[ ]0, ] ], ] ], [ 9. Calcule: a arcsen b arccos c arctg d arctg e arcsen f arccos g arctg 0 h arcsen i arcsen 0 j arccos k arccos 0 l arccotg m arctg n arccotg o arcsen p arcsec q arccossec r arcsec s arccotg t arcsec u arccossec v arcsec w arccossec arcsen 0. Prove que sen : [, ] IR é estritamente crescente.. Prove que tg é estritamente crescente em ], [.. Para simplificar a epressão cosarcsen, começamos colocando θ = arcsen, com as restrições θ e. Como sen θ =, pela definição de arcsen, podemos construir um triângulo retângulo e calcular o terceiro lado pelo Teorema de Pitágoras:
Observe que cosarcsen é cos θ. Desta forma, o desenho nos mostra que: cosarcsen = Usando uma idéia semelhante a essa, simplifique e calcule: a cosarcsen b senarccos c cosarctg d cosarcsec e tgarccos f senarccos g cosarcsen h tgarccos 0. Assumindo que > 0, simplifique as funções abaio eliminando as funções trigonométricas de suas epressões. a f = tgarcsec. b g = secarcsen. c h = cosarccossec. d m = senarccossec. e n = senarctg. f φ = cossecarccossec. g θ = tgarccotg. h a = secarccotg. i λ = senarccotg.. Assumindo que 0,, simplifique as funções abaio eliminando as funções trigonométricas de suas epressões. a f 0 = senarccos. b f = cosarccos. c f = cos arccos. d f = cos arccos. e f = cos arccos. Respostas:. a b 8 c d e 7 8 f g h 70 8 i j 5. a 900 b 90 c 50 d 5 e 800 f 70 5. a sen θ = sen θ sen θ. b cos θ = cos θ cos θ. c cos θ = 8 cos θ + 8 cos θ +. d sen θ = sen θ cos θ sen θ cos θ. 9. a = k, k Z. b = k/ ou = k/5, k Z. c = ± + k ou = 7 + k ou = + k, k Z. d = k ou = + k ou = ± + k, k Z. 0.. se f = sen e g =, então sen = fg, sen = gf e sensen = ff.. 5
θ 0 5 0 sen θ 0 0 cos 0 0 tan θ 0 0 sec θ cotg θ cossec θ a sen θ cos θ b + cos θ. =.. a b θ = e β = c cos θ d cos θ e + cos θ cos θ c sen θ =,cos θ =,sen β =,cos β =, tg  = 5.  =, cos  =,sen  =,tg θ =,tg β =. a + b c 0 d e 7. a t v + v v v cos θ. b i v. ii v. iii 0. iv v. 8. a f g = cotg, Domf g = [ n Z + n, ] + n ; g f = cotg, Domg f =, b f g = cos [, Domf g =, ] ; g f = cos, Domg f = [ + n, ] + n n Z 9. a f = sen, g = b f = sen, g = c f =, g = sen d f = sen, g = cos e f =, g = sen f f =, g = sen
g f = cos, g = h f = tg, g = + i f =, g = sen j f = g = cossec k f = + + g = sen l f = sen g = cos 0. p = g h f.. a. b Não é periódica. c. d Não é periódica. e Não é periódica. f 7B.. a P =, A = b P =, A = c P =, A = d P =, A = e P = 8, A = f P =, A =. a ht. b ft. c gt.. a f = sen b f = + sen c f = 5 cos d f = sen e f = 8 cos 0 f f = sen 9 g f = sen 9 + h f = sen 9 5. a O período é. b O período de sen t é e de cos t é. c O período de sen t + cos t é pois este é o menor número positivo multiplo de e.. a O período é. b O período de sen é multiplo de e, que é. e de cos é. Logo o período de sen + cos é o menor número positivo 7. O período é M, onde M = mmcm, n. mn 9. a. b. c. d. e. f. g 0. h. i 0. j 0. k. l. m. n. o. p. q. r 5. s. t. u. v. w.. [ 0. Se temos θ, φ, ] com θ > φ, então θ + φ ], [ e θ φ ]0, ]. Assim, como sen θ sen φ = θ + φ θ φ θ + φ θ φ cos sen, cos > 0 e sen > 0, temos que sen θ sen φ > 0, ou seja, sen θ > sen φ. Portanto a função é estritamente crescente. 7
]. Se temos θ, φ, [ com θ > φ, então θ φ ]0, [. Além disso, temos que: tg θ tg φ = + tg θ tg φ tg θ φ sen θ sen φ sen θ φ = + cos θ cos φ cos θ φ cos θ φ cos θ cos φ sen θ φ = + cos θ cos φ cos θ φ cos θ φ sen θ φ = cos θ cos φ cos θ φ sen θ φ = cos θ cos φ com sen θ φ > 0, cos θ > 0 e cos φ > 0. Logo tg θ tg φ > 0 e a função é estritamente crescente.. a cos arcsen = b sen arccos = c cos arctg = d cos arcsec = + e tg arccos = f sen arccos = 0 g cos arcsen = h tg arccos 0 =. a f =. b g =. c h =. d m =. e n = f φ =. +. g θ =. h a = +. i λ = +.. a f 0 =. b f =. c f =. d f =. e f = 8 8 +. 8