PROVA DE MATEMÁTICA DA UFBA VESTIBULAR 0 a Fase Profa. Maria Antônia Gouveia. QUESTÃO 0 Considere o conjunto de todos os números de cinco agarismos distintos, formados com os agarismos,, 5, 8 e 9. Escoendo, aeatoriamente, um eemento desse conjunto, cacue a probabiidade de o número escoido ser menor que o número 589. Seja E o conjunto cujos eementos são todos os números de cinco agarismos distintos formados com os agarismos,, 5, 8 e 9. Então n(e) 5! 0. Seja A o subconjunto de E, cujos eementos são menores que 589. DETERMINAÇÃO DE n(a): Números que começam por 58. Tota de possibiidades:! 5. Números que começam por 5. Tota de possibiidades:! 6. Números que começam por. Tota de possibiidades:!. Números que começam por. Tota de possibiidades:!. Então n(a) ( + + + 5) 65. Concuindo: escoendo, aeatoriamente, um eemento do conjunto E, a probabiidade de o número n(a) 65 escoido ser menor que o número 589 é de p. n(e) 0 RESPOSTA: A probabiidade é então. QUESTÃO 0 Considerem-se em um sistema de coordenadas cartesianas tendo o metro como unidade de medida para os eixos Ox e Oy duas partícuas P e P. Sabendo que, no instante t 0, a partícua P parte da origem, na direção positiva do eixo Oy, com veocidade constante de m/s, e a partícua P parte do ponto (0, 0) em direção à origem dos eixos com veocidade constante de m/s, escreva uma equação da reta que passa peos pontos que determinam a posição das duas partícuas no instante em que o quadrado da distância entre eas é mínimo.
Como a partícua P percorre, com veocidade constante, m/s, em t segundos percorrerá (t)m. Como a partícua P percorre, com veocidade constante, m/s, em t segundos percorrerá (t)m. No instante t 0, a partícua P ocupa a posição (0, 0) e no instante t ocupará a posição (0, t). No instante t 0, a partícua P ocupa a posição (0, 0) e no instante t ocupará a posição (0 t, 0). t No instante t 0, a distância P P ( 0 t 0) + ( 0 t) ( P P ) 00 0t + t + ( P P ) 5t 0t 00. + O quadrado ( P ) P ( ) assume vaor mínimo para 0 t. 0 No instante t, a partícua P ocupa a posição A (0, ) e a partícua P ocupa a posição B (8, 0). Determinação da equação da reta que passa peos pontos A (0, ) e B (8, 0): y Usando a reação: A yb 0 x ( x x A ) ( y ya ) (x 0) y y x A x B 0 8 x RESPOSTA: A equação procurada tem a forma y + ou y + x 8 ou y + x 8 0 QUESTÃO 0 Considere o poinômio com coeficientes reais P(x) x 5 7x + mx + nx + tx + 6. Sabendo que P(x) é divisíve por x + e possui três raízes reais que formam uma progressão geométrica, determine o resto da divisão de P(x) por x +. Se P(x) é divisíve por x + e sendo x + (x i)(x + i), então P(x) também é divisíve por ( x i) e por ( x + i) i e i são raízes de P(x). As outras três raízes são reais e formam uma progressão geométrica, pode-se então representá-as como y, y e qy. q Peas reações de Girard: y 7 + y + qy 7 q y + + q y y q y ( ) q q 7q q + 0q + 0.y.qy. i. i y q 0 ± 00 6 0 ± 8 q q q ou q 6 6 y, y e qy. q
Logo as raízes de P(x) são Pode-se escrever:,,, i e i. 5 P(x) x 7x + mx + nx + tx + 6 x (x + )(x )(x + i)(x i) Que o resto da divisão de p(x) por x + é igua a P( ) ( + )( )( + i)( i) P(x) 7( )( 5)( + ) 0 RESPOSTA: O resto procurado é 0. QUESTÃO 0 Sendo x a medida de um arco, em radianos, determine as souções da equação cos cos x.sen x cos( x + 7 ) + sen 0 que pertencem ao intervao [ 6, 8]. RESPOSTA: Sendo cos, sen x cos x, cos( x + 7 ) cos(x + ) cos x e sen sen + sen Tem-se: cos cos x.sen x cos( x + 7 ) + sen 0.cos x + cos x 0 cos cos x ou cosx x Os vaores de x que pertencem ao intervao [ 6, 8], são: k x, x ( k + ) k 0 x, 5 k x 5, k 0 x,05 x k ± k 0 x,05 7 k x 7, 5 k x 5, ± + 8 ± x + cos x 0 cos x cos x ( k + ) ou x k ± com k Z. RESPOSTA: Os vaores de x [ 6, 8] que satisfazem à equação cos cosx.sen x cos( x + 7) + sen 0 5 5 7 S,,,,,, são os eementos do conjunto
QUESTÃO 05 Considere um trapézio T, de atura u.c., base menor b u.c. e ânguos da base a arctg e c 5º. Determine a área do trapézio T, obtido de T por uma omotetia de razão centro em um ponto quaquer. BE No triânguo retânguo AEB, tgâ x AC 6 + 7. AE x ( AC + BD) DF ( + 7 ). A área do trapézio T é igua a S. Sendo T o trapézio omotético de T por uma omotetia de razão, então são figuras semeantes e vae a reação: S S T ' T ST' 9 99 ST'. RESPOSTA: A área de T é 99 u.a. Questão 06 Considere uma pirâmide trianguar reguar de atura, contida no interior de uma esfera de raio r. Sabendo que um dos vértices da pirâmide coincide com o centro da esfera, e os outros vértices são pontos da superfície esférica, determine, em função de e r, a expressão do voume da pirâmide. Sendo reguar a pirâmide VABC, então sua base ABC é um triânguo equiátero. No triânguo equiátero ABC, AH a (medida do raio desse triânguo) e AB. Logo, a a a. Apicando o Teorema de Pitágoras ao triânguo retânguo VHA: a r a r r Então a área do triânguo ABC é ( ) r. ( ) ( r ) r
Finamente, o voume da pirâmide è: ( ) ( ) r r (B) V. RESPOSTA: O voume da pirâmide é ( ) r u.v.