Aula 15 Nsta aula vamos xprssar o produto misto m trmos d coordnadas, analisar as propridads dcorrnts dssa xprssão fazr algumas aplicaçõs intrssants dos produtos vtorial misto. 1. Exprssão do produto misto m coordnadas Sjam u (x, y, z), v (x, y, z ) w (x, y, z ) vtors xprssos m coordnadas com rspito a um sistma d ixos ortogonais positivo OXYZ. Tmos [ u, w u ( ) w y z y z, x z x z, x y x y, (x, y, z ) x y z y z x z y x z + x y z x y Por outro lado, o dtrminant dt( u, w ) da matriz 3 3 cujas linhas são as coordnadas dos vtors u, v w, quando dsnvolvido pla rgra d Sarrus, nos dá dt( u, x y z w ) x y z x y z x y z x y x y z x y x y z x y xy z + yz x + zx y x y z xy z yx z x (yz y z) y (xz x z) + z (xy x y). Portanto, [ u, x y z w dt( u, w ) x y z x y z Em particular, o dtrminant d uma matriz não dpnd do sistma d coordnadas ortogonais positivo scolhido para ftuar o su cálculo.
Gomtria Analítica - Aula 15 182 Obsrvação 1 u, w são LI [ u, w 0 dt( u, w ) 0 { u, w } é um trno LI positivo [ u, w > 0 dt( u, w ) > 0 { u, w } é um trno LI ngativo [ u, w < 0 dt( u, w ) < 0 Propridads do dtrminant Sjam u (x, y, z), v (x, y, z ) w (x, y, z ) vtors xprssos m coordnadas com rspito a um sistma ortogonal positivo OXYZ. Vimos, acima, qu dt( u, w ) x y z y z x z y x z + x y z x y ( 1) 3+1 x y z y z + ( 1)3+2 y x z x z + ( 1)3+3 z x y x y, qu é a xpansão do dtrminant com rspito à trcira linha. linha. Podmos, também, xpandir o dtrminant com rspito à primira linha à sgunda D fato, dt( u, w ) [ u, w [ v, w, u x y z y z y x z x z + z x y x y ( 1) 1+1 x y z y z + ( 1)1+2 y x z x z + ( 1)1+3 z x y x y, qu é o dsnvolvimnto pla primira linha, dt( u, w ) [ u, w [ u, w, v ( ) x y z y z x z y x z + x y z x y ( 1) 2+1 x y z y z + ( 1)2+2 y x z x z + ( 1)2+3 z x y x y. qu é o dsnvolvimnto do dtrminant pla sgunda linha. coluna. No fator ( 1) i+j, das idntidads acima, i indica a i ésima linha j indica a j ésima IM-UFF K. Frnsl - J. Dlgado
183 Gomtria Analítica - Aula 15 Sabndo qu [ u, w dt( u, w ), ond dt( u, w ) é o dtrminant da matriz 3 3 cujas linhas são as coordnadas dos vtors u, v w, vamos traduzir as propridads do produto misto m propridads dos dtrminants 3 3. Proposição 1 Os dtrminants das matrizs 3 3 satisfazm as sguints propridads: 1. O sinal do dtrminant muda ao prmutar duas linhas: dt( u, w ) dt( u, w ) dt( u, w, v ) dt( u, w ) dt( w, u ) dt( u, w ) 2. O dtrminant d uma matriz com duas linhas iguais é igual a zro: dt( u, u, v ) dt( u, u ) dt( u, u ) 0 3. Multiplicar uma linha por um númro λ R quival a multiplicar o dtrminant por λ. dt(λ u, w ) dt( u, λ w ) dt( u, λ w ) λ dt( u, w ) 4. A soma dos dtrminants d duas matrizs com duas filas comuns é o dtrminant da matriz qu tm ssas duas filas comuns por trcira fila a soma das filas difrnts das matrizs das parclas: dt( u, w ) + dt( u, w ) dt( u + u, w ) 5. Critério d coplanaridad. dt( u, w ) 0 u, v w são coplanars (LD) dt( u, w ) 0 u, v w não são coplanars (LI) A dmonstração dssa proposição sgu dirtamnt das propridads já conhcidas do produto misto da idntidad [ u, w dt( u, w ). Obsrvação 2 (a) S M é uma matriz 3 3, dsignamos por M T a matriz cujas linhas são as colunas d M, qu é chamada a transposta da matriz M. M x y z x y z M T x x x y y y x y z z z z (b) Calculando dirtamnt s vrifica qu dt M dt M T K. Frnsl - J. Dlgado IM-UFF
Gomtria Analítica - Aula 15 184 Portanto, as propridads anunciadas na proposição antrior nvolvndo as linhas do dtrminant d uma matriz 3 3, valm também para as colunas. (c) Em virtud d (b), o cálculo d um dtrminant pod sr fito, também, xpandindo plas colunas ao invés das filas. Por xmplo, s M é a matriz dada m (a), o cálculo do su dtrminant dsnvolvndo pla primira coluna fica: x y z dt M x y z x y z ( 1)1+1 x y z y z + ( 1)2+1 x y z y z + ( 1)3+1 x y z y z Exmplo 1 Calcular o dtrminant coluna. 1 2 3 4 5 6 0 7 8 dsnvolvndo pla primira linha também, pla primira Dsnvolvndo o dtrminant pla primira linha, tmos: 1 2 3 4 5 6 ( 1) 1+1 (1) 5 6 0 7 8 7 8 + ( 1)1+2 (2) 4 6 0 8 + ( 1)1+3 (3) 4 5 0 7 1( 2) 2(32) + 3(28) 2 64 + 84 2 + 20 18. Dsnvolvndo o dtrminant pla primira coluna, tmos: 1 2 3 4 5 6 ( 1) 1+1 (1) 5 6 0 7 8 7 8 + ( 1)2+1 (4) 2 3 7 8 + ( 1)3+1 (0) 2 3 5 6 1( 2) 4( 5) 2 + 20 18. A Rgra d Cramr Frqüntmnt nfrntarmos a ncsidad d rsolvr um sistma d três quaçõs linars com três variávis. Um método "prático" para atingir tal objtivo é a Rgra d Cramr. Considrmos o sistma linar d três quaçõs três variávis: a 1 x + b 1 y + c 1 z d 1 a 2 x + b 2 y + c 2 z d 2 a 3 x + b 3 y + c 3 z d 3 A matriz A a 1 b 1 c 1 a 2 b 2 c 2 é chamada a matriz do sistma. a 3 b 3 c 3 IM-UFF K. Frnsl - J. Dlgado
185 Gomtria Analítica - Aula 15 A rgra d Cramr diz qu quando ssa matriz tm dtrminant não-nulo, o sistma tm uma única solução nos prmit dtrminá-la. Not qu dt A 0 as linhas d A são LI as colunas d A são LI Considrmos os vtors a (a1, a 2, a 3 ), b (b1, b 2, b 3 ), c (c1, c 2, c 3 ) d (d1, d 2, d 3 ). Rsolvr o sistma acima quival a dtrminar os númros x, y, z tais qu x a + y b + z c d. Isto é, dvmos achar os coficints d a, b c mdiant os quais o vtor d s xprssa como combinação linar dsss três vtors. Aplicando as propridads dos dtrminants obtidas antriormnt, tmos qu: dt( d, b, c ) dt(x a + y b + z c, b, c ) x dt( a, b, c ) + y dt( b, b, c ) + z dt( c, b, c ). x dt( a, b, c ) Portanto, s dt( a, b, c ) 0, obtmos x dt( d, b, c ) dt( a, b, c ) Analogamnt, calculando os dtrminants dt( a, d, c ) dt( a, b, d ), obtmos, y dt( a, d, c ) dt( a, b,, z dt( a, b, d ) c ) dt( a, b, c ) Exmplo 2 Vrifiqu s o sistma abaixo possui uma única solução, caso afirmativo, us a rgra d Cramr para dtrminá-la. x + y + 2z 1 2x + 3y + 3z 2 4x + 4y + 5z 3 Sjam a (1, 2, 4), b (1, 3, 4), c (2, 3, 5), sja d (1, 2, 3). Calculando, tmos dt( a, b, c ) 3 0. Portanto, o sistma possui uma única solução para as variávis x, y z. Como dt( d, b, c ) 0, dt( a, d, c ) 1, dt( a, b, d ) 1, K. Frnsl - J. Dlgado IM-UFF
Gomtria Analítica - Aula 15 186 obtmos, pla rgra d Cramr, qu: x dt( d, b, c ) dt( a, b, 0 c ) 3 0, y dt( a, d, c ) dt( a, b, 1 c ) 3 1 3, z dt( a, b, d ) dt( a, b, 1 c ) 3 1 3, é a solução do sistma. Exmplos d aplicaçõs do produto vtorial do produto misto Vamos agora aplicar as noçõs d produto vtorial produto misto para rsolvr situaçõs d carátr gométrico. Exmplo 3 Vrifiqu s os pontos A (2, 2, 1), B (3, 1, 2), C (2, 3, 0) D (2, 3, 2) são coplanars. Considrmos os vtors AB (1, 1, 1), AC (0, 1, 1), AD (0, 1, 1). [ Sabmos qu os pontos A, B, C D são coplanars s, somnt s, AB, AC, AD 0. Calculando, tmos: ( ) AB 1 1 AC 1 1, 1 1 0 1, 1 1 (0, 1, 1), 0 1 Logo, [ AB, AC, AD AB AC, AD (0, 1, 1), (0, 1, 1) 2 0. Portanto, os pontos A, B, C D não são coplanars. Exmplo 4 Mostr qu { u (1, 0, 2), v (2, 1, 0), } w (1, 1, 1) é um trno d vtors não coplanars (LI) positivo, calcul o volum do parallpípdo cujas arstas adjacnts são u, v w. Sabmos qu o trno d vtors é LI positivo s, somnt s, [ u, w > 0. Calculando: [ u, 1 0 2 w 2 1 0 1 1 1 1 1 0 1 1 + 2 2 1 1 1 1(1) + 2(1) 3 > 0. Portanto, o trno { u, w } é LI positivo. Além disso, o volum do parallpípdo P cujas arstas são u, v w, é: Volum (P) [ u, w 3 3. IM-UFF K. Frnsl - J. Dlgado
187 Gomtria Analítica - Aula 15 Obsrvação 3 No xmplo 3 calculamos o produto misto a partir da dfinição, isto é, calculamos o produto vtorial dos primiros dois fators para dpois fazr o produto intrno do vtor rsultant com o trciro fator. Ess procdimnto é mais sguro rduz a probabilidad d rro nos cálculos quando s tm pouca prática no cálculo d dtrminants d matrizs 3 3, sndo, por isso, mais rcomndado. Exmplo 5 Dtrmin os valors d t R para os quais os vtors u (2, 0, t) v (t, 0, 2) sjam colinars. Sabmos qu u v são colinars s, somnt s, u v 0. Calculando, tmos 1 2 3 u v 2 0 t t 0 2 0 t 0 2 1 2 t t 2 2 + 0 1 (4 t 2 ) 2 + 0 3 (t 2 4) 2. 2 0 t 0 3 Logo, u v (0, t 2 4, 0) (0, 0, 0) 0 s, somnt s, t 2 4 0, ou sja, s, somnt s, t 2 ou t 2. Exmplo 6 Dtrmin, caso xistam, os valors d t R para qu os vtors u (t, 1, 1), v (1, t, 2) w (3, t, 1) sjam coplanars. Sabmos qu u, v w são coplanars s, somnt s, [ u, w 0. Então: [ u, t 1 1 w 1 t 2 3 t 1 t t 2 t 1 ( 1) 1 2 3 1 + 1 1 t 3 t t( t) + ( 5) + ( 2t) t2 5 2t. Logo [ u, w 0 s, somnt s, t 2 +5+2t 0. Ou sja, s, somnt s, t 2 +2t+5 0. Como o discriminant dssa última quação é 4 20 16 < 0, a quação não tm raízs rais, isto é, [ u, w 0, para todo t R. Assim u, v w são LI para todos os valors rais d t. K. Frnsl - J. Dlgado IM-UFF
Gomtria Analítica - Aula 15 188 O sguint xmplo mostra a fórmula do triplo produto vtorial. Exmplo 7 Mostr qu, para quaisqur vtors u, v w val: ( u v ) w u, w v w u Com rspito a um sistma ortogonal positivo d coordnadas OXYZ, scrvmos u (x, y, z), v (x, y, z ) w (x, y, z ). Como u v 1 2 3 x y z x y z obtmos: ( u v ) 1 2 3 w yz zy xz + zx xy yx x y z (yz zy, xz + zx, xy yx ), ( ( xz + zx )z (xy yx )y, (yz zy )z + (xy yx )x, (yz zy )y ( xz + zx )x ) ( xz z + zx z xy y + yx y, yz z + zy z + xy x yx x, yz y zy y + xz x zx x ) ( (yy + zz )x (y y + z z )x, (xx + zz )y (x x + z z )y, (xx + yy )z (y y + x x )z ). Vamos calcular agora o lado dirito da idntidad: u, w v w u (xx + yy + zz ) (x, y, z ) (x x + y y + z z ) (x, y, z) ( xx x + (yy + zz )x, yy y + (xx + zz )y, zz z + (xx + yy )z ) ( x x x + (y y + z z )x, y y y + (x x + z z )y, z z z + (x x + y y )z ) ( (yy + zz )x (y y + z z )x, (xx + zz )y (x x + z z )y, (xx + yy )z (y y + x x )z ). Comparando as xprssõs obtidas acima, concluímos a vracidad da idntidad proposta. Obsrvação 4 É important obsrvar qu o produto vtorial não é associativo como mostra o sguint xmplo. Exmplo 8 Sjam u (1, 2, 3), v (1, 0, 2) w (1, 0, 0). Mostr qu ( u v ) w u ( v w ). IM-UFF K. Frnsl - J. Dlgado
189 Gomtria Analítica - Aula 15 Sndo: u v 1 2 3 1 2 3 1 0 2 2 3 0 2 1 1 3 1 2 2 + 1 2 1 0 3 4 1 + 2 2 3 (4, 1, 2), ( u v ) 1 2 3 w 4 1 2 1 2 1 0 0 0 0 1 4 2 1 0 2 + 4 1 1 0 3 v w 1 2 3 1 0 2 1 0 0 2 2 3 (0, 2, 1). 0 2 0 0 1 1 2 1 0 2 + 1 0 1 0 3 2 2 (0, 2, 0), u ( v 1 2 3 w ) 1 2 3 2 3 0 2 0 2 0 1 1 3 0 0 2 + 1 2 0 2 3 6 1 + 2 3 ( 6, 0, 2), obtmos qu ( u v ) w u ( v w ). Exmplo 9 Sjam os pontos P (1, 2, 0), Q (3, 1, 1) R (1, 1, 1), os vtors u OP, v OQ w OR. (a) Dtrmin a altura rlativa à bas d lados OP OQ do parallpípdo P qu tm por vértics O, P, Q R. (b) Calcul a ára do triângulo T d vértics P, Q R. (c) Calcul o volum do parallpípdo P. (c) Calcul a ára xtrna do ttradro σ cujos vértics são O, P, Q R. (a) A altura h do parallpípdo P tomando como bas o parallogramo d lados adjacnts OP OQ é ond h w cos ( u w ) w u w u v w u v 1 2 3 1 2 0 3 1 1 2 0 1 1 1 u w u v 1 0 3 1 2 + 1 2 3 1 3 (2, 1, 5), K. Frnsl - J. Dlgado IM-UFF,
Gomtria Analítica - Aula 15 190 Assim, h 2 30 2 30 u v 2 2 + ( 1) 2 + ( 5) 2 4 + 1 + 25 30, u w (2, 1, 5), (1, 1, 1) 2 + 1 5 2. 30 15. (b) O triângulo T tm por arstas adjacnts os sgmntos PQ PR. Logo a sua ára é Ára (T ) 1 2 PQ PR. Como PQ (2, 1, 1) PR (0, 3, 1), tmos: PQ 1 2 3 PR 2 1 1 0 3 1 1 1 3 1 1 2 1 0 1 2 + 2 1 0 3 3 (2, 2, 6). Assim, PQ PR 2 2 + ( 2) 2 + 6 2 4 + 4 + 36 44 2 11,, portanto, (c) Como calculado no itm (a), Ára (T ) 11. Volum (P) [ u, w u w 2 2. (d) A ára xtrna do ttradro σ d vértics O, P, Q R é a soma das áras dos triângulos OPQ, OPR, OQR PQR T, a última das quais calculamos no itm (b). Calculmos as áras dos outros três triângulos: Ára ( OPQ) 1 2 OP OQ 1 2 u v 1 30 ; 2 Ára ( OPR) 1 2 OP OR 1 2 u w ; Ára ( OQR) 1 2 OQ OR 1 2 v w. Como u w v w tmos: 1 2 3 1 2 0 1 1 1 2 0 1 1 1 1 2 3 3 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 2 + 1 2 1 1 3 (2, 1, 3), 3 1 1 1 2 + 3 1 1 1 3 (2, 2, 4), u w 2 2 + ( 1) 2 + ( 3) 2 4 + 1 + 9 14 ; v w 2 2 + ( 2) 2 + ( 4) 2 4 + 4 + 16 24 2 6. IM-UFF K. Frnsl - J. Dlgado
191 Gomtria Analítica - Aula 15 Logo: Ára ( OPR) 1 2 u w 1 14 ; 2 Ára ( OQR) 1 2 v w 1 24 6. 2 Finalmnt, a ára do ttradro σ é Ára (σ) Ára ( OPQ) + Ára ( OPR) + Ára ( OQR) + Ára ( PQR) 1 1 1 1 30 + 14 + 24 + 44 2 2 2 2 1 ( 30 ) + 14 + 24 + 44. 2 Equação do plano qu passa por três pontos não colinars dados Sabmos qu um plano fica compltamnt dtrminado quando conhcmos um ponto nl contido um vtor normal a l. Sabndo qu o plano π passa por três pontos não colinars A, B C, considrando os vtors u AB v AC, tmos qu o vtor u v é prpndicular ao plano π, ou sja, π é o plano qu passa plo ponto A é prpndicular ao vtor u v. Então P π s, somnt s, AP u isto é P π AP, u [ v 0 AP, u, v 0, Fig. 1: Plano π passando por A, B C. ou sja, P π [ AP, u, v 0 Considrmos um sistma ortogonal positivo d coordnadas OXYZ sjam: A (x 0, y 0, z 0 ), B (x 1, y 1, z 1 ), C (x 2, y 2, z 2 ), P (x, y, z). Considr, também, as coordnadas dos vtors não-colinars parallos ao plano π: u (a, b, c) (x1 x 0, y 1 y 0, z 1 z 0 ), v (a, b, c ) (x 2 x 0, y 2 y 0, z 2 z 0 ). Tmos qu a quação d π é: Ou sja, π : AP, AB AC 0 ou π : AP, u v 0. π : [ AP, AB, AC 0 ou [ AP, u, v 0. K. Frnsl - J. Dlgado IM-UFF
Gomtria Analítica - Aula 15 192 Isto é, x x 0 y y 0 z z 0 π : x 1 x 0 y 1 y 0 z 1 z 0 x 2 x 0 y 2 y 0 z 2 z 0 0 ou π : x x 0 y y 0 z z 0 a b c a b c 0, Exmplo 10 Dtrminar a quação do plano π qu passa por A (1, 1, 1), B (1, 1, 0) C (0, 2, 0). Sjam u AB (0, 0, 1) v AC ( 1, 1, 1). [ AP, u, v 0, isto é, s, somnt s, Tmos qu P (x, y, z) π s, somnt s, x 1 y 1 z 1 0 0 1 1 1 1 0 1 1 (x 1) 0 1 1 (y 1) + 0 0 1 1 (z 1) x 1 + y 1 0 Logo π : x + y 2 é a quação cartsiana do plano π. Obsrv, no xmplo antrior, qu o cálculo do dtrminant podria tr sido fito dsnvolvndo pla sgunda linha, o qu facilitaria os cálculos. IM-UFF K. Frnsl - J. Dlgado