Matemática Intensivo V. Eercícios ) ) C ( ) (5 7) Usando a fórmula do ponto médio: X + X Y + Y C + 5 + 7 6 8 ( ) ERRT: considere (6 ). Temos d () d (C). ssim: ( 6) + ( b ) ( ) + ( 6 b) 9 + b 9 + b b + 6 b 6 b 6 b ) C ( ) ( 9) e C ( ) M ponto médio do lado medida de MC? chando o ponto médio: M + + 9 ( 66 ) ) chando a distância entre M e C: d ( ) + ( ) d ( 6 ) + ( 6 ) d ( ) + d 6 + 9 d 5 d 5 Usando a fórmula com: ( ) ( ) e C ( ) T. T. 5) 6) D T. T. 6 Triângulo PQR P ( ) Q (6 ) e R ( 5) Calculando os valores de: PQ QR RP PQ ( 6 ) + ( ) PQ 6 PQ 6 RP ( ) + ( 5 ) RP 9+ 5 RP QR ( 6) + ( 5 ) QR 9+ 5 QR ssim PQR é um triângulo isósceles mas não equilátero. P ( K) pertence à +. +. k + k k + k k K 7) D Do enunciado sabemos: ( ) ( ) C ( ) M T ( + 8 ) (6 + 6 ). T 9. C Matemática
8) 9) C ) Mas M( ) + + ssim: + e 6 + Então: ( ) ( 6) C( ). Somando as coordenadas + + + ( ) + 6 + + 6 + Dados ( ) ( 6) C( 8) e D( ). Considere M( M M ) ponto médio das diagonais assim: + C + D M + + D + D D + C + D M + 8 6 + D D + 6 6 D D 6 Somando: D + D + 6 9 ( 5) ( 9) e C( ). Para e C serem colineares: 5 9 (7 + + ) ( 5 + 6) 7 + + 5 6 7 + 7 7 ( 5 ) e C( ) são diagonais. Precisamos do valor de. Como diagonal do quadrado igual ao lado. vamos achar o valor de C e depois de. d ( C) ( ( 5) ) + ( ) d ( C) 8 + ( 6) d ( C) 6 + 6 d ( C) d ( C) ) E ssim l l.. 5 Como perímetro é. l:. 5. Nomeando os vértices: ( ) (9 ) C(8 5) e D( 5). Calculando as medidas: ( 9 ( ) ) + ( + ) CD ( 8) + ( 5 5) CD 9 CD 7 ) ) C ( 8 9) + ( 5 ) D ( ( ) ) + ( 5 ) C + 5 D + 5 C 6 D 9 ssim: Perímetro + 7 + 6 + 9 Perímetro 7 + 9 + 6. Dados ( ) ( ) C (a b) e C equilátero temos C C. ssim: ( ) ( C) d C ( a ) + ( b ) ( a) + ( b) d a 8a+ 6+ b a + 9 6b+ b 8a + 6 9 6b 6b 9 6 + 8a 6b 7 + 8a b 7 6 + 8 a 6 b 7 6 + a Como o triângulo é equilátero d () d (C) d (C). ssim: d ( ) ( ( ) ) + ( + ) d ( ) d( C) Matemática
) 5) Temos: ( ) ( 6) e C ( ). d (G)? chando M de C: M + C + C M + 6 + M 9 M 9 gora d ( M) ( ) + 9 8 + 97 97 Mas d ( G) d ( M) 97. 97. ( ) () C (8 ) ssim como ΔC é equilátero: d () d (C) d (C) ( ) + ( ) ( 8 ) + ( ) ( 8 ) + ( ) + + 8+ 6 6 + 6+ 6+ 8+ 6 8 + 6 6 8 + 8 ssim: + 8 6 6 8+ 8 6 8 6 6 8.( ) 8 6 6+ 8 6 6 5 Matemática Voltando à equação original: 6 + 8 + + 6 6 5 +. 5 8 + 8 + 5 + 6 8 6 + 5 8 Δ b. a. c Δ ( 8).. ( ) Δ 6 + Δ 8 ssim: ( 8) ± 8 8 8 8 7 + + + 7 8 8 8 7 7 Como está no primeiro quadrante temos: (5 + 7) 6) D Considerar a alternativa d) que está faltando como: d) da reta será um número negativo cujo módulo é um número par. m Pontos: ( ) e ( ). m Logo m. 7) C Sejam ( ) e ( k). m m k k k k k Daí a reta é dada por: ( ) m( ) ( )
8) E + 8 + Como o coeficiente é linear e b temos: k + b +. Deseja-se saber o valor de m sendo as três retas concorrentes em um mesmo ponto e possuindo a mesma solução. Então a solução obtida pelo sistema das retas r e s devem satisfazer t. 5 i () 5+ 6 56 () ii Fazendo (i) (ii) teremos: 8 8 Substituindo em (i) obtemos: 5. 5 6 5 8 8 5 8 Logo S 5. Substituindo a solução em t obtemos: 5 8 + m 5 m 8 + m 58 9) 5 7 i () + 7 () ii Fazendo (i) (ii) obtemos: 6 Substituindo em (i) teremos: 5. 7 7 Logo o ponto de intersecção é 7. ) De + k temos: k k k Logo m. k De 5 temos: + 5 Logo m. Como as retas são paralelas teremos: m m k ) C ) k Para que a reta passe pela origem então o ponto ( ) deve satisfazer a equação: (k ). ( k ). + k 7k + 6 k 7k + 6 Resolvendo a equação acima temos: k' ou k'' 6 () 9 L 9 L L L Equação da reta: +.( ) r Matemática
) 6) C Q( ) s r P( ) ) D 5) X M + Y M + + (i) + 8 (ii) De (i) e (ii) temos: + () i + 8 () ii Fazendo (i) + (ii) obtemos: Substituindo em (i) teremos: + + 5 Portanto P( ) e Q( 5 5). Da reta s temos: + Logo m s. Como as retas são paralelas temos que os coeficientes são iguais. Então a equação da reta é dada por: P m s ( P ) ( ( )) ( + ) + +.( ) Como as retas r e s são paralelas temos m m. Temos ainda n < (ponto de intersecção da reta s e eio das ordenadas). Coeficiente angular: m r Como as r e s são perpendiculares então: m s m r m s Temos ainda b. Portanto a equação da reta s é: m s + b 7) D 5 D 5C C Área do triângulo C: 5C 5 5C 5 Da definição de módulo temos: 5C 5 para 5C 5C 7 C C ou 5C 5 para 5C < 5C C < C 6 Note que segundo o gráfico temos C > e portanto C 6 não serve. Sendo assim a coordenada C é dada por ( ). Equação da reta determinada pelos pontos e C. Matemática 5
5 9) D 5 + 7 5 + 7 ( 5) + 7 + 7 7 C 8) + +.( ) i + () 9+ 6 () ii h C Fazendo (i) + (ii) obtemos: 6 6 6 Substituindo 6 em + temos: 6 + 9 Logo a área é dada por: C EO 5 Coeficiente angular da reta determinada por : m 6 ( ) Como a reta determinada pela altura é perpendicular (forma um ângulo de 9 ) à reta temos: m h m m h m h Logo a reta determinada pela altura é: c m h ( c ) ( ) 6 +.( ) ) D 7 m + (m ) m (m ) m + m m m + m m (m + ) + (m + 5) m + (m + 5) m + (m + ) m + m m + + 5 m + 5 Como as retas são paralelas seus coeficientes são iguais ou seja: m + m + 5 m m 6 Matemática
) (m + ) (m ) (m + 5).m m + m m 6 m + 5m m 6 5m 6 m m 6 m Como a reta r é paralela à reta de equação 5 então possuem o mesmo coeficiente angular ou seja m r. Equação da reta r: ( 6) 6 6 + + 6 + 6 Para 7 temos: 7 + 6 Portanto o único ponto que passa pela reta r é 7. ) C m m Logo m. Daí a equação é dada: ( ) + 5 Ponto :. 5 5 5 Ponto : 5 5 5 5 ) 5 Portanto a área do triângulo O é dada por: 5 5 5 5 Equação da reta s: m tg 5 m Logo do ponto ( ) obtemos: m( ) ( ) (i) Equação da reta r: +.( ) + (ii) De (i) e (ii) obtemos o seguinte sistema: i () + () ii Fazendo (i) + (ii) teremos: 5.( ) 5 Substituindo 5 em (i) teremos: 5 5 + 8 Logo o ponto I é dado por (8 5). Distância de N a I é: d N I ( 6 8) + ( 9 5) Matemática 7
d N I d N I d N I d N I 8 + + 576 9 gora d C ( ) + ( ) d C d C 5 + ( ) ) D Logo d d C d C e portanto é isósceles. II. Incorreta. r r b Logo os pontos são não colineares e portanto não estão no segmento. 5) Temos: mr m r ml Como m l temos m r Logo m r b. III. Incorreta. 6 + + + 5 5.( ) + 5 6) função f() é dada por: f ( ) f() + + f() + 6 [ ] ERRT: Para resolução do eercício considere os pontos C e D sendo respectivamente ( ) e. I. Incorreta. d ( ) + ( ) d ( ) + ( ) d Temos ainda: d C ( ) + ( ) I. Falsa. ( ) ( ) d fc + 6 + 6 d fc 8 6 6 + 6 d fc 6 5 d fc 6 d fc d C ( ) + ( ) d C 5 d fc 8 Matemática
d fc d fc II. Verdadeira. mo moc tg α + mo moc Temos que: 6 m OC 6 6 m O 6 Segue tg α + ( ) tg α 6 6 8 8 tg α 7) C 6 Logo a área é dada por: 6 6 ua.. III. Falsa. Segundo o gráfico acima podemos observar que: D { R/ } Im { R/ } IV. Verdadeira. + 6 + 6 ( ) + 6 6 6 f 6 ( ) Então 6 f 6 6 ( ). I. Corretas. mo 6 6 mo 6 6 Como m O. m O então os segmentos O e O são perpendiculares. II. Incorreta. Seja α o ângulo formado pelos segmentos: H Logo cos α 5. III. Incorreta. 6 X M Y M 6 Logo o ponto médio é M( ). H 5 IV. Correta. d PO ( ) + ( + ) d PO ( ) + ( + ) d PO 9 6 + + + 6 + 7 d PO 9+ + + 7 d PO Temos ainda: d P ( 6) + ( + ) d P ( ) + ( ) d P 9+ 6 + + 7 6 + d P 9+ + 7+ d P Matemática 9
8) 6. Incorreta. rotação do ponto D D' 5 α E D C r C Área ''C': razão de 8 9 8 ua 9 9.. C' ' ' 6. Incorreta. Segundo o gráfico concluímos que a imagem do ponto D é dado por D' de coordenadas ( ). 9) 6. Incorreta. Pois D C DC. De fato D é diagonal do quadrado CDE.. Correta. Área do setor circular: R π π círculo π ua... Correta. m r Daí ( ) 8. Incorreta. tg α O tg α tg α Logo α. 6. Incorreto. Pois a refleão é feita de forma perpendicular à reta. ERRT: Para resolução dos eercícios considere a reta r : α +. Reta r : ( ) + Reta r :. Incorreta. Se α 8 temos: 8 + 8+ 8 8 Daí obtemos o seguinte sistema: () i + () ii 8 ( iii) Matemática
Fazendo (i) + (ii) obtemos: 6 Substituindo em (ii) teremos: + Note que para as três retas passarem em um mesmo ponto o ponto ( ) deve satisfazer a reta 8. Então 8.. (bsurdo!) Portanto as três retas não interceptam o mesmo ponto.. Portanto as retas são perpen-. Correta. mr mr Logo mr m r diculares.. Correta. Se α temos: +. + Substituindo em (i) + Logo ( ). + i r r : () () ii Fazendo (i) + (ii) temos: 6 6 Substituindo em (i) teremos: + Logo C( ). i r r : () + () ii Fazendo (i) + (ii) teremos: 8 r 8 Substituindo em (i) teremos: Logo ( ). r Segue D + + 6 + C Portanto a área é dada por: D ua.. + i r r : () + () ii Fazendo (ii) (i) temos: + r 8. Incorreta. De r temos m. De r temos: α + α + Logo m α. Como as retas devem ser paralelas teremos: m m α α Matemática
6. Incorreta. Para α temos: + + Logo m. Temos ainda do item anterior m. Daí o diâmetro é dado por D r. 7 e a área é dada por: πr. (7) 9. 586 Ângulo entre as retas r e r. m m tg β + m m tg β ( ) + ( ) tg β tg β tg β β arc tg β 75. ) C sen 5 5 cos 5 ) E ) D ) E O valor máimo é dado para então: + 6 + 6 + 6 + 6 + ( ) 6 + 5 Resolvendo a equação acima obtemos: ' 5 ou '' (não serve). Logo 5. Portanto + 5 + 5. + + 6 + 6 + 6 6 ( 7) 9 + ( ) 9 6 ( 7) + ( ) 6 + 58 ( 7) + ( ) 6 ( 7) + ( ) (8) Logo os valores máimos são: p 7 + 8 5 q + 8 Daí p + q. 5 +. 5 + 89 + 6 6 ( ) + ( ) 9 6 ( ) + ( ) 9 Logo r 7. ) 5) C Logo a intersecção é dada pelo ponto (cos 5 sen 5 ). Centro da circunferência: ( 5). Distância do centro à reta (r) de equação + 5. a + b + c dcr a + b ( ) d Cr 5 + 5 + 5 d Cr + + 5 d Cr Como se pode observar o centro pertence ao primeiro quadrante e o ponto O( ) pertence à circunferência. Substituindo o ponto O( ) nas alternativas concluímos que a única equação de centro no primeiro quadrante e que satisfaz o ponto O( ) é: ( ) + ( ). Matemática
6) D ERRT: Considere a equação: + + + + C. Temos que: C + R 7) 8) C Como o centro é C( ) temos: C ( ) + () 5 C + 5 C Segue C ( ) + Para. + Logo o ponto C( ). Portanto a equação da circunferência de centro C( ) e raio é: ( ) + ( ) + + + ERRT: Para a resolução do eercício considere a equação: + 6 + 75 + 6 + 75 ( ) + 6 + 75 Centro: C( ). Segue + R 75 + R 75 + 9 R 75 R 75 R 75 R 5.( ) R 5 R 5 R 5 Portanto o comprimento (altura) da professora é dado por: C R ( π ) C π. R C π. 5 75π u.c. 9) D Intersecção da reta com a circunferência. Distância do centro à reta. C: ( ) Logo a alternativa b está correta. d Cr + + d Cr 5 d Cr 5 Logo a alternativa a está correta. Como d Cr r temos que a reta r é tangente à circunferência. Logo a alternativa c está correta. Coeficiente angular: + 5 5 75 Logo m r 75 e portanto a alternativa d está incorreta. 5) C (F) Equação da reta. 5 + + 6 + ( ) + + 8 (V) O raio da circunferência é dado por: r d ( ) + ( ) r d + 6 r d + 56 r d r d r d Matemática
(F) O centro é dado por: XM + XM X 7 M ) Verdadeira. Centro: C( ) C( ) OK!! Portanto C pertence à reta. + YM YM YM Logo C(7 ). 5) + ( ) + ( ) + 5) D Equação da circunferência. ( 7) + ( ) + 9 + + + + 9 + + 9 Equação da reta r: P O 6 8 6 ( ) + 6 5) E Distância de ponto e reta (raio da circunferência). R d ro +. 6 + R d ro 6 6. 5 5 Equação da circunferência: 6 ( ) + ( ) + 6 5 ) Verdadeira. P( ) ( ) + ( ) 5 + ( ) 5 5 5 OK!! Portanto P pertence à circunferência. Coeficiente angular: m T TO T Como PO P temos: m P Equação da reta P : ( ) ( ) Ponto ( ). + ) Falsa pois r 5 Matemática
5) D 55) D Equação da circunferência: ( ) + ( ) 5 ( ) + ( ) 5 P( a) ( ) + (a ) 5 9 + a a + 5 a a 5 Para que o ponto P seja eterior devemos ter a a 5 >. 5 Portanto o ponto P é eterior para: > a ou a > 5. 57) Equação da circunferência: ( ) + ( ) ( ) + P(sen a cos a) (sen a ) + cos a (sen a ) + cos a sen a sen a + + cos a (sen a + cos a) sen a sen a sen a sen a Portanto a π 6. Daí tg π 6. Equação da circunferência: ( ) + ( ) ( ) + ( ) 9 Substituindo a equação na equação acima temos: + ( + ) + ( ) 9 + 6 + 9 9 6 ( ) ( ) Logo ' ou '' 58) C I. Correta. Substituindo em + : ' '' ' + '' + ' '' 5 Logo ( ). Logo (5 ). ssim o comprimento da corda é dado por: d ( 5 ) + ( ) D d + d d cm Área do triângulo: D ua.. 56) E Matemática 5
II. Incorreta. Reta r: + Logo m r Portanto m s. m r.. ssim as retas r e s são perpendiculares. 59) 8. Incorreta. + + 6 + ( ) + ( + ) 9 + ( ) + ( + ) 9 Logo Centro: C ( ) Raio: R Note que o triângulo O não está contido na circunferência. III. Incorreta. + + ( + ) + ( ) ( + ) + ( ) 5 Centro: C( ). Raio: R 5 Distância do centro à reta r: ( ) d Cr ( ) + d Cr + 5 d Cr 5 5 dcr < 5 R. 5 Logo a reta é secante à circunferência. IV. Correta. Seja s: + + Coeficiente angular. Reta s: + + + + 5 Logo m s. + + 6 + 9 ( + ) + ( ) 9 + 9 ( + ) + ( ) Logo Centro: C( +) R Portanto as circunferências não são concêntricas.. Correta. m m ( ) ( ) m 6 m. Incorreta. P( ) + + 9 + 6 + 6 5 Portanto o ponto P não pertence à circunferência. 8. Incorreta. Reta r: + 5 + 5 5 + Logo m r. 6 Matemática
Reta s: 6 6 6 6 6 Logo m s. Portanto m r m s e assim paralelas. 6. Correta. d P d P ( p ) + ( ) ( p ) + ( ) (p ) + (p ) + ( ) p 6p + 9 + p p + + 6p + p + 8 8 6p p p p 6). Correta. Eio das abscissas ( ): ( ) + ( ) 6 ( ) + 9 6 ( ) 7 8 + 6 7 8 + 9 Resolvendo a equação acima temos: + 7 ou 7 Portanto intercepta o eio das abscissas em dois pontos. Eio das ordenadas ( ): ( ) + ( ) 6 6 + ( ) 6 ( ) Portanto intercepta o eio das ordenadas em um ponto. d cr 5 5 d cr 5 5 d cr < 8. Incorreta. Da reta r temos: + + (ii) (i) Substituindo (i) em c: ( ) + 6 ( ) + ( ) 6 9 9( ) + ( ) 9. 6 9( 8 + 6) + 8 + 6 9 7 + + 8 + 6 5 5 + Daí temos: Δ b ac Δ ( 5). 5. Δ Δ > Portanto eistem dois pontos de intersecção ou seja r c 6. Correta. + + + Logo m < e portanto a reta r é crescente.. Correta. Centro: C( ). Correta. d cr + + 6 + 9 d cr 6 + 9 Matemática 7