O potencial degrau (Energia menor do que a altura do degrau)

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1 O potencial degrau (Energia menor do que a altura do degrau) Cleber de Oliveira dos Santos 1 Faculdade capivari - FUCAP, Capivari de Baixo, SC cleber_013@hotmail.com Resumo: Nesse artigo, vamos mostrar as soluções da equação de Schröedinger independente do tempo para uma partícula cuja energia potencial possa ser representada por uma função V(x) que tenha um valor constante diferente em cada uma de várias regiões adjacentes do eixo x. Esses potenciais mudam de valor rapidamente (isto é, que são funções descontínuas de x) não existem realmente na natureza. No entanto, esses potenciais idealizados são frequentemente utilizados na mecânica quântica para aproximar situações reais, pois, por serem constantes em cada região, eles são de fácil tratamento matemático. Os resultados que obtemos para estes potenciais nos permitem ilustrar uma série de fenômenos quânticos característicos. O potencial idealizado que tratamos nesse artigo é o degrau de potencial ou potencial degrau. Se escolhermos a origem do eixo x como estando sobre o degrau, e a constante aditiva arbitrária que sempre aparece na definição de uma energia potencial de forma tal que a energia arbitrária que sempre aparece na definição de uma energia potencial de forma tal que a energia potencial da partícula seja nula à esquerda do degrau, V(x) pode ser escrita como: { Figura 1 Um degrau de potencial Fonte: Eisberg e Resnick (1979) 1 Mestre em Educação: linha de pesquisa: Educação em Ciências/Matemática pela Universidade do Sul de Santa Catarina - UNISUL (2017), Especialista em Matemática pela Universidade Federal de Santa Catarina - UFSC (2011), graduado em Matemática - UNISUL (2005), Especialista em Educação Matemática pela UNISUL (2007), graduado em Física - UNISUL (2016). Atualmente é professor das disciplinas de Cálculo III, Álgebra linear, Geometria Analítica, Equações Diferenciais, Física I dos Cursos de Engelharia de Produção, Civil, Mecânica e Ambiental e sanitária da Faculdade Capivari (FUCAP). Tem experiência na área de Matemática e Física. Integrante de dois grupos de pesquisa: GPEMAHC (Grupo de Pesquisa em Educação Matemática: uma Abordagem Histórico-Cultural) e o TEDMAT (Teoria do Ensino Desenvolvimental na Educação Matemática).

2 Onde: V o é uma constante. V (x) é uma representação idealizada da função energia potencial para uma partícula carregada se movendo ao longo do eixo x de um sistema de dois eletrodos ligeiramente separados que são mantidos a voltagens diferentes. Figura 2 Ilustração de um sistema físico com uma função energia potencial que pode ser aproximada por um degrau de potencial. Uma partícula carregada se move ao longo do eixo de dois eletrodos cilíndricos mantidos a diferentes voltagens. Sua energia potencial é constante quando ela está dentro de um dos eletrodos, mas muda muito rapidamente ao passar de um para o outro. Fonte: Eisberg e Resnick (1979) A parte superior da figura 2 ilustra esse sistema, e a parte inferior ilustra a função energia potencial correspondente. À medida que a separação diminui, a função potencial se aproxima da idealização mostrada na figura 1. Supomos que uma partícula de massa m e energia total E esteja na região x < 0, e que esteja se dirigindo para o ponto x = 0, no qual o potencial V(x) muda rapidamente seu valor. De acordo com a mecânica clássica, a partícula vai se mover livremente nessa região até atingir x = 0, onde ela estará sujeita a uma força impulsiva dada por: A força F atua no sentido decrescente de x. O potencial idealizado (1) dá uma força impulsiva de módulo infinito atuando apenas no ponto x = 0. No entanto, como ela age sobre a partícula apenas durante um tempo infinitesimal, a grandeza (o impulso), que determina a variação no seu momento, é finita. Na verdade, a variação no momento não é afetada pela idealização. O movimento da partícula após sofrer a ação da força em x = 0 depende, na mecânica clássica, da relação entre E e V 0. Isto também vale na mecânica quântica. Neste artigo, tratamos o caso em que E < V 0, isto é, no qual a energia total é menor que a altura do degrau de potencial, como está ilustrada na figura 3.

3 Figura 3 A relação entre as energias potencial e total para uma partícula incidente sobre um degrau de potencial com energia menor do que a altura do degrau. Fonte: Eisberg e Resnick (1979) Como a energia total E é uma constante, a mecânica clássica diz que a partícula não pode passar para a região x > 0. A razão é que nessa região: ou. Logo, a energia cinética E = seria negativa na região: x > 0, o que implicaria em um valor imaginário para o momento p nessa região. Isto, além de não ser possível, não tem sentido físico na mecânica clássica. Segundo a mecânica clássica, a força impulsiva vai mudar o momento da partícula de uma forma tal que seu movimento ficará exatamente invertido, afastando se no sentido de x decrescente, com momento em sentido oposto ao sentido de seu momento inicial. O módulo do momento p será o mesmo antes e depois da inversão, pois a energia total E = permanece constante. De acordo com a mecânica quântica, para determinar o movimento da partícula devemos achar a função de onda que é uma solução, para a energia total E < V 0, da equação de Schröedinger para o degrau de potencial de (1). Como esse potencial é independente do tempo, o problema real é resolver a equação de Schroedinger independente do tempo. Para o potencial degrau, o eixo x se divide em duas regiões. (a) Na região onde x < 0 (à esquerda do degrau), temos V(x) = 0, de forma que a autofunção que descreve o comportamento da partícula é uma solução de equação de Schroedinger independente do tempo: (b) Na região onde x > 0 (á dereita do degrau), temos V(x) = V 0, e a autofunção é uma solução de uma equação de Schroedinger independente do tempo:

4 Estas duas equações são resolvidas separadamente. Constrói-se então uma autofunção válida para todos os x juntando-se as duas soluções em x = 0 de forma a satisfazer às exigências, de que a autofunção e sua primeira derivada sejam em todos os pontos finitas, unívocas e contínuas. Consideremos a equação diferencial válida para a região na qual V(x) = 0, (2). Como esta é precisamente a equação de Schröedinger independente do tempo para uma partícula livre tomamos como sua solução geral a autofunção: Agora, vamos considerar a equação diferencial válida na região na qual V(x) = V 0, (3). Não esperamos que uma função oscilatória, como em (4), seja uma solução, pois a energia total E é menor do que a energia potencial V 0 na região considerada. Na verdade, estas considerações nos dizem que a solução será uma função que se aproxima gradualmente do eixo x. A função mais simples com esta propriedade é a exponencial real decrescente, que pode ser escrita como: Vamos determinar se esta é uma solução; e se for, obter também o valor exigido para k 2 substituindo a em (3), que é a equação à qual ela deve satisfazer. Primeiro calculamos a segunda derivada da função (5): = = A substituição dá que:. A equação é satisfeita, e portanto a solução está verificada, desde que: A solução que acabamos de verificar não é uma solução geral da equação de Schroedinger independente do tempo, (3). A razão é que a equação contém uma segunda derivada, de forma que a solução geral deve conter duas constantes arbitrárias. No entanto, se pudermos encontrar uma solução da equação para a mesma E, com forma diferente da que obtivemos, podemos fazer uma combinação linear das duas, chamadas

5 soluções particulares. A combinação linear também será uma solução, e, como ela conterá duas constantes arbitrárias, vai ser uma solução geral. Para encontrar a outra solução, notamos que k 2 aparece como um quadrado em (6), logo seu sinal não interessa e a exponencial é crescente dada por: A equação (7) também é uma solução da equação de Schröedinger independente do tempo que estamos considerando. É igualmente fácil verificar isto, por substituição na equação (3). Mas vamos verificar em vez disso que a combinação linear arbitrária (8) das duas soluções particulares onde C e D são constantes arbitrárias é solução de (3). Para isso calculamos a segunda derivada da função (8) e substituímos na equação (3) para verificar a igualdade. Assim,. Esta expressão é obviamente verdadeira, verificamos que (8) é uma solução. Como ela contém duas constantes arbitrárias, é a solução geral da equação de Schröedinger independente do tempo na região do potencial degrau onde V(x) = V 0, com E < V 0. Embora a parte com a exponencial crescente não vá ser utilizada neste artigo, o será em um artigo futuro. As constantes A, B, C e D de (4) e (8) devem ser escolhidas de forma tal que a autofunção total satisfaça às exigências relativas à limitação, unicidade e continuidade de (x) e ). Consideremos inicialmente o comportamento de (x) quando x +. Nesta região do eixo, a forma geral de (x) é dada por (8). Podemos verificar que ela vai em geral crescer sem limite quando x + devido à presença do primeiro termo,. Para evitar isto, e manter (x) finita, devemos fazer com que o coeficiente arbitrário C do primeiro termo seja igual à zero. Assim: C = 0. (9) A unicidade é automaticamente satisfeita por essas funções. Para estudar sua continuidade, consideramos o ponto x = 0. Neste ponto, as duas formas de (x), dadas por (4) e (8), devem se juntar de uma forma tal que (x) e ) sejam contínuas. A continuidade de (x) é obtida se a seguinte relação for satisfeita:

6 Igualando as duas formas em x = 0, temos: D = A + B (10) A continuidade na derivada das duas formas: É obtido se igualarmos estas derivadas em x = 0. Portanto, fazemos: Isto dá: Somando (10) e (11), temos: Subtraindo-as, temos: Já determinamos A, B e C em função de D. portanto, a autofunção para o degrau de potencial com energia E <, é: { A constante arbitrária restante, D, determina a amplitude da autofunção, mas ela não aparece em nenhuma de suas características mais importantes. A presença dessa constante reflete o fato de que a equação de Schröedinger independente do tempo é linear em (x), e, portanto são possíveis soluções com qualquer amplitude. Veremos que é normalmente possível obtermos resultados úteis sem nos preocuparmos em normalizar, o que especificaria D. A razão disso é que as grandezas mensuráveis que obteremos como previsões da teoria contêm D tanto no numerador quanto no denominador de uma fração, de forma que este valor se cancela, não aparecendo no resultado.

7 A função de onda correspondente à autofunção é: { Consideremos a região x < 0. O primeiro termo da função de onda nesta região é uma onda se propagando no sentido de x crescente. Esse termo descreve uma partícula se movendo no sentido de x crescente. O segundo termo da função de onda para x < 0 é uma onda se propagando no sentido de x decrescente, e descreve uma partícula se movendo neste sentido. Essas informações, somadas às previsões clássicas descritas anteriormente, sugerem que deveríamos associar o primeiro termo à incidência de uma partícula sobre o degrau de potencial, e o segundo termo à reflexão da partícula pelo degrau. Vamos usar esta associação para calcular a probabilidade que a partícula incidente seja refletida, que chamamos coeficiente de reflexão R. Evidentemente, R depende da razão, que específica à amplitude da parte refletida da função de onda relativamente à amplitude da parte incidente. Mas na mecânica quântica as probabilidades dependem das intensidades, como B*B e A*A e não das amplitudes. Portanto, devemos calcular R a partir da fórmula: Isto é, o coeficiente de reflexão é igual à razão entre a intensidade da parte da onda que descreve a partícula refletida e a intensidade da parte que descreve a partícula incidente. Obtemos: Ou O fato de que esta razão seja igual a um significa que uma partícula incidente sobre o degrau de potencial, com energia total menor do que a altura do degrau tem probabilidade um de ser refletida é sempre refletida. Isto está de acordo com as previsões da mecânica quântica. Consideremos agora a autofunção (14), usando a relação:

8 É fácil mostrar que a autofunção pode ser expressa como: { Se gerarmos a função de onda, multiplicando (x) por, vemos imediatamente que temos na verdade uma onda estacionária, pois as localizações dos nós não mudam com o tempo. Neste problema, as ondas incidente e refletida para x < 0 se combinam formando uma onda estacionária, pois elas têm a mesma intensidade. A figura (4) ilustra isto de forma esquemática. Figura 4 - Ilustração esquemática da combinação de uma onde incidente e de uma onda refletida de mesmas intensidades, formando uma onda estacionária. A função de onda é refletida por um degrau de potencial em x = 0. Observe que os nós das ondas incidente e refletida se movem para a direita ou para a esquerda, mas os da onda resultante são estacionários. Fonte: Eisberg e Resnick (1979) Na parte superior figura (5), ilustramos a função de onda por meio de um gráfico da autofunção, (19), que é uma função real de x se tomar D real. Pode-se imaginar a função de onda oscilando no tempo segundo, com uma amplitude cuja dependência espacial é dada por. Obtemos aqui uma característica que está em flagrante contraste com as previsões clássicas. Embora na região x > 0 a densidade de probabilidade: Ilustrada na parte inferior da figura (5) decresça rapidamente à medida que x cresce, há uma probabilidade finita de encontrar a partícula na região x > 0. Segundo a mecânica clássica, seria absolutamente impossível encontrar a partícula na região x > 0, pois aí a energia total é menor do que a energia potencial, de forma que a energia cinética seria negativa e o momento p, imaginário. Este fenômeno, chamado

9 penetração na região classicamente proibida, é uma das previsões mais notáveis da mecânica quântica. Figura 5 - Ao alto: A autofunção (x) para uma partícula incidente sobre um degrau de potencial em x = 0, com energia total menor do que a altura do degrau. Observe a penetração da autofunção na região classicamente proibida, x > 0. Embaixo: A densidade de probabilidade correspondente a esta autofunção. O espaçamento entre os picos de é duas vezes menor do que o espaçamento entre os picos de. Fonte: Eisberg e Resnick (1979) Discutiremos mais tarde algumas experiências que confirmaram essa previsão, mas aqui gostaríamos de apresentar alguns pontos a seu respeito. Um deles é que a penetração não significa que a partícula seja mantida na região classicamente proibida. De fato, vimos que a partícula incidente é certamente refletida pelo degrau. Outro ponto é que a penetração na região proibida, que obedece a (21), não está em conflito com as experiências da mecânica clássica. É evidente, a partir da equação, que a probabilidade de encontrar a partícula com uma coordenada x > 0 é apreciável apenas em uma região começando em x = 0 e se estendendo em uma distância de penetração Δx, que é igual a. A razão disto é que cai muito rapidamente a zero quando x é muito maior do que. Como, temos:. No limite clássico, o produto de m por é tão grande, comparado a, que Δx imensuravelmente pequeno.

10 REFERÊNCIA EISBERG, Robert; RESNICK, Robert. FÍSICA QUANTÍCA: Átomos, moléculas, Sólidos, Núcleos e Partículas. 23ª ed, Rio de janeiro: Campus, 1979.