Variável Aleatória Contínua:

Distribuição Contínua Normal Prof. Tarciana Liberal Departamento de Estatística UFPB

Variável Aleatória Contínua: Assume valores num intervalo de números reais. Não é possível listar, individualmente, todos os possíveis valores de uma v.a. contínua. Associamos probabilidades a intervalos de valores da variável. x

Exemplo : Observamos o peso, em kg, de 1500 pessoas adultas selecionadas ao acaso em uma população. 0.04 Densid ade 0.03 0.02 0.01 0.00 30 40 50 60 70 80 90 100 Peso - a distribuição dos valores é aproximadamente simétrica em torno de 70kg; - a maioria dos valores (88%) encontra-se no intervalo (55;85); - existe uma pequena proporção de valores abaixo de 48kg (1,2%) e acima de 92kg (1%).

Vamos definir a variável aleatória X: peso, em kg, de uma pessoa adulta escolhida ao acaso da população. Como se distribuem os valores da variável aleatória X, isto é, qual a distribuição de probabilidades de X? 0.03 0 Densidade 0.015 0.000 3 0 40 50 6 0 70 80 90 10 0 P eso A curva contínua da figura denomina-se curva Normal.

A distribuição Normal é uma das mais importantes distribuições contínuas de probabilidade pois: Muitos fenômenos aleatórios comportam-se de forma próxima a essa distribuição. Exemplos: 1. altura; 2. pressão sanguínea; 3. peso. Pode ser utilizada para calcular, de forma aproximada, probabilidades para outras distribuições, como por exemplo, para a distribuição Binomial.

Nem todos os fenômenos se ajustam à distribuição Normal. Exemplo: Y: Duração, em horas, de uma lâmpada de certa marca. A experiência sugere que esta distribuição deve ser assimétrica - grande proporção de valores entre 0 e 500 horas e pequena proporção de valores acima de 1500 horas.

A DISTRIBUIÇÃO NORMAL A v. a. X tem distribuição Normal com parâmetros µ e σ 2 se sua função densidade de probabilidade é dada por, < x <. Pode ser mostrado que 1. µ é o valor esperado (média) de X ( - < µ < ); 2. σ 2 é a variância de X (σ 2 > 0). Notação : X ~ N(µ ; σ 2 ) Obs: f(x) é simétrica em relação a µ.

Propriedades da distribuição normal 2 ( a) E( X ) = µ, Var( X ) = σ (b) A distribuição é simétrica em torno de sua média. (c) A área total sob curva é igual a um. (d) f (x) 0 quando x ± (e) x = µ é ponto de máximo de f (x) (f ) µ - σ e µ + σ são pontos de inflexão de f (x)

Propriedades da distribuição normal

Influência de µ na curva Normal N( µ 1 ; σ 2) N( µ 2 ; σ 2) µ 1 µ 2 x Curvas Normais com mesma variância σ 2 mas médias diferentes (µ 2 > µ 1 ).

Influência de σ 2 na curva Normal N(µ;σ 12 ) σ 2 2 > σ 1 2 N(µ;σµ σ 22 ) µ Curvas Normais com mesma média µ, mas com variâncias diferentes (σ 22 > σ 12 ).

Cálculo de probabilidades

Cálculo de probabilidades P(a< X< b) Área sob a curva acima do eixo horizontal (x) entre ae b. a µ b PROBLEMAS: (I) Integrar a função de densidade (utilização de métodos numéricos).

(II) Qual Tabela usar? Deveríamos ter disponíveis uma infinidade de Tabelas, uma para cada par σ e µ!

Cálculo de probabilidades SOLUÇÃO: Transformar qualquer distribuição Normal (µ,σ 2 ) Transformar qualquer distribuição Normal (µ,σ 2 ) em uma distribuição normal com parâmetros fixos (Normal Padrão), através de uma mudança de variável e tabelar as probabilidades.

Se X ~ N(µ ; σ 2 ), definimos E(Z) = 0 Var(Z) = 1 f(x) X ~ N(µ ; σ 2 ) f(z) Z ~ N(0 ; 1) a µ b x a µ σ 0 b µ z σ

A v.a. Z ~ N(0;1) denomina-se normal padrão ou reduzida. Portanto, Dada a v.a. Z ~N(0;1) podemos obter a v.a. X ~ N(µ;σ 2 ) através da transformação inversa X = µ + Z σ.

USO DA TABELA NORMAL PADRÃO P(Z z) Obs.: P(Z > z) = P(Z < -z) P(Z > z) = 1 - P(Z < z). P(Z < -z) = 1-P(Z < z).

Exemplo 1: Seja Z ~ N (0; 1), calcular a) P(Z 0,32)

Encontrando o valor na Tabela N(0;1): z 0 1 2 0,0 0,5000 0,5039 0,5079 0,1 0,5398 0,5437 0,5477 0,2 0,5792 0,5831 0,5870 0,3 0,6179 0,6217 0,6255 M M M M

Exemplo 1: Seja Z ~ N (0; 1), calcular a) P(Z 0,32) P(Z 0,32) = Φ(0,32)=0,6255.

b) P(Z 1,5) P(Z 1,5) = 1 P(Z < 1,5) = 1 Φ(1,5) = 1 0.9332 = 0,0668.

c) P(0 < Z 1,71) P(0 < Z 1,71) = P(Z 1,71) P(Z < 0) = Φ(1,71) Φ(0) = 0,9564 0,5 = 0,4564

d) P(-1,5 Z 1,5) P( 1,5 Z 1,5) = P(Z 1,5) P(Z 1,5) = Φ(1,5) Φ(1,5) = 0,9332 0,0668 = 0,8664

Exemplo 2: Seja X ~ N(10 ; 64) Calcular: (a) P(6 X 12) (b) P( X 8 ou X > 14)

A tabela da normal pode ser utilizada no sentindo inverso, isto é, dado uma certa probabilidade, desejamos obter o valor que a originou. Como encontrar o valor z da distribuição N(0;1) tal que: (i) P(Z z) = 0,975 z Z z é tal que A(z) = 0,975. Pela tabela, z = 1,96.

(ii) Qual o valor de z tal que P(0 Z z)= 0,4975? P(0 < Z z) = 0,4975 P(Z z) P(Z < 0) = 0,4975 z Z Φ(z) Φ(0) = 0,4975 Φ(z) 0,5 = 0,4975 Φ(z) = 0,9975 z é tal que A(z) = 0,5 + 0,4975 = 0,9975. Pela tabela z = 2,81.

(iii) P(Z z) = 0,3 z Z z é tal que A(z) = 0,7. Pela tabela, z = 0,53.

(iv) P(Z z) = 0,975 z Z z é tal que A(z) = 0,975. Então, z = 1,96.

(v) P( z Z z) = 0,80 z z Z z é tal que P(Z z) = P(Z z) = 0,1. Isto é, P(Z z) = 0,90 e assim, pela tabela, z = 1,28.

Voltando ao exemplo 2: Seja X ~ N(10 ; 64). Calcule k tal que P( X k) = 0,05 X µ k 10 k 10 P( X k) = 0,05 P = P Z = 0,05 σ 8 8 z é tal que A(z)=0,95 Pela tabela z = 1,64 k 10 Então, z = = 1,64. 8 Z Logo k = 10 + 1,64 8 = 23,12.

Obtenha k tal que P( X k) = 0,025

Exemplo 3: O tempo gasto no exame vestibular de uma universidade tem distribuição Normal, com média 120 min e desvio padrão 15 min. a) Sorteando um aluno ao acaso, qual é a probabilidade que ele termine o exame antes de 100 minutos? X: tempo gasto no exame vestibular X ~ N(120; 15 2 ) Z X µ 100 120 = P( X < 100) = P < = P( Z < 1,33) = 0,0918 σ 15

b) Qual deve ser o tempo de prova de modo a permitir que 95% dos vestibulandos terminem no prazo estipulado? X: tempo gasto no exame vestibular X ~ N(120; 15 2 ) x 120 P( X < x) = 0,95 P Z = 0,95 15. z =? tal que A(z) = 0,95. Pela tabela z = 1,64. Z x 120 Então, = 1,64 15 x = 120 +1,64 15 x = 144,6 min.

c) Qual é o intervalo central de tempo, tal que 80% dos estudantes gastam para completar o exame? X: tempo gasto no exame vestibular X ~ N(120, 15 2 ) x 120 x 120 x X x Z 15 15 1 2 P( 1 2) = 0,80 P = 0,80. z =? tal que A(z) = 0,90 Pela tabela, z = 1,28. x1 120 = 1,28 15 x2 120 = 1,28 15 Z x 1 = 120-1, 28 15 x 1 = 100,8 min. x 2 = 120 +1,28 15 x 2 = 139,2 min.

Exemplo 5: Doentes, sofrendo de certa moléstia, são submetidos a um tratamento intensivo cujo tempo de cura foi modelado por uma distribuição normal, com média 15 e desvio padrão 3 (em dias). a) Que proporção desses pacientes demora mais de 17 dias para se recuperar? b) Qual a probabilidade de um paciente, escolhido ao acaso, apresentar tempo de cura inferior a 20 dias? c) Qual o tempo máximo necessário para a recuperação de 25% dos pacientes? d) Considere um grupo de 100 pacientes escolhidos ao acaso, qual seria o número esperado de doentes curados em menos de 11 dias?

Exemplo 5:

Exemplo 6: