Deus não joga dados com o Universo Se conhecermos S h o presente t eatamente, t t podemos d calcular o futuro não é a conclusão que está errada, mas a premissa. premissa Heisenberg
9. Aplicações da equação de Schrödinger Do mesmo modo que os processos e fenômenos macroscópicos abordados pela MC são modelados por idealizações que permitem a determinação de soluções aproimadas, o mesmo ocorre no domínio microscópico. De maneira análoga, a partícula livre, o oscilador harmônico e o sistema de dois corpos constituem os modelos básicos para a abordagem de qualquer problema pela MQ. Entretanto mesmo esses modelos básicos envolvem dificuldades matemáticas de tal ordem que, inicialmente utilizam-se modelos ainda mais simplificados, como partículas confinadas em poços de potenciais retangulares, ou feie de partículas que incidem sobre barreiras de potenciais descontínuos, para os fenômenos reais.
Subitens 9P 9. Problemas de potenciais i descontínuos:poços e barreiras de potenciais: Análise do comportamento t de umapartícula confinada. Como encontrar a função de onda da partícula. 9.. O poço quadrado infinito: Determinar o espectro discreto de energia (estados ligados. Encontrar os auto-estados normalizados. 9..3 A barreira de potencial retangular: Solução da Eq de Sch. Para um potencial do tipo degrau (E<V e E>V Solução da Eq de Sch. Para barreira de potencial (E<V Cálculo da densidade de corrente de probabilidade.
9. Problemas de potenciais descontínuos: poços e barreiras de potenciais As soluções da eq. de Schrödinger para problemas que envolvem poços e barreiras de potenciais retangulares além de serem analiticamente determinadas, proporcionam as primeiras estimativas sobre o comportamento de sistemas de partículas confinadas em um campo conservativo ou espalhadas por um outro sistema. Nesse sentido, as principais características do sistema podem ser reveladas e compreendidas a partir da análise do comportamento de uma partícula em um poço de potencial do tipo:
< < 0 V ( V0 0 < < a 0 a < < Poço de potencial retangular. Esse perfil é similar ao potencial radial no qual um elétron sofre a ação de um campo deforças central coulombiano devido a sua interação com um núcleo; o problema de dois corpos.
Dependendo da energia da partícula, os auto-estados de energia representam um movimento limitado (E<0, no qual são ditos estados ligados, ou um movimento ilimitado (E>0 como o espalhamento de um feie de partículas por um sistema-alvo, no qual são chamados estados não ligados. De acordo com a MC se a energia E da partícula for negativa, compreendida entre V 0 e 0, o movimento é periódico e confinado entre os pontos de retrocesso em 0 e a, nos quais a partícula é refletida, sem nunca ultrapassá-los. Entretanto, se a energia for positiva, o movimento é ilimitado à direita do único ponto de retrocesso em 0. A estratégia para solucionar esse tipo de problema é sempre a mesma: resolvemos a equação de Schrödinger separadamente em cada região onde o potencial é contínuo. Depois, tentamos ajustar as diferentes soluções, para que elas sejam consistentes nos pontos de descontinuidade do potencial.
Os auto-estados estacionários de energia são descritos por uma função de onda do tipo: Ψ (, t ( e E i t h Cuja parte espacial, a autofunção, satisfaz a eq. de Sch. Independente do tempo: h m d d ( d + V ( ( E ( A maneira sistemática de solução desse tipo de problema, que envolve descontinuidades, é inicialmente determinar as soluções da eq. de Sch. em cada região na qual o potencial é contínuo. Pode-se definir os domínios: Região I: - <<0 ( I Região II: 0<<a ( II Região III: a<< ( III
Como a função de onda e sua derivada, além de se anularem no infinito, devem ser contínuas em todo o espaço, as soluções devem satisfazer condições de contorno nas fronteiras de cada região. Devido ao tipo singular de descontinuidade id d do potencial, a derivada d de psi apesar de contínua em a, é descontínua em 0. I III II II (a III (a I (0 II (0
9.. O poço quadrado infinito Um problema que pode ser usado para ilustrar, várias propriedades p das funções de onda e também é um dos problemas mais simples de confinamento é o da partícula em um poço de potencial infinito de largura a, também chamado de problema da partícula em uma caia. Podemos construir uma caia para elétrons usando eletrodos e grades em um tubo evacuado. As paredes da caia são representadas pelos potenciais entre as grades e os eletrodos. Para tornar as paredes altas e íngremes basta aumentar o potencial V e diminuir a distância entre os eletrodos e as grades respectivamente. No limite, a energia potencial tem o aspecto da próima figura que é um gráfico da energia potencial de um poço quadrado infinito.
I II III Para este problema, a energia potencial é da forma: < 0( regiãoi V ( 0 0 a( II > a ( III Para as regiões I e III, temos a eq. De Schrödinger da seguinte forma: h m '' ( ( E V ( '' ( ( ( onde m E V h Equação característica com raízes reais.
Logo temos as seguintes soluções: I ( ( Ce + De III Ae + Be Como a energia potencial é infinita do lado de fora do poço, conseqüentemente a função de onda é necessariamente nula nesta região. Assim a probabilidade de encontrar a partícula fora da caia é nula. Para a região II (0,,a a eq de Schrödinger fica: h m '' ( E ( '' ( ( onde me h Equação característica com raízes compleas. II ( i i Ae + Be (onda estacionária
Para encontrar as constantes A e B temos a seguinte condição de contorno; continuidade das funções. As funções devem ser contínuas em 0 e a. (0 I II (0 0 A c.c. c em a dá o valor de : 0 i Ae A B + Be 0 i 0 ia ia III ( a II ( a 0 0 Ae + Be ib 0 i 0 ia e A e e como ( 0 isen a sena 0 a nπ sen ( b e ii n,,... Isto implica que o espectro discreto de energia (estado ligado é dado por: me h ib
nπ a me h E n π h ma n E n,,... E é a chamada energia de ponto zero. É a menor energia total possível que a partícula pode ter, limitada a este potencial. A partícula não pode ter energia total nula devido à eistência de um estado mínimo de movimento. Isso pode ser visto como uma conseqüência do Princípio de Incerteza, já que, como a incerteza na posição é da ordem de Δ a,nãoé possível ter o valor do momento com incerteza nula, como seria o caso se a energia fosse 0. Isto contrasta etremamente com a idéia, da física clássica, que todo movimento cessa quando um sistema tem sua energia mínima, à temperatura do zero absoluto. Gráfico da energia em função de para uma partícula em um poço quadrado infinito. Classicamente a energia da partícula pode ter qualquer valor.
Precisamos ainda, encontrar os auto-estados de energia: II ( ( i i e ( A e Csen ( II C A i Normalizando para encontrar C: II ( II ( d a C sen 0 ( d sen ( b d sen 4b ( b ( a sen a C C 0 4 0 C a
Os auto-estados normalizados de energia da partícula confinada no intervalo espacial (0,a são dados por: ( n sen n π a a Os valores médios da posição e do momentum da partícula em qualquer auto-estado estacionário n são: n a ; p 0 n O valor médio nulo para o momentum epressa o fato de que a partícula é essencialmente livre no interior i do poço, deslocando-se com a mesma probabilidade em ambos os sentidos. O valor médio da posição, devido a uniformidade da densidade de probabilidade de presença, decorre da total simetria do potencial com relação à coordenada espacial.
A função de onda completa incluindo a parte temporal será: Ψ n (, t ou E h ( iω t n n sen n e onde ω n a Ψ n (, t ii a [ ( ( ] i n ω nt i n+ωnt e e Podemos considerar esta função de onda estacionária como a superposição de duas ondas de mesma freqüência e amplitude uma se propagando para a direita e outra para a esquerda. II
9..3 A barreira de potencial retangular A propriedade d de penetração em uma região classicamente proibida permite a compreensão de fenômenos como tunelamento de elétrons, a partir da análise do comportamento de uma partícula que incide sobre uma barreira de potencial retangular onde ela possa ser transmitida e refletida. 0 < 0( regiãoi ãi V ( V 0 0 < < a( II 0 > a( III
No caso clássico uma partícula que está se movendo da esquerda para a direita na região I, com E>V 0, continua a se mover para a direita na região II, mas com menor velocidade, ao chegar à região III recupera a velocidade inicial. Se E<V 0 ela não consegue penetrar na região II, mas é refletida na fronteira entre as regiões I e II e passa a se mover da direita para aesquerda na região I. No caso quântico, veremos que o comportamento das partículas as é muito utodiferente, e tanto to para a energias e menores es quanto maiores que V 0. Primeiramente vamos resolver a Equação de Schrödinger na presença de um potencial do tipo degrau.
E>V 0 V ( E<V 0 0 < 0( regiãoi V 0 > 0( regiãoii Se E<V 0 em <0 a partícula está se movendo com uma velocidade v(e/m /, em 0 é submetida a uma força impulsiva. Como E<V 0 a partícula continua se movendo para a direita, mas com velocidade menor: v[(e-v 0 /m] /. Por eemplo: uma bola rolando sobre uma superfície plana e encontra uma rampa de altura y 0 V 0 /mg. Se a E c da bola é menor que V 0 a bola sobe parcialmente a rampa e rola de volta para a esquerda, chegando a superfície plana com v igual a inicial. Se E c >V 0 a bola chega ao alto da ladeira e continua a rolar para a direita com menor velocidade. O resultado da MQ é semelhante ao resultado clássico para E<V 0, mas p 0, bem diferente para E>V 0.
Vamos analisar o que ocorre para E<V 0. E<V 0 Vamos analisar o que ocorre para E<V 0. Podemos imaginar que V( é uma representação idealizada da função energia potencial para uma partícula carregada se movendo ao longo do eio de um sistema de dois eletrodos ligeiramente separados que são mantidos a voltagens diferentes. À medida que a separação diminui, a função potencial se aproima da idealização. A energia potencial de um elétron se movendo próimo à superfície de um metal é muito parecida com um degrau de potencial, pois ela cresce rapidamente na superfície, e, a partir de um valor essencialmente constante no interior, até um valor constante e maior no eterior.
a Considerando o estado estacionário com E<V 0.Éclaro que em 0 há uma divisão do eio em duas regiões, tal que o movimento clássico é permitido à esquerda e proibido à direita. Para <0, a eq de Sch fica: ''' me ( ( onde Equação característica ti com raízes compleas. A solução será: i i ' ( Ae + Be A cos + Para >0, a eq de Sch fica: '' ( h ' B sen I ( onde m E h ( V Equação característica com raízes reais. A solução será: 0
II ( De + Ce Somente a solução e- permanece finita para (não há nada que limite a partícula então D0: II ( Ce Para determinar as constantes utilizamos as condições de continuidade das funções de onda e sua derivada em 0: ( 0 (0 A C I II ' ' I (0 II (0 ( A sen + B cos Ce B C B C 0 0
A auto-função fica em termos de C: Ψ C cos sen X<0 ( X>0 Ce Em termos de eponenciais X<0 fica: ( ( C ( ( i i i i e + e e e C + i e i + i e i i A função de onda estacionária fica: C i i ( i ωt i ( + + ω t (, t + e + e X<0
Esta função de onda é uma superposição de uma onda se propagando p para a direita e outra para a esquerda cujos auto-valores de momento valem ±(h/π. Por outro lado a onda incidente e a refletida se combinam e produzem uma onda estacionária. Para a região >0 a função de onda fica: Ψ iωt (, t Ce e X>0 Esta epressão eibe uma penetração e atenuação na região proibida classicamente. Densidade de probabilidade para uma partícula em um degrau de potencial. A partícula incide da esquerda com E<V 0.
Perceba, pela Figura, que a probabilidade de encontrarmos a partícula em > 0 decai eponencialmente à medida que nos afastamos da origem. Este fenômeno não-clássico é chamado penetração de barreira. Note ainda que esse efeito não é inconsistente com o fato de que a partícula é refletida, com 00% de probabilidade, pela barreira. Poderíamos formular a seguinte analogia clássica para descrever o movimento da partícula: ela vem da esquerda, penetra um pouco na região proibida e, depois, com certeza, retorna para o lugar de onde veio. Apesar de parecer bastante eótico pela visão da MC, o efeito de penetração de barreira já era um velho conhecido da física ondulatória. Por eemplo, quando uma onda luminosa incide de um meio de índice de refração maior para outro com índice de refração menor, dependendod d do ângulo de incidência, idê i pode ocorreroefeito de refleão total da luz. Porém, em perfeita analogia com o efeito quântico de penetração de barreira, o campo eletromagnético ondulatório da luz penetra um pouco na região com índice de refração menor, decaindo eponencialmente quando a distância até a interface entre os dois meios aumenta. Dessa forma, oefeitode penetração de barreira pode ser entendido como mais uma manifestação da natureza ondulatória da matéria.
b E>V 0. As soluções serão do tipo ondas progressivas E>V 0 ( Ce i me Ae + Be ; h i m E V + De ; h i i X<0 ( 0 X>0 Considere a partícula vindo da esquerda para a direita. Classicamente em 0 a partícula irá sofrer um potencial retardador, mas a probabilidade dela passar para a região >0 é máima. Entretanto devido as propriedades ondulatórias da partícula eiste uma certa probabilidade de que ela seja refletida em 0. Assim, para a região <0 devemos ter uma superposição de ondas caminhando para a esquerda e para a direita.
Entretanto para >0 devemos ter apenas ondas se propagando para a direita, uma vez que não eiste nessa região nada que possa refletir a onda e fazer com que apareça uma onda propagando para a esquerda. Assim, devemos fazer D0. As constantes A, B e C devem ser obtidas a partir de propriedades de continuidade da função de onda e seu gradiente. Assim: ( 0 (0 A + B C I II ' ' I (0 II (0 i A ib ic A B B + A C + A C
As auto-funções ficam em termos de A: + + i i e e A ( X<0 + i e A ( X>0 (onda plana + Densidade de probabilidade para uma partícula sob ação do degrau potencial quando.
A teoria prevê que a partícula tem uma possibilidade apreciável de ser refletida pelo degrau de volta para a região <0, mesmo tendo energia suficiente para ultrapassar o degrau e ir para a região >0. Um eemplo disto é encontrado no caso de um elétron no cátodo de uma célula fotoelétrica, que recebeu energia ao absorver um fóton, e que está tentando escapar da superfície do cátodo metálico. Se sua energia não for muito maior do que a altura do degrau no potencial eistente na superfície do metal, ele pode ser refletido e não conseguir escapar.
O fato do degrau de potencial refletir partículas para as quais E >V0, onde classicamente seriam transmitidas, é mais uma manifestação das propriedades ondulatórias das partículas quânticas. O fenômeno que acabamos de estudar é completamente análogo ao que acontece na ótica ondulatória clássica, da refleão parcial da luz na fronteira de duas regiões com índice de difração diferente. No meio à esquerda o comprimento de onda de de Broglie é λ π/, enquanto à direita é λ π/. É tentador eplicar o fenômeno que acabamos de descrever da seguinte forma: A partícula quântica é parcialmente refletida e parcialmente transmitida pelo degrau de potencial. Afinal, na ótica ondulatória, dizemos algo semelhante com relação às ondas. No entanto, essa eplicação não é muito precisa quando nos referimos ao fenômeno quântico; é preciso esclarecer que a partícula não se fragmenta quando incide no degrau. O que acontece é que, numa dada colisão da partícula com o degrau de potencial, ela pode ser refletida com probabilidade R e transmitida com probabilidade T. Sendo assim, em um único evento, não podemos medir os valores de R e T. Esses só poderiam ser determinados se realizássemos um número muito grande de colisões idênticas, de modo que R e T seriam proporcionais p ao número de eventos de refleão e transmissão, respectivamente. Na próima aula veremos como calcular tais coeficientes.